Tema 3: Introduccin a las probabilidades

3.1 Experimento aleatorio y determinstico

Si se realiza un experimento, ste puede tener uno de varios posibles resultados; si no puede predecirse con seguridad cual ocurrir, se dice que el experimento es aleatorio.Por Ejemplo si lanzas una moneda, cuyo resultado puede ser, caer cara o caer sello. En este experimento no podemos predecir con seguridad cul resultado aparecer con certeza. Otro experimento aleatorio es el siguiente: al lanzar un dado, los resultados que se obtienen pueden ser cualquier nmero del 1 al 6.Si un experimento tiene un nico resultado posible, que al realizarlo sabemos que ocurrir, el experimento se llamardeterminstico.

Por Ejemplo, un experimento determinstico sera extraer una bola de una que contiene bolas con un slo color, digamos negras. Si nos fijamos en el color de la bola extrada sabemos de antemano que es negra.3.2 Espacio muestral

I.Espacio MuestralEs el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. Por Ejemplo, al realizar el experimento de lanzar un dado y observar la cara que aparece, vemos una serie de resultados posibles y que se representa por:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }Otro Ejemplo es, si realizamos el experimento; si lanzamos dos monedas al aire, observamos que los posibles resultados pueden ser (en este caso los resultados de a dos se agrupan en pares ordenados):T = { (sello, sello) (sello, cara) (cara, sello) (cara, cara) }

Otro Ejemplo es, si realizamos el experimento; se lanzan dos dados, los posibles resultados al observar el nmero de puntos en ambas caras de los dados es el siguiente espacio muestral:

Ms Ejemplos:Dados los siguientes experimentos:E1: Lanzar una moneda y observar la cara superior.E2: Lanzar un dado y observar el nmero que aparece en la cara superior.E3: Extraer una bola de una urna que contiene bolas rojas R y bolas verdes V.E4: Designar un delegado de un grupo de 50 personas a travs de un sorteo.E6: Elegir un punto del intervalo cerrado [0,1]E7: Observar el tiempo de vida de un T.V. SONY.E8: verificar el estado de un transistor (0= apagado, 1= prendido).Indicar su espacio muestral:Solucin:

Evento y suceso

Con base a los experimentos anteriores (lanzar un dado, lanzar dos monedas y lanzar dos dados), observamos que stos pueden tener uno o ms resultados, a los cuales se les llama Eventos y que se representan mediante letras maysculas.

Por tanto un Evento es un subconjunto de un Espacio Muestral. (Tomeo, 2003)

Se puede hacer una lista de muchos eventos asociados con un experimento, algunos con ms posibilidad de ocurrir que otros. Desde el punto de vista de conjuntos, un evento es un subconjunto de un espacio muestral. Por Ejemplo, en el experimento de tirar un dado se tiene:

{1} es el evento elemental o evento simple que indica que al lanzar un dado salga la unidad.

{2, 4,6} es un evento que indica que al lanzar un dado salga nmero par.

{1, 2,3} es un evento que indica que al lanzar un dado salga un nmero menor que 4

{1, 2, 3, 4, 5, 6} es un evento que indica que al lanzar un dado salga un nmero menor que 7

Otro Ejemplo: En el experimento aleatorio lanzar 4 monedas simultneamente. Definimos los eventos siguientes:

E1: Todas las monedas muestran el mismo lado

E2: Ocurren por lo menos dos caras

E3: Ocurre sello en el tercer lanzamiento.

3.3 Axiomas y teorema de probabilidad

Ejemplo: Se lanza dos dados. Calcular la probabilidad de:a) Obtener suma 4.b) Obtener suma 7.c) Obtener suma par.d) Obtener suma mayor que 5.e) Que el resultado del primer dado sea mayor que el resultado del segundo?Sol: El espacio muestral lo podemos obtener a travs de un cuadrado de doble entrada donde S est formado por pares ordenados, en la cual la primera componente es el resultado del primer dado y la segunda componente el resultado del segundo dado.

3.4 Definiciones de probabilidad

1. Definicin Clsica o A priori La probabilidad de un evento es la razn entre el nmero de casos (sucesos) favorables y el nmero total de casos (sucesos) posibles del espacio muestral, siempre y cuando cada uno de los resultados o sucesos del espacio muestral tiene la misma posibilidad de suceder. As, la probabilidad de que ocurre el evento E es:Dnde: N (E)=nE = cardinal del conjunto E

N(S)=n = cardinal del conjunto S.

Nota: cardinal de un conjunto es el nmero de elementos que tiene dicho conjunto.

Observacin: las propiedades de la probabilidad por frecuencia relativa son las mismas que la probabilidad clsica dados en las observaciones generales de la pg.Ejemplo: en 20 centros educativos de las diferentes P.P.J.J. de Chiclayo que forman en total a 16000 alumnos, se detectaron 1900 casos de tuberculosis. Hallar la probabilidad de encontrar a un alumno tuberculoso en un colegio determinado.Sol: sea el evento E: un alumno tuberculoso en determinado colegio.Entonces diremos si escogemos un alumno de un determinado centro educativo, existe un 11,86% de posibilidades que est tuberculoso.3. Probabilidad SubjetivaLa probabilidad es subjetiva cuando en un experimento determinado, la probabilidad de que un evento A ocurra, tiene un grado de creencia asignado a la ocurrencia de este evento por un individuo en particular, pero eso s, est basado en toda la evidencia a su disposicin, con las siguientes exigencias:1) P(A) = 0 , representa la certeza de que el evento A no ocurrir.2) P(A) = 1, representa la certeza de que el evento A si ocurrir.3) 0P(A)1, representa la certeza de que el evento A, ocurrir.Claro es que si la probabilidad es subjetiva de la ocurrencia de un evento A, para una persona tendr un determinado valor de acuerdo a las condiciones o evidencias que dispone. Y para otra persona que tiene de repente ms evidencias, podra asignar a la ocurrencia del evento A otra probabilidad diferente (un nmero diferente al anterior).Ejemplo:Cul es la probabilidad de que la seleccin peruana se clasifique al prximo Mundial de Ftbol?Cul es la probabilidad de que un profesor en educacin pblica gane S/.10000 en el prximo gobierno?Como pueden observar, son eventos nicos, que no han ocurrido antes. No hay forma de que se puedan interpretar tales probabilidades como una frecuencia relativa o como una probabilidad Clsica. Entonces el enfoque subjetivo de la probabilidad es pues adecuado en la respuesta de las preguntas ltimamente expuestas. (Walpole, 1998)Observacin: las dos primeras definiciones son probabilidades objetivas.3.5 Algebra de eventos

Simplemente es la misma lgebra de conjuntos, es decir podemos combinar eventos para formar nuevos eventos, utilizando las diferentes operaciones conjunto:

Si denotamos los eventos por A,B,C,D,E,etc.

3.6 Tcnicas de conteo

1. Principio aditivoSi se desea llevar a efecto una actividad, la cul tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas y la ltima de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de, M + N + .........+ W maneras o formasEjemplos:1)Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cul ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automtica o semiautomtica, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automtica o semiautomtica y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomtica. Cuntas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?Solucin:M = Nmero de maneras de seleccionar una lavadora WhirpoolN = Nmero de maneras de seleccionar una lavadora de la marca EasyW = Nmero de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General ElectricM = 2 x 4 x 2 = 16 manerasN = 3 x 2 x 2 = 12 manerasW = 1 x 2 x 1 = 2 manerasM + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadoraCmo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo?Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.2. Principio MultiplicativoSi se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1maneras o formas, el segundo paso de N2maneras o formas y el r-simo paso de Nrmaneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;N1x N2x ..........x Nr maneras o formasEl principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.Ejemplos:Una persona desea construir su casa, para lo cul considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobn o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lmina galvanizada y por ltimo los acabados los puede realizar de una sola manera cuntas maneras tiene esta persona de construir su casa?SolucinConsiderando que r = 4 pasosN1= maneras de hacer cimientos = 2N2= maneras de construir paredes = 3N3= maneras de hacer techos = 2N4= maneras de hacer acabados = 1N1x N2x N3x N4= 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casaEl principio multiplicativo, el aditivo y las tcnicas de conteo que posteriormente se tratarn nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se puede llevar a cabo una actividad cualquiera.3.7 Principios factoriales

a)Permutaciones:Dado un conjunto finito A, de cardinal , se llaman permutaciones a las ordenaciones totales que pueden hacerse con los elementos del conjunto A.Ejemplo:- el conjunto unitario {a} slo puede ordenarse de un modo nico.- el conjunto {a, b} puede ordenarse de dos modos: ab, ba- el conjunto {a, b, c} puede ordenarse en seis modos: abc, acb, bac, bca, cab, cba

b)Variaciones:Dado un conjunto de elementos, se da el nombre de variacin a cada una de las ordenaciones que se pueden formar tomando grupos en elementos de este conjunto; teniendo en cuenta el orden que toman .Del Ejemplo anterior tenemos que del conjunto {2, 3, 5, 6, 7, 9} tomamos 3 elementos para formar nmeros diferentes de 3 dgitos (parte a), es decir tomamos grupos de 3 en 3 elementos, teniendo en cuenta el orden, dio como resultado por el principio fundamental del conteo

c)Combinaciones:

Una combinacin de objetos es aquel acto de juntarlos en donde no cuenta el orden de colocacin de los objetos. Las diversas combinaciones de objetos difieren entre si por la calidad de los ingredientes; es decir, dado un conjunto de elementos se pide cuantos subconjuntos de elementos hay.

Ejemplo: del conjunto A={a, b, c, d}. Cuntos subconjuntos de 3 elementos hay?

Sol: hallamos las combinaciones de 3 elementos (subconjuntos de 3 elementos del conjunto

A) {a, b, c}, {a,b,d}, {a, c, d}, {b, c, d} Luego hay 4 combinaciones.

La dificultad se da si A tiene muchos elementos, para hallar el nmero de combinaciones existe el siguiente teorema:

3.6 Teorema de Bayes

Sean A1, A2, A3,., An , n eventos pertenecientes al espacio muestral S y sea B un evento cualquiera, con P (B) > 0, entonces se cumple que:

Ejem. En una empresa A se tiene 10 obreros , 18 empleados y 5 ejecutivos. En la sala B , se tiene 13 obreros ,25 empleados y 4 ejecutivos. En la empresa C, se tiene 8 obreros, 14 empleados y 3 ejecutivos Se elige una empresa y se extrae un trabajador, el mismo que resulto que era empleado. Cual es la probabilidad de que el trabajador elegido proceda de la empresa:1. A2. B3. CSolucinSimbolizaremos con O, a los obreros; con E, a los empleados y con Ej. a los ejecutivos. Ahora aplicamos la frmula: