Tema 22. PRIMARIA Numeros

MAGISTER OPOSICIONES AL PROFESORADO

Educacin Primaria

TEMA 22 LOS NMEROS Y EL CLCULO NUMRICO. NMEROS NATURALES, ENTEROS, FRACCIONARIOS Y DECIMALES. SISTEMAS DE NUMERACIN. RELACIN ENTRE LOS NMEROS. OPERACIONES DE CLCULO Y PROCEDIMIENTOS DEL MISMO (CLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIN Y CALCULADORA). INTERVENCIN EDUCATIVA. INTRODUCCIN. 1. LOS NMEROS Y EL CLCULO NUMRICO. 2. NECESIDAD Y USO DE LOS NMEROS. 3. LOS NMEROS NATURALES. OPERACIONES DE CLCULO.

3.1. Definicin del conjunto de los nmeros naturales. 3.2. Operaciones de clculo con los nmeros naturales. Propiedades de clculo. 3.3. Ordenacin en el conjunto de los nmeros naturales.

4. LOS NMEROS ENTEROS.

4.1. Definicin del conjunto de los nmeros enteros. 4.2. Operaciones en los nmeros enteros. Propiedades de clculo. 4.3. Concepto de mltiplo y divisor. Procedimientos de clculo: M.c.d. y m.c.m. de varios

nmeros. 4.4. Ordenacin de los nmeros enteros.

5. LOS NMEROS RACIONALES O FRACCIONARIOS.

5.1. Definicin del conjunto de los nmeros racionales. 5.2. Operaciones en los nmeros racionales. Propiedades de clculo. 5.3. Ordenacin de los nmeros racionales. 5.4. Representacin de los nmeros racionales en la recta.

6. LOS NMEROS DECIMALES.

6.1. Definicin de expresiones decimales. Posiciones decimales. Tipos de decimales. 6.2. Operaciones en los nmeros decimales. Propiedades de clculo. 6.3. Algoritmo para el clculo de races exactas.

Especialidad de Primaria MAGSTER Tema 22

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7. EL SISTEMA DE NUMERACIN ARBIGO. SISTEMAS DE NUMERACIN. 8. RELACIN ENTRE LOS NMEROS. 9. PROCEDIMIENTOS DE CLCULO. CLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIN Y

CALCULADORA.

9.1. Clculo escrito. 9.2. Clculo mental. 9.3. Estimaciones en expresiones decimales: Cifras significativas, notacin cientfica y redondeo.

a) Aproximacin por cifras significativas. b) Aproximacin mediante notacin cientfica. c) Proceso de redondeo d) Estimacin de races.

9.4. Calculadora. 10. INTERVENCIN EDUCATIVA.

10.1. Tratamiento en el currculo 10.2. Recursos didcticos.

BIBLIOGRAFA.


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INTRODUCCIN. Los contenidos referentes a matemticas en Primaria se han organizado en cuatro bloques: El primero de todos corresponde al concepto de nmero y sus operaciones. En dicho tema se pretende dar una panormica actual de lo que representa el concepto de nmero, los diferentes tipos de nmeros que existen, su necesidad y principales utilizaciones y sus mtodos fundamentales de clculo. Se ha de dar especial relevancia tanto al sistema de numeracin que se utiliza, el decimal, como las relaciones y propiedades que aparecen en sus clculos para el desarrollo de un correcto clculo mental. Con todo ello se busca que el alumnado calcule con fluidez y haga estimaciones razonables, tratando de lograr un equilibrio entre comprensin conceptual y competencia en el clculo. 1. LOS NMEROS Y EL CLCULO NUMRICO. Los nmeros son el concepto que subyace en todo proceso de medicin, ordenacin, operacin o comparabilidad de magnitudes escalares. La escuela Pitagrica en su celebre frase Todo es nmero quera expresar, entre otras cosas, que el origen de todo cuanto existe en el universo puede ser descrito mediante estos conceptos. Las matemticas de todos los tiempos no consideran a los nmeros con simples smbolos sino como verdaderas estructuras conceptuales susceptibles de explicar cualquier fenmeno geomtrico, fsico, qumico, tecnolgico, etc. El gran edificio de los nmeros ha sido consustancial a la propia evolucin humana, desde las arcaicas civilizaciones donde ya aparecieron los nmeros naturales, enteros o racionales como instrumento para el progreso de las sociedades hasta la fundamentacin de los nmeros reales o la aparicin de los nmeros complejos que obedece ms bien a cuestiones profundas e igualmente tiles para el desarrollo de la tecnologa. El clculo numrico es el conjunto de operaciones y procedimientos para operar con los nmeros. La palabra clculo procede del latn calculus que no eran sino las pequeas piedras con las que los romanos realizaban sus cuentas numricas. Durante todo este tiempo se han creado mltiples expresiones algebraicas, smbolos y procedimientos de clculo numrico para poder desarrollar estas ideas que a la postre han servido para que la evolucin actual de la sociedad. 2. NECESIDAD Y USO DE LOS NMEROS. Distinguimos en este tema cuatro grandes conjuntos de nmeros unos incluidos dentro de otros: los nmeros naturales, los enteros, los racionales (fraccionarios) y los reales (decimales).

El concepto de nmero natural est presente desde el inicio de la actividad en matemticas en todas las civilizaciones. La necesidad para la introduccin de estos nmeros es evidente: poder contar o enumerar elementos por lo que la naturaleza de la nocin de nmero natural est estrechamente ligada al concepto de conjunto. Actualmente los nmeros naturales se utilizan para las mismas funciones que los utilizara cualquier antigua civilizacin.


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Los nmeros enteros fueron introducidos por las civilizaciones antiguas en el momento en que se plantearon relaciones de debito y comercio. Por lo tanto, estos nmeros son tan arcaicos como las relaciones econmicas de las primeras civilizaciones. Otros usos que durante la historia se han dado a estos nmeros son el de medicin de determinadas magnitudes: tiempo, temperatura, etc. As como para la resolucin de ecuaciones cuya solucin escapa de los nmeros naturales.

Ejemplo 1: Si en un vagn de metro hay 50 personas y en una parada de metro se suben 4 viajeros, en la siguiente se bajan 5 y se suben 2 y en la tercera se suben 2 y se bajan 7. Cuntos viajeros habr en el vagn tras la tercera parada?. Solucin: 50 + 4 5 + 2 + 2 7 = 46 viajeros Ejemplo 2: La temperatura ha disminuido dos grados cada da durante los ltimos quince das. Si estbamos a 23 C, Qu temperatura marca hoy el termmetro?. Solucin: 23 215 = 7 Ejemplo 3: Resolver la siguiente ecuacin: 2x + 5 = 1 Solucin: 2x = 1 5 2x = 4 x = 2

La motivacin histrica para la introduccin de los nmeros racionales es la necesidad de caracterizar la particin de un total en partes iguales o lo que es lo mismo, dar soluciones de ecuaciones de la forma:

bx = a,

siendo a,b 0 nmeros enteros dados y x un "nmero" a determinar. Dado que en general b no es divisor de a, la anterior ecuacin no tiene soluciones en el conjunto Z de nmeros enteros. Como consecuencia, debemos buscar un conjunto de nmeros ms grande que Z, en el que plantear y resolver tales ecuaciones. La construccin de este conjunto se realiza a partir de Z dando sentido a objetos de la forma a / b, b 0, siendo a, b 5 Z. Lo esencial es definir una estructura algebraica para tales objetos de forma que las ecuaciones bx = a se resuelvan mediante x=a/b.

Las fracciones y nmeros racionales se utilizan igualmente para clculos de subidas y disminuciones porcentuales, para resolucin de problemas de particiones de una cierta cantidad y como operador en ciertos procesos.

Ejemplo 1: Calcular el precio de un coche que sin IVA cuesta 12.000 . Solucin: Si el IVA es del 16% entonces calculamos el aumento del siguiente modo:

192010016000.12 =

Por lo que el coche costar 13.920 .


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Ejemplo 2: Un autobs lleva 40 personas. En la primera parada bajan las 3/5 partes y en la segunda un cuarto de las que quedaron. Cuntas quedaron en el transporte?. Solucin. Calculamos primeramente las que se bajaron en la primera parada:

245340 =

Por lo tanto quedaron 16 personas. Calculando un cuarto de 16 obtenemos las que se bajaron en la segunda parada:

44116 =

Luego en el autobs quedaron 12 personas. Ejemplo 3: Calcular las dos quintas partes de un terreno de 24 ha.

ha695224 =

Los nmeros racionales son incluso anteriores en sus orgenes a los nmeros enteros negativos puesto que su naturaleza es la de repartir mientras que la de los otros es de debito. Civilizaciones como la egipcia y la babilnica ya disponan de un complejo sistema fraccionario.

La implantacin de los nmeros decimales obedece fundamentalmente a criterios de medicin y clculo de ciertas longitudes sobre magnitudes escalares as como para dar explicacin a determinados nmeros como que aparecen en objetos geomtricos tan importantes como la circunferencia y que no proceden de fraccin alguna. Adems, la estructura de los nmeros decimales o reales permite representarlos como una lnea recta infinita sin huecos, continua y densa. Todo el formalismo de los nmeros reales y expresiones decimales se fundament entre finales del siglo XIX y primera mitad del siglo XX gracias a Cauchy, Weierstrass, Dedekind o Cantor. 3. LOS NMEROS NATURALES. OPERACIONES DE CLCULO.

3.1. Definicin del conjunto de los nmeros naturales.

El conjunto de los nmeros naturales est formado por los nmeros 0, 1, 2, 3, . .

N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }

A este conjunto se le denomina con la letra N y se verifica que es un conjunto infinito pero con un primer elemento que es el 1.

Figura 1: Representacin de los nmeros naturales.


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Como ya dijimos anteriormente, los nmeros naturales sirven ante todo para dos cosas: contar y ordenar elementos.

En muchas ocasiones al nmero 0 no se le considera nmero natural sino entero por cuestiones histricas acerca de la inclusin tarda del cero como compensacin a la idea de nada que hasta entonces no se anotaba en los clculos. Por ello muchos no le suelen otorgar el rango de natural. 3.2. Operaciones de clculo con los nmeros naturales. Propiedades de clculo. Entendemos por operacin interna en el conjunto de los nmeros naturales N a toda operacin que parte del conjunto cartesiano N x N y cuyo resultado est en el propio conjunto N. Las principales operaciones internas en el conjunto de los naturales son la suma y la multiplicacin.

La suma se entiende modernamente como el proceso por el cual se cuentan los elementos de la unin de dos o ms conjuntos. As, dados dos conjuntos A y B con elementos n y m respectivamente, se define la suma de n + m como el nmero de elementos del conjunto AB. Las propiedades que aparecen en N a partir de la operacin suma son, entre otras, las siguientes:

Asociativa. ( ) ( ) cbacbaNcba ++=++ ,,, Elemento neutro. aaaNa =+=+ 00, Conmutativa. abbaNba +=+ ,, Cancelativa. bacbcaNcba =+=+ ,,,

El producto o multiplicacin de nmeros naturales se entiende de modo anlogo del siguiente modo. Dados dos conjuntos A y B con elementos n y m respectivamente, se define el producto de n por m y se denota mediante nm como el nmero de elementos del conjunto cartesiano AxB. Las propiedades que aparecen en N a partir de la operacin producto o multiplicacin son, entre otras, las siguientes:

o Asociativa. ( ) ( ) cbacbaNcba = ,,, o Elemento neutro. aaaNa == 11, o Conmutativa. abbaNba = ,, o Cancelativa. bacbcacNcba == ,0,, o 00 = aNa o Distributiva respecto de la suma. ( ) cabacbaNcba +=+ ,,

A partir de la multiplicacin se puede definir la potencia de nmeros naturales. Una potencia es una multiplicacin iterada de modo que dados a y n naturales, la potencia a elevado a n es el producto

4434421vecesn

n aaaaa = ...


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Al valor a se denomina base de la potencia y al valor n exponente de la misma. Como consecuencia de lo dicho anteriormente, la potenciacin ser tambin una operacin interna en N y presenta las siguientes propiedades:

a) 1, 0 = aNa b) aaNa = 1, c) mnmn aaaNmna += ,,, d) mnmn aaamnconNmna = :,,, e) ( ) mnmn aaNmna = ,,,

La operacin de radicacin o raz es la operacin inversa de la operacin de potencia de modo que dados los naturales a y n la raz n sima de a, denotada por n a , es el resultado b si y slo si al elevar el resultado b al exponente n obtenemos el valor a. Es decir,

abba nn ==

Al nmero n lo llamaremos ndice de la raz y al valor a lo denominaremos radicando. , raiz n sima del siguiente modo: Diremos que la raz n- sima de un nmero a

Ejemplo 1: 4224 2 == porque Ejemplo 2: 273327 33 == porque

Por ltimo, la operacin de divisin en los nmeros naturales conlleva un proceso de reparto en el que habr un total D a repartir (dividendo), un conjunto d de elementos a quienes se reparte (divisor), la cantidad c que adquiere cada uno de estos elementos (cociente) y un sobrante r (resto). De este modo se debe cumplir el llamado teorema de divisibilidad euclides, vulgarmente llamado prueba de la divisin,

D = dc + r

donde el resto es siempre menor que el divisor. 3.3. Ordenacin en el conjunto de los nmeros naturales.

Dados dos nmeros naturales a, b 5 N, se dice por definicin que a es menor o igual que b y se escribe a b si existe algn natural c 5 N tal que

a + c = b

Ejemplo: 3 5 porque 3 + 2 = 5.


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4. LOS NMEROS ENTEROS. 4.1. Definicin del conjunto de los nmeros enteros. Consideramos el conjunto de los nmeros naturales N (que llamaremos enteros positivos) al que unimos el nmero 0 y los nmeros naturales con signo menos (llamados negativos). El conjunto unin de todos esos nmeros es el conjunto de nmeros enteros.

Z = { . . . , 2 , 1, 0, + 1, + 2, . . . } Este nuevo conjunto se denota mediante la letra Z y se observa que es un conjunto infinito, como los nmeros naturales, pero a diferencia del anterior no tiene elemento primero o mnimo. 4.2. Operaciones en los nmeros enteros. Propiedades de clculo.

Las principales operaciones internas en el conjunto de los enteros son la suma, la resta y la multiplicacin. Para poder definir de un modo ms cmodo las principales operaciones en los nmeros enteros, damos previamente la definicin de valor absoluto de un nmero entero.

Llamamos valor absoluto de un nmero entero a, y lo denotamos mediante |a|, al nmero natural que resulta de suprimir el signo a dicho nmero entero.

Ejemplos: | 2| = 2, |+4| = 4

Extendiendo ahora el concepto de suma de naturales a los nmeros enteros, podemos dar reglas prcticas para la suma/resta de nmeros enteros del siguiente modo:

Para sumar dos nmeros enteros del mismo signo, se suman los valores absolutos de los

nmeros y se aade el signo del ms grande en valor absoluto. Ejemplo: + 2 + 5 = + (2 + 5) = + 7 Ejemplo: 2 7 = (2 + 7) = 9

Para sumar dos nmeros enteros de distinto signo, se restan los valores absolutos de los

nmeros y se aade el signo de aquel de mayor valor absoluto. Ejemplo: + 2 5 = (5 2) = 3 Ejemplo: 2 + 7 = + (7 2) = + 5

Bajo estas premisas, podemos observar que la suma de enteros tiene, entre otras, las siguientes propiedades:

o Asociativa. ( ) ( ) cbacbaZcba ++=++ ,,, o Elemento neutro. aaaZa =+=+ 00,


9

o Elemento simtrico. 0,, = aaZaZa o Conmutativa. abbaNba +=+ ,, .

De igual modo, para el producto podemos dar reglas prcticas del siguiente modo:

Para multiplicar dos nmeros enteros del mismo signo, se multiplican los valores

absolutos de los nmeros y se aade el signo mas. Ejemplo: (+ 2)(+ 5) = + (25) = + 10 Ejemplo: ( 2)( 7) = + (27) = + 14

Para multiplicar dos nmeros enteros de distinto signo, se multiplican los valores

absolutos de los nmeros y se aade el signo menos. Ejemplo: (+ 2)( 5) = (25) = 10 Ejemplo: ( 2)(+ 7) = (27) = 14

As, entre otras, el producto cumple con las siguientes propiedades:

o Asociativa. ( ) ( ) cbacbaZcba = ,,, o Elemento neutro. aaaZa == 11, o Conmutativa. abbaNba +=+ ,, . o Distributiva respecto de la suma. ( ) cabacbaZcba +=+ ,,,

Con estas operaciones Z adquiere estructura de anillo conmutativo con elemento unidad (que es el 1). Observar que ahora todo nmero entero tiene su opuesto mientras que, algunos, siguen sin tener su inverso.

Por ltimo, la potenciacin extiende su definicin y propiedades definiendo la potencia de exponente negativo, del siguiente modo:

n

nn

aaa 11 =

=

Ejemplo: Calcular 2 3

Z=

=81

212

33

4.3. Concepto de mltiplo y divisor. Procedimientos de clculo: M.c.d. y m.c.m. de varios

nmeros. A partir de la multiplicacin y divisin exacta (la que tiene resto cero) aparecen definiciones muy utilizadas en las matemticas:

o Dados dos enteros a y b, se dice que a es mltiplo de b si existe un entero c tal que

a = bc


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Ejemplo: Mltiplos del nmero 6 son 6, 12, 24, 36, . . . o Dados dos enteros a y b, se dice que b es divisor de a si existe un entero c tal que

a = bc

Por lo tanto, la divisin de a entre b debe ser exacta (resto 0) Ejemplo: Divisores del nmero 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12.

o Un nmero se dir primo cuando slo es divisible entre el mismo y 1. Si un nmero no es

primo es compuesto. Ejemplo: Nmeros primos son 13, 17, 23, 37, . . . mientras que nmeros compuestos son 25, 36, 72, 121, . . .

En estas condiciones se puede definir el mximo comn divisor y mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros:

o Dados dos enteros a y b, se dice llama Mximo comn divisor de a y b, y se denota por,

M.c.d.(a,b) al mayor entero que divide a la vez ambos nmeros.

Ejemplo: Calcular el M.c.d.(12, 18, 9). Puesto que los divisores de cada nmero son:

12 : 1, 2, 3, 4, 6 y 12; 18: 1, 2, 3, 6, 9 y 18; 9 = 1, 3 y 9 El mayor nmero entero que divide a todos es 3. Existe una regla muy til que permite calcular el M.c.d. de varios nmeros, previa descomposicin en nmeros primos de todos ellos, en la que se tomar el producto de los factores primos comunes con el mayor exponente con el que hayan aparecido en alguna de las descomposiciones. Ejemplo: Calcular el m.c.d.(12, 18, 9)

Por lo tanto, 12 = 223, 18 = 232, 9 = 32 por lo que m.c.d.(12, 18, 9) = 3.


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o Dados dos enteros a y b, se dice llama mnimo comn mltiplo de a y b, y se denota por, m.c.m.(a,b) al menor entero que es mltiplo a la vez ambos nmeros.

Ejemplo: Calcular el m.c.m.(12, 18, 9). Puesto que los primeros mltiplos de cada nmero son: Mltiplos del 12 : 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, . . . Mltiplos del 18: 18, 36, 54, 72, 90, . . . Mltiplos del 9 = 1, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 . . . El menor nmero entero que es mltiplo de todos ellos es 36. Existe una regla muy til que permite calcular el m.c.m. de varios nmeros, previa descomposicin en nmeros primos de todos ellos, en la que se tomar el producto de todos los factores primos con el menor exponente con el que hayan aparecido en alguna de las descomposiciones.

Ejemplo: Calcular el m.c.m.(12, 18, 9)

Utilizando las descomposiciones antes calculadas, m.c.m.(12, 18, 9) = 2232 = 49 = 36.

4.4. Ordenacin de los nmeros enteros. Dados dos nmeros enteros a, b 5 Z, se dice por definicin que a es menor o igual que b, y se escribe a b, si b a 5 N

Ejemplo: 1 4 < 2 porque 2 ( 4) = 2 5 N. 5. LOS NMEROS RACIONALES O FRACCIONARIOS. 5.1. Definicin del conjunto de los nmeros racionales. Consideramos el conjunto de los nmeros enteros Z y el conjunto de los nmero reales menos el cero Z*. Sea el producto cartesiano:

= 0,,* bZba

baZxZ

A este conjunto se le denomina conjunto de fracciones y cada uno de sus elementos es una fraccin.


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En dicho conjunto, diremos que dos fracciones ba y

dc son equivalentes si el producto de medios es

igual que el producto de extremos, es decir:

cbdadc

ba ==

De este modo, llamaremos nmero racional ba al conjunto formado por la fraccin

ba y todas sus

equivalentes. El conjunto formado por los nmeros racionales se es por definicin el conjunto de los nmeros racionales y se denota mediante Q.

Ejemplo: La clase 32 es la formada por

32 y todas sus equivales.

Observar igualmente que cada elemento del conjunto Q as definido tiene un representante cannico

exclusivo de la forma ba con m.c.d.(a,b) = 1, Esta es la llamada fraccin irreducible de cada nmero

racional.

Ejemplo: La fraccin 64 tiene como irreducible

32 .

Del mismo modo, podemos decir que simplificar (amplificar) una fraccin ba consiste en encontrar

una fraccin equivalente dc dividiendo (multiplicando) numerador y denominador por el mismo

nmero entero. Todas estas fracciones son puntos de la misma recta y por lo tanto, del mismo nmero racional.

De entre las definiciones ms comunes en las fracciones podemos destacar:

Fraccin propia: Si el valor absoluto del numerador es menor que el valor absoluto del

denominador. Ejemplos: ...,75,

2315,

32

Fraccin impropia: Si el valor absoluto del numerador es mayor o igual que el valor absoluto del denominador. Ejemplos: ...,

2332,

25,

53

En este caso siempre existir una descomposicin de la fraccin impropia como un nmero entero ms una fraccin propia:

dcn

bacondcyndZndcimpropia

ba +=


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Fraccin positiva: Dada la fraccin ba , diremos que es positiva si ab > 0. Si una fraccin es

positiva, su nmero racional tambin es positivo ya que todas las fracciones que son

equivalentes han de tener el mismo signo. Ejemplos: ...,1232,

211,

1366

+++

Fraccin negativa: Dada la fraccin ba , diremos que es negativa si ab < 0. Si una fraccin es

negativa, su nmero racional tambin es negativo ya que todas las fracciones que son

equivalentes han de tener el mismo signo. Ejemplos: ...,72,

89,

7445

+

+

Fraccin nula o cero: Dada la fraccin ba , diremos que es nula si a = 0. Si una fraccin es

nula, su nmero racional tambin es nulo. Ejemplos: ...,3

0,8

0,4

0+

5.2. Operaciones en los nmeros racionales. Propiedades de clculo. Para dotar al conjunto Q que acabamos de definir de un carcter numrico debemos dotarlo de una serie de propiedades algebraicas. Esto ser muy fcil ya que bastar seguir las reglas que sabemos de la aritmtica con fracciones.

Dados dos nmeros racionales Qdc

ba , podemos definir, a partir de las operaciones suma y

producto en los enteros, la suma de los nmeros racionales como:

bdcbda

dc

ba +=+

Ejemplo: 1513

15310

51

32 =+=+

De igual modo para el producto se tendr que:

dbca

dc

ba

=

Ejemplo: 27

74249

72

449 =

=

Estas definiciones no dependen de los representantes utilizados para cada clase de equivalencia.

Con estas operaciones Q adquiere cuerpo conmutativo ya que cumple respecto de cada operacin las siguientes propiedades:


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Suma. o Asociativa.

fe

dc

ba

fe

dc

baQ

fe

dc

ba +

+=

++ ,,,

o Elemento neutro. { }*/),0(000, Znnba

ba

baQ

ba ==+=+

o Elemento simtrico. 0,, =

+ba

baQ

baQ

ba

o Conmutativa. ba

dc

dc

baQ

dc

ba +=+ ,, .

Producto.

o Asociativa. fe

dc

ba

fe

dc

baQ

fe

dc

ba

=

,,,

o Elemento neutro. { }*/),(111, Znnnba

ba

baQ

ba ===

o Elemento simtrico. 1,, =

ab

baQ

abQ

ba

o Conmutativa. ba

dc

dc

baQ

dc

ba = ,, .

o Distributiva respecto de la suma.fe

ba

dc

ba

fe

dc

baQ

fe

dc

ba +=

+ ,,,

En cuanto a la potencia, se extiende la definicin a de potencias de exponente fraccionario, dando la equivalencia entre potencia y raiz del siguiente modo:

q pqp aa =/

Por lo tanto, la radicacin, no es ms que una potencia de exponente fraccionario.

Ejemplo: Calcular (4/9)1/2

32

94

94 12/1 =

=

Observaciones. 1. La resta de fracciones se define de igual modo que la suma mediante la propiedad del elemento

opuesto para la suma: ( )

bdcbda

bdcbda

dc

ba

dc

ba =+=

+=

Ejemplo:2413

242815

67

85

67

85 +=+=+=


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2. La divisin se define a partir de la definicin de multiplicacin y la propiedad del elemento inverso.

cbda

cd

ba

dc

ba

dc

ba

==

=

1:

Ejemplo: 7512

32512

2750249

2427:

509 +=+=

+=

5.3. Ordenacin de los nmeros racionales.


ba , , se dice por definicin que

ba es menor o igual que

dc y se

escribe dc

ba si

0ba

dc

Ejemplo: 21

31 porque 0

61

62

63

31

21 >==

5.4. Representacin de los nmeros racionales en la recta. Para representar el punto en el que el nmero racional a/b debe considerarse en la recta de los enteros. Debemos dividir cada unidad en las partes que indique el denominador b y contar, desde el punto 0 de los enteros, tantas partes iguales como indique el numerador a. Si este es positivo, contaremos a la derecha y si es negativo, contaremos hacia la izquierda. Ejemplo: Representacin grfica de la fraccin 6/5.

Para ello se observa que cada unidad se ha dividido en cinco partes iguales y se ha procedido a contar a partir del 0 hacia la derecha seis partes iguales. 6. LOS NMEROS DECIMALES. 6.1. Definicin de expresiones decimales. Posiciones decimales. Tipos de decimales. El conjunto de expresiones decimales de la forma

n,a1 a2 a3 . . .


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con n 0 es un natural cualquiera y ai nmeros naturales tales que 0 ai 9 para todo i natural donde eliminamos los casos en que ai = 9 para todo n a partir de uno dado, proporciona el conjunto de nmero decimales. Este conjunto es equivalente al conjunto de nmeros reales R. Estas expresiones se interpretan como

(n + a110-1+ a210-2 + a310-3+ . . . ) donde llamaremos a n la parte entera y a la expresin restante parte decimal.

Ejemplo: El nmero 234674 tiene parte entera 23 y parte decimal 04674. Todo nmero racional tiene un desarrollo decimal asociado nico que se puede calcular dividiendo su numerador entre su denominador. Esto constituye una inmersin del conjunto de los racionales en los decimales que conserva las operaciones de suma y producto a la vez que la ordenacin de los nmeros.

Ejemplo: Pasar a nmero decimal los siguientes nmeros racionales: 92,

34,

52

Solucin: Dividiendo, en cada caso, numerador entre denominador encontramos que

21092,31

34,40

52 === .

Los nmeros decimales se clasifican, por su desarrollo decimal, en tres grupos segn su formacin. Los dos primeros son desarrollos que aparecen a partir de los nmeros racionales mientras que el ltimo grupo constituye un nuevo tipo de nmero no tratado hasta ahora: los nmeros irracionales.

Decimales exactos: Si (n + a110-1+ a210-2 + a310-3+ . . . ) tiene nicamente un nmero finito de cifras ai no nulas. Se puede probar que estas expresiones son equivalentes a un nmero racional.

Por ejemplo, la expresin n = 4327 se puede multiplicar por 100 obteniendo:

100n = 4327

De donde se obtiene que: 1004327=n

Decimales peridicos: De igual modo si la sucesin de cifras a1a2a3 . . . tiene una estructura

peridica a partir de alguna de ellas, entonces el nmero se denomina peridico y al conjunto finito de cifras que se repiten indefinidamente se denomina periodo. Existen dos tipos de peridicos, los puros (el periodo aparece a partir de la coma) y los mixtos (el periodo no aparece a partir de la coma). En este segundo subgrupo llamamos anteperiodo al conjunto de cifras entre la coma y el periodo. Se puede demostrar que tambin todo nmero decimal peridico es racional.


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o Como ejemplo la expresin decimal peridica pura n = 2,315315315. . . se puede multiplicar por 1000 obteniendo:

1000n = 2315315315 . . . Restando las expresiones anteriores:

De lo que se deduce que 111257

9992313....3153152 ==

Otro ejemplo puede ser la expresin decimal peridica mixta n = 0,127272727. . . se puede multiplicar por 10 obteniendo:

10n = 127272727 . . . Nuevamente multiplicando por 100:

1000n = 127272727 . . . Restando las expresiones anteriores:

De lo que se deduce que 557

990126....1272727270 ==

Decimales no exactos ni peridicos (nmeros irracionales): La negacin de los anteriores

casos nos lleva por ltimo, a que la sucesin de cifras a1a2a3 . . sea de carcter infinito pero sin contener ninguna estructura peridica. Se puede demostrar que esta clase de expresiones decimales no corresponden a ningn nmero racional por lo que son expresiones irracionales que dan lugar a los llamados nmero irracionales.

Un ejemplo de este caso, podra ser el nmero 1,101001000100001 . . . cuya expresin no es finita y no tiene periodo. Nmeros muy populares que tienen desarrollo decimal irracional son = 31415 . . . , e = 27071 . . . 2 = 14142 . . .

6.2. Operaciones en los nmeros decimales. Propiedades de clculo. Es evidente que, salvo en situaciones muy particulares, slo podremos efectuar operaciones sobre nmeros decimales de carcter exacto o peridico. La caracterizacin de este tipo de desarrollos decimales como nmeros racionales permite poder efectuar cualquier clculo mediante los nmeros racionales correspondientes.


18

De cualquier modo, podemos realizar operaciones con nmeros decimales exactos mediante los propios desarrollos decimales del siguiente modo. Dados los desarrollos

(n + a110-1+ a210-2 + a310-3+ . . . + ap10-p) (m + b110-1+ b210-2 + b310-3+ . . . + aq10-q )

con n, m, p, q 0 naturales (sin perdida de generalidad) y ai bi nmeros naturales tales que 0 ai 9, tendremos que la suma de estos dos nmeros vendr dada por:

(n+m) + (a1 + b1)10-1+ (a2 + b2)10-2 + (a3 + b3)10-3 + . . . Por lo tanto, para sumar (restar) nmeros decimales hay que sumar (restar) las cifras de la misma posicin y realizar las equivalencias respectivas (proceso de llevarse). La resta se puede definir a partir del elemento opuesto para la suma.

Ejemplo 1: Calcular 12234 + 2443. Ejemplo 2: Calcula 12234 496.

Del mismo modo, el producto vendr dado por:

(nm) + (a1m + b1n)10-1+ . . . La divisin se puede definir a partir del elemento inverso para el producto.

Ejemplo 3: Calcula 12234 x 203 Ejemplo 4: Calcula 47125 : 23

Con estas operaciones R adquiere estructura de cuerpo conmutativo. La diferencia entre Q y R se deriva en que R es un conjunto denso y por lo tanto es representable como una recta mientras que Q no es denso y su representacin como una recta es incompleta y aunque le faltan los nmeros irracionales. 6.3. Algoritmo para el clculo de races exactas. El algoritmo de clculo de races est basado en mtodos de aproximacin de races de ciertas funciones. Explicamos el algoritmo mediante el desarrollo del mismo en el clculo de la raz cuadrada de 14161:


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Se toman grupos de dos en dos a partir de la coma tanto a derecha como a izquierda de la misma. Se construye el casillero a la derecha donde ir indicada la solucin al finalizar el algoritmo.

Se busca el nmero que al cuadrado quede ms prximo por defecto al ltimo grupo de dos cifras situado totalmente a la izquierda (1). Se coloca en el casillero solucin y se calcula la resta entre el valor aproximado y el real (1 1).

Se baja el siguiente grupo de dos cifras (41). Se multiplica por dos al resultado que aparece en la casilla superior derecha y se busca aquella cifra natural entre 0 y 9 tal que la multiplicacin del casillero (2 __ x ___) qued ms prxima por defecto al nmero creado en la parte de la izquierda (41).

Se coloca dicha cifra encontrada en la casilla del resultado (1), se efecta la multiplicacin y se calcula la resta entre el valor aproximado y el real (41 21 = 20).

Se baja el siguiente grupo de dos cifras (61). Al pasar la coma, se coloca la coma en el casillero solucin. Se multiplica por dos al resultado que aparece en la casilla de solucin (11) y se busca aquella cifra natural entre 0 y 9 tal que la multiplicacin del casillero (22__ x ___) qued ms prxima por defecto al nmero creado en la parte de la izquierda (2061).

Se coloca dicha cifra encontrada en la casilla del resultado (9), se efecta la multiplicacin y se calcula la resta entre el valor aproximado y el real (2061 2061 = 0). El resultado es el indicado en el casillero solucin 119. En el caso de no dar resto cero se bajan el siguiente grupo de cifras que en este caso seran 00.


20

7. EL SISTEMA DE NUMERACIN ARBIGO. SISTEMAS DE NUMERACIN. El sistema de numeracin arbigo que utilizamos actualmente para representar nuestros nmeros es posicional y basado en 10 smbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. En cuanto a que el sistema de numeracin es decimal o de base 10 es consecuencia de la utilizacin de diez smbolos para escribir cualquier nmero. No hay ninguna razn intrnseca por la que deban usarse potencias de 10 en lugar de potencias de otros nmeros. La razn ms extendida es la simple estructura de nuestras manos en diez dedos. Sin embargo hubo otras culturas que utilizaron sistemas de numeracin diferentes como por ejemplo los babilonios que usaron la numeracin sexagesimal de la que todava respetamos en la medida del tiempo o los ngulos.

Posicional, significa que cada smbolo que utilizamos significa diferente en funcin de la posicin en la que este. Por ejemplo, en nuestro sistema de numeracin, los nmeros 247 y 724 son diferentes an cuando se escriben con las mismas cifras. Esto es debido a que cada nmero es un polinomio de la potencia 10 con coeficientes dados por nmeros desde el 0 hasta el 9. As

247 = 2102 + 4101 + 7100 724 = 7102 + 2101 + 4100

De este modo, cada posicin de una cifra que describe un nmero entero recibe un nombre. De entre las ms destacadas tenemos:

Al coeficiente de la potencia de diez con grado 0 se le denomina unidades. Al coeficiente de la potencia de diez con grado 0 se le denomina decenas. Al coeficiente de la potencia de diez con grado 0 se le denomina centenas. Al coeficiente de la potencia de diez con grado 0 se le denomina unidades de millar.

Observar como en el sistema de numeracin decimal, y segn su expresin como polinomios de potencias de base 10 se tendr que:

1 unidad de millar = 10 cntenas 1 cntena = 10 decenas 1 decena = 10 unidades.

Para ilustrar el sistema de numeracin decimal es bueno construir la siguiente tabla en la que se muestran las unidades, decenas, centenas, . . . de algunos nmeros naturales:

Centenas de millar

Unidades de millar

Centenas decenas unidades Natural

4 5 2 0 1 45.201 3 7 0 370 2 5 9 5 2.595 9 0 0 0 0 90.000


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Como dijimos anteriormente, toda expresin decimal consta de una parte entera y una parte decimal. Teniendo en cuenta que la parte decimal de un desarrollo en base 10 se puede tambin reescribir como un polinomio en potencias de base 10 y exponente negativo, podemos definir nuevas posiciones como son las siguientes:

Al coeficiente de la potencia de diez con grado 1 se le denomina dcimas. Al coeficiente de la potencia de diez con grado 2 se le denomina centsimas. Al coeficiente de la potencia de diez con grado 3 se le denomina milsimas. Al coeficiente de la potencia de diez con grado 4 se le denomina diez milsimas.

Y por tanto,

1 unidad = 10 dcimas 1 dcima = 10 centsimas

1 centsima = 10 milsimas 1 milsima = 10 diezmilsimas

Para ilustrar el sistema de numeracin decimal es bueno construir la siguiente tabla en la que se muestran las posiciones numricas de los smbolos que integran algunos nmeros decimales

Centenas Decenas Unidades Dcimas Centsimas Milsimas Natural 4 6 2 4 1 7 462417 3 7 0 370 = 37 2 0 0 1 2001 9 0 0 0 0 5 900005

Existen otros sistemas de numeracin diferentes al que usualmente utilizamos. En la tecnologa de ordenadores informticos se utilizan tambin sistemas de numeracin con base 2 (binario) que suele utilizar los smbolos 0 y 1 mientras que otra de las bases ms interesantes tecnolgicamente hablando es la 16 (hexadecimal) que utiliza los smbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , A, B, C, D, E.

Para ejemplificar, supongamos que los dos smbolos para un sistema binario sean 0 y 1. En ese caso los primeros nmeros del sistema de numeracin binario con esos smbolos sern:

02, 12, 102, 112, 1002, 1012, 1102, 1112, . . .

que correspondern sucesivamente a los nmeros 110, 210, 310, 410, 510, 610, 710, . . . del sistema numrico decimal.

As, si queremos conocer qu nmero decimal corresponde al binario 10012, no tendremos ms que utilizar el polinomio en potencias de base 2 del que procede:

123 + 022 +021 +120 = 8 + 1 = 9


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Otros ejemplos son:

210 = 121 210 = 102. 310 = 121 + 1 310 = 112. 810 = 123 810 = 10002.

1010 = 123 + 121 1010 = 10102. Por otra parte, si queremos sabes que nmero binario corresponde al nmero 43110 deberemos dividir reiteradamente entre 2 al nmero y sus sucesivos cocientes y tomar nota del ltimo cociente y sucesivos restos en el orden marcado inverso a como los hemos obtenido. Dicha lectura nos proporcionar el nmero binario equivalente, segn se muestra en el ejemplo:

Los astrnomos babilonios usaban un sistema con base 60 (sexagesimal). Un resto de esta prctica es la unidad grado que utilizamos para medir ngulos, dividiendo el crculo en 360 partes. Otra reminiscencia de dicha base es la divisin de la hora en 60 minutos y el minuto en 60 segundos.

8. RELACIN ENTRE LOS NMEROS. Los cuatro tipos de nmeros descritos anteriormente se relacionan mediante inclusiones de unos en otros segn muestra el siguiente esquema:

++

...1010010,,,2

)(

,5/6,4/31/

1,2,3,4...,

,...4,3,2,1,0)(

,...2,1,0,1,2...,)(

,...3/4,2/8)(

...123450,312,71,730

)(

e

IesIrracionalNmeros

nareduciblesnoiosfraccionar

Nmeros

negativosenterosNmeros

NnaturalesNmeros

ZenterosNmeros

QracionalesNmeros

RrealesodecimalesNmeros


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9. PROCEDIMIENTOS DE CLCULO. CLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIN Y CALCULADORA.

9.1. Clculo escrito. Todas las propiedades citadas anteriormente sobre cada uno de los conjuntos crean la llamada jerarqua de operaciones en R que sirve para conocer el lugar por el que hay que empezar cualquier clculo numrico y el orden ha seguir. Si el clculo es escrito, una ayuda importante suele ser la inclusin de parntesis y corchetes con el fin de dar las siguientes reglas:

1. En cualquier clculo se efectuarn siempre los parntesis y corchetes lo primero y dentro de estos nuevamente se buscarn estos elementos.

2. En ausencia de parntesis, corchetes se efectuarn los productos, potencias y divisiones. 3. En ausencia de parntesis, corchetes, productos, potencias y divisiones, se efectan las sumas

y las restas.

Ejemplo 1: ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] [ ] [ ] 605551155154:552:304551416:3045947216:304534 2

==+=+=++=

=+=++

Ejemplo 2:

6323

6319

6342

6319

32

18938

23

32

18918

18956

23

32

212

278

23

32

27:

31

278

23

32

23

24:

31

278

23

32

232:

31

278

23

32

232:

31

32

23

32 3

===

=

=

=

=

=

+=

+=

9.2. Clculo mental. Al mismo tiempo, se pueden ejercitar los clculos mentales ms simples que vayan conformando procesos lgicos mentales conformes a las reglas de clculo, mediante ejercicios encaminados a ello como puedan ser:

Operar mentalmente en sumas, restas y multiplicaciones por compensacin en todo tipo de nmeros.

Ejemplo: Operar mentalmente: 74 28 (= 76 30); 11 x 12 (=10 x 12 + 12).

Buscar mentalmente un nmero a partir de un cierto nmero dado ellos y mediante las operaciones bsicas.

Ejemplo: Calcula mentalmente los cinco primeros nmeros naturales a partir de cuatro y con las operaciones bsicas.


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Clculos concatenados con nmeros naturales o enteros. Ejemplo: Calcula mentalmente 2 4 + 5 4 + 6 =

Bsqueda de dobles, triples, quntuplos, mitades, cuartas partes, etc. de cantidades dadas. Ejemplo: Busca mentalmente el doble, el triple, la mitad y la tercera parte del nmero 6.

Buscar mltiplos y divisores de un nmero dado.

Ejemplo: Calcula mentalmente cinco mltiplos y cinco divisores del nmero 36. Bsqueda de nmeros primos hasta 100.

Ejemplo: Buscar mentalmente los nmeros primos que hay entre los 20 primeros nmeros naturales.

Descomposicin de nmeros compuestos en productos varios y en producto de primos.

Ejemplo: Descomponer mentalmente en producto los nmeros 10, 15, 18. Despus buscar una factorizacin en primos.

Clculo de m.c.d. y m.c.m. de pares de nmeros mltiplos o primos unos con otros.

Ejemplo: Calcular mentalmente el m.c.d. (6,2), m.c.m.(10, 20) Operaciones sencillas de suma y resta con fracciones con el mismo denominador.

Ejemplo: Calcular mentalmente: =

+64

65

61

Clculo de la fraccin de un nmero dado. Ejemplo: Calcular mentalmente los 2/3 de 30 kg.

Redondear nmeros decimales y operar estimando mediante estas aproximaciones.

Ejemplo: Calcular mentalmente aproximando a las dcimas: 276 + 345 = Multiplicar o dividir por la unidad seguida de ceros.

Ejemplo: Calcular mentalmente 123454 : 10000, 652 x 10000.

9.3. Estimaciones en expresiones decimales: Cifras significativas, notacin cientfica y redondeo. Frecuentemente un nmero decimal es lo suficientemente extenso como para que cree serios problemas en los clculos a realizar, bien porque provenga de un nmero irracional, tenga desarrollo decimal peridico o simplemente porque tenga una longitud inadecuada para poder efectuar los clculos con comodidad. En ocasiones ocurre que la exactitud que deseamos para la cuenta no coincide con el nmero total de dgitos que se nos plantean inicialmente. a) Aproximacin por cifras significativas. En determinadas situaciones se opta por estimar o aproximar un nmero decimal dado mediante un nmero k de cifras significativas determinado. Este proceso consiste en mantener las primeras k cifras


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del nmero a partir de la primera distinta de cero (empezando por la izquierda) y sustituir las siguientes por cero.

Ejemplo 1: La estimacin a 3 cifras significativas del nmero 009054 es a = 000905. Ejemplo 2: La estimacin por cifras significativas a las dcimas del nmero 654 es a = 65.

Los dgitos no transformados se denominan dgitos significativos, y en particular al primero de los nmeros sin transformar se denomina dgito ms significativo.

Por ejemplo, supongamos el nmero 00020803. Dos nmeros aproximados podran ser 0,002080 y 0,00208 con 2 el nmero ms significativo. En el primero tenemos cuatro dgitos significativos (2080), mientras que en el segundo tenemos slo tres (208). Obsrvese sin embargo que ambos son el mismo nmero. Pero el primero de ellos ofrece una prediccin ms extensa que el segundo, pues proporciona una sexta cifra que no es dada por el otro. b) Aproximacin mediante notacin cientfica.

Este proceso se utiliza usualmente cuando el nmero a utilizar para los clculos es demasiado grande o demasiado pequeo (entendemos por pequeo cercano a 0). Por lo tanto, otra forma de expresar los dgitos significativos de un nmero aproximado es escribirlo en notacin cientfica, es decir, del modo siguiente:

(a0 + a-110-1 + . . . + a-p10-p) 10m,

La serie de cifras delante de la potencia de 10 se denomina mantisa del nmero y la potencia de 10 se denomina exponente del nmero. La mantisa siempre llevar como parte entera un nmero entre 1 y 9. En operaciones de multiplicacin y divisin con nmeros extensos, este mtodo se vuelve muy til.

Ejemplo 1: Cuando nos dicen que la distancia de la Tierra al Sol es a=1495109 km., nos estn dando un nmero aproximado:

(1 + 410-1 + 910-2 + 510-3) 109, Obviamente, tal nmero posee cuatro dgitos significativos.

c) Proceso de redondeo

Un redondeo de un nmero decimal hasta cierta posicin (decenas, unidades, dcimas, . . . ) es una aproximacin a la expresin decimal finita ms cercana que slo contenga cifras hasta dicha posicin. Para ello, se conservarn todas las cifras del nmero hasta dicha posicin pero, en esta ltima haremos lo siguiente:

Aadiremos 1 a la cifra de ltima posicin si su siguiente es mayor o igual que 5. Dejaremos la misma cifra en la ltima posicin si la siguiente es menor que 5.


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Ejemplo 1: Consideremos = 3,141592. y calculemos redondeos a las diezmilsimas, milsimas y centsimas.

a=3,1416 (diezmilsimas) a=3,142 (milsimas) a=3,14 (centsimas) Ejemplo 2: Consideremos redondeos a las dcimas de los nmeros siguientes:

6,527 6,5, 0,456 0,5, 2,195 2,2, 1,450 1,5,

0,9501,0, 4,8514,9, 0,8500,9, 0,050,1. d) Estimacin de races. Por lo tanto, si se trata de estimar el valor de la raz n sima de a, es decir n a , hasta cierta posicin (unidades, dcimas, centsimas, . . . ), calcularemos aquellos dos valores decimales p y q consecutivos en tal posicin tales que

nn qap

El valor p nos proporcionar un valor por defecto de la raz n sima mientras que el valor q ser un valor por exceso. Ejemplo 1: Para estimar a las unidades 53 , observamos que

64853749 22 ==

Por lo que una estimacin por defecto a las unidades de la raz pedida es 7 y por exceso es 8.

Ejemplo 2: Para estimar o aproximar a las centsimas el valor de 41 , primeramente estimamos la parte entera de la raz. Observamos que el intervalo [6, 7] cumple que

49741636 22 == Por lo tanto, 6 ser una cota por defecto para la parte entera y 7 lo ser por exceso.

Para aproximar a las dcimas, calculamos las potencias siguientes a las dcimas entre los nmero 6 y 7, es decir, el cuadrado de 61, 62, 63, . . . , 69. En este caso tendremos que:

64 2 = 4096 652 = 4225

Por lo tanto, el intervalo en dcimas al que pertenece nuestra raz es [64, 65] por lo que los extremos sern cotas por defecto y exceso respectivamente.


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Para aproximar a las centsimas, calculamos las potencias siguientes:

642 = 4096 6412 = 410881

Por lo tanto, el intervalo en dcimas al que pertenece nuestra raz es [64, 641] por lo que los extremos sern cotas por defecto y exceso respectivamente.

9.4. Calculadora. La calculadora es una herramienta de trabajo extraordinariamente til para llegar con mayor rapidez a determinados resultados. Sin embargo, esta herramienta no debe sustituir al clculo escrito y mental que el alumno debe ejercitar.

La utilidad principal de la calculadora es el conocimiento de sus principales teclas (adecuados a los conocimientos que se estn abordando) a partir de ejercicios sencillos a la vez que puede utilizarse en procesos de bsqueda, ensayo-error, comprobacin de un clculo mental antes efectuado, etc. Pero nunca para operar con magnitudes y tamaos que se puedan hacer mentalmente con facilidad.

Los elementos a utilizar en una calculadora en estos niveles son: Las teclas de operacin suma, resta, multiplicacin, divisin, exponente, raz y memoria. Es importante hacer hincapi en que la jerarqua de operaciones la debemos introducir nosotros en la calculadora

Ejercicios adecuados podran ser: Ejemplo: Cul es el mayor nmero que puedes conseguir en pantalla pulsando dos veces cada una de estas teclas? A) 2 + =, b) 2 x =, c) 2 / x =. Ejemplo: Calcula mentalmente y despus comprueba tus clculos con la calculadora: 4 2 5 6 + 85 = Ejemplo: Busca con la calculadora el dgito que hay que poner en cada espacio para que se verifique la igualdad 4 __ 5 + 85__ = 1__13 Ejemplo: Si en tu calculadora no funcionase la tecla cero, como conseguiras que apareciesen los siguientes nmeros: 180, 108, 1080, 104050. Ejemplo: En la pantalla de la calculadora aparece el nmero 56329, cmo conseguiras variar el 3 en un 0?, y el 6 en un 8?.

10. INTERVENCIN EDUCATIVA. 10.1. Tratamiento en el currculo Los diferentes contenidos que se han desarrollado en esta unidad son objeto de aprendizaje en los tres


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ciclos de la Educacin Primaria. Este hecho se recoge en el anlisis de los distintos elementos del currculo del REAL DECRETO 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseanzas mnimas de la Educacin Primaria. Objetivos La enseanza de las Matemticas en esta etapa tendr como objetivo el desarrollo de las siguientes capacidades: 1. Utilizar el conocimiento matemtico para comprender, valorar y producir informaciones y

mensajes sobre hechos y situaciones de la vida cotidiana y reconocer su carcter instrumental para otros campos de conocimiento.

2. Reconocer situaciones de su medio habitual para cuya comprensin o tratamiento se requieran operaciones elementales de clculo, formularlas mediante formas sencillas de expresin matemtica o resolverlas utilizando los algoritmos correspondientes, valorar el sentido de los resultados y explicar oralmente y por escrito los procesos seguidos.

3. Apreciar el papel de las matemticas en la vida cotidiana, disfrutar con su uso y reconocer el valor de actitudes como la exploracin de distintas alternativas, la conveniencia de la precisin o la perseverancia en la bsqueda de soluciones.

4. Conocer, valorar y adquirir seguridad en las propias habilidades matemticas para afrontar situaciones diversas, que permitan disfrutar de los aspectos creativos, estticos o utilitarios y confiar en sus posibilidades de uso.

5. Elaborar y utilizar instrumentos y estrategias personales de clculo mental y medida, as como procedimientos de orientacin espacial, en contextos de resolucin de problemas, decidiendo, en cada caso, las ventajas de su uso y valorando la coherencia de los resultados.

6. Utilizar de forma adecuada los medios tecnolgicos tanto en el clculo como en la bsqueda, tratamiento y representacin de informaciones diversas.

7. Identificar formas geomtricas del entorno natural y cultural, utilizando el conocimiento de sus elementos y propiedades para describir la realidad y desarrollar nuevas posibilidades de accin.

8. Utilizar tcnicas elementales de recogida de datos para obtener informacin sobre fenmenos y situaciones de su entorno; representarla de forma grfica y numrica y formarse un juicio sobre la misma.

Contenidos Los contenidos que se desarrollan en esta unidad se relacionan fundamentalmente con el bloque de contenido 1. Nmeros y operaciones. La seleccin de contenidos de los tres ciclos es:


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Primer ciclo Segundo ciclo Tercer ciclo

Bloque 1. Nmeros y operaciones

Nmeros naturales - Recuento, medida,

ordenacin y expresin de cantidades en situaciones de la vida cotidiana.

- Lectura y escritura de nmeros. Grafa, nombre y valor de posicin de nmeros hasta tres cifras.

- Utilizacin de los nmeros ordinales.

- Orden y relaciones entre nmeros. Comparacin de nmeros en contextos familiares.

Operaciones - Utilizacin en situaciones

familiares de la suma para juntar o aadir; de la resta para separar o quitar; y de la multiplicacin para calcular nmero de veces.

- Expresin oral de las operaciones y el clculo.

- Disposicin para utilizar los nmeros, sus relaciones y operaciones para obtener y expresar informacin, para la interpretacin de mensajes y para resolver problemas en situaciones reales.

Estrategias de clculo - Clculo de sumas y restas

utilizando algoritmos estndar.

- Construccin de las tablas de multiplicar del 2, 5 y 10 apoyndose en nmero de veces, suma repetida,

Nmeros naturales y fracciones - Sistema de numeracin

decimal. Valor de posicin de las cifras. Su uso en situaciones reales.

- Orden y relacin entre los nmeros. Notacin.

- Nmeros fraccionarios para expresar particiones y relaciones en contextos reales, utilizacin del vocabulario apropiado.

- Comparacin entre fracciones sencillas: mediante ordenacin y representacin grfica.

Operaciones - Utilizacin en situaciones

familiares de la multiplicacin como suma abreviada, en disposiciones rectangulares y problemas combinatorios.

- Utilizacin en contextos reales de la divisin para repartir y para agrupar.

- Inters para la utilizacin de los nmeros y el clculo numrico para resolver problemas en situaciones reales, explicando oralmente y por escrito los procesos de resolucin y los resultados obtenidos.

Estrategias de clculo - Descomposicin aditiva y

multiplicativa de los nmeros. Construccin y memorizacin de las tablas de multiplicar.

Nmeros enteros, decimales y fracciones - Uso en situaciones reales del

nombre y grafa de los nmeros de ms de seis cifras.

- Mltiplos y divisores. - Nmeros positivos y

negativos. Utilizacin en contextos reales.

- Nmeros fraccionarios. Obtencin de fracciones equivalentes.

- Nmeros decimales. Valor de posicin y equivalencias. Uso de los nmeros decimales en la vida cotidiana.

- Ordenacin de nmeros enteros, de decimales y de fracciones por comparacin y representacin grfica.

- Expresin de partes utilizando porcentajes. Correspondencia entre fracciones sencillas, decimales y porcentajes.

- Sistemas de numeracin en culturas anteriores e influencias en la actualidad.

Operaciones - Potencia como producto de

factores iguales. Cuadrados y cubos.

- Jerarqua de las operaciones y usos del parntesis.

Estrategias de clculo - Utilizacin de operaciones de

suma, resta, multiplicacin y divisin con distintos tipos de nmeros, en situaciones cotidianas y en contextos de resolucin de problemas.


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disposicin en cuadrculas...

- Desarrollo de estrategias personales de clculo mental para la bsqueda del complemento de un nmero a la decena inmediatamente superior, para el clculo de dobles y mitades de cantidades y para resolver problemas de sumas y restas.

- Clculo aproximado. Estimacin y redondeo del resultado de un clculo hasta la decena ms cercana escogiendo entre varias soluciones y valorando las respuestas razonables.

- Familiarizacin con el uso de la calculadora para la generacin de series y composicin y descomposicin de nmeros.

- Resolucin de problemas que impliquen la realizacin de clculos, explicando oralmente el significado de los datos, la situacin planteada, el proceso seguido y las soluciones obtenidas.

- Confianza en las propias posibilidades, y curiosidad, inters y constancia en la bsqueda de soluciones.

- Gusto por la presentacin ordenada y limpia de los clculos y sus resultados.

- Utilizacin de los algoritmos estndar, en contextos de resolucin de problemas, de suma, resta, multiplicacin y divisin por una cifra.

- Utilizacin de estrategias personales de clculo mental.

- Estimacin del resultado de una operacin entre dos nmeros, valorando si la respuesta es razonable.

- Utilizacin de la calculadora en la resolucin de problemas de la vida cotidiana, decidiendo sobre la conveniencia de usarla en funcin de la complejidad de los clculos.

- Confianza en las propias posibilidades y constancia para utilizar los nmeros, sus relaciones y operaciones para obtener y expresar informaciones, manifestando iniciativa personal en los procesos de resolucin de problemas de la vida cotidiana.

- Inters por la presentacin limpia, ordenada y clara de los clculos y de sus resultados.

- Disposicin para desarrollar aprendizajes autnomos en relacin con los nmeros, sus relaciones y operaciones.

- Utilizacin de la tabla de multiplicar para identificar mltiplos y divisores.

- Calculo de tantos por ciento bsicos en situaciones reales.

- Estimacin del resultado de un clculo y valoracin de respuestas numricas razonables.

- Resolucin de problemas de la vida cotidiana utilizando estrategias personales de clculo mental y relaciones entre los nmeros, explicando oralmente y por escrito el significado de los datos, la situacin planteada, el proceso seguido y las soluciones obtenidas.

- Utilizacin de la calculadora en la resolucin de problemas, decidiendo sobre la conveniencia de usarla en funcin de la complejidad de los clculos.

- Capacidad para formular razonamientos y para argumentar sobre la validez de una solucin identificando, en su caso, los errores.

- Colaboracin activa y responsable en el trabajo en equipo, manifestando iniciativa para resolver problemas que implican la aplicacin de los contenidos estudiados.


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Criterios de evaluacin Son un referente fundamental para el desarrollo de la evaluacin del proceso de enseanza- aprendizaje que permite valorar la consecucin de los objetivos y competencias bsicas definidas en el currculo de las diferentes enseanzas. En los diferentes ciclos son: Primer ciclo 1. Formular problemas sencillos en los que se precise contar, leer y escribir nmeros hasta el 999. Este criterio pretende comprobar la capacidad de aplicar a situaciones inventadas los conocimientos adquiridos sobre el uso de los nmeros. Se evaluar la capacidad para interpretar y emitir informaciones en situaciones familiares empleando nmeros hasta el entorno del millar. Igualmente se pretende valorar el dominio sobre el valor de posicin que tienen los nmeros, en el orden de magnitud indicado, en el sistema decimal de numeracin y la capacidad de asociar escritura cifrada y denominaciones orales. 3. Realizar, en situaciones cotidianas, clculos numricos bsicos con las operaciones de suma, resta y multiplicacin, utilizando procedimientos diversos y estrategias personales. Este criterio trata de comprobar la capacidad de utilizar en los clculos de sumas, restas y multiplicaciones, la estructura del sistema decimal de numeracin, mostrando flexibilidad a la hora de elegir el procedimiento ms conveniente. Debe prestarse especial atencin a la capacidad para desarrollar estrategias propias de clculo mental en contextos habituales. Se valorar tambin la aplicacin intuitiva de las propiedades de las operaciones y la capacidad de explicar oralmente los razonamientos. 8. Resolver problemas sencillos relacionados con objetos, hechos y situaciones de la vida cotidiana, seleccionando las operaciones de suma y resta y utilizando los algoritmos bsicos correspondientes u otros procedimientos de resolucin. Explicar oralmente el proceso seguido para resolver un problema. Con este criterio se pretende evaluar la capacidad de seleccionar y aplicar la operacin adecuada a la situacin problemtica a resolver. Es asimismo importante observar la capacidad de emplear ms de un procedimiento y la madurez que se manifiesta en la expresin oral y escrita del proceso de resolucin. Segundo ciclo 1. Utilizar en contextos cotidianos, la lectura y la escritura de nmeros naturales de hasta seis cifras, interpretando el valor posicional de cada una de ellas y comparando y ordenando nmeros por el valor posicional y en la recta numrica. Este criterio pretende comprobar el manejo, en situaciones reales, de la representacin de cantidades de hasta seis cifras, partiendo del concepto de valor de posicin. Igualmente se trata de verificar, en contextos de la vida cotidiana, la capacidad de interpretar y expresar situaciones con cantidades de la mencionada magnitud, de dominar la organizacin de la serie escrita de las cifras de un nmero y de situarlo en la recta.


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2. Realizar clculos numricos con nmeros naturales, utilizando el conocimiento del sistema de numeracin decimal y las propiedades de las operaciones, en situaciones de resolucin de problemas. Este criterio trata de comprobar la capacidad de utilizar en los clculos la estructura del sistema decimal de numeracin y las propiedades de las operaciones, mostrando flexibilidad a la hora de elegir el procedimiento ms adecuado, si bien debe prestarse especial atencin al dominio de los algoritmos escritos. 3. Utilizar estrategias personales de clculo mental en clculos relativos a la suma, resta, multiplicacin y divisin simples. Se trata de valorar la capacidad para utilizar con cierta agilidad estrategias personales de clculo mental en situaciones de clculo sencillas. Se atender especialmente a la explicacin que hacen sobre las estrategias aplicadas. No se trata tanto de valorar la rapidez en el clculo como de apreciar si llegan a resultados vlidos, que sern exactos o estimados en funcin de los nmeros que intervienen y de la situacin en que el clculo se produce. 8. Resolver problemas relacionados con el entorno que exijan cierta planificacin, aplicando dos operaciones con nmeros naturales como mximo, as como los contenidos bsicos de geometra o tratamiento de la informacin y utilizando estrategias personales de resolucin. Este criterio trata de comprobar la capacidad para utilizar estrategias personales para la resolucin de problemas y para aplicar los conocimientos adquiridos. Es asimismo importante observar la facultad de emplear ms de un procedimiento y la perseverancia en la bsqueda de soluciones, y la expresin, oral y escrita, de forma ordenada el proceso seguido. Tercer ciclo 1. Leer, escribir y ordenar, utilizando razonamientos apropiados, distintos tipos de nmeros (naturales, enteros, fracciones y decimales hasta las centsimas). Con este criterio se pretende comprobar el manejo, en situaciones tomadas de la vida real, de diferentes tipos de nmeros, interpretando su valor y siendo capaces de comparar e intercalar nmeros escritos de diferentes maneras. 2. Realizacin de operaciones y clculos numricos sencillos mediante diferentes procedimientos, incluido el clculo mental, que hagan referencia implcita a las propiedades de las operaciones, en situaciones de resolucin de problemas. Se trata de comprobar la capacidad de operar con los nmeros y el conocimiento sobre la jerarqua de las operaciones. Igualmente, se trata de apreciar la utilizacin de las propiedades de las operaciones, las estrategias personales y los diferentes procedimientos que se utilizan segn la naturaleza del clculo que se ha de realizar (algoritmos escritos, clculo mental, tanteo, estimacin, calculadora), decidiendo sobre el uso ms adecuado. 3. Utilizar los nmeros decimales, fraccionarios y los porcentajes sencillos para interpretar e intercambiar informacin en contextos de la vida cotidiana.


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Con este criterio se pretende comprobar la utilizacin de los diferentes tipos de nmeros en contextos reales, estableciendo equivalencias entre ellos, y la capacidad de identificarlos y utilizarlos como operadores en la interpretacin y la resolucin de problemas. 8. En un contexto de resolucin de problemas sencillos, anticipar una solucin razonable y buscar los procedimientos matemticos ms adecuados para abordar el proceso de resolucin. Valorar las diferentes estrategias y perseverar en la bsqueda de datos y soluciones precisas, tanto en la formulacin como en la resolucin de un problema. Expresar de forma ordenada y clara, oralmente y por escrito, el proceso seguido en la resolucin de problemas. Este criterio est dirigido especialmente a comprobar la capacidad en la resolucin de problemas, atendiendo al proceso seguido. Se trata de verificar que ante un problema los alumnos y las alumnas tratan de resolverlo de forma lgica y reflexiva y comprobar que comprenden la importancia que el orden y la claridad tienen en la presentacin de los datos y en la bsqueda de la solucin correcta, para detectar los posibles errores, para explicar el razonamiento seguido y para argumentar sobre la validez de una solucin. 10.2. Recursos didcticos. Recursos personales. Los recursos personales se entienden como todas aquellas interacciones que apoyan y participan en el trabajo de contenidos y objetivos objeto de aprendizaje. Entre ellos resalta el papel del maestro y de los iguales. Se parte de la labor del maestro, como uno de los principales recursos personales. Desde la normativa, entre las funciones que la LOE dispone para el mismo, se destaca: la enseanza de las reas; la evaluacin del proceso de enseanza-aprendizaje; la tutora y orientacin del aprendizaje en colaboracin con las familias; la atencin al desarrollo afectivo, social y moral de los alumnos; la organizacin y participacin en las actividades complementarias; la colaboracin con los servicios de orientacin o la participacin en un clima de respeto y colaboracin. Todas estas funciones se llevarn a cabo desde el principio de colaboracin y trabajo en equipo, en concordancia con la importancia que la nueva ley adjudica a la participacin de todos los agentes implicados en el proceso educativo. Desde la base psicopedaggica constructivista, el papel del profesor se entiende, fundamentalmente como mediador esencial entre el alumno y los contenidos al determinar su seleccin, organizacin y presentacin. Se destaca tambin el papel de los compaeros ya que intervienen en la labor de mediacin y ser una de las funciones del profesor canalizar tal mediacin para que sea oportuna y eficaz.


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Por ltimo, en concordancia con la LOE se destaca el valor de la familia como recurso personal y la necesidad de que desde los centros de escolares se coopere estrechamente con la misma, con el fin de respetar su responsabilidad fundamental. Recursos ambientales. Los recursos ambientales comprenden desde la conformacin flexible y funcional del espacio del aula, hasta la utilizacin de los distintos espacios del centro y los ambientes que fuera de l puedan cooperar en el tratamiento de los contenidos. Destacan los siguientes: El aula:

- Organizacin de las actividades.

El colegio: - Espacios de uso comn relacionados con los contenidos que se trabajan en este tema: jardn,

patio, huerto (si lo hubiera) y el patio. El entorno social:

- Instituciones, organizaciones y servicios del entorno: o Centros culturales y de ocio: Ludotecas, bibliotecas, de exposiciones, museos de

ciencias, parques, jardines, huertos o Ferias de ciencia.

Las salidas fuera del centro desempean un importante papel en la enseanza al facilitar la observacin y el encuentro con el medio natural, social, cultural y laboral y los procesos y fenmenos que en ellos tienen lugar. Ilustran y hacen ms comprensibles a los alumnos determinados conocimientos. Recursos materiales. En el tratamiento didctico de las ciencias resultan de especial inters los siguientes materiales: de representacin, impresos, audiovisuales e informticos. Especficos/ de representacin. Regletas: Este material nos permite, entre otras cosas, asignando un valor numrico a cada regleta, componer y descomponer nmeros, sumar Recomendado para 1er ciclo de Educacin Primaria Cubos encajables: Este material consiste en 100 cubos de 2 cm. de arista y diez colores distintos que se encajan fcilmente. Permiten componer patrones, representar nmeros, o incluso representar el cuadrado de, al menos los cinco primeros nmeros naturales. Recomendado para 1.er, 2. y 3.er ciclo de Educacin Primaria. Regletas retroproyectables: Son muy tiles para organizar la clase y desarrollar actividades colectivas. Recomendado para 1er ciclo de Educacin Primaria


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baco abierto: Mejora la comprensin del Sistema de Numeracin Decimal y sus operaciones. Recomendado para 1 y 2 ciclo de Educacin Primaria Cartas numricas: Permite comparar, clasificar, contar. Recomendado para 1 , 2 y 3 Ciclo de Educacin Primaria Domin de Equivalencias: Tiene la misma estructura que el domin tradicional pero sustituye los nmeros por suma y restas no superiores a 12. Recomendado para 1 Ciclo de Educacin Primaria Domins de Sumas: Tiene la misma estructura que el domin tradicional pero sustituye los nmeros por suma no superiores a 12. Recomendado para 1y 2 Ciclo de Educacin Primaria Domins de Operaciones: Tiene la misma estructura que el domin tradicional pero sustituye los nmeros por operaciones de suma, resta, divisin y multiplicacin. Recomendado para 3 Ciclo de Educacin Primaria. Domin de Equivalencias de Fracciones: Sustituye los nmeros por fracciones y su representacin grfica. Recomendado para 3 Ciclo de Educacin Primaria Tabla de Fracciones: Juego de 10 regletas troqueladas para dividirlas en 10 partes iguales. Permite ordenar, representar fracciones, buscar equivalenciasRecomendado para 3 Ciclo de Educacin Primaria Crculo de Fracciones: Son dos crculos de colores distintos, uno de ellos serigrafiado con fracciones. Cada uno de los crculos tiene una ranura y gira uno alrededor del otro. Recomendado para 3 Ciclo de Educacin Primaria. Suma 15: Tablero con 9 casillas numeradas del 1 al 9. Seis fichas para colocar. Tres para cada jugador. Cada jugador procura sumar 15 entre dos casillas o evitar que lo consiga el contrincante. Recomendado para 1 Ciclo de Educacin Primaria El Juego del 11: Consta de tablero dividido en varias zonas, dados y fichas. Siguiendo las instrucciones se debe alcanzar la casilla central del 11. Recomendado para 2 y 3 Ciclo de Educacin Primaria. (Estos materiales estn descritos por Montserrat Torra, en las carpetas para construir las Matemticas del proyecto sur). Impresos.

- Normativa de la educacin Primaria (LOE; RD/D de desarrollo curricular; rdenes de evaluacin; ROC,...).

- Guas didcticas de los proyectos editoriales (guas de Metodologa, programaciones, cuentos, fichas, recursos lingsticos y actividades, murales, CDs de msica, bits de inteligencia).

Audiovisuales. - Aparatos: Visuales (Retroyector, proyector de opacos, proyector de diapositivas, cmara

fotogrfica); Auditivos (Minicadena, grabadora, radio, walkman, discman) y audiovisules Televisin, DVD, cmara de vdeo).

- Producciones: Visuales (diapositivas, transparencias, reportaje grfico, fotografas); auditivos

(cintas de audio de canciones, cuentos y sonidos del entorno) y audovisuales (pelculas de vdeo y


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DVD, diaporamas, programas de televisin de cuentacuentos, series de dibujos animados, anuncios publicitarios)

Informticos. - El ordenador y sus componentes: 1 El teclado 1 El ratn 1 La pantalla

- Programas informticas: 1 Trampoln. Educacin Primaria Primer Ciclo. Anaya interactiva. 1 Coleccin de Pipo: Matemticas con Pipo.

- Pginas web http://www.educa.jcyl.es/educacyl/cm/zonaalumnos/tkContent?idContent=3525&locale=es_ Pgina Web con muchas actividades para los alumnos como por ejemplo, sumar sin parar, restar sin parar, multiplicar sin parar... http://www.aplicaciones.info/ortogra2/calculo.htm Pgina Web sobre clculo interactivo. http://www.educa.madrid.org/portal/c/contents/several_contents/view_resource?contentId=-1882750751&layoutId=10162.17&portletId=101&p_p_id=101&p_l_id=10162.17 Pgina web sobre juegos educativos y fichas matemticas. http://www.vedoque.com/juegos/granja-matematicas.html Juegos para practicar operaciones. BIBLIOGRAFA - ALMODVAR, J.A.; GARCA, F.; HERNNDEZ, J.; MORENO, M R.; RODRGUEZ, M. Y

VALERA, J.M: Matemticas 6 Primaria (Serie Un paso mas), Santillana, 2006. - LVAREZ, M D.; MIRANDA, A. Y.; PARRA, S.; REDONDO, R.; SANTOS, T.: Matemticas

3 ESO (Serie Practica), Santillana, 2006. - COLERA, J.; GARCA, J.E.; GAZTELU, I. Y OLIVEIRA, M.J.: Matemticas 3 ESO (Serie

Nuestro Mundo), Anaya, 1998.


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ESQUEMA RESUMEN

1. LOS NMEROS Y EL CLCULO NUMRICO. Los nmeros son el concepto que subyace en todo proceso de medicin, ordenacin, operacin o comparabilidad de magnitudes escalares. La escuela Pitagrica en su celebre frase Todo es nmero quera expresar, entre otras cosas, que el origen de todo cuanto existe en el universo puede ser descrito mediante estos conceptos. Las matemticas de todos los tiempos no consideran a los nmeros con simples smbolos sino como verdaderas estructuras conceptuales susceptibles de explicar cualquier fenmeno geomtrico, fsico, qumico, tecnolgico, etc. El clculo numrico es el conjunto de operaciones y procedimientos para operar con los nmeros.

2. NECESIDAD Y USO DE LOS NMEROS. El concepto de nmero natural es tan arcaico como la propia especie humana. Sirven para

contar y enumerar. Los nmeros enteros tienen explicacin en el campo del comercio y economa. Tambin sirven

para medir determinadas magnitudes como el tiempo, temperatura, etc. As como para la resolucin de ecuaciones cuya solucin escapa de los nmeros naturales.

Los nmeros racionales sirvieron para realizar particiones de un total en partes iguales. Las fracciones y nmeros racionales se utilizan igualmente para clculos de subidas y disminuciones porcentuales, para resolucin de problemas de particiones de una cierta cantidad y como operador en ciertos procesos. Los nmeros racionales son incluso anteriores en sus orgenes a los nmeros enteros negativos puesto que su naturaleza es la de repartir mientras que la de los otros es de debito. Civilizaciones como la egipcia y la babilnica ya disponan de un complejo sistema fraccionario.

La implantacin de los nmeros decimales obedece fundamentalmente a criterios de medicin y clculo de ciertas longitudes sobre magnitudes escalares as como para dar explicacin a determinados nmeros como que aparecen en objetos geomtricos tan importantes como la circunferencia y que no proceden de fraccin alguna. Adems, la estructura de los nmeros decimales o reales permite representarlos como una lnea recta infinita sin huecos, continua y densa. Todo el formalismo de los nmeros reales y expresiones decimales se fundament entre finales del siglo XIX y primera mitad del siglo XX gracias a Cauchy, Weierstrass, Dedekind o Cantor.

3. LOS NMEROS NATURALES. OPERACIONES DE CLCULO.

3.1.Definicin del conjunto de los nmeros naturales. El conjunto de los nmeros naturales est formado por los nmeros 0, 1, 2, 3, . . . Como ya dijimos anteriormente, los nmeros naturales sirven ante todo para dos cosas: contar y ordenar elementos.


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3.2.Operaciones de clculo con los nmeros naturales. Propiedades de clculo. Dados dos conjuntos A y B con elementos n y m respectivamente, se define la suma de n + m como el nmero de elementos del conjunto AB. Las propiedades que aparecen en N a partir de la operacin suma son, entre otras, las siguientes: Asociativa, Elemento neutro, Conmutativa, Cancelativa. Dados dos conjuntos A y B con elementos n y m respectivamente, se define el producto de n por m y se denota mediante nm como el nmero de elementos del conjunto cartesiano AxB. Las propiedades que aparecen en N a partir de la operacin producto o multiplicacin son, entre otras, las siguientes: Asociativa, Elemento neutro, conmutativa, cancelativa, Distributiva respecto de la suma. Una potencia es una multiplicacin iterada de modo que dados a y n naturales, la potencia a elevado a n es el producto

4434421vecesn

n aaaaa = ... Al valor a se denomina base de la potencia y al valor n exponente de la misma. Sus propiedades son:

a) 1, 0 = aNa b) aaNa = 1, c) mnmn aaaNmna += ,,, d) mnmn aaamnconNmna = :,,, e) ( ) mnmn aaNmna = ,,,

La operacin de radicacin o raz es la operacin inversa de la operacin de potencia de modo que dados los naturales a y n la raz n sima de a, denotada por n a , es el resultado b si y slo si al

elevar el resultado b al exponente n obtenemos el valor a. Es decir, abba nn == . Al nmero n lo llamaremos ndice de la raz y al valor a lo denominaremos radicando. La operacin de divisin en los nmeros naturales conlleva un proceso de reparto en el que habr un total D a repartir (dividendo), un conjunto d de elementos a quienes se reparte (divisor), la cantidad c que adquiere cada uno de estos elementos (cociente) y un sobrante r (resto). De este modo se debe cumplir el llamado teorema de divisibilidad euclides, vulgarmente llamado prueba de la divisin, D = dc + r, donde el resto es siempre menor que el divisor. 3.3.Ordenacin en el conjunto de los nmeros naturales. Dados dos nmeros naturales a, b 5 N, se dice por definicin que a es menor o igual que b y se escribe a b si existe algn natural c 5 N tal que a + c = b


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4. LOS NMEROS ENTEROS. 4.1.Definicin del conjunto de los nmeros enteros. El conjunto Z = { . . . , 2 , 1, 0, + 1, + 2, . . . } es el conjunto de los nmeros enteros. Se observa que es un conjunto infinito, como los nmeros naturales, pero no tiene elemento primero o mnimo. 4.2.Operaciones en los nmeros enteros. Propiedades de clculo. Extendiendo ahora el concepto de suma de naturales a los nmeros enteros, podemos dar reglas prcticas para la suma/resta de nmeros enteros del siguiente modo:

Para sumar dos nmeros enteros del mismo signo, se suman los valores absolutos de los nmeros y se aade el signo del ms grande en valor absoluto.

Para sumar dos nmeros enteros de distinto signo, se restan los valores absolutos de los nmeros y se aade el signo de aquel de mayor valor absoluto.

La suma de enteros tiene, entre otras, las siguientes propiedades: Asociativa, Elemento neutro, Elemento simtrico, conmutativa. De igual modo, para el producto podemos dar reglas prcticas del siguiente modo:

Para multiplicar dos nmeros enteros del mismo signo, se multiplican los valores absolutos de los nmeros y se aade el signo mas.

Para multiplicar dos nmeros enteros de distinto signo, se multiplican los valores absolutos de los nmeros y se aade el signo menos.

El producto cumple con las siguientes propiedades: Asociativa, Elemento neutro, Conmutativa, Distributiva respecto de la suma. Con estas operaciones Z adquiere estructura de anillo conmutativo con elemento unidad (que es el 1). Por ltimo, la potenciacin extiende su definicin y propiedades definiendo la potencia de exponente

negativo, del siguiente modo: nn

n

aaa 11 =

=

4.3.Concepto de mltiplo y divisor. Procedimientos de clculo: M.c.d. y m.c.m. de varios nmeros.

A partir de la multiplicacin y divisin exacta (la que tiene resto cero) aparecen definiciones muy utilizadas en las matemticas:

o Dados dos enteros a y b, se dice que a es mltiplo de b y que b es un divisor de a si existe un entero c tal que a = bc

o Un nmero se dir primo cuando slo es divisible entre el mismo y 1. Si un nmero no es primo es compuesto.


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En estas condiciones se puede definir el mximo comn divisor y mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros:

o Dados dos enteros a y b, se dice llama Mximo comn divisor de a y b, y se denota por, M.c.d.(a,b) al mayor entero que divide a la vez ambos nmeros.

o Dados dos enteros a y b, se dice llama mnimo comn mltiplo de a y b, y se denota por, m.c.m.(a,b) al menor entero que es mltiplo a la vez ambos nmeros.

4.4.Ordenacin de los nmeros enteros. Dados dos nmeros enteros a, b 5 Z, se dice por definicin que a es menor o igual que b, y se escribe a b, si b a 5 N 5. LOS NMEROS RACIONALES O FRACCIONARIOS. 5.1.Definicin del conjunto de los nmeros racionales.

Al conjunto

= 0,,* bZba

baZxZ se denomina conjunto de fracciones y cada uno de sus

elementos es una fraccin. Diremos que dos fracciones ba y

dc son equivalentes si el producto de

medios es igual que el producto de extremos, es decir: cbdadc

ba ==

Llamaremos nmero racional ba al conjunto formado por la fraccin

ba y todas sus

equivalentes. El conjunto formado por los nmeros racionales se es por definicin el conjunto de los nmeros racionales y se denota mediante Q.

La fraccin irreducible es aquella de la forma ba con m.c.d.(a,b) = 1.

Simplificar (amplificar) una fraccin ba consiste en encontrar una fraccin equivalente

dc dividiendo (multiplicando) numerador y denominador por el mismo nmero entero. Todas

estas fracciones son puntos de la misma recta y por lo tanto, del mismo nmero racional.

De entre las definiciones ms comunes en las fracciones podemos destacar:

Fraccin propia: Si el valor absoluto del numerador es menor que el valor absoluto del denominador.

Fraccin impropia: Si el valor absoluto del numerador es mayor o igual que el valor absoluto del denominador. En este caso siempre existir una descomposicin de la fraccin impropia como un nmero entero ms una fraccin propia.


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Fraccin positiva: Dada la fraccin ba , diremos que es positiva si ab > 0. Si una fraccin es

positiva, su nmero racional tambin es positivo ya que todas las fracciones que son equivalentes han de tener el mismo signo.

Fraccin negativa: Dada la fraccin ba , diremos que es negativa si ab < 0. Si una fraccin es

negativa, su nmero racional tambin es negativo ya que todas las fracciones que son equivalentes han de tener el mismo signo.

Fraccin nula o cero: Dada la fraccin ba , diremos que es nula si a = 0. Si una fraccin es

nula, su nmero racional tambin es nulo.

5.2.Operaciones en los nmeros racionales. Propiedades de clculo.


ba , podemos definir, a partir de las operaciones suma y

producto en los enteros, la suma (resta) de los nmeros racionales como: bd

cbdadc

ba =

De igual modo para el producto y divisin se tendr que:dbca

dc

ba

= y

cbda

dc

ba

=:

respectivamente. Con estas operaciones Q adquiere cuerpo conmutativo ya que cumple respecto de cada operacin las siguientes propiedades:

Suma. Asociativa; Elemento neutro; Elemento simtrico; Conmutativa. Producto: Asociativa; Elemento neutro; Elemento simtrico; Conmutativa; Distributiva

respecto de la suma. En cuanto a la potencia, se extiende la definicin a de potencias de exponente fraccionario, dando la

equivalencia entre potencia y raz del siguiente modo: q pqp aa =/ . Por lo tanto, la radicacin, no es ms que una potencia de exponente fraccionario. 5.3.Ordenacin de los nmeros racionales.


ba , , se dice por definicin que

ba es menor o igual que

dc y se

escribe dc

ba si 0

ba

dc

5.4.Representacin de los nmeros racionales en la recta. Para representar el punto en el que el nmero racional a/b debe considerarse en la recta de los enteros. Debemos dividir cada unidad en las partes que indique el denominador b y contar, desde el punto 0 de


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los enteros, tantas partes iguales como indique el numerador a. Si este es positivo, contaremos a la derecha y si es negativo, contaremos hacia la izquierda. 6. LOS NMEROS DECIMALES. 6.1.Definicin de expresiones decimales. Posiciones decimales. Tipos de decimales. El conjunto de expresiones decimales de la forma n,a1 a2 a3 . . . con n 0 es un natural cualquiera y ai nmeros naturales tales que 0 ai 9 para todo i natural, donde eliminamos los casos en que ai = 9 para todo n a partir de uno dado, proporciona el conjunto de nmero decimales. Este conjunto es equivalente al conjunto de nmeros reales R. Todo nmero racional tiene un desarrollo decimal asociado nico que se puede calcular dividiendo su numerador entre su denominador. Los nmeros decimales se clasifican, por su desarrollo decimal, en:

Decimales exactos: Si (n + a110-1+ a210-2 + a310-3+ . . . ) tiene nicamente un nmero finito de cifras ai no nulas. Se puede probar que estas expresiones son equivalentes a un nmero racional.

Decimales peridicos: De igual modo si la sucesin de cifras a1a2a3 . . . tiene una estructura peridica a partir de alguna de ellas, entonces el nmero se denomina peridico y al conjunto finito de cifras que se repiten indefinidamente se denomina periodo. Existen dos tipos de peridicos, los puros (el periodo aparece a partir de la coma) y los mixtos (el periodo no aparece a partir de la coma).

Decimales no exactos ni peridicos (nmeros irracionales): La negacin de los anteriores casos nos lleva por ltimo, a que la sucesin de cifras a1a2a3 . . sea de carcter infinito pero sin contener ninguna estructura peridica. Se puede demostrar que esta clase de expresiones decimales no corresponden a ningn nmero racional. Dar ejemplo.

6.2.Operaciones en los nmeros decimales. Propiedades de clculo. Dados los desarrollos:

(n + a110-1+ a210-2 + a310-3+ . . . + ap10-p) (m + b110-1+ b210-2 + b310-3+ . . . + aq10-q )

con n, m, p, q 0 naturales (sin perdida de generalidad) y ai bi nmeros naturales tales que 0 ai 9, tendremos que la suma de estos dos nmeros vendr dada por:

(n+m) + (a1 + b1)10-1+ (a2 + b2)10-2 + (a3 + b3)10-3 + . . . Por lo tanto, para sumar (restar) nmeros decimales hay que sumar (restar) las cifras de la misma posicin y realizar las equivalencias respectivas (proceso de llevarse). La resta se puede definir a partir del elemento opuesto para la suma.(Dar ejemplos)

Del mismo modo, el producto vendr dado por: (nm) + (a1m + b1n)10-1+ . . . La divisin se puede definir a partir del elemento inverso para el producto. Dar ejemplos).


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El conjunto R adquiere estructura de cuerpo conmutativo. La diferencia entre Q y R se deriva en que R es un conjunto denso y representable como una recta mientras que Q no. 6.3.Algoritmo para el clculo de races exactas. El algoritmo de clculo de races est basado en mtodos de aproximacin de races de ciertas funciones. Dar un ejemplo. 7. EL SISTEMA DE NUMERACIN ARBIGO. SISTEMAS DE NUMERACIN. El sistema de numeracin arbigo es posicional y decimal. Decimal porque est basado en 10 smbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 ,9}. Posicional, significa que cada smbolo que utilizamos significa diferente en funcin de la posicin en la que este. De este modo, cada posicin de una cifra que describe un nmero entero recibe un nombre. De entre las ms destacadas tenemos unidades, decenas, centenas, unidades de millar, dcimas, centsimas, milsimas, . . . Existen otros sistemas de numeracin diferentes al que usualmente utilizamos. En la tecnologa de ordenadores informticos se utilizan tambin sistemas de numeracin con base 2 (binario) que suele utilizar los smbolos 0 y 1 mientras que otra de las bases ms interesantes tecnolgicamente hablando es la 16 (hexadecimal) que utiliza los smbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , A, B, C

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