IES fricaMATEMTICAS CCSSII Enrique Jan Curso 2011-121 TEMA 2PROGRAMACIN LINEAL Regiones del plano determinadas por rectas: Una ecuacin lineal con dos incgnitas ax + by = cse representa como una recta que divide al plano en 2 regiones:Una formada por los puntos del plano que satisfacen la inecuacin ax + by > cy otra formada por los puntos del plano que verificanax + by < 0 . Obtencin de las soluciones de una inecuacin lineal con dos incgnitas: Ejemplo: Dada la inecuacin lineal :2x + 3y < 18 ; obtener sus soluciones. Solucin:Ya sabemos que las soluciones sern el conjunto de puntos que forman todo un semiplano. Para averiguar que semiplano es hacemos: 1)Se representa la recta asociada a la ecuacin 2x + 3y = 18 2)Se comprueba si el punto (0 , 0) verifica la inecuacin. -Si el origen de coordenadas (0,0) verifica la inecuacin, entonces la solucin ser el semiplano que contiene al origen de coordenadas. Adems, se incluir la recta asociadasi el smbolo de la inecuacin es ; y se excluir la recta asociada si el smbolo es . -Si el(0,0) no verifica la inecuacin, entonces la solucin ser el semiplano que no contiene al punto(0,0). Adems, se incluir la recta si en la inecuacin aparecen ; y se excluir si el smbolo es< >. Soluciones de un sistema de inecuaciones lineales con dos incgnitas: Ejemplo: Encontrar y representar el conjunto de puntos del plano que verifican el sistema de inecuaciones: +< +10 218 3 2y xy x IES fricaMATEMTICAS CCSSII Enrique Jan Curso 2011-122 Solucin: La solucin ser la regin del plano cuyos puntos verifican ambas inecuaciones. En esta regin entrarn los puntos de la recta2x + y = 10, pero quedarn excluidos los puntos de la recta:2x + 3y = 18. Ejercicios: Halla grficamente la regin del plano que satisface cada uno delos siguientes sistemas: + 1 32)y xy xa > + +15 515 5)y xy xb < +2 ; 06 2)y xy xc > + > < 0 ; 016 516 32)y xy xy xy xd Introduccin a la programacin lineal: Resolver un problema de programacin lineal consiste en aplicar unas tcnicas con el fin de optimizar (maximizar o minimizar) una funcin lineal, denominada funcin objetivo, estando sus variables sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante inecuaciones lineales. El conjunto de todos los puntos del plano que satisfacen todas las restricciones se llama regin factible. De entre todas las posibles soluciones que componen la regin factible la que maximiza o minimiza la funcin objetivo se llama solucin ptima, y se encuentra en la frontera (borde) de la regin factible. Si la solucin es uno de los vrtices (puntos de interseccin de dos segmentos que limitan la regin factible), entonces ser solucin nica y se llama punto extremo. Elprocesoquehayqueseguiranteunproblemadeprogramacinlinealesel siguiente: 1.Elegircorrectamentelasincgnitas.Ennuestrocasosernsiempredos(xey).Y Construir, si es necesario, una tabla ordenando los datos del problema.2.Indicar cul es la funcin objetivo sealandosiempre cules son sus unidadesy si queremos hallar su mximo (maximizar) o sumnimo (minimizar). IES fricaMATEMTICAS CCSSII Enrique Jan Curso 2011-123 3.Encontrarlasrestricciones,queserncasisiempreinecuacioneslineales.Casi siempre trabajaremos slo en el primer cuadrante. 4.Representargrficamentesobreunosmismosejeselrecintodelasrestricciones (reginfactible).Seprocederordenadamente,representandounaauna,todaslas restricciones. 5.Delimitarelrecinto.Paraesohayqueindicarculessonlosvrticesdelrecinto resolviendo sistemas de ecuaciones lineales (punto de corte de dos rectas). 6.Buscarlasolucinentrelosvrtices(enalgunoscasos,enloslados)delrecintode restricciones, evaluando la funcin objetivo. 7.Importantsimo:escribirdetalladamentelasolucin,sinescatimartextoni explicaciones. Ejemplo: - Problema: En una cafetera se dispone de 24 kg de polvorones y 15 kg de mantecados que se envasan en dos tipos de cajas de la siguiente forma: -Caja 1: 200gr de polvorones y 100gr de mantecados. Precio: 4 -Caja 2: 200gr de polvorones y 300gr de mantecados. Precio: 6Cuntas cajas de cada tipo se tendrn que preparar y vender para obtener el mximo de ingresos? -Solucin:Para resolver un sistema de programacin lineal hay que seguir los siguientes pasos: 1)Organizar los datos: N cajasPolvoronesMantecadosIngresos Caja 1X200X100X4X Caja 2Y200Y300Y6Y TotalX+Y24000 15000 4X+6Y 2)Determinar la funcin objetivo: La funcin que queremos optimizar (maximizar) es la funcin de los ingresos: I = 4x + 6y 3)Determinar las restricciones a las que estn sujetas las variables de la funcin objetivo: + + + +0 ; 0150 3120,0 ; 015000 300 10024000 200 200y xy xy xZ y xy xy xy x IES fricaMATEMTICAS CCSSII Enrique Jan Curso 2011-124 4)Determinar la regin factible: 5) y 6)Obtencin de los vrtices y determinacin de la solucin ptima: El valor mximo de la funcin objetivoI = 4x +6y , se encontrar en uno de los vrtices de la regin factible: A, B, CD (puntos extremos). Para calcular la solucin ptima sustituimos los valores de estos puntos en la funcin objetivo. I(0,0)=4 0+6 0=0; I(0,50)=4 0+6 50=300; I(120,0)=4 120+6 0=480; I(105,15)=4 105+6 15=510. 7)Conclusin: La solucin ptima se obtiene en el punto D, que maximiza la funcin I, con 510. Es decir, lo ptimo para obtener el mayor beneficio ser vender105 cajas del tipo 1 y 15 cajas del tipo 2. Problemas con solucin nica 1)Una empresa aeronutica construye aviones de dos tipos: A y B. Para ello dispone de un mximo de 1800 millones de euros, siendo el coste de cada tipo de avin de 30 y 20 millones, respectivamente. Adems, las condiciones del mercado exigen que el nmero total de aviones producidos no sea superior a 80. Sabiendo que el beneficio obtenido por la venta de un avin de tipo a es de 4 millones de euros y de 3 millones el de uno de tipo B. Cuntos aviones deben construirse de cada clase para conseguir el mximo beneficio? (Resolver este problema tambin por el mtodo grfico a travs de rectas de nivel). Sol:Construyendo 20 aviones A y 60 aviones B se obtiene el mayor beneficio que ser de 260 millones de euros. 2)Un agricultor utiliza un invernadero de 300m2 para dos tipos de cultivo. Los gastos de cada uno de ellos son de 50 y 20 /m2, siendo los beneficios que se obtienen de 300 y 100/m2, respectivamente. Si se dispone de 7500 para invertir, qu superficie debe dedicar a cada tipo de cultivo para obtener un beneficio mximo?Cul ser ese beneficio? IES fricaMATEMTICAS CCSSII Enrique Jan Curso 2011-125 Sol: El beneficio mximo se obtiene plantando 150m2 de cultivo A y 0 de cultivo B. El beneficio ser de 45000. (Observar que la solucin en este caso no se obtiene en el punto de interseccin de las dos rectas de las restricciones). 3)Un ganadero utiliza un pienso que tiene una composicinmnima de 12 unidades de una sustancia P y 21 unidades de una sustancia Q. En el mercado slo encuentra dos tipos de pienso: Uno con 2 unidades de P y 7 de Q, cuyo precio es de 15; y otro con 6 unidades de P y 3 de Q, cuyo precio es de 25. Qu cantidad tendra que comprar de cada uno de los piensos de modo que el coste sea mnimo? Sol: Observar que en este caso la regin factible no est acotada.La funcin objetivo se hace mnima en el punto||

\|67,25. Es decir, tendra que comprar 5/2 kilos de tipo A y 7/6 kilos de tipo B para que el gasto fuese mnimo; en tal caso el gasto sera de 6' 66 . Problemas: casos especiales 4)Maximizar la funcin objetivo f(x,y) = x + y, con las siguientes restricciones: +0 ; 035y xy xy x Sol: Solucin mltiple (infinitas soluciones). En todos los puntos del segmento de extremos (4,1) y (0,5) se alcanza el valor mximo y por lo tanto todos los puntos de este segmento son solucin.(Esto ocurre porque la funcin objetivo es paralela a una de las restricciones). 5)Maximizar la funcin objetivof(x,y) = x + y, con las restricciones: 0 ; 02 23y xy xy x

Sol: La regin factible es no acotada. Adems la funcin objetivo crece indefinidamente para valores crecientes dexey; por lo tanto no existe valor extremo para la funcin objetivo, por lo que el problema carece de solucin. IES fricaMATEMTICAS CCSSII Enrique Jan Curso 2011-126 6)Maximizar la funcinf(x,y) = 3x + 2ycon las restricciones: + +0 ; 03 25y xy xy x Sol: Este problema carece de solucin pues no existe la regin factible. 7)Las 20 chicas y los 10 chicos de un curso de 2 de bachillerato organizan un viaje para el cual necesitan dinero. Deciden pedir trabajo por las tardes en una compaa encuestadora que contrata a dos tipos de equipos de jvenes: Tipo A: Parejas: Una chica y un chico. Tipo B: Equipos de 4: Tres chicas y un chico. Cada tarde se paga10 por pareja y 40 a cada equipo de 4. Cmo les conviene distribuirse para conseguir la mayor cantidad posible de dinero? Sol:El punto(0,20/3) no puede ser solucin. Es un problema en el que habr que estudiar el valor que obtiene la funcin objetivo en todos los puntos de coordenadas enteras que estn en la frontera o borde de la regin factible; en este caso, en los puntos del segmento de extremos(0,20/3) y (5,5). Se obtiene que para el punto (2,6) se obtendr el beneficio mximo, que ser de 26 decenas de euros ( es decir, 2 parejas y 6 equipos de cuatro).