Tema 4 PROGRAMACIÓN LINEAL. PROGRAMACIÓN LINEAL Pág. 2 Tema 4 Desigualdades lineales SISTEMAS DE...

Tema 4

PROGRAMACIÓN

LINEAL

PROGRAMACIÓN LINEAL Pág. 2Tema 4Tema 4

Desigualdades lineales

SISTEMAS DE DESIGUALDADES LINEALES

Sistemas de desigualdades lineales

INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL

Un problema de minimización

Un problema de maximización

Número de Soluciones de un PPL

Resolver un problema de programación lineal

EJEMPLOS

Planificar la inversión

El problema de la dieta


█ SOLUCIONES DE UNA DESIGUALDAD LINEAL

DESIGUALDADES LINEALES

Una desigualdad lineal en x e y es una desigualdad que puede escribirse en una de las siguientes formas:

ax + by > c ax + by < c ax + by c ax + by c

donde a, b y c son números reales y a y b no son ambos 0. Algunos ejemplos de desigualdades lineales son:

2x – y > – 3 y < 3 x + 4y 6 x – 2

Un par ordenado (x, y) es una solución de una desigualdad cuando al sustituir los valores de x e y en la desigualdad hacen que ésta se cumpla.


Solución

a) Para determinar si (4, 2) es una solución, sustituye 4 por x y 2 por y:

b) Para determinar si (0, –6) es una solución, sustituye 0 por x y –6 por y:

Como 2 –1 es una desigualdad cierta, (4, 2) es una solución.

Como –6 –5 es una desigualdad falsa, (0, –6) no es una solución.

y x – 52 4 – 52 –1

y x – 5–6 0 – 5–6 –5

Determina si cada par ordenado es una solución de y x – 5: a) (4, 2) b) (0, –6)

EJEMPLO 1EJEMPLO 1


█ GRÁFICAS DE DESIGUALDADES LINEALES

La gráfica de la ecuación y = x – 5 es una recta.La gráfica de la desigualdad y x – 5 no es una recta sino una región limitada por una recta, llamada semiplano. El semiplano está formado por los puntos cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad.

x

y

y = x – 5y > x – 5

y < x – 5

La recta divide al plano en dos semiplanos A y B.A

B

Las coordenadas (x, y) de los puntos del semiplano A cumplen:y > x – 5

Las coordenadas (x, y) de los puntos del semiplano B cumplen:y < x – 5

Las coordenadas (x, y) de los puntos de la recta cumplen: y = x – 5


Solución

Puesto que y x – 5 significa que y = x – 5 o y > x – 5, comenzamos por dibujar la ecuación y = x – 5.

y x – 5 también indica que puede ser y > x – 5. Las coordenadas de estos otros puntos satisfacen la desigualdad estricta. Por ejemplo, las coordenadas del origen satisfacen la desigualdad:

Representa gráficamente la desigualdad y x – 5.EJEMPLO 2EJEMPLO 2

y x – 5 Sustituye 0 por x y 0 por y.

0 0 – 50 –5

Como 0 –5 es cierto, las coordenadas delorigen satisfacen la desigualdad. De hecho, lascoordenadas de cada punto del mismo lado que el origen satisfacen la desigualdad. La gráfica de y x – 5 es el semiplano que contiene el origen. Como la recta y = x – 5 está incluida, la dibujamos continua.

y = x – 5

x y (x, y)0 –5 (0, –5)5 0 (5, 0)

(0, 0)


Solución Dibujamos la recta límite de ecuación x + 2y = 6. Como el símbolo <, no incluye un signo =, los puntos de x + 2y = 6 no serán parte del gráfico. Para mostrar esto, dibujamos la recta como línea discontinua.

Puesto que 0 < 6 es cierto, sombreamos el lado de la recta que incluye el origen.

x + 2y < 6 Sustituye 0 por x y 0 por y.

Para determinar qué semiplano escoger, sustituye las coordenadas de algún punto de uno de los semiplanos determinados por la recta x + 2y = 6. El origen (0, 0) es una opción conveniente.

Representa gráficamente x + 2y < 6.

x

y

(0, 3)

(6, 0)

x + 2y = 6

x + 2y < 6

EJEMPLO 3EJEMPLO 3

0 + 2·0 < 60 < 6


Solución. La recta límite es y = 2x. Como el símbolo > no incluye un igual, los puntos de y = 2x no son parte de la gráfica de y > 2x. Para mostrar esto, dibujamos la recta límite como línea discontinua.

Para ver qué semiplano escoger, sustituye las coordenadas de algún punto de uno de los semiplanos determinados por la recta y = 2x. El punto T(2, 0), por ejemplo. Para ver si el punto T(2, 0) satisface y > 2x:

Representa gráficamente y > 2x.EJEMPLO 4EJEMPLO 4

x

y

T(2, 0)

(3, 6)

(–1, –2)

y = 2x

Sustituye 2 por x y 0 por y.y > 2x0 > 2·20 > 4

y = 2x x y (x, y) 0 0 (0, 0)–1 –2 (–1, –2) 3 6 (3, 6)

Como 0 > 4 es falso, las coordenadas del punto T no satisfacen la desigualdad, y el punto T no está en el lado de la recta que cumple la desigualdad. Por tanto, la gráfica de y > 2x es el semiplano que no contiene a T.

y > 2x


Pasos para representar gráficamente una desigualdad lineal

PASO 1: Dibuja la ecuación lineal correspondiente, una recta R. Si la desigualdad es no estricta, dibuja R usando una línea continua; si la desigualdad es estricta, dibuja R con línea discontinua.

PASO 2: Selecciona un punto de prueba P que no esté en la recta R.

PASO 3: Sustituye las coordenadas del punto de prueba P en la desigualdad dada. Si las coordenadas de este punto P satisfacen la desigualdad lineal, entonces todos los puntos en el mismo lado de R que el punto P satisfacen la desigualdad. Si las coordenadas del punto P no satisfacen la desigualdad lineal, entonces todos los puntos en el lado opuesto de R que P satisfacen la desigualdad.

Pasos para representar gráficamente una desigualdad lineal

PASO 1: Dibuja la ecuación lineal correspondiente, una recta R. Si la desigualdad es no estricta, dibuja R usando una línea continua; si la desigualdad es estricta, dibuja R con línea discontinua.

PASO 2: Selecciona un punto de prueba P que no esté en la recta R.

PASO 3: Sustituye las coordenadas del punto de prueba P en la desigualdad dada. Si las coordenadas de este punto P satisfacen la desigualdad lineal, entonces todos los puntos en el mismo lado de R que el punto P satisfacen la desigualdad. Si las coordenadas del punto P no satisfacen la desigualdad lineal, entonces todos los puntos en el lado opuesto de R que P satisfacen la desigualdad.


█ SISTEMAS DE DESIGUALDADES LINEALES

Un sistema de inecuaciones lineales en el plano viene dado por varias desigualdades del tipo

y la solución, si existe, corresponde a una región convexa del plano, que llamamos región factible.

Para su solución gráfica, se representa cada recta y se marca el semiplano que determina. La parte que tienen en común todos los semiplanos proporciona la región factible.

r1 a1x + b1y c1 r2 a2x + b2y c2

. . . . . . . . . . . .rn anx + bny cn

SISTEMAS DE DESIGUALDADES LINEALES


Representa gráficamente el sistema de desigualdades EJEMPLO 5EJEMPLO 5 x + y 1 x – y 1

x

yx + y = 1

x + y 1

x – y = 1x – y 1

A

Solución. Representamos cada desigualdad gráficamente en un sistema de ejes coordenados.

La figura muestra el resultado cuando los semiplanos se superponen en un sistema coordenado. El área que se colorea dos veces representa el conjunto de soluciones del sistema dado. Cualquier punto en la región doblemente sombreada tiene coordenadas que satisfacen ambas desigualdades.


Puesto que las coordenadas del punto A satisfacen cada desigualdad, el punto A es una solución. Si probamos un punto que no esté en la región doblemente sombreada, sus coordenadas no satisfarán ambas desigualdades.

Para ver que esto es verdad, podemos escoger un punto, tal como el punto A, de la región doble coloreada y demostrar que sus coordenadas satisfacen ambas desigualdades. Como el punto A tiene coordenadas (4, 1), tenemos

x + y 14 + 1 1 5 1

x – y 14 – 1 1 3 1

Para resolver un sistema de desigualdades1. Representa cada desigualdad del sistema en los mismos ejes coordenados.2. Halla la región donde las gráficas se solapan.3. Prueba con un punto de la región para verificar la solución.

x

yx + y = 1

x + y 1

x – y = 1x – y 1

A

EJEMPLO 5EJEMPLO 5


Solución

Toma un punto de la región doblemente sombreada y prueba que satisface ambas desigualdades.

Representamos cada desigualdad en un sistema de ejes coordenados.

La región que está sombreada dos veces es el conjunto de soluciones del sistema.

La gráfica de 2x + y < 4 incluye todos los puntos debajo de la recta 2x + y = 4. Puesto que el límite no está incluido, lo dibujamos como línea discontinua.

La gráfica de –2x + y = 2 incluye todos los puntos por encima de la recta –2x + y = 2. Puesto que el límite no está incluido, lo dibujamos como línea discontinua.

Representa gráficamente la solución de 2x + y < 4–2x + y > 2

EJEMPLO 6EJEMPLO 6


Solución

Toma un punto de la región doblemente sombreada y prueba que satisface ambas desigualdades.

Representamos cada desigualdad en un sistema de ejes coordenados.

La región que está sombreada dos veces es el conjunto de soluciones del sistema.

La gráfica de x 2 incluye todos los puntos sobre la recta x = 2 y a su izquierda. Puesto que la recta límite está incluida, la dibujamos continua.

La gráfica de y > 3 incluye todos los puntos por encima de la recta y = 3. Puesto que la recta límite no está incluida, la dibujamos discontinua.

Representa gráficamente la solución dex 2y > 3

EJEMPLO 7EJEMPLO 7


Solución

Puesto que los semiplanos de estas desigualdades no tienen ningún punto de intersección, el sistema no tiene solución.

Dibuja la gráfica de cada desigualdad.

La gráfica de y < 3x – 1 incluye todos los puntos por debajo de la recta discontinua y = 3x – 1.

La gráfica de y 3x + 1 incluye todos los puntos sobre y por encima de la recta continua y = 3x + 1.

Representa gráficamente la solución dey < 3x – 1y 3x + 1 EJEMPLO 8EJEMPLO 8


EJEMPLO 9EJEMPLO 9Representar la solución del sistema de inecuaciones

Representamos

Y sombreamos la región que tienen en común, que se denomina región factible.

3x + 4y 12 2x + y 2 x 0 y 0

r1 3x + 4y = 12r2 2x + y = 2r3 x = 0r4 y = 0

(0, 3)

(0, 2)

(1, 0) (4, 0)r1r2

r3

r4

Solución


EJEMPLO 10EJEMPLO 10 Hallar la región factible de:

Representamos cada recta

r1 x − 3y = −6

La región factible corresponde al triángulo del dibujo y como está limitada se dice acotada.

x − 3y −6 x + 2y 4 3x + y 12

C(3, 3)

A(0, 2)

B(4, 0)

r1

r3

r2

Solución

r2 x + 2y = 4

r3 3x + y = 12


EJEMPLO 11EJEMPLO 11Hallar la región factible de:

La región factible corresponde a la zona coloreada del dibujo y como no está limitada se dice no acotada.

x + 3y 3 −x + y 1

r1

r2

Solución

Representamos la recta x + 3y = 3tomando el semiplano y (3 – x)/3

Representamos la recta −x + y = 1tomando el semiplano y 1 + x


Hallar la región factible de los sistemas de inecuaciones siguientes:

(a) x 2y y − x 2 x + y 5 x 0

(b) 2x + 4y 4 6x + 3y 6 x 0 y 0

(c) x y x 2y x 20

(d) 3x + 2y 24 y x y 1

EJERCICIOEJERCICIO


Cada muñeco:• Produce un beneficio neto de 3 €.• Requiere 2 horas de trabajo de acabado.• Requiere 1 hora de trabajo de carpintería.

Cada tren:• Produce un beneficio neto de 2 €.• Requiere 1 hora de trabajo de acabado.• Requiere 1 hora trabajo de carpintería.

Gepetto S.L., manufactura muñecos y trenes de madera.

Cada semana Gepetto puede disponer de:• Todo el material que necesite.• Solamente 100 horas de trabajo de acabado.• Solamente 80 horas de trabajo de carpintería.

También:• La demanda de trenes puede ser cualquiera (sin límite).• La demanda de muñecos es como mucho 40.

Gepetto quiere maximizar sus beneficios.¿Cuántos muñecos y cuántos trenes debe fabricar?

EJEMPLO

INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL


Variables de Decisión x = nº de muñecos producidos a la semana y = nº de trenes producidos a la semana

Función Objetivo. En cualquier PPL, la decisión a tomar es como maximizar (normalmente el beneficio) o minimizar (el coste) de alguna función de las variables de decisión. Esta función a maximizar o minimizar se llama función objetivo. Max. z = 3x + 2y

El objetivo de Gepetto es elegir valores de x e y para maximizar 3x + 2y. Usaremos la variable z para denotar el valor de la función objetivo. La función objetivo de Gepetto es:

Restricciones. Son desigualdades que limitan los posibles valores de las variables de decisión.En este problema las restricciones vienen dadas por la disponibilidad de horas de acabado y carpintería y por la demanda de muñecos.También suele haber restricciones de signo o no negatividad: x ≥ 0 y ≥ 0

Este problema es un ejemplo típico de un problema de programación lineal (PPL).


Cuando x e y crecen, la función objetivo de este problema también crece. Pero no puede crecer indefinidamente porque, para este problema, los valores de x e y están limitados por las siguientes tres restricciones:

Restricción 1: no más de 100 horas de tiempo de acabado pueden ser usadas.

Restricción 2: no más de 80 horas de tiempo de carpintería pueden ser usadas.

Restricción 3: limitación de demanda, no deben fabricarse más de 40 muñecos.

Estas tres restricciones pueden expresarse matematicamente por las siguientes desigualdades:

Restricción 1: 2x + y ≤ 100

Restricción 2: x + y ≤ 80

Restricción 3: x ≤ 40

Además, tenemos las restricciones de signo: x ≥ 0 e y ≥ 0

Restricciones

Max. z = 3x + 2y


Muñeco Tren

Beneficio 3 2

Acabado 2 1 ≤ 100

Carpintería 1 1 ≤ 80

Demanda ≤ 40

Max z = 3x + 2y (función objetivo)

2x + y ≤ 100 (acabado)

x + y ≤ 80 (carpintería)

x ≤ 40 (demanda muñecos)

Variables de Decisión x = nº de muñecos producidos a la semana y = nº de trenes producidos a la semana

x ≥ 0 (restricción de signo) y ≥ 0 (restricción de signo)

Formulación matemática del PPL


Para el problema de Gepetto, combinando las restricciones de signo x ≥ 0 e y ≥ 0 con la función objetivo y las restricciones, tenemos el siguiente modelo de optimización:

Max z = 3x + 2y (función objetivo)

Sujeto a (s.a:)

2x + y ≤ 100 (restricción de acabado)

x + y ≤ 80 (restricción de carpintería)

x ≤ 40 (restricción de demanda de muñecos)

x ≥ 0 (restricción de signo)

y ≥ 0 (restricción de signo)

Formulación matemática del PPL


La región factible de un PPL es el conjunto de todos los puntos que satisfacen todas las restricciones. Es la región del plano delimitada por el sistema de desigualdades que forman las restricciones.

Restricciones de Gepetto

2x + y ≤ 100 (restricción finalizado)

x + y ≤ 80 (restricción carpintería)

x ≤ 40 (restricción demanda)

x ≥ 0 (restricción signo)

y ≥ 0 (restricción signo)

x = 40 , y = 20 está en la región factible porque satisfacen todas las restricciones de Gepetto.También x = 10 , y = 50

Sin embargo, x = 15, y = 70 no está en la región factible porque este punto no satisface la restricción de carpintería x + y ≤ 80 15 + 70 > 80.

Región factible


La mayoría de PPL tienen solamente una solución óptima. Sin embargo, algunos PPL no tienen solución óptima, y otros PPL tienen un número infinito de soluciones.

Cuando decimos que x = 20 e y = 60 es la solución óptima, estamos diciendo que, en ningún punto en la región factible, la función objetivo tiene un valor (beneficio) superior a 180 €.

Para un problema de maximización, una solución óptima es un punto en la región factible en el cual la función objetivo tiene un valor máximo. Para un problema de minimización, una solución óptima es un punto en la región factible en el cual la función objetivo tiene un valor mínimo.

Se puede demostrar que la solución óptima de un PPL está siempre en la frontera de la región factible, en un vértice (si la solución es única) o en un segmento entre dos vértices contiguos (si hay infinitas soluciones)

Más adelante veremos que la solución del PPL de Gepetto es x = 20 e y = 60. Esta solución da un valor de la función objetivo de:

z = 3x + 2y = 3·20 + 2·60 = 180 €

Solución óptima


Este resultado general nos dice donde debe estar la solución de un problema de programación lineal.

Teorema fundamental de la programación lineal

► Si un problema de programación lineal tiene una solución, está situada en un vértice de la región factible.

► Si un problema de programación lineal tiene soluciones múltiples, por lo menos una de ellas está situada en un vértice de la región factible.

► En cualquier caso el valor correspondiente de la función objetivo es único.


► Si un problema de programación lineal tiene una solución, está situada en un vértice de la región factible.

► Si un problema de programación lineal tiene soluciones múltiples, por lo menos una de ellas está situada en un vértice de la región factible.

► En cualquier caso el valor correspondiente de la función objetivo es único.

Este teorema nos indica que deberemos buscar las soluciones en los vértices de la región factible.



2x + y = 100

20

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

X

Representación Gráfica de las restricciones

Cualquier PPL con sólo dos variables se puede resolver gráficamente.

Por ejemplo, para representar gráficamente la primera restricción, 2x + y ≤ 100 :dibujamos la recta 2x + y = 100

Elegimos el semiplano que cumple la desigualdad: el punto (0, 0) la cumple 2·0 + 0 ≤ 100,así que tomamos el semiplano que lo contiene.


Puesto que el PPL de Gepetto tiene dos variables, se puede resolver gráficamente. La región factible es el conjunto de todos los puntos que satisfacen las restricciones:

Dibujar la región factible

2x + y ≤ 100 (restricción de acabado)

x + y ≤ 80 (restricción de carpintería)

x ≤ 40 (restricción de demanda)

x ≥ 0 (restricción de signo)

y ≥ 0 (restricción de signo)

Vamos a dibujar la región factible que satisface estas restricciones.


Teniendo en cuenta las restricciones de signo (x ≥ 0, y ≥ 0), nos queda:

20

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

X


2x + y = 100Restricciones

2x + y ≤ 100

x + y ≤ 80

x ≤ 40

x ≥ 0

y ≥ 0


x + y = 80

20

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

X


Restricciones

2x + y ≤ 100

x + y ≤ 80

x ≤ 40

x ≥ 0

y ≥ 0


20

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

X


x = 40

Restricciones

2x + y ≤ 100

x + y ≤ 80

x ≤ 40

x ≥ 0

y ≥ 0


RegiónFactible20

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

X


2x + y = 100

x + y = 80

x = 40

La intersección de todos estos semiplanos (restricciones) nos da la región factible


RegiónFactible

A

B

C

D

E

20

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

X

Vértices de la región factible

x + y = 80

2x + y = 100

x = 40

La región factible (al estar limitada por rectas) es un polígono.En esta caso, el polígono ABCDE.

Como la solución óptima está en alguno de los vértices (A, B, C, D o E) de la región factible, calculamos esos vértices.

Restricciones

2x + y ≤ 100

x + y ≤ 80

x ≤ 40

x ≥ 0

y ≥ 0


RegiónFactible

E(0, 80)

(20, 60)

C(40, 20)

B(40, 0)A(0, 0)

Los vértices de la región factible son intersecciones de dos rectas.

D

2x + y = 100

x = 40

x + y = 80

B es solución de x = 40 y = 0

C es solución dex = 402x + y = 100

E es solución de x + y = 80 x = 0

20

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

X

La solución del sistema x = 20, y = 60 nos da el punto D.

Vértices de la región factible

El punto D es la intersección de las rectas

2x + y = 100 x + y = 80


RegiónFactible

(0, 80)

(20, 60)

(40, 20)

(40, 0)

(0, 0)

20

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

X

La solución óptima es: x = 20 muñecos y = 60 trenes z = 180 € de beneficio

Resolución analítica

Max z = 3x + 2y

Podemos encontrar la solución óptima calculando el valor de z en los vértices de la región factible.

(0, 0) z = 3·0+2·0 = 0

(40, 0) z = 3·40+2·0 = 120

(40, 20) z = 3·40+2·20 = 160

(20, 60) z = 3·20+2·60 = 180

(0, 80) z = 3·0+2·80 = 160

Vértice z = 3x + 2y


(0, 80)

(20, 60)

(40, 20)

(40, 0)

(0, 0)

z = 0 z = 100z = 180

Resolución gráfica

Max z = 3x + 2y

Para hallar la solución óptima, dibujamos las rectas en las cuales los puntos tienen el mismo valor de z (llamadas rectas de nivel).La figura muestra estas lineas paraz = 0, z = 100, y z = 180

Y

X

20

20 40

40

60

60

80

80

100

RegiónFactible

La última recta de z que interseca (toca) la región factible indica la solución óptima para el PPL. Para el problema de Gepetto, esto ocurre en el punto D(x = 20, y = 60, z = 180).


Hemos identificado la región factible para el problema de Gepetto y buscado la solución óptima, la cual era el punto en la región factible con el mayor valor posible de z.

Recuerda que:

► La región factible en cualquier PPL está limitada por segmentos (es un polígono, acotado o no).

► La región factible de cualquier PPL tiene solamente un número finito de vértices.

► Cualquier PPL que tenga solución óptima tiene un vértice que es óptimo.

Para resolver un problema de programación lineal:

Escribe una expresión para la cantidad que debe ser maximizada o minimizada (función objetivo) y determina todas las restricciones.

Representa gráficamente la región factible.

Obtén una lista de los vértices de la región factible.

Determina el valor de la función objetivo en cada vértice.

Selecciona el valor máximo o mínimo de la función objetivo.

Para resolver un problema de programación lineal:

Escribe una expresión para la cantidad que debe ser maximizada o minimizada (función objetivo) y determina todas las restricciones.

Representa gráficamente la región factible.

Obtén una lista de los vértices de la región factible.

Determina el valor de la función objetivo en cada vértice.

Selecciona el valor máximo o mínimo de la función objetivo.


Dorian Auto fabrica y vende coches y furgonetas. La empresa quiere emprender una campaña publicitaria en TV y tiene que decidir comprar los tiempos de anuncios en dos tipos de programas: del corazón y fútbol.

Dorian Auto quiere saber cuántos anuncios debe contratar en cada tipo de programa para que el coste de la campaña publicitaria sea mínimo.

● Cada anuncio del programa del corazón es visto por 6 millones de mujeres y 2 millones de hombres.

● Dorian Auto quisiera que los anuncios sean vistos por lo menos por 30 millones de mujeres y 24 millones de hombres.

● Cada partido de fútbol es visto por 3 millones de mujeres y 8 millones de hombres.

● Un anuncio en el programa de corazón cuesta 50.000 € y un anuncio del fútbol cuesta 100.000 €.

Un problema de minimización


Corazón

(x)

Fútbol

(y)

mujeres 6 3

hombres 2 8

Coste

1.000€50 100

Formulación del problema

► Cada anuncio del programa del corazón es visto por 6 millones de mujeres y 2 millones de hombres.

► Cada partido de fútbol es visto por 3 millones de mujeres y 8 millones de hombres.

► Un anuncio en el programa de corazón cuesta 50.000 € y en el fútbol cuesta 100.000 €.

Dorian Auto quiere saber cuántos anuncios debe contratar en cada tipo de programa para que el coste de la campaña publicitaria sea mínimo.

► Dorian Auto quisiera que los anuncios sean vistos por lo menos por 30 millones de mujeres y 24 millones de hombres.

Variables de decisión: x = nº de anuncios en programa de corazón y = nº de anuncios en fútbol

6x + 3y ≥ 30

2x + 8y ≥ 24

50x +100y


Formulación del problema

Variables de decisión: x = nº de anuncios en programa de corazón y = nº de anuncios en fútbol

Min z = 50x + 100y

s.a: 6x + 3y ≥ 30

2x + 8y ≥ 24

x, y ≥ 0

(función objetivo en 1.000 €)

(mujeres)

(hombres)

(no negatividad)


X

Y

2 4 6 8 10 12 14

14

12

10

8

6

4

2

6x + 3y = 30

2x + 8y = 24

Dibujamos la región factible

Min z = 50x + 100y

s.a. 6x + 3y ≥ 30

2x + 8y ≥ 24

x, y ≥ 0


La región factibleno está acotada

RegiónFactible

A

B

C

Calculamos los vértices de la región factible

El vértice A es solución del sistema6x + 3y = 30x = 0

Por tanto, A(0, 10)

El vértice B es solución de6x + 3y = 302x + 8y = 24

Por tanto, B(4, 2)

El vértice C es solución de2x + 8y = 24y = 0

Por tanto, C(12, 0)

6x + 3y = 30

2x + 8y = 24


RegiónFactible

A(0, 10)

B(4, 2)

C(12, 0)

Resolvemos por el método analítico

Evaluamos la función objetivo z en los vértices.

A(0, 10) z = 50·0 + 100·10 = = 0 + 10000 = 10 000

B(4, 2) z = 50·4 + 100·2 = = 200 + 200 = 400

C(12, 0) z = 50·12 + 100·0 = = 6000 + 0 = 6 000

El coste mínimo se obtiene en B.

Solución:x = 4 anuncios en pr. corazóny = 2 anuncios en fútbolCoste z = 400 (mil €)

Vértice z = 50x + 100y


RegiónFactible

A(0, 10)

B(4, 2)

C(12, 0)

z = 600

z = 400

Resolvemos por el método gráfico

Min z = 50x + 100y

s.a. 6x + 3y ≥ 30

2x + 8y ≥ 24

x, y ≥ 0

El coste mínimo se obtiene en el punto B.

Solución:x = 4 anuncios en pr. corazóny = 2 anuncios en fútbolCoste z = 400 (mil €)


Algunos PPL tienen un número infinito de soluciones óptimas (alternativas o múltiples soluciones óptimas).

Los dos ejemplos anteriores, Gepetto y Dorian Auto, tienen, cada uno, una única solución óptima.No en todos los PPL ocurre esto. Se pueden dar también las siguientes posibilidades:

Veamos un ejemplo de cada caso.

Algunos PPL no tienen solución óptima debido a dos razones:

- Algunos PPL no tienen soluciones factibles (no tienen región factible).

- Algunos PPL son no acotados: Existen puntos en la región factible con valores de z arbitrariamente grandes (en un problema de maximización).

Número de Soluciones de un PPL


Un problema de programación lineal con múltiples solucionesEJEMPLO

Maximiza f(x, y) = 30x + 60y

x + y ≤ 8x + 2y ≤ 10x ≥ 0y ≥ 0

sujeto a:

1) Región factible. Es el gráfico de la derecha.

Número infinito de soluciones óptimas

A(8, 0)

B(6, 2)

C(0, 5)

x + y = 8

x + 2y = 10

O(0, 0)

RegiónFactible

2) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. O(0, 0) ⇒ f(0, 0) = 30 · 0 + 60 · 0 = 0 A(8, 0) ⇒ f(8, 0) = 30 · 8 + 60 · 0 = 240 B(6, 2) ⇒ f(6, 2) = 30 · 6 + 60 · 2 = 300 Máximo C(0, 5) ⇒ f(0, 5) = 30 · 0 + 60 · 5 = 300 Máximo


3) La solución se alcanza en los vértices B(6, 2) y C(0, 5), por tanto, también se alcanza en todos los puntos del lado que une los puntos B(6, 2) y C(0, 5), es decir, tiene infinitas soluciones.

Se observa gráficamente que el lado BC es paralelo a las rectas de nivel de la función objetivo.

Cualquier punto (solución) situado en el segmento BC puede ser una solución óptima de z = 300.

Un problema de programación lineal con múltiples soluciones (Continuación)EJEMPLO

Número infinito de soluciones óptimas

A(8, 0)

B(6, 2)

C(0, 5)

x + y = 8

x + 2y = 10

O(0, 0)

RegiónFactible


Un problema de programación lineal sin soluciones factiblesEJEMPLO

Minimiza f(x, y) = 17x + 35y

x + y ≥ 72x + 3y ≤ 12x ≥ 0y ≥ 0

sujeto a:

Se observa que la región factible está vacía, es decir, no hay ningún punto en el plano que verifique las restricciones del enunciado del problema. Por tanto, el problema no tiene solución.

Sin soluciones factibles

x + y = 7

2x + 3y = 12

No existe región factible


Maximiza z = x + 2y

sujeto a: x + y 1 x 0 y 0

SOLUCIÓN

La gráfica muestra la región factible.

Las rectas de la función objetivo z = x + 2y para z = 2, z = 8 y z = 12 se muestran también en la figura. Observa que la región factible no es acotada y obtenemos valores más grandes para z moviendo la recta de la función objetivo hacia arriba.

Un problema de programación lineal sin solución óptimaEJEMPLO

Observa que si, se trata de minimizar una función objetivo en un recinto no acotado, sí puede tener solución.

No se alcanza nunca el valor máximo. Puesto que no hay punto factible que hace z el más grande, concluimos que este problema de programación lineal no tiene solución.

PPL no acotado


Puesto que la función objetivo logra su valor máximo o mínimo en un vértice de la región factible, podemos obtener un procedimiento para solucionar un problema de programación lineal que tenga solución.

Pasos resolver un problema de programación lineal

Si un problema de programación lineal tiene una solución, seguir estos pasos para encontrarla:

PASO 1: Escribe una expresión para la cantidad que debe ser maximizada o minimizada (función objetivo).

PASO 2: Determina todas las restricciones y representa gráficamente la región factible.

PASO 3: Obtén una lista de los vértices de la región factible.

PASO 4: Determina el valor de la función objetivo en cada vértice.

PASO 5: Selecciona el valor máximo o mínimo de la función objetivo.

Pasos resolver un problema de programación lineal

Si un problema de programación lineal tiene una solución, seguir estos pasos para encontrarla:

PASO 1: Escribe una expresión para la cantidad que debe ser maximizada o minimizada (función objetivo).

PASO 2: Determina todas las restricciones y representa gráficamente la región factible.

PASO 3: Obtén una lista de los vértices de la región factible.

PASO 4: Determina el valor de la función objetivo en cada vértice.

PASO 5: Selecciona el valor máximo o mínimo de la función objetivo.


Dibujamos la región factible.

Los vértices de la región factible son: (0, 3) (8, 1) (8, 0) (2, 0) (0, 2)

SOLUCIÓN

Resolver un problema de programación linealEJEMPLO

Maximiza y minimiza la función objetivo z = x + 5y

sujeto a: x + 4y 12 x 8 x + y 2 x 0 y 0


Para encontrar el valor máximo y mínimo de la función objetivo z = x + 5y, construimos la tabla:

El valor máximo de z es 15, y ocurre en el punto (0, 3).El valor mínimo de z es 2, y ocurre en el punto (2, 0).

Vértice(x, y)

Valor de la función objetivo z = x + 5y

(0, 3) (8, 1) (8, 0) (2, 0) (0, 2)

z = 0 + 5(3) = 15 z = 8 + 5(1) = 13 z = 8 + 5(0) = 8 z = 2 + 5(0) = 2 z = 0 + 5(2) = 10

Resolver un problema de programación lineal (Continuación)EJEMPLO


Una persona tiene 30.000 € para invertir. Su corredor recomienda invertir en dos tipos de fondos: uno AAA que rinde el 8%; el otro B+ rinde el 12%. Después de pensarlo, la persona decide invertir a lo más 12.000 € en el B+ y por lo menos 6000 € en AAA. También desea que la cantidad invertida en AAA debe exceder o igualar la cantidad invertida en B+. ¿Qué debe recomendar el corredor si la persona desea maximiza la rentabilidad de su inversión?

SOLUCIÓN Sean las variables: x = cantidad invertida en el fondo AAA y = cantidad invertida en el fondo B+

Las condiciones especificadas por el problema son:

z = 0.08x + 0.12y

Hasta 30.000 € disponibles para invertir

Invertir a lo más 12.000 € en el fondo B+

Invertir por lo menos 6000 € en el fondo AAA

La cantidad en el fondo AAA debe exceder o igualar a la cantidad en el fondo B+

x y

x + y 30 000

y 12 000

x 6 000

La cantidad a maximizar, la rentabilidad en la inversión, es

Planificar la inversiónEJEMPLO


La figura ilustra la región factible, que es acotada. Los vértices de la región factible son

(6000, 0)(6000, 6000)(12000, 12000)(18000, 12000)(30000, 0)

Además, debemos tener las condiciones x 0 e y 0. La lista total de restricciones es

x + y 30 000 y 12 000x 6 000 x y x 0 y 0

Planificar la inversión (Continuación)EJEMPLO


La rentabilidad de la inversión correspondiente en cada vértice es

El máximo rendimiento en la inversión es 2880 €, obtenido colocando 18.000 € en el fondo AAA y 12.000 € en el fondo B+.

Vértice(x, y)

Valor de la función objetivo (rentabilidad) z = 0.08x + 0.12y

(6000, 0)

(6000, 6000)

(12000, 12000)

(18000, 12000)

(30000, 0)

z = 0.08(6000) + 0.12(0) = 480 €

z = 0.08(6000) + 0.12(6000) = 480 + 720 = 1200 €

z = 0.08(12000) + 0.12(12000) = 960 + 1440 = 2400 €

z = 0.08(18000) + 0.12(12000) = 1440 + 1440 = 2880 €

z = 0.08(30000) + 0.12(0) = 2400 €

Planificar la inversión (Continuación)EJEMPLO


Imaginemos que las necesidades semanales mínimas de una persona son de 8 unidades de proteínas, 12 unidades de hidratos de carbono y 9 unidades de grasa. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composición mínima mezclando dos productos A y B, cuyos contenidos por kg son los de la siguiente tabla:

¿Cuántos Kg de cada producto deberán comprarse semanalmente para que el costo de preparar la dieta sea mínimo?

SOLUCIÓN

Sean x los kg de A e y los kg de B, entonces hay que minimizar el coste z

z = 6x + 4y

Proteínas Hidratos Grasas Coste/kg

AB

21

61

13

64

El problema de la dietaEJEMPLO


Proteínas Hidratos Grasas Coste/kg

A

B

21

61

13

64

8 12 9 Min

2x + y 8 (Proteínas)Las restricciones impuestas en proteínas, hidratos de carbono y grasas, se pueden expresar:

Minimiza z = 6x + 4y

Sujeto a: 2x + y 8 6x + y 12 x + 3y 9 x 0 y 0

6x + y 12 (Hidratos de carbono)

x + 3y 9 (Grasas)

x 0 y 0

Min z = 6x + 4y

Por tanto, el PPL que hemos de resolver es:

El problema de la dieta (Continuación)EJEMPLO


Representamos la región factible correspondiente a las restricciones:

2x + y 86x + y 12x + 3y 9 x 0 y 0

A(0, 12)

B(1, 6)

C(3, 2)

D(9, 0)

Región factible

Vértice(x, y)

Valor de la función objetivo z = 6x + 4y

A(0, 12)B(1, 6)C(3, 2)D(9, 0)

z = 6·0 + 4·12 = 48 z = 6·1 + 4·6 = 30 z = 6·3 + 4·2 = 26 z = 6·9 + 4·0 = 54

Solución: deberán comprarse 3 kg de A y 2 kg de B. Su coste (mínimo) será de 26 €.

El problema de la dieta (Continuación)EJEMPLO

2x + y = 8

6x + y = 12

x + 3y = 9

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