Tema 5 . Presin lateral de tierra.

Introduccin

En ocasiones las construcciones civiles exigen que en un determinado terreno de superficie infinita, sea retirado parte del macizo, sustituyendo su accin con la introduccin de un elemento vertical rgido. Si el elemento situado esta esttico, no se desplaza horizontalmente y por ende la masa de suelo no sufre deformaciones (ni de traccin ni de compresin). Si el elemento rgido se desplaza, alejndose progresivamente del suelo, el macizo sufrir deformaciones de traccin; de lo contrario, o sea, si el elemento empuja contra el macizo comprimindolo, las deformaciones son de compresin.Existirn entonces dos tipos de empujes, los que llamaremos a seguidas empuje activo, cuando las deformaciones horizontales que sufre el suelo son de traccin, y empuje pasivo, cuando las deformaciones horizontales son de compresin (Figura 0).

Figura 0Variacin de la magnitud de la presin lateral de tierra con la inclinacin del muro.

El diseo y construccin apropiada de esas estructuras de retencin requieren un pleno conocimiento de las fuerzas laterales que actan entre las estructuras de retencin y las masas de suelo que son retenidas. Esas fuerzas laterales son causadas por la presin lateral de la tierra. Este tema se dedica al estudio de varias teoras sobre la presin de tierra.

Para hacer el diseo de un muro de sostenimiento adecuadamente, los parmetros bsicos del suelo deben ser conocidos. Estos parmetros son peso unitario (), ngulo de friccin interna () y cohesin (C).

Fases del diseo de muros1. Conocido la presin lateral del suelo, la estructura debe ser chequeada por estabilidad (vuelco, deslizamiento y capacidad soportante)2. Chequeo estructural del muro para que soporte los esfuerzos con seguridad y se calcula los refuerzos.En lo adelante nos ocuparemos del punto 1

Presin o empuje de tierra en reposo

Como ya se conoce, un punto dentro de una masa de suelo a una profundidad (Z) dada estar sometido a una presin vertical v = *Z, debido a la propia sobrecarga natural y a su vez, producto del confinamiento a una presin horizontal (h), que no es ms que un por ciento de la presin anterior (v).

Como no hay posibilidad de desplazamiento lateral, se produce una condicin de equilibrio conocida como condicin k0 (coeficiente de empuje en reposo).

Luego podemos decir que:Empuje de tierra en reposo es el empuje inicial que ejerce un terreno en la direccin horizontal antes de ser excavado, o antes de que un muro adosado a l experimente movimiento alguno.

Si se representa en un diagrama de Morh, el crculo correspondiente al estado de esfuerzos descritos anteriormente (empuje en reposo), como resultado del ensayo triaxial, que se obtendra?:

La relacin entre las presiones efectivas horizontales y verticales (iniciales) cuando no hay desplazamiento, recibe el nombre de coeficiente de empuje en reposo y se designa por Ko.

Consideremos la masa de suelo mostrada en la figura 1. La masa est limitada por un muro sin friccin AB que se extiende hasta una profundidad infinita. Un elemento de suelo localizado a una profundidad z est sometido a presiones efectivas vertical y horizontal de y , respectivamente. Para este caso, como el suelo est seco, tenemos:

y

Donde y son las presiones totales vertical y horizontal, respectivamente. Note tambin que no hay esfuerzos cortantes sobre los planos vertical y horizontal.

Si el muro AB es esttico, es decir, si no se mueve ni hacia la derecha ni hacia izquierda de su posicin inicial, la masa de suelo est en un estado de equilibrio esttico; es decir, la deformacin unitaria horizontal es 0. La relacin del esfuerzo efectivo horizontal respecto del esfuerzo vertical se llama coeficiente de presin de tierra en reposo:

En otras palabras, si el muro y el terreno sobre el que se cimenta son tales que las deformaciones son prcticamente nulas, se est en el caso de empuje al reposo. Algunos muros de gravedad y de stano pueden encontrarse en ese caso. Si el muro se desplaza, permitiendo la expansin lateral del suelo se produce un fallo por corte del suelo y la cua de rotura avanza hacia el muro y desciende. El empuje se reduce desde el valor del empuje al reposo hasta el denominado valor de empuje activo, que es el mnimo valor posible del empuje.

Por el contrario, si se aplican fuerzas al muro de forma que ste empuje al relleno, el fallo se produce mediante una cua mucho ms amplia, que experimenta un ascenso. Este valor recibe el nombre de empuje pasivo y es el mayor valor que puede alcanzar el empuje. El empuje al reposo es por tanto de valor intermedio entre el empuje activo y el empuje pasivo.

Fig. 1 Presin de tierra en reposo

Como , tenemos:,

Para suelos de grano grueso, el coeficiente de presin de tierra en reposo se estima por la relacin emprica:

Donde es ngulo de friccin drenada. Para suelos de grano fino, normalmente consolidada Massarsch (1979) sugiri la siguiente ecuacin para :

Para arcillas preconsolidadas, el coeficiente de presin de tierra en reposo se aproxima por:

donde:

OCR: es la relacin de pre consolidacin. Ya se conoce que la relacin o tasa de preoconsolidacion es igual a:

La magnitud de en la mayora de los suelos vara entre 0.5 y 1.0, con tal vez valores mayores para arcillas fuertemente preconsolidadas.

La figura 2 muestra la distribucin de la presin de tierra en reposo sobre un muro de altura h. La fuerza total por unidad de longitud de muro, ,es igual al rea del diagrama de presiones, por lo que:

(Empuje resultante efectivo en reposo, ubicado a una profundidad Z = 1/3 H.)

Figura 2 Distribucin de la presin de tierra en reposo sobre un muro.

Presin de tierra en reposo para un suelo parcialmente sumergido

La figura 3a muestra un muro de altura H.El nivel del agua fretica est localizado a una profundidad h1debajo de la superficie del terreno y no hay agua compensante del otro lado del muro. Paraz H1, la presin lateral total de tierra en reposo se da como:

Figura 3Distribucin de la presin de tierra en reposo para un suelo parcialmente sumergido.

La variacin de con la profundidad se representa por el tringulo ACE en la figura 3a. Sin embargo, para ZH1 (es decir, debajo del agua fretica), la presin sobre el muro se encuentra a partir de los componentes del esfuerzo efectivo y de la presin de poro, de la manera siguiente:

donde: . Entonces la presin lateral efectiva en reposo es:

La variacin de con la profundidad se muestra por CEGB en la figura 3a. De nuevo, la presin lateral del agua de poro es:

La variacin de u con la profundidad se muestra en la figura3b.

Por consiguiente, la presin lateral total de la tierra y el agua a cualquier profundidad z> H1es igual a:

La fuerza por ancho unitario de muro se halla de la suma de las reas de los diagramas de presin en las figuras 3(a) y (b) y es igual a:

Existen varios mtodos que permiten determinar el empuje de tierra, a saber:

Teora de Rankine para suelos granulares. Mtodo grfico de Poncelet. Teora de Coulomb para suelos granulares.

Teora de Rankine de las presiones de tierra, activa y pasiva

La teora de RANKINE para el clculo de empujes se basa en las hiptesis de que el terreno presenta superficie libre plana y est en el llamado estado Rankine, en el cual presenta dos series de superficies planas de rotura, formando ngulos de 45 + /2 con la horizontal.

El trmino equilibrio plstico en suelos se refiere a la condicin en que cada punto en una masa de suelo est a punto de fallar. Rankine (1857) investig las condiciones de esfuerzo en el suelo en un estado de equilibrio plstico. Esta seccin trata la teora de la presin de tierra de Rankine.Rankkine desarroll un mtodo, que se designa de Estado de equilibrio Lmite de Rankine. Este mtodo consiste en calcular las presiones que determinado elemento rgido va a soportar cuando este se encuentra en contacto con un macizo en estado de equilibrio lmite. La teora de Rankine acepta las siguientes hiptesis:

1. El macizo es de naturaleza puramente friccional.2. La superficie del terreno (terrapln)es horizontal. 3. El elemento es vertical y rgido.4. No existen tensiones tangenciales entre el elemento y el suelo.

Estado activo de Rankine

La figura 4a muestra la misma masa de suelo que se ilustr en la figura.1, la cual est limitada por un muro AB sin friccin que se extiende hasta una profundidad infinita.Los esfuerzos efectivos principales vertical y horizontal sobre un elemento de suelo a una profundidad z son y h, respectivamente. Como vimos, si al muro no se le permite movimiento alguno, entonces . La condicin de esfuerzo en el elemento de suelo es representado por el crculo a de Mohr en la figura 4b. Sin embargo, si se permite que el muro AB se mueva alejndose gradualmente de la masa del suelo, entonces el esfuerzo efectivo principal horizontal decrecer. Finalmente, se alcanzar un estado en el que la condicin de esfuerzo en el elemento de suelo es representada por el crculo b de Mohr, o estado de equilibrio plstico, y ocurrir la falla del suelo(en otras palabras, las presiones horizontales disminuirn con respecto a las de reposo hasta llegar a un valor mnimo, momento en cual el suelo detrs del muro alcanza su estado de falla), denominado estado activo de Rankiney la presin 'asobre el plano vertical (que es un plano principal) es la presin activa de tierra de Rankine. A continuacin obtendremos 'aen trminos de , z, c, y . De la figura 4b, tenemos:

(b)

Figura 4. Presiones activa de tierra de Rankine

pero

y

por lo que:

o

o

(A)

Pero

'o: presin de sobrecarga efectiva vertical =

y

Sustituyendo la expresin anterior en la ecuacin (A), obtenemos

(1)

La variacin de 'acon la profundidad se muestra en la figura 4c. Para suelos sin cohesin, c= 0 y

La razn de 'arespecto a 'ose llama coeficiente de presin de tierra activa de Rankine, Ka..

empuje de tierra en estado activo. Segn Rankine se obtiene como

Nuevamente, de la figura 4b, podemos ver que los planos de falla en el suelo forman ngulos de (45 + /2)con la direccin del plano principal mayor, es decir, con la horizontal. Esos planos de falla se llaman planos de deslizamiento, los cuales se muestran en la figura 4d.

Ejercicio 1

Calcule la presin de tierra activa de Rankine por unidad de longitud del muro mostrado en la figura

Estado pasivo de Rankine

El estado pasivo de Rankine est ilustrado en la figura 5. AB es un muro sin friccin que se extiende hasta una profundidad infinita. La condicin de esfuerzo inicial sobre un elemento de suelo est representada por el crculo a de Mohr en la figura 5b. Si el muro es empujado gradualmente hacia la masa de suelo, el esfuerzo efectivo principal 'h se incrementar. Finalmente, el muro alcanzar un estado en el que la condicin de esfuerzo en el elemento de suelo es representada por el crculo b de Mohr.

En este momento ocurrir la falla del suelo, a lo cual se le llama estado pasivo de Rankine. La presin lateral de tierra efectiva 'p, que es el esfuerzo principal mayor, se llama presin de tierra pasiva de Rankine. De la figura 5b se demuestra que:

(2)

La derivacin es similar a la del estado activo de Rankine.

La figura 5c muestra la variacin de la presin pasiva con la profundidad. Parasuelos sin cohesin (C = 0), tenemos:

Kpen la ecuacin anterior se llama coeficiente de presin de tierra pasiva de Rankine. Los puntos D y D' sobre el crculo de falla (figura 5b) corresponden a los planos de deslizamiento en el suelo. Para el estado pasivo de Rankine, los planos de deslizamiento forman ngulos de (45 - /2) con la direccin del plano principal menor, es decir, con la direccin horizontal. La figura 5d muestra la distribucin de los planos de deslizamiento en la masa del suelo.

Figura 5

Ejercicio 2Calcule la presin de tierra pasiva de Rankine por unidad de longitud en el muro mostrado en la figura de ejercicio 1 y determine tambin la posicin de la resultante.

Efecto de la cedencia del muro

De todo la anterior se puede resumir que el valor de K, relacin entre las presiones efectivas horizontal y vertical,vara conforma las deformaciones horizontales sufridas por una masa triangular de suelocuandoest sujeta a determinadas solicitaciones, de manera que se tiene tres tipos de coeficientes de impulso, a saber: coeficiente de empuje en reposo, Ko, coeficiente de empuje activo, Ka, y coeficiente de empuje pasivo, Kp. Queda claro tambin que es necesario un movimiento suficientementegrandedel elemento rgido o muro para alcanzar un estado de equilibrio plstico. Sin embargo, la presin lateral de tierra contra un muro es muy influenciada por la manera en que el muro realmentecede. En la mayora de los muros de retencin simples, el movimientoocurre por simple traslacin o, ms frecuentemente, por rotacin respecto a la base.Para un anlisis terico preliminar, consideremos un muro de retencin sin friccin representado por un plano AB, como muestra la figura6. Si el muro AB, gira suficientemente respecto al fondo a una posicin A'B, una masa triangular de suelo ABC adyacente al muro alcanzar el estado activo de Rankine. Como los planos de deslizamiento en este estado forman ngulos de (45 + /2) con el plano principal mayor, la masa de suelo en el estado de equilibrio plstico est limitado por el plano BC', que forma ngulo de (45 + /2) con la horizontal. El suelo dentro de la zona ABC sufre la mismadeformacin unitaria en la direccin horizontal en todas partes, que es igual a La/La. La presin lateral de tierra sobre el muro a cualquier profundidad z desde la superficie del terreno se calcula con la ecuacin (1).

Figura X Rotacin de un muro sin friccin respecto al fondo.

De manera similar, si el muro sin friccin AB(figura Xb) gira suficientemente en la masa del suelo a una posicin A"B, entonces la masa triangular de suelo ABC"alcanzar el estado pasivo de Rankine. El plano de deslizamiento BC"que limita la cua de suelo que est en un estado de equilibrio plstico, forma un ngulo de (45 - /2) con la horizontal. Cada punto del suelo en la zona triangular ABC" sufre la misma deformacin unitaria en la direccin horizontal, que es igual a Lp/Lp. La presin pasiva sobre el muro a cualquier profundidad z se evala con la ecuacin (2).Valores tpicos de la mxima inclinacin del muro (La y Lp) requeridos para alcanzar el estado de Rankine, se dan en la tabla siguiente

La siguiente figura muestra la variacin de la presin lateral de tierra con la inclinacin del muro.

DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIN DE LA PRESIN LATERAL DE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCIN

a) Relleno. Suelo sin cohesin con superficie horizontal del terreno

Caso activo. La figura 9a muestra un muro de retencin con relleno de suelo sin cohesin que tiene una superficie horizontal en el terreno. El peso especfico y el ngulo de friccin del suelo son y , respectivamente. Para el estado activo de Rankine, la presin de tierra a cualquier profundidad contra el muro de retencin se da por la ecuacin (9.15):

)En este caso el diagrama de presiones es triangular y el valor del empuje se obtiene de esta forma.

aumenta linealmente con la profundidad, y en el fondo del muro, ser:

La fuerza total o empuje resultante, Pa, por longitud unitaria de muro es igual al rea del diagrama de presin, por lo que:

La resultante estara situada a 1/3 H a partir del punto de giro. Es necesario destacar que el mejor relleno para el trasds de un muro es un suelogranular seco.

Figura 9. Distribucin de la presin contra un muro de retencin para un relleno de suelo sin cohesin con superficie horizontal del terreno (a) estado activo de Ranine (b) estado pasivo de Rankine.

Caso pasivoLa distribucin de la presin lateral contra un muro de retencin de altura H para el estado pasivo de Rankine se muestra en la figura 9b. La presin lateral de la tierra a cualquier profundidad Z, C= 0 es:

La fuerza total Pp, por longitud unitaria de muro es:

Ejercicio 3 Determine La fuerza total o empuje resultante, Pa, por longitud unitaria de muro en la situacin presentada en el ejercicio 1

b) Relleno. Suelo sin cohesin parcialmente sumergido soportando sobrecarga

Caso activo. La figura 10a muestra un muro de retencin sin friccin, de altura H y un relleno de suelo sin cohesin. El nivel del agua fretica est a una profundidad de H1 debajo de la superficie del terreno, y el relleno est soportando una presin de sobrecarga q por rea unitaria. Sabemos que la presin de tierra activa efectiva a cualquier profundidad se da por:

donde'oy 'ason las presiones efectivas vertical y lateral, respectivamente. En z = 0,

Y

A la profundidad z = H1,

y

A la profundidad z = H

Y

donde. La variacin de 'acon la profundidad se muestra en la figura 10b.La presin lateral sobre el muro de la presin de poro entre z = 0 y H1es 0, y para z > H1sta aumenta linealmente con la profundidad (figura 10c). En z = H,

El diagrama de la presin lateral total, a, (figura 10d) es la suma de los diagramas de presin mostrados en las figuras 10b y c. La fuerza activa total por longitud unitaria del muro es el rea del diagrama de la presin total. Entonces,

Caso pasivoLa figura 11a muestra el mismo muro de retencin que la figura 10a. La presin pasiva de Rankine (efectiva) a cualquier profundidad contra el muro se da por la ecuacin (9.19):

Usando la ecuacin anterior, podemos determinar la variacin de 'pcon la profundidad, mostrada en la figura 11b. La variacin de la presin por el agua sobre el muro con la profundidad se muestra en la figura 11c. La fig11d muestra la distribucin de la presin total, p, con la profundidad. La fuerza pasiva lateral total por longitud unitaria del muro es el rea del diagrama dado en la figura 11d.

Figura 10. Distribucin de la presin activa de tierra de Ranqine contra un muro de retencin con relleno de un suelo sin cohesin parcialmente sumergido y soportando una sobrecarga.

Figura 11 Distribucin de la presin pasiva de tierra de Rankine contra un muro de retencin de relleno de un suelo sin cohesin parcialmente sumergido y soportando una sobrecarga.

c) Relleno, Suelo cohesivo con relleno horizontal

Caso activoLa figura 12a muestra un muro de retencin sin friccin con un relleno de suelo cohesivo. La presin activa contra el muro a cualquier profundidad debajo de la superficie del terreno se expresa como [ecuacin (9.15)]:

La variacin de con la profundidad se muestra en la figura 12b, y la variacin de con la profundidad se exhibe en la12c. Note que no es funcin de z, por lo que la figura 9.12c es un rectngulo. La variacin del valor neto de acon la profundidad est graficada en la figura 12d. Note tambin que debido al efecto de la cohesin, aes negativa en la parte superior del muro de retencin. La profundidad zoen la que la presin activa se vuelve igual a 0 se encuentra con la ecuacin (9.15):

Para la condicin no drenada, esto es, =0, y C=Cu (cohesin no drenada), tenemos:

Entonces, con el tiempo, se desarrollarn grietas de tensin en la interfaz suelo-muro hasta una profundidad Zo.

Figura 12. Distribucin de la presin activa de tierra de Rankine contra un muro de retencin con relleno de un suelo cohesivo.

La fuerza activa total por longitud unitaria de muro se encuentra del rea del diagrama de presin total (figura 12d), o

Para la condicin = 0,

Para el clculo de la fuerza activa total, es comn tomar en cuenta las grietas de tensin. Como no existe contacto entre el suelo y el muro hasta una profundidad de Zo despus del desarrollo de las grietas de tensin, la distribucin de la presin activa contra el muro entreyH (figura 12d) es la nica considerada. En este caso,

Para la condicin = 0,

Note que, en la ecuacin (9.39), es el peso especfico saturado del suelo.

Caso pasivoLa figura 13a muestra el mismo muro de retencin con relleno similar al considerado en la figura 12a. La presin pasiva de Rankine contra el muro a la profundidad Z se da por [ecuacin (9.18)]

c

Enz=0,

y en z = H

Figura 13. Distribucin de la presin activa de tierra de RAnkine contra un muro de retencin con relleno de un suelo cohesivo.

La variacin de pcon la profundidad se muestra en la figura b. La fuerza pasiva por longitud unitaria del muro se encuentra con el rea de los diagramas de presin como

Para la condicin = 0, Kp= 1 y (4)

En la ecuacin (4), es el peso especfico saturado del suelo

En el caso de suelos cohesivos puros (= 0, C 0), En este caso como = 0 el coeficiente de empuje activo se hace unitario y por tanto:

La distribucin de presiones sera:

La resultante del empuje seria:

La posicin de la resultante se obtendr como resultado de hacer momento de laresultante del rectngulo y del triangulo con respecto a la base del muro.

Obsrvese ahora que en la superficie cuando no existe sobrecargas, V= 0 y el empujeofrece valores negativos iguales a -2C. Esto significa que se forma una grieta en eltrasds del muro

Ejercicio 3

Si el muro de retencin mostrado en la figura no puede moverse, cul ser lafuerza lateral por longitud unitaria del muro?

Ejercicio 4

En la figura se muestra un muro de retencin. Determine la fuerza activa de Rankine por longitud unitaria de muro. Determine tambin la posicin de la resultante.

Ejercicio 5

Un muro de retencin que tiene un relleno de arcilla blanda y saturada, se muestra enla figura. Para la condicin no drenada (= 0) del relleno, determine los siguientesvalores:

a) La profundidad mxima de la grieta de tensinb) Pa antes de que ocurra la grieta de tensinc)Pa despus de que ocurra la grieta de tensin

Ejercicio 6

En la figura se muestra un muro de retencin sin friccin.

a) Determine la fuerza activa,Pa, despus de que ocurre la grieta de tensin.b) Cul es la fuerza pasiva, Pp?

Anlisis aproximado de la fuerza activa sobre muros de retencin

En consideraciones prcticas de diseo, la fuerza activa sobre un muro de retencin se calcula usando el mtodo de Rankine o el de Coulomb. El procedimiento de clculo para un muro de retencin de gravedad con relleno granular se muestra en la figura 14.

La figura 14a muestra un muro de retencin de gravedad con un relleno que tiene una superficie horizontal del terreno. Si se usa el mtodo de Rankine, el empuje activo se calcula sobre un plano vertical trazado por el taln del muro aplicando la ecuacin conocida: (A)donde:

En tal caso, se suma vectorialmente al peso de la cua de suelo, Ws, para el anlisis de estabilidad.

La figura 14b muestra un muro de retencin similar con un relleno granular que tiene una superficie inclinada del terreno. La ecuacin (A), o solucin de Rankine,seutiliza para determinar la fuerza activa sobre un plano vertical que pasa por el taln del muro, que entonces se suma vectorialmente al peso de la cua de suelo ABC2para el anlisis por estabilidad. Sin embargo, note que la direccin de la fuerza activa de Rankine ya no es horizontal en este caso y el plano vertical BC2no es el plano principal menor. El valor de se da por la relacin:

Figura 14.donde H' = BC2 y(B)donde a : talud de la superficie del terreno.

La Paobtenida est a una distancia H/3 medida verticalmente desde Be inclinada un ngulo respecto a la horizontal. Los valores de Kadefinidos por la ecuacin anterior para varios ngulos de talud y ngulos de friccin del suelo se dan en la tabla siguiente. Para una superficie horizontal del terreno (es decir, ), la ecuacin (B) se convierte en:

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