Tema 1. Sistemes Lineals

8/16/2019 Tema 1. Sistemes Lineals

1/44

Tema 1: Sistemes lineals

-1/44-

TEMA 1: SISTEMES LINEALS

OBJECTIUS

1.1. Entendre i saber aplicar els fonaments matemàtics de la teoriade circuits a la resolució de problemes concrets, tant al dominidel temps com al domini de la freqüència complexa mitjançantl’ús de la transformada de Laplace.

1.2. Apreciar les conseqüències de la linealitat, el principi desuperposició i els teoremes de Thévenin i Norton.

1.3. Aprendre a desenvolupar i utilitzar models de circuit equivalent per components electrònics reals, des de resistències icondensadors fins a transistors i amplificadors operacionals.

1.4. Saber fer servir diferents mètodes de resolució de circuitslineals, incloent mètodes de simplificació com ara lesreduccions sèrie-paral·lel, divisors de corrent i de tensió i elsmètodes de malles i nusos.

1.5. Saber aplicar el mètode d’impedàncies complexes a la

resolució de circuits de corrent altern.


2/44


-2/44-

1.6. Conèixer el significat de la funció de transferència i larepresentació dels pols i zeros al pla complex.

1.7. Saber com deduir la resposta en freqüència d’un sistema lineala partir de la funció de transferència. Comprendre la

representació assimptòtica als diagrames de Bode de laresposta en freqüència.

PRÀCTIQUES ASSOCIADES: 1, 2 i 3

1.8. Aprendre i familiaritzar-se amb la instrumentació del laboratorii els mètodes elementals de mesura.

1.9. Introduir-se en la simulació de dispositius i circuits electrònicsamb PSPICE

1.10. Construir circuits elementals amb elements passius i mesurar elseu comportament en el temps i la freqüència; comparar ambels resultats calculats.

1. Sistemes lineals1.1. Anàlisi en funció del temps 3

1.1.1. Elements d’un circuit lineal 31.1.2. Equacions de xarxa. Lleis de Kirchhoff 8

1.2. La transformació de Laplace i els circuits lineals 9

1.2.1.

La transformada de Laplace 91.2.2. Funcions d’impedància 111.3. Sistemes lineals en el domini de la freqüència complexa 13

1.3.1. Funció de transferència d’un sistema lineal 131.3.2. Funcions de xarxa: pols i zeros 171.3.3. Anàlisi sinusoïdal d’estat permanent 181.3.4. Gràfiques de la resposta en freqüència: diagrames de Bode 19

1.4. Esquema general d’un sistema analògic 251.4.1. Adaptació d’impedàncies 27

Annex 1: Mètodes generals d’anàlisi 30Annex 2: Teoremes de Thévenin i Norton 36

Annex 3: Exemples de funcions de transferència 38Annex 4: Condicions per a la funció de transferència 40Annex 5: Funció de transferència i resposta dels filtres RC 41


3/44


-3/44-

SISTEMES LINEALS

En aquest primer tema s’introdueixen els elements i circuits lineals i els mètodes

fonamentals d’anàlisi, per després poder aplicar-los a l’anàlisi i disseny de sistemes méscomplexos dedicats a aplicacions específiques.

Un circuit és un camí tancat pel qual pot circular corrent. És lineal si nomésconté elements que es comporten linealment i, en aquest cas, queda descrit per unaequació lineal com les que abunden en altres camps de la Física (Mecànica, Ones,Fluids, ...). En Electrònica els circuits normalment cauen fora d’aquesta classificació,

perquè en general els dispositius electrònics no són lineals. Però es poden trobarcondicions en què es comportin linealment (petit senyal), amb la qual cosa es potaproximar llur comportament pel seu equivalent lineal. És per això fonamental sabertreballar amb aquest tipus de sistemes.

Les magnituds físiques fonamentals que determinen el comportament d’uncircuit elèctric o electrònic són la intensitat del corrent, i (amb direcció, vector i) i ladiferència de potencial o tensió, v. S’expressen en ampers (A) i volts (V)respectivament, i poden dependre del temps: v(t), i(t). Altres magnituds associades són:

la càrrega ( )· (en coulombs, C)Q i t dt = ∫ ,el flux magnètic ( )· (en webers, Wb)v t dt φ = ∫ ,la potència p(t)= v(t)·i(t) (en watts W) i

l’energia ( )· (en joules, J) E p t dt = ∫ .

1.1. Anàlisi en funció del temps

Tractem aquí l’anàlisi més general en l’espai real, en funció del temps,començant per presentar els diferents elements que poden prendre part en un circuitlineal i continuant amb els mètodes d’anàlisi.

1.1.1. Elements d’un circuit lineal

Poden ser actius o passius, depenent de si proporcionen energia al circuit o bé laconsumeixen transformant-la en algun altre tipus d’energia (calor, so, llum, ...).

a) Elements actius. Són les fonts, que poden ser de tensió o corrent. Si elsvalors de v, i generats són paràmetres independents del circuit, s’anomenen FONTSINDEPENDENTS. Si els v, i generats depenen del corrent o tensió d’algun altre punt

del circuit, són FONTS DEPENDENTS.


4/44


-4/44-

Font de tensió ideal: És un dispositiu capaç de produir una tensió fixa, independentmentdel que connectem entre els seus borns.

BateriaPilaFont d’alimentació

Font de corrent ideal: És un dispositiu que genera un corrent fix independent del queconnectem entre els seus borns.

On s’ha utilitzat el conveni general de: majúscules per magnituds o paràmetresconstants, minúscules per magnituds variables amb el temps, i combinació demajúscules i minúscules per magnituds amb components constants i variables alhora.

b) Elements passius: consumeixen o emmagatzemen energia

Resistència, R: El paràmetre R (unitats ohms, Ω) està relacionat amb la pèrduad’energia dels portadors de càrrega degut a l’oposició que presenta el material a ser

travessat per ells. Tal pèrdua d’energia per unitat de càrrega s’interpreta com a caigudade potencial a través del material.

La llei d’Ohm estableix que el quocient v/i és independent de i:

1 2 constantv v v

R

i i

−≡ = =

i(t)

v2 v1

i

INDEPENDENT DEPENDENT

- + - +

v (t) v(t) = Rio(t)

+-~

CONTÍNUA ALTERNA

V v(t) = V sin ωt

i

v

i

vINDEPENDENT DEPENDENT

i (t) i(t) = Gvo(t)


5/44


-5/44-

Per a un material homogeni de secció constant S i llargada L, la resistència val:σ : conductivitat (Ω-1·cm-1)

resistivitat (Ω·cm)

De vegades es defineix la conductància, invers de la resistència, RG

1

= (en siemens, S).

La potència dissipada en una resistència per efecte Joule és 2 p vi Ri= = . És sempre positiva; per tant sempre absorbeix energia elèctrica del circuit.

Capacitat, C: Representa la càrrega que es pot emmagatzemar gràcies a un diferència detensió entre dos elements conductors separats per un dielèctric. Es mesura en faradis, F.

dv

dqC ≡ i ( ) ( ') '

t

q t i t dt −∞

= ∫ ⇒ ∫ ∞−==t

dt t iC

t vdt

dvC t i ')'(

1)(,)(

Sempre es podrà separar la tensió inicial al condensador, v(0), com una font

independent afegida ∫+=t

dt t iC

vt v0

')'(1

)0()(

La capacitat més típica és la d’un condensador de plaques metàl·liques plano-paral·leles

d’àrea A separades per un aïllant de constant dielèctrica ε i gruix d:C A

d

ε =

El corrent a través d’un condensador és nul si la tensió no varia. Per tant, el condensadoractua com un circuit obert per al corrent continu, i s’oposa a canvis sobtats de tensió, jaque induiria un corrent infinit.

Per altra banda, la potència consumida en una capacitat valdv

p vi Cvdt

= = .

Aquesta potència pot ser positiva (càrrega del condensador, consumint), o negativa(descàrrega del condensador, cedint potència al circuit). Però el balanç sempre serà

positiu o nul, ja que no es pot descarregar més del que s’ha carregat prèviament, i peraixò el condensador és considerat un dispositiu passiu.

Autoinducció (L): El pas d’un corrent indueix un flux magnètic al voltant del conductor per on circula, que pot influir en la resta del circuit. Especialment, si el conductor estàenrotllat en forma de bobina, les línies de flux es concentren al seu eix, generant un fluxmagnètic total proporcional a la intensitat del corrent: Ø = Li (L en henris, H).

L R

S σ = 1

ρ σ

=

i t

v1 v2L

i (t)

v (t)+ -


6/44


-6/44-

Segons la Llei de Faraday, la variació del flux magnètic indueix un voltatge que en elS.I. és:

1 2

( )( )

d d Li div t v v L

dt dt dt

φ = − = = = , ∫ ∞−=

t

dt t v L

t i ')'(1

)(

Novament, la condició inicial pot ser considerada com una font independent

∫+=t

dt t v L

it i0

')'(1)0()(

Per una bobina de secció S i llargada l, amb susceptibilitat magnètica μ i enrotllada amb N espires per unitat de longitud, el coeficient d’autoinducció és 2· L N Sl μ = .

Anàlogament al que passava a una capacitat, si el corrent que circula per una bobina ésconstant amb el temps no es produeix diferència de tensió entre els seus borns.L’inductor actua com un curtcircuit per al corrent continu i s’oposa a canvis sobtatsd’intensitat, perquè induiria una tensió infinita.

La potència consumida en una autoinducció és di p vi Lidt

= = . També pot ser absorbida

i després retornada al circuit, amb balanç sempre positiu o nul.

Tots aquests elements de circuit ideals són LINEALS, en el sentit que la relacióque existeix entre tensió i intensitat és a través d’un operador lineal: proporcionalitat,derivació, integració, etc., i gràcies a que els valors dels paràmetres (C, L, R) sónconstants reals, independents dels valors de les magnituds i i v que caracteritzen elcircuit. Amb això, les diferents contribucions a i i v degudes a les diverses fontsindependents són additives: es compleix el principi de superposició.

Així, per exemple, les característiques I-V d’una resistència són:

LINEAL v = iR

En Electrònica, però, existeixen molts elements o dispositius no lineals, comdíodes, transistors, etc. Per exemple, les característiques I-V d’un díode són:

NO LINEAL

No obstant, en general, intentarem modelar els dispositius o sistemes físics aestudiar per models de circuit lineals sota determinades circumstàncies, que s’establiran

en el seu moment. Per això, l’estudi de sistemes lineals és una eina molt útil enElectrònica.

v

i

v

i


7/44


-7/44-

És important tenir clar que un dispositiu donat pot tenir diferents models linealsque dependran del grau de refinament o precisió demanada, i de la disponibilitat de

programes de simulació. Com a exemple, a continuació s’exposen alguns dels modelsmés utilitzats del transistor bipolar (del qual donarem nocions al tema 2).

Símbols dels transistors bipolars NPN i PNP (dalt) i tres models d’ells,

successivament més complicats.

i b

g1 C b gmv be

icB

E

C

E

+v be _

+vce

_

i b

g1 C b gmv be

icB

E

C

E

+v be _

+vce

_

Cc

i b

g1C b gmv be

icB

E

C

E

+v be _

+vce

_

CcR z

Cd

Co

C

B

E

NPN

C

B

E

PNP

E E


8/44


-8/44-

1.1.2. Equacions de xarxa. Lleis de Kirchhoff

L’anàlisi dels circuits elèctrics i electrònics es basa en les dues Lleis de Kirchhoff , que es descriuen a continuació. Presentem primer els elements topològics

d’un circuit:

BRANCA: Cadascuna de las línies o arestes de la gràfica topològica d’un circuit, o, ditd’una altra forma, línia de corrent on hi ha inclòs almenys un dispositiu.

NODE, NUS o VÉRTEX: Unió de tres o més branquesMALLA: Circuit tancat de branques que el corrent pot recórrer sense passar duesvegades pel mateix node.

Exemple:

Nodes independents: a, b, c

0: node de referència o massa

Malles independents: 1, 2, 3

5 branques (hi ha una línia de corrent buida que no compta)

Les dues Lleis de Kirchhoff s’enuncien de la següent manera:

1.- LLEI DELS NUSOS: La suma algebraica de les intensitats queconflueixen a un nus és zero en tot moment. És conseqüència de laconservació de la càrrega elèctrica, i.e. div i = 0.

2.- LLEI DE LES MALLES: Si suméssim totes les caigudes detensió en un circuit tancat (malla), el resultat és zero. Resulta que V és un

potencial elèctric (del que deriva E conservatiu).

A l’annex 1 s’explica llur aplicació a circuits reals, així com diversos exemplesd’aplicació a circuits senzills però que aporten informació interessant.

Exemple:Suposem una excitació general v(t). Aplicantles equacions a les dues malles:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−−

=−−−

∫

∫0)(

1

0)(1

)(

22

21

2111

Ridt

di Ldt ii

C

dt iiC

i Rt v

Obtenim un sistema lineal d’equacions integro-diferencials acoblades. Com veiem, laresolució d’un circuit aparentment innocent pot ser complicada i involucra la resolució

de sistemes d’equacions diferencials lineals acoblades amb condicions inicials. Ésevident que per circuits complicats, aquest mètode de resolució és lent i farragós.


9/44


-9/44-

1.2. La transformació de Laplace i els circuits lineals

Aquest mètode permet la resolució d’equacions integro-diferencials d’un moderutinari i matemàticament molt més senzill que amb la variable temps.

Domini del temps Domini de la freqüència

1.2.1. La transformada de Laplace (T.L.)

Definició: { } ∫∞ −≡=0

)()( dt t f e s F st f(t) L

La variable s ≡ σ +jω és complexa ( j = unitat imaginària, per diferenciar-la de laintensitat). Perquè f(t) sigui transformable només cal que:

∫∞ − ∞<0

)(1 dt t f e t σ

per algun σ1 real, positiu i finit. És una condició poc restrictiva que compleixen totes lesfuncions impulsores pràctiques de l’Electrònica.

La transformació inversa de Laplace es defineix a través de

{ } ∫ +

−==

ω σ

ω σ π

j

j

st ds s F e j

t f s F 1

1

)(2

1)()(1L

que és una integral de contorn, trajectòria vertical en pla complex, amb σ 1>σ C >0 on σC s’anomena abscissa de convergència.

EquacióIntegro-

diferencial

SOLUCIÓTransformada

Revisada

Equaciótransformada

Transformació Laplace

Solució clàssica:Resolució homogènia

+ Sol. Particular +Condicions inicials

Transformació inversa

Manipulació

algebraica

Condicions Inicials


10/44


-10/44-

Es deixa per a l’alumne la demostració de les següents propietats de la T.L.:

1.- Linealitat de la T.L.{ } { } { })()( t g bt f abg(w)af(w) L L L +=+

Es poden tractar dues excitacions de manera independent (superposició).

2.- Transformades de derivades

{ } )0()( f t f sdt

df −=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

L L

3.- Transformades d’integrals

{ } { } f s

d f t

L L 1

)(0

=∫ τ τ Ja que transformada només té sentit per t≥0, si el límit inferior d’integració és -∞

es pot separar la integral en dues parts i considerar la primera (entre -∞ i 0) com

una condició inicial:

{ } { } ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += ∫∫ ∞−∞−

0)(

1)( τ τ τ τ d f

sd f

t

f L L

Exemples (a resoldre per l’alumne):

IMPULS v(t) = δ (t) { } 1=vL Re[s] > 0

CONSTANT v(t) = K { } s

K v =L Re[s] > 0

POTÈNCIA v(t) = tn, n ∈ ℵ { }1

!+

=n s

nvL Re[s] > 0

EXPONENCIAL v(t) = eat; a ∈ ℜ { }a s

v−

=1

L Re[s] > 0

“ IMAGINÀRIA v(t) = e±jωt; ω ∈ ℜ { }ω j s

vm

1=L Re[s] > 0

SINUS v(t) = sinωot { } 22o

o

sv

ω +=L Re[s] > 0

COSINUS v(t) = cosωot { }22 o s

sv

ω +=L Re[s] > 0

Així, l’expressió general per la derivada n-èssima és:

{ }0

1

1

0

21 ...)0()()(

−

−−− −−−−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n

nnnn

n

n

dt

f d

dt

df s f st f L s

dt

t f d L

Utilitzarem notació en majúscules per a l’espai de Laplace.{ } { } I iV v ≡≡ L L ,


11/44


-11/44-

1.2.2. Funcions d’impedància i teoremes de xarxa

Es poden generalitzar les relacions entre intensitat i tensió a cada elementmitjançant el concepte d'impedància complexa (unitats: ohms Ω).

• En una resistència ( ) ( ) R Rv t Ri t = , les transformades són ( ) ( ) R RV s RI s= i es potdefinir la impedància complexa d’una resistència com:

( ) R R

R

V Z s R

I ≡ =

• En una inductànciadt

di Lt v L L =)( ( ) ( ) (0 ) L L LV s L sI s i

−⎡ ⎤= −⎣ ⎦

si iL (0-) = 0, llavors ( ) ( ) L LV s LsI s= i la impedància és :

( ) L L L

V Z s Ls

I ≡ =

• Per a una capacitat on q (0-) = 0, ∫ ∞−=t

C C dt t iC

t v )(1

)(1 ( )

( ) C C I s

V sC s

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ i

a la capacitat li podem assignar una impedància:

Cs s I

sV s Z C

1

)(

)()( ==

Amb aquest concepte podem generalitzar totes les anàlisis i exemples presentatsfins aquí substituint cada element per la seva impedància equivalent. El seu símbol:

La seva inversa és l’admitància 1Y Z

≡ (unitats: siemens, S).

S’anomena XARXA TRANSFORMADA (de Laplace) aquella en la qual esconsideren les impedàncies transformades de cadascun dels elements. D’alguna forma,

recuperem la manera de treballar en circuits on únicament apareixien elements resistius:

• Combinació en sèrie d’impedàncies:1

( ) ( )n

k

k

Z s Z s=

= ∑ Exemple

Impedància resultant entre a i b:Cs

Ls R s Z 1

2)( ++=

ZV1 V2

I


12/44


-12/44-

• Impedàncies en paral·lel: 1 11 1

( ) ( ) ( ) ( )n n

k k

k k

Z s Z s Y s Y s− −

= =

= ⇒ =∑ ∑ Exemple

Admitància resultant entre a i b:2

2 1( ) ( )

2

RLsY s Cs Z s

R Ls Ls RLCs R= + + ⇒ =

+ +

La impedància complexa també permet generalitzar eines de gran interès per al’anàlisi dels circuits, com són els Equivalents de Thévenin i Norton, que es presenten acontinuació i es tracten amb una mica més de detall a l’annex 2.

Teorema de Thévenin: Qualsevol circuit lineal actiu amb sortides a i b (i sensecap font controlada per una variable externa al circuit) pot substituir-se per una font detensió VTh en sèrie amb una impedància ZTh de manera que:- VTh és la tensió que es pot mesurar entre els punts a i b sobre el circuit original

deixats en circuit obert.- ZTh és la impedància d’entrada que trobaria una font situada entre els terminals a i b

amb totes les fonts independents a zero, és a dir les fonts de tensió curtcircuitades iles de corrent en circuit obert.

Teorema de Norton: Qualsevol circuit lineal actiu amb sortides a i b (i sense capfont controlada per una variable externa al circuit) pot substituir-se per una font decorrent I N en paral·lel amb una impedància Z N de manera que:- I N és el corrent que circularia entre els punts a i b sobre el circuit original deixats en

curtcircuit.- Z N és la impedància d’entrada que trobaria una font situada entre els terminals a i b


R L R C

a

b

+-

VTh

ZTh

a

b

Xarxalinealactiva

a

b

IN ZTH

Xarxalinealactiva

a

b

a

b


13/44


-13/44-

1.3. Sistemes lineals en el domini de la freqüenciacomplexa

Venen sobretot descrits per la funció de transferència, que dóna informació sobre elsistema pròpiament dit, independentment de l’entrada, i les funcions de xarxa quedescriuen les sortides per a entrades concretes.

1.3.1. Funció de transferència d’un sistema lineal

Imaginem un sistema físic qualsevol, de manera que donat un estímul υ(t) dónacom a resposta un senyal de sortida i(t). Direm que el sistema és lineal quan l’entrada ila sortida estan relacionades per una equació diferencial lineal amb coeficients constants

que ve descrit per una equació diferencial que relaciona l’entrada (v) amb la sortida (i):

vbdt

dvb

dt

vd b

dt

vd bia

dt

dia

dt

id a

dt

id a

m

m

mm

m

mn

n

nn

n

n 011

1

1011

1

1 ...... ++++=++++ −−

−−

−

−

Si apliquem la T.L. es converteix en una equació algebraica{ }

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++−+++=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++−+++

−−

−

−−

−

...)0()0(...)(

...)0()0(...)(

10

20

11

10

20

11

vbdt

dvb sv sbb sb sb sV

iadt

dia si saa sa sa s I

mmm

m

m

m

m

nnn

n

n

n

n

És a dir, la forma general de la sortida I(s) és un quocient de polinomis en s onles condicions inicials sobre l’entrada, CIV, i sobre la sortida, CII, apareixen també enforma polinomial:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

P s V s CIV s CII s I s Q s

− +=

Si suposem que les condicions inicials són nul·les, llavors( )

I(s) ( )( )

P sV s

Q s=

on definim( )

( )( )

P sT s

Q s= com la funció de transferència del sistema

. . . .

( )( )

( )c i nules c i nules

sortida I sT s

entrada V s≡ =

CIRCUITv(t) i(t)


14/44


-14/44-

Aquesta funció és una característica pròpia del sistema, i és independent delsenyal d’entrada. Si les c.i. són nules, el coneixement de T(s) ens dóna i(t) per aqualsevol senyal d’entrada υ(t), i.e.

{ } { })()()()( 11 sV sT s I t i −− == L L on T(s) és coneguda i V(s) = L [v(t)]. Recordem que podem generalitzar el cas de

condicions inicials no nul·les si les tenim en compte en forma de fonts independents.

Centrem-nos de nou en el quocient( )

( )

P s

Q s, on grad P ≤ grad Q ja que en cas

contrari s’obtenen funcions que creixen indefinidament (sistemes inestables). Realitzemun desenvolupament en fraccions parcials.

Per un sistema electrònic, Q(s) és sempre un polinomi amb coeficients reals. Pertant, les arrels complexes apareixeran en parells conjugats. Podem escriure

( )0 1( )

n

j jQ s a s s=

= −

∏ ,on les s j s’anomenen Pols de la funció de transferència. Es poden establir 3 casos:

a) Arrels reals i simples. En aquest cas els numeradors sempre són reals i es té:

( ) 101

( ) ( )

( )

n j

n

j j j

j

K P s P s

Q s s sa s s =

=

= =−−

∑∏

Una vegada avaluats els K j, l’antitransformada d‘un terme genèric és:

)exp(1 t s K s s

K j j

j

j =⎪⎭⎪⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧

−−L

I cada arrel real simple del denominador dóna un terme d’aquest tipus.

b) Si l’arrel si té multiplicitat r els numeradors també són reals:

1 22

( )...

( ) ( ) ( ) j i i ir

r j i j i i i

K P s K K K

Q s s s s s s s s s≠= + + + +

− − − −∑

l’antitransformada és del tipus

( ) )exp()!1(11

t st r

K

s s

K i

r ir

r

i

ir −−

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−L

c) Si existeix un parell conjugat complex apareixen numeradors imaginaris:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1( ) ( ) ...

( ) '( )

P s P s K K

Q s Q s s j s j s j s jα ω α ω α ω α ω

∗

= = + +− + − − − + − −

on K 1* és el complex conjugat de K 1. L’antitransformada d’aquest tipus de termes és:

)exp()exp()( 1

11 t jt K j s

K ω α

ω α =

⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧

+−−L

és a dir, una funció periòdica esmorteïda.


15/44


16/44


-16/44-

R Ls

I s

+

_ 1

Cs

V s

Les funcions de transferència possibles depenen de la topologia concreta de cadaxarxa. Així, les xarxes es poden classificar segons les connexions que tenen amb elcircuit exterior. Així, normalment les xarxes tenen dues connexions (entrada/sortida) is’anomenen xarxes de dos ports, i és en aquest context que s’utilitzen les funcions detransferència. Ocasionalment pot faltar alguna de les connexions a l’exterior, i llavors

s’anomena xarxa d’un port.

Xarxa d’un port: La impedància d’entrada de la xarxa,( )

( )( )

V s Z s

I s= , o la seva inversa, l’admitància

Y(s), són les úniques funcions de xarxa possibles per a una xarxa d’un port. Al cas de la figura

2 11( )

R s s L LC Z s R Ls L

Cs s

+ += + + =

Xarxa de dos ports:

Les funcions de transferència possibles són:

a. Impedàncies d’entrada Zi = V1/I1 de sortida Zo = V2/I2

b. Funcions de transferència: Guany o amplificació de tensió AV = G12 = V2/V1 Guany o amplificació de corrent A

I = α

12 = I

2/I

1

Transimpedància Z12 = V2/I1 Transadmitància Y12 = I2/V1

o llurs inverses.

Per estudiar un circuit i calcular la seva funció de transferència i la resposta auna excitació arbitraria:

a) Es determina la xarxa transformada, és a dir, s’assigna a cada element la seva

impedància equivalent: R,Cs

1 o Ls.

b) Es resol el circuit segons les lleis de Kirchhoff. Obtindrem una relació del tipus:V0 = T (s) · Vi (s)

SORTIDA ENTRADAFUNCIÓ DE TRANSFERÈNCIA

c) La dependència temporal del senyal de sortida ve donada per: L-1 [V0 (s)]

Observem que la funció de transferència del sistema coincideix amb la sortida (és a dir,constitueix la resposta del sistema) quan Vi(s) = 1, i.e. quan υi (t) = δ(t), és a dir T(t) ésla resposta de una excitació del tipus Delta de Dirac.

A l’annex 3 apareixen alguns exemples de funcions de transferència interessants.

I1(s) I2(s)

V1(s) V2(s)+

_+

_


17/44


-17/44-

1.3.2. Funcions de xarxa: pols i zeros

Hem vist que la funció de transferència d’un sistema lineal és la magnitud querelaciona l’entrada amb la sortida en l’espai de Laplace. La sortida, llavors, és el

producte de la funció de transferència per l’entrada. La seva expressió s’anomenafunció de xarxa, i descriu la resposta de la xarxa a una excitació determinada.

Com s’ha vist, totes les funcions de xarxa tenen la forma d’un quocient de polinomis en s, que es pot factoritzar de la següent manera:

sortida = ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1 2

1 2

...

...n

m

s z s z s z N s H

s p s p s p

− − −=

− − −

on H és una constant o factor d’escala; zi, pi són freqüències complexes, i sónrespectivament els zeros i pols de la funció de xarxa. Si considerem pols i zeros en el ∞,una funció de xarxa té el mateix número de zeros que de pols. Analitzem el significat de

pols i zeros.

Imaginem una funció de transferència del tipus guany de tensió, tal que:( )( )

( ) ( ) ( ) ( )12 12 ·o

o i

i

V sG s ó V s G s V s

V s= =

Per entendre la resposta temporal es factoritzava primer la funció de xarxa Vo(s):

( ) ( )121 1

( ) ·u m

j k o i

j k u j k

K K V s G s V s

s p s p= = += = +

− −∑ ∑

on p j són els pols de G12 i pk els de Vi, suposant multiplicitat 1. La resposta temporal és:

{ } ∑∑ +==− +==

m

uk

k k

u

j

j ji t p K t p K sV sG11

121 )exp()exp()()(L (t) v o

Les freqüències complexes p j determinen les oscil·lacions lliures o freqüènciesnaturals del sistema, mentre que les freqüències pk determinen les freqüènciescomplexes de la força d’excitació que corresponen a oscil·lacions forçades.

a) POLS, determinen la resposta en funció del temps. b) ZEROS determinen les constants K i i, per tant, la magnitud de cada part de la

resposta.

Analitzem en detall un dels termes de la resposta:)exp()exp()exp( t jt K t p K aaaaa σ =

Si es combina amb el terme resultant de pa* s’obté: )sin()exp( aaaa t t K θ ω σ + .

Perquè la resposta sigui estable (limitada temporalment), ha de ser σa < 0. Pertant, els pols han d’estar situats a la meitat esquerra del pla complex s. Els pols podenestar a l’eix imaginari a condició que siguin simples. La raó d’això és que pols d’ordre ndonen respostes que creixen segons tn-1.

Pels zeros no hi ha restriccions. No obstant, en les xarxes d’un sol port, pelcaràcter intercanviable de Z, Y, els zeros compleixen les mateixes condicions que els

pols.


18/44


-18/44-

1.3.3. Anàlisi sinusoïdal d’estat permanent.

Amb freqüència, l’excitació d’un circuit és de tipus sinusoïdal (corrent altern).Amb excitacions d’aquest tipus, tots els corrents i voltatges de la xarxa seran

sinusoïdals en l’estat permanent (oscil·lació forçada, solució particular de l’equaciódiferencial lineal), sempre que es tracti de sistemes lineals. Vegem-ho:

Imaginem un sistema amb funció de transferència Y(s), excitació V(s) i respostaI(s): I(s) = Y(s) · V(s).

Si v(t) = V1 · sin ω1t, 11 2 2( )V s V s

ω

ω =

+ i

))((

)()()(11

112

1

21

1

ω ω ω

ω

j s j s

V sY

s

V sY s I

−+

=

+

=

Si p j són els n pols simples de Y(s),

( ) 1 111 1 1

... j jn

n

K K K K I s

s p s p s j s j

ω ω

ω ω

−= + + + +− − − +

Aplicant el mètode de Heaviside,

1

1

ω j s

j s

+

− ⇒

( )

( )

1

1

1 11 1 1

1

1 11 1 1

1

2 2

2 2

j

j

j

j

V K Y j V Y

j j

V K Y j V Y j j

e

e

φ

ω

φ

ω

ω ω

ω

ω ω ω

−

−

= =

= − =− −

on hem escrit Y(jω 1 )=|Y 1|e jφ i Y(-jω 1 )=|Y 1|e

-jφ =Y *(jω 1 ) .

Substituint a l’expressió d’I(s) i sumant, el terme queda 1 12

j jV Y e e

j s j s j

φ φ

ω ω

−⎛ ⎞−⎜ ⎟− +⎝ ⎠

i la

transformada inversa és V 1 |Y 1| sin ( ω1t + φ ) , i sumant-li la contribució dels altres pols:

i(t) = K 1·e p1t

+ … + K n·e pnt

+ V 1|Y 1| sin( ω1t+φ )

on els termes amb exponencials corresponen al règim transitori i el darrer terme alrègim permanent.

Observem que la resposta permanent està relacionada amb la magnitud i la fasede Y(jω1). Per tant, la resposta en estat permanent es determina fent s = jω a la funció detransferència. En definitiva, l’estat permanent és sinusoïdal quan la classe de funcionsdescrites per l’exponencial est (s variable complexa) tenen part real nula, és a dir, s = jω,s = -jω. És l’anàlisi dels corrents alterns.


19/44


-19/44-

Definicions: SINUSOÏDE: v(t) = V sin (ωt + φ)

V: valor màxim ω: freqüència angular [s-1] T: període [s]V p-p: 2V (tensió pic a pic) ω = 2πf = 2π/T f= 1/T : freqüència [Hz]

[ ] 2)(1

0

2 V dt t vT V

T

rms == ∫ és la que donen elsmultímetresϕ: fase (origina un desplaçament de l’ona)

L’ona B té el màxim després ⇒ està retardada vB = vo sin (ωt + φ)

En estat permanent sinusoïdal, les impedàncies dels elements passius s’escriuen:

R Z R = R

C C j

Z C ω

1=

L Z L = jω L

Les excitacions s’escriuen en forma complexa: V(jω ) = V o e j( ω t+φ )

Les respostes s’obtenen també de manera complexa: I(jω ) = I o e j( ω t+φ ’)

I finalment i(t)=Im[L-1[I(jω )]] si l’excitació era un sin,o i(t)=Re[L-1[I(jω )]] si era un cos.

1.3.4 Gràfiques de la resposta en freqüència. Diagrames de Bode.

Permeten visualitzar ràpidament el comportament dels sistemes amb lafreqüència. Ens restringim ara al comportament permanent sinusoïdal de les xarxes. SiT(s) és la funció de transferència, la resposta en freqüència ve determinada per:

T(jω ) = |T(jω )| e jθ ( ω )

La funció de transferència en funció de ω es representa mitjançant el diagramade Bode, que és una representació logarítmica del guany en decibels. Definicions

prèvies:

Octava. Quan la freqüència es duplica, direm que ha augmentat una octava.Década. Quan la freqüència es multiplica per 10 (un ordre de magnitut).El guany A p d’un amplificador de potència en decibels es defineix com:

( ) 1010logo sortida

p

i entrada

p A dB

p= ≡

De manera que si la potencia es multiplica per un factor 10, el guany és de 10dB,si el factor és 100, llavors el guany és de 20dB, etc. Les funcions de transferència queestudiarem normalment impliquen guanys de tensió, corrent, etc.

A B

ωt

V


20/44


-20/44-

Com que2

2 V P RI R

= = , sembla lògic definir:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

20log

20log

o

V

i

o

I

i

V j A dB T j si T j

V j

I j A dB T j si T j I j

ω ω ω

ω

ω ω ω ω

= =

= =

El guany d’amplitud en l’ona sinusoïdal està relacionat amb el mòdul de lafunció de transferència. No obstant, un sistema (amplificador) pot introduir també undesfasament entre l’ona d’entrada i la de sortida, que vindrà determinat per la fase de lafunció de transferència. Per a un amplificador de tensió:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) joV V

i

V jT j A j A j

V je

θ ω ω ω ω ω

ω ≡ = =

Llavors, ( ) ( ) ( ) ( )( )cos cosi i o V iv t v t v t A j v t ω ω ω θ ω = → = +

És de gran utilitat mostrar gràficament la dependència amb la freqüència de lesfuncions de transferència. En aquest context, els diagrames de Bode són lesrepresentacions:

|A(dB)| mòdul del guany en amplitud versus log ω θ(º) desplaçament de fase versus log ω

Podrem entendre el seu comportament assimptòtic a partir d’una funció detransferència general amb pols i zeros:

1 1 1

2 2 2

1 /( ) ·

1 / j

i im im i

j j A j A A A e

j j

θ ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

+ += = =

+ +

Separant-ho en mòdul i fase:2

1 12

2 2 1 2

1 ( / );

1 ( / )i im A A arctg arctg

ω ω ω ω ω θ

ω ω ω ω ω

+= = −

+

i escrivint el guany en decibels2 2

1

2 1 220log 20log 1 20log 1i imdB A A ω ω ω ω ω ω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

el problema es simplifica considerablement. Només cal considerar cada terme perseparat i sumar totes les contribucions.

El primer terme és una constant.

El segon terme correspon al zero de la funció de transferència, i cal tenir presentque cada zero contribuirà amb un terme com aquest. Per representar-lo, considerem elseu comportament assimptòtic a freqüències molt baixes i molt altes.


21/44


-21/44-

Quan2

1

0, 20log 1 20log1 0dBω

ω ω

⎛ ⎞→ + → =⎜ ⎟

⎝ ⎠ , i l’assímptota és 0.

I quan2 2

1

1 1 1

, 20log 1 20log 20log dBω ω ω

ω ω

ω ω ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞>> + → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

L’assímptota d’altes freqüències, quan se la representa en funció de ω en escalalogarítmica, és una línia recta, de tal manera que un augment de la freqüència en unadècada implica un augment del guany en 20 dB (pendent de +20 dB/dècada). Ambduesassímptotes es tallen al punt ω=ω1, sent ω1 l’anomenada freqüència de colze. Ara bé, elcomportament real de la corba en aquest punt no passa per 0 dB, sinó que val

2

1

1

20log 1 20log 2 3dBω

ω

⎛ ⎞+ = ≈⎜ ⎟

⎝ ⎠ i la corba passa 3 dB per sobre de l’assímptota a la

freqüència de colze.

El tercer terme correspon al pol de la funció de transferència, i novament cada pol contribuirà amb un terme com aquest. Quan el considerem, observem que tot el que

hem dit pel cas del zero es repeteix aquí, amb la única diferència que ara la freqüènciade colze val ω2 i el pendent per sobre d’ella és de –20 dB/dècada.

Així, les tres contribucions assimptòtiques donaran el següent diagrama de Bode

|Ai| (dB)

log ωω1

pendent =+20 dB/dèc.

3 dB

|Ai| (dB)

log ωω2

pendent =-20 dB/dèc.

-3 dB

|Ai| (dB)

log ωω1

ω2

|Ai| (dB)

log ω ω1 ω

1er terme

2on terme

3er terme


22/44


-22/44-

En un circuit general, qualsevol pol simple del sistema contribuirà amb un factor1/(s-s p) a la funció de transferència. En la resposta en freqüència, cadascun d’aqueststermes sumarà un factor de guany:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ +−

2

1log10 p s

ω

el comportament assimptòtic del qual serà el de produir una caiguda del guany de –20dB/dècada addicionals (sempre que estiguin prou llunyans entre ells) a partir de lafreqüència de colze corresponent.

Igualment, la presència de zeros simples produeix factors del tipus (s+s0) a lafunció de transferència. Cada terme contribueix a |AV| (dB) en:

2

10log 1 z s

ω ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥+ + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Llavors, assimptòticament cada zero contribueix amb un guany de +20 dB/dècada(sempre que estiguin prou allunyats) a partir de la freqüència de colze corresponent.

En cas de trobar-se zeros o pols d’ordre dos, la modificació de pendent seràdoble, triple si és d’odre 3, etc.

Així, d’un cop d’ull es pot esbrinar el comportament en freqüència del circuit,quins rangs amplifica, quins atenua i quins transmet sense modificació, i establir la sevaresposta com a filtre:

passa-baixos (atenuen freqüències per sobre d’un cert llindar),passa-alts (atenuen les de sota del llindar),

passa-banda (només deixen passar un cert rang de freqüències) oelimina-banda (atenuen tota una banda de freqüències).

PASSA-BAIXOS IDEAL PASSA-ALTS IDEAL

PASSA-BANDA IDEAL ELIMINA-BANDA IDEAL

|Ai| (dB)

log ω

|Ai| (dB)

log ω

|Ai| (dB)

log ω

|Ai| (dB)

log ω


23/44


-23/44-

L’angle de fase de la funció de transferència també es pot trobaraproximadament gràcies a les assímptotes. Considerem primer el factor corresponent aun zero genèric de la funció de transferència (sz real):

( )2

1 1 j

z z z

z z

j s s j s

s s

e φ ω ω ω

ω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ ≡ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

La fase del terme ve determinada per

z z z sarctg

sarctg rad

sarctg

ω

π

ω ω φ º3.57

º180)()( === .

Si representem aquesta magnitud en funció de log ω , veurem que la variacióaproximada és de +45º/dècada fins a un màxim de 90º. Llavors, es pot aproximarassimptòticament:

1

1 11

1

0º /10

45º 1 log /10 10

90º 10

ω ω

ω φ ω ω ω ω

ω ω


24/44


-24/44-

EN RESUM, per traçar la resposta en freqüència d’un sistema analògic,ordenarem els pols i els zeros segons la seva freqüència i assignarem a cadascunl’increment o decrement de pendent associat segons la seva multiplicitat. Per exemple:

El diagrama de Bode genèric d’un amplificador resulta ser:

on els paràmetres d’interès són Afm, guany a freqüències mitjanes, i les freqüències detall inferior i superior, ωL i ωH. El rang entre una i altra s’anomena ample de banda,

Δω, i és un paràmetre característic molt important del comportament en freqüència.També ens interessaran les impedàncies d’entrada i sortida, Zi i Zo. Tots aquests paràmetres poden dependre de la càrrega R L i de la resistència interna de la font, R S.

A l’annex 5 hi figura un estudi de la funció de transferència i la resposta adiversos tipus d’entrades per als filtres RC passa-alts i passa-baixos.

A (dB)

log ω z1 z2 p1 p2 p3 (doble)

0 dB

+20 dB/dèc

+40 dB/dèc

+20 dB/dèc

0 dB/dèc

-40 dB/dèc

A (dB)

log ω

Afm

ωL

3 dB 3 dB

ωH


25/44


-25/44-

1.4. Esquema general d’un sistema analògic.

Així, doncs, resumim el capítol en la generació del que podria ser el modelgeneral de qualsevol sistema analògic, on detallarem el comportament de cadascun dels

elements que hi prenen part.

Un sistema analògic general estarà compost de 3 parts fonamentals: la font que proporcioni energia o senyal al sistema, un circuit de processament del senyal capaç demodificar aquesta energia i una càrrega que l’aprofiti per produir un resultat. Unexemple típic del camp de la Física podria ser un sistema de detecció de partícules, on elsensor generarà un senyal elèctric molt petit en rebre l’impacte d’un muó, un circuitamplificador tornarà aquest senyal mesurable i l’enviarà cap a l’ordinador queenregistra el moment i la localització de l’impacte.

Un altre exemple més quotidià el tindríem en un equip de Hi-Fi, on el tocadiscsactuaria com a font de senyal (captant energia de la xarxa per a llegir els solcs de l‘LP),a continuació s’hi connecta l’amplificador que permet modular cada freqüència enmajor o menor grau, i finalment la càrrega són els altaveus, que transformen l’energiaelèctrica amplificada en so.

Font o circuit de càrrega

generador tractamento processat

Ex 1: sensor amplificador ordinadorEx 2: magnetòfon amplificador altaveu

Modelitzem ara cada subcircuit per separat:

1.- Les fonts de tensió o de corrent reals són xarxes d’un sol port que tenen unaresistència interna no nula. Les podem representar per:

Fins i tot en el cas que internament la font sigui més complicada (efectes capacitius oinductius), pels teoremes de Thévenin i Norton es pot establir que el seu comportamentserà a tots els efectes equivalent al proporcionat per l’anterior descripció.

ZL vi

i io

S A vo

ZS

vs is ZS


26/44


-26/44-

2.- El circuit de tractament del senyal (ens centrarem en l’amplificació) és una xarxa dedos ports, que es pot caracteritzar per:

• La seva funció de transferència:i

I i

i A 0= ,

i

V v

v A 0=

• Les seves impedàncies d’entrada Zi i de sortida Zo.

El circuit de processat A es pot substituir pel següent circuit lineal:

AVOC: guany de tensió del’amplificador amb lasortida en circuit obert

Vegem-ho:

Per una banda, el model ens diu que el circuit vist des de l’entrada és equivalent,a tots els efectes, a una impedància d’entrada Zi.

Això és una conseqüència del teorema de Thévenin. En efecte, VTh = 0, ja que no tenimcap font de tensió. Queda clar que Zi depèn de ZL.

Per altra banda, el model també ens diu que, des dels terminals de sortida,equival a una font de tensió en sèrie amb una impedància de sortida Zo,

on s’ha aplicat de nou el teorema de Thévenin. AVOC ≡ vo /vi és el guany de tensió del’amplificador amb sortida en circuit obert (ZL∞). És una constant, ja que hemsuposat el sistema lineal.

ZL A Zi=ZTh

Zi ZoIi

S A

Zo


27/44


-27/44-

Llavors, el sistema global es pot modelitzar com:

L’amplificació en la càrrega és 0

0

VOC i L

L L L L LV VOC

i i i L

A v Z

v i Z Z Z Z A A

v v v Z Z

+≡ = = =

+

Si tenim en compte la resistència interna de la font:

si

iV

s

i

i

L

s

LVS

Z Z

Z A

v

v

v

v

v

v A

+==≡

Anàlogament, l’amplificació de corrent és:

0 0

1 L VOC i i I VOC

i L i i L

i A v Z A A

i Z Z v Z Z Z ≡ = =

+ +

i s

s I

s

i

i

L

s

L IS

Z Z

Z A

i

i

i

i

i

i A

+==≡

on ara hem aplicat el teorema de Norton per a la font.

Amb això hem expressat tot el sistema A utilitzant simplement els següents paràmetres: Zs, Zi, Zo, AVOC, ZL. Per tant, per complicats que siguin els sistemes lineals,el seu efecte sobre un senyal és molt senzill de calcular un cop coneguts aquests

paràmetres.

Ara bé, de les expressions anteriors queda clar que la sortida d’un sistema es potveure afectada per la impedància d’entrada del que hi connectem al darrera, i això engeneral no interessa. Per tant, pren rellevància la necessitat d’adaptar les impedàncies desortida del primer i d’entrada del segon per minimitzar les modificacions incontrolades.Això és el que es presenta en aquest darrer apartat.

Zs Zi Zo

ZiZs

Amplificació de l’amplificador tot sol = AVOC

si

iV

s

LVS

o L

LVOC

i

LV

Z Z

Z A

v

v A

Z Z

Z A

v

v A

+=≡

+=≡

si

s I

s

L IS

o L

iVOC

i

L I

Z Z

Z A

i

i A

Z Z

Z A

i

i A

+=≡

+=≡


28/44


-28/44-

1.4.1. Adaptació d’impedàncies.

Donat un sistema lineal analògic, pot interessar amplificar qualsevol dels paràmetres fonamentals del circuit. Segons l’interès, es pot optimitzar d’una o altra

forma.

a) Tractament d’un senyal de tensió: interessa que AV sigui màxim. De lesexpressions deduïdes a l’apartat anterior es pot veure que convé tensió màximaa la sortida (ZL >> Zo) i a l’entrada (Zi >> ZS), així com màxima amplificació(AVOC).

Per tant, l’amplificador de tensió ideal és aquell que teZi → ∞,Zo → 0 iAVOC >>1.

b) Tractament d’un senyal de corrent: Anàlogament, de les expressions anteriorsAI serà màxim quan el corrnent a la sortida sigui màxim (ZL 1.

c) Guany de potència: ens interessa que la potencia subministrada a la càrrega ZL sigui màxima, en relació a la total subministrada per la font.

( )( )

222

2VOC i L

L L L L VOC i

o L o L

A v Z P Z I Z A v

Z Z Z Z

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

• Per una banda, PL serà màxima quan vi sigui màxima Zi >> ZS

• Per altra banda, ( )

( ) ( )

2

3 2

2 10 L LVOC i

L o L o L

dP Z A v

dZ Z Z Z Z

⎡ ⎤= − + =⎢ ⎥

+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

Zo = ZL

La màxima transferència de potència a la càrrega s’obté quan la impedància desortida de l’amplificador iguala la càrrega, i l’amplificador ideal de potència te:

Zi → ∞,Zo → ZL, iAVOC >> 1

d) Adaptador d’impedàncies per a corrent (seguidor de corrent): Suposem que Sés una font de corrent amb Zs massa petita. Si interposem entre ella i la càrrega

un circuit A tal que Zi → 0, Zo → ∞, AIOC = 1, la convertim en una font decorrent òptima.


29/44


-29/44-

e) Adaptador d’impedàncies per a tensió (seguidor de tensió): Anàlogament, si este una font de tensió S amb Zs massa gran, interposant-hi un circuit A tal queZi → ∞, Zo → 0, AVOC = 1 la convertim en una font ideal de tensió.

f) Amplificador de transimpedància (convertidor corrent-tensió): Apliqueml’equivalent de Norton a la font S i el de Thévenin a l’amplificador A.

on R m és el guany de transimpedància. El guany v L /i s del convertidor serà màxim

quan vL sigui màxim a la sortida (Zo 1.

g) Amplificador de transconductància (convertidor tensió-corrent): Anàlogament,apliquem l’equivalent de Thévenin a la font S i el de Norton a l’amplificadorA, sent Gm el guany de transconductància.

L’amplificador ideal te, en aquest cas,Zi → ∞,Zo → ∞, i

Gm >> 1.

La importància pràctica d’aquests efectes és molt gran, i limita les prestacionsdels sistemes si no es te correctament en compte. Als pròxims temes, especialment ald’Electrònica Analògica en tindrem més exemples. De moment, el que cal és introduirels sistemes no lineals i la forma de treballar amb ells (tema 2).

Rmii

Zs Zi

Zo

GmVi

Ro ZL

iL

Zs Zi

Zo


30/44


-30/44-

Annex 1. Mètodes generals d’anàlisi

1. MÈTODE DELS CORRENTS DE MALLES:

Sigui el circuit:

Tenim b=6 branques i n=4 nusos (a, b, c i d)

Nombre de nusos independents: ni=n-1=3 Tres equacions de nusos Nombre de malles independents: mi=b-(n-1)=3 Tres equacions de malles

Utilitzem el mètode dels corrents de malles:

malla 1: 1 1 2( ) 0 A A B E R I R I I − − − = malla 2: 0)()( 232212 =−−−−−− I R I I R I R I I R F DC B

malla 3: 3 2 3( ) 0 D E B R I I R I E − − − − =

1 2( ) A B B A R R I R I E + − = 0)( 321 =−++++− I R I R R R R I R D F DC B B

2 3( ) D D E B R I R R I E − + + = − Això és

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

−+++−

−+

B

A

E D D

D F DC B B

B B A

E

E

I

I

I

R R R

R R R R R R

R R R

0

0

3

2

1

i el sistema es pot resoldre pel mètode que es desitgi.

La matriu de resistències11 12 13

21 22 23

31 32 33

R R R

R R R

R R R

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

compleix que

és simètrica,

ii R R= Σ contingudes a la malla “i”, i

ij R R= −Σ comunes a les malles “i” i “j”.

+-

+-EA EB

R A R C R E

R B R DI2 I3

a b

R F

I1

c d


31/44


-31/44-

2. MÈTODE DE LES TENSIONS DE NUSOS:

Sigui un circuit com el de la figura:

b=5 branques (ja que una branca sense càrrega no es considera)n=3 nusos (ja que dos nusos són idèntics si no hi ha càrrega entre ells)

Nombre de nusos independents: ni=n-1=2 Dues equacions de nusos Nombre de malles independents: mi=b-(n-1)=3 Tres equacions de malles

Utilitzem el mètode de les tensions de nusos:

nus a: 0 A B C i i i− − =

nus b: 0C D E i i i− − =

0 A a a a b

A B C

E V V V V

R R R

− −− − = ≠

0a b b b B

C D E

V V V V E

R R R

− −− − =

( ) ( ) 0 A a A a B a b C E V G V G V V G− − − − =

( ) ( ) 0a b C b D b B E V V G V G V E G− − − − =

( ) A B C a C b A AG G G V G V G E − + + + = −

( )C a C D E b E BG V G G G V G E − + + = −

Això és A B C C a A A

C C D E b E B

G G G G V G E

G G G G V G E

+ + − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + + −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

i el sistema es resol per algun mètode adequat.

La matriu de conductàncies 11 12

21 22

G G

G G

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

compleix que

és simètrica,

iiG G= Σ que conflueixen al nus “i”, iijG G= −Σ al camí entre el nus “i” i el “j”.

+-

+-EA EB

R A R C R E

R B R D

IA IC IE

IB ID

a b


32/44


-32/44-

3. CAS DE LES FONTS CONTROLADES:

Fonts de tensió:

Tenim b=3 branques i n=2 nusos

El sistema d’equacions pel mètode de corrents de malles seria:

1 3 3 1

3 3 2 12

S S

L m

R R R R E I

R R R R R I I

+ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

− + + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

o, el que és el mateix,

1 3 3 1

3 3 2 2 0S S

m L

R R R R I E

R R R R R I

+ + −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − + + ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

i es pot resoldre normalment. En aquest cas la matriu de resistències ja no és simètrica.

Fonts de corrent:

Tenim 7 branques i 4 nusos.

Les equacions del mètode de tensions de nusos són:

o

i també hem perdut la simetria de la matriu de conductàncies.

+-

- +

ES

R mIR S R 1 R 2

R 3 I2I1R L

1 1

1 1 2 3 2 1

2 2 1

0

0

S a S

b m

L c m

G G G V I

G G G G G V G V

G G G V G V

+ −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1

1 1 2 3 2

2 2

0

0

0

S a S

m m b

m m L c

G G G V I

G G G G G G G V

G G G G G V

+ −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + + + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − + − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

GL

G1 G2

GS G3IS

a b

c

GmV1

+ V1 -


33/44


-33/44-

4.- NOMENCLATURA ALTERNATIVA: Corrents de branques

En el nus 1: I 1 = I 2 + I 4 En el nus 2: I 3 + I 5 = I 2 5 equacions amb

Malla 1: 0 = -V A + R A I 1+R B I 4 5 incògnites

Malla 2: 0 = -R B I 4 + RC I 2+R D I 5

Malla 3: 0 = -V B - R E I 3+R D I 5

Exemple: Xarxa R-L

Suposem a t = 0 l’interruptor canvia de 2 a 1.

Llavors, per t>0: L

diV Ri v Ri L

dt = + = +

La solució general és: ( ) Rt LV

i t Ke R

−

= +

Si es te la condició inicial i(0), la solució particular és /( ) (0) Rt LV V

i t i e R R

−⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

S’observa que hi ha un primer terme que correspon a l’estat permanent(resposta forçada) i un segon que es coneix com resposta lliure o natural i corresponal règim transitori o dependent del temps.

Exemple: Xarxa R-C

Tenim un interruptor k que canvia de la posició 1 a la 2 al temps de referència t=0.Suposem que per t


34/44


-34/44-

L’equació de la malla per t > 0 és:

0

1 1( ') ' ( ) ( ') ' ( ) 0

t t

i t dt Ri t V i t dt Ri t C C −∞

+ = + + =∫ ∫ Diferenciant:

1

0 ( )t RC di

i i t Kedt RC

−

+ = ⇒ =

(0)V

i R

= − ⇒ ( ) 0t RC V

i t e t R

−= − ≥

La constant de temps de la descàrrega és τ = RC

Anàlogament, si a t = 0 es commuta de 2 a 1, el condensador es carrega amb lamateixa constant de temps (fer-ho). Suposant una càrrega inicial vC(0) s’obté:

[ ]( ) (0) (0) ·(1 )t RC C C C v t v V v e−= + − −

S’observa la gran importància de les condicions inicials. Moltes vegades esmodelitzen substituint el dispositiu general (amb c.i. no nules) pel mateix amb c.i. nulesmés una font que doni la condició inicial, vC(0) en aquest cas.

Així, doncs, per tenir en compte les condicions inicials:

• Es substitueixen els inductors per generadors de corrent que tinguin el valor delcorrent que flueix per t = 0+ (i.e. una L és curtcircuit per un potencial constanten règim permanent) o per circuits oberts si no hi circula corrent, més els propis

inductors amb condicions inicials nules.• Es substitueixen les capacitats per curtcircuits o per fonts de voltatge Vo=qo/C si

es té càrrega inicial, més les mateixes capacitats amb condicions inicials nules.

• Les resistències es deixen sense canviar.

Exemple: Resolució de la xarxa RC mitjançant la transformada de Laplace

Volem determinar i(t) en qualsevolinstant de temps. Suposem que tanqueml’interruptor a t=0. Per tant, la funció d’excitacióés: v(t) = Vu(t) on u(t) és la funció esglaóunitari.

L’equació de xarxa és:1

( ) ( ') ' ( )t

Vu t i t dt Ri t C −∞

= +∫

La T.L de l’equació integro-diferencial és: 1 1 ( ) (0 ) ( ) I s qV RI s s C s s

−

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

V/R

RC gran

t

i


35/44


-35/44-

on hem posat: ∫∫∫ ∫ −−

−∞−

−

∞−+=+=

t t t

dt t iqdt t idt t idt t i00

0')'()0(')'(')'(')'( ; El primer terme de

la dreta és constant i correspon a la càrrega inicial del condensador q(0 -), la T.L. del

qual és(0 )

(0 )q

q s

−−⎡ ⎤ =⎣ ⎦L .

Si la capacitat està inicialment descarregada, q(0-) = 0 1( )V

I s R s Cs

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

Llavors, ens interessa la intensitat: RC

s

RV s I

1)(

+= i [ ]

1( ) ( )i t I s

−= L

Consultant una taula de transformades:1at e

s a⎡ ⎤ =⎣ ⎦ −

L , llavors:

( ) 0t RC

V i t t

R e−

= ≥


36/44


-36/44-

Annex 2. Teoremes de Thévenin i Norton

Quan l’interès es centra a una part del circuit, la resta d’ell pot ser substituïda

amb avantatge per una xarxa equivalent simple que es comporti igual. Identifiquem lesdues parts en qüestió com subxarxes A i B. Llavors, el resultat d’actuar sobre B (ocàrrega, perquè aprofita l’energia aportada per A) és aplicar-li una tensió v i injectar-liun corrent i. Si la subxarxa A és lineal pot ser substituïda per un conjunt d’elementslineals equivalents de manera que continuï actuant de la mateixa forma sobre B. Aquestequivalent lineal es pot determinar utilitzant el teorema de Thévenin o el seu dual, elteorema de Norton

Teorema de Thévenin: Qualsevol circuit lineal actiu amb sortides a i b (i sensecap font controlada per una variable externa al circuit) pot substituir-se per una font detensió VTh en sèrie amb una impedància ZTh de manera que:- VTh és la tensió que es pot mesurar entre els punts a i b sobre el circuit original

deixats en circuit obert.- ZTh és la impedància d’entrada que trobaria una font situada entre els terminals a i b


Teorema de Norton: Qualsevol circuit lineal actiu amb sortides a i b (i sense capfont controlada per una variable externa al circuit) pot substituir-se per una font decorrent I N en paral·lel amb una impedància Z N de manera que:- I N és el corrent que circularia entre els punts a i b sobre el circuit original deixats en

curtcircuit.- Z N és la impedància d’entrada que trobaria una font situada entre els terminals a i b


Exercici: demostrar el teorema de Norton a partir del teorema de Thevenin per a una

xarxa A actuant sobre una resistència de càrrega R L:⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

Th

Th N

N Th

Z

V I

Z Z

+-

A

VTh

ZTh A

Xarxalinealactiva

A

IN ZN

A

Xarxalinealactiva


37/44


-37/44-

Exemple:

Valors: R 1 = 1 Ω

R 2 = 1 Ω R 3 = 2/5 Ω

R 4 és la resistència de càrrega. Ens proposemsubstituir tota la xarxa a l’esquerra (A) pel seu equivalentThévenin, de manera que el circuit es simplifiqui a:

R Th = 1/3 Ω VTh = is/6Ω

-1

El voltatge de la xarxa A en el circuit obert és v2.

1 1 2

1 2

2 2 1

3 2

( 1)

0 ( 2)

s

v v vi nus

R R

v v vnus

R R

−⎧ = +⎪⎪⎨

−⎪ = +⎪⎩

Resolent aquestes equacions amb els valors numèrics: VTh = v2 = is/6Ω-1

. La R Th

es calcula posant en circuit obert la font de corrent. Llavors:

La resistència equivalent vista des dels terminals1, 2 és evidentment:

(R 1 + R 2) || R 3

( )1 2 31 2 3 1 2 3

1 1 1 1

3ThTh

R R R R

R R R R R R R

+= + ⇒ = = Ω

+ + +

Quant a l’equivalent Norton, R 3 és com si no hi fos, ja que està en paral·lel ambel curtcircuit de la sortida per calcular I N. Llavors

1 1

1 2

1

2

( 1)

( 2)

s

N

v vi nus

R R

vi nus

R

⎧ = +⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

i i N=is/2

Si apareixen condensadors i/o inductàncies, el procediment és el mateix, però en elcircuit transformat.

A B


38/44


-38/44-

Annex 3: Exemples de funcions de transferència:

1.- Divisor de tensió:Quan no hi ha corrent en els terminals de sortida:

( ) ( )

( )

( )( )

1

2

I s RI s V sCs

I sV s

Cs

⎧+ =⎪⎪

⎨⎪ =⎪⎩

Per tant, ( ) ( )

( )2

121

1

1

V s RC G s

V s s RC = =

+

i l’admitància d’entrada és ( ) ( )

( )11 1

1

1

I s sY s

V s R s RC = =

+

S’anomena divisor de tensió perquè V2 és sempre més petit que (i proporcional a) V1 enxarxes passives. No produeix amplificació.2.- Un altre divisor de tensió:

La impedància equivalent del condensador i de R 1 és:

11

1

1

1eq R

Z RCs R Cs

= =+

I la funció de transferència es converteix en :

( )

C R R

R R s

C R s sG

V

V

21

21

112

1

2 1+

+

+==

3.- Xarxes escala:

Cadascuna de les impedàncies pot ser combinació d’altres. Es pot demostrar quela impedància d’entrada és:

65

4

3

2

1

11

11

1

Y Z

Y

Z

Y

Z Z

++

++

+=

que és una fracció continua.

R 1+

_

1Cs

V1 sR 2

+

_ V2 s


39/44


-39/44-

Exemple:

L’interruptor es tanca per t=0. Cal trobari2(t). Valors: R = 10 Ω

L = 1 HV = 100 V

Les equacions de malles per al circuittransformat s'escriuen:

( )

( )

1 2

2 1

2 ( ) ( )

2 ( ) ( ) 0

V Ls R I s RI s

s

Ls R I s RI s

⎧ + − =⎪⎨⎪ + − =⎩

Posant els valors:

( )

( )

1 2

1 2

10020 ( ) 10 ( )

10 ( ) 20 ( ) 0

s I s I s s

I s s I s

⎧ + − =⎪⎨⎪− + + =⎩

Aïllant I2(s): (pel mètode de Kramer)

( )2 2

20 100

100010 0( )

20 10 40 30010 20

s s

I s s s s s

s

+

−= =

+ − + +− +

Desenvolupant en fraccions parcials es te:

( ) ( )1000 3.33 5 1.67

10 30 10 30 s s s s s s= − +

+ + + +

I la transformació inversa de Laplace dóna:10 30

2( ) 3.33 5 1.67 0t t

i t t e e− −

= − + ≥

Que és la solució demanada.


40/44


-40/44-

Annex 4: Condicions per a la transformada de Laplace

TAULA 1. CONDICIONS NECESSÀRIES PER A FUNCIONS DE PUNT IMPULSOR [ENQUE S’HAN ANULAT ELS FACTORS COMUNS EN p(s) I q(s)]

1) Els coeficients del polinomis p(s) i q(s) de N=p/q han de ser reals i positius.

2) Els pols i els zeros han de ser conjugats si són imaginaris o complexos.

3)

a. La part real de tots els pols i zeros ha de ser negativa o zero;

b. Si la part real és zero, llavors els pol o el zero han de ser simples.

4) Als polinomis p(s) i q(s) no els han de faltar termes entre els d’ordre més alt i

més baix, excepte si falten tots els termes parells o senars.

5) El grau de p(s) i q(s) pot diferir ja sigui en zero o només en un.

6) Els termes de grau més baix de p(s) i q(s) poden diferir com a màxim en un

grau.

TAULA 2. CONDICIONS NECESSÀRIES PER A LES FUNCIONS DE TRANSFERÈNCIA[ON S’ANULEN ELS FACTORS COMUNS DE p(s) I q(s)]

1) Els coeficients dels polinomis p(s) i q(s) de N=p/q han de ser reals i els de q(s)

han de ser positius.

2) Els pols i els zeros han de ser conjugats si són imaginaris o complexes.

3)

a) La part real dels pols ha de ser negativa o zero;

b) Si la part real és zero, llavors el pol ha de ser simple (inclou l’origen).

4) Als polinomis q(s) no els poden faltar termes entre els d’ordre més alt i més

baix, excepte si falten tots el termes parells o senars.

5) Al polinomi p(s) li poden faltar termes entre els termes d’ordre més alt i més

baix, i alguns dels coeficients poden ser negatius.

6) El grau de p(s) pot ser tan petit que arribi a zero, independentment del grau de

q(s).

7)

a) Per G12 i a12: el grau màxim de p(s) és el grau de q(s).

b) Per Z12 i Y12: el grau màxim de p(s) és el grau de q(s) més u.


41/44


-41/44-

Annex 5: Funció de transferència i resposta dels filtres RC

Exemple: Filtre RC passa-baixos

a) Calculem la funció de transferència:

( ) ( )Cs

sV s I

10= , llavors:

Vi – V0 = IR; Vi = RCsV0 + V0 = (1 + RCs)V0

( ) ( )

( ) ( ) sT

RC s

RC

RCs sV

sV sT

i

=+

=+

==1

1

1

10

Queda clar que T(s) té un pol en s = -1 / RC i no tézeros (excepte per a s = ∞ )

b) Resposta en funció de la freqüència ω.

Substituïm s per jω ( ) RC j RC jT 11+= ω ω

Definim ωH = 1 / RC, que se sol anomenar freqüència de tall superior:

( )1

1

H

H

H

T j j

j

ω ω

ω ω ω

ω

= =+ +

i queda

( ) ( )2

2

120log 20log 10log 1

1

V

H

H

A dB T j ω

ω ω

ω

ω

⎡ ⎤⎛ ⎞= = = − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎣ ⎦+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Descripció qualitativa del comportament en freqüència del circuit:

• Per ω


42/44


-42/44-

c) Resposta a un senyal esglaó a t = 0.

( )0 0

( )0

ii i

i

t V v t V s

V t s

⎧⎡ ⎤ = ⎨⎣ ⎦ ⎪= ⎨

−


43/44


-43/44-

Exemple : Filtre RC passa-alts

L’anàlisi és idèntica al cas anterior.

a) Funció de transferència:

( ) ( ) sV RC s

s sV i10 +=

T(s) té: Un zero a s=0Un pol a s=-1/RC

b) Resposta en funció de ω: ( )2

1

1

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

==

ω

ω

ω

L

V jT A

amb ωL=1/RC, freqüència de tall inferior.

Diagrama de Bode:

El zero, present a freqüència 0, produeix un pendent positiu de +20 dB/dècada. En elfiltre passa-alts, els +20 dB/dècada inicials queden “neutralitzats” pels – 20 dB/dècadadel pol a ωL. Quant a la fase, en el filtre passa-alts, al tenir un zero a l’origen, eldesfasament és inicialment de +90º per ω = 0. En l’entorn del pol ωL, la fase decreix –

45º per dècada, per acabar sent finalment 0 per ω = ∞ .

c) La resposta a un senyal esglaó és: ( ) et

i

Lvt v ω −

=0


44/44


Tema 1. Sistemes Lineals

Documents

Transcript of Tema 1. Sistemes Lineals