Matemáticas 6º

Tema 1 Sistema de numeración decimal: Nuestro sistema de numeración se llama decimal porque las unidades aumentan y disminuyen de 10 en 10 , es decir, cada 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. 10 décimas = 1 unidad , 10 unidades = 1 decena , 10 decenas = 1 centena, .... Valor absoluto de una cifra es el que la cifra tiene por su figura. valor relativo de una cifra es el que la cifra tiene por el valor que ocupa. Ejem. 585 Valor absoluto del 5 es 5. Valor relativo del 5 es 5 unidades o 5 centenas. En este número : 5.620.025.951.376.845,6347: 5 .- Unidad de millar de billón. ( UMb ) 6 .- Centena de billón. ( Cb) 2 .- Decena de billón. ( Db ) 0 .- Unidad de billón. ( Ub) 0 .- Centena de millar de millón. ( CMm) 2 .- Decena de millar de millón. ( DMm ) 5 .- Unidad de millar de millón. ( UMm ) 9 .- Centena de millón. ( Cm ) 5 .- Decena de millón. ( Dm ) 1 .- Unidad de millón. ( Um ) 3 .- Centena de millar. ( CM ) 7 .- Decena de millar. ( DM ) 6 .- Unidad de millar. (UM ). 8 .- Centenas. ( C ). 4 .- Decenas. ( D ). 5 .- Unidades. ( U ). 6 .- Décimas. ( d ) 3 .- Centésimas. ( c ) 4 .- Milésimas. ( m ) 7 .- Diezmilésimas. ( dm )

Suma

Términos de la suma : Los números a sumar se llaman sumandos y el resultado de la operación se denomina suma o total. 27 + 54 = 81 Sumandos suma o total

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Propiedades de la suma : Son tres: conmutativa, asociativa y elemento neutro.

• Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma . Ejem: 8 + 6 = 6 + 8 8 + 6 = 14 6 + 8 = 14

• Asociativa : Para sumar 3 ó más sumandos, podemos sustituir dos o más de ellos por su suma efectuada sin que el resultado varíe.

Ejem: 4 + 3 + 9 = 4 + 3 + 9 7 + 9 = 4 + 12 16 = 16

• Elemento neutro: Es el 0 porque cualquier número sumado con 0 nos dará el mismo número.

Ejem: 6 + 0 = 6 4 + 0 = 4

Resta

Términos de la resta : En una resta el número mayor se llama minuendo y el menor sustraendo. El resultado se llama diferencia o resto.

25 - 17 = 8 minuendo sustraendo diferencia o resto

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Multiplicación

Una multiplicación es una suma de varios sumandos iguales, es decir, multiplicar dos números es hacer uno de ellos tantas veces mayor como unidades tiene el otro. Ejem: 8 x 5 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40 Los términos de la multiplicación se llaman factores ( multiplicando y multiplicador ) y el resultado se llama producto. 27 multiplicando multiplicador x 8 216 producto Propiedades de la multiplicación: Son cuatro: conmutativa, asociativa, elemento neutro y propiedad distributiva.

• Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. Ejem: 7 x 9 = 9 x 7 63 = 63

• Asociativa : En una multiplicación de 3 o más factores, podemos sustituir dos o más de ellos por su producto efectuado, sin que el resultado varíe.

Ejem: 8 x 3 x 5 = 24 x 5 = 120 8 x 3 x 5 = 8 x 15 = 120

• Elemento neutro: Es el 1 porque cualquier número multiplicado por 1 nos da siempre el mismo número.

Ejem: 7 x 1 = 7

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• Propiedad distributiva: Para multiplicar un número por una suma de varios sumandos, multiplicamos dicho número por cada uno de los sumandos y sumamos sus resultados.

Ejem: 4 x ( 6 + 3 ) = ( 4 x 6 ) + ( 4 x 3 ) = 24 + 12 = 36. ( 5 + 2 ) x 7 = ( 7 x 5 ) + ( 7 x 2 ) = 35 + 14 = 49 Multiplicación por la unidad seguida de ceros:

• Para multiplicar un número entero por la unidad seguida de ceros, se añaden a la derecha de dicho número tantos ceros como acompañen a la unidad.

Ejem: 47 x 100 = 4700 1000 x 51 = 51000

• Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, se corre la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen a la unidad. Si no hay lugares suficientes se completan con ceros.

Ejem: 8,7642 x 100 = 876,42 5,3 x 1000 = 5300 Multiplicación de dos números decimales: Para multiplicar dos números decimales o un número entero por un número decimal, se realiza la multiplicación como si fuesen números enteros y luego se separan con una coma de derecha a izquierda del producto tantas cifras decimales como decimales tengan entre los dos factores. Ejem: 2 , 35 43 , 5 x 3 x 2 , 6 7 , 05 2 6 1 0 8 7 0 . 1 1 3,1 0

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Operaciones combinadas: En una serie de operaciones combinadas cuando aparecen paréntesis se resuelve primero la operación que esta dentro del paréntesis. Ejem: ( 15 - 2 ) x 6 = 13 x 6 = 78 Cuando no aparecen paréntesis, primero se resuelven las multiplicaciones y divisiones y luego las sumas y restas. 15 - 2 x 6 = 15 - 12 = 3

División

Dividir es repartir una cantidad en partes iguales. Ejem: 16 : 2 = 8 Los términos de la división son:

• Dividendo: Es la cantidad que se reparte. ( D ). • Divisor: Es el número de partes que se hacen. ( d ) • Cociente: Es la cantidad que le toca a cada parte. ( c ) • Resto: Cantidad que queda sin repartir. ( r )

Dividendo ( D ) 3 5 8 21 Divisor ( d ) 1 4 8 17 1 Cociente ( c ) resto ( r ) Una división es exacta cuando su resto es cero y una división es entera o inexacta cuando su resto es distinto de cero. 35 7 19 5 . 0 5 4 3 división exacta división entera o inexacta

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Matemáticas 6º

Prueba de la división: Para comprobar que la división está correctamente efectuada multiplicaremos divisor por cociente y al resultado de esta multiplicación le sumaremos el resto. El resultado final tiene que ser igual al dividendo. ( Divisor x Cociente ) + resto = Dividendo ( d x c ) + r = D 350 15 ( 15 x 23 ) + 5 = 345 + 5 = 350 50 23 5 ( d x c ) + r = D Propiedad fundamental de la división: Siempre que multiplicamos o dividimos el dividendo y el divisor por el mismo número, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por ese número. 120 16 x 2 60 8 :2 30 4 . 8 7 4 7 2 7 División de números decimales:

• División de un número decimal entre un número entero: Realizamos la división como si los dos números fuesen enteros, pero al bajar la primera cifra decimal pondremos una coma en el cociente.

Ejem: 4 2 , 3 6 3 , 8 6 2 5 4 . 0 3 0 7 , 0 5 2 6 0 , 9 6 5 6 0 2 2 2 5 1

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• Si el divisor es un número decimal tenemos que convertirlo en entero multiplicándolo por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el divisor. Para que la división no varíe, multiplicaremos también el dividendo por el mismo número por el que hemos multiplicado el divisor.

Ejem: 8 , 7 5 2 , 3 x 10 8 7 , 5 2 3 . 1 7 2 5 7 , 3 5 x 100 1 7 2 5 0 0 7 3 5 .

Potencias

Potencia es el producto de un número por sí mismo varias veces, o lo que es lo mismo, un modo abreviado de escribir un producto de factores iguales. 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6 5 Términos de una potencia:

• El factor que se repite se llama base. • Exponente: Indica el número de veces que se multiplica la base por sí misma.

exponente 3 5 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 base

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Potencias especiales

1. Las potencias que tienen de exponente la unidad son iguales a la base, luego todo

número se puede expresar como potencia de exponente 1. Ejem: 41 = 4 81 = 8 19 = 191 1728 = 17281 2. Las potencias de exponente 0 valen siempre 1, excepto 0 = 0. 0

Ejem: 17 0 = 1 245 = 1 9853 = 1 0 0

3. Las potencias de base 1 valen siempre 1 sea cual sea su exponente. Ejem: 185 = 1 124 = 1 1 = 1 05 0

4. Las potencias de base 10 son iguales a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente. Ejem. 10 = 100000 10 = 10000 10 8 = 100000000 5 4

Operaciones con potencias

Producto de potencias con la misma base: Es igual a otra potencia con igual base y de exponente la suma de los exponentes. Ejem. 4 x 4 = 42 32 3 + = 4 5 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1.024 7 x 7 = 713 3+ = 7 4 = 7 x 7 x 7 x 7 = 2.401 Producto de potencias con igual exponente: Es igual a otra potencia de base el producto de las bases y de igual exponente. Ejem. 2 x 7 = ( 2 x 7 ) 5 = 14 5 = 14 x 14 x 14 x 14 x 14 = 537.824 5 5

4 x 6 = ( 4 x 6 ) = 24 = 24 x 24 x 24 = 13.824 3 3 3 3

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Matemáticas 6º

Cociente de potencias de igual base: Es igual a otra potencia que tiene la misma base y de exponente la diferencia de los exponentes. Ejem. 4 7 : 4 = 472 2− = 4 5 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1.024 Potencia de otra potencia: Es iagual a otra potencia con la misma base y de exponente el producto de los exponentes. Ejem. ( 5 ) 2 = 53 = 5 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 15.625 3 2x 6

Potencia de una fracción: Para elevar una fracción a una potencia, se eleva cada término de la fracción al exponente de dicha potencia.

Ejem. ( 23

) 5 = 23

5

5 = 2 2 2 2 23 3 3 3 3x x x xx x x x

= 32243

Múltiplos y divisores

Los múltiplos de un número son los números que obtenemos cuando multiplicamos ese número por los números naturales. Ejem. Múltiplos de 2 = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , ..... } Los múltiplos de un número son infinitos. Para saber si un número ( por ejemplo el 48 ) es múltiplo de otro ( por ejemplo el 8 ) , tendremos que dividir el primero ( el 48 ) entre el segundo ( el 8 ), si la división da exacta es múltiplo. Ejem. ¿ Es 48 múltiplo de 8 ? 48 8 . 0 6 Luego 48 es múltiplo de 8 ( 6 x 8 = 48 )

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Matemáticas 6º

Propiedades de los múltiplos: 1. Cualquier número es múltiplo de sí mismo. 2. El 0 es múltiplo de todos los números.

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Los divisores de un número son todos aquellos que lo dividen exactamente. Un número ( por ejemplo el 4 ) es divisor de otro ( por ejemplo el 32 ) si al hacer la división da exacta. Ejem. ¿ Es 4 divisor de 32 ? 32 4 . Luego 4 es divisor de 32 0 8 Propiedades de los divisores: 1. El 0 no es divisor de ningún número porque la división de un número entre 0 no se puede realizar. 2. El 1 es divisor de cualquier número, ya que cualquier número dividido entre 1 da siempre división exacta. 3. Todo número es divisor de sí mismo, ya que cualquier número dividido entre el mismo da división exacta. 4. Todo número excepto el 0 tiene al menos 2 divisores; el mismo y la unidad. Reglas de divisibilidad: Divisibilidad por 2 : Un número es divisible por 2 si acaba en 0 ó en cifra par. Ejem: 484 , 690 , 1952 , 86356 . . . Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de los valores absolutos de sus cifras es 3 o múltiplo de 3. Ejem: 123 ( 1 + 2 + 3 = 6 que es múltiplo de 3 ) 45021 ( 4 + 5 + 0 + 2 + 1 = 12 que es múltiplo de 3 )

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Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si acaba en 0 ó en 5. Ejem: 890 , 7485 , 20 , 95 . . . Divisibilidad por 11: Un número es divisible por 11 si la suma de las cifras que ocupan el lugar par menos la suma de las cifras que ocupan el lugar impar da 0 , 11 ó múltiplo de 11. Ejem: 825 5 + 8 = 13 13 - 2 = 11 es divisible por 11. 8 9 1 . 2 3 1 lugar par lugar impar 3 + 1 + 8 = 12 1 + 2 + 9 = 12 12 - 12 = 0 Luego 11 es divisor de 891.231.

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Número primo: Un número es primo si sólo es divisible por el mismo y la unidad. Ejem: 2 , 7 , 13 , 29 ...... Número compuesto: Un número es compuesto cuando tiene más divisores que el mismo y la unidad. Ejem: 14 , 44 , 86 , 125 , 1402 ........

Elaboración de una tabla de números primos hasta el 100

1º Escribimos los números del 1 al 100. 2º Rodeamos el primer número primo, el 1. 3º Rodeamos el segundo número primo, el 2. 4º A partir del 2 contamos de 2 en 2 y vamos tachando ( son los múltiplos de 2 ). 5º El tercer número primo es el 3. Lo rodeamos. 6º A partir del 3 tachamos de 3 en 3 ( son los múltiplos del 3 ). 7º Hacemos lo mismo con el 5 ( tachamos de 5 en 5 ). 8º Igual con el 7 ( tachamos de 7 en 7 ). y así sucesivamente.

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Matemáticas 6º

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 27 , 28 , 29 , 30 , 31 , 32 , 33 , 34 , 35 , 36 , 37 , 38 , 39 , 40 , 41 , 42 , 43 , 44 , 45 , 46 , 47 , 48 , 49 , 50 , 51 , 52 , 53 , 54 , 55 , 56 , 57 , 58 , 59 , 60 , 61 , 62 , 63 , 64 , 65 , 66 , 67 , 68 , 69 , 70 , 71 , 72 , 73 , 74 , 75 , 76 , 77 , 78 , 79 , 80 , 81 , 82 , 83 , 84 , 85 , 86 , 87 , 88 , 89 , 90 , 91 , 92 , 93 , 94 , 95 , 96 , 97 , 98 , 99 , 100 ...... Los números que quedan sin tachar son los números primos hasta el 100: 1-2-3-5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47-53-59-61-67-71-73-79-83-89-97….. Números primos entre sí: Dos o más números son primos entre sí cuando el único divisor común a todos ellos es la unidad. Ejem: 14 , 9 y 25. Divisores de 14 = { 1 , 2 , 7 , 14 } Divisores de 9 = { 1 , 3 , 9 } Divisores de 25 = { 1 , 5 , 25 } El único divisor que tienen en común es el 1, luego 14 , 9 y 25 son primos entre sí

Forma de saber si un número es primo o compuesto sin hacer la tabla

Se va dividiendo el número por los números primos { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 ...... } hasta que tengamos un cociente menor o igual que el divisor. Si hasta entonces ninguna división ha dado exacta, el número es primo. Ejem: 283 Por las reglas de divisibilidad que ya conocemos, sabemos que no es divisible ni por 2, ni por 3, ni por 5 , ni por 11. 283 7 283 13 283 17 . 03 40 23 2 1 113 1 6 10 11 El cociente es menor que el divisor luego 283 es un número primo

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Matemáticas 6º

Descomposición de un número en factores primos

Descomponer un número en factores primos es hallar los números primos que dividen a ese número de manera que el producto de todos ellos nos dé el número dado. 54 2 150 2 27 3 75 3 9 3 54 = 2 x 3 3 25 5 150 = 2 x 3 x 5 2

3 3 5 5 1 1

Máximo común divisor ( M.C.D. ) El M.C.D. de varios números es el mayor de todos los divisores comunes a dichos números. Para hallar el M.C.D. de 2 o más números hallaremos todos los divisores de cada uno de los números. De los divisores que tengan en común elegiremos el mayor. Ejem. M.C.D. de 12 y 15: Divisores de 12 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 } Divisores de 15 = { 1 , 3 , 5 , 15 } Los divisores comunes a 12 y 15 son { 1 , 3 }. El mayor ( máximo ) de los divisores comunes es el 3. M.C.D de 12 y 15 = 3 Para poder calcular el M.C.D. sin tener que escribir todos los divisores de cada número haremos de la siguiente forma: Ejem: M.C.D de 12 y 15 1º) Descomponemos los números en factores primos: 12 2 15 3 12 = 2 x 3 x 1 2

6 2 5 5 15 = 3 x 5 x 1 3 3 1 1 1 1 1 2º) Se eligen sólo los factores primos comunes a todos los números elevados al menor exponente. En este caso serían el 3 y el 1.

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3º) El M.C.D. será el producto de los factores primos comunes de menor exponente. M.C.D. = 1 x 3 = 3 Ejem. Vamos a hallar el M.C.D. de 150 , 20 y 430. 150 2 20 2 430 2 150 = 2 x 3 x 5 2

75 3 10 2 215 5 20 = 2 x 5 M.C.D= 2 x 5 = 10 2

25 5 5 5 43 43 430 = 2 x 5 x 43 5 5 1 1 1 Si los números de los cuales pretendemos hallar el M.C.D. no tienen ningún factor común ( son números primos entre sí ) su M.C.D. será la unidad. Ejem. M.C.D. de 15 y 32. 15 3 32 2 5 5 16 2 15 = 3 x 5 1 8 2 32 = 2 5 M.C.D. = 1 4 2 2 2 1

Mínimo común múltiplo ( m.c.m. )

Llamamos m.c.m. de dos o más números al menor de todos los múltiplos comunes a esos números. Ejem: m.c.m. de 6 , 8 , 12. Múltiplos de 6 = { 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , 42 , 48 , 54 , 60 , 66 , 72 .........} Múltiplos de 8 = { 8 , 16 , 24 , 32 , 40 , 48 , 56 , 64 , 72 , 80 , 88 , 96 .........} Múltiplos de 12 = { 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , 84 , 96 , 108 , 120 , 132 ......} Los múltiplos comunes a estos tres números son { 24 , 48 , 72, ......} y el menor ( mínimo ) de todos ellos es el 24 , luego el m.c.m. de 6 , 8 , 12 es el 24.

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Matemáticas 6º

Para calcular el m.c.m. de 2 o más números sin tener que hallar los múltiplos de cada uno de los números, primero descompondremos cada uno de los números en factores primos. Ejem: m.c.m. de 150 , 20 y 430. 150 2 20 2 430 2 150 = 2 x 3 x 5 2

75 3 10 2 215 5 20 = 2 x 5 2

25 5 5 5 43 43 430 = 2 x 5 x 43 5 5 1 1 1 Se eligen todos los factores primos comunes y no comunes de mayor exponente. 150 = 2 x 3 x 5 2

20 = 2 x 5 Comunes = 2 y 5 2 2 2

430 = 2 x 5 x 43 No comunes = 3 y 43 El m.c.m. será el producto de los factores primos comunes y no comunes de mayor exponente. m.c.m. { 150 , 20 , 430 } = 2 2 x 5 2 x 3 x 43 = 12.900

Las fracciones

Cuando una unidad, objeto o figura, la partimos en trozos iguales y nos referimos a uno o varios de esos trozos utilizamos fracciones. Fracción es cada na de las partes iguales en que se divide la unidad entera.

Ejem. 23

Términos de la fracción: Son dos, numerador y denominador.

• El numerador se escribe en la parte superior e indica el número de partes que se toman de la unidad.

• El denominador se escribe en la parte inferior e indica el número de partes iguales en que se divide la unidad entera.

Ejem: 57

numerador

denominador

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Matemáticas 6º

Clases de fracciones.

Las fracciones pueden ser:

• Propias: Son las que tienen el numerador menor que el denominador y por lo tanto valen menos que la unidad.

Ejem: 34

< 1

• Impropias: Son las que tienen el numerador mayor o igual que el

denominador y por lo tanto valen más o igual que la unidad.

Ejem: 53

> 1 77

= 1

• Fracciones equivalentes: Son las fracciones que representan la misma parte

de la unidad.

Ejem: 12

y 24

Para reconocer si 2 fracciones son equivalentes las multiplicamos en cruz, es decir, el numerador de la 1ª por el denominador de la 2ª y esta multiplicación tiene que dar igual que el producto del denominador de la 1ª por el numerador de la 2ª.

Ejem: 12

y 24

12

24

2 x 2 = 4

1 x 4 = 4

Luego 12

y 24

son fracciones equivalentes.

Propiedad fundamental de las fracciones equivalentes.

Si se multiplica o divide numerador y denominador de una fracción por un mismo número, la fraccíon no varía, resulta otra fracción equivalente.

Ejem: 43

= 4 23 2

xx

= 86

; 43

y 86

son fracciones equivalentes.

8

16 =

8 216 2

::

= 48

; 8

16 y

48

son fracciones equivalentes.

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Matemáticas 6º

Simplificación de fracciones

Simplificar una fracción es hallar otra fracción equivalente con términos más sencillos. Para simplificar una fracción se dividen numerador y denominador por un mismo número ( divisor común ).

Ejem: 144120

= 7260

= 3630

= 1815

= 65

: 2 : 2 : 2 : 3

Las fracciones 144120

, 7260

, 3630

, 1815

, 65

son equivalentes.

Cuando la fracción simplificada tiene el numerador y denominador que son números primos entre sí, decimos que la fracción es irreducible, no se puede simplificar más ( el M.C.D. de numerador y denominador es 1 ). Para obtener la fracción irreducible a una dada, dividimos numerador y denominador por su M.C.D. : 24

Ejem: 144120

= 65

: 24 144 2 120 2 72 2 60 2 36 2 30 2 144 = 2 x 3 4 2

18 2 15 3 120 = 2 x 3 x 5 M.C.D.= 2 x 3 = 24 3 3

9 3 5 5 3 3 1 1

Números mixtos.

Un número mixto es el que está formado por un número entero y una fracción. ( Suma de un número entero y una fracción ).

Ejem: 2 23

= 2 + 23

= ( )2 3 2

3x +

= 6 2

3+

= 83

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Matemáticas 6º

Un número mixto se puede convertir en una fracción impropia multiplicando el

número entero por el denominador de la fracción y al resultado se le suma el numerador. de denominador se le pone el mismo que tenía.

Ejem: 4 15

= 4 + 15

= ( )4 5 1

5x +

= 20 1

5+

= 215

Una fracción impropia se puede convertir en un número mixto, para ello dividiremos el numerador entre el denominador. El cociente será el número entero y la fracción tendrá el resto de numerador y el mismo denominador.

Ejem: 456

= 7 36

45 6 . 3 7

Fracciones y números decimales

Una fracción se puede convertir en un número decimal, éste se obtiene al dividir el numerador entre el denominador. 30 15 . 0 0,2

Ejem: 3

15 = 0,2

Un número decimal se puede convertir en fracción ( fracción decimal ), para ello escribimos en el numerador el número sin la coma ( de forma entera ) y en el denominador la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el número decimal.

Ejem: 0,45 = 45

100 3,2 =

3210

0,0068 = 68

10000

Operaciones con fracciones

Fracción de una cantidad: Para calcular la fracción de una cantidad, dividimos la cantidad entre el denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador.

Ejem: 25

de 100 €.

25

de 100 = ( 100 : 5 ) x 2 = 20 x 2 = 40 €.

Suma y resta de fracciones: Se pueden dar dos casos, que las fracciones tengan el mismo denominador o que las fracciones tengan distinto denominador.

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Matemáticas 6º

1º) Suma de fracciones con igual denominador: Es otra fracción con la suma de los numeradores en el numerador y el mismo denominador

Ejem: 12

+ 32

+ 52

= 1 3 5

2+ +

= 92

Para restar fracciones con el mismo denominador se restan los numeradores y se deja el mismo denominador.

Ejem: 105

- 25

- 45

= 10 2 4

5− −

= 45

2º) Suma de fracciones con distinto denominador: Primero tenemos que obtener fracciones equivalentes a las dadas que tengan el mismo denominador, para ello calcularemos el m.c.m de los denominadores que será el nuevo denominador ( denominador común ). Luego el m.c.m. se divide entre cada denominador ( la división tiene que dar exacta ) y el resultado se multiplica por el numerador. Por último sumaremos las fracciones obtenidas.

Ejem: 38

+ 24

+ 46

=

8 2 4 2 6 2 8 = 2 3 4 2 2 2 3 3 4 = 2 m.c.m. = 2 x 3 = 24 2 3

2 2 1 1 6 = 2 x 3 1 24 8 24 4 24 6 . 0 3 0 6 0 4

38

= 9

24

24

= 1224

46

= 1624

x 3 x 6 x 4

38

+ 24

+ 46

= 9

24 +

1224

+ 1624

= 3724

Resta de fracciones con distinto denominador: se hace de la misma manera que en la suma pero al final se restan los numeradores.

-- -- 19

Matemáticas 6º

Producto de fracciones

El producto de 2 o más fracciones es igual a otra fracción que tiene de numerador el producto de los numeradoes y de denominador el producto de los denominadores.

Ejem: 45

x 23

x 26

= 4 3 25 2 6

x xx x

= 2460

= 25

: 12 24 2 60 2 12 2 30 2 6 2 15 3 24 = 2 x 3 3

3 3 5 5 60 = 2 x 3 x 5 M.C.D. = 2 x 3 = 12 2 2

1 1

División de fracciones

El cociente de dos fracciones es otra fracción obtenida al multiplicar en cruz los términos de las 2 fracciones, es decir, el numerador de la 1ª por el denominador de la 2ª ( el resultado del producto lo escribimos en el numerador ) y denominador de la 1ª por el numerador de la 2ª ( el resultado del producto lo escribimos en el denominador ).

Ejem: 43

: 57

= 4 73 5

xx

= 2815

Comparación de fracciones

1º) Cuando las fracciones tienen todas el mismo denominador, es mayor la que tiene el mayor numerador.

Ejem: Ordena de mayor a menor: 92

, 72

, 32

, 122

, 52

122

> 92

> 72

> 52

> 32

2º) Cuando las fracciones tienen igual numerador, es mayor la que tiene el menor denominador.

-- -- 20

Matemáticas 6º

Ejem: Ordena de mayor a menor: 52

, 54

, 53

, 59

52

> 53

> 54

> 59

3º) Cuando las fracciones tienen distinto denominador y numerador, podemos compararlas de dos formas distintas:

• Transformamos las fracciones en números decimales y comparamos los números decimales:

Ejem: Ordena de mayor a menor : 14

, 45

, 62

14

= 0,25 45

= 0,8 62

= 3

10 4 40 5 6 2 . 20 0,25 0 0,8 0 3 0

3 > 0,8 > 0,25 62

> 45

> 14

• Hallando fracciones equivalentes a las dadas con el mismo denominador. Para ello utilizaremos el m.c.m. de los denominadores.

Ejem: Ordena de mayor a menor : 1460

, 715

, 68

60 2 15 3 8 2 30 2 5 5 4 2 60 = 2 x 3 x 5 2

15 3 1 2 2 15 = 3 x 5 m.c.m = 2 x 3 x 5 = 120 3

5 5 1 8 = 2 3

1

1460

= 28

120

715

= 56

120

68

= 90

120

x 2 x 8 x 15 120 60 120 15 120 8 . 00 2 00 8 40 15 0

90

120 >

56120

> 28

120

68

> 7

15 >

1460

-- -- 21

Matemáticas 6º

Anexo tema 9

Unidades de superficie

Las unidades de superficie son las que sirven para medir dos dimensiones; el largo y el ancho. Su unidad principal es el m2 . El metro cuadrado es la superficie de un cuadrado que tiene 1 m de lado. 1m 1m 1 m 2 Múltiplos del m 2 : Miriámetro cuadrado--- Mm2 ----- 100.000.000 m . 2

Kilómetro cuadrado ---- Km2 ----- 1.000.000 m 2 . Hectómetro cuadrado--- Hm2 ----- 10.000 m . 2

Decámetro cuadrado --- dam2 ----- 100 m 2 .

La unidad principal es el m 2

Submúltiplos del m : 2

decímetro cuadrado ------ dm2 ------ 0,01 m2 . centímetro cuadrado ----- cm ------ 0,0001 m2 . 2

milímetro cuadrado ----- mm ----- 0,000001 m2 . 2

Mm2 -- Km2 -- Hm2 -- dam2 -- m2 -- dm2 -- cm2 -- mm 2

-- -- 22

Matemáticas 6º

Unidades agrarias

Son medidas de superficies que sirven para medir terrenos, fincas y solares. Las unidades agrarias principales son: Hectárea ---- ha --- Hm 2 ----- 10000 m2 ( unidad principal ) área ----- a ----- dam 2 ------ 100 m 2 Centiárea ---- ca ----- m 2

ha --- a --- ca

Unidades de volumen

Sirven para medir tres dimensiones: largo, ancho y alto. Su unidad principal es el metro cúbico ( m ). El metro cúbico es igual al volumen de un cubo de 1 m. de arista.

3

Múltiplos del m 3 : Miriámetro cúbico ------ Mm 3 ---------1.000.000.000.000 m 3

Kilómetro cúbico -------- Km 3 --------- 1.000.000.000 m 3 Hectómetro cúbico ------ Hm 3 --------- 1.000.000 m 3

Decámetro cúbico ------- dam 3 --------- 1.000 m 3

La unidad principal es el m 3

Submúltiplos del m : 3

Decímetro cúbico --------- dm ---------- 0,001 m 3 3

Centímetro cúbico --------- cm 3 ----------- 0,000001 m 3

Milímetro cúbico ---------- mm 3 ---------- 0,000000001 m 3

Mm 3 -- Km 3 -- Hm 3 -- dam 3 -- m 3 -- dm -- cm 3 -- mm 3 3

-- -- 23

Matemáticas 6º

Relación entre diferentes unidades de medida

1 kg = 1 l = 1 dm 3 = 1000 cm 3

Anexo tema 12

Área del cuadrado: A = l x l = l 2 l = longitud del lado. l Área del rectángulo: b = base h = altura A = b x h h b Área del triángulo: h

A = bxh2

b

b = base h = altura Área del rombo: diagonal mayor ( D )

A = Dxd

2

diagonal menor ( d ) Área del trapecio: b

A = ( )B b xh+

2 h

B

B = base mayor b= Base menor h = altura

-- -- 24

Matemáticas 6º

Área del polígono regular:

A = Pxap

2

Perímetro ( P ) .- Es la suma de todos sus lados, es decir, la medida de su contorno. Apotema ( ap ) .- Es el segmento que va desde el centro del polígono hasta el punto medio de uno de sus lados ( divide al lado en dos partes iguales ).

Clasificación de triángulos

Clasificación según sus lados: • Equilátero: Tiene todos sus lados iguales. • Isósceles: Tiene dos lados iguales y uno desigual. • Escaleno: Tiene todos los lados diferentes.

Clasificación según sus ángulos:

• Rectángulo: Cuando tiene un ángulo recto. • Acutángulo: Todos sus ángulos son agudos. • Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso.

-- -- 25

Matemáticas 6º

ANEXOS

Clasificación de los ángulos

Según el número de regiones angulares ocupadas los ángulos pueden ser:

• Convexo: Ocupa una región angular • Llano: Ocupa dos regiones angulares. • Cóncavo: Ocupa tres regiones angulares. • Completo: Ocupa las cuatro regiones angulares.

Según su amplitud, los ángulos pueden clasificarse en:

• Recto: Mide 90º • Agudo: Mide menos de 90º • Obtuso: Mide más de 90º y menos de 180º • Llano: Mide 180º • Completo: Mide 360º.

Cuadriláteros

Los cuadriláteros son polígonos que tienen cuatro lados. Los cuadriláteros pueden ser paralelogramos o no paralelogramos. Se llaman paralelogramos a los cuadriláteros que tienen todos sus lados opuestos paralelos y son: el cuadrado, rectángulo, rombo y romboide.

• Cuadrado: Es el cuadrilátero paralelogramo que tiene todos sus lados y ángulos iguales y rectos.

• Rectángulo es el cuadrilátero paralelogramo que tiene los lados opuestos iguales y sus ángulos iguales y rectos.

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Matemáticas 6º

• Rombo es el cuadrilátero paralelogramo que tiene los lados iguales y los ángulos opuestos iguales.

• Romboide es el cuadrilátero paralelogramo que tiene los lados opuestos iguales y los ángulos opuestos iguales.

Se llaman cuadriláteros no paralelogramos a los que no tienen sus lados opuestos paralelos. Pueden ser: Trapecios y trapezoides.

• El trapecio es el cuadrilátero no paralelogramo que sólo tiene dos lados paralelos. El trapecio a su vez puede clasificarse en:

⇒ Trapecio rectángulo: Son cuadriláteros no paralelogramos que

tienen 2 ángulos rectos.

⇒ Trapecio isósceles: Es el cuadrilátero no paralelogramo que tiene sus lados no paralelos iguales.

⇒ Trapecio escaleno: Es el cuadrilátero no paralelogramo que tiene los lados y los ángulos desiguales.

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Matemáticas 6º

• Trapezoide: Es el cuadrilátero no paralelogramo que no tiene ningún lado

paralelo a otro.

CUADRILÁTEROS

cuadrado rectángulo Paralelogramos rombo romboide Trapecio rectángulo Trapecio Trapecio isósceles Trapecio escaleno No paralelogramos Trapezoide

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