r Las magn¡tudes físicas son propiedades de los cuerpos que podemos medir. Las magn¡tudes ysus unidades están organizadas en sistemas de unidades. En la actualidad se acuerda trabajaren el Sistema lnternacional de Unidades (Sl).

:jit:,

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo S

lntensidad de corriente eléctrica ampeno A

Temperatura termodinámica kelvin K

lntensidad luminosa candela cd

Cantidad de sustancia mol mol

o Magnitudes escalares: aquellas que la medida de una cantidad queda definida por un númeroacompañado de la unidad correspondiente.

cl Magnitudes vectoriales: aquellas que la medida de una cantidad queda definida por un núme-ro acompañado de la unidad correspondiente, el punto de aplicación, la dirección que tieney el sentido que lleva.

. Las cifras si§nificativas de una medida son las que podemos apreciar en el aparato de medida.

o Cualquier cero final después de la coma decimal es significativo. Por ejemplo, la medida15,0 cm tiene tres cifras significativas. El cero lo hemos leÍdo en el aparato de medida.

o Los ceros a la izquierda de la primera cifra no nula no son significativos. Por ejemplo, la medi-da 0,O50 tiene dos cifras significativas.

¡ La notación científica consiste en expresar cualquier número como un número decimal con unasola cifra entera multiplicada por una potencia de base 10 y exponente igual al número de luga-res que se ha desplazado la coma, siendo positivo si se desplaza hacia la izquierda y negativosi la coma se desplaza hacia la derecha.

¡ El error absoluto (eu) de una medida es la diferencia entre la medida obtenida (m') y el valorexacto de ella (m), tomando el resultado siempre como positivo.

En una serie de medidas, el error absoluto (eu) es el valor medio de los errores absolutosde cada una de las medidas. El error absoluto indica cuánto nos separamos del valor verdade-ro de la medida y no debe ser menor que el valor de la sensibilidad del aparato de medida.

¡ EI error relativo (e,) es el cociente entre el error absoluto medio y el valor de la medida tomadocomo verdadero. Nos da idea sobre Ia calidad de la medida realizada.

::i::i.i ,.1: :

.,':.- ,:i8¿,...

i=-ffi-

@I

1, Magnitudes y sistemas de unidades

Actividades fGEMiltFXt

Sabiendo que la unidad de volumen en el St es el metro cúbico (m3), expresa en m3las si§uientesmedidas:

a) 25O L b) 500 mL

a) El litro es equivalente al decÍmetro cúbico, por tanto:

25OL=250dm3

Para pasar dm3 a m3 hay que dividir por 1000, es decir:

7dm3 = -+- m3 = 1O-3 m31 000

En definitiva:

250 L = 25O dm3 = 25O ' 10-3 m3 = 0,250 m3

b) El mililitro es equivalente al centímetro cúbico, por tanto:'5OO mL = 5OO cm3

Para pasar cm3 a m3 hay que dividir por 10O0 OO0, es decir:

1 cm3 = -L= ¡1s - 19-6 ,n310b

En definitiva:

5O0 mL = 500 cm3 = 5OO ' 10-6 m3 = 5 ' 1O-4 ms

_kgExpresa en : las siguientes medidas:

r 1 litro equivalea 1 decímetro cúbico:

1L=1dm3¡ 1 mililitro equivale

a 1 centímetro cúbico:1 mL = 1cm3

1000 = 103t - t -rn-3looo - 103 --"

1000000 = 1061, _ 1, _4r\_6

l ooo ooo = 1oo = r-u -

a)

a)

mÉu¡ S,2 ffi13,6 -+cm"

lcms=#¡a-16-6¡3

En definitiva: 13,6 ;fi3. = 13,6 . ffi =P:I{ = 13,6 . 19, _q = 13 600 l+-=m3

Los gramos, en el numerador, habrá que pasarlos a kilogramos dividiendo por 1000 (1000 =103), es decir:

1e=#kg=1o-3kgLos centímetros cúbicos, en el denominador, tendremosque pasarlos a metros cúbicos, en este caso, dividiendopor un 1000000 (100000O = 106), es decir:

em3'

b) Los miligramos los pasamos a kilogramos dividiendo por 1O00 000 (1000 000 = 106), es decir:

1mg=#*t=1o-6kg

Los decÍmetros cúbicos los pasamos a metros cúbicos dividiendo por 1000 (1000 = 103), es decir:

1dm3=#m3-10-3m3

mg

dm3En definitiva: 5,2 - 5 2 . 10-=6 kq

= 5,2 .10-3 -$|-.- rt1 10_3 m3 -

Actividades,,cffi 'pistás

GD Expresa en unidades fundamentales del Sl las sisuientes medídas:

a) rzo f b) 300 hl-- mrn

a) La unidad fundamental de longitud en el Sl es el metro, por tanto, habrá que pasar los lffi-tros a metros multiplicando por 1000.

1-km=f----l ,La unidad fundamental de tiempo en el Sl es el segundo, por tanto, habrá que pasar las hf,rña segundos.

th=60minylmin=60s--------> th=GO . 60s=l s

En definitiva:

126 $l=126.1 _ lrL=35rth I I s -- s

b) La unidad fundamental de volumen en el Sl es el metro cúbico, por tanto, habrá que ps 5ghectolitros a metros cúbicos.

La unidad fundamental de tiempo en el Sl es el segundo, por tanto, habrá que pasar los rmnrn,tos a segundos.

En definitiva:

3oo h! = 3oo El ,'

= 0.5 ,1MINSS

Actividades

GD Cita tres propiedades de los cuerpos que se puedan medir e indica con qué instrumento realizaríasla medida.

CD Marca cuáles de las siguientes son magnitudes físicas:

s

3 a) Amor.

tl d) Odio.

D b) Cariño.

tr e) Velocidad.

D c) Volumen.

C f) Esperanza.

CD Clasifica en escalares o vectoriales las siguientes magnitudes:

a) Tiempo. b) Fuerza. c) Velocidad. d) Masa.

@ Nombra y escribe las si§uientes cantidades utilizando los prefFjos y los símbolos apropiados:

a) 8,3 . 10-3 A

cl72 ' 10-6 g

O Expresa en unidades fundamentales del Sl las si§uientes medi-das:

a) 15 ps

c)5mA

a) Superficie = Longitud x Longitud.

c) Densidad = Masá/Volumen.

b) 3,5 . 103 m

d) 3,9 . 10-e s

b) 8,3 nm

d) 0,25 km

O Las sigiuientes magnitudes son derivadas en el Sl. Escribe sus unidades en función de las fundamen-tales del Sl:

b) Volumen = Longitud x Longitud x Longitud.

d) Velocidad = Espacio/Tiempo.

lID Completa Ias filas de las siÉuientes tablas:

ED Expresa:

a) o,25 E- "n -I€-.cm"

nn k! "n ',hS c) eso -I+ "n -L.cm"

d)340+"r+

.l

giga

mega

kilo

hecto

deca

deci

centi

mili

micro

nano

G

M

k

h

da

d

c

m

l-r

n

10e

106

103

LO2

10

10-1

to-2

10-3

10-6

10-e

Longitud

Volumen/Capacidad

Tiempo

7..2 Gifras s¡gn¡f¡cativas. Notación científica

Act i vi d a d es lEEIl.tI tEEf

CD Escribe el resultado, con el número correcto de cifras sisnificativas, de las sisuientes operaciones:

a) 12,023 + 35,3 bl7,52 . 0,50

a) Cuando la operación es una suma o una resta, el resultadono debe tener más decimales que los del dato con menornúmero de ellos.

En nuestro caso se trata de una suma donde 35,3 es eldato con menor número de decimales, solo tiene uno. portanto, el resultado se debe redondear a un solo decimal:

72,023 + 35,3 = 47,323 -------> O, ,,b) Cuando la operación es un producto o un cociente, el resul-

tado no debe tener más cifras significativas que las deldato con menor número de ellas.

En nuestro caso se trata de un producto donde 0,5O es eldato con menor número de cifras significativas, t¡ene dos.Por tanto, el resultado se debe redondear a dos cifrassignificativas:

7,52 ' O,50 = 3,76 -------> 3,8

CGD Expresa en notación científica:

a) 30000000O m/s b) 0,000000000053 m

a) En este caso la cifra entera será el 3. La potencia de 10 tendrá exponente positivo e igual a g,ya que para obtener el 3 hay que mover la coma ocho lugares hacia la izquierda:

300000000 m/s = 3 . 108 m/sb) En este caso el número con una sola cifra entera serÍa 5,3. La potencia de 10 tendrá exponen-

te negativo e igual a77,ya que para obtenerel 5,3 hayque mover la coma hacia la derecha 11lugares:

0,000000000053 m = 5,3 . 10-11 m

CED Escribe el resultado, con el número correcto de cifras significativas, de las sisuientes operaciones:

al 602,023 - L37,O4 t) ##a) Cuando la operación es una resta, el resultado no debe tener más decimales que los del dato

con menor nÚmero de ellos; en nuestro caso 137,04 es el dato con menor número de decima-les, solo tiene dos. Por tanto, el resultado se debe redondear a dos cifras decimales:

602,023 - 737,O4 = 464,983 ----¡> 4G4,98

b) Cuando la operación es una división, el resultado no debe tener más cifras significativas que lasdel dato con menor número de ellas; en nuestro caso 62,03 es el dato con menor númerode cifras significativas, tiene cuatro. Por tanto, el resultado se debe redondear a cuatro cifrassignificativas:

9,'z1t-1 = 1,491500156 -----> 1,,49241,,589

redondeo¡ Si la cifra siguiente a la

que hay que desechar esmayor o igual que 5, sesuprimen dicha cifra ytodas las siguientes des-pués de incrementar unaunidad a la última conser-vada.

¡ Si la cifra siguiente a laque hay que desechar esmenor que 5, simplemen-te se suprimen dicha cifray todas las siguientes.

,ffiliililli

Actividades

¿Cuántas clfras si§nificativas tienen las si§uientes cantidades?

a) 5,3 b) 3,40 e) 23,060

d) 0,53 e) 0,00340 f) 0,023

Escribe el resultado, con el número correcto de cifras significativas, de las sisuientes operaciones:

al723,89 + 2t,327 b) 23,367 - 3,5 c17,4-6,03

d) 52,89 . 26,3034.06

el'34

b) 3,1416 . 3,01' 0,356

Í12,6 . 7,O2

Redondea correctamentel

. 27.30 . 5.03al' 1.27

Escribe utitizando notación científica las sisuientes medidas:

a) 346 m b) 65300 L

d) O,00034 m

cl 72O 0O0 cm

e) 0,253 L f) 0,000000O123 cm

Escribe utilizando notación decimal las sisuientes medidas:

al5,7 . 10-3 A bl7,42 . |O-a m2 c) 1,05 ' 10-2 s

dl5,7 . 103 A el 7,42 . 105 m2 f) 1,05 . 102 s

1.3. Errores al medir

ED

Actividades IEFIIEI tEEl

Se mide la altura de una alumna utilizando una cinta métricacuya sensibilidad es de milímetros (+ 0,1 cm), obteniéndoselos si§uientes resultados: 165,3 cm, 165,5 cm, 165,1 cm,165,3 cm y 165,4 cm. Calcula el error absoluto medio y el errorrelativo.

El valor medio de las medidas que tomaremos como valor ver-dadero será:

m= 165,3 + 165,5 + !65,L+ 1-65,3 + !65,4= 165,3 cm

Los errores absolutos en cada una de las medidas serán:

Como valor exacto de la medi-da se toma el valor medio delas medidas realizadas.

Al realizar una serie de me-didas de una cierta cantidadde una magnitud, se calculala media aritmética de ellas,m, y el valor medio de loserrores absolutos (er).

El valor de la medida se es-cribe como:

m I aa (unidades)

El error absoluto medio será:

0,0+0,2 +O,2+ 0,0+0,1"u=ffi=0,1 cm

Este error es el mismo que la sensibilidad de la cinta métrica que lee milÍmetros, es decir, 0,1 cm.

La medida se debe escribir, por tanto, como:

165,3 + 0,1 cm

El error relativo expresado en % es:

tr=

0,18=-, 165,3

x 100 = 0,06 %

a^

mx 100

Actividades csh..,pi§tas

€D Se deja caer una bola de acero por un plano inclinado y se mide el tiempo que tarda en recorrerlocon un cronómetro que tiene una sensibilidad de centésimas de segundo (t 0,01s). Se toman cincomedidas y se obtienen los siguientes datos: 0,62 s, 0,64 s, 0,60 s, 0,61s y 0,61s. Escribe correcta-mente el resultado de la medida del tiempo.

El valor que tomaremos como verdadero del tiempo de caida es el valor medio de las cinco medl-das obtenidas:

m=O,62 + 0,64 + 0,60 + 0,61 + 0,61

= 0,62 s

Los enores absolutos en cada una de las medídas serán:

El error absoluto medio será:

o_-d = 0,1 cm

5:J?::tt coincide con la sensibilidad del cronómetro, que ree centés¡mas de segundo, es decir,

La medida se debe escribir, por tanto, como:

o,62 + o,0l_ s

Actividades

ED se mide cinco veces er diámetro de ra mina de un portaminasque nos han vendido como de O,5 mm con un aparato quemide centésimas de milÍmetro, obteniendo las siguiántesmeOidas: 0,48 mm, 0,53 mm, O,46 mm, O,5O mm y ó,¿g rn;. Crl-cula:

a) La sensibitidad del aparato de medida.b) El valor, tomado como verdadero, del diámetro de la mina.c) El error absoluto medio.

d) El error relativo.

La sensibilidad de un aparatode medida es la variación demagnitud más pequeña quepueda apreciar.

Un aparato de medida es pre_ciso si al realizar un conjuntode medidas de la misma can_tidad de una magn¡tud, en lasmismas condiciones, el valorde cada una de ellas se des_vía poco del valor verdadero.

El valor de ra acereración de ra gravedad cerca de ra superficie terrestre es g = g,g! m/sz.si, porcomodidad, tomamos como valoi de la gravedad § = LO m/s2:a) ¿Qué error absoluto cometemos?

b) ¿Qué error rerativo expresado en tanto por ciento cometemos?

@I

!..4 Tablas. Gráficas. Relaciones funcionales

Act ivi d ad es IEEIIGI tElt

@D Estudiamos en el laboratorio la relación entre e! volumen de

agua y la masa que tiene dicho volumen. Medimos el volumencon una probeta de sensibilidad 1 cm' y la masa con una

balanza de sensibilidad O,1g, obteniendo estos resultados:

a) Construye la gráfica correspondiente situando en el eje

horizontal el volumen y en el vertical la masa.

¿Qué relación existe entre la masa y el volumen de agua?

Escribe la ecuación matemática que representa la relaciónentre masa y volumen.

Dos variables x e y son di-rectamente proporcionales sisu cociente es constante

+ = a. La constante a se

llama constante de propor-

cionalidad.

La representación gráfica dela ecuación y = ax es unalínea recta que pasa por el ori-gen de coordenadas. La cons-tante de proporcionalidad ase denomina pendiente de larecta e indica su inclinaciónrespecto al eje horizontal.

b)

c)

d)

a)

¿Qué masa tendrán 25 cm3 de agua?

Para construir la gráfica en el eje de las x pondremos,tal y como nos dicen, el volumen en cm3, y en el eje delas y, la masa en gramos. Las escalas de los ejes se

establecen a partir de los valores máximos del volumen(40 cm3) y de la masa (40,O §), de esta forma nos ase-guramos de que todos los valores medidos van a poder

ser representados en la gráfica.

Como los datos experimentales siempre llevan un error,no se puede esperar que los puntos representadoscumplan exactamente una relación matemática,de manera que hay que trazar la ecuación matemáticaque más se ajuste al conjunto de puntos, en este casoes una línea recta. En consecuencia, las variables sondirectamente proporcionales.

c) La ecuación matemática que describe a dos variables directamente proporcionales es:

4 = ConstanteV

La constante de proporcionalidad, que coin-cide en estos casos con la pendiente de larecta, se puede calcular, dentro del margende error cometido al medir, a partir de losdatos de la tabla.

Dentro de los errores cometidos en las medidas podemos afirmar que el valor de la constante,

tomado este como el valor medio de los resultados, es 1 ;fu.

En consecuencia, la ecuación quedaría:

-!-------vm=V

d) Una vez establecida la ecuación, basta sustituir en ella el valor del volumen , V = 25 cm3.

Masa (g)

b)

mV

m=1- E^cm"

.25cm3=259

6

b)

c)

Tenemos encerrado en un émbolo cierta cantidad de gas que,inicialmente, ocupa un volumen de V = 5 L y está e¡ércienJouna presión de p = 1 atm. Lo comprimimos rentaáente deforma que la temperatura se manti"n"

"onrtrnte y vamostomando datos de ra presión y er votumen ordenándoios en rasi§uiente tabla:

Dos variables x e y son in_versamente proporcionalessi su producto es constantel. x= a.Laconstanteasellama constante de propor-cionalidad.

La representación gráfica dela ecuación y = 4 es una

rama de una hipérbola equi_látera.

a) Construye la gráfica correspondiente situandohorizontal el volumen, en litros, y en el verticalen atmósferas.

b) ¿Qué relación existe entre la presión y el volumendel gas?

c) Escribe la ecuación matemática que representala relación entre presión y volumen.

d) iQ_ué

presión ejercerá el gas cuando ocupe2,5 L?

a) Para construir la gráfica pondremos en el eje delas x el volumen en litros y en el eje de lai y lapresión en atmósferas. Las escalal de los ájesse establecen a partir de los valores máximos áelvolumen (5 L) y de ta presión (5 atm), de estaforma nos aseguramos de que todos los valoresmedidos van a poder ser representados en lagráfica.

La ecuaciÓn matemática que en este caso más se ajusta al conjunto de puntos es una ramade hipérbola equilátera.

En consecuencia, ras variabres son inversamente proporcionares.La ecuación matemática que describe a dos variables inversamente proporcionales es:

p. V= ConstanteLa constante de proporcionalidad se puede calcular multiplicando la presión por el volumen encualquiera de los puntos:

La constante vale 5 atm L.

En consecuencia, la ecuación quedará:

p. V=5Q Para conocer ra presión basta despejarra de ra ecuación anterior:

o= 5

Y a continuación, sustituir en esta expresión ",

,1,o, V = 2,5 L:

,= #HL =2arm

en el ejela presión,

Presión(atm¡

5

4

3

34sVolumen (L)

@I

I

EB

Actividades co .p-istas

Calentamos en un recipiente cierta cantidad de agua y vamos midiendo el tiempo (r) que Eút !lir aumentando su temperatura (LT) de cinco en cinco srados. El tiempo to medimos con un r{de sensíbilidad t1 s y la variacíón de temperatura con un termómetro de sensibilidad tÍ .q düFniendo los sisuientes resultados:

a) Construye la gráfica correspondiente situando en el eje horizontal el t¡empo y en el rerti¡¿ll trrvariación de temperatura.

b) ¿Qué relación existe entre la variación de temperatura y el tiempo?c) Escribe la ecuación matemática que representa la relación entre ambas variables.d) ¿Qué variación de temperatura se producirá cuando t = 60 s?

al Para construir la gráfica pondremos en el eje de las x eltiempo en segundos y en el eje de las y la variación detemperatura en grados Celsius. Las escalas se estable- Ar('c)cen a partir de los valores máximos del tiempo (1_67 s) 20

y de Ia variación de temperatura (20 oC), de esta formatodos los valores medidos van a poder ser representa_ 1sdos en la gráfica.

b) En este caso la nube de puntos se ajusta prácticamen_ 10

te a una línea recta; por tanto, las variables tiempo yvariación de temperatura son directamente proporciona_ sles.

c) La ecuación matemática que describe el comportamien_to de dos variables directamente proporcionales vienedada por:

= Constante

La constante de proporcionalidad, o la pendiente de la recta, se puede calcular dividier¡do fi¡rvariación de temperalura, LT, entre el tiempo, t.

La constante de proporcionatidad vale l-l e

Por tanto, la ecuación de la recta será:

= 0,1 _-> _\r = 0,1_ t

d) Según la ecuación obtenida, si sustituimos el tiempo por el valor dado t = 60 s, la variacióntemperatura será:

Art

Art

^r = 0,1 (T) 60s=6oC

Actividades

@ Explica las etapas

@ Estudiamos en el taboratorio la relación entre la intensidad de corriente eléctrica (l) queatraviesauna resistencia y la diferencia de potencial (v -v') en sus extremos. La diferencia de potencial lamedimos con un voltÍmetro de precisión tl v y la intensidad con un miliamperímetro de precisiónt1 mA, obteniendo los siguientes resultados:

del método cientÍfico.

a) construye la gráfica correspondiente situando en el eie horizontal la intensidad de corriente yen el vertical la diferencia de potencial.

b) ¿Qué relación existe entre la intensidad de corriente y la diferencia de potencial?c) Escribe la ecuación matemática que representa la relación entre diferencia de potencial e inten-sidad de corriente.

d) ¿Qué diferencia de potencial existirá entre los extremos de ra resistencia cuando la intensidadsea de I = 26 mA?

e) ¿Qué intensidad pasará por la resistencia cuando la diferencia de potencial entre los extremossea V-V'=5y?

t,

La densidad es una magn¡tud física definida como Densidad - Masa

biendo ros símboros d = ffi : ida como Densidad = vo '

que simplificamos escri-

va) ¿Es magnitud escalar o vectorial? ¿Por qué?

b) Despeja el valor de la masa. A continuación escribe la expresión con palabras, y después consímbolos.

c) Despeja el valor del volumen. A continuación escribe la expresión con palabras, y después consímbolos.

Explica cómo podrías medir, con cierto ri§or, e! espesor de un folio con una regla de las que utilizaspara dibujar.

El agua es un bien escaso. Un grifo de nuestra casa gotea y queremos estudiar la cantidad de aguaque estamos desperdiciando. Con el vaso de la batidora, que viene graduado en mililitros, y un cro-nómetro realizamos medidas cada minuto, obteniendo los sisuientes valores:

a)

b)

c)

Representa los datos en una gráfica.

¿Qué relación existe entre las dos variables?

Escribe la ecuación matemática que describe larelación entre las variables.

¿Qué cantidad de agua se desperdicia en un día?d)