Tema 1- Componentes Simetricas
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Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas
1
1. Introducción.
En este tema se estudia el comportamiento de los sistemas eléctricos de
potencia cuando ocurre una falta. El sistema funciona habitualmente en régimen permanente equilibrado, pero cuando ocurre una falta o cortocircuito el funcionamiento es en régimen desequilibrado.
No se estudia aquí el régimen transitorio que se produce en los primeros milisegundos de falta, sino el estado de régimen permanente desequilibrado. El método usado generalmente a este fin es el de las componentes simétricas. Las variables que utilizamos en el desarrollo del tema van a ser variables complejas en magnitudes unitarias. 2. Transformación de componentes simétricas. La transformación de las componentes simétricas no es más que la transformación de un sistema desequilibrado de intensidades o de tensiones, en tres secuencias trifásicas de intensidades o tensiones equilibradas:
• Secuencia directa. • Secuencia inversa. • Secuencia homopolar.
Las impedancias y f.e.m de todos los componentes equilibrados de un
circuito eléctrico, como generadores, transformadores, líneas y cargas están desacoplados entre sí, en el espacio de las componentes simétricas, aunque el circuito funcione en condiciones de desequilibrio. Todo circuito desequilibrado puede describirse mediante tres circuitos equivalentes secuenciales independientes de secuencia positiva, negativa y homopolar. La transformación de las componentes simétricas se lleva a cabo mediante el Teorema de Fortescue: “Toda secuencia trifásica desequilibrada puede descomponerse en tres secuencias trifásicas equilibradas: una directa, inversa y homopolar”. Como cada una de estas secuencias trifásicas es equilibrada. A cada una le corresponderá un circuito monofásico equivalente. Matemáticamente se expresa así:
[ ] [ ] [ ]σuAu
uuu
aaaa
uuu
F
o
T
S
R
⋅=
⋅
=
2
12
2
11
111
a es igual a 1/120º
Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas
2
uR, uS, uT, son tensiones trifásicas desequilibradas u0, u1, u2, son las tensiones de la fase R de secuencia homopolar, directa e inversa correspondientes.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]FF uAuuAu ⋅=⇒⋅= −1σσ
[ ]
−=−
aaaaA
2
21
11
111
31
Análogamente se puede escribir para las intensidades:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]FF iAiiAi ⋅=⇒⋅= −1σσ
Algunas relaciones vectoriales:
3. Ecuaciones en componentes simétricas. A continuación se expresas las ecuaciones en el espacio de componentes simétricas de cada elemento trifásico equilibrado: 3.1. Máquina síncrona. El esquema muestra el funcionamiento de un generador síncrono en régimen de desequilibrio.
Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas
3
Las ecuaciones que gobiernan el funcionamiento de dicho generador son:
[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
222111000
2
1
0
2
1
0
22
21
0
2
1
01
211
11
;;0
0
:00
0000
izuizeuizuiii
zzzzzz
zzz
euuu
zaazzz
azzazzzzzz
dondez
zz
AzAz
aeea
eAeAe
izeuiAzAeAuiAzeuA
izeu
iii
zzz
zzz
zzz
eee
uuu
R
acb
bac
cba
S
cba
cba
cba
F
R
R
R
F
FFFF
FFFF
T
S
R
acb
bac
cba
T
S
R
TN
SN
RN
−=−=−=⇒
⋅
−
=
++=
++=
++=
=⋅⋅=
⋅==
⋅−=⋅⋅⋅−=⇒⋅⋅−=⋅
⋅−=
⋅
−
=
−
−−
−−
σ
σ
σσσσ
σσσσ
De todo este desarrollo podemos sacar las siguientes conclusiones: 1. [ ]σz , es una matriz diagonal y por tanto no hay acople entre las componentes simétricas. 2. Solo la componente de secuencia directa presenta f.e.m.
Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas
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3. Las impedancias de secuencia directa, inversa y homopolar son en general diferentes entre sí.
Los esquemas secuenciales son:
Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas
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3.2. Línea eléctrica. Las ecuaciones que la gobiernan son las siguientes:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
:
)3(:
2:
:00
00
00
3)2(:
0000
00
)(
:
)(0
)(0
:
000
222
111
0000
0
2222
1111
000
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
01
esquemasiguienteeldefinirpermitenosEstouizuuizu
uizzuobtenemosy
zzzzzz
defimosSiuizu
uizuuizu
definirpodemosbieno
uuu
iii
z
zz
uuu
zzzzzz
zzzzdondey
zz
z
AzzAz
dondeuizu
uiAzzuAizuizu
uizzuizuizu
compactamasformade
iii
zzz
zzz
zzz
uuu
iii
zzz
zzz
zzz
uuu
BLA
BLA
BGLA
baL
baL
BA
BA
BoA
B
B
B
A
A
A
ba
ba
Gba
FGFL
BA
BFGFLA
FFGFBFFLFA
FBFFGFLFA
FFGFBFFLFA
T
S
R
GGG
GGG
GGG
TR
SR
RR
T
S
R
acb
bac
cba
TA
SA
RA
=−=−
=+−
−=
+=
=−=−=−
=
⋅
−
−=−=
++=
=+−=
−⋅−=⋅+−⋅
=⋅−−⋅−
=⋅+−=⋅−−⋅−
=
⋅
−
−
⋅
−
−σ
σσσσ
σσσ
Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas
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3.3. Carga equilibrada tipo impedancia.
El esquema de una carga equilibrada que funciona en régimen de
desequilibrio es el siguiente:
Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas
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Los circuitos secuenciales son:
Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas
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Las ecuaciones que gobiernan dicho circuito son:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
:exp
:00
0000
:tan
2:
3:
32:
0000
00
)(
:
)()(
222
111
00
2
1
0
2
1
0
2
1
0
0
2
1
00
2
1
0
2
1
01
comoresarpuedesetambienizuizuizu
bieno
iii
z
zz
uuu
toPorzzz
zzzdefimosSi
zzzz
zzzdefinirpodemosbieno
zzzzzz
zzzzdondey
zz
z
AzzAz
dondeizu
iAzzuAizzu
iuizu
iii
zzzzzz
zzz
iii
zzzzzz
zzz
uuu
o
baC
baC
C
C
GC
ba
ba
Gba
FGFC
FGFC
FFGFCF
FFGFFCF
T
S
R
GGG
GGG
GGG
T
S
R
acb
bac
cba
T
S
R
===
⋅
=
−=
+=
==
+=
−=−=
++=
=+=
⋅=⋅+=⋅
⋅+=⋅+⋅=
⋅
+
⋅
=
−σ
σσσ
σσ
Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas
9
22
11
000 )3(
izuizu
izzu
C
C
GC
==
+=
4. Circuitos secuenciales equivalentes. Los circuitos secuenciales equivalentes de un tranformador son:
Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas
10
Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas
11
Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas
12
5. Faltas en redes en vacío. En este apartado, vamos a ver los tipos de faltas que hay y la forma de resolverlas. 5.1. Falta simétrica. Este tipo de falta se tratará igual que una carga trifásica equilibrada, tipo impedancia de valor nulo. 5.2. Faltas no simétricas. Los pasos para la resolución de este tipo de faltas son los siguientes:
1. Determinación de los circuitos secuenciales de la red que sufre la falta. Cálculo del circuito Thévenin visto desde el punto de vista de la falta.
2. Establecer las condiciones de falta en el espacio de las componentes de fase.
3. Determinación de las condiciones de falta en el espacio de las componentes simétricas.
4. Conexión de los circuitos Thévenin obtenidos en 1 según las condiciones de falta obtenidas en 3.
5. Cálculo de las tensiones e intensidades del circuito anterior en el espacio de las componentes simétricas.
6. Determinación, en caso necesario, de intensidades y tensiones en nudos y ramas cualesquiera, teniendo en cuenta los desfases introducidos por los transformadores estrella/triángulo o triángulo/estrella.
Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas
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7. Paso de las tensiones e intensidades del espacio de componentes simétricas al espacio de fases.
5.3. Resolución de las faltas. El esquema que se presenta a continuación muestra las intensidades y tensiones en el punto de falta.
A continuación, se va a ver el procedimiento de resolución de cada tipo de falta: Falta fase-tierra. Las condiciones de falta en el espacio de componentes de fase son:
iR≠0 uR=iRzf iS=0 uS≠0 iT=0 uT≠0
Esto se refleja en el siguiente esquema:
En componentes simétricas las condiciones de falta son:
Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas
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f
fT
Sf
R
TSf
R
TSf
R
TSf
R
T
S
fR
R
R
R
R
R
ziuuuiii
sonfaltadescondicionelassimétricasscomponentedeespacioelEnziuuuobtenemosaaComo
aau
aauziuuutreslasSumando
auuaziu
uaauziuuuziu
dondede
uu
zi
aaaa
uuu
escribirpodemostensioneslasPara
iiiiiiiiii
bieno
i
aaaa
iii
1210
210
12102
2
2210
20
21
0
2
2
2
1
0
210
2
1
0
2
2
2
1
0
3
:3:01
)1(
)1(3)(3:
3
33
:11
111
31
:
31
333
:
00
11
111
31
=++
==
=++=++
+++
++++=++⇒
++=
++=
++=
⋅
=
===⇒
===
⋅
=
La conexión del circuito Thévenin en este caso es:
Cuya resolución es:
Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas
15
[ ] [ ]
⋅=
⋅=
−=+=
−=
⇒+++
===
2
1
0
222
11
000
210
:
3
uuu
Auuu
iii
Aiii
fasedescomponenteapasarquehayAhora
ziuizeu
ziu
zzzze
iii
T
S
R
T
S
R
T
S
R
Th
fcba
Th
Falta bifásica Las condiciones de falta bifásica en el espacio de componentes de fase son:
iR = 0 uR ≠ 0 iS ≠ 0 uS ≠ 0 iT = -iS uT = uS- iSzf
El esquema muestra las condiciones de falta:
En componentes simétricas las condiciones de falta son:
Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas
16
1121
0
21
0
12
221
22
21
0
2
2
2
1
0
21022
2
221
0
2
2
2
1
0
0
0:
3:int
)()(3
)(3
)(3
3
:11
111
31
:
;0
)(3
)(303:
0
11
111
31
ziuu
uii
isonfaltadescondicionelassimétricasscomponentedeespacioelEn
iaa
i
obtenemosensidadeslasde
aaziuu
ziuauauu
ziuaauuu
ziuuuu
dondedeziu
uu
aaaa
uuu
escribirpodemostensioneslasPara
iii
aaiiaiai
aaiiaaiiibieno
ii
aaaa
iii
S
fS
fSSSR
fSSSR
fSSSR
fSs
S
R
SSS
SSR
S
S
=−
=−=
=
−=
−=−⇒
−++=
−++=
−++=
−
⋅
=
−==⇒
−=−=
−=−=
=
−
⋅
=
La conexión del circuito Thévenin en este caso es:
Cuya resolución es:
Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas
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[ ] [ ]
⋅=
⋅=
−=+=
=
⇒++
=−==
2
1
0
222
111
0
21210
:
0
;0
uuu
Auuu
iii
Aiii
fasedescomponenteapasarquehayAhora
ziuzieu
u
zzze
iii
T
S
R
T
S
R
T
S
R
Th
fTh
. Falta bifásica a tierra. Las condiciones de falta bifásica a tierra en el espacio de componentes de fase son:
iR = 0 uR ≠ 0 iS ≠ 0 uS = iS(zf+ zg)+iTzg iT ≠ 0 uT = iT(zf+ zg)+iSzg
El esquema muestra las condiciones de falta
En componentes simétricas las condiciones de falta son:
Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas
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int.log
)()()(3
:sec
33
33
:3
:33
33:
3:
0
3
3
3:
0
11
111
31
:
))(())((3
))(())((3
)()(3
:)(
)(11
111
31
10
2212
022
2
20
21
0
20
222
20
21
0
2102
2
21
0
2
2
2
1
0
22
21
0
2
2
2
1
0
tierraabifásicafaltadescondicionelasestablecerpodemosensidaddeecuacioneslasempleamosSiuyuparahacerpuedeseamenteAná
zaaizaaiuuobtienesetensiondeuacioneslasEmpleando
aiiaiaiiaiaaii
obtenemosiii
cuentaenteniendoyiaiaiai
iaiaaiiobtenemos
iiicuentaenteniendo
iiiaiiaiiaaii
iiidondede
ii
aaaa
iii
escribirpodemostensioneslasPara
zizziazizziauizizziazizziauu
zizzizizziuu
bienozizzizizzi
u
aaaa
iii
fT
fS
TS
TT
TS
SS
SS
ST
TS
TS
TS
T
S
gS
gfT
gT
gfSR
gS
gfT
gT
gfSR
gS
gfT
gT
gfSR
gS
gfT
gT
gfS
R
−+−=−
−+−=
−+−=
−=
−+=
−+=
−=
=++⇒
+=
+=
+=
⋅
=
++++++=
++++++=
++++++=
++
++⋅
=
)3(
00
0110
2112
0
210
gff
ff
zziziuu
ziziuuu
iii
++−=
+−=
≠
=++
La conexión del circuito Thévenin en este caso es:
Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas
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Cuya resolución es:
−=
−==
++++=
222
111
0
1021
0
:))(3)((
ziuzieu
u
restoelconigualzzzzzzz
ei
Th
fgffTh
6. Aportes a la falta. La intensidad de falta en un punto cualquiera de un circuito de energía eléctrica se compone de las aportaciones de las dos ramas concluyentes en ese punto. La intensidades de rama se calculan aplicando divisores de intensidad.
AB
BA
AB
BA
AB
BA zz
ziizz
ziizz
zii22
222
11
111
00
000 ;;
+=
+=
+=
Esto se puede ver separando en dos ramas las impedancias secuenciales equivalentes de los dipolos Thévenin.
Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas
20
7. Faltas en redes en carga. En este apartado, a diferencia de los anteriores, se van a analizar las intensidades previas a la falta, sabiendo que dichas intensidades solo van a tener secuencia directa, por funcionar el circuito en régimen equilibrado antes de la falta. Las intensidades previas a la falta son:
0
00ABi
Las intensidades después de la falta son:
AB
AB
AB
iii
2
1
0
Por superposición obtenemos:
+
AB
ABAB
AB
iii
i
2
01
0
De esta forma se pueden obtener todas las intensidades de rama u las
tensiones en los nudos. Esto también nos sirve para el caso de faltas simétricas, teniendo en
cuenta que las faltas simétricas solo tienen componente directa. Las intensidades de falta, son mucho mayores que las intensidades en
funcionamiento normal, por tanto se pueden despreciar las intensidades de funcionamiento normal previas a la falta.
8.Ejemplo.
Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas
21
8.1. Falta fase a tierra.
Las intensidades y tensiones de falta son:
pujj
iii 96427,11456,013893,025,0(
05,1210 −=
++===
4911,02860,0
7771,0
3
2
1
−=−=
=
uuu
En el espacio de componentes simétricas las tensiones se calculan:
[ ]
−
−⋅=
2860,07771,0
4911,0A
uuu
T
S
R
Para las intensidades se hace igual.
Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas
22
8.2.Falta bifásica.
Las intensidades y tensiones de falta son:
pujj
ii
i
6900,3)1456,013893,0(
05,10
21
0
−=+
=−=
=
05373,05373,0
3
2
1
===
uuu
En el espacio de componentes simétricas las tensiones se calculan:
[ ]
⋅=
5373,05373,0
0A
uuu
T
S
R
Para las intensidades se hace igual.
8.3. Falta bifásica a tierra.
Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas
23
Las intensidades y tensiones de falta son:
pujj
ji
pujj
ji
pujj
i
6734,1)1462,025,0(
1462,05464,4
8730,2)1462,025,0(
25,05464,0
5464,4)25,01456,013893,0(
05,1
3
2
1
=+
=
=+
=
−=+
=
4184,04184,04184,0
0
2
1
===
uuu
En el espacio de componentes simétricas las tensiones se calculan:
[ ]
⋅=
4184,04184,04184,0
Auuu
T
S
R
Para las intensidades se hace igual. 8.4. Red en carga. Falta bifásica a tierra.
Consideramos que antes de la de la falta el motor está trabajando con las siguientes condiciones: El motor absorbe una potencia aparente nominal con un cosφ=0,95 inductivo y a tensión del 5% por encima de la nominal.
..int
6734,19922,1
º55,1070006,3)º19,189524,01582,3(
0)º601(8808,0
º77,319130,1)º301)(º19,189524,013882,1(
:sup
º19,189524,08,1305.13
10005,1
0
1
1
0
1
1
0
formamismaladeharásetensioneslasParanteanteriormequeformamismaladefasesdeespacioalpasarlasdeberemosensidadesEstas
pujipuji
puji
ipui
puji
erposiciondeteoremaelapliando
pui
puu
l
l
m
l
l
l
l
F
==
−=−−−=
=
−=
−=−+−=
−=⋅⋅
=
=