I.E.S. Al-ndalus. Dpto. de Fsica y Qumica. Fsica 2 Bach. Tema 0. Vectores. Cinemtica. - 1 -

TEMA 0: VECTORES. CINEMTICA. DINMICA DE LA PARTCULA VECTORES:

Un vector es la representacin matemtica de una magnitud vectorial. Consiste en un segmento orientado, que contiene toda la informacin sobre la magnitud que estamos midiendo. Partes del vector: - Mdulo: Longitud del segmento (valor de la magnitud: cantidad + unidades) - Direccin: La de la recta en la que se encuentra el vector (llamada recta soporte) - Sentido: Viene dado por la flecha. Dentro de la direccin, ser + - , dependiendo del

criterio que hayamos escogido en un principio. Sistema de referencia: Un punto ( O , origen, pto desde el cual medimos) Tres vectores (perpendiculares y de mdulo 1 ) : kji

rrr,,

Coordenadas de un pto Componentes de un vector:

Mdulo de un vector: Vector unitario: Vector entre dos puntos: Producto escalar

ngulo entre dos vectores: Producto vectorial

Mdulo Direccin: Perpendicular a ambos vectores Sentido: regla del sacacorchos (o de la mano

derecha) al girar desde ar hasta br

222zyx aaaa ++=

r

222zyx

xyxa

aaa

kajaiaaau

++

++==

rrr

r

rr

( )zyxzyx

aaaa

kajaiaa

,,=

++=r

rrrr

( )zyx PPPP ,,:

( )zzyyxx PQPQPQPQ ,,:

babacos rr

rr

=

zzyyxx bababacosbaba ++== rrrr

senbaba =rrrr

( ) ( ) ( )zyx

zyxxyyxxzzxyzzy

bbbaaakji

kbabajbabaibababa

rrr

rrrrr=+=

auaarrr

=

I.E.S. Al-ndalus. Dpto. de Fsica y Qumica. Fsica 2 Bach. Tema 0. Vectores. Cinemtica. - 2 - DERIVADAS: Dada f(x) Propiedades fundamentales: INTEGRALES INDEFINIDAS: Una funcin F(x) es la funcin integral (o funcin primitiva) de otra funcin

f(x) cuando f(x) se obtiene al derivar F(x) Algunas propiedades:

Funcin Integral 0 c=cte 1 x + c k k x + c

x n

sen(x) - cos(x) + c cos(x) sen(x) + c

1/x ln x + c INTEGRALES DEFINIDAS: CINEMTICA (descripcin del movimiento de una partcula):

Funcin Derivada k=cte 0

x 1 k x k

k x n k n x n -1 cos(kx) - k sen(kx) sen(kx) k cos(kx)

ln x 1/x

)x(f dx

)x(df)x(f2

1

0

0

0

)(

0

)( )()(limlimxx

xfxfx

fdx

dfx

x

x

x

=

=

dxdg

dxdf

dxgfd

suma xxxx )()()()()(

=

dxdf

kdx

fkdnporproducto xx )()(

)( =

[ ]dx

xFdxfdxxfxF )()()()( ==

[ ] = dxgdxfdxgf xxxx )()()()(

= dxxfkdxxfk )()(c

1nx 1n

++

+

La integral de una suma (o diferencia) es la suma (o diferencia) de las integrales

Al multiplicar una funcin por un n k cualquiera, la integral tambin se ve multiplicada por el mismo n.

El resultado de realizar una integral indefinida no es una funcin, sino un nmero real. Se calcula mediante la Regla de Barrow: 1 Se calcula la integral indefinida = dxxfxF )()( 2 Se sustituye x por los valores de los extremos superior e inferior.

Obtenemos F(B) y F(A) 3 Hacemos F(B) F(A)

B

Adxxf )(

La derivada de una suma (o diferencia) es la suma (o diferencia) de las derivadas.

Al multiplicar una funcin por un n k, la derivada tambin se multiplica por k.

dxdg

fgdx

dfdx

gfdproducto xxx

xxx )()()(

)()()( )( +=

2)(

)()()(

)(

)()( )/(

x

xxx

x

xx

gdx

dgfg

dxdf

dxgfd

cociente

=

Derivada de un vector: Para derivar una magnitud vectorial ar cualquiera, se derivan sus componentes por

separado. kdtadj

dtad

idtad

dtad zyx rrrr

++=

I.E.S. Al-ndalus. Dpto. de Fsica y Qumica. Fsica 2 Bach. Tema 0. Vectores. Cinemtica. - 3 - CINEMTICA: Vector de posicin Indica las coordenadas del mvil en cada instante Tambin llamado ecuacin de movimiento. 222 zyxr ++= Vector desplazamiento Velocidad: Indica cmo vara la posicin del mvil con respecto al tiempo. Velocidad media Medida en un intervalo 0ttt = Velocidad instantnea: Indica cmo cambia rr con el tiempo en cada instante. Aceleracin Indica cmo cambia vr con el tiempo Componentes intrnsecas de la aceleracin:

nnttnt uauaaaarrrrr

+=+=

222nt aaa +=

ac.tangencial modifica vr

ac. normal modifica la direccin de vr

R = radio de curvatura vector unitario tangente

( )zyxtrkzjyixtr

,,)()(

=++=

r

rrrr

0rrrrrr

=

trvm

=

rr

dtrdvr

r=

dtvdar

r=

tt udtvd

a rr

r=

dtvd

at

r

=

nn uRva rr =

2

Rvan

2=

vvut rr

r=

[ ] 1== smsmv

[ ] 2/ == sms

sma

I.E.S. Al-ndalus. Dpto. de Fsica y Qumica. Fsica 2 Bach. Tema 0. Vectores. Cinemtica. - 4 - MOVIMIENTOS DE ESPECIAL INTERS: Mov. rectilneo uniforme (MRU): ar = 0 ; vr = cte ; rr = 0r

r + vr t La trayectoria es siempre una lnea recta. Mov. uniformemente acelerado (MUA): ar = cte vr = 0v

r + ar t rr = 0r

r + 0vr t + 21 a

r t2 La trayectoria puede ser Recta: si 0v

r y ar son paralelas (MRUA) Curva (parablica): si 0v

r y ar no son paralelas Tiro parablico: rr = 0r

r + 0vr t + 21 g

r t2 x = xo + vox t ar = gr ~ -10 j

r m/s2 y = yo + voy t - 21 g t

2

vr = 0vr + gr t vx = vox = cte

vy = voy g t

Descomposicin de 0v

r : vox = vo cos voy = vo sen Mov. circular uniforme (MCU): Movimiento con at = 0 ; an = cte R = cte Posicin angular: = o + t [ ] rad= Velocidad angular: [ ] 1= srad

Periodo: Tiempo en dar una vuelta. [ ] sT = Frecuencia: n de vueltas por segundo [ ] Hzs == 1 Aceleracin Mov circular unif. Acelerado (MCUA): = o + o t + 21 t

2 at = R vara con = cte (aceleracin angular) = o + t [ ] 2= srad

2

==T1

ctet

=

=

2T =

RvRaa n

22 ===

t

=

Relacin entre magnitudes angulares y lineales:

s = R v = R

an = 2 R

I.E.S. Al-ndalus. Dpto. de Fsica y Qumica. Fsica 2 Bach. Tema 0. Vectores. Cinemtica. - 5 - DINMICA DE LA PARTCULA: Leyes de Newton:

1 (ley de inercia): Todo cuerpo tiende a continuar en su estado de reposo o movimiento rectilneo uniforme a menos que sobre l acte una fuerza neta que le obligue a cambiar este movimiento.

Si ctev0F == rr

(contina en su estado de movimiento)

2 (relacin causa-efecto): El cambio de movimiento (aceleracin) originado en una partcula es proporcional a la resultante de las fuerzas aplicadas sobre la partcula, y va en la misma direccin y sentido que dicha resultante.

3 (principio de accin-reaccin): En toda interaccin entre dos cuerpos, se ejercen dos fuerzas, una aplicada sobre cada cuerpo, que son iguales en mdulo y direccin, y en sentidos contrarios.

FUERZAS DE ESPECIAL INTERS: Peso: Fuerza que ejerce la Tierra (o el planeta que se est estudiando) sobre un cuerpo. Su

direccin y sentido apuntan hacia el centro del planeta. Normal: Respuesta del plano a todas las fuerzas perpendiculares a l. Clculo: 0= yF

r si no hay movimiento en ese eje.

Tensin: Fuerza que ejerce un hilo tenso sobre sus extremos Para una misma cuerda, el valor de T es el mismo en ambos extremos Fuerza elstica : La ejercen los cuerpos elsticos sobre sus extremos al deformarlos. Es proporcional al desplazamiento y se opone a ste. Fuerza de rozamiento: Debida a la rugosidad de las superficies en contacto

F Roz. esttica: Mientras el cuerpo no se mueve En el lmite

F Roz. dinmica: Cuando se produce un deslizamiento Empuje de Arqumedes: Fuerza vertical ejercida por un fluido (lquido o gas) sobre un

cuerpo sumergido en l. E = Vsum dfluido g

amF rr

=

2112 FFrr

=

xKFerr

=

aplicadaR FF =

NF sRsMAX =

NFR =

gmP rr

=

E

I.E.S. Al-ndalus. Dpto. de Fsica y Qumica. Fsica 2 Bach. Tema 0. Vectores. Cinemtica. - 6 - SISTEMAS DE REFERENCIA INERCIALES Y NO INERCIALES: Un sistema de referencia es inercial si est en reposo o se mueve con MRU ( vr =cte ) respecto a una sistema de

referencia que est en reposo. Un observador situado en un SR inercial mide correctamente las fuerzas aplicadas sobre los cuerpos y aplica correctamente las leyes de Newton.

Un sistema de referencia es no inercial si se mueve con aceleracin respecto a un SR en reposo. Debido a esta aceleracin, un observador situado en l mide efectos que no puede explicar con las leyes de Newton. Debe inventarse fuerzas que no son reales, no las aplica ningn cuerpo (las llamamos fuerzas de inercia). Ejemplos: - Un autobs que frena bruscamente. Los pasajeros notan un empujn hacia delante. - El autobs toma una curva pronunciada. Los pasajeros notan una fuerza centrfuga hacia fuera de la curva. - Los astronautas de una nave espacial en rbita notan ingravidez, como si la Tierra no ejerciera fuerza. - Todo objeto que se mueva en la Superficie de la Tierra nota una fuerza hacia la derecha en el hemisferio

norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur (as se forman las borrascas, huracanes, remolinos)

CANTIDAD DE MOVIMIENTO: