Técnicas Mecánicas y de Mantenimiento. Apuntes 2º ITM

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRIDESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE MATERIALES

TÉCNICAS MECÁNICAS Y DE MANTENIMIENTO

- APUNTES-

-10/' (J~c7~1

:SOC;{ Cfl1'<ml~~'---------------------------

íNDICE

CAPíTULO 1. COEFICIENTE DE SEGURIDAD 1

1.1 INTRODUCCiÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11.2 RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 11.3 TENSiONES........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21 .4 COEFICIENTES DE SEGURIDAD UTILIZADOS 4

CAPíTULO 2. CONCENTRACiÓN DE TENSIONES 5

2.1 INTRODUCCiÓN , 52.2 COEFICIENTES TEÓRICOS DE CONCENTRACiÓN DE TENSIONES 52.3 MÉTODOS UTILIZADOS PARA CONOCER LOS COEFICIENTES

DE CONCENTRACiÓN DE TENSIONES ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72.4 MEDIOS PARA DISMINUIR LOS EFECTOS DE

LAS CONCENTRACIONES DE TENSIONES 92.5 APLICACIONES CON CARGAS·ESTÁTICAS 10

CAPíTULO 3. TEORíAS SOBRE líMITES PARA CARGAS ESTÁTICAS 19

3.1 . INTRODUCCiÓN 193.2 TEORíAS SOBRE LÍMITES 20

~~CAPíTULO 4. CÁLCULO DE PIEZAS SOMETIDAS A CARGAS ESTÁTICAS 32

4.1 INTRODUCCiÓN { '.' .. 324.2 PIEZAS DE MATERIALES DÚCTILES .--•................. / 324.3 PIEZAS DE MATERIALES FRÁGILES 34

CAPíTULO 5. TEORíAS SOBRE LíMITES DE FATIGA 38

5.1 INTRODUCCiÓN'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 385.2 RESISTENCIA A LA FATIGA Y LÍMITE DE RESISTENCIA

A LA FATIGA : 395.3 APROXIMACiÓN DEL DIAGRAMA S-N PARA LOS ACEROS 415.4 VALORES APROXIMADOS DE LOS LÍMITES DE RESISTENCIA

A LA FATIGA 435.5 FACTORES QUE AFECTAN AL LÍMITE DE FATIGA " .. 435.6 RESISTENCIA A LA FATIGA - TENSIONES

NO INVERTIDAS COMPLETAMENTE - DIAGRAMA DE GOODMAN . 555.7 CÚMULO DE DAÑOS 585.8 RESISTENCIA A LA FATIGA - TENSIONES COMBINADAS

VARIABLES :..................... 60

CAPíTULO 6. ÁRBOLES 61

6.1 INTRODUCCiÓN.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 616.2 CRITERIOS DE RESISTENCIA 636.3 MONTAJES 70

CAPíTULO 7. TORNILLOS 81

7.1 GENERALIDADES 817.2 ANÁLISIS DE FUERZAS 817.3 ANÁLISIS DE TENSIONES 867.4 CÁLCULO DE LA ROSCA 877.5 PROCEDIMIENTOS DE DISEÑO :. 87

CAPíTULO 8. UNIONES CON TORNILLOS 88

8.1 INTRODUCCiÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 888.2 LA CONSTANTE ELÁSTICA DE LOS TORNILLOS Y

DE LAS ARMADURAS 888.3 JUNTA METAL CON METAL: REDISTRIBUCIÓN DE LAS CARGAS

ENTRE EL TORNILLO Y LOS MIEMBROS 908.4 PAR DE APRIETE 928.5 RESISTENCIA DE LOS TORNILLOS 938.6 RESISTENCIA A LA FATIGA 95

CAPíTULO 9. ENGRANAJES CILíNDRICOS RECTOS 97

9.1 GENERALIDADES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 979.2 IDEAS GENERALES SOBRE MORFOLOGíA, NOMENCLATURA Y

RELACIONES GEOMÉTRICAS EN ENGRANAJES CILÍNDRICOS RECT0989.3 PERFILES CONJUGADOS. LEYES FUNDAMENTALES DEL ENGRANE 1009.4 TRAZADO DE PERFILES CONJUGADOS 1029.5 INTERFERENCIA. NÚMERO DE DIENTES 1049.6 CREMALLERAS. DENTADURAS NORMALIZADAS 1079.7 CONTINUIDAD EN EL ENGRANE. DESLIZAMIENTO 1089.8 RESISTENCIA DE LOS ENGRANAJES 111

CAPíTULO 10. LAS CORREAS , 123

10.1 INTRODUCCiÓN 12310.2 GENERALIDADES 12310.3 CATEGORíAS DE CORREAS 12410.4 MATERIALES DE LAS CORREAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12610.5 NOMENCLATURA Y GEOMETRíA DE LAS CORREAS 12710.6 CÁLCULO DE CORREAS , 13010.7 CONCEPCiÓN DE UNA TRANSMISiÓN POR CORREAS 134

CAPíTULO 1. COEFICIENTE DE SEGURIDAD

1.1 INTRODUCCiÓN

En ingeniería mecánica, el término coeficiente de seguridad designa larelación entre la resistencia de los materiales y las tensiones inducidas en laspiezas., Expresa, por tanto, la felación entre la capacidad de carga de una pieza ylas cargas que realmente soporta. Se representa generalmente por el símbolo CS.

es =resistencia del material

tensión inducida

El término margen de seguridad también se emplea muy frecuentemente.Simbolizado por ms, está ligado al factor de seguridad mediante la relación:

ms = es - 1

Para determinar el coeficiente de seguridad o el margen de seguridad, espreciso encontrar la resistencia de la pieza en ciertas condiciones, así como elvalor de las tensiones inducidas. Se calcula la resistencia del material sirviéndosede valores tabulados obtenidos a lo largo de los ensayos normalizados con laayuda de teorías de limitaciones estáticas o a la fatiga expuestas en los capítuloscorrespondientes. Las nociones necesarias para el cálculo del valor nominal de lastensiones inducidas se adquieren generalmente en los cursos de resistencia demateriales; por lo que no se tratarán aquí. Hay que hacer notar que estas tensionesdeben aumentarse debido a las concentraciones de tensiones, lo que se trataráposteriormente.

A simple vista, parece que el coeficiente de seguridad puede calcularse conexactitud. Sin embargo, no es así: por una parte, la evaluación numérica delcoeficiente de seguridad sólo tiene en cuenta valores medios de las resistenciasy de los esfuerzos; por otra parte, hay que considerar otro aspecto, la variaciónestadística de estos dos valores.

1.2 RESISTENCIA DE LOS MATERIALES

LOs fabricantes indican los valores de la resistencia de los materiales a larotura ya la fluencia. Estos valores son el resultado de ensayos de tracción simplede una probeta normalizada. Incluso en estas condiciones ideales, el valor obtenidopor la resistencia a la rotura, por ejemplo, no es único: varía en cada ensayo. Losdatos obtenidos se representan a menudo en un gráfico similar al de la figura 1.1.En abscisas se encuentran los valores de las resistencias y en ordenadas, elnúmero de veces que se ha obtenido cada valor. Nótese que la resistencia a larotura del material es igual al esfuerzo que sufre fuera de este ensayo. Estosvalores nos permiten calcular una valor medio S y observar una variación tlS.

Coeficiente de seguridad 1

óS

RESISTENCIAS

~t:J;bi

~IO·

~4:o·ifí.:J:lrl¡lEl ------~~--~--~~---~

RESISTENCIAS

S'S! ENSAYO DE

T\TRACCIÓN, I \I I

II ss:

Figura 1.1 - Distribución estadísticade las resistencias (S)

Figura 1.2 - Efecto del uso, de latemperatura, etc., sobre laresistencia.

Esta variación de la resistencia se verá aumentada por varios factores: lacorrosión, el desgaste, la temperatura, la frecuencia de carga, etc .. La presenciade estos factores producirá la disminución del valor medio S de la resistencia yampliará las variaciones llS (figura 1.2).

1.3 TENSIONES

La tensión calculada mediante las fórmulas de flexión, torsión, etc., da unatensión nominal. En una aplicación dada, las cargas estimadas pueden variar y é:

menudo es difícil prever todas las condiciones de uso de una pieza de máquina. Lomismo ocurre con las dimensiones de la pieza acabada, que se desvían más omenos de los valores nominales. La tensión se convierte, pues, en una variableestadística que se puede representar por una curva similar a la figura 1.1. Cuantomayores sean las variaciones de cargas y dimensiones, mayor será la desviacióncuadrática media.

La fractura de una pieza se produce cuando la tensión sobrepasa laresistencia' del material. Si las distribuciones de las tensiones a y de lasresistencias S se representan en la misma figura, obtenemos la figura 1.3.

En esta figura vemos que puede haber intersección de las dos curvas. Laparte sombreada indica una posibilidad de fractura de las piezas. Incluso si laresistencia tabulada S es más elevada que la tensión nominal calculada a, existela misma posibilidad de fractura.

RESISTENCIAS TENSIONES

POSIBILIDAD SDE FALLO

Figura 1.3 - Distribución de lastensiones y de las resistencias

Figura 1.4 - Distribución de lastensiones y de las resistenciascuando la certeza es elevada.


El coeficiente de seguridad calculado basándose en la resistencia tabuladay la tensión nominal no es, por tanto, un coeficiente real de seguridad. En lapráctica general de ingeniería, el coeficiente de seguridad se define como larelación entre la resistencia de los materiales y las tensiones inducidas en laspiezas. La resistencia se calcula a partir de los valores tabulados para losdiferentes materiales y la tensión se calcula siguiendo fórmulas ya conocidas.Generalmente, las variaciones estadísticas no se toman en consideración.

Para ciertas aplicaciones, el coeficiente de seguridad lo dicta la experiencia;en otros casos, viene determinado por códigos. Se pueden encontrar coeficientesde seguridad que varían de 1,1 a 10 (e incluso más).

En aeronáutica, por ejemplo, los coeficientes de seguridad son reducidos(1,25 a 1,5). Si se utilizara un coeficiente de seguridad elevado, se aumentaría almismo tiempo e: peso del avión. Para llegar a obtener coeficientes de seguridadtan bajos, el fabricante realiza ensayos de las piezas simulando las condiciones deuso. Asimismo, somete los materiales a controles severos de calidad, estudiaminuciosamente los procedimientos de fabricación y sólo admite toleranciasrigurosas. Todas las operaciones contribuyen a reducir al máximo la desviacióncuadrática media de la curva de resistencia y de tensión, ya que los coeficientesde estas dos variables se eliminan o se conocen mejor.

Se obtienen, pues, los resultados que se muestran en la figura 1.4, queindican que la zona expuesta a la rotura es menor.

Contrariamente a lo que acabamos de ver, examinamos ahora una caso enel que el coeficiente de seguridad es grande. Cuando hay que concebir una jaulapara ser instalada en un pozo de mina, se recomienda utilizar coeficientes deseguridad del orden de 10. La resistencia mecánica del cable está tabulada por losdiferentes fabricantes. Por tanto, conocemos la resistencia del producto. Por elcontrario, comparativamente a los datos del fabricante de aviones, las condicionesde uso, las cargas, el desgaste, etc., son mucho menos conocidas. Si se trazaranlas curvas estadísticas de las tensiones y de las resistencias, se obtendría unafigura similar a la figura 1.5. La desviación cuadrática media de la resistencia realy de la tensión es elevada; será necesario, por tanto, utilizar un coeficiente deseguridad elevado.

En conclusión, podemos decir que el coeficiente de seguridad no es uncoeficiente de seguridad real, sino una relación entre los valores medios de laresistencia y de las tensiones que tiene en cuenta la incertidumbre de estasvariables. La utilización de un coeficiente de seguridad elevado se traduce por elaumento del grosor de las piezas y, como consecuencia, del peso de la máquina.Cuando el peso se convierte en un parámetro mayor, es necesario proceder a unanálisis más extenso con el objeto de disminuir la desviación cuadrática media dela resistencia y de la tensión. Si una máquina está fabricada en serie, resultaigualmente rentable hacer ensayos con el fin de disminuir incertidumbres.


ID«a:::JbIr:

ila5i:JIü·UJl::.lL • ~ --"-~"'____,__,===_

TENSIONES RESISTENCIAS

SI

Figura 1.5 - Distribución de las tensiones y de las resistenciascuando la incertidumbre es grande.

1.4 COEFICIENTES DE SEGURIDAD UTILIZADOS

El valor del coeficiente de seguridad está influenciado por variasconsideraciones:

• la posibilidad de que la rotura conlleve heridas graves o pérdidas devida.

• la posibilidad de que la rotura conlleve reparaciones muy costosaso una parada prolongada de la máquina.

• la incertidumbre de la carga y de la resistencia.

Se indican algunos valores de coeficientes de seguridad utilizados en lapráctica:

1,25 - 1,50 : materiales bien ensayados, buen control de calidad y tensionesreales bien conocidas.

1,5-2,0: materiales y condiciones de explotación bien conocidas.

2,0 - 2,5 : tensiones bien conocidas y materiales frecuentemente utilizados (esel caso más general en el campo de las máquinas).

2,5 - 3,0 : material frágil y empleado en condiciones ordinarias.

3,0 - 4,0 : comportamiento del material o estado de las tensiones malconocido.

En lo que respecta a las cargas variables (fatiga), el coeficiente deseguridad es raramente inferior a 2.

Por último, señalemos que el coeficiente de seguridad a emplear vienedeterminado frecuentemente en códigos como:

Instrucciones Técnicas ComplementariasReglamentosNormas


CAPíTULO 2. CONCENTRACiÓN DE TENSIONES

2.1 INTRODUCCiÓN

Las fórmulas usuales empleadas para determinar las tensiones inducidas ala tracción (a = P/A), a la flexión (a = Me/O o a la torsión (r = Tc/J) seestablecieron suponiendo una distribución uniforme o lineal de tensiones a travésde la sección. Esta hipótesis exige, entre otras, que la pieza esté exenta decambios bruscos de sección.

Sin embargo, en la práctica, las piezas poseen con frecuencia estasdiscontinuidades y la distribución de tensiones no es ya uniforme o lineal. Estoscambios de sección pueden ser:

• mecanizados para colocar engranajes o poleas (figura 2.1)• chavetero (figura 2.2)• estrías de unión (figura 2.3)-• ranura para grupillas (figura 2.4)• taladro para bulón (figura 2.5), etc.

Estas discontinuidades conducen a aumentos de tensiones, y las regionesdonde se producen se llaman regiones de concentración de tensiones.

Cuando se estudian concentraciones de tensiones, hay que distinguir dosaspectos.

Primer aspecto: el valor teórico del coeficiente de concentración detensiones que se obtiene teniendo en cuenta la geometría de la pieza y el modo decarga. En el anexo, varias curvas ilustran los casos más usuales. El valor teóricodel coeficiente de concentración de tensiones se trata en los apartados 2.2, 2.3,2.4 y 2.5.

Segundo aspecto: el comportamiento del material sometido a unaconcentración de tensiones. Para el mismo valor teórico del coeficiente deconcentración de tensiones, los materiales no reaccionan todos de la mismamanera. En determinados casos, se utilizará el valor completo, mientras que, enotros, el coeficiente será la unidad.

2.2 COEFICIENTES TEÓRICOS DE CONCENTRACiÓN DE TENSIONES

Gracias a métodos analíticos o experimentales, es posible determinar-lastensiones reales máximas de un cambio de sección. A partir de estas tensionesmáximas (a o r) y del cálculo de tensiones nominales, un coeficiente teórico deconcentración de tensiones k, o k., puede definirse como sigue:

Concen tración de tensiones 5

a (tracción, flexión) r (torsión)

donde 00 y To son las tensiones nominales.(2.1)

Un hecho que hay que destacar es que, en general, se calculan lastensiones nominales que sufre una sección neta, es.decir, la sección más pequeñaque resiste las cargas. Las experiencias demostraron, en carga estática, que K, yKts no dependen del material ni del grosor de la pieza, sino más bien de lageometría y del modo de carga (tracción, flexión o torsión).

Conociendo K, Y Ktsf pueden calcularse los valores de o o de T. Los valoresKt Y Kts se publican en numerosas obras de referencia y el anexo refleja los másfrecuentemente encontrados. La sección neta viene definida generalmente al piede cada figura.

Figura 2.1 Mecanizados paracolocación de engranajes o poleas

Figurá 2.3 - Estrías de unión.,

Figura 2.5 - Taladro para bulón

Figura 2.2 - Chavetero

Figura 2.4 - Ranura para grupillas

Concentración de tensiones 6

2.3 MÉTODOS UTILIZADOS PARA CONOCER lOS COEFICIENTES DECONCENTRACiÓN DE TENSIONES

2.3.1 Teoría de la elasticidad-

En casos sencillos, es posible resolver matemáticamente las ecuaciones deelasticidad y obtener los coeficientes teóricos de concentración de las tensiones.Caso tipo: el cálculo del coeficiente de concentración que resulta de laintroducción de un pequeño orificio elíptico en una gran placa sometida a tensionesuniaxiales (figura 2.6). Así, para una tracción o compresión uniaxial con unatensión nominal ao, tenemos:

AK, = 1 + 2 -B

(2.2)

donde A Y B son las semi-longitudes de los ejes de la elipse (figura 2.8). Sinembargo, cuando la geometría o el estado de tensión se complican un poco, escasi imposible calcular teóricamente los coeficientes de concentración. Se utilizaentonces uno de los métodos experimentales descritos brevemente a continuación.

o.

tpFigura 2.6 - Distribución de tensiones en una discontinuidad.

2.3.2 Foto-elasticidad

La foto-elasticidad es el método experimental más práctico y universal paraestudiar las concentraciones de tensiones. Utiliza un polariscopio que permitevisualizar, como franjas de polarización, Olastensiones inducidas en un modelotranslúcido.

2.3.3 Galgas eléctricas

Se puede colocar una pequeña galga eléctrica sobre el punto donde sesupone una concentración máxima (por ejemplo: el borde de un orificio, el fondode una moldura o de un fileteado). Este método corriente permite obtenersolamente las tensiones inducidas en superficie, pero éstas son generalmente lasmayores.


.------------------------~-----_.

2.3.4 Otros métodos experimentales: barnices que se resquebrajan, Moiré

Se han utilizado muy variados métodos para conocer las concentracionesde tensiones. El procedimiento de "barnices que se resquebrajan" consiste endepositar en la región estudiada una capa de laca frágil. Cuando ésta se seca, seaplican las cargas progresivamente y se vigila la aparición del primer agrietamiento.Las primeras fisuras aparecerán donde se producen las mayores deformaciones detracción y serán perpendiculares a su dirección.

Existen también varios procedimientos en los que se traza o se coloca unared en la superficie de la pieza. Las deformaciones de esta red permiten deducirlas tensiones o proximidad de.una discontinuidad (método de la red citado o de las

. franjas de Moiré).

2.3.5 Métodos analógicos

Los métodos analógicos consisten en reproducir fenómenos físicos queobedecen a las mismas leyes que las tensiones. En efecto, se puede señalar quelas tensiones normales, por ejemplo en una pieza bidimensional, cumplen lasmismas ecuaciones que las velocidades de un fluido que discurre por un canalplano de la misma forma que la pieza solicitada.

Estos métodos son cómodos, sobre todo por dos razones: pueden aplicarsede modo aproximado y permiten concebir medios para disminuir el efecto de loscambios bruscos de sección. Consideremos la pieza de la figura 2.7. Imaginemosque las fuerzas, en la pieza, están representadas por una serie de líneassemejantes a las que forman las líneas de corriente de flujo de un líquido, dentrode una conducción que tenga la misma forma que la pieza.

Cuanto mayor sea la concentración de las líneas, mayores serán lastensiones. (las tensiones se comparan a la velocidad del fluido en el problemaanálogo de flujo).

a

p -5'"-"';--,I

I:

p

IaSECCiÓN a-a

SECCiÓN b-b

Fig. 2.7 - Analogía entre un flujo y la distribución de tensiones.


2.4 Medios para disminuir los efectos de las concentraciones de tensiones

El método de las líneas de fuerza permite prever modificacionesgeométricas que se pueden efectuar en las piezas de máquinas con el objeto dedisminuir las concentraciones de tensiones. Se trata, en realidad, de impedir laconcentración de las líneas de fuerzas o cambios de sección.

El principio rector es el siguiente: el cambio de sección debe hacerse lomenos bruscamente posible. Es necesario, pues, emplear los mayores radios deacuerdo posibles.

Partiendo del mismo principio, se puede suponer lo siguiente: en una placasometida a tracción, un orificio elíptico es menos deformable si su gran eje estáen la dirección de las tensiones, y esto, para una misma sección neta (figura 2.8-ay b) donde t es el espesor de la placa. Por lo tanto, quitando más material sedisminuye el efecto del cambio de sección.

Cuando no se puede evitar tener un pequeño radio de acuerdo, tener unorificio en un árbol o una placa (figura 2.9-al, etc., y que los cambios de secciónpresenten peligros para la pieza, se puede reducir su efecto destructivo quitandomaterial. (figura 2.9-bl.

•p -$ + I

a d Pt j

(a)

p -Eft; rd p

I"(b)

Figura 2.8 - Efecto de un orificio elíptico en una placa.


-'-----m-· -~?-

(a)

Figura 2.9 - Medios para disminuir las concentraciones de tensiones.

2.5 Aplicaciones con cargas estáticas

Es posible que dos materiales diferentes tengan la misma resistencia finala la tracción Sur Y que uno de ellos posea una capacidad superior de absorción dechoques o sobrecargas, debido a una propiedad llamada ductilidad. La figura 2.10muestra el comportamiento típico de dos materiales que poseen aproximadamentela misma resistencia. El material frágil (figura 2.1 O-a) alcanza su punto de roturadespués de una pequeña deformación plástica. Por otra parte, el material dúctil(figura 2.1 O-b) muestra que puede soportar una deformación plástica mucho másgrande antes de llegar a su punto de rotura. La ductilidad se mide calculando elporcentaje de alargamiento de la muestra a la rotura. En la práctica, se utiliza elvalor de 5 % de alargamiento para tener una línea de separación entre las nocionesde ductilidad y de fragilidad. Así, un material que posea menos del 5% dealargamiento a la rotura se considera frágil, mientras que un material que tengamás del 5% de alargamiento a la rotura es dúctil.

2.5.1 Materiales dúctiJes

Tomamos una placa sometida a tracción perforada por un orificio circulary fabricada con un material dúctil krot > 5 %) y perfectamente plástica (figura2.11) .

eZ'0OizUJf-

DEFORMACIÓN e

(a) MATERIAL FRÁGIL

bZ·0ViZl1J•...

OEFORMACIÓN ¡;

Figura 2.10 - Curvas típicas a-E para dos materiales

(b) MATERIAL DÚCTIL


p

(a)

o82 A:

p

Figura 2.11 - Placa perforada sometida a tracción

(b)

Aumentamos progresivamente la carga de O a P1 (figura 2.12-a), acontinuación de P1 a P2(figura 2. 12-b) para alcanzar finalmente la carga P3 (figura2.14-c), que constituye la carga máxima plástica. Se puede destacar que para a< S, (figura 2.12-a), la relación entre la tensión máxima y la tensión nominal esigual al factor teórico de concentración de tensiones, es decir: K1 = ala¿ = K.Cuando la tensión máxima a llega al límite elástico Sy (figura 2.14-b), K2 = oto¿::::; Kt; los puntos A2' 82 Y C2 se reflejan en el diagrama a vs E (figura 2.1 3-b). Enel límite, cuando toda la sección alcanza la zona plástica (figura 2.14-c), la relaciónK3 = ala¿ vale 1 y existe la desigualdad siguiente:

(2.3)El efecto de las concentraciones de tensiones disminuye, pues, en razón de

la redistribución de tensiones en una sección cargada en el campo plástico. En ellímite, cuando toda la sección alcanza el campo plástico, la relación entre latensión máxima a y la tensión nominal a¿ tiende a 1, es decir, la carga de roturade una pieza dúctil no se ve afectada por la presencia de un cambio brusco desección (para una misma sección neta).

P, P,

P,

oK, = K, =-

00

lal

p)

s.

¡el

Figura 2.12 - Efecto de la redistribución de tensionesen la concentración de tensiones.


Las tensiones residuales son tales que existen en una pieza cuando no estásometida a ninguna fuerza exterior ni a ningún gradiente de temperatura, el estadode las tensiones residuales, para. la pieza representada en la figura 2.11, debeestar determinado cuando se retira la carga P2• Los puntos A2' 82 Y C2 (verdiagrama a vs E, figura 2.11-b) se trasladan respectivamente a A4' 84 Y C4. Estose demuestra en las figuras 2. 13-a, b, c. La primera figura representa el estado delas tensiones producido por la carga P2• La segunda (b) reproduce la distribuciónde tensiones debidas a una carga (-P2) aplicada a partir del estado (+ P2). Nóteseque la tensión permanece siempre en el campo elástico. Para una fuerza nula,existe pues una tensión en compresión A4 y un esfuerzo en tensión 84, Estadistribución representa el estado de las tensiones residuales.

A continuación, si la pieza está cargada con una fuerza P5 = P" queproduce una tensión inferior a Sy' la distribución real de tensiones no será yaidéntica a la que muestra la figura 2.12-a; estará más bien representada por lafigura 2.1 3-f.

Se obtiene, pues, una distribución más uniforme (por tanto, más ventajosa).

(2.4)

A causa de las redistribuciones de tensiones y de tensiones residuales enuna pieza fabricada con un material dúctil y cargada parcialmente en el campoplástico, se ignora habitualmente el efecto de los cambios de sección (K, = 1) paracalcular la pieza, cuando ésta está sometida a cargas estáticas.

Es rnuv importante señalar que, si las deformaciones permanentes sonintolerables en cualquier punto de la pieza, el cálculo se hace utilizando el criteriode fluidez con a < Sy. No habrá redistribución de tensiones y, como consecuencia,se utilizará el valor total del factor Kt.

Por lo que respecta a piezas sometidas a cargas variables, el factor deconcentración de tensiones K, se aplica siempre y servirá para calcular el factor defatiga KI, del que se hablará en el capítulo 5.

ts,

+

t(a) (b) (O)

=• +

(e) (e) (/)

Figura 2.13 - Redistribución de tensiones después deuna deformación permanente localizada.


2.5.2 Materiales frágiles

Por lo que respecta a los materiales frágiles (Era! < 5%), la redistribuciónde tensiones prácticamente no existe. En cuanto al nivel de tensiones residuales,será bajo después de que la pieza haya sido cargada parcialmente en el campoplástico. Por estas razones, se aplica K! para calcular piezas fabricadas conmateriales frágiles (excepto fundiciones) y sometidas a cargas estáticas.

Las fundiciones son insensibles prácticamente a los efectos deconcentración de tensiones. Esto se debe al hecho de que estos materiales no sonhomogéneos, porque contienen cavidades. Estas cavidades son ellas mismasconcentraciones de tensiones. Por tanto, el hecho de añadir un cambio brusco desección no cambia prácticamente nada en la carga a la rotura. Comoconsecuencia, en lo que respecta a las fundiciones sometidas a cargas estáticas,K, = 1.


ANEXO

E,

3'01\2.8 \

~2.6t---+~",'-+~--l----l---I-~1----+--

2.4t--+--1-~d---I---l--+---I-----j

I I I I

2.0~_~-_.1---L_--lL-._...L-.....L--.l.--....J° ~ ~ M M M M V Md/w

Flg. 1 Barra de sección rectangular en tensión o compresiónsimples con un agujero transversal. 110 = F lA, siendo A =(w' - d) t, donde t es el espesor.

1.8f""o¡;;:----F""'~-t---=:::.....-d--_l--+_-_+--+_-~

1.4 ¡---+--t----=F""'--di:----f---+---I----l

1.°0::---:O:":.1:---0~2:---0..l.3--0..l.4--0..l.5--0..J...6--0..l.7--0.J.8

d/w

Fig. 2 Barra de sección rectangular en flexi6n, con un agu-jero transversal. (10 = Mel/, donde I = (w - d)h3 /12.

3.0

2.6

2.2

El

1.8

1.4

1.0O 0.05 0.10 0.15

r/d0.20 0.300.25

Fig. 3 Barra de sección rectangular en tensión o compresiónsimples con dos muescas o recortes circulares. Uo = F lA, dondeA = dt; t es el espesor.

3.0

2.6

22

K,1.8

1.4

1.000.05 0.15

rld0.10 020 025 0.30

Fig. 4 Barra de sección rectangular en flexión. con dosmuescas o recortes circulares. (10 = Mell, donde e = dl2 e f =tdJ 11-2. El espesor es t.

\ r I I ! I I I I

\-1----rr:;\ ~- 1--

- 1--

~ "1'...1\\ l' 1) - 1--

~ ~<2'", I I ¡1.50

\ r-, 1'_1 I;

~ r-, r-, I f-:---L-_1.10i'-...<,~----L...: -,

-i02I ~ I

3.0

2.6

22

1.4

1.0O 0.05 0.10 0.15

rld0.25 0.30

Fig. 5 Barra de sección rectangular en tensión o compresión simples con estre-chamiento y entalles. (fo = F / A, donde A = dt; t es el espesor.

0.20

3.0 ,\ \ I , , , I I

Y r-.\ ---~

M ( ~g:.:iJ·"<~'<r ) M~

\\ \ ---\\[\\ -. ---\'i\.\ -. -,Dld=

,~'\<, <,<,

¡;(,1.02 ;;1.1<,.:~-............ ::::---- 1.05 f;: 1.3

~3............. ...........:::: -:-..L 7'-- -.¡., I- --

2.6

2.2

l.8

1.4

O.O~ 0.25 0.30

Flg. 6 Barra de sección rectangular en flexión, con estrechamiento y entalles.(10 = Mell, donde e = d/2. f = td'/12; teselespesor.

0.10 0.15rld

0.20

2.6

2.2

KI1.8

1.4

1.ÓO 0.10 0.15 0.20 025 0.30

rld

Fig. 7 Barra de sección circular en tensión, con estrechamiento y entalle. Iro =FIA, donde A = 7td

1/4.

2.2~~--4---~-+--+-~~~--+-~--~--+-~

K,.

2.6H-+--+--+--t--t T

0.05 0.15r/d

0.300.10 0.20 0.25

Fig. 8 Barra de sección circular en torsión, con estrechamiento y entalle. To =Te/J, dondee = d/2yJ = ntr/32.

Kt1.81-~~~~~~---1~-A+

1.0 L----L_L--L_L--L_L---L_...l.----L_-1-.--J---:-'O 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

rld

Fig. 9 Barra de sección ¡ircular en flexión, con estrechamiento y entalle. Iro =Mell, donde e = d/2 el = 7td /64.

4.0 ~--r--"'-----r-"'---r--r--r--'--"T""-r--'---'T~

~s¿ J rrD3 dD2

3.2f--+~-d--l--+--.:=t--df--c--16- - -6- (aprox.)

2.4 0L...-L_O.LOS_.J.....--O •.L..IO-.J.....--O..l..lS-...l.--0.J...2-0--'--o....l.2-S---I.----IO

.30

d¡D

Flg. 10 Barra de seccióncircular en torsión, con un agujerotransversal.

3.0\ 11 ~'

"- <, fóf-4-:f- ~<,

__M{E-+-=itM =.....•••..... '"-1'--1---

0.05 0.10 0.15d/D

0.20 0.25 0.30

2.6

2.2

1.4

1.0O

Fig. 11 Barra de seccióncircular en flexión, con un agujerotransversal. CTO = M/[(ltOJ /32) - (d02/6)], aproximadamente.

11

7

\ I\ 11'\ ,.: <,< • -1t.=--'- - -

;:,,+):,: --:. -"-4- -\ ur,','\ ,,"7,~,~, , t-t.:

'\, ';"'~o.1 ti'. '~.tN-~~so

Vlo~I J.o-r---:::::::-t--"-I

0.1 02 0.3 0.4d/w

0.5 0.6 0.7 0.8

9

5

3

1O

Fig. 12 Placa cargada en tensión, con un pasador en agujerotransversal. CTO = F/A, donde A = (w - d)t. Cuando haya hol-gura auméntese K, en 35 a 50%. (M.M. Frocht y H.N. Híll,"Stress Concentration Factorsaround a Central Circular Hole in aPlate Loaded through a Pln in Hole", J. Appl. Mechanics, vol. 7,no. 1, pág. A-S, marzo 1940.)

3.0

2.6

2.2

Kt

1.8

1.4

1.0O

Fig. 13 Barra de sección circular en tensión, con ranuracircunterencial.w¿ = FIA,dondeA =rrd2/4.

2.61---+---\1---+--l-

2.2f--+-:"'+-~-+-+

1.0~--l..-"..l:-::---L_.l..---L--::-~-l_~--L---::~---1.~O 0.05 0.10 0.15 0.20 025 0.30

rfd

Fig. 14 Barra de seccióncircular en flexión, con ranura cir-cunterenclat.«, = MelJ.donóec = dl2eJ =rrd4/64.

2.6

2.2

Ku

1.8

1.4

1.0O 0.05

T

0.15rld

0.20 0.25 0.30

Fig. 15 Barra de seccióncircular en torsión, con ranura clr-cunferencia!. fo = Te/J, dondec = dl2yJ = rrd4/32.

CAPíTULO 3. TEORíAS SOBRE líMITES PARA CARGASESTÁTICAS

3.1 INTRODUCCiÓN

Este capítulo trata de establecer 'fql'mulas que permitan calcular laresistencia mecánica de las piezas de máquinas sometidas a un estado dedemandas complejas de tensiones. Una pieza debe tener dimensiones que lepermitan resistir la carga a la que está sometida. Todas las ecuaciones que seutilizan para efectuar este cálculo tienen la forma siguiente:

ses =-a

(3.1 )donde:

CSS

= coeficiente de seguridadresistencia generalizada del materialtensión inducida generalizada

=a

Cuando se calculan piezas de máquinas, la ecuación (3.1) puede utilizarsede dos maneras diferentes. Primer caso: las dimensiones, la geometría y el materialson conocidos; se trata entonces de un problema de verificación ya que, siendoconocidos el numerador y el denominador de la ecuación (3.1), se calcula el factorde seguridad. Segundo caso: se selecciona el factor de seguridad, pero el material,o una de las dimensiones de la pieza, es desconocido; se trata de un problema deconcepción.

Este capítulo trata el cálculo de la resistencia del material que estásometido a una carga compleja. En otros términos, permitirá definir el numeradorde la ecuación (3.1). Los ensayos de tracción hechos sobre muestras normalizadaspermiten establecer el límite de rotura Suty el límite de fluencia S, del materialestudiado. Las piezas de máquinas utilizadas (resortes, engranajes, etc.) tienen unageometría que difiere mucho de la geometría normalizada de las piezas sobre lasque se han hecho los ensayos de tracción; además, están sometidas a un estadode tensiones complejas (tensiones axiales, tensiones de flexión, tensiones detorsión). La teoría de la resistencia de materiales ha demostrado cómo se puedecalcular las tensiones principales cuando las fuerzas y la geometría de la pieza sonconocidas.

Las teorías sobre límites para cargas estáticas establecen las relaciones quepermiten predecir la resistencia de un material sometido a tensiones complejasbasándose en los resultados obtenidos tras los ensayos de tracción simple.

Estas teorías se aplicarán cuando la carga varíe poco en el tiempo. Si elnúmero de veces que la pieza está cargada supera 1000 ciclos, la carga seconsidera variable, y entonces se utilizan otras teorías para poder predecir laresistencia del material.

Teoríassobre límítes para cargas estáticas 19

Hay que señalar que el criteriode resistencia a las tensiones mecánicas noes el único criterio de limitaciones de una pieza. El desgaste, la deformaciónexcesiva, la corrosión son a menudo causas de fallos también muy desastrosos.

3.2 TEORíAS SOBRE LíMITES

En este capítulo, elaboraremos teorías que nos permitirán calcular piezassometidas a cargas estáticas que dan lugar a tensiones uniaxiales, biaxiales otriaxiales, basándonos no obstante en ensayos de tracción simple para los cualesse establecen los valores de la resistencia de fluencia Sy y a la rotura Sut.

Cualquiera que sea el estado tensional, debemos prever la quiebra (porfluencia o por rotura) basándonos en Sy y Su. Para obtener estos resultados,deberemos elaborar teorías apropiadas.

Los materiales son frágiles o dúctiles según su capacidad para deformarseplásticamente antes de la rotura. Un material es dúctil si la deformación a la roturaes mayor que 5 %.

Por lo que respecta a materiales dúctiles, las teorías de límites se referiránal límite de fluencia. Es evidente que las deformaciones permanentes de las piezasde máquinas son generalmente tan inaceptables como su rotura. En efecto, esdifícil imaginar un diente de engranaje o la pista de un cojinete de bolas quehubiera soportado tales deformaciones. En un caso así, la pieza debería serrechazada, puesto que no podría cumplir satisfactoriamente la función para la quehabía sido concebida. La resistencia a la tracción de estos materiales es igual a suresistencia a la compresión.

Se hablará de tres criterios de fluencia para los materiales dúctiles. Estoscriterios están basados en:

1. la teoría de la tensión normal máxima;2. la teoría de la tensión de cizallamiento máxima;3. la teoría de la energía de distorsión.

Para poder predecir adecuadamente la quiebra de materiales frágiles, espreciso tener en cuenta las características siguientes comunes a la mayoría de losmateriales frágiles:

a) la curva tensión-deformación es una línea continua hasta la rotura.

b) el límite de rotura a compresión es mayor por lo general que el límitea tracción.

c) el límite de rotura a torsión Ssues aproximadamente del mismoorden de magnitud que el límite de rotura en tracción Sut·

Se hablará de tres criterios de rotura para los materiales frágiles:

1. la teoría de la tensión normal máxima;2. la teoría de Coulomb-Mohr;3. la teoría de Mohr modificada.

Teorías sobre límites para cargas estáticas 20

3.2.1 Criterios de f1uencia (materiales dúctiles)

Teoría de la tensión normal máxima

La fluencia se produce en un elemento cargado cuando una de las tensionesprincipales alcanza Sy.

Suponiendo que Syt = ISyCI = Sy' la fluencia se produce cuando

(3.2)

Para tensiones biaxiales (figura 3.1), la fluencia se produce cuando

__ ~~~ ~a~I~ ~a

Sy

-Sy o Sy

~

a,

A

~.-Sy

Figura 3. 1 - Círculo de Mohrilustrando tensiones biaxiales.

Figura 3.2 - Teoría de la tensiónnormal máxima.

El límite dado por la fórmula (3.3) se representa gráficamente en la figura3.2. En el plan definido por al' a2, cada punto representa un estado de tensionesbiaxiales. Las tensiones de tracción son positivas y las tensiones de compresión,negativas. El punto B representa, por tanto, una demanda en la que la tensiónprincipal a1 es positiva y la tensión principal a2, negativa. La ecuación (3.3) setraduce gráficamente por el cuadrado, ya que cada uno de los ejes está limitadopor Sy. Para satisfacer la teoría de la tensión normal máxima, el punto de demandadebe encontrarse en el interior de los límites definidos por el cuadrado.

El punto B representa un estado de tensión de seguridad, ya que se sitúaen el interior de los límites. El punto A es el límite permitido, ya que se sitúa en lafrontera. El factor de seguridad puede calcularse como la relación de longitudesOA/OB. El punto B' representa un estado de tensiones que producirá unadeformación permanente de la pieza o una rotura.

Teoría de la tensión de cizallamiento máxima (criterio de fluencia de Tresca)

La fluencia se produce en un elemento cargado cuando la tensión decizallamiento máxima alcanza Sy/2. Este valor representa la tensión decizallamiento cuando la fluencia se produce durante un ensayo de tracción simple(figura 3.3).


ClJ

a

Figura 3.3 - Círculo de Mohrilustrando un estado uniaxialde tensiones.

Figura 3.4 - Círculo de Mohrilustrando un estado triaxialde tensiones.

La tensión de cizallamiento máxima viene dada por el radio del círculo de Mohr

l' . =max0máx - omín

2

(3.4)y según la siguiente teoría

1:máxSy2

(3.5)Con un elemento cúbico sometido a un estado triaxial de tensiones, los círculosde Mohr de la figura 3.4 establecen las tensiones principales a" a2 Y a3• Lautilización de la misma figura, para cada plano principal, permite obtener lastensiones de cizallamiento, que son:

(3.6)La tensión de cizallamiento máxima viene dada por Tij rnáx

La fluencia se producirá, pues, por una de las posibilidades siguientes:

que:o:o:

1 al - a21 Sy1 a2 - a31 = S,1 a3 - a11 = S, (3.7)

Para tensiones biaxiales (suponiendo a3

reducen a:O), las relaciones (3.7) se


= S, cuando al Y a2 son de signos opuestos.SyS, cuando al Y a2 son del mismo signo.

(3.8)

==

VL-._--",-r

El criterio expresado porla relación (3.8)puede representarsetambién por la figura 3.5

a'

-Sy

Figura 3.5 - Criterio de Tresca

Teoría de la energía de distorsión (criterio de fluencia de van Mises)

La fluencia se produce en un elemento sometido a cualesquiera tensionescuando la energía de distorsión alcanza el valor de la energía de distorsión a lafluencia durante un ensayo de tracción simple.

La energía de distorsión se define como la diferencia entre la energía totalde deformación y la energía necesaria para el cambio de volumen del elementosometido a tensiones; en este último caso, la energía se calcula de la mismamanera que si el elemento estuviera cargado hidrostáticamente (tensión ocompresión igual).

Esta energía necesaria para el cambio de volumen se sustrae de la energíatotal de deformación porque se ha demostrado experimentalmente que esimposible producir la fluencía de un elemento cargado hidrostáticamente cualquieraque sea el nivel de las tensiones impuestas; por tanto:

(3.9)

donde Ud es fa energía de distorsión; Utot, fa energía total de deformación; y Uv, laenergía necesaria para el cambio de volumen.

La evaluación de Ud se hace en función de las tensiones principales 0Jl 02'

a3· Consideremos un cubo unitario (V = 1) sometido a al' a2, 03 (figura 3.6).

El cambio de volumen normalizado Ó.V IV viene dado en primeraaproximación por:


L\V

V

(3.10)El cambio de volumen de un material elástico expresado en función de las

deformaciones es el siguiente:

(3.11 )

(3.12)donde ves el coeficiente de Poisson y E es el módulo de elasticidad.

3

Figura 3.6 - Cubo unitario con tensiones principales

(3.13)En principio, se trata de determinar la tensión hidrostática a.; produciendo

el mismo cambio de volumen t1 V. Sea Eav la deformación unitaria siguiente a cadauna de las tres direcciones para un cambio hidrostático.

En primera aproximación,

30av (1 - 2v)

E

(3.14)e igualando (3.13) y (3.14), se obtiene:


3

(3.15)La tensión aav solamente produce un cambio de volumen, no produce

cambio de forma.

Energía total de deformación

La energía total de deformación Utot para un cubo unitario es igual al trabajohecho sobre el elemento para deformarlo. .Por tanto:

(3.16)Expresando las deformaciones en función de las tensiones y del coeficiente

de Poisson, se obtiene:

(3.17)Energía de cambio de volumen

La ecuación (3.17) da la forma general para obtener la energía totalacumulada en un cubo unitario. Para calcular la energía necesaria para el cambiode volumen, basta con sustituir al' a2 Y a3 por a.; en esta ecuación. Por tanto,

(3.18)sustituyendo (3.15) en (3.18) da:

3 (1-2v) (°1 +°2+°3)2

2E 9(1 - 2v) (021 + 2 2 2 o + 20 o + 20 o )02 + 03 + 01 2 2 3 3 1

6E

(3.19)Energía de distorsión

La energía de distorsión se obtiene sustituyendo las ecuaciones (3.17) Y(3.19), en la ecuación (3.9) y reagrupando los términos semejantes.

Teoríassobre límites para cargas estáticas 25

(3.20)Energía de distorsión a la fluencia para un ensayo de tracción pura

Para un ensayo de tracción pura, la energía de distorsión a la fluencia secalcula sustituyendo el estado de tensiones correspondiente (al = Sy, a2 = O,a3 = O) en la ecuación (3.20) para obtener:

u = (1 + v) 2 S: =dflujo 3E 2

2(1 + v) Sy3E

(3.21)Igualando (3.21) Y (3.20) se obtiene:

(01 - O2)2 + (02 - 03)2 + (03 - 01)2

2

(3.22)La relación (3.22) predice la fluencia en una pieza sometida a un estado detensiones triaxiales.

Para tensiones biaxiales (suponiendo a3 = O), se tiene

(3.23)La tensión de Van Mises (a') se define por

(3.24)Empleando esta notación, la fluencia se produce cuando

a' = Sy(3.25)

El límite dado por la fórmula (3.25) se representa por la elipse en la figura3.7.

A veces resulta útil que la expresión de a' se dé en función de las tensioneselementales a., ay y Txy más que en la de las tensiones principales al Y a2•

Sabiendo que las tensiones principales se obtienen por la relación siguiente:


ax + ay~ (OX ; 0Y)2 + 2a1•2 = ± 'txy

2

(3.26)Si se pone:

ax + a a - ay)2

A = y . B = ( x +1' 22

, xy2

(3.27)entonces la ecuación (3.26) queda

a, = A + Ba2 = A - B (3.28)

La ecuación (3.28) utilizada con la ecuación (3.24) da

(3.29)que se reduce a

(3.30)Sustituyendo los valores de A y de B en la ecuación (3.30), se tiene

(3.31 )

al

Figura 3.7 - Criterio de fluencia de vori Mises


Límite de fluencia al cizallamiento

El límite de fluencia al cizallamiento SSYse define como el nivel de tensionesalcanzado cuando la fluencia se produce durante un ensayo de torsión pura.

Basándose en el criterio de Tresca, por una parte, y en el criterio de vanMises, por otra, ¿se puede hallar la relación que existe entre SSYy S/.

Supongamos un árbol sometido a un par de torsión T, tal que T = Tr/J, seala tensión resultante de cizal/amiento a la fibra extrema (r = radio exterior delárbol; J = momento de inercia polar = T7d4/32).

Se requiere un elemento de material, elegido en la superficie de la pieza, talcomo el que aparece en la figura 3.8.

Las tensiones principales en el plano x-y vienen dadas por el círculo deMohr de la figura 3.8 (c) y son al = T, a2 = -T Y a3 = O.

xl-f

IDIlf--JIT:X1)tT -t ,+-t

(a) y(b) (e)

Figura 3.8 - Pieza sometida a torsión pura.

Criterio de Tresca

Para la torsión pura amáx = + T, amin -T. Con el criterio de Tresca, setiene

"máxla . - a Imax mín

= " Ssy= Sy

22

(3.32)Criterio de von Mises

Si se introducen en la ecuacron de la tensión de van Mises (3.25) losvalores de tensiones principales al = T, a2 = -T, obtendremos:

(3.33)


donde

3.2.2 Criterios de rotura (materiales frágiles)

Teoría de la tensión normal máxima

0,577 Sy

(3.34)

La rotura se produce en un elemento cargado cuando una de las tensionesprincipales alcanza el valor de Sut o de Suco

Por lo que respecta a los materiales frágiles, se tienen valores diferentespara las resistencias a la rotura s; y SU! (en general, I s.,I > SU!),

En el caso de tensiones biaxiales (a3 == O), la rotura se produce cuando

al = SU! o ala2 = Sut o 0'2 (3.35)

Este criterio se representa gráficamente en la figura 3.9

~S~U~C.~ ~~~crl

Figura 3.9 - Teoría de la tensión normal máxima

Teoría de Coulomb-Mohr

Esta teoría, también llamada teoría de rozamiento interno, se basa en losresultados de dos ensayos: el ensayo de tracción y el ensayo de compresión.

La rotura se produce en un elemento sometido a un estado tensional segúnun círculo de Mohr tangente a la envolvente de dos círculos que pasan por elorigen y por los puntos SU! y Suc (ver figura 3.10).

Para tensiones biaxiales (suponiendo a == O), la rotura se producen cuando


o

(3.36)Gráficamente, el criterio en el plano 0"1' a2 se representa en la figura 3.11

Figura 3.10 - Círculo de Mohrde tensiones inducidas

Teoría de Mohr modificada

Figura 3.11 - Criterio de Coulornb-Mohr

En general, para los materiales frágiles, el límite de rotura a la torsión Ssues aproximadamente igual al límite de rotura a la tracción. Esta observaciónexperimental no está verificada por la teoría de Coulomb-Mohr. Eri efecto, en lafigura 3.11, la línea cuya pendiente negativa es igual a -1 representa una carga entorsión (a2 = - al). El punto A indica el límite permitido por esta teoría. Seconstata que este valor es inferior a Sut. Por esta razón, se utiliza generalmenteuna teoría modificada de Mohr para calcular piezas de material frágil. Es una teoríaque tiene en cuenta esta propiedad (Ssu= Sut)' y que se puede describir como uncompromiso entre las dos teorías precedentes (la teoría de la tensión normal y lateoría de Coulomb-Mohr). La figura 3.12 ilustra la teoría de Mohr modificada.


II

_-=S:::.!u!.:.,eot:::...._-_S~:U-l-lf-4S~ULl -"<11

Figura 3.12 - Teoría de Mohr modificada


CAPíTULO 4. CÁLCULO DE PIEZAS SOMETIDASA CARGAS ESTÁTICAS

4.1 INTRODUCCIÓN

Los capítulos anteriores han introducido tres conceptos: el coeficiente deseguridad, las concentraciones de tensiones y las teorías sobre límites. Estecapítulo explica cómo se utilizan estos conceptos para calcular piezas sometidasa cargas estáticas. La primera parte trata de piezas fabricadas con materialesdúctiles, mientras que la segunda se refiere a la utilización de materiales frágiles.

4.2 PIEZAS DE MATERIALES DÚCTILES

Concentración de tensiones

Generalmente no se utilizan coeficientes de concentración de tensionespara calcular piezas fabricadas con materiales dúctiles, debido a la redistribuciónlocal de tensiones. Una deformación permanente local se tolera generalmentecuando no cambia el comportamiento global de las piezas; a veces, se utilizaincluso a propósito para crear una distribución de tensiones más favorable.

Consideramos siempre que Kt = 1 para un material dúctil sometido a unacarga estática.

Teorías sobre límites

Se han llevado a cabo ensayos experimentales en piezas sometidas aestados tensionales complejos, piezas que han sido cargadas hasta la fluencia.Estos puntos de fluencia pueden situarse en un diagrama G" G2 para ilustrar unestado de tensiones biaxiales. La figura 4.1 es un gráfico cuyos ejes han sidonumerados con relación a Sy' que ilustra los resultados experimentales obtenidoscon relación a los límites prefijados por las teorías elaboradas en el capítuloanterior. Cada punto (. aluminio, T acero) representa el nivel tensional que haproducido la fluencia.

Examinando esta figura, se pueden extraer las siguientes conclusiones:

a) La teoría de la energía de distorsión (van Mises) es la más precisa, yaque es la que predice con mayor exactitud el nivel de tensión al que se producela fluencia.

b) La teoría de la tensión de cizallamiento máxima (Tresca) es segura, yaque todos los puntos experimentales se encuentran en el exterior de los límitesestablecidos para esta teoría. Si la utilizamos para calcular piezas, la fluencia seproducirá siempre para un estado de tensiones mayor que el calculado por Tresca.

e) La teoría de la tensión normal máxima, cuando las tensiones principalesson de signos opuestos, no se utiliza, ya que predice un punto de fluencia máselevado que el obtenido experimentalmente. Dicho de otro modo, si se utiliza estateoría para calcular una pieza, la fluencia se producirá mucho antes de que sealcancen las tensiones permitidas.

Cálculo de piezas sometidas a cargas estáticas 32

En la práctica, la teoría de Tresca o la de van Mises sirven para calcularpiezas de materiales dúctiles sometidas a cargas estáticas. La teoría de la tensiónnormal máxima no se utiliza nunca.

~ TEORíA DE ENERGíA DEDISTORSiÓN (VON MISES)

~~--~~----~~~~~1.0 o 0,2 0.4 0.6 S"

0,8

• AL1MIN1UM

., ACIEA0.6

0,4

0.2

TEORíA DE TENSiÓN -t---- ++«,

DE CIZALLAMIENTOMÁXJMA (TRESCA)

s,...

TEORíA DETENSiÓNNORMALMÁXIMA

Figura 4.1 - Comparación de los resultados experimentalescon tres teorías de límites para materiales dúctiles

(sacada de "Engineering Materials: Their Mechanical Properties and Applications"por Joseph Marin, 1952, p. 156-157 con la autorización de Prentice-Hall Inc.,Englewood Cliffs, New Jersey).

Coeficiente de seguridad

En algunos casos, una deformación permanente, incluso local, no esdeseable. Por tanto, para calcular las dimensiones de piezas o para elegir unmaterial, se utiliza un coeficiente de seguridad que disminuye la resistenciapermitida. Siguiendo el criterio de Tresca, la fluencia en el material dúctil seproduce cuando el cizallamiento máximo alcanza el valor de Sy/2. La ecuación se'representa:

1:máx =~=2 es

0máx - 0mín

2

(4.1 )donde S, límite de fluencia del material.


es = coeficiente de seguridady

Por lo que respecta al criterio de von Mises, la ecuación que se utiliza paracalcular las piezas es:

= Syes

(4.2)Se pueden usar los criterios de Tresca o de von Mises para efectuar la

verificación de piezas o para crearlas. En el primer caso, el coeficiente deseguridad es es desconocido; en el segundo, una de las variables de concepciónserá determinada.

4.3 PIEZAS DE MATERIALES FRÁGILES

Concentración de tensiones

El material frágil se deforma poco antes de la rotura. El fenómeno defluencia, que se produce en los materiales dúctiles y da lugar a una redistribuciónde las tensiones, no se aplica a los materiales frágiles. El valor máximo delcoeficiente de concentración de tensiones K, se aplicará para calcular piezas. Unaexcepción: las fundiciones, cuyo comportamiento se clasifica también como"frágil". -Las fundiciones contienen también pequeños alvéolos que actúan comoconcentraciones de tensiones. Varios estudios demuestran que el efecto decambio brusco de sección afecta poco a su resistencia. En consecuencia, conrespecto a las fundiciones, Kt = 1,0.

El valor de las concentraciones de tensiones varía en función de lageometría de la pieza y del tipo de carga. En otras palabras, cada tipo de carga(tracción, flexión, torsión) tiene un valor específico. En una carga compleja, cadauna de las tensiones nominales debe ser multiplicada por el coeficiente apropiadode concentración de tensiones.

Se producen también ciertos casos en que varias concentraciones detensiones actúan en un mismo punto (ejemplo, chavetero con cambio de sección).El efecto de esta multiplicación de tensiones es todavía objeto de investigaciones.Ciertos autores proponen la multiplicación de los coeficientes de concentración detensiones evaluados para cada caso concreto; otros recomiendan sumar los doscoeficientes. Si el caso en estudio es crítico, se sugiere preferentemente evaluarla tensión real empleando uno de los métodos experimentales descritos en elcapítulo 2. Por otra parte, el proyectista debe evitar toda situación en que dosconcentraciones de tensiones actúen en un mismo punto, ya que esto por logeneral debilitará indebidamente la pieza.


Teorías de límites

La figura 4.2 ilustra la cornparacron existente entre los puntosexperimentales y las tres teorías de límites para materiales frágiles enunciadas enel capítulo 3. Esta figura muestra los puntos experimentales obtenidos por dosinvestigadores.

TECRíA DE TENSiÓNNCR,\AAL MÁXIMA,.

III~ /io •..•;~,¡

--k----:4-:-.:5·-~t;-,;--~,

TEORíA DE iVlOHRiVlODIFIO.DA

TEORíA DECOULOMB-MOHR

·COFF1',.o.GRASS: y CORNET(AJUSTADA)

Figura 4.2 - Comparación de los resultados experimentales obtenidospara una fundición gris con tres teorías de límites para materiales frágiles

(sacada de "Applied Mechanics of Materials" por J.E. Shigley, 1976,con la autorización de McGraw-Hill Book Co.)

En el primer cuadrante, es decir, cuando las tensiones principales sonpositivas, las tres teorías son equivalentes. Enel cuarto cuadrante (al> 0, az < OLlas tres teorías son diferentes.

Examinando esta figura, se pueden extraer las siguientes conclusiones:

a) la teoría de la tensión normal máxima no es segura, ya que los puntosexperimentales se encuentran en el interior del límite prefijado por esta teoría.

b) La teoría de Coulomb-Mohr es segura, ya que todos los puntosexperimentales se encuentran en el exterior del límite prefijado por esta teoría.

c) La teoría de Mohr modificada es la más precisa. Se señala que los puntosexperimentales obtenidos confirman lo que sigue: para los materiales frágiles, ellímite de rotura al cizallamiento Ssu(az = -o.) es igual al límite de rotura en tensións.,


En la práctica, se emplea la teoría de Coulomb-Mohr o la de Mohrmodificada para calcular las piezas de materiales frágiles sometidas a cargasestáticas. La teoría de la tensión normal máxima no se utiliza nunca.

Coeficiente de seguridad

El cálculo del coeficiente de seguridad se hace comparando las tensionesprincipales inducidas con la resistencia establecida por una de las teorías de Mohr.

Para calcular el coeficiente de seguridad, se pueden escribir las ecuacionespertinentes de la línea de carga y de la línea límite basada en la teoría de límiteselegida, con el fin de encontrar las coordenadas de los puntos necesarias para elcálculo, o bien obtener directamente estas coordenadas por medio de una solucióngráfica.

La primera etapa consiste en construir un gráfico (figura 4.3) de los límitespermitidos en la teoría elegida, basado en los valores de las resistencias a la roturaen tensión y en compresión.

Las tensiones principales inducidas se calculan teniendo en cuentacoeficientes de concentración de tensiones relativos a cada tipo de carga. Seutiliza la ecuación

(4.3)donde Kx, Ky, Kxy = coeficientes de concentración relativos a cada tipo de carga.

Por lo que respecta a la tensión axial a., a menudo ocurre que es la sumade las tensiones de flexión y de tracción (o compresión). El término KxGx de laecuación (4.3) puede evaluarse multiplicando cada uno de los tipos de tensionespor el coeficiente apropiado de concentración de tensiones. Por tanto:

a; = Ktfaxt + Kttaxt (4.4)

donde Ktf es el coeficiente de concentración de tensiones relativo a una carga aflexión y Ktt, el de una carga a tracción (compresión). En este caso, K, de laecuación 4.3 se convierte en la unidad.

El punto A en la figura 4.3 representa el estado de carga. El punto B indicael límite permitido (intersección de la línea OA y de la Hnea límite del gráfico detensiones).

El coeficiente de seguridad es

es = DBDA

(4.5)


(b)

MOHR MODIFICADA

Figura 4.3 - Utilización de las teorías de Mohr

s~u~c¿:.. ~~-4s~u!.!..' -..a,

(alCOULOMB-MOHR

Cálculo de piezas sometidas a cargas está ticas 37

CAPíTULO 5. TEORíAS SOBRE líMITES DE FATIGA

5.1 INTRODUCCiÓN

Una pieza sometida a cargas variables se fractura a un nivel de tensión inferior alde la tensión de rotura cuando la pieza está sometida a cargas estáticas.

La rotura por fatiga se produce por un desarrollo progresivo, a través de lasección, de una fisura microscópica en un punto en el que la tensión localizadaes más elevada. Esta tensión elevada puede ser debida a un cambio brusco desección, a fisuras internas o a imperfecciones del material.

La fisura microscópica progresa hasta que la sección se debilita, es decir, hastaque ya no pueda soportar las cargas; se produce entonces una rotura súbita.Aparecen entonces dos zonas en la sección de rotura (figura 5.1) : una se producepor el desarrollo gradual de la fisura y la otra, por una rotura súbita (porciónsombreada). La figura 5.2 muestra la cara de rotura por fatiga de diferentes piezas.

EFECTO DE l..N CORTE Nll.O ;EFECTO DE LN CORTE MODERAD~ EFECTO DE LN CORTE INTENSO

FLEXIÓNPLANAALTERNA(bilateral)

,SOBRECARGA SOBRECARGA SOBRECARGA SOBRECARGA SOBRECARGA SOBRECARGA¡~CJ~ ~~@@FLEXIÓNPLANAREPETIDA(unilateral)

FLEXIÓNROTATIVA

Figura 5.1 - Apariencia esquemática de roturas de piezas sometidasa tensiones de fatiga: la zona de rotura súbita está rayada.

(sacada de "Basic Course in Failure Analysis, Lesson 4 : Bending Fractures"por Charles Lipson, Machine Design, Noviembre 27, 1969, pg. 142

con la autorización de Machine Design).

Los mecanismos de fatiga se conocen mal. Se les asocia generalmente adeformaciones permanentes a nivel de cristales. Después de un cierto número deciclos de aplicación de cargas, se produce una fisura microscópica en la zonasometida.

Teoríassobre límites de fatiga 38

Antes de que una pieza de material dúctil sometida a cargas estáticas sequiebre, comienza presentando una deformación visible en las zonas en que latensión ha sobrepasado el límite de fluencia, y puede reemplazarse antes de quese produzca la rotura. Por el contrario, una rotura debida a la fatiga no proporcionaesta advertencia; es repentina, total y, por tanto, peligrosa.

Figura 5.2 - Aspecto de rotura por fatiga

Generalmente, las piezas de máquina están sometidas a variaciones decarga. En la figura 5.3a puede verse un ejemplo de espectro de carga: un ciclocompleto de cualesquiera variaciones puede descomponerse en 2 ciclos (A) y 2ciclos (B) (figura 5.3b). Los ciclos (A) y (B) son ciclos "puros" compuestos por unavariación completamente invertida, superpuesta a una tensión constante.

Para una variación de tensiones del tipo de la representada en la figura 5.3,será lógico imaginar que el cálculo de la pieza esté basado en el límite estático delmaterial y en el límite obtenido en ensayo completamente invertido .

.;\.

UJUJZo¡¡jz'~:

('A.Í\ f\ 4"\ ,r\ I¡V~ VI ',j

I II • 1 CICLOCOMPLETo-------i

(a)

UJUJZO¡¡jZUJt-

2CICLOS(A) 2 CICLOS(S)¿f\)f\I ~~\]\\¡-1--fCfc1.oCOMPLc,O '1

TIEMPO

(b)

-lO

TIEMPO

Figura 5.3 - Espectro típico de carga de fatiga

5.2 RESISTENCIA A LA FATIGA Y LíMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA(DIAGRAMA S-N)

Las cargas que en una sola aplicación no pueden producir rotura, puedeneventualmente producir la rotura de una pieza si su aplicación se repite el númerode veces suficiente (número de ciclos N). Es la principal característica de la fatigade los materiales. Este número de ciclos para rotura (N) depende de la intensidadde las cargas aplicadas. Incluso, la intensidad de las cargas aplicadas depende dela vida que se desee dar a la pieza (expresada en número de ciclos para rotura N).


Se puede obtener la tensión a la rotura de un material en función de la vidade la pieza haciendo un ensayo de fatiga a este material. El ensayo Moore (flexiónrotativa) es el que se utiliza más corrientemente para obtener estas característicasde fatiga. Consiste en cargar, en flexión completamente invertida, una probetapulida normalizada. Se registra el número de ciclos para rotura. Los resultadosexperimentales permiten a continuación trazar un diagrama logarítmico detensiones (S) en función del número de ciclos para rotura (N) (figura 5.4).

Lag SI TENSIONES

sO n r\ 1 ••-51 VV\) TIEMPO

METALES FÉR~;:OS

Lag S

Si

10'.•.

5 X 10s Lag N

I,S; I-------~-----~-----------I,

I,I

I METALES NO FÉRREOSS. I'[----------1-------- I

N Lag N

Figura 5.4 - Diagrama S-N Figura 5.5 - Diagrama de resistenciaa la fatiga

La curva de los materiales férreos posee una asíntota horizontal. Estaasíntota representa la tensión por debajo de la cual es imposible quebrar la probetacualquiera que sea el número de ciclos impuesto. En este momento, se dirá quela pieza ofrece una vida infinita. El valor de la tensión asíntota define el límite deresistencia a la fatiga del material a partir del ensayo de Moore (Se') y se alcanzacon un número de ciclos igual a 106

•

En el caso de materiales no férreos, no existe esta asíntota horizontal, esdecir, que la rotura es inevitable, cualquier que sea la tensión impuesta, cuandohay un número suficiente de ciclos. Para'estos materiales, se suele definir el límitede resistencia a la fatiga (Se') como la tensión a la rotura para 500 x 106 ciclos.Este diagrama S-N de los materiales no férreos es típico de las aleaciones dealuminio y de magnesio.

Una pieza de material férreo no se calculará siempre en función de una vidainfinita. Incluso, una pieza de material no férreo no siempre se calculará en funciónde 5 x 108 ciclos. Para un número cualquiera de ciclos, la rotura a la fatiga sedenomina resistencia a la fatiga (Sf") correspondiente a N ciclos (ver figura 5.5).

Empleamos Se' y Sf' para representar los límites de resistencia a la fatigaobtenidos con una probeta normalizada.

Teorías sobre límites de fatiga 40

Emplearemos Se y Sf para representar los límites de resistencia a la fatigay de fatiga de una pieza.

5.3 APROXIMACiÓN DEL DIAGRAMA S-N PARA LOS ACEROS

En determinadas aplicaciones, no es necesario calcular las piezas en funciónde una vida infinita. El cálculo de estas piezas no está basado, por tanto, en ellímite de resistencia a la fatiga (Se), sino en la resistencia a la fatiga (St) para unnúmero de ciclos N « 106

) correspondiente a la vida de la pieza. Sin embarga, losdiagramas S-N no existen para todos los materiales. De hecho, no existen inclusopara todos los aceros; es preciso tener bien presente que existe un númeroconsiderable de aceros cuyas características de resistencia a la fatiga difieren. Sepuede obtener gráficamente o de forma analítica una aproximación de las curvasS-N para aceros utilizados en flexión completamente invertida.

5.3.1 APROXIMACiÓN GRÁFICA

Para las aceros, la curva S-N se obtiene de forma aproximada uniendo conuna recta, sobre papel log-Iog, los puntos A (0,9 Su a 103 ciclos) y B (Se' a 106

ciclos) (figura 5.6).

Vere_mos en la sección 5.4 que el límite de resistencia a la fatiga SI' seacerca al límite de rotura. Por esta razón, cuando 1 ciclo < N < 1000 ciclos, lacarga se puede considerar estática, y como consecuencia puede calcularse lapieza.

5.3.2 APROXIMACiÓN ANALÍTICA

Hay que establecer la ecuación de la línea AB de la figura 5.6. La ecuaciónde esta recta es del tipo

y = mx + b (5.1 )

donde y = log S/ (5.2)

mlog (0,9 SJ - log S:

log 103 - log 106

(5.3)

x = log N -3 (5.4)

b = log (0,9 Su) (5.5)

Introduciendo las ecuaciones (5.2) a (5.5) en (5.1), se obtiene:


SI log N - 3

log S; = log [ 0,9 Su ( e) 30,9 Su

II Se

SI = 0,9 Su ( ) (1/3) (log N - 3)0,9 Su

La ecuación de la línea AS de la figura 5.6 puede también escribirse:

x = Lm

b

(5.6)

(5.7)

(5.8)

(5.9)

(5.10)

m

Introduciendo las ecuaciones (5.2) a (5.5) en (5.8), se obtiene:

SIlog N = 3 [ 1 + log ( 1) __ 1__ ]

0,9 Su SIlog (O 9 e S )

, u

Entonces:

I 3S IN = 1000 ( I )log (S)0,9 Su)

0,9 Su

Lag S

¡.=-_+ ~B __

10] 10'N Lag N

Figura 5.6 - Aproximación del diagrama S-N para los aceros


5.4 VALORES APROXIMADOS DE LOS LÍMITES DE RESISTENCIA A LAFATIGA

Los valores de los límites de fatiga, al igual que los de resistencia a la fatigapara un número dado de ciclos, no son siempre accesibles para los ingenieros. Losensayos de fatiga de los materiales demostraron que existe una relación entre ellímite de rotura Su y el límite de fatiga Se' en el caso del ensayo de Moore. Aunquesea aproximada, esta relación permite sin embargo evaluar un límite de fatigautilizando un límite estático que es relativamente sencillo de obtenerexperimentalmente.

Las relaciones entre Su y Se' son las siguientes:

i) aceros

Se' :::::0,5 Su para Su ~ 1400 MPaSe' :::::700 MPa para Su > 1400 MPa (5.11 )

ii) fundiciones y aceros colados

(5.12)

iii) aleaciones de aluminio y magnesia

(forjado, laminado, extruido, etc.)para N = 5 x 10s ciclos

(5.13)(colado)

Bien entendido que estas relaciones aproximadas deben emplearseúnicamente en casos en los que es imposible obtener valores más exactos de loslímites de fatiga, tanto en escritos como en laboratorio.

Con respecto a los aceros, hay que señalar también que, en ausencia de unvalor exacto del límite de rotura, se puede utilizar una relación empírica entre ladureza Brinell y Su. Esta se basa en la observación experimentación y viene dadapor:

Su (MPa) 3,45 Hs (5.14)

donde He es la dureza Brinell.

5.5 FACTORES QUE AFECTAN AL LÍMITE DE FATIGA

En general, los límites de fatiga (Se', Sse') de los materiales se determinanrealizando ensayos, en probetas normalizadas y pulidas, a temperatura ambiente,en medio no corrosivo, ete., es decir, en condiciones ideales.


Generalmente las piezas de máquina poseen cambios bruscos de sección;no están pulidas ni tienen las mismas dimensiones que las probetas. Además,raramente se emplean en condiciones tan ideales y soportan generalmente todotipo de carga.

Se pueden tener en cuenta diferentes coeficientes estableciendo, para laspiezas, límites de fatiga más bajos que los de las probetas.

La relación entre dos límites de fatiga puede expresarse por:

(5.15)

donde:

Se'= límite de fatiga de la probeta de ensayo MooreSe = límite de fatiga de la piezak, coeficiente de acabado de superficiek, = coeficiente de tamaño de la piezak, = coeficiente de fiabilidadkd = coeficente de temperaturak, coeficiente relativo a la concentración de tensionesk, = coeficiente de efectos diversos

Los coeficientes k, k, k, kd k, Y k, reducen habitualmente el límite de fatigade los materiales; sin embargo, determinadas condiciones de tensiones residualesy determinados tratamientos pueden aumentar este límite.

Se es el límite de fatiga admisible para una pieza que está sometida atensiones completamente invertidas de flexión. Se obtiene este valor efectuandoensayos normalizados. En los párrafos siguientes, se evaluarán los diferentescoeficientes considerados. Se resumirán los resultados de varios años deinvestigación sobre fatiga de materiales, campo de investigación muy activo aúnhoy. Para establecer el valor de cada uno de estos factores, ha sido preciso llevara cabo ensayo, en los que se cambiaba una sola variable, y comparar losresultados con los que se obtienen utilizando una muestra normalizada. Porejemplo, para determinar el efecto de la temperatura, los ensayos de Moore se hanrepetido a diferentes temperaturas y, comparando el límite de fatiga a temperaturaambiente con el límite obtenido a una temperatura T, se ha podido determinar laecuación (5.22).

5.5.1 INFLUENCIA DEL ACABADO DE SUPERFICIE

La influencia del acabado de superficie en el límite de fatiga de las piezases conocida desde hace mucho tiempo y ha sido objeto de abundantedocumentación. La superficie pulida de una probeta se puede tomar comoreferencia para determinar la influencia del acabado de superficie.


,------------------------------ ---------------------------------

(5.16)donde:

v = volumen de la pieza cargada al 95%, o más de la tensión máxima en elpunto deseado.

Va volumen de la probeta cargada al 95% o más de la tensión máxima.

Las dimensiones de la parte central de una probeta normalizada (ensayoMoore) se muestran en la figura 5.8a. Esta figura ilustra la distribución detensiones de flexión, así como la parte de la sección central de una probetacargada al menos al 95 % de la tensión máxima. El volumen aproximado de laprobeta cargada al 95 % de la tensión máxima (figura 5.8b) es:

21t x 7,6 x (12,7 x 0,191)2 2

Va :::::29 rnrn?

Emm~,a~ (a)

A: 251 mm

(b)

Figura 5.8 - Tensiones de flexión (ensayo Moore)

Las observaciones muestran que el límite de fatiga de una misma probetacon cargas axiales completamente invertidas es más bajo (alrededor del 15% paralos aceros) que el observado en el ensayo Moore. Además, el límite de fatiga, paraun momento de flexión completamente invertido sin haber hecho girar la probeta,es más elevado que en el ensayo Moore. Esto se explica por el hecho de que unvolumen cada vez menor de material está sometido a fuertes tensiones en estostres casos.


Si una pieza tiene una geometría exactamente similar a la de la figura 5.8a,y un diámetro central do de 50 mm, la relación VIVo sería entonces igual a[50/7,6]3 y k, = [5017,6]3 (-0,034) ::= 0,82.

Criterio de dimensión característica

Resultados experimentales sugieren que los factores siguientes se apliquena barras en torsión o en flexión:

10,850,75

para d ~ 7,6 mmpara 7,6 mm < d ~ 50 mmpara d > 50 mm

(5.17)

donde d es un diámetro o una dimensión característica.

La dimensión característica "d" corresponde a la altura de la viga en el casode secciones no circulares en flexión. Se pueden utilizar también los valores de k,cuando se trata de cargas en tracción completamente invertidas. A pesar de queen este tipo de carga las tensiones son constantes en toda la sección recta de lapieza, se ha observado experimentalmente, en las muestras ensayadas cerca dela parte central de la pieza, un límite de fatiga inferior al límite obtenido en lasmuestras ensayadas cerca de la superficie de la misma pieza.

En cuanto a las secciones no circulares en tracción, la dimensióncaracterística "d" corresponde a la menor dimensión de la sección recta.

5.5.3 INFLUENCIA DE LA FIABILIDAD k,

Con el fin de definir la fiabilidad de una pieza, supongamos que tenemos ungran número de muestras de esta misma pieza. A cada pieza, es posible asociaruna tensión a y una resistencia S. Pero como el muestreo es grande, hay unavariedad de resistencias y de tensiones (como habíamos establecido en el capítulo1). Si estos dos conjuntos se representan por distribuciones normales (figura 5.9),se puede calcular sus medianas S, a y sus desviaciones típicas (ÓS y óa)respectivas.

Aunque la resistencia media, en general, sea superior a la tensión media,existe sin embargo un cierto número de casos en que la resistencia es inferior ala tensión (figura 5.9, parte sombreada).

Cuando se quiere definir la fiabilidad de una serie de piezas, hay que definirla combinación de dos variaciones, que está representada por un valor medio (jJ),una desviación tipo (ó) y una variable normalizada (ZR) definidos como sigue:

(5.18)


s - a

¡o~+o~(5.19)

Si se emite la hipótesis de que S y a siguen una ley de distribución normal,la variable normalizada ZR será también normal. Se puede entonces definir lafiabilidad R de una serie de piezas por la siguiente relación:

R = 0,5 + Az (5.20)

donde Az es la superficie bajo la curva de distribución normal de la variable ZRcorrespondiente a la variación combinada.

Después del estudio de grandes series de piezas de acero, se ha establecidoque la desviación normalizada del límite de fatiga sobrepasa muy raramente el 8%.Esto significa que se puede obtener el límite de fatiga, correspondiente a unafiabilidad dada R, simplemente restando un número normalizado de desviacionesdel límite de fatiga medio. El factor de fiabilidad (k.) puede entonces expresarsepor la relación siguiente:

kc = 1 - 0,08 ZR (5.21 )

íñ«a::J1- Soa: IUJ io~«tízUJ,::J.ÜUJ.a:~LL a

RESISTENCIA

Figura 5.9- Distribución de resistencias y tensiones

La tabla 5.1 da la variable normalizada ZR correspondiente a las fiabilidadesR que son las más frecuentes en diseño, así como el coeficiente de fiabilidad k,obtenido por la aplicación de la relación (5.21 l.

Fiabilidad (R) Variable normalizada (ZR) Coeficiente de fiabilidad (kc)

0,500,900,950,990,9990,99990,999990,9999990,99999990,999999990,999999999

o1,2881,6452,3263,0913,7194,2654,7535,1995,6125,997

1,0000,8970,8680,8140,7530,7020,6590,6200,5840,5510,520


5.5.4 INFLUENCIA DE LA TEMPERATURA kd

Cuando una pieza está sometida a tensiones variables y a temperaturaselevadas, puede fallar por una rotura de fatiga o por una deformación excesiva. Lainfluencia de la temperatura varía de un material a otro; así¡ en lo que respecta alplomo¡ una temperatura de 25°C será elevada, mientras que será perfectamentenormal para fundiciones, aceros, aleaciones de aluminio y otros.

Por el contrario, cuando se trata de temperaturas por debajo de la normal¡ciertos materiales se vuelven muy sensibles a los efectos de corte; pueden sufrirroturas frágiles en condiciones de carga perfectamente aceptables a temperaturasnormales.

La deformación es un fenómeno que depende del tiempo. Cuando seprocede a un ensayo de fatiga, es normal que el límite de fatiga dependa delperiodo de un ciclo (o bien de la frecuencia a la que se aplican las cargas). Enefecto, a baja frecuencia y a temperatura elevada, la deformación tiene suimportancia y el límite de fatiga es más bajo que a alta frecuencia. A temperaturanormal, la frecuencia a la que se aplican las cargas no tiene influencia en el límitede fatiga (figura 5.10).

~-c:$uzUJ:--

"¡¡;UJX

NÚMERO DE CICWS-

Figura 5.10 - Influencia típica de la temperatura y de la frecuencia de cargaen la resistencia a la fatiga de los materiales.

(reproducido de "Some fatigue design requirements for future air and spacevehicles" por R.H. Christensen, WADC Tech. Report TR-59-507)

Si se trata de una frecuencia de aplicación constante, la temperatura tieneinfluencia necesariamente en los límites de fatiga y en los límites estáticos de losmateriales. Las figuras 5.11 y 5.12 expresan la influencia cuantitativa de latemperatura en estos límites, para un acero al cromo-molybdeno y para unaaleación de aluminio. Se ve en estos dos ejemplos que los límites de fatiga, engeneral, no decrecen tan rápidamente como los límites estáticos¡ cuando latemperatura aumenta. En cuanto a los aceros, se propone una fórmula empíricapara determinar el coeficiente de temperatura:


344 para T> 71De273 + T

kd = 1 para T s 71De

(5.22)

Cuando se trata de una operacron a alta temperatura, es deseable obtener elcoeficiente de temperatura kd realizando ensayos en laboratorio. El aspecto de lasfiguras 5.11 y 5.12 indica que podría ser necesario afectar los límites estáticos delmaterial considerado. 500

900FH [J300 i I I'-------l .ool------'o,<+----+----j

I l'70

200

I , I io <,~ i !I~TÁTICA Io --:-- I J ¡

i 1\ :,o

I I \o I I.......FATIGA~ !

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¡I

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••11.;; 3001----+--'1..---+-----....1

<tü"w,..'"¡¡j 2001----""""a:

••6011.

:¡;:; 50Ü

"~ 40<n¡¡¡~ 30

100

100 200 300 400 ,00 oca 7,0 100 200 300

TEMPERATURA 'C

Figura 5.11 Influencia de latemperatura en las resistencias de unacero al cromo-molybdeno.

TEMPERATURA "C

Figura 5.12 Influencia de latemperatura en las resistencias deuna aleación de aluminio.

(sacadas de "Metal Fatigue" editado por G.Sines and J.L. Waisman, 1959, p.234-235, con la autorización de G. Sines)

5.5.5 CONCENTRACiÓN DE TENSIONES DE FATIGA ke

Como ya se ha visto, cuando se someten materiales dúctiles a cargasestáticas, no se tiene en cuenta generalmente el efecto de los cambios bruscos desección en el cálculo de las dimensiones de una pieza. Para una pieza sometida acargas variables, es necesario tener en cuenta siempre el efecto de los cambiosbruscos de sección. En fatiga, la rotura es el resultado por lo general de una fisuraque ha nacido en un punto en el que existe una concentración de tensiones.

El coeficiente de concentración de tensiones de fatiga (Kf) viene definidopor la relación:

límite de fatiga sin concentraczonK¡ =

límite de fatiga con concentración

(5.23)


El coeficiente de fatiga depende de la geometría de la pieza, del modo decarga y del material. Los coeficientes de fatiga no están siempre disponibles, peropueden calcularse mediante la fórmula:

k = 1e K¡

K¡ = q ( x, - 1) + 1

donde:K¡ = coeficiente de concentración de fatigaK, :::: coeficiente teórico de concentración de tensionesq ::::índice de sensibilidad a efectos de corte

(5.24)

El coeficiente teórico K, está en función de la geometría y del modo decarga, mientras que el índice de sensibilidad a los efectos de corte está en funcióndel material y del radio mínimo de corte (cambio de sección). Las figuras 5.13 y5.14 indican el valor q, relativo a los aceros y a las aleaciones de aluminio.

OL-L-O~.5~-lJ.0~~1.~5-L-2~.0-L~2~.5~~3.~0~~3~.5-L~4.0

RADIO DE CORTE t , mm

Figura 5.1.3 - índice de sensibilidad qrelativa a la flexión o a la carga axial.

(sacada de "Metal Fatigue" editadopor G.Sines and J.L. Waisman, p.298, McGraw-Hill Book Co. 1959,con la autorización de G. Sines)

C<tC:::¡¡¡¡zw<nwowUo~

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.5 4.0RADIO DE CORTE t, mm

Figura 5.14 - índice de sensibilidad qrelativo a la torsión.

(sacada de "Mechanical EngineeringDesign" por J. E. Shigley, 3a edición,1977, fig. 5-20, p. 195, con laautorización de McGraw-Hill BookCo.)

La ecuación (5.24) muestra que, cuando q :::: 1, K¡ :::: Ku Y que, cuando q= 0, K¡ = 1. Cuando el radio de corte es grande (r > 5 mm), que tiende a 1, Yel valor del coeficiente de fatiga tiende hacia el del coeficiente teórico.

La fundición es poco sensible a los cambios de sección, incluso en fatiga.Para una fundición de alta resistencia, K¡ :::::1,25. Para los materiales frágiles, seutiliza también el coeficiente K¡ con el fin de reducir la resistencia estática delmaterial en el diagrama S-N.


Cuando hay varios cambios de geometría (tales como diámetros diferentes,muescas, ranuras de chavetero, agujeros, etc.) en una misma sección o en zonasmuy próximas, el coeficiente de concentración de tensiones .de fatiga se evalúateniendo en cuenta la influencia de cada caso por separado y eligiendo un valorque representará la peor situación en esta sección. Bien entendido que el diseñadordebe evitar este tipo de geometría.

Sin embargo, por lo que respecta a piezas de acero en las que varioscambios bruscos de sección influyen en las tensiones en un punto dado, se puedeemplear por lo general el valor de K, = 3; un valor K, = 4 representaría en esecaso un máximo probable.

5.5.6 OTRAS INFLUENCIAS k,

La resistencia a la fatiga de los materiales puede estar afectada por otrosfactores. Si bien el límite de fatiga de los materiales puede verse aumentado porciertos tratamientos y procedimientos, puede también verse disminuido en ciertascondiciones. No consiste en tratar aquí de forma exhaustiva todos los factoressecundarios que afectan a las características de fatiga. Conviene, sin embargo,enumerarlos y abordar algunos de ellos con el fin de "amar la atención sobre suexistencia y su influencia.

Tratamientos térmicos de los aceros

Hemos visto en el apartado 5.4 que el límite de fatiga de los aceros era,hasta cierto punto, directamente proporcional al límite de rotura. Estando el límitede rotura en función de los tratamientos térmicos sufridos por el material, esevidente que éstos afectan directamente al límite de fatiga de ese mismo material.

Tensiones residuales

Las roturas por fatiga se producen siempre que hay progresión de una fisuraen la pieza (ver apartado 5.1 l. La progresión se realiza cuando tensiones detracción actúan en el extremo de la fisura; sin embargo, tensiones de compresióntienden a cerrar la fisura y a frenar su progresión. Puesto que las tensionesinducidas por las carga se suman algebraicamente a las tensiones residuales, esventajoso tener tensiones residuales de compresión en las capas situadas cercade la superficie.

Las tensiones residuales pueden ser debidas a los tratamientos térmicos,a la fabricación, a la confección, a la soldadura, a deformaciones plásticaslocalizadas o a tratamientos de superficie como el granulado, e! martilleolocalizado, etc.

Los tratamientos térmicos pueden reducir o producir, según los casos,tensiones residuales. La diferencia entre el porcentaje de enfriamiento de lasuperficie y el del núcleo de las piezas después del temple constituye la principalcausa de tensiones residuales; para los aceros, se trata de tensiones de tracciónen superficie y de compresión en profundidad. Para reducir estas tensionesresiduales indeseables en superfie, se impone un tratamiento después del temple.


Puede ser difícil y costoso evaluar cuantitativamente las tensionesresiduales después de un tratamiento térmico o un procedimiento de fabricación.A veces resulta útil someter a la pieza a un tratamiento de temple o de recocido,incluso si se trata a continuación la superficie mecánicamente de tal modo que seinduzcan tensiones residuales de compresión.

Estas tensiones de compresión son inducidas cerca de la superficie por unafluencia localizada; son debidas a una sobrecarga en la pieza, un batido en frío, unmartilleo, un graneado, un laminado de superficie u otro procedimiento semejante.El tratamiento de graneado se utiliza frecuentemente para aumentar el límite defatiga de los muelles helicoidales.

Temples de superficie y nitruración

Partiendo de que las tensiones inducidas son por lo general máximas ensuperficie, es favorable que la resistencia a la fatiga sea mayor en superficie queen profundidad. Este objetivo se alcanza por la nitruración y los temples desuperficie. Los temples de superficie aseguran una mayor dureza en superficie queen profundidad y proporcionan, pues, una mejor resistencia a la fatiga ensuperficie. Estos tratamientos no aseguran solamente una alta resistencia ensuperficie; ofrecen una ventaja más importante aún, la de las grandes tensionesresiduales de compresión que no dejan nunca de provocar.

Corrosión y revestimiento de superficie

La corrosión tiene un efecto desastroso en la resistencia a la fatiga de losmetales y principalmente la de los aceros. Así, una pieza de acero sumergida enagua salada durante alrededor de cuarenta días, posee un límite de fatiga igual asolamente el 25 % del que tendría al aire libre.

Hay dos maneras de reducir o eliminar el efecto de la corrosron en unapieza sometida a fatiga: eliminar el medio corrosivo o proteger el material contrala corrosión. En este último caso, se obtiene la protección deseada aplicando unrevestimiento anticorrosivo (chapado de cromo, níquel, plata; estaño, plomo, zinc,cobre o cadmio) o incluso un revestimiento de acero inoxidable. Determinadoschapados (de níquel o de cromo concretamente) reducen sin embargo laresistencia a la fatiga de aceros en medios normales. A veces, la ventaja quepresentan tales revestimientos anticorrosivos es superior por lo general a losinconvenientes que comportan (principalmente el que concierne a la reducción de

. resistencia).

La corrosión por rozamiento se produce cuando hay un movimiento relativoentre dos piezas ensambladas con interferencia o presionadas una contra otra.Intencionado o no, este movimiento relativo produce un desgaste en la superficiede contacto. En fatiga, este desgaste se traduce por una disminución de laresistencia de la pieza (figura 5.15). El efecto de la presión de contacto entre laspiezas se representa en la figura 5.16.


-;;o..~ 280«U 210Zw>-i:2 140'"wcr 70

~ ••••_--.-.;S::::IN.:...;R~O:=ZA:.;;,M~IE;;;.;NT__O~

CON ROZAMIENTO

3,-;;

~ 250«U 225~ti 150~a: 75

lO' la' lO' la' 10'NÚMERO DE CICLOS

O 150 300 450 600

PRESIÓN DE CONTACTO MPa

Figura 5.1 5 - Efecto del rozamientoen un acero forjado (sacado de "BasicCourse in Failure Analysis, Lesson 8:Frettage, Cavitation and Corrosion"por Charles Lipson, Machine Design,Enero 22, 1970, p. 153 con laautorización de Machine Design)

Figura 5.1 6 - Efecto de la presión decontacto (sacado de "Basic Course inFailure Analysis, Lesson 8: Frettage,Cavitation and Corrosion" por CharlesLipson, Machine Design, Enero 22,1970, p. 153 con la autorización deMachine Design)

Existen varios modos de reducir el efecto de la corrosión por rozamiento.Se puede recurrir a lubricantes líquidos, o preferiblemente sólidos, y a tensionesresiduales de compresión; se puede también fortalecer las superficies de contactopor martilleo, graneado, temple superficial o incluso insertar un material elástico(caucho) entre las dos piezas en contacto de manera que rectifique el movimientorelativo entre las piezas.

5.5.7 CONSIDERACIONES SOBRE LOS FACTORES QUE AFECTAN AL LÍMITE DEFATIGA

Algunos factores mencionados anteriormente afectan a los límites estáticosademás de afectar al límite de fatiga de los materia/es.

Por ejemplo, el acabado de superficie y la corrosión son propiedades de lasuperficie que no afectan prácticamente al límite de rotura Su' Por el contrario, eltamaño de la pieza, su temperatura, el tratamiento térmico que sufre y lastensiones residuales que le son inducidas son factores que, además de modificarel límite de fatiga de un material, tienen influencia sobre el límite de rotura.

Puesto que la resistencia a la fatiga (St) de una pieza está en función déllímite de fatiga (Se) Y del límite de rotura (Su) (ver figura 5.6), es importanteconsiderar todos los factores que afectan a SeY Su antes de determinar St. Lafigura 5.17 ilustra claramente, para los aceros, la influencia de diferentes factoresen la determinación de St.


Log S

lO' 10' NilO' 10' Log N

Figura 5.17 - Efecto de diversos factores en el límite de fatiga

5.6 RESISTENCIA A LA FATIGA TENSIONES NO INVERTIDASCOMPLETAMENTE - DIAGRAMA DE GOODMAN

Los factores que afectan al límite de fatiga de un material son conocidos.Sin embargo, es preciso recordar que el valor obtenido se basa en los ensayos deMoore y se aplica únicamente a tensiones axiales completamente invertidas. Lascargas que soportan los elementos de máquina son por lo general variables en eltiempo (ver ejemplo en la figura 5.18).

a,

TIEMPO

Figura 5.18 - Carga variable enel tiempo

Figura 5.19 - Diagrama de Goodmanmodificado

Se puede representar esta tensión variable por una tensión media (om) a la que sesuperpone una tensión completamente invertida (oa)' Se definen por:

(5.25)


f

En el límite, si a¿ = O, la tensión es completamente invertida; se sigueentonces que la resistencia permitida es la misma que la del límite de fatiga. Si porel contrario a, = O, la tensión es estática y está limitada por la resistencia defluencia. Si o; yz!:. O Y am;:é O, es preciso recurrir a la teoría de límites deldiagrama de Goodman modificado.

5.6.1 DIAGRAMA DE GOODMAN MODIFICADO

El diagrama de Goodman modificado se reproduce en la figura 5.19. El ejehorizontal es el lugar geométrico de los puntos en que la tensión totalmenteinvertida es nula, llamado también eje de fatiga. El punto B representa un estadode tensiones en una pieza. La línea inclinada afo¿ se llama línea de carga.

Ahora si a, = O (aa/um = O), la línea de carga se confunde con el ejehorizontal, y el valor límite permitido es o bien la resistencia de fluencia Sy, bienla resistencia a la rotura Su, según el criterio elegido. Si um = O, la tensión escompletamente invertida, por tanto limitada por el límite de fatiga Se para vidainfinita o S, para vida finita.

El diagrama se construye, pues, sumando Se (o Sf) a SU!para una tensiónmedia positiva. Además, como la tensión máxima debe limitarse a la fluencia, eldiagrama se limita a Sy, por una recta a 450, Cuando la tensión media es encompresión (um < O), las observaciones demuestran que ésta no tiene influenciaen el valor de la resistencia a la fatiga. Por consiguiente, el diagrama se reduce auna recta horizontal que pasa por Se (o Sf) y una recta de 45° que corta los dosejes a una distancia Sy del origen (ver figura 5.19)

El diagrama de Goodman modificado permite determinar la resistencia deuna pieza de máquina que sufre tensiones no totalmente invertidas. Se obtieneesta resistencia calculando el punto de encuentro A (Sm' Sal de la línea de cargacon la línea del criterio de Goodman. El coeficiente de seguridad CS a la fatiga estáentonces representado por:

Sa Smes =

(5.26)La resistencia a la fatiga y el coeficiente de seguridad pueden determinarse

también gráficamente trazando el diagrama y la línea de carga en pendiente aa/amoExisten otros diagramas además del de Goodman: la figura 5.20 muestra algunos.Se trata de los diagramas de Soderberg y de Gerber. Comparativamente aldiagrama de Goodman, el de Soderberg es más seguro, y el de Gerber, máspreciso. Sin embargo, el diagrama de Gerber no se utiliza mucho en la práctica.

5.6.2 DIAGRAMA DE FATIGA RELATIVO A UN MATERIAL DÚCTIL EN TORSiÓNPURA

Entre las teorías de límites estáticos, la teoría de la tensión de cizallamientomáxima predecía la resistencia de fluencia en cizallamiento en:


(5.27)

y la teoría de la energía de distorsión en:

(5.28)

La experiencia demuestra que estas dos teorías predicen bastante bien ellímite de fatiga en cizallamiento puro, cuando el límite de fatiga en tensión Se esconocido. Se tiene, pues:

Sse 0,5 Se [cizallamiento máximo (Tresca)] (5.29)

Sse = 0,577 Se (energía de distorsión) (5.30)

Por lo que respecta a una tensión de torsión no completamente invertida,se puede obtener Tm Y Ta por analogía con la ecuación (5.25). Las resistenciascorrespondientes son la resistencia de fluencia en torsión SSy' la resistencia a larotura en torsión Ssu y el límite de fatiga en torsión Sse'

o.L/NEA DE SODERBERG

LiNEA DE GOODMAN,MODIFICADAr LiNEA DE GERBE~

-c .........•.....•~....••...............•.......

................c-,......•.•...........~ ..

S.:'· -. A¡'IS¡'S:':íNEJ DE CARGA _

"' TíPICAS

A (S ••• s.'l' "' 1S,,~--.:~- ...•...

ou Ssf

s,

~~ ~ ~tm

Figura 5.20 - Criterios de rotura porfatiga

Figura 5.21 - Criterio de rotura porfatiga en torsión pura variable

La experiencia demuestra que la tensión media no influye sobre el límite defatiga en torsión (figura 5.21). Así, según la pendiente de la línea de carga, laresistencia de la pieza será limitada bien por la línea horizontal de fatiga, bien porla línea oblicua a la fluencia. El coeficiente de seguridad es para este modo decarga será el mínimo de la expresiones siguientes:

es = Sa s;=

ta ta

(5.31 )

SI Ssy Ssyes a

't"a tmáx 't"a + tm


5.7 CÚMULO DE DAÑOS

Todos los casos estudiados en las secciones anteriores tratan tensiones,totalmente invertidas o no, cuya amplitud permanece constante durante toda lavida de uso. Sin embargo, ocurre con frecuencia que piezas de máquinas estánsometidas a tensiones variables de amplitudes variables.

En otras palabras, en lugar de considerar una tensión totalmente invertidaa durante n ciclos, se considera que la pieza está sometida a a, durante n, ciclos,y así sucesivamente. En estas condiciones, se puede plantear de nuevo elproblema de estimación de la resistencia a la fatiga o, si la vida es infinita, delcoeficiente de seguridad que se deriva de ello.

El cúmulo de daños es objeto aún de muchas investigaciones. Hay sinembargo dos métodos que se emplean con frecuencia para estudiar el cúmulo dedaños relativo a tensiones totalmente invertidas:

(i) la ley de Miner;(ii) el método Manson modificado

Para tensiones no totalmente invertidas, se monstrará la manera en que laley de Miner puede incorporarse al análisis.

5.7.1 LEY DE MINER

La ley de Miner es el método más utilizado, porque es fácil de emplear.

Supongamos que, para cada ciclo de aplicación de una tensión totalmenteinvertida a" se acumula un daño 1IN¡, donde N¡ es la vida de la pieza relativa a unaresistencia a la fatiga SI¡ = o; Para n, aplicaciones de la tensión o; el daño portanto será n/Ni'

Para un espectro de tensiones a" a2 ••. Oí aplicadas respectivamente n" n2

nj veces, el cúmulo de daños es:

jL

ni

1 Ni(5.32)

y la rotura se produce cuando se alcanza la unidad, es decir:

j niL --= 1 Ni

(5.33)

La suma

jn = L ni= 1

(5.34)


representa la vida total de la pieza expresada en número de ciclos. Normalmenteno se conoce n, ni ni' sino la relación n;ln para i = 1, 2 ... j

Sea

nii = 1, 2..J

n

(5.35)Se puede expresar la vida total en función de a¡ utilizando (5.35) en (5.33)

n =jL ( ~;)=

(5.36)Se obtiene por la ecuacion (5.10) la vida N; de la pieza en función de unaresistencia a la fatiga S1¡= a¡.

3

:=: 1, 2 ... j

(5.37)y la vida total n se deduce introduciendo estos valores en (5.36).

La ley de Miner puede aplicarse gráficamente en un diagrama lag S - lag N.En la figura 5.22 se nota que el daño causado por ni ciclos de aplicación de latensión de amplitud o¡ puede representarse por una traslación horizontal[lag N¡ - lag (N¡ - ni)] a la izquierda de la línea de fatiga.

A pesar de que la ley de Miner es muy utilizada, tiene dos defectosimportantes. En primer lugar, predice una disminución de la resistencia a la roturaestática Sutdebido a la aplicación de una carga alterna, lo que no está verificadoexperimentalmente. Además, no tiene en cuenta en orden en el que se aplican lastensiones e ignora así todas las tensiones inferiores a Seo de partida.

10· Lag N

a,---TIIIIIIIII

'"¡ : 1, , I

III, l',,,, I I

Seo ---{-[-~------

1 ¡ tnI: I lN¡Se I --i-.L-L.....-_____ --

io ' ha' 10'(N; - n;)

Log S Lag S

a, --,.IIIIIIIIIIII

""':III I I

Se" -+f-~----------1 : I1 I f

n.' 1 INI

NUEVA CURVA DE ROTURA ENFATIGA DESPUÉS DEL DAÑO n,

0.9 Su,0,9 Su.

10' (N; - n,)Lag N

Figura 5.22 - Representación de laley de .Miner

Figura 5.23 - Utilización del métodode Manson modificado


5.7.3 CÚMULO DE DAÑOS EN PRESENCIA DE TENSIONES NO TOTALMENTEINVERTIDAS

Supongamos que, a un nivel i, se tiene ami y aa¡. Para encontrar N¡ (es decir,el número de ciclos necesario para causar la rotura en este nivel). se debe obtener,para un coeficiente de seguridad es sirviéndose del diagrama de Goodman, latensión alternativa equivalente para el nivel i. Este valor equivalente aequ¡= SI/CSes la intersección del eje de las a; y de la recta.que pasa por (SJCS,Ol y (ami' aai).Utilizando los triángulos semejantes, se puede determinar el límite de fatiga Sf¡

(CS) 0ai

(CS) ami1 -Su

(5.38)que puede entonces ser introducido en el diagrama log S - Sog N para obtener N¡.Se puede también calcular N¡ utilizando la ecuación (5.37) para el nivel detensiones SI¡. Se trata a continuación de aplicar la ley de Miner tal como la hemosvisto en el apartado 5.7.1 .

5.8 RESISTENCIA A LA FATIGA - TENSIONES COMBINADAS VARIABLES

A menudo las piezas de máquina están sometidas a tensiones biaxiales otriaxiales variables. Por ejemplo, un árbol en rotación sometido a un par constanteya una carga de flexión estacionaria. En el caso más general de un estado biaxial,las tensiones normales o; y ay, así como la tensión de cizallamiento Txy puedentener componentes medias (axm' uym Txyml Y totalmente invertidas (axa' aya Txya)·

La experiencia ha demostrado que una extensión a la fatiga de la teoría delímites basada en la energía de distorsión daba buenos resultados. Se definen,pues, las tensiones medias y las tensiones de amplitud de von Mises por lasrelaciones:

IJO;m -

2+ 3 2°m °xmOym + °ym 'txym

(5.39)

/ Jo~ 2+ 3 2°a °xaOya + aya 1:xya

Las tensiones el m y el a están inscritas en el diagrama de Goodmanmodificado (figura 5.19) Y el coeficiente de seguridad se calcula con laintersección de la línea Se - Su. Esta aproximación es muy segura. Para la fluencia,el coeficiente de seguridad viene siempre dado por: CS = Sy/a'max :=::: Sy/a'a + a'm'


CAPíTULO 6. ÁRBOLES

6.1 INTRODUCCiÓN

Un árbol es una pieza rotativa, normalmente de seccron circular, quesoporta por lo general engranajes, poleas, ruedas, manivelas, piñon es de cadenau otros elementos que transmiten un movimiento o un par.

El árbol es uno de los elementos de máquina utilizados con mayorfrecuencia. Su función es múltiple: en general, sirve para transmitir un par de unaparte a otra de la máquina, pero también puede servir para asegurar la posición deun elemento con relación a otro. Por su geometría y por sus funciones, un árbolpuede recibir diferentes nombres:

• árbol de transmisión - transmite un par motor a una máquina o a unelemento de máquina.

• árbol de reenvío - soporta elementos de máquina (engranajes,poleas, etc.) y transmite un par entre cada elemento.

• eje - árbol estacionario o rotativo que no transmite par, es decir, quesirve para el posicionamiento.

Según el papel que desempeñe, el árbol está sometido a tensiones deflexión, a tensiones de torsión o a una carga compleja de torsión, flexión y cargaaxial.

Un árbol se concibe considerando uno de los tres criterios siguientes oincluso -los tres a la vez: la resistencia, la rigidez y la velocidad crítica. El criterioelegido depende de la geometría y de las especificaciones impuestas por la funcióneventual del árbol. Por ejemplo, se debería calcular un árbol de turbina de gas demanera que resista las cargas y que funcione sin vibraciones. Por el contrario, sedebería verificar la rigidez (flecha) de un árbol que soporte engranajes de granprecisión con el fin de asegurar el funcionamiento adecuado de los engranajes.

Figura 6.1 - Árbol de reenvío

Árboles 61

6.1.1 MONTAJE DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS EN ÁRBOLES

Cuando se concibe un árbol, el objetivo perseguido, cualquiera que sea elcriterio elegido, consistirá siempre en tratar de obtener la construcción máseconómica posible y más segura. En otras palabras, se tratará de obtener el árbolque tenga el menor diámetro posible. Cualesquiera que sean los datos que hanservido de base para el cálculo (resistencia, rigidez o velocidad crítica),el diámetro del árbol está fuertemente influenciado por la distribución demomentos de flexión. Con el objeto de reducir lo más posible estos momentos, esprovechoso instalar los elementos de transmisión lo más cerca posible de lossoportes del árbol. La figura 6.2 ilustra dos montajes en los que uno es muchomás preferible que el otro.

Ciertos tipos de elementos de transmisión, los embragues y los frenos detambor por ejemplo, no producen o producen poca flexión en los árboles. Sulocalización con relación a los soportes no reviste, por tanto, una importanciaprimordial.

Los árboles se posicionan transversal y axialmente por medio de cojineteso rodamientos. Hay que destacar: varios elementos de transmisión (embragues,engranajes helicoidales, engranajes cónicos, etc.), así como las dilatacionestérmicas, producen cargas axiales que pueden ser muy importantes endeterminados casos. Deben estar previstos topes para corregir estas cargas.Incluso cuando teóricamente el árbol no está sometido a cargas axiales (como serepresenta en la figura 6.2), es necesario generalmente prevenir la fluctuación delárbol en la dirección axial.

la) BUEN MONTAJE

t POLEA

ENGRANAJESOPORTE

lb) MAL MONTAJE

Figura 6.2 - Comparación entre dos montajes de un engranajeyde una polea en un árbol.

Arboles 62

6.1.2 ACEROS PARA FABRICACiÓN DE ÁRBOLES

En general, aceros ordinarios al carbono, laminados en caliente, se utilizanen la fabricación de árboles de transmisión y de árboles que no necesitancaracterísticas de resistencia particulares (su porcentaje de carbono varía de 0,15a 0,30%). Los árboles de máquina sometidos a cargas variables y los árboles quegiran a alta velocidad necesitan aceros de gran resistencia que pueden sufrirtratamientos térmicos (generalmente 0,35 a 0,55% de carbono); Un diseñadordeberá consultar las normas o cualquier otra fuente pertinente con el fin deobtener informaciones apropiadas.

Es importante señalar que la rigidez (de flexión o de torsión) de un árbol esdirectamente proporcional al producto del módulo elástico del material (E o G) ydel momento de inercia de la sección (lo J). Puesto que los módulos de elasticidadson prácticamente los mismos para todos los aceros, el aumento de la rigidez deun árbol de acero conlleva necesariamente el aumento de su diámetro. Dicho deotro modo, el acero más resistente prácticamente no es más rígido que el aceromenos resistente.

Para cumplir ciertas funciones particulares, los árboles pueden fabricarsecon otros materiales distintos a los aceros: aleaciones de aluminio o de titanio,materias plásticas reforzadas con fibras, aleaciones de cobre,

6.2 CRITERIOS DE RESISTENCIA

Existen varios métodos para calcular el diámetro de un árbol o para verificarla resistencia de un árbol con un diámetro elegido. Los tres métodos que veremosson seguros y su grado de exactitud está en función de los factores considerados.No obstante, estos tres métodos no dan necesariamente resultados idénticos.

6.2.1 PROCEDIMIENTO A SEGUIR

Cualquiera que sea el método de cálculo ernpleado.. el procedimiento aseguir para resolver un problema es sensiblemente el mismo. He aquí lasprincipales etapas:

• calcular las reacciones en los planos vertical y horizontal;• determinar la distribución de los pares de torsión;• determinar la distribución de los momentos de flexión;

a) en el plano vertical M,b) en el plano horizontal M,

• calcular el momento resultante M:

(6.1)

Árboles 63

• determinar la distribución de cargas axiales;• determinar la sección crítica• calcular el diámetro necesario para resistir a las cargas de la sección

crítica,overificar la seguridad de la sección crítica (si el diámetro es conocidoen este lugar).

6.2.2 CÓDIGO ASME

El método del código ASME es sencillo. Es una herramienta muy útil parala concepción, ya que permite evaluar rápidamente el diámetro de los árbolesutilizando una teoría de límite estático basado en el cizallamiento máximo. Elcódigo ASME define la tensión admisible como la más pequeña de los dos valoresiguientes:

(6.2)

1,0 sin concentración de tensiones,donde b

0,75 con concentración de tensiones.

El valor S, puede ser reducido del 25% si la falla del árbol es susceptiblede desencadenar consecuencias catastróficas.

El cálculo de la tensión máxima de cizallamiento basada en el círculo deMohr se hace con la fórmula siguiente:

donde: (6.3)T = tensión máxima de cizallamientod = diámetro del árbolCm' C, = coeficientes de carga (tabla 6.1),M = momento de flexión resultante máximoT = par de torsión máximo

y d, M Y T están en la sección considerada.

Las ecuaciones (6.2) y (6.3) pueden combinarse para dar una ecuaciónutilizada en concepción:

d = { ~,1 ( (Cm M)2 + (Ct

7)2 )1/2 }1/3p

(6.4)

Arboles 64

El coeficiente de seguridad está incluido explícitamente en el cálculo Sp'Sinembargo, el valor de Sp puede reducirse para tener en cuenta circunstanciasespeciales.

Tabla 6.1 - Factores de carga del código AS ME

Carga

Árbol estacionario

Carga aplicada lentamente

Carga aplicada rápidamente

Árbol de transmisión o de reenvío

1,0

1,5 - 2,0

1,0

1,5 - 2,0

Carga constante o aplicada lentamente

Choques menores

Choques mayores

1,5

1,5 - 2,0

2,0 - 3,0

1,0

1,0-1,5

1,5 - 3,0

6.2.3 TEORíA DEL CIZALLAMIENTO MÁXIMO (código Westinghousel

En su funcionamiento más frecuente, el árbol está sometido a tensionesvariables en el tiempo. Pongamos el caso en que las cargas producen un momentode flexión M y un par de torsión T constantes. Incluso si M es constante, latensión a.la fibra exterior hará un ciclo completo tensión-compresión en cada girodel árbol. Por el contrario, la tensión de cizallamiento debida a la torsión se vuelveconstante si T es constante.

El método de cálculo propuesto en este apartado tiene en cuenta este tipode carga. Se basa en la teoría del cizallamiento máximo y el diagrama deSoderberg.

La figura 6.3(a) representa las tensiones que actúan sobre un elemento dela superficie de un árbol que gira a la velocidad w (rd/s) y sometido a momentosde flexión y de torsión constantes. Supongamos que un plano P-Q corta el vérticeinferior derecho del elemento. El ángulo a entre el plano P-Q y el plano horizontaldefine un elemento triangular.

Para poder aplicar la teoría de la tensión de cizallamiento máximo, esnecesario determinar la orientación (a) del plano a lo largo del cual la tensión Ta

será máxima. .

Árboles 65

•

IY /p

~¿\.. Q/

(a) (b)

Figura 6.3 - (a) Elemento de superficie de un árbol con una tensión decizallamiento Txy constante y una tensión normal o; alterna.

(b) Elemento cortado por el ángulo a

Para ello, se escribe la ecuación de equilibrio de las fuerzas que actúansobre el elemento triangular en la dirección paralela a P-Q (ver figura 6.3(b):

o

donde: (6.5)

1"", = 1"xy (cos" a -sen2 a) - 0x sen a COS a

Si se sustituye Txy Y (Jx por sus valores en función de los momentosaplicados, se obtiene:

1" = 16T COS 2a - 16M sen 2a cos cota. 1td3 1td3

(6.6)Dicho de otro modo, en un plano que hace un ángulo a con la horizontal,

la tensión de cizallamiento tiene una componente media:

16T1" = -- cos 2a

am 1td3

(6.7)y una componente alterna de amplitud:

16M1" = -- sen 2a

a.a 1td3

(6.8)

Arboles 66

La figura 6.4 representa el diagrama Soderberg en cizallamiento. Se resaltaque el conjunto (T orn/ Taa) se encuentra en un cuarto de la elipse de semiejes(16T/TTd3) y (16MITTd3).

r ea

LÍNEA DE SODERBERGs~

LÍNEA DE SEGURIDAD

Ssu "cm

Figura 6.4 - Diagrama de Soderberg que muestra la línea de seguridad ASparalela a la línea de Soderberg y tangente a la elipse.

La tensión de cizallamiento máxima puede entonces ser determinada en elpunto de contacto de la tangente a la elipse, paralela a la línea Soderberg.Utilizando la geometría analítica, se puede demostrar que la ecuación de estatangente se escribe:

"C'",m +

(6.9)Se puede entonces deducir el coeficiente de seguridad es, utilizando los

triángulos semejantes (figura 6.4), siendo Sse/OA. De donde:

1td3es =

(6.10)Para concebir un árbol, se aisla "d" de la ecuación (6.10) y, sustituyendo

s; por 0,5 s, y s; por 0,5 Se' se obtiene:

(6.11 )El límite de fatiga Sese calcula empleando el método del que se ha hablado

en su capítulo. Este método tiene en cuenta el acabado de superficie, el tamño delárbol, la fiabilidad deseada, las concentraciones de tensiones y otros efectos.

La ecuación (6.11) puede generalizarse para tener en cuenta un momentoy un par variables en el tiempo. Su expresión general será entonces:

Árboles 67

(6.12)Ta Y M, son, respectivamente, el par y el momento que contribuyen a la tensiónvariable. Tm y Mmson, respectivamente, el par y el momento que contribuyen a latensión estática. La ecuación (6.12), llamada "fórmula del código Westinghouse",puede también expresarse en función de las tensiones:

es = 1 _

(6.13)

6.2.4 TEORíA DE VaN MISES-HENCKY

Esta aproximación utiliza la teoría de van Mises que hemos vistoanteriormente. Se basa en la energía máxima de distorsión y en el diagrama deGoodman modificado.

Tomemos un árbol en rotación sometido a:

• tensiones de flexión variables causadas por un momento constante.• tensiones de cizallamiento variables causadas por un par variable.• tensiones uniaxiales provenientes de una carga axial constante.

Utilizando las tensiones de van Mises definidas en la ecuación (5.39),tenemos en ese caso:

(6.14)

'txya

(6.15)

Arboles 68

c----------------------~----------------

°xm = 't'xym

(6.16)donde:

M = momento de flexión constanteT, = amplitud de la parte alterna del par aplicadoTm = parte media del par aplicadoF = fuerza axial constante

Trasladando los valores hallados a las ecuaciones (6.15) Y (6.16) a laecuación (6.14), se obtiene:

(6.17)

+ ~ (T)24 In

La resistencia del material utilizado S, o Sm se calcula usando el diagramaGoodman modificado en el que el valor a'a/am se calcula tomando los resultadosde la ecuación (6.17).

El coeficiente de seguridad es obtenido por

(6.18)Puede ser útil obtener una solución empleando un método algebraico

únicamente. Para ello, podemos expresar el límite Se - Su del diagrama deGoodman por la relación:

SeS =-S +Sa S m e

u

(6.19)Introduciendo (6.18) en (6.19), se obtiene:

Árboles 69

SmSu

/

1Su cra

+ -Se /crm

(6.20)Comparando la tensión media a la resistencia Sm(6.20), es posible obtener

el coeficiente de seguridad CS por una de estas dos ecuaciones:

(6.21)

=

Sustituyendo en la ecuación (6.21) los valores de a' a a' mhallados en (6.1 7),se obtiene finalmente:

es = __ -;::::========1t==d:-3_-;:::=========-

(~}2 + !(T.)2 ~ M2+ !(TY

32 [--'------ + ]Su Se

(6.22)

Estas ecuaciones se utilizan cuando se está limitado por la línea de fatigaSe - Sut. Si la limitación proviene de la línea de fluencia S, - Sy, procediendo demanera similar se podrá desarrollar la nueva ecuación que expresa el coeficientede seguridad.

6.3 MONTAJES

La utilización más frecuente de los árboles de máquina es la de transmitirpares. La transmisión de pares se hace por medio de elementos tales comoengranajes, poleas, levas y demás. Todos estos elementos deben estar montadossobre el árbol (es decir, fijados definitivamente al árbol), o desplazarse en unadirección axial únicamente impidiendo cualquier rotación relativa con referencia alárbol. Existen varios tipos de montajes. Los_más utilizados: el montaje conchavetas, con canaladuras y el de uniones a presión.

Arboles 70

, If---. ------=L=---_.I 1,

Figura 6.5 - Modelo de dos poleas montadas en un árbol soportado sencillamente

6.3.1 MONTAJE CON CHAVETA

La chaveta se utiliza entre un árbol y un elemento de máquina (polea,engranajes, etc.) y permite transmitir un par. Es un medio cómodo y económicodestinado sobre todo a los montajes que giran a baja velocidad, cuando se debemontar y desmontar con frecuencia el elemento del árbol.

En general, el montaje con chaveta va acompañado de un serrado ligero (esdecir, que el alisado es ligeramente inferior al diámetro del árbol) para evitar laexcentricidad y la holgura en rotación.

Se distinguen tres tipos principales de chavetas (figura 6.6)

-ti-éI

I

(a) (b)PENDIENTE 1:96ewr- ¡ J

w

a5I

------+

8'C7

Figura 6.6 - Diferentes tipos de chavetas: a) paralela cuadrada;b) inclinada con talón, etc .. c) Woodruff

(e)

Árboles 71

Existen normas sobre dimensiones de las chavetas (por ejemplo, ACNOR8232-1972), Y conviene consultarlas si se desea conseguir informaciones másamplias.

En la práctica, se elige una chaveta cuya anchura es aproximadamente lacuarta parte del diámetro del árbol. La anchura de la chaveta se ajusta parasatisfacer las exigencias de resistencia de los materiales. Para determinar laresistencia de una chaveta, se emite la hipótesis simplificadora de que las fuerzasse distribuyen uniformemente en las superficies de la chaveta.

Cálculo de una chaveta rectangular

Si la potencia a transmitir P es conocida, se puede deducir el par de torsiónT alcanzado por la chaveta utilizando la relación siguiente:

T = p x 6021t N

(6.23)donde T se expresa en N.m, P en watios y N en r/min (giros por minuto).

Este par transmite una fuerza F entre el árbol y la chaveta

F = 2TD

(6.24)donde D es el diámetro del árbol y F es la fuerza ejercida sobre la chaveta. Estefuerza origina tensiones de compresión (aplastamiento) sobre las superficies eb ydf Y tensiones de cizallamiento en el plano ef. (Ver figura 6.7)

I.,r-w--jd

a ~re -----1 H

¡=- 1b e

Figura 6.7 - Fuerzas actuando en una chaveta paralela

Las tensiones de compresión son:

Arboles 72

2FLH

4T=

DLH

(6.25)donde L es la longitud de la chaveta y H su altura. La tensión de cizallamiento enel plano ef se representa:

't' = FA

F=-- =LW

2TDLW

(6.26)donde W es la anchura de la chaveta.

Con las ecuaciones precedentes, es posible proporcionar la altura H y laanchura W de la chaveta de manera que ofrezca la misma resistencia a la tensiónde cizallamiento que a la tensión de compresión.

Utilizando el criterio de Tresca y un mismo coeficiente de seguridad, lastensiones admisibles son:

't'máx.«2 es y amáx

= Syes

(6.27)

Si se comparan las tensiones admisibles de la ecuacion (6.27) con lastensiones inducidas correspondientes de (6.25) y (6.26), se obtiene eliminando Tque:

W = H

Así, para una chaveta de sección cuadrada, se puede utilizar una solatensión inducida para determinar su longitud. Por supuesto, la longitud de lachaveta dependerá también de la anchura del cubo del elemento de máquina ainstalar.

.La fabricación de un árbol, en lo que se refiere a la ranura de la chaveta,conllevará una cierta concentración de tensiones. La teoría propone considerar losvalores siguientes para determinar el coeficiente teórico de concentración detensiones Kt

1,4 a 1,8 para un árbol en flexión (según el radio de la guía)

3,0 para un árbol sometido a una carga combinada de flexión y de torsión.

Árboles 73

6.3.2 MONTAJES CON UNIONES A PRESiÓN

Estos montajes se obtienen por un ajuste a presión. Para este montaje serealiza la presión colocando el elemento a montar sobre el árbol de modo quevenza la fricción. En el caso del montaje de contracción, se calienta el elementoa una temperatura suficientemente elevada para que el diámetro interior sea mayorque el diámetro del árbol. Enfriándolo, el elemento tiende a retomar su dimensiónoriginal, lo que provoca la presión.

La teoría de los cilindros de pared ancha sirve para calcular las tensionesoriginadas por la presión entre el árbol y el elemento.

Teoría de los cilindros de pared ancha

Tomemos un cilindro de radio interno a, radio externo b. presión interna p,y presión externa p, (figura 6.8). El equilibrio de un anillo circular infinitamentefino, cortado del cilindro al radio r y que tenga una longitud unitaria puederepresentarse por la ecuación:

(a)

(6.28)

Or + d c ,

(b)

Figura 6.8 - Cilindro de pared ancha: (a) reparto de la presión,(b) semianillo con tensiones inducidas

Despreciando los términos de segundo orden, se obtiene:

(6.29)

Arboles 74

Es necesaria una segunda relación para expresar a, y aro Se obtiene estarelación suponiendo que la deformación longitudinal E, es constante con unatensión correspondiente nula:

a -t o, = constanteEv

(6.30)donde v es el coeficiente de Poisson y E el módulo de elasticidad. Esto se puedeexpresar:

v

(6.31 )Se elimina at de (6.29) y de (6.31) Y se obtiene:

darr - + 2a = 2 C1dr r

(6.32)Si se multiplica (6.32) por r y se integra esta última expresión, la solución

es:

(6.33a)y utilizando (6.31), se obtiene:

(6.33b)Las constantes de integración se obtienen utilizando las condiciones límites:

a, -p¡ para r = a y a, = -Pe para r = b

p¡ a2 - P, b2 a2 b2 (Pe -p¡)C1 = C2 =b2 _ a2 b2 _ a2

(6.34)

Árboles 75

p¡ a2 - Pe b2 + a2 b2 (Pe - p) I r2

b2 _ a2

(6.35)

p¡ a2 - Pe b2 + a2 b2 (Pe - p) I r2

b2 _ a2

Para un árbol completo, C2 = O en la ecuación (6.33), ya que o; debe tenerun valor final de r = O. Por consiguiente, C, = -Pe Y el estado tensional en unárbol completo se representa:

Estudiemos ahora las dos situaciones siguientes:

• Unapresión externa nula con una presión interna solamente(p, = O, p, > O)

Las ecuaciones (6.35) permiten obtener la distribución de tensiones radialesy tangencia les que muestra la figura 6.9. En este caso, los valoresmáximos se alcanzarán para r = a:

o;

ta) T ANGENCIALES

(6.36)

Ibl RADIALES

Figura 6.9 - Distribución de tensiones en un cilindro de pared anchasometido a una presión interna: (a) tangenciales; lb) radiales.

Arboles 76

--------------------------------------

• Una presión interna nula con una presión externa solamente(p¡ = O, p, > O)

Las ecuaciones (6.35) dan la distribución de tensiones radiales ytangenciales que se muestran en la figura 6.9, para un elemento interno. En lapared exterior de este cilindro hueco (r = bl, las tensiones son:

(6.37)

En los montajes apresión, se puede utilizar esta teoría. La tensión radial enla superficie de contacto entre el árbol y el elemento es igual a la presión decontacto p, desconocida (ver figuras 6.10 Y 6.11).

a, = -P en el árbol y en el elemento (6.38)

En el árbol:

árbol hueco(6.39)

= -p árbol lleno

En el elemento:

CILINDRO EXTERNO

/ -

CILINDRO INTERNO : iFigura 6.10 - Montaje de dos elementos cilíndricos de pared gruesa

(6.40)

Árboles 77

la) T ANGENCIALESlb) RADIALES

Figura 6.11 - Distribución de tensiones en un montaje a presión:(a) tangenciales; (b) radiales

Para evaluar estas tensiones, es suficiente determinar la presten p.Supongamos que hay una interferencia radial ó entre el árbol y el elemento. En elmontaje (figura 6.12), óe es la suma del radio de la pieza externa y ó¡, la diferenciadel radio de la pieza interna. Por convención, una variación del radio es positivahacia el exterior.

NIVELACiÓNDESPUES

DEL MONTAJE

Figura 6.12 - Montaje coninterferencia

Figura 6.13 - Esquema de fricciónaxial sobre el árbol en el montaje apresión.

Arboles 78

La deformación tangencial de la pieza externa a r = b es:

€et = =

(6.41 )Esta ecuación permite calcular el incremento óe de radio de la pieza externa

utilizando las tensiones inducidas (6.38) y (6.39) en las relaciones usualestensiones-deformaciones para obtener:

(6.42)

donde Eees el módulo de elasticidad del elemento a instalar y ve su coeficiente dePoisson. Utilizando un desarrollo semejante para calcular la pieza interna, se tiene:

-bp b2 + a2o¡ = -E [2 2 - v¡ J

¡ b - a

(6.43)

donde E¡ es el módulo de elasticidad del árbol y V¡ su coeficiente de Poisson.

La interferencia radial ó puede expresarse por:

o = o _ o o = bp (c2

+ b2

+ v) + bp (b2

+ ~2 _ VIo)e I E, c2 _ b2 e E¡ b2 _ a2

(6.44)Cuando se tienen dos materiales idénticos (Ee = E¡

= v). la presión de contacto es:

p Eob

(6.45)Este valor puede entonces introducirse en las relaciones (6.38) y (6.39)

para obtener las tensiones inducidas G" Git Y Get durante el montaje. Para calcularun árbol completo, se utiliza la ecuación (6.45) con a = O.

Arboles 79

Para el montaje a presron, se puede calcular la fuerza necesaria para elmontaje. Esta fuerza debe ser capaz de vencer la fricción axial en la interfase(figura 6.13):

F = f fdN == f fpdA = fp f dA = 2TtrLfp

donde:f = coeficiente de fricciónL = longitud del manguitor = radio del árbol

(6.46)

El par de torsión que puede transmitir este montaje se deduce de la fricciónde la circunferencia en la interfase:

T = f rfdN = 2Ttr2Lfp rF

(6.47)En el caso del montaje en contracción, se puede determinar a qué

temperatura es necesario calentar la pieza a instalar en el árbol. Si se aumenta latemperatura de una pieza que no se deforma, su circunferencia aumentará hastaque se obtiene un nuevo radio interior (b + ó).

Así

2Tt (b + o) 2Ttb (1 + aLl7)

(G.4S)donde a es el coeficiente de dilatación.

Se puede deducir que la variación de temperatura que hay que proporcionara la pieza que se fijará en el árbol es:

LlT = oba

(6.49)Por supuesto, si se desea conocer las tensiones inducidas resultantes de

la operación en estas piezas, será necesario superponer las tensiones inducidasque provienen de la utilización y del montaje.

,

Arboles 80

CAPíTULO 7. TORNILLOS

7.1 GENERALIDADES

Eltornillo de transmisión es una pieza de máquina utilizada para transformarun movimiento de rotación en movimiento de translación y, en general, paratransmitir potencia.

la figura 7.1 muestra una representación esquemática de un tornillo detransmisión de filete simple, que lleva una carga axial de compresión. El estudiodel tornillo implica el análisis de las tensiones relativas a los filetes y al cuerpo deltornillo. El cuerpo del tornillo está sometido a diversos tipos de tensiones (tensión,compresión, torsión y flexión); estas tensiones están en función de la parte deltornillo objeto de estudio y del modo de carga. los filetes sufren cizallamiento ytensiones de superficie.

Figura 7.1 - Tornillo de transmisión

los tres tipos de filetes de un tornillo de transmisión más frecuentementeutilizados (figura 7.2) son:

• los filetes trapezoidales simétricos (ISO);• los filetes cuadrados;• los filetes Acme.

El principio de funcionamiento de Unctornillb de transmisión es el siguiente:el par aplicado por medio de una palanca, si se trata de un tornillo manual, o pormedio de un motor, si se trata de un tornillo mecanizado, sirve para vencer elrozamiento entre el tornillo y la tuerca y para desplazar la carga.

Tornillos 81

(a) (b) dm (e)

Figura 7.2 - Tipos de filetes:(a) trapezoidales simétricos (ISO), (b) cuadrados, (e) Aeme.

7.2 ANÁLISIS DE FUERZAS

La figura 7.3 representa el diagrama de equilibrio de fuerzas en el desarrollode una vuelta de tuerca al nivel del círculo del diámetro medio. La fuerza F es laresultante de las fuerzas axiales que se quieren transmitir o del peso que se quierelevantar. La fuerza P es debida al par aplicado y aetúa en diferentes sentidos,según que el desplazamiento axial del tornillo esté en el sentido opuesto (subida)o en el mismo sentido (bajada) que la carga exterior F. La normal N es la fuerza decontacto entre el tornillo y la tuerca. La fuerza de rozamiento JiN cambiará desentido siguiendo el sentido de rotación del tornillo.

Filete cuadrado

Nomenclatura utilizada (figuras 7.1 Y 7.2):

d = diámetro nominald., = diámetro medio o diámetro en los flancos (d; = d - p/2).p = paso del tornillo4J = ángulo de héliceF = carga axialLa = avance para un giro de tornillo

Nota - La = p (filete sencillo)La = 2p (filete doble), etc.

El equilibrio de fuerzas permite calcular el par necesario para "la subida" o"la bajada" de un carga dada. P es la resultante de las fuerzas horizontales queactúan en el diámetro medio.

F

(a) -.,.- (b)

Figura 7.3 - Diagrama de fuerzas cuando el desplazamiento axial del tornillo-es:(a) en sentido opuesto a la fuerza axial F (subida),(b) en el mismo sentido que la fuerza axial (bajada)

Tornillos .82

Bajada (7. 1 )

+->~ FH = -P -Nsen 'P + IJ. Ncos 'I' = O

Subida (figura 7.3 a)

;- -> ~ F H = P - IJ. N GOS 'P - N sen 'I' = O

Í" !~F v = F + ¡..L N sen 'P - N cos 'I' = O

.;.I ~ F v = F - ¡..L N sen 'P - N GOS 'I' = O

Si se elimina N en las ecuaciones anteriores, se obtiene:

Subida

PM = F (sen lJ1 + IJ. cos 1fJ)GaS lJ1 - IJ. sen lJ1

Bajada

PD = F (IJ. COS 1fJ - sen lJ1)

Gas lJ1 + IJ. sen lJ1

Si se utiliza tan 4J = La/rrdmen la ecuación (7.2)

F ( La / 1tdm + ¡..L)

1 - ¡..LLa /1tdm

F ( IJ. - La / 1tdm

1 + IJ.La /1tdm

(7.2)

(7.3)

PM Y Po son, por tanto, las fuerzas que una manivela o un motor deben generarpara accionar el tornillo. Esta fuerza actúa a una distancia "dm/2" del centro deltornillo. El par necesario para efectuar la subida y la bajada se calcula mediante lasecuaciones siguientes:

Tornillos 83

Subida

Bajada

Otros filetes

(7.4)

Las ecuaciones (7.4) sólo tienen en cuenta únicamente el rozamiento en losfiletes y no se aplican más que a filetes cuadrados. Para otros filetes, la carganormal sobre el filete no es paralela al eje del tornillo. Depende del ángulo del filete2a (plano radial del tornillo) y del ángulo de hélice 41. Se desprecia generalmenteesta última dependencia, dado que los ángulos de hélice son pequeños (a "" an)·

La existencia de un filete inclinado hace aumentar la fuerza de rozamiento.

El par necesario es:

Subida

Bajada (7.5)

La tabla 7.1 da los coeficientes de rozamiento típicos entre un tornillo y unatuerca en función de la naturaleza y de la condición de las superficies, así comode la lubrificación.

Tornillos 84

Tabla 7.1 - Coeficiente de rozamiento (p) entre tornillo y tuerca.

(sacado de "An experimental investigation of the Friction of Screw Treads" porc.w. Ham y D.G. Ryan, Univ. IIlinois Eng. Expt. Sta. BulJ. 247, 1932, con la

autorización de University of IIlinois.

TORNILLO DE ACERO Y TUERCA DE FUNDICiÓN O DE BRONCE

Condiciones Coeficiente medio

Estático Dinámico

• Materiales para fabricación de altacalidad (acabado de 1 a 2 pm)(muy buena lubrificación)

• Materiales para fabricación decalidad media (acabado de 2 a 3pm) (lubrificación media)

• Materiales para fabricación demala calidad (acabado de 3 a 5pm) movimiento lento eintermitente (poca lubrificación,superficies recién trabajadas)

Figura 7.4 - Efecto del ángulo del filete

Tornillos 85

7.3 ANÁLISIS DE TENSIONES

Las fuerzas que actúan sobre el tornillo de transmisión originan esfuerzosde tensión/compresión, de torsión y de flexión en el cuerpo del tornillo. Paracalcular estas tensiones, se utiliza una barra cilíndrica de diámetro igual al diámetrode la base (dr) del tornillo.

Esfuerzos de tensión/compresión

Bajo el efecto de la carga F, se inducen esfuerzos de tensión o decompresión.

(7.6)donde d, es el diámetro de la base de los filetes del tornillo. Si el esfuerzo es decompresión, hay que verificar la deformación lateral.

Esfuerzos de torsión

El par total de torsión es la suma del par que acciona el tornillo y el delrozamiento con el soporte. El esfuerzo de torsión se calcula mediante la siguienteecuación:

Te'r = =

J= 16 T

3tid;

(7.7)Recuérdese que el par no es el mismo en toda la longitud del tornillo (figura

7.5). Dependerá, por tanto, de la sección de que se trate.

(a)

(e)

(b)

(d)

Figura 7.5 - Reparto del par a lo largo del tornillo en cuatro casos típicos.

Tornillos 86

7.4 CÁLCULO DE LA ROSCA

Cizalla miento de los filetes del tornillo

Por lo que respecta al cizallamiento en la base de los filetes del tornillo, setiene:

l' =

(7.8)donde t = el espesor del filete en la base, k = coeficiente de reparto(normalmente k = 0,33).

7.5 PROCEDIMIENTOS DE DISEÑO

El apartado anterior trataba del procedimiento a seguir para efectuar laverificación de un tornillo. Cuando se concibe un tornillo, es necesario confrecuencia proceder a cálculos por aproximación para determinar sus dimensiones.

El diseño de un tornillo consiste en especificar:

• los materiales (tipos, tratamientos térmicos);la geometría de los filetes (tipo, paso, avance);la geometría del tornillo (dmt d, L).

••

Las etapas a seguir:

• elegir un material y determinar su resistencia.• elegir el filete en función de las condiciones de uso.• calcular el diámetro d, como si el tornillo estuviera sometido a una

carga axial únicamente.

(es coeficiente de seguridad)

(7.9)Nota - Hay que elegir un diámetro de dimensión normalizada superior alcalculado mediante la ecuación (7.9)

• calcular el par necesario para accionar el tornillo;deducir las tensiones complejas inducidas;calcular el diámetro que tenga en cuenta-tensiones complejas:verificar la deformación lateral; _,__-calcular los filetes y la tuerca;verificar si los criterios de resistencia elegidos se satisfacen con uncoeficiente de seguridad CS entre 1,5 y 2. En caso contrario, hayque repetir las etapas precedentes utilizando un nuevo diámetroaproximado o cambiar de materiales.

•••••

Tornillos 87

CAPíTULO 8. UNIONES CON TORNillOS

8.1 INTRODUCCiÓN

Este capítulo trata de los tornillos y de las uniones atornilladas. El tornilloes un elemento de montaje muy utilizado para unir componentes de un sistema.Como el fabricante generalmente produce los tornillos en grandes series, elproblema consiste en elegir un tornillo, más que en concebirlo.

Por lo que respecta a las juntas atornilladas, el estudio trata sobre la juntametal con metal, representada en la figura 8.1, que es la más utilizada.

Calcular juntas atornilladas quiere decir determinar:

• el grosor de los tornillos;• el número de tornillos;• el par de apriete de los tornillos.

Figura 8.1 - Junta metal con metal

8.2 LA CONSTANTE ELÁSTICA DE LOS TORNILLOS Y DE LAS ARMADURAS

La figura 8.1 presenta una junta metal con metal, es decir, una junta quecomprende dos placas metálicas (llamadas miembros) fijadas por medio detornillos.

Para fijar los miembros, hay que apretar los tornillos con un par inicial deapriete que produce una fuerza axial F¡ en el tornillo. Esta fuerza inicial origina unafuerza de rozamiento entre la cabeza del tornillo y el miembro, así como en losfiletes. Esta fuerza de rozamiento impide que los tornillos se aflojen y es laresponsable de la compresión de los miembros. La deformación de cada uno de loscomponentes está en función de sus rigideces respectivas.

Con el fin de comprender el comportamiento de una junta atornillada, espreciso estudiar la constante elástica del tornillo y de la junta.

La deformación de una caña en tracción simple es:

Uniones con tornillos 88

() = FLAE

(8.1)donde ó = alargamiento

F = fuerza de tracciónA = superficie de la sección rectaE = módulo de elasticidad (acero 206,7 GPa)L = espesor total de 105 miembros

La rigidez de 105 bulones es:

AEL

(8.2)El cálculo de la rigidez de 105 miembros es más complejo. En efecto, la

compresión no está repartida uniformemente en la zona entre la rosca y la cabezadel tornillo. La superficie de actuación de la fuerza de compresión es confrecuencia difícil de determinar. En estos casos, para mayor seguridad, se suponeque los miembros se comportan como un cilindro hueco en compresión simple,cilindro cuyo diámetro interior es idéntico al del tornillo y cuyo diámetro exteriores igual a tres veces el diámetro interior (ver figura 8.2)

Figura 8.2 - Representación de 105 miembros

En este caso, el acortamiento de 105 miembros se representa:

() = FL donde A = TIAE 4

y la rigidez de los miembros es:

_ -i- (8.3)Cuando se utiliza el mismo material para fabricar los tornillos y los

miembros, la rigidez de los miembros km se estima generalmente ocho vecesmayor que la de los tornillos.


,--------------------------------

8.3 JUNTA METAL CON METAL: REDISTRIBUCIÓN DE LAS CARGAS ENTREEL TORNILLO Y LOS MIEMBROS

La figura 8.3 ilustra el comportamiento de una junta metal con metal.Cuando el tornillo está apretado, produce una fuerza F¡que crea un alargamientoób en el bulón y un acortamiento óm en los miembros. La deformación esinversamente proporcional a la rigidez de los elementos implicados. Las pendientesdiferentes de las constantes km Y kb ilustran este hecho. Se señala que óm esmucho menor que ób.

F

(a) (b) (e)

Figura 8.3 - (a) Diagrama de pretensión de un tornillo.(b) Diagrama de precompresión de los miembros.

(e) Diagrama combinado de las fuerzas que actúan en una juntaatornillada sometida a una carga exterior Faa tracción.

Supongamos ahora que se aplica a los miembros una carga exterior Faatracción. Esta fuerza contribuye a aumentar la tracción en los tornillos y adisminuir la compresión de las placas. Una parte Fabde la fuerza Faes retomadapor el tornillo, mientras que la otra parte Fames retomada por los miembros.

(8.4)

El alargamiento y el acortamiento correspondientes del tornillo y de losmiembros son:

FD.O =~m k

m

(8.5)Si los miembros no están separados, el alargamiento del tornillo debe ser

igual a un acortamiento de los miembros, y se tiene por tanto:


dO =

(8.6)Las ecuaciones (8.4) y (8.6) dan:

(8.7)En consecuencia, la carga resultante F, en el tornillo es:

(tracción)

(8.8)Procediendo de la misma forma, la carga resultante Fm en los miembros

cerca del tornillo es:

F ::::F. -m 1

(compresión)

(8.9)donde F¡es la fuerza inicial de apriete.

Las ecuaciones (8.8) y (8.9) se aplican durante tanto tiempo que una partede la compresión inicial permanece en los miembros. Si la fuerza exterior es losuficientemente grande como para que la compresión desaparezca, los miembrosse separarán y la carga completa será soportada por el tornillo.

El preapriete presenta las ventajas siguientes:

• impide que el tornillo se afloje;• impide que los miembros se separen;• disminuye la carga de fatiga.

Si la fuerza Fa varía con el tiempo, el tornillo es solicitado a la fatiga. Sinpreapriete, la variación de la fuerza sería el valor pleno de Fa, mientras que, en elcaso contrario, el tornillo solamente toma una parte de la carga alternativa (11,1 %cuando se trata de un mismo material).


8.4 PAR DE APRIETE

Es muy deseable tener una precarga F¡en el tornillo. A veces, es difícilmedir directamente la fuerza inicial. Existe, sin embargo, una relación entre lafuerza inducida en el tornillo y el par ejercido para obtener esta fuerza. Existenaparatos para medir el par durante el apriete, así como las herramientasneumáticas que pueden aplicar el par deseado.

El par aplicado en el tornillo sirve para vencer el rozamiento -entre la cabezadel tornillo y el miembro, y entre los filetes y la tuerca- induciendo una fuerza detracción.

Utilizando la ecuación de los tornillos de transmisión, se puede escribir:

T=F¡ dm {La + (..L 1t dm sec ct} F¡ (..Le de

+2 1t dm - (l La sec ct 2

(8.10)Introduciendo LaflTdm = tan 4-', se obtiene:

T= F¡ < { tan lf + (l sec ct } + F¡ ¡..Le de

2 1 - ¡..L tan'F sec ct 2

(8.11 )Estudiando la geometría de los tornillos, se sabe que el diámetro de la

cabeza es poco más o menos igual a 1,5 d; por tanto,

de = (d + 1,5 d)/2 = 1,25 d

y trasladando este valor a la ecuación (8.11), se obtiene:

T = { dm [ tan 'F + (l sec ct ] + 0,625 (le } F¡ d2d 1 - (..L tan'P sec ct

(8.12)Estableciendo

K = { dm [ tan lP + (..L sec ct ] + 0,625 ¡..Le }

2d 1 - (l tan'P sec ct

(8.13a)y eligiendo valores medios de /l = /le =:: 0,15, se señala que la ecuación (8.13a)da un valor K =:: 0,20, independientemente del grosor del tornillo. Así, la expresiónsiguiente proporciona una relación empírica entre el par de apriete y la fuerza iniciaien el tornillo:

T = 0,20 F¡d (8.13b)


8.5 RESISTENCIA DE LOS TORNILLOS

Con respecto a la resistencia, los tornillos SI se agrupan en clasesidentificadas por dos números. El primero representa la resistencia a la tracción,en MPa dividida por cien. El segundo expresa diez veces la relación entre el límitemínimo elástico S, y la resistencia mínima a la tracción Su.Así, un tornillo de clase5.8 tiene una resistencia a la tracción de aproximadamente 500 MPa y un límitede elasticidad en torno a 400 MPa. La tabla 8.1 da las resistencias de los tornillosSI que corresponden a las clases más corrientes.

Para el sistema anglo-sajón, la SAE estableció clases de calidad (grados)utilizando las cifras de 1 a 8 en orden creciente en función de la resistencia. Latabla 8.4 da las resistencias de los tornillos fabricados según el sistema inglés, asícomo la identificación simbólica correspondiente a la cabeza de los tornillos.

Hay una cierta correspondencia entre las clases de los dos sistemas. Sonaproximadamente equivalentes: la clase 4.6 y el grado 1, la clase 5.8 y el grado2, la clase 8.8 y el grado 5, y la clase 8.9 y el grado 8.

Tabla 8.1 - Resistencia de los tornillos SI correspondiente a las clases más usuales(norma SAE J1 199).

Clase Diámetro nominal Tensión ensayada Resistencia última(MPa) (MPa)

4.6 M5 a M 36 225 400

4.8 M 1,6 a M 16 310 420

5.8 M5 a M 24 380 520

8.8 M 17 a M 36 600 830

9.8 M 1,6 a M 16 650 900

10.9 M6 a M 36 830 1 040

12.9 M 1,6 a M 36 970 1 220

,.


Tabla 8.2 - Resistencia de los tornillos (sistema anglo-sajón) relativa a las clases(grados) más usuales (norma SAE J429)

Grado IdentificaciónDiámetro nominal(po)

Tensión Resistenciaensayada última(lb/po2) (lb/po2)

33000 60000

55000 74000

33000 60000

65000 115 000

85000 120000

74000 105 000

105000 133 000

120000 150000

2

1/4 a 1 1/2

1/4 a 3/4

4

5

por encima de3/4 a 1 1/2

1/4 a 1 1/2

1/4 a 1

7

por encima de1 a 1 1/2

1/4 a 1 1/2

8 1/4 a 1 1/2

ninguna

ninguna

ninguna

/~20°

).~2°I

"!..f'60°/I~

Generalmente, los tornillos no deben sufrir una deformación plásticaimportante antes de romperse. Por ello, los tornillos de las clases superiores a laclase 5.8 (o al grado 2) presentan una curva fuerza-deformación que no tienepunto de flujo muy bien definido. Estos tornillos siguen una curva casi lineal queprogresa hasta la rotura, sin tramo horizontal (ver figura 8.4a).

En estas condiciones, si la carga es estática, la precarga mínima debería serigual al 90% de la carga ensayada SpAv donde S, es la tensión ensayada (proofstrength) y At la superficie de tracción de los tornillos.

a

s,

Sp

I -PRECARGA ,

MíNIMA

(a)

CiRCULO DE MOHRDURANTE EL APRIETE

"t-"+--~--,..++*+-a

(b)

Figura 8.4 - a) Curva a-e típica de un tornill~;.'b) Círculo de Mohr de apriete de un tornillo

Esta recomendación está motivada por do-srazones:

• la forma del diagrama a-e (no habrá pérdida de capacidad debido al flujoplástico);

• la tensión de torsión desaparece después del apriete (ver figura 8.4b)


Cuando se conciben juntas atornilladas preapretadas, es preciso utilizar elcoeficiente de seguridad CS para evaluar F¡ en función de la carga exterior Fa quedebe ser recuperada por el tornillo:

(8.14)

para asegurar que la precarga sea superior a la carga exterior. Cuando se utilizantornillos de alta calidad y los miembros son rígidos, en el caso de una cargaestática, se puede reducir el cálculo y la elección de los tornillos con la aplicaciónde la fórmula (8.14). Si, por el contrario, se prevé n cargas de fatiga, es necesarioproceder a un estudio más detallado (ver resistencia a la fatiga).

8.6 RESISTENCIA A LA FATIGA

Para los tornillos sometidos a una carga estática, la resistencia se calculacomo se describe anteriormente.

El cálculo de la resistencia a la fatiga se basa en la teoría enunciada en sucapítulo. Se calcula el límite de fatiga Se utilizando los coeficientes definidos enese capítulo. Con respecto al coeficiente de acabado de superficie ka, se utiliza lacurva relativa a las piezas pulidas. Se determina el coeficiente de concentraciónk, utilizando la tabla 8.3 y la relación siguiente:

k ::: 1e K¡

Tabla 8.3 - Coeficiente de concentración de tensiones de fatiga Kf: este valorincluye el efecto del acabado de superficie (sacado de "Mechanical EngineeringDesign" por J.E. Shigley, 3a edición, 1977, p. 252, con la autorización de McGrawHiII Book Co.)

Grado Clase métrica Filetes Filetes Guía redondaSAE redondeados cortados

0-2 3,6 - 5,8 2,2 2,8 2,1

3 - 8 6,6 - 10,9 3,0 3,8 2,3

Nota - Estos valores están ya corregidos con relación al efecto de corte. Se utilizala columna de los filetes redondeados cuando no se dispone de ninguna otrainformación.

Las juntas que están sometidas a tensiones de tracción a la fatiga debenconcebirse con esmero. El tipo de carga errffatiqa que se encuentra másfrecuentemente en el análisis de juntas -atornilladas es aquel en que la cargaaplicada fluctúa entre O y Fa (fuerza máxima). Esto es lo que se produce en uncilindro bajo presión variable, por ejemplo. Con respecto a las juntas metal conmetal, la componente alterna de la tensión en el tornillo será:


(8.15)y la componente media será:

kb Fa F¡--+-

kb + km 2 At At

(8.16)

Si el diseño inicial no resulta satisfactorio, hay tres posibilidades: disminuirF; y arriesgarse a que el tornillo se afloje, elegir el material de los tornillos y delmiembro de forma que aumente la relación km/kb, o utilizar un número mayor detornillos.

-i


CAPíTULO 9. ENGRANAJES CilíNDRICOS RECTOS

9.1 Generalidades

En las transmisiones por fricción, antecedente proximo de los engranajes,no existía la seguridad de mantener una relación de velocidades constante porla posibilidad de un deslizamiento relativo ante la presencia de algún es-

. fuerzo anormal. Cuando se quiere garantizar la permanencia de esta relaciónde velocidades hay que impedir dicho resbalamiento, pudiendo conseguirseeste propósito haciendo que el contacto entre las ruedas se lleve a cabo me-diante entrantes y salientes que se acoplan entre sí.

Se llega de este modo al concepto de ruedas dentadas, llamándose dientesa las partes salientes, y huecos o entre dientes, a las entrantes. El conjunto .delas ruedas que se acoplan recibe el nombre de engranaje, llamándose piñón ala más pequeña y rueda a la de mayor diámetro.

Una rueda o piñón consta de :

a) Llanta, donde van dispuestos los dientes.b) Cubo, por donde se ajusta al árbol o eje sobre el que va montada.e) Brazos o disco, según los casos, que unen la llanta con el cubo (figura

número 9.1).

A excepción del caso de embragues hemos prescindido del estudio de trans-misiones por fricción, limitadas, casi, a ciertas máquinas-herramientas, tipo demaquinaria hacia la que no hemos orientado este estudio.

Clasiiicacián

Pueden c1asificarse los engranajes en tres grandes grupos:

a) Engranajes cilíndricos o de ejes paralelos.b) Engranajes de ejes que se cruzan.e) Engranajes de ejes que se cortan o cónicos.

Engranajes cilíndricos rectos 97

Dentro de cada uno de estos grupos existen diversas variantes que estu-diaremos al estudiar el grupo y que en general consisten en la disposición delos dientes respecto al eje. A su vez, dentro de una misma familia de en-granajes, pueden existir diversas formas del diente de acuerdo con la que seadopte para su perfil.

9.2. Ideas generales sobre morfología, nomenclatura y relaciones geométricasen engranajes cilíndricos rectos

Los engranajes cilíndricos pueden ser rectos y helicoidales,Su forma, en líneas generales, responde a un criterio de normalización que

expondremos en este apartado, en el que nos ocuparemos únicamente de en-granajes rectos, empezando por establecer la nomenclatura normal que seindica a continuación:

Circunferencia primitiva de una rueda

Es la circunferencia que establece un contacto ideal con la otra rueda,rodando con ella sin resbalar, como si los dientes se hubiesen ido achicandohasta hacerse infinitamente pequeños. CM-+ O cuando z -+ oo. Véase másabajo.)

Crcunierencias externas e internas

Son las que limitan radialmente los dientes.

Cabeza del diente.

La parte comprendida entre la circunferencia externa y la primitiva. Semide parla cota a de la figura número 9.1.

Pie deldiente,

Es la .parte comprendida entre la circunferencia interior y la primitiva.

Perfil del diente

Es la superficie que lo limita lateralmente y consta de dos partes: frentey flanco. La primera corresponde a la cabeza, la segunda al pie. Sobre suforma hablaremos más adelante.

Raíz del diente

Es la sección que lo une a la llanta CAB, fig. núm. 9.1).


,:'.

Modulo

D"M' = ---=-.,--Z ,101

jsiendo z el número de dientes y D, el diámetro primitivo.

\,o¡

Paso circunlerencial

Longitud de circunferencia primitiva entre dos perfiles o ejes consecutivos.En la figura 9. 1

t=z

'l)""I P

¡ i:o l'f I

I

Llcnla

b

FIG. 9.1

Espesor de diente . .Idem entre los perfiles laterales que forman el dien te. En la figura 9. J"

la cota e.

Dimensiones normales

Para dientes mecanizados sin correcciones -de las que se hablará másadelante- se establece:

a=Md = 1,25 M

t rrDp ••

e = -2- = 2z = -2- M = 1,57M.


La anchura del diente b = K· M, variando K de 5 a 30, según la potenciaa transmitir.

Relaciones geométricas. Ruedas armónicas

Llamando d, y DI) los diámetros primitivos del pmon y de la rueda yWp y Wr las correspondientes velocidades angulares, tendremos:

• Wp D, nI) Zz=--=--=--=--

Wr d¿ rt; -"

D. = Dp + 2M = M (z + 2)

Dos ruedas que engranan entre sí se llaman armónicas. Como el númerode dientes que se ponen en contacto en un minuto es el mismo, resulta:

luego M, = Me. Es decir, dos ruedas armánicas tienen que tener el mismomódulo y} por consiguiente} también el paso y el espesor.

9.3. Perfiles conjugados. Leyes fundamentales del engrane

Dos ruedas que engranan mantienen los perfiles de los dientes correspon-dientes tangentes entre sí. El lugar geométrico de los puntos de contacto, sellama línea de engrane} y los perfiles correspondientes se llaman perfiles con-jugados.

Vamos a estudiar las condiciones fundamentales del engrane cuando éstetiene lugar como hemos dicho antes, es decir} tangencialmente, y por consi-guiente cuando los perfiles en contacto de rueda y piñón son conjugados (verfigura 9.2).

1." Sean estos perfiles los P y P' ligados solidariamente a las ruedaso, y 02·

Consideremos el punto de contacto A como perteneciente a uno u otroperfil. Las velocidades instantáneas absolutas de A serán VI y V:z normales ap¡ Y P2. Cada una de ellas tendrá sus componentes normal y tangencial segúnNN y TT; pero no existiendo más que deslizamiento de un perfil sobre otro esevidente que las proyecciones de V¡ y V:z sobre NN serán idénticas. Luego:

V¡ cos (;'¡ = v; COS~:l;y corno:

tendremos:

lo que supone que ~: = i = Cte. Es decir, que la normal NN pasa por M,

siendo M el centro instantáneo de rotación. Esta constituye la primera ley fun-damental del engrane.


~ .!\1

'" ~""\ 0.:-

FIG. 9.2

Los esfuerzos recíprocos de un diente sobre otro se ejercen según restanormal.

2.a. El hecho de que los perfiles conjugados se mantengan tangencialesentre sí mientras giran con velocidades angulares Wl Y w:: es equivalente, me-

FIG. 9.3


cánicamente hablando, a que uno de ellos se mantuviera fijo, el P por ejemplo,y el otro el P' rodará resbalando, siendo la velocidad de rotación:

(Véase la fig. 9.3)

Sabemos por la mecánica relacional que la velocidad de deslizamiento vale:

V,I = MA·n = MA(w1 + w2)

siendo MA el radio de giro instantáneo.Esta constituye la segunda ley fundamental del engrane: La velocidad de

deslizamiento entre dos dientes conjugados es igual al radio instantáneo degiro por la suma de velocidades angulares de las ruedas.

Esta segunda ley tiene fundamental importancia en el estudio del ren-dimiento en los engranajes.

9.4. Trazado de perfiles conjugados

Existen algunos métodos generales para el trazado de perfiles conjugadosque nosotros reduciremos al único que se emplea en la actualidad: el deperfiles de envolvente.

El otro, llamado de las ruletas, da origen a perfiles de tipo cicloidal, perono tiene hoy utilización práctica por su carestía, a pesar de algunas induda-bles ventajas que en cuanto al desgaste posee.

La técnica del tallado de engranajes es muy, .cornpleja y aún está en evo-lución, habiendo surgido recientemente algunos, tipos. de dentado, tales comoel cir-cac inglés que, aunque no extendido por el momento, al parecer presentaconsiderables ventajas en cuanto a duración y rendimiento se refiere.

Perfiles de eoolcente

Dsde el punto de vista industrial, puede decirse que son los únicos em-pleados, La normalización de que hablábamos en el apartado 2 de este ca-pítulo, queda definida en cuanto a los perfiles laterales, iguales y simétricos,al establcer éstos mediante curvas de evolvente en la forma siguiente:

Sean e y C' (fig. 9.4) las dos circunferencias primitivas, como en el ejem-plo anterior. Tracemos una recta NN que forma con la tangente TT un án-gulo CP. Tracemos también las circunferencias B y B' concéntricas de las C y C'Y tangentes a la recta NN anteriormente mencionada. Las evolventes de lascircunferencias BJ B' constituyen dos perfiles conjugados como vamos a de-mostrar.

Sean estas evolventes, respectivamente MAL y MA, tangentes en M, acuyos perfiles es normal la recta NN. Tomemos otro punto M' de la mismarecta y tracemos las respectivas evolventes que pasan por M'. Como la evolven-te de un círculo dado es única, es evidente que los perfiles M' A' 1 Y M' A' sonidénticos a los MAl y MA. Si. ahora demostramos que corresponden a una ro-tación sin resbalamiento de los círculos de roda dura, quedará demostrado loque nos proponíamos, ya que la normal en M' sigue siendo NN. Para ello sólohay que probar que MD = :ME:


AA'rp·(). = rp---I

rb

- AlA'l (ME = R, . a. = R,-- 1

Rb

pero AA'·= AlA'¡ = MM' por definiciónde evolvente.

y dividiendo miembro a miembro:

-----MDME

cos cpcos Y

= 1; MD=ME

Vemos, pues, que las evolventes respectivas de las dos circunferenciasbase B y B' de radios:

rb = rp cos rp I constituyen dos perfiles conjugados.R, = R, cos rp

T _--,-_T

HG. 9.4

Aparece aquí una nueva magnitud: ángulo de presión = rp: - es el ánguloque forma la recta NN' tangente a las circunferencias base con la tangente TI'común a las circunferencias primitivas. Esta recta NN' es la línea de presióny según su dirección se ejercen los esfuerzos entre dos dientes en contacto.

También puede definirse como el ángulo que forma la línea de centros 00'con la tangente común a los dos perfiles: T1T'l en el centro instantáneo derotación; o, simplemente el que forma un radio cualquiera O'M" con la tan-gente T2T'2 al perfil trazada en el extremo de dicho radio M'.


7.5. Interferencia. Número mínimo de dientes

Observamos que después de tododefinida en la forma siguiente:

a) Por cuatro circunferencias:

Circunferencia externa de radio" interna "" primitiva"" de base "

lo que antecede, una rueda dentada está

Re (Ce)R¡ (C¡)Rp (Cp)

Rb (Cb)

b) Por una dentadura definida morfológicarnente por las circunferenciasC, y e, y los perfiles laterales que son la eooluente de C, y su simétrica.

c) Por un ángulo de presión:RbRp

Examinando la figura 9.5 (a), vemos que el perfil AB es un trozo de evol-vente comprendido entre C, y e y que sólo es un trozo de evolvente.

Esto sucede porque:

? = are cos

R¡>Rb

De lo contra-to el perfil terminaría en ea y habría que prolongarlo segúnel radio OB (fig. 9.5 (b)), tangente en B a la evolvente.

Esto supone un debilitamiento del diente en su raíz, precisamente en laparte donde, como veremos más adelante, la tensión unitaria de trabajo esmayor.

Es pues interesante estudiar la condición para que los perfiles de los dien-tes sean sólo de evolvente.

Volviendo a la figura 9.5 (a), la condición quedaría fijada estableciendoque R¡ ::> Rb, es decir, que OB ::> OB' o lo que es equivalente:

MB'¡:> MB'

tomados estos segmentos sobre el eje del diente.Tenemos:

M'B'~ = MB' = R,- Rb = R,(1- cos 'P)

M'Bz = 1,25M

para dientes normalizados 19-.2), luego:

n, (1- cos 'P):> 1,25M;

siendo como hemos dicho (9. 2J M elcondición en definitiva será:

1 •

y como 2Rp = z·M,

módulo y z el- número de dientes, la

Z·M2

(1- cos 'P) 2:1,25M;

:> 1,25Zmil1 - 2 •------;2:::..---

1-cos-Yo bien:

que establece el número mínimo de dientes para que su perfil sea enteramentede evolvente. Esta condición sólo se cumple en la práctica en las ruedas, ya


A Ce----

(a)

o

( b)

> • .0 - FIG. 9.5~ :'--que para un ángulo !fl = 20° (comúnmente empleado) Zmiu:::::: 40 dientes. El

piñón que engranará con ella, tendría un perfil mixto de evolvente y recta. Deahí la necesidad de emplear materiales más resistentes en los piñones que enlas ruedas.

Pero el número mínimo de dientes no sólo está limitado por este 5on-cepto (ver fig. 9.6).

Si CE

es el círculo exterior de la rueda 0z' el contacto de los dientes Didel piñón y D2 de la rueda, se iniciará en el corte de CE con NN' que es ellugar geométrico de los puntos de contacto. Se ve que si R> 0zE, es decir,fuera 02F, por ejemplo, el diente D, mordería en el DI! originando el fenómenollamado interferencia. Es indispensable, pues, que RE <O~E. Vamos a ver enqué se traduce esta condición; tenemos: -

O~P :(. EM:! + R," + 2Rp EM sen cP


y como,

sustituyendo y reduciendo queda:

M2 + 2Rp' M - (rp~ + 2Rprp sen" 'P) <: O

T

Of

z e número 'dedien\esde{ piñol\

FIG. 9.6

y sustituyendo y resolviendo respecto a M:

o bien:

o bien:2z~--------- _

l/(Z)-( Z) z/ ~. + 1 + 27. sen!!rp-~

[ 9.11

T

[9.21


Si en la ecuación [9.11 reemplazamos M =

a la expresión:

z-,_ ,llegaríamos

z ::> - Z + V ZZ + 4 Z + 1sen 2 cp [ 9.3]

lo cual nos indica que el número mínimo de dientes en la rueda más pequeña,está limitado por el número de dientes de la rueda mayor. Por debajo de zpequeña, para el piñón, se produciría la interferencia con el consiguiente peli-gro de rotura en plazo breve.

En el cuadro siguiente expresamos algunos resultados orientativos de latrascendencia de estos conceptos:

RELACIONES DE TRANSMIS.

2 4 6

2514

2715

2816

~ Núm. mínimo de dientes~ íd. íd. íd.

Aquí también se ve la ventaja de emplear ángulos de presión mayores, jus-tificando la tendencia actual.

9.6. Cremalleras. Dentaduras normalizadas

Si el número de dientes de una rueda tiende a infinito, la rueda se convierteen una cremallera en la que siguen existiendo, en sustitución de las circunfe-rencias, rectas primitivas, externa, e interna (fig. 9.7;).

hel

d

FIG. 9 ..7

Los perfiles, asimismo, se convierten en rectas que formarán con la rectaprimitiva un ángulo de presión 'P, el mismo naturalmente que el .de la ruedaque engrana-con ella.

Se define como cremallera normalizada aquella cuyas dimensiones y forma,se ajustan al dibujo de la figura 9.7


En ella tenemos:

a= Md = 1,25 M

te-----·M- 2 - ..

r = O,4M.

Fácilmente puede establecerse que la condición para que no exista inter-ferencia entre una cremallera y la rueda que engrana con ella es que el nú-mero mínimo de dientes de la rueda debe ser:

2'1,25Z>------

1- cos cP

(Basta desarrollar en serie la fórmula r9.3] y hacer que Z tienda a infinito.También puede establecerse de un modo directo razonando corno en el casode rueda y piñón.)

Cuando el número de dientes por razones de relación de transmisión, tie-ne que ser inferior al mínimo, no es posible conservar las dimensiones nor-malizadas de los dientes.

Se llaman estas dentaduras, dentaduras corregidas, corrección que suponevariaciones en la altura y el pie del diente. Su cálculo y procedimiento deejecución se sale fuera de los límites de esta obra. Puede consultarse porejemplo la obra de HENRIOT tTraité Théorique et: Pratique des Engrenages. Ed.Dunod).

[ 9.4]

9.7. Continuidad en el engrane. Deslizamiento

Se llama grado de recubrimiento o relación de arrastre, la relación .queexiste entre el arco de engrane y el paso del engranaje.

Refiriéndonos a la figura 9.8, tenemos: .Relación de arrastre:

arco AMB a {l.vc= =--,

t t

e.n la que los perfiles en los puntos A y B corresponden a dos diente~ consecu- c.....Jtívos, y: ~ c..fe.. ~':";OIA Ct"t ewC (.J <

. a = arco de arrastre i e = a f. '.J e.vYI~:~ el ,~bic.~ '1 ~ o..-Ja ClCttI.o

t = paso \ rrM

Es evidente que para que exista contacto permanente entre dos dientessucesivos e> 1, es decir, di!> t. (Normalmente e::::::1,2 ~ 1,45.)

El arco ÁMB se llama arco de engrane, o de arrastre = a.El segmento AIMBl se llama longitud de arrastre = l.

Se denominan además:

a2, = arco de aproximación = AM


a, = arco de retirada = MBl. = AIM = aa cos 9 (ya que: la. = Rb' a. y a.. = Rp' a.; y por otra parte:

R, = R, COS CP)l, = a, cos cP ;

por consiguien te: 1 = a cos ?

el••• .HA, - MOr.,./,..'"K8,-N¡'a .".q"••• .,.,/,..

u.y=~h::a~/,,~ ~~%.", n.".w.k~R, ::r~"" r~ del¡IO':H.;,.Rzx,. ,. -,"k~

FIG. 9.8

Se ve que el lugar geométrico de los puntos de contacto es un segmento,AIBlI situado sobre la recta de engrane y limitado por las circunferencias ex-teriores CE y C~ respectivamente, que es lo que hemos llamado longitud dearrastre.

Por la misma razón se demostraría que la distancia entre tangentes para-lelas de dos dientes consecutivos j;Ja figúr-á), vale:

t« = t.cos CP.

t« es lo que se llama pCiSO normal de un engranaje y es fácilmente medible em-pleando calibres especiales que se llaman de engranajes y que dan el pasonormal


Del estudio matemático del recubrimiento, se desprende que éste decrececuando aumenta el ángulo de presión.

Deslizamiento

Es evidente que dos dientes en contacto, durante todo el arco de engrane,sufren entre sí un deslizamiento, que será la suma de los correspondientes alos períodos de aproximación y de retirada. El deslizamiento será:

d = (MA - Ma) + (ME - Mb) = di> + d, (fig. 9.8).

En un tiempo dt los círculos primitivos habrán rodado

1 = a cos cP dl = da cos ~

da" =dl; = Rpw~dt. w~dt =

.u,cos v R, cos "{J

dar = dl,rpw¡dt w1dt = dlx-cos "{J rp cos v

Ahora bien, según vimos al estudiar las leyes fundamentales del engrane, lavelocidad instan tánea es:

luego el deslizamiento:

d. = f (-R-p-:-OS-([)-' - + -r-p-c1

-os-([j-.-) uu, = -2-c_l~-:-cP- (-R-1p- + -r-:-) .r 9.5Jo

Análogamente:l/ (1 1)dr=-- -+-

2 cos cP R, r"19.61

luego:d=(_l +_1)

. R, rpl.:~+ 1/

~2'cos cp [9.7]


9.8 RESISTENCIA DE LOS ENGRANAJES.

En general, los engranajes sirven para transmitir la potencia de un árbolmotriz a un árbol resistente, y por ello es necesario asegurar que los dientes sonsuficientemente robustos para realizar dicho trabajo.

9.8.1 ANÁLISIS DE LAS FUERZAS.

La potencia a transmitir Pues proporcional al producto del par (T) y de lavelocidad de rotación (n). Así

Pu = Tn / k(9.8)

donde:

Pu = potencia transmitida en WT = par transmitido en Nmn = velocidad de rotación en rev/mink = factor de conversión

o:

T == W Dt 2

donde:

W¡ = fuerza tangencial transmitida en N.D = diámetro primitivo del engranaje en mm.

60 . 103 r,W == en Nt nDn

(9.9)

Como la fuerza se aplica de un engranaje a otro según la dirección de larecta de presión, la fuerza normal al perfil del diente será:

W = W/cosqJ(9.10)

donde qJ es el ángulo de presión.


(a)

r--------,.;;;;;o'Iw, ~ I

IIrr.s;:.......r:""'w

t.J

L

(b)

Fig. 9.9.- Carga del diente

La componente radial

(9.11 )

Estas fuerzas se transmitirán al árbol que soporta estos engranajes.

9.8.2 ESFUERZOS DE FLEXIÓN SOBRE EL DIENTE

Fórmula de Lewis

La fuerza tangencial W¡ transmitida provoca una tensión de flexión y decompresión en la raíz del diente. La figura 9.9a muestra de manera esquemáticala carga del diente. Se supone que el diente es una viga empotrada en su raíz ysometida a una fuerza tangencial Wt en el extremo. F es la anchura del diente; tes el espesor del diente a la raíz; L es la distancia del punto de aplicación de lacarga al empotramiento. Si utilizamos la ecuación de la flexión a = Mc/I conM = Wt L y I/c = bh2 / 6 = Ft2 /6, la tensión máxima al empotramiento es:

a = 6 W L /F t2t

(9.12)Si nos referimos a la figura 9.9b y utilizando una propiedad de los triángulos

semejantes tenemos:

x t/2=

t/2 L

(9.13)

Retomando las dos últimas ecuaciones,


--------------------~--------_._----_ .... _ .. -

aF t2 I 6 L 2- F x

3

(9.14)Si el numerador y el denominador se multiplican ambos por P (paso

diametral):

2 F x P3

a =

(fórmula de Lewis)

2Y=-xP3

donde: (9.15)

y es el factor de forma de Lewis. Su valor puede determinarse gráfica oanalíticamente. La tabla 9.1 da los valores de Y en función del número de dientesy del ángulo de presión.

Número 14,5° 20°de dientes

12 0,211 0,24513 0,223 0,26114 0,236 0,27715 0,245 0,29016 0,254 0,29617 0,264 0,30318 0,270 0,30919 0,277 0,31420 0,283 0,32221 0,289 0,32822 0,292 0,33124 0,299 0,33726 0,308 0,34628 0,314 0,35330 0,318 0,35934 0,327 0,37138 0,333 0,38443 0,340 0,39750 0,346 0,40960 0,355 0,42275 0,361 0,435

100 0,367 0,447150 0,374 0,460300 0,383 0,472

crémaillére 0,390 0,485

Tabla 9.1


Hemos enunciado varias hipótesis antes de llegar a la ecuación (9.15):

• la componente radial ha sido despreciada;• las concentraciones de las tensiones no se han considerado;• toda la carga se sitúa en un solo diente. Sabemos que para asegurar un

buen funcionamiento, los engranajes tienen una relación de conducciónmayor que la unidad. La carga se reparte, por lo tanto, sobre más de undiente.

Ecuación de Lewis modificada (AGMA)

Para ser más conforme a la realidad, proponemos una segunda ecuación enla que se tienen en cuenta las concentraciones de las tensiones, la relación deconducción y los efectos dinámicos.

a =

(9.16)donde:

Wu F y P tienen el mismo significado que anteriomenteKv = factor dinámico.J = factor geométrico.K, = factor de sobrecarga.Km = factor de repartición de carga.K, = factor de dimensiones.

Factor de sobrecarga K,

Este factor tiene en cuenta la sobrecarga que puede producirse en elarranque más que en una operación normal, por choques o pares más elevados.Los valores de dicho factor se dan en la tabla 9.2.

Fuente de Máquina arrancada (carga)potencia

Uniforme Choque medio Choque severo

Uniforme 1,00 1,25 1,75

Choque ligero 1,25 1,50 2,00

Choque medio 1,50 1,75 2,25

Tabla 9.2.- Factor de sobrecarga Ko


,-------------------------------------_._.-

Factor de repartición o distribución de la carga Km

Dicho factor tiene en cuenta la distribución axial de la carga sobre la superficie deldiente. Esta depende de la anchura del diente y de la precisión del montaje. Losvalores se dan en la tabla 9.3.

Anchura del diente (po)

Oa2 6,0 9,0 16 Y más

Engranajes de precisión y montaje precisoy rígido.

1,3 1,4 1,5 1,8

Montaje menos rígido, engranajes menosprecisos, contacto en toda la superficie(comercial)

1,6 1,7 1,8 2,2

Montaje cuando no existe contacto entoda la superficie

más de 2,2

Tabla 9.3.- Factor de repartición de la carga Km

Factor de dimensiones Ks

Este factor tiene en cuenta las dimensiones de las piezas. En el caso deengranajes cilíndricos derechos, K, = 1,0 r ya que el factor de grosor K, tiene encuenta las dimensiones en el cálculo de la resistencia a flexión.

Factor dinámico Kv

Este factor tiene en cuenta los errores de perfil y de la velocidad derotación. Se obtiene de manera empírica. Para engranajes de fábrica, la AGMArecomienda usar:

50

50 + IV

(9.17)donde V es la velocidad en pi/min de la línea primitiva. Si tenemos que utilizar elsistema de engranajes en condiciones especiales, podemos referimos a las normasde la AGMA.

Factor geométrico J

Este factor tiene en cuenta la distribución de la carga entre los dientes, elfactor de concentración de tensiones y el factor de forma de Lewis. Para un radiocuya raíz normalizada r, = 0,35/P, las figuras 9.10 y 9.11 dan el valor de J cuandolos ángulos de presión son de 20° a 25°, respectivamente. (El número de dientesN es en abscisas y el factor J es en ordenadas). La curva más baja supone que la


carga sólo es soportada por un solo diente. Las demás curvas identificadas por elnúmero de dientes del segundo engranaje tienen en cuenta la repartición de lascargas entre los dientes.

..., 0.60

o 0.55

~ 0.50

f=0.45'W2 0.40

o 0,35Wc.!l 0,30

a: 0,25o~ 0,20U<t 0,1512u,

ll:,,\~S I

~q,= 20· ~ Q\~~f:'-\,\f:'-¿E ~~50

~~O Q ~\,\G~ k:::: ~~2S

17

~\J~ O~~<;' ~ r;..-Q~\..~""::::::::P'"

1ft ;;:::;-- - CAV -:- UN--- -

~5 4560 125

CARGAREPARTIDA

..., 0,60

00,55

~ 0,50a:~ 0,45

'W2 0,40

00,35Wc.!l 0,30

g¡ 0,25

~ 0,20U<t 0,1512u,

NÚMERO DE DIENTES ANCH\JRA TOTAL

IDv:v 50

q, - 25· ;;--k;¡::;- ~

CA~ ~I'-'"

='<: '-""' UN~ ---r-

35 45 60 125

CARGAREPARTIDA

RGA SOBRISOLO DIEI'

RGA SOBRESOLO DIENTE

15 17 20 24 30 40 50 80 275 '"

NÚMERO DE DIENTES, N15 17 20 24 30 4050 80 27500

Fig. 9.10.- Factor J cuando el ángulode presión es de 20°

Fig. 9.11.- Factor J cuanoo el ángulode presión es de 25°

9.8.3 RESISTENCIA EN FLEXIÓN

Cuando hay cargas estáticas, la tensión del diente se evalúa por la fórmulade Lewis y el límite es Sy (material dúctil) y Su (material frágil).

En la mayor parte de las aplicaciones, los engranajes se solicitan de manerarepetida y debe establecerse la resistencia en fatiga del engranaje. =;1 el capítulo5 hemos podido ver que varios factores toman el valor de la resistencia:

(9.18)Acabado de superficie ka

La tensión máxima se produce en la raíz del diente. Esta parte se fabricapero casi nunca se pule, de ahí que la curva utilizada para determinar k, sea lamisma que la que utilizada para determinar el acabado de superficie de un materialde fábrica. La curva de la figura 5.7 se reproduce en la figura 9.12 con el objetivode facilitar la lectura del texto.

Grosor k,

El grosor de la pieza considerada afecta al límite de resistencia. En el casopresente tenemos que considerar el grosor del diente. El paso diametral P es lavariable que describe el grosor del diente. Se utiliza

t1.00 P > 5

kb =0.85 P ~ 5


Fiabilidad kc

Se usan los mismos valores que los obtenidos en el capítulo ']

1,OI+---t---+--+---+---+--~--+Io 0,9HH~:::t--+---+--~--+---+----+-Ie 0,8« 0,71+---t-=:r==t:~:t=:i==t==~~ _ 0,61+-----.;~U . 0,51+---+--+--1---1---4---+--+1« D 0.41+---+---+--1--+---4---+--+1LU ¡¡: 0.31+---+---+--1--+--4---+--+1e a: 0,21+---+---+--1---I---!---+--+Ia: ~ 0,11+---+---+--l--+---!---+--~o ~ O~--~ __-+~ __~ __~ __-L__~ Uti rJ) 60 80 100 120140160 180 200;t \:!S LÍMITE DE ROTURA EN TENSiÓN, Su!' en 103 LB/P02

Fig 9.12.- Factor de acabado de superficie k,

Temperatura kd

Las ecuaciones dadas en el capítulo 5 son:

kd ::::1,00 para

620460 + T

para

Concentración de tensiones k,

La ecuación de Lewis modificada tiene en cuenta las concentraciones detensiones con el factor J.

Efectos diversos k,

Si el engranaje gira siempre en la misma dirección, las tensiones pasan deun valor O a un valor máximo. Las tensiones no son completamente inversas. Ellímite de resistencia Se sólo es aplicable a este último tipo ..:8 tensión.Normalmente el diagrama de Goodman se emplea para solucionar cieno problema.Con el fin de facilitar la solución del problema, el AGMA recomienda el empleo deun factor de efectos diversos k, y, como consecuencia, verificar el coeficiente deseguridad como si se tratase de esfuerzos completamente inversos. Por lo que, sinos fijamos en la figura 9.13, emplearemos k, = 1,0 para el engranaje 3 que estásometido a esfuerzos completamente inversos y k, = 1,4 para los enqranajes 2 y4, no sometidos a esfuerzos inversos.

Engranajesci/índricos rectos 117

Fig 9.13.- Ilustración del factor de efectos diversos.

9.8.4 TENSIÓN DE SUPERFICIE.

En los apartados anteriores hemos tratado la tensión de flexión y laresistencia en fatiga de un diente de engranaje. No obstante, cuando dos dientesestán en contacto se produce deslizamiento y rodamiento. Debido a la forma delos dientes y al mecanismo de funcionamiento, el movimiento relativo provoca eldesgaste, lo que significa un aumento del juego del círculo primitivo. Existen variosmecanismos de uso que actúan simultáneamente: la picadura, la abrasión, elestriado. El estriado es causado por una falta de lubricación que provoca estríasradiales en los dientes. La abrasión, que se considera un desgaste de la superficie,está provocada por la presencia de partículas abrasivas. Por último la picadura esun fenómeno que se asocia a las tensiones de Herzt.

La tensión de superficie provoca una tensión de cizallamiento por debajode la superficie, lo que origina microfisuras. Cuando la carga es repetida, lamicrofisura se propaga y arranca partículas de metal. Se constata este fenómenosobre todo cuando se trata de dos superficies curvas. A causa de la geometría, lassuperficies de contacto son muy pequeñas y, por consiguiente, aun cuando lacarga es .poco elevada, las tensiones, por el contrario, son muy fuertes.

La presión creada es:

Pmáx = -2W / 7TFb {9.19ldonde

W = fuerza normal al perfil del diente.F anchura del diente.b = semilongitud de contacto.

La distribución de presiones es elíptica. Véase figura 9.14.

La superficie de contacto es un rectángulo de anchura F y de longitud 2b.La teoría de Herzt permite calcular b cuando los dos cilindros están en contacto.


(9.20)donde u, fJ2' E" E2 son los coeficientes de Poisson y los módulos de

elasticidad de los materiales; d, y d2 son los diámetros de los cilindros.

DISTRIBUCiÓN DE PRESiÓN ELíPTICA

Ir--. -F-_.¡

Fig 9.14.- Superficie de contacto y distribución de presión.

Esta ecuación debe modificarse en lo que se refiere a los engranajes. Enefecto, el radio de curvatura del diente varía según el perfil del diente, es decir esmáximo en el borde del diente y mínimo en el círculo de base. Sin embargo, elcálculo de las tensiones en el círculo primitivo permite evaluar este tipo de tensión.Los radios de curvatura en ese punto son:

(9.21)donde los índices p y g representan, respectivamente, el piñón y el

engranaje, D es el diámetro primitivo y ~, el ángulo de presión.

1 1 = _2_[_1sin <1> Dp

+ -

(9.22)Si la relación de velocidad

entonces

1

(9.23)


,Trasladando la ecuación 9.23 a la ecuación 9.20 y teniendo en cuenta que:

W = Wt I cos cP (9.24)se obtiene:

b [ 2 W,11: F cos <p

( (1

(9.25)Trasladando la ecuación 9.25 ala ecuación 9.19, tenemos:

Wt 1Pmáx= -[----2----2-

11:F (1-¡..L) (1-¡..Lg))( p +

Ep Eg

(9.26)

_____ 1 J1/2

sin <1> cas <1> R;-~-Dp2 R + 1y

Para facilitar los cálculos:

c=p 11 2- ¡..Lg) 11:

Eg

(9.27)los valores de Cp para los materiales usuales, aparecen en la tabla 9.4.

Piñón Acero Fundición

Acero 2300 2000

Fundición 2000 1 800

Tabla 9.4.- Valores de Cp relativos a los engranajes lubrificados (J.1 0,3)


Para los engranajes externos:

1 = cos cf> sin cf>

2 R + 1v

(9.28 a)y para los engranajes internos:

1 = cos cf> sin cf>

2

(9.28 b)

Poniendo I Pmáx I = uH se obtiene, introduciendo los factores de sobrecarga:

(9.29)donde:

C =o

C =m

Factor de sobrecarga cuyo valor se da en la tabla 9.2 (ea = Ka)Factor de repartición de carga cuyo valor se da en la tabla 9.3 (Cm

= Km)Factor de dimensiones = 1,0 para los engranajes cilíndricos rectos(C, = Ks)Factor dinámico cuyo valor viene dado en la ecuación 9.17 íC,K)

9.8.5 RESISTENCIA A FATIGA RELATIVA A TENSIONES DE SUPERFICIE

La resistencia viene dada por las relaciones siguientes:

Acero: Sfe = 400 Hs - 10 000 lb/paz"Fonte " : Ste = 90000 lb/po? (9.30)

donde Hs es la dureza Brinell del material menos duro. El AGMA recomiendacalcular la resistencia SH con fatiga relativa. a las tensiones de superficie, es decir:

CL CHSH = S¡.C C eT R

(9.31 )


donde:

SH = resistencia corregidaC¡ = coeficiente de durezaCH = relación de dureza (se utiliza CH = 1,0 para cálculos de engranajes

cilíndricos rectos)CT resistencia de temperatura (CT = 1,0 a temperaturas T < 250°F)CR coeficiente de fiabilidad. Los valores de Cl y CR se dan en la tabla

9.5.

Los valores de Cl y CR se dan en la tabla 9.5.

Fiabilidad R CR Duración Cl

(ciclos)

Menos de 0,99 0,8 104 1,5

0,99 a 0,999 1,00 105 1,3

0,999 Y más 1,25 106 1, 1

107 Y más 1,0

Tabla 9.5.- Factores de fiabilidad y de dureza.

9.8.6 COEFICIENTE DE SEGURIDAD.

Cuando se elabora un engranaje, la tensión debe compararse a laresistencia del material. Deben verificarse dos criterios de rotura: la fatiga a flexióny el desgaste. Tendremos, con respecto a la flexión:

resistencia en fatiga a flexiána tensiones inducidas según Lewis modificado

(9.32)y por lo que respecta al desgaste:

F S = SH = resistencia en fatiga por desgasteaH tensiones de superficie inducidas

(9.33)

Si el coeficiente de seguridad al desgaste es demasiado pequeño, se podrágracias a un tratamiento de superficie apropiado, aumentar la dureza en superficiede los engranajes para evitar el desgaste prematuro de las piezas en contacto.


CAPíTULO 10. lAS CORREAS.

10.1 INTRODUCCiÓN.

Las correas, como las cadenas, son elementos flexibles que permiten latransmisión de la potencia cuando están separados el árbol motor y el árbolarrastrado. La transmisión por correas o por cadenas constituye una solución mássencilla y más barata que una transmisión por engranajes. Además, la elasticidadde sus elementos permite absorber choques y vibraciones, lo que contribuye a quela transmisión sea silenciosa y tenga una vida más larga.

Las dimensiones y las características de las correas y de las cadenas sedescriben en los catálogos ven la documentación que ofrecen los fabricantes. Lafunción del diseñador de máquinas consiste en elegir, en función de losprocedimientos seguidos por los fabricantes, aquella correa que más nos interese.Por lo tanto el éxito del diseño dependerá del conocimiento de los principios defuncionamiento y de aquellos factores que más influyen en la elección de estosúltimos.

10.2 GENERALIDADES.

La correa plana es un tipo de transmisión que se dio a conocer muy pronto,durante la revolución industrial. Dicha correa venía a ser una tira de cuero más omenos larga atada por las extremidades. Debido al aumento de la potencia de lasmáquinas y a las cada vez mayores velocidades de rotación, en aquella época sevieron obligados a fabricar y concebir otros tipos de correas.

Gracias a la innovación de la correa trapezoidal y la introducción de nuevosmateriales, la capacidad de los sistemas de transmisión por correa ha sufrido ungran avance. La cara interior de este tipo de correas está hecha de caucho naturalo de material sintético. De esta forma se consigue un coeficiente de rozamientoelevado. Es importante añadir que las fibras sintéticas o una tela en el cuerpo dela correa son factores que aumentan la capacidad de transmisión de la fuerza detracción. Buena muestra de ello es el uso del acero o las fibras de carbono comomaterial de refuerzo.

El uso de correas para la transmisión de potencia está teniendo éxito, yaque ofrece ligereza, funcionamiento silencioso, buen rendimiento mecánico,instalación y fácil mantenimiento, larga vida (resistente a fatiqa), amortiguaciónde golpes, vibraciones, estiramientos bruscos y gastos de instalación pocoelevados.

Se recomienda en general usar velocidades lineales comprendidas entre 5y 30 mis. La velocidad lineal óptima es de 20 mis. No obstante, la relación entrelas velocidades de rotación del árbol motor y del árbol arrastrado no debe exceder10/1.

Las correas 123

Con una transmisión por correas, la relación entre la velocidad del árbolmotor y la velocidad del árbol arrastrado no es constante. Esto es debido aldeslizamiento que se produce entre las correas y las poleas a causa de la fluenciade las correas. Por otro lado, las correas son sensibles a las condiciones de uso.Existe una variación de los valores del coeficiente de rozamiento y de la tracciónen función de la temperatura, del porcentaje de humedad, de la presencia desuciedad, etc.

10.3 CATEGORíAS DE CORREAS

Existen dos grandes categorías de correas. Se definen en runción de laforma de su sección: las correas planas y las correas trapezoides llamadas tambiéncorreas en V.

10.3.1 CORREAS PLANAS.

Las correas tienen secciones rectangulares cuya anchura es mucho mayorque su espesor, lo cual permite tener una gran superficie de contacto entre lascorreas y las poleas y una gran flexibilidad de las correas. En este tipo de correasse encuentran las correas planas corrientes, las correas planas finas '/ las correasdentadas.

Correas planas ordinarias. Estas correas se fabrican en cuero conmulticapas (fig. 10.1) o con material sintético reforzado o no (fig. 10.2). Para lascorreas fabricadas en rollos se requiere unir las extremidades del trozo cosiéndolaspor medio de grapas o pegándolas. En cualquier caso, la unión realizada de estaforma disminuye la capacidad de carga o de aguante de la correa y ademásaumenta el nivel sonoro durante su empleo. Para compensar estos inconvenientespodemos procurarnos correas planas sintéticas sin fin, de longitudes normalizadas.

anchura b/. '/ capa de protección

II.-----IH~apas múltiples de esp~sor e,

rO O O O O O O O O O O O

'- capa de fricción"capa de refuerzo

Fig 10.1.- Sección de una correade cuero

Fig. 2.- Correa plana reforzadahecha con materiales compuestos

Correas planas finas. Estas correas, por lo general, están fabricadas conmaterial sintético de poco espesor (O, 125 a 0,4 mm). Se emplean para usos conpequeña carga y muy específicos: instrumentos, electrónica, medicina, etc.

Correas dentadas (sincronías). Son correas planas cuya cara interna estáprovista de dientes transversales que se unen con los pasos de una polea dentada(fig. 10.3). Se usan estas correas cuando se quiere evitar el deslizamiento entrela correa y las poleas con el fin de obtener una transmisión sincronizacla, es decir,que la relación de velocidades se mantenga constante y sea precisé].

Las correas 124

Fig 10.3.- Transmisión por correa dentada.

Fabricadas en caucho o en polímeros (nylon o neopreno) y reforzadas confibra de vidrio y a veces acero, las correas dentadas tienen las ventajas de lascorreas con la precisión de la transmisión por cadena o por engranajes (capítulo9). Estas correas pueden llegar a transmitir una potencia de 220 kW, convelocidades de hasta 80 mis.

10.3.2 CORREAS TRAPEZOIDALES

Las correas trapezoidales son las más empleadas en la industria. Su puestaa punto fue en respuesta a las demandas de la industria del automóvil. Ciertosmecanismos de un automóvil exigen correas de fácil manejo y muy resistentes ala tracción pudiendo funcionar en condiciones de uso difíciles con una granfiabilidad. Estas correas sin fin se fabrican en caucho moldeado alrededor de unnúcleo de tracción situado en el eje neutro y recubierto de un tejido resistenteimpregnado de caucho (fig. 10.4). El núcleo de tracción puede estar compuestopor una simple fila de hilos (fig. 10.4a), por varias filas de hilos (fig. 1O.4b) o porfibras retorcidas que forman cables sin fin (1O.4c).

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'.\: ••·.·_·.-:."0':.·."'·::'':-,:'

(a) (b) (e)

Fig. 10.4.- Construcción de diversas correas trapezoidales

Las correas 125

Las correas trapezoidales se caracterizan por:

• una gran resistencia a la tracción debido a su modo de fabricación;

• una resistencia a la deformación elástica debido a las propiedades de lasfibras de refuerzo (sobre todo su baja rigidez);

• un rendimiento elevado (pudiendo alcanzar hasta 95%) cuando el sistemade transmisión está bien concebido y tratado;

• una esperanza de vida razonable (buena resistencia a la fatiga y aldesgaste).

Además, se puede aumentar la potencia de transmisión multiplicando elnúmero de correas o usando correas politrapezoidales.

En esta categoría de correas se encuentran las correas trapezoidalesnormalizadas, las correas politrapezoidales, las correas bordeadas, las correas convelocidad variable y las correas articuladas.

10.4 MATERIALES DE LAS CORREAS.

Las primeras correas estaban hechas de materiales naturales (cuero, tejidofuerte, caucho). Hoy en día se encuentran casi exclusivamente correas hechas conmateriales compuestos sintéticos. Los principales materiales empleados para lafabricación de correas son: el cuero, los tejidos de caucho y los cauchos oelastómeros reforzados.

Cuero. Material clásico usado en las primeras correas. Actualmente elcuero ya casi no se emplea. Su precio es elevado y es vulnerable a las condicionesatmosféricas. Para reemplazar el cuero natural se suele usar compuestos de cueroperlán, cuero nylon o cuero reslan caracterizándose todos ellos por su grandurabilidad. El uso del cuero se limita a las pequeñas y medianas velocidades.

Tejidos de caucho. Son tejidos de fibra de algodón, de nylon u otro,impregnados de caucho, lo que aumenta su coeficiente de rozamiento. Las correashechas de tejido de caucho sólo están disponibles en rollos. Hace falta unir lasextremidades del trozo cortado (art. 10.3.1).

Cauchos o elastómeros reforzados. Estos compuestos se emplean en lafabricación de correas sin fin y de correas en rollo, con las cuales se fabricancorreas planas con uniones vulcanizadas o pegadas. Para aumentar su resistenciaa la tracción, se refuerzan estos compuestos con hilos de nylon, fibras de vidrio,con acero o carbono (fig. 10.2). Estos compuestos pueden transmitir una potenciade hasta 30 kW por cm de longitud de correa, con velocidades de hasta 20 mis.

Las correas 126

10.5 NOMENCLATURA Y GEOMETRíA DE LAS CORREAS

La figura 10.5 ilustra un sistema de transmisión por correa compuesto poruna polea motriz (1) Y de una polea arrastrada (2) unidas ambas poleas por unacorrea.

Los parámetros de este sistema son los siguientes:

d, = diámetro de la pequeña polea, en mm.d2 = diámetro de la polea grande, en mm.C = distancia entre los ejes de rotación de las poleas, en mm.nl Y n2 = velocidades de rotación respectivas de la pequeña V de la granpolea, en r/min.Wl Y W2 = velocidades angulares de las poleas, en rad/s.Fl = tracción del lado motriz (tensado), en N.F2 = tracción del lado resistente (flojo), en N.()l Y ()2 = ángulos de contacto entre la correa y las poleas, en grados oradianes.f = coeficiente de rozamiento entre la correa y las poleas.v velocidad de la correa, en mis.b anchura de la correa, en mm.e espesor de la correa, en mm.

polea que arrastrae

Fig. 10.5.- Parámetros de un sistema de transmisión por correa.

10.5.1 RELACiÓN DE VELOCIDADES.

Cuando se supone que la transmisión de potencia se realiza sindeslizamiento, la velocidad de la correa es igual a las velocidades tangenciales delas poleas, y la relación de velocidad viene dada por la relación siguiente:

(10.1 )

Las correas 127

10.5.2 LONGITUD DE LA CORREA.

La longitud de la correa es igual a la suma de las longitudes de sus dossecciones rectas (medidas entre los puntos de tangencia con las poleas) y de laslongitudes de contacto con las poleas. Para las poleas con ejes paralelos hay quehacer la distinción entre las correas rectas y las correas cruzadas.

10.5.2.1 Ejes paralelos, correa derecha (no cruzada)

Es el caso que encontramos más a menudo en la práctica. El ángulo decontacto sobre la péqueña polea viene dado por (fig. 10.6):

81 = 1800- 2 P = re - 2 P

(10.2)donde:

(10.3)y el ángulo de contacto sobre la gran polea viene dado por:

e2 = TT + 2 fl (10.4)

Relaciones geométricas sencillas permiten determinar la longitud L de lacorrea. Así

Para facilitar el cálculo se puede expresar la longitud de la correa con laayuda de la relación siguiente:

(10.5)

Las correas 128

I

I-·------------c------------~

Fig. 10.6.- Correa recta

10.5.2.2 Ejes paralelos, correa cruzada

En este caso, raramente constatado, el ángulo de contacto sobre lapequeña polea es igual al ángulo de enrollamiento sobre la polea grande (fig. 10.7):

8 = 8, = 82 = rr = 2(3 (10.6)donde:

Como en el caso precedente, se puede determinar fácilmente L. Así:

(10.7)Aquí también la longitud de la correa se expresa con la ayuda de la ecuaciónsiguiente:

(10.8)

Las correas 129

Fig. 10.7.- Correa cruzada

10.6 CÁLCULOS DE CORREAS

Las correas transmiten la potencia por tracción. Una correa es un elementocontinuo cuando está en acción, uno de sus lados está tensado mientras que elotro está flojo. Es la diferencia de tracción debida al rozamiento entre la correa yla polea que engendra el par de arrastre y permite la transmision de potencia.

10.6.1 ANÁLISIS DE FUERZAS·

10.6.1.1 Tracción en la correa

La figura 10.8 muestra el diagrama del cuerpo libre de un pequeñoelemento de la correa. Este pequeño elemento de longitud re y de anchura unitariaestá en equilibrio cuando está sometido a las fuerzas que se muestran:

Fig 10.8.- Fuerzas actuando sobre un elemento de correa.

El equilibrio de fuerzas verticales da:

¿F) + = (F + dE) sin de + F sin de - dN o2 2(a)

Las correas 130

O, para un ángulo d, pequeño, tenemos:

sin de z de2 2

y

cos de z 12

Si no consideramos las expresiones del segundo grado, la ecuación seconvierte en:

dN ::::::F de (b)

Por otro lado, el equilibrio de fuerzas horizontales da :

¿F + - = (F + dE) cos de - F cos de - / dN ov 2 2

lo que, simplificando, queda:

dF = f dN (e)

A partir de las relaciones (b) y (e), se tiene:

dF = fF de

dF/F = f de

Si efectuamos la integración sobre el arco de enrollamiento y tomando elcoeficiente de rozamiento f constante, se obtiene:

o=T J de

e

donde:In F,/F2 te

y, por último:

F,/F2 = e f9 re en rad) (10.9)

Esta última ecuación, llamada ecuación de Euler, permite determinar lavariación de la tracción de la correa en función del ángulo 8. La figura 10.9presenta esquemáticamente esta variación.

Las correas 131

sentido de rotación---t--

_-.- 6

-:.¡¿....----

Fig. 10.9.- Variación de F a lo largo del arco de enrollamiento

10.6.1.2 Tensión debida a la fuerza centrífuga.

Para un elemento de correa de longitud unitaria cuya velocidad lineal es v,la tensión debida a la fuerza centrífuga Fe, viene dada por la ecuación:

(10.10)

Donde a, es la masa lineal de la correa (en kg/m o en Ib/pi) y v es enunidad de longitud por segundo.

Cuando se tiene en cuenta la fuerza centrífuga, la ecuación 10.9 se puedeescribir:

eje

(10.11)o, también:

(10.12)Notemos que la tensión provocada por la fuerza centrífuga no ejerce ningunainfluencia sobre la adherencia de la correa, pero tiene como efecto crear unacondición de tracción adicional de la correa.

10.6.2 POTENCIA TRANSMITIDA

La potencia transmitida por la correa se da en la ecuación:

P = TW1 = (F sub 1 - F sub 2) v

donde:

Las correas 132

y:

(en radls¡

Se tiene, por tanto:

p1t d1 n1 (F1 - F2)

60 x 1000(en W)

(10.13)

p 1t d1 n1 (F1 - F2)

396000 (en hp)

(10.14)10.6.3 TENSIONS INDUCIDAS

La concepción y la elección de las correas se basan esencialmente en lacapacidad de estas últimas de transmitir la potencia pedida a una velocidad daday en condiciones de uso determinadas. El factor lirnitante es en general la tracciónque puede soportar la correa. Por otro lado la tracción repetida y la flexión debidaal enrollarniento y al desenrollamiento sobre la polea pueden traer la rotura porfatiga de las correas. Se debe comprobar la resistencia de las correas a fatiga paraasegurar una vida de duración satisfactoria.

10.6.3.1 Tensiones que actúan en la correa.

Tensión normal en la parte tendida.

La tensión habitual debida a la fuerza de tracción F1 se determina por larelación:

(en MPa)

(10.15)donde S es el área de la sección de la correa.

Así, para la correa plana multicapas de anchura b y de espesor e (e = nec,

donde n es el numero de capas y ec el espesor de una capa) se obtiene:

Las correas 133

Tensión debida a la fuerza centrífuga.

Esta tensión se determina por la relación:

Fea =-e S

(10.16)Tensión debida a la flexión de la correa.

Esta tensión se determina por la relación:

(10.17)Donde Ef es el módulo de elasticidad en flexión de la correa y d. el

diámetro de la pequeña polea.

Tensión total.

La tensión total que actúa en la correa se obtiene sumando las trestensiones determinadas anteriormente. Así:

(10.18)

Para que el uso de la correa sea seguro hace falta que el valor de dichatensión sea inferior a la tensión admisible O"adm determinada por el material de lacorrea:

(10.19)

Para las correas planas el valor de O"adm viene generalmente especificadopor los fabricantes. Este valor tiene un factor de seguridad muy amplio. Laelección de correas trapezoidales no pide el cálculo de los valores de las tensiones,ya que éste se basa en la potencia transmitida (art. 10.7.2).

10.7 CONCEPCiÓN DE UNA TRANSMISiÓN POR CORREAS

En la mayoría de los casos de concepción de una transmisión por correahay que referirse a los datos de los catálogos y a las recomendaciones de losfabricantes. En este capítulo nos limitaremos a presentar a título de ejemplo losprocedimientos generales de concepción y de comprobación de las correas planasy de las correas trapezoidales clásicas.

Las correas 134

En los dos casos, el diseñador debe saber antes los datos básicossiguientes:

• la potencia a transmitir y la velocidad de rotación de la máquina quearrastra;

• la velocidad de rotación de la máquina arrastrada;

• el entreeje o los límites impuestos por el espacio disponible (lo que afectala elección de las dimensiones de las poleas);

• las condiciones de uso:

naturaleza de la carga

presencia de vibraciones, golpes bruscos o choques

temperatura atmosférica, tasa de humedad, limpieza, etc.

10.7.1 TRANSMISiÓN POR CORREA PLANA

En relación con las correas trapezoidales, las correas planas tienen lasventajas siguientes:

• un rendimiento más elevado que puede alcanzar 98 % en ciertos casos;

• un coste de instalación más pequeño;

• la posibilidad de funcionar con velocidades de hasta 45 mis;

• una flexibilidad superior debida al pequeño espesor, lo que permite usarpoleas más pequeñas, pero a veces más anchas que las poleas congarganta asociadas con correas trapezoidales.

Las etapas de concepción y de verificación de una transmisión por correaplana son las siguientes: determinación de la velocidad lineal, determinación delentreeje, introducción del efecto de fuerza centrífuga y de cálculo de la frecuenciade paso.

1. Determinación de la velocidad lineal. Como la potencia transmitida esproporcional al producto de la diferencia de tracción por la velocidad lineal, esventajoso emplear la velocidad mayor posible. De todas formas, la ubicación delsistema y la acción de la fuerza centrífuga, que tiende a separar la correa de la

Las correas 135

polea, imponen en la práctica un límite. Por lo tanto, se recomienda elegirvelocidades lineales del orden de 12,5 a 25 mis (2500 a 5000 pi/min).

2. Determinación del entreeje. Se elige el entreeje teniendo en cuenta:

• la ubicación de las poleas

• la interferencia posible

• el ángulo de enrollamiento 8: este ángulo debe ser el mayorposible (para las correas hechas de material sintético serecomienda elegir 8 ;::: 130°).

3. Cálculo de la potencia efectiva. Para calcular la potencia efectiva se usala ecuación siguiente que hace intervenir un factor de sobrecarga 1< (1<;dependedel tipo de máquina que arrastra y del tipo arrastrado):

(10.20)

donde P' es la potencia efectiva en kW (hp)

La tabla 10.1 da varios valores de Ks'

4. Determinación de la sección. Se calcula la sección de la correa conla ayuda de la ecuación siguiente, donde se compara la condición admisible conla condición real en la parte tensada:

s be°adm

(10.21 )

Donde aadm es la resistencia a la rotura de la correa, resistencia con unfactor de seguridad suficiente para que podamos despreciar las tensiones deflexión y las debidas a la tensión inicial o a la fuerza centrífuga.

Las correas 136

Tabla 10.1.- Coeficiente de servicio K,

Máquinas arrastradas

Agitadoras de líquidosTransportadoresBombas y compresores 1,0 1,1 1,2 1,1 1,2 1,3

centrífugosVentiladores (::;; 10 hp)

Árboles de transmisiónTransportadores de correas

(arena, granos, minerales, etc.)Cribas oscilantesGeneradoresMáquinas de lavanderíaMáquinas de imprenta 1,1 1,2 1,3 1,2 1,3 1,4Máquinas-herramientasAmasadorasPerforadoras, taladradoras,

cizallas -Bombas rotativasReductores de velocidadVentiladores í > 1O hp)

Compresores de pistonesTransportadores con palas, contableros y con tuercas

Elevadores de cangilonesMáquinas -para madera 1,2 1,3 1,4 1,4 1,5 1,6 .. '

(cepilladoras, sierras, etc.)Máquinas para la industria textilBombas de pistonesPulverizadoras

Machacadoras de barrasTrituradoras giratorias y

de mandíbulasGrúas 1,3 1,4 1,5 1,5 1,6 1,8Maquinaria par la industria delcaucho

NOT A: Se recomienda utilizar un coeficiente de servicio de 2 cuando el equipo esté bloqueado.FUENTE: Norma ANSI/RMA-IP-20-1 977.

Elementos motores

- Motor eléctrico de corriente alterna.- Motor eléctrico de corriente continua:

bobinado Shunt.- Motor de combustión interna

multicilindro_s.

- Motor de corriente continua.- Motor de corriente continua:

bobinado serie y compound.- Motor de combustión interna de un

cilindro.- Árbol de transmisión y con embrague

individual.

Serviciocontinuo

(16-24 h/d)

Serviciointermitente

(3-5 h/d)

Servicionormal

18-10 h/d)

Serviciocontinuo

(16-24 h/d)

Serviciointermitente

(3-5 h/d)

Servicionormal

(8-10h/d)

Las correas 137

Se calcula primero esta fuerza de tracción F, empleando las dos ecuacionessiguientes: --

y (ecuación de Euler: ecuación 10.9)

Por lo general, se elige una anchura b que sea la más grande posible y unarelación b/e mínima. Esta relación depende del material de la correa; as! tenemos20 para el cuero, 30 para el cuero multicapas, 15 para el caucho, de 20 a 40 paralas correas tejidas.

5. Introducción del efecto de la fuerza centrífuga. Cuancio la velocidadlineal de la correa pasa los 10 mis, hay que comprobar la resistencia de éstateniendo en cuenta el efecto de la fuerza centrífuga Fe; se utiliza entonces laecuación 10.11 preferentemente a la ecuación 10.9.

6. Cálculo de la frecuencia de paso. Para asegurar una vicia eie la correasatisfactoria hay que tener en cuenta la fatiga causada por la flexión repetidadebida a su enrollamiento y a su desenrollamiento sobre las poleas. Para ello seemplea un parámetro llamado frecuencia de paso, fr, y definido por la ecuación:

fr = v/L (en s') (10.22}

Para el cuero se recomienda un valor máximo de fr comprendido entre 1,4Y 2 s' , mientras que para las correas de material sintético, frll18x puede llegar aalcanzar 6 e incluso 8 s'.

1 0.7.2 TRANSMISiÓN PARA LA CORREA TRAPEZOIDAL

Estudiaremos en principio las correas trapezoidales propiamente dichas.Hablaremos de la concepción de transmisiones en base al uso de estos elementosmuy habituales. Estas correas se fabrican en serie en una gama limitada desecciones y de longitudes normalizadas (art. 10.3.2}. Su capacidad de transmisiónde potencia es elevada gracias a su capacidad de crear fuerzas de rozamiento másgrandes que las que inducen las correas planas.

10.7.2.1 Coeficiente de rozamiento equivalente

El funcionamiento de una correa trapezoidal se caracteriza por elatrapamiento de ésta en la garganta de la polea (fig. 10.10a). Este atrapamiento

Las correas 138

hace crecer la fuerza normal que se ejerce entre la correa y las paredes de la poleay tiene por efecto aumentar el valor de las fuerzas de rozamiento así creadas. Paratener en cuenta este fenómeno se calcula un coeficiente de rozamientoequivalente. Para ello hace falta estudiar las fuerzas que se ejercen sobre elelemento de de la correa en los planos axial y radial (fig 10.10).

El equilibrio de fuerzas en el plano axial (fig. 10.1 Oa y 10.1 Oc) permitecalcular la acción normal de la junta o llanta sobre un elemento e, do 1:': correa, así

dQ = 2dN sin q;/2 (a)

donde q; es el ángulo de la garganta de la polea. El diámetro característico de lapolea (d, o d2) es en este caso el diámetro primitivo, es decir aquel Que pasa porel eje neutro de la correa. En el plano radial (fig. 10.1 Ob) el equilibrio de fuerzashorizontales da (apdo. 10.6.1.1):

dF - 2f dN (b)

y el equilibrio de fuerzas verticales:

dQ _ F de (e)

A partir de las ecuaciones (a), (b), (e), y simplificando, se obtiene:

dFF

( f ) de = f. desin <p / 2 e

donde fe es el coeficiente de rozamiento equivalente

~

Q

F + dF - F,2fdN

\-+~/\ , ,'r-H

(b)

dN

~-da rp/2

J .dN

(a) (e)

Fig 10.10.- Fuerzas que actúan en un elemento de correa trapezoidal:

a) en el plano axial,

(b) en el plano radial,

c) polígono de fuerzas en el plano axial.

Las correas 139

fsin 1.

2

(10.23)

Finalmente, para las correas trapezoidales, la ecuación de Euler se escribe:

(10.24)

Cuando se tiene en cuenta la fuerza centrifuga la ecuación 10.24 se escribe:

F1 - Fe r»e= eF2 - Fe

(10.25)

10.7.2.2 Designación de las correas trapezoidales

Muchas series de correas trapezoidales están normalizadas y aunque alfinal del capítulo se trata el caso de la serie clásica se pueden aplicar losprocedimientos de diseño presentados aquí para el cálculo de otras series.

La tabla 10.2 da las dimensiones normalizadas de las correas clásicas en los dossistemas de unidades. Así, 16C 1500 designa una correa SI clásica cuya longitudprimitiva es de 1500 mm, la anchura de 16 mm y el espesor de 10 mm.

Las correas 140

r------------------

I

Tabla 10.2.- Dimensiones de las correas trapezoidales clásicas y SI clásicas.

Designación Anchura Espesor Potencia Diámetros

b e transmitida normalizados de laspor correa poleas

(po y mm)

(po y mm) (po y mm) (hp y kW) mínimo incremento

Sistema A 0,5Ó 0,31 0,2 a 5 2,6 0,2imperial B 0,66 0,41 0,7 a 1O 4,6 0,2

C 0,88 0,53 1 a 21 7,0 0,5

D 1,25 0,75 2 a 50 12,0 0,5

E 1,50 0,91 4 a 80 18,0 1,0

SI 13C 13 8 0,1 a 3,6 65 5--

16C 16 10 0,5 a 7,2 115 522C 22 13 0,7 a 15,0 180 1032C 32 19 1,3 a 39,0 300 20

* Según la norma ANSI/RMA-IP-20-1977.

10.7.2.3 Concepción de una transmisión para correa trapezoidal

1. Determinación de la sección de la correa. La tabla 10.2 presenta unagama de potencias transmitidas por correas. Con la -avuda de esta tabla podemosrealizar una primera elección de secciones de las correas.

2. Determinación de diámetros de las poleas. El rendimiento de latransmisión es óptimo cuando los diámetros de las poleas permiten a la velocidadv alcanzar una velocidad en torno a 20 mis (4000 pi/min). No obstante, serecomienda una gama de velocidades comprendidas entre 5 y 25 mis (1000 a5000 pi/min).

Por otro lado, el atascamiento de las poleas puede ser un criterioimportante cuando se determinan los diámetros.

3. Determinación inicial del entreeje. El valor recomendado para estadistancia se da por la relación:

(10.26)

Establecida en función de criterios presentados en el apdo. 10.7.1 y donded, y d2 son los diámetros primitivos de la polea pequeña y de la grande.

Las correas 141

Un entreeje demasiado grande puede provocar vibraciones indeseables oun temblor del trozo flojo. Por el contrario, un entreeje demasiado corto reduce elángulo de contacto, lo que contribuye a disminuir el rendimiento de la transmisión.

4. Cálculo de la longitud de la correa. Las ecuaciones utilizadas para elcálculo de la longitud de la correa hacen intervenir los diámetros primitivos de laspoleas, d2p y d,p. La longitud así obtenida es, por lo tanto, la longitud primitiva ~.

En el Sistema Imperial, es la longitud interna de la correa, Ls, la que estánormalizada. Hace falta determinar L, con la ayuda de la ecuación siguiente:

(10.27)

Donde f1 es el factor de conversión, que es función de la sección y de lalongitud de la correa; la tabla 10.3 da los valores de los factores Is para las correasclásicas.

En el sistema internacional es la longitud primitiva, l", la que estánormalizada. Es inútil, por tanto, aplicar un factor de conversión.

5. Cálculo y normalización de la longitud de las correas. Cuando hemosdeterminado y normalizado los diámetros de las poleas d2p y d,p, se calcula lalongitud de la correa Lp (ecuación 10.5) basándonos en el entreeje inicial C.Después, se elige la longitud normalizada más próxima a Lp utilizando las tablas10.4y10.5.

Tabla 10.3.- Factores de conversión c , para las correas clásicas*

Designación Longitud Factor de conversión !!,

(po) (po)

A 26 a 128 1,3

B 35 a 240 1,8

B 240 y más 2,1

C 51 a 210 2,9

C 210 y más 3,8

D 120 a 210 3,3D 210ymás 4,1

E 180 a 240 4,5

E 240 y más 5,5

* Según la norma ANSI/RMA-IP-20-1997.

Las correas 142

6. Cálculo de la potencia bruta. Para obtener una larga vida de la correacon una fiabiTidaa aceptable se puede evaluar la potencia bruta P,con la ayuda dela expresión empírica siguiente:

(10.28)

donde e" e2, C, y C, son constantes que son función de la sección de la correa(tabla 10.6). El parámetro r representa la velocidad de la pequeña polea (en r/min)dividido por 1000:

r = n, I 1000 (10.29)

y K, es una constante que depende de la relación de velocidades n1/n2

(tabla 10.7).

En el Sistema Internacional, d, (diámetro de la pequeña polea) se expresaen mm y P, en kW, mientras que en el Sistema Imperial d, se expresa en Po yP,en hp.

La ecuación 10.28 es válida cuando se dan las condiciones idealessiguientes:

• ángulo de contacto () = 180°;• longitud normalizada para una sección dada;• par transmitido constante (sin variación brusca).

Las correas 143

Tabla 10.4,- Longitud normalizada L, Y factor de corrección KSIpara las correas clásicas (según norma ANSI/RMA-IP-20-19,97).

Ls(po)

A B e o E

26 0.7831 0,8235 0,85 0,8038 0,87 0,8242 0,89 0,8446 0,91 0,8651 0,93 0,88 0,8055 0,95 0,8960 0,97 0,91 0,8368 1,00 0,94 0,8575 1,02 0,96 0,8780 1,0481 0,98 0,8985 1,05 0,99 0,9090 1,07 1,00 0,9196 1,08 0,9297 1,02

105 1,10 1,03 0,94112 1,12 1,05 0,95120 1,13 1,06 0,96 0,88128 1,15 1,08 0,98 0,89144 1,10 1,00 0,91158 1,12 1,02 0,93173 1,14 1,04 0,94180 1,15 1,05 0,95 0,92195 1,17 1,06 0,96 0,93210 1,18 1,07 0,98 0,95240 1,22 1,10 1,00 0,97270 1,24 1,13 1,02 0,99300 1,27 1,15 1,04 1,01330 1,17 1,06 1,03360 1,18 1,07 1,04390 1,20 1,09 1,06420 1,21 1,10 1,07480 1,13 1,09540 1,15 1,11600 1,17 1,13660 1,18 1,15

Las correas 144

III

Tabla 10.5.- Longitud prir:nitiva L, y factor de corrección K"para las correa'SSl clásicas (según nor~a ANSI/RMA-IP-20-1997l.

13C - 16C 22C 32C-Lp K2 Lp K2 Lp K2 Lp K2

710 0.83 960 0.81 1400 0.83 3190 0.89750 0.84 1040 0.83 1500 0.85 3390 0.90800 0.86 1090 0.84 1630 0,86 3800 0.92850 0.88 1120 0.85 1830 0,89 4160 0.94900 0.89 1190 0.86 1900 0,90 4250 0.94950 0.90 1250 0.87 2000 0,91 4540 0,95

1000 0.92 1320 0,88 2160 0.92 4720 0,961075 0,93 1400 0.90 2260 0.93 5100 0.981120 0.94 1500 0.91 2390 0.94 5480 0.991150 0.95 1600 0.92 2540 0.96 5800 1.001230 0.97 1700 0,94 2650 0.96 6180 1.011300 0.98 1800 0.95 2800 0.98 6560 1.021400 1.00 1900 0.96 3030 0.99 6940 1.031500 1.02 1980 0.97 3150 1,00 7330 1,041585 1,03 2110 0,99 3350 1.01 8090 1,061710 1.05 2240 1,00 3550 1,02 8470 1.071790 1.06 2360 1.01 3760 1,04 8850 1,081865 1.07 2500 1.02 4120 1.06 9240 1.091965 1.08 2620 1.03 4220 1.06 10000 1.102120 1.10 2820 1.05 4500 1.07 10760 1.112220 1.11 2920 1.06 4680 1.08 11530 1.132350 1.13 3130 1,07 5060 . 1.10 12290 1,142500 1.14 3330 1.09 5440 1.112600 1.15 3530 1.10 5770 1.132730 1,17 3740 1.11 6150 1,142910 1.18 4090 1.13 6540 1.153110 1.20 4200 1,14 6920 1,163310 1.21 4480 1,15 7300 1.17

4650 1,16 7680 1.185040 1.18 8060 1.195300 1.19 8400 1.205760 1.21 8820 1.216140 1.23 9200 1.226520 1,246910 1,257290 1.267670 1.27

Las correas 145

Se obtiene una primera evaluación del entreeje final a partir de la ecuación:

L - Ael = --.J:..P__2

(10.33)Por último, el valor del entreeje viene dado por la relación:

e" = el - B

zc'(10.34)

Notemos que se aplica este método sistemático únicamente cuando losárboles son paralelos y las correas no son cruzadas (fig 10.6).

11. Cálculo de la frecuencia de paso. Ya lo hemos visto en el art 10.7.1.Hay que tener en cuenta la fatiga causada por la flexión repetida de las correas.Se recomienda elegir un valor máximo de la frecuencia de paso fr (ecuac 10.22)inferior a 8.

Las correas 148

t---d--~

Ro$C& no rmal, a<:ne 1 ,

RO!5ca d p d, d, R dlR ~h .d.mm mm rttm mm mm mlrt' mml

?>l3 3 0.5 2.675 2.387 0.072 42 4.48 5.03?>l4 4 0.7 3.545 3,141 0,101 40 7.75 8:~8.M5 5 0.8 4.480 4,019 O,U5 43 12,7 14.2~í 6 6 1.0 5.350 4.773 0.144 42 17,9 20.1MS 8 1.25 1.188 6.466 0.180 44 32,8 36,6M 10 10 1,5 9,!l26 8,160 0.217 46 52,3 sa,oM: 12 12 1.75 10.863. 9,853 0,253 47 16,3. 8,..310{ 16 16 2,0 14.101 13.546 0.289 55 1~4 1571>(20 20 2,5' 18.316 16.933 0,361 55 U5 24:5MZ4 24 3.0 22,051 20~19 0,433 56 324 '"M30 30 3;5,0, 21;721 ,25,706 0.505 59 ~19l\[ 36 36 4,0 33.4Ó2 31.093 0.571 62 159 ,M 42 42 4..5 39,077 36,419 0,650 65 lQ45M48 48 5.0 44.152 , 41.86B 0.722 66 1371Z,í 58 56 5.5 52.428 49.252 0,794 71 ,1906M64 64 6,0 60,103 56,639 0.866 14 2520 2&'16'

Roa<:a fina, 5<:!,ne 1

],(8xl 8 ' ,~,O 7,-350 6,773 O,lH 56 ~6.0 39,2M 10.xO,75 10' 0,75 9,513 9,080 0,108 92 64,1 67,9M io x i 10 1,0 9,350 8;773 0,144 70 60,S 64,5M 10xl.25 10 1.25 9,188 8.466 0.180 56 56.S 61,2M rz x r 12 1.0 11,350 10.77-3 0,144 83 91,1 ,9,6,1M 12xl.25 12 1,25 11,188 10.466 0.180 67 86.1 92,1M 12x1.5 12' 1.5 1'1;026 10,160 0,217 55 81,1 ~ilM 16xl 16 1,0 15.350 14,773 0.144, 111 111 178M 16 x 1.5 16 1.5 15,026 14,160 0,217 74 157 161M zo x i 20 1,0 19,350 18,773 ' 0,144, 139 277 2S5M 20Xl.5 20 1.5 19,026 18,160 0,217 92 259 211M 20x2 20, 2,0 18,701 17,546, 0,289 69 242 258M 24xl,5 24 1,5 23,026 ' 22,160 0,217 110 386 401M 24x2 24 2,0 22,701 21,546 O,2S9 83 365 384M 30x1,5 30 1,5 29,026 28,160 0,217 138 623 642M.30 x z 30 2,0 28,701 27,546' 0,289 104 5Q6 621M 36xl.5 36 1,5 35,026 34,160·' 0,217 166 917 940M 36x2 36 2,0 34,701 33,546. 0,289 125 884 9UM 36x3 36 3,0 34,051 32,Si9 0,433 83 .821 865M 42x'1,5 42 1,5 U.026 iO,160 0,217 193 126'1 12941xí 42 x 2 42 2,0 -{O,701 39,546 0,289 145 1229 1264.bí 42 x 3 42 3,0 40,051 . 38,319, 0,433 97 1153 12081f48 X 1,5 48 1,5 -{7,026 46,160 0;217 221 1874 1705M 48x2 4,8 2,0 46,701 45,546 0,289 166 183Ó 1671M 48x3 48 3,0 {6,051 -H,319 ..0,433 , 111 1543 1604-M 58x 1.5 56 1,5 55,026 54,160 0,217 258 ' 2304- 2341M 58x2 . 56 2,0 54.701 53,546 .. 0,289 - 194 . 2252 2301M 56x4 56 4,0 53,402 51,093 0,577 97 2050 21HM 64Xl,5 64 1,5 1l3,021l 62,160 0,217 295 3035 3077MIHx2 64 2,0 62.701 61,546 0.289 221 2976 3033M 64x4 64 4,0 1l1,402 59,093 0,577 111 '2143 2851M72xl,5 72 1.5 71,026 70,160 0,217 330· 3867 .- ,,3914M 72X2 72 2,0 70.701 69,546 O,2S9 249 3800 ' .' 3862Ir{ 72X4 72 4.0 69.402 61,093 0,577 125 3536 3659 .M 72x6 72 6,0 138.103 64,639 0,866 83 3282 S460

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3.6 4.6 4.1

l\OITIití.te 300 400Charge de n~pture , la trltction.Rm- N/mm2 .20 -330 .00 500 5~O 600 800

95 120 130 1$5 160 190 230

220 250 :lOa

90 114 12<4. 147 \52 181 219

min.

mino

mu:.•

min.

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HR8mino

HRC

HRSmax.

HRC

Oureté Vicke,,31. HV. F;. 98 N .6.3

6.4 Our~ti Brin~1(3), HB. F = 30 02

238 ?l$

82 89

20

99

30

52 67 71 19 ! -

-.-' .

23 21 ;31 'lit6.15 Ouret~ RockweU31 HR

9S

3S6' 380 402 4se&.' OuretE IUPtrliclellt, !:IV 0,3 .nax. 320

Limite .pparente d't!lestici(4).nominfl.t 180 240 320 300 40( 48q

&.7"eL, N/mrn2

mi". 190 240 340 300 420 480

Limite con\'lntionnelle d't!11IS1icitf.nominfl.t MO,.1

"po,,' N/mm2 mil\. . &40

Sp/R.L ou "pO,' 0;94 0,94 0,91 0,9-4 0,91 0,91 0,916.1 Ri-sisunct • ,. charpe d't!prevve, Sp yoN/mm2 180 225 310 280 lar 440

----~------------------+---+-~-<_..~:.-::~~~,---,•• U;vi~

0'". ;. ;.".:o.tt

i

600 650 . a3ó "flG .:

a 12 12 10 'o5.10 Allongement .prk rupture,A$. ~ 20 10mi".

6.11 Résistanct , 1" tr ection sveel. calt biei"

Les v.leul1 pour vi, .1 bouloru entiel1 tp,:s 'es g¡wjonsl d6lventlb't ~11SWJt valC'\.lfl mínima'e-s de d .•arpe ck rvptu,t • ,. trktion indiqules 11'15:2

25 30 306.12 Er>erg'c de choc, J mino

6.13 SoIiditE de l. ,he

Hautcur minimale de l. zooedu filetage non ~rburEe. E

6.14Profondeur maximale dedkarburation totale, G

0,015rnm

11 Poer boolons pour structur es métalliques > M12.

21 S'eppliQue unlquernent IIUX dlrnensloru jusqu'i 16 mm ~ di~tre de fi!eta\j8.

3) v.rru<1 de dureté calculées d'lIpds ISOfTC 17/SOj N 357.

~ 1 Au CM o<r 111 limite eppbr~nte d'ér8sticit! R.L oe pevt l~ oéterrnirée, n est toli~ de mesurar la limita conventionnelte d'tlssticité RpO,2"

ROBea fina, serie 1_ ...

Hosca d p d, dI R etn Al< .--__.A,-,

rnm TIlm mm rnrn mm mrn ' mm '..._ .....-._ ....-

M s x r 8 -1,0 7,350 6,773. 0,144 50 36,0 39,2'M 10 xO,75 . 10 0,,75 9,513 9,080 0,108 92 64,7 67~9M 10x 1 10 1,0 9,.350 ,. 8,773 0,144 '70 60,5 64,5M10 xr.ss 10 1,25 9.188 8,466 ' 0,180 5.6 56.3 61.2.M 12xl 12 1,0 11,350 10,77.3 0,144 83 91.1 96,1M 12 X 1,25 12 1,25 11,188 10,466 0.,180 . 67 88,1 92,1M 12x 1,5 12 1,5 11,026 10,160 0,217 55 81,1 88,1M ie x r 1.6 1,0 15,.350 14,773 0,144 111 . 171 178'M 16x 1.5 l6 1,5 15,026 14,160 0,217 74 157 167M 20)S 1 20 1,0 19,350 18,773 0,144 139 277 285M 20x 1,5 20 1,5 19,026 18,160 0,217 02 259 271M 20x2 20 2,0 18,701 17,546 0,289 69 242 2.58M 24 X 1,.5 24 1,5 23,026 . 22,160 0,217 110 386 .01M: 24 X 2 24 2,0 22,701 21,546. 0,289 83 365 .384Mso X 1,6 80 1,5 29,026 28,1-60 0,.217 138 623 642M 30x2 80 2,0 28,701 27,546 - 0,289 104 5{}6 621. M 36 X 1,5 - 36 1,5 35,026 34,160 0,217 166 0.17 Q40M 36x2 36 2,0 34,701 . 33,5~6. 0,289 125 884 nl"M 36 x.a 36 3,0 34,051 32,81-9 OA33 83 821 865M42 x-1,5 42 1,5 4L026 40,160 0,217 193 1267 1294M 42x2 42 2,0 40;701 39,5.46 0,289 145 1229 1264M 42x3 42 8,0 40,051 38,319 0,433 97 1153 1206M'48xl,5 48 1,6 47.,026 ' 46,160..

0;217 221 . 167' 1705; M48x2 4:8 2,0 46,701 4:5,646 0',289 166 163Ó 1671M 48x3 48 3,0 46,051 44,819 , . 0,433 . 111 1543 1604M 56xl,5 56 1,5 55,026 54,160 0',217 258 '~3b4 2341M 56x2 - 56 2,0 54.701 53,546 0,289 104 - 2252 2301; M ·56 X 4: 56 4,0 53,402 51;003 0,577 07 2050 2144M 64 X 1,5 64 1,5 63,026 62,160 0,217 2.95 8035 3077M 64x2 64 2,0 62,701 61,546 0,289' 221 2976 8033M 64x4 6.4 4,0 61,402 ' 59,093 0,577 111 ' 2743 2851M 72x 1,6 72 1,5 71,026 70,160 n,217 330- 3867 SlH4 iM 72'x2 72 2,0 70,701 69,546 0,289 249 3800 3862M 72x4' 72 4,0 69,402 67,093 0',5.77- 125 3536 3650. M 72x6 72 6,0 68,103 64,639 O'¡866 83 3282 3,(60 .I --~-_... .' ......~.._ .. ".

,I)

"

.'

Rosca no rmal, ser-ie 1, . -

Rosca d p dI d, R un Al< A.rnm mm rnrn rnm mm rnm! mm'.L

M3 3 0,5 2,675 2,387 0,072 42 4,48' 5,03:M 4: 4 0.,7 3,545 3,141 0.,10.1 40 7,75 . 8,7·8l\f5 5 0.,8 4,480. 4,0.19 0.,.115 43 12,7 14,21\16 6 1,0. 5.350. 4,773 . 0.,144 42 17,9 20.,1M8 8 1,25 7.188 6,466 0,180. 44 32,8 36,6M io 10 1',5 9,026 8,160 0.,217 46 52,3 58,0.M 12 12 1,75 10.,-863 9,853 0.,253 47 76,3 84,3M 16 16 2,0. 14,70.1 13.546 0.,289 55 " 144 157M 20. 20. 2,5 18,376 16,933 . 0.,361 55 225 245M 2-4 24 3.0. 22,051 20.';'319 0.,433 56 324 35.3M 30. 3D 3,5 27,727 25,70.6 ·0.50.5 59 519 561?ti 36 36 4,0. 33,402 31.0.93 0,577 62 759 817M 42 42 4,5 3~,O77 , 36,479 0.,650. 65 10.45 t'121?tI 48 . 48 5,0. 44,752 41.866 0.,722 66 1377 1473M 56 56 5,5 52,428 4·9,252 0.,794 71 1906 20.30.M 64 64 6,0. 60.,10.3 56,639 , 0.,866 74 2520. 2676

- "O,' o·,

--- --_ .._-------.. -----------_._--------_._ .._-----,_ ...

b)

.-----d -----1

Ro~a .no.nna1, ser-ie 1

Rosca d p d, d, R rl/R .A.~ A.mm mm mm mm mm mm' rnm"

?el 3 0.5 2.875 2.387 0.072 42 4.48 5,031>14 4 0.7 3;5~5 3.141 0.101 40 7.75 8.7.8M5 5 0.8 4.480 4.019 0.115 43 12.7 14.2Me 6 1.0 5_350 4.173 0.144 42 .17,9 20.1M8 8 . 1.25 7.188 6.466 0.180 44 32,8 36.6~110 10 .1.5 9.025 8.160 0.217 ,(6 52.3 58.0}o! 12 12 1.15 10.863, 9.853 0.253 47 . .'16.3. 84.3}oí 16 15 2,0 14.701 13.546 0,289 55 144 157:M: 20 20 2,5' 18.376 16,933 0,361 55 22S 245M 2"4 24 3.0 22,051 2q~19 Q.433 56 324 3531t!'30 .30 '3,;5,:··,' 21..727. .·25.706 0.505 59 .519 56i.

. lI! 36 36 4.0 33.402 31.093 0,577 52 759 817lit: 42 42 4.5 39,017 36.479 0,650 65 1045 1121M48 48 5.0 44.752 41.866 0.722 66 1377 1473'1! 56 56 5.5 52.428 49.252 0.794 71 ' 1006 2030M 64 64 6,0 60.103 56,639 0,868 74 2520 2576

Rosca fina, ~rie 1

M s x ; 8 ' .~,O 7,-3.50 6.773 0.144 56 ;36,0 39.2'MI0xO,75. 10' '.0;75 .9,-513 " ,11,080 0,108 02 64,7 67.9M 10xl 10 1.0 9.350 8;773 0,144 70 W.S 64.5M 10 x 1.25 - 10 1.25 9,188 8,466 0,180 56 S6.3 61.2M rz x r 12 1.0 11.350 10.77-3 O.lB 83 91.1 .se.iM 12 x 1.25 ·12 ~.25, 11.188 10,466 0.180 61 86,1 92,1

. M'12xl;5 12'" 1.¡S -r r 11;026' "?10~'160 0;217 . 55 81.1 .880'1M 16xl 15 1.0 15.350 14.773 0.144 111 171 178M re x 1.5 16 1.5 15,026 14.160 0,211 74 157 16710{ zo x i 20 1,0 19,350 18,773 . 0,144. 139 277 235M 20xl,5 20 1,5 19,02.6 18.160 0.2.1.1 92 259 271M 20x2 20· 2,0 18,701 17.546. ~,289 69 242 258M 24xl,5 2~ 1.5 .

23,020 - 22,160 0;217 lio 386 401M 24x2 . 24- 2,0 . 22.701 21.S'i6 0,289 83 365 384l(·,30X'15·, 30 '.. 1,~ ,..~g~~.. 28,160 0,211 138 623 6421d:30X2' . 30 :2,0 '21,546' 0,289 10-4 sM 6211d: 36 x 1.5 36 1,5 35,026 34,160" 0,217 16(l !H7 940M 36x2 36 2,0 34.101 33,5;6. O,2S9 125 884 914l( 36 X3 36 3,0 34,051" 32,319 0,433 83 .821 8651rí 42 X'l,5 4Z 1,5 41.0~6 40,160 0.217 193 126'1 12941tí 42 X 2 4Z 2,0 ' 40,70-1- 39,546 0,289 145 1229 1254M: 42x3 42 3;0 40,051. 38,319. Q,433 97 uss 1206M'48Xl,5 48 1.5 47,026 46,1130 0;217 221 1674 17051í 48 x2 48 2,0 46,70~ 45,546 0,289 166 isso 1671],{48 X 3 48 3,0 45,051 44,319 -,0,433 . 1H 1543 16041d: 56 x 1;5 56 1,5 55.026 54,idO 0,211 258 , 2304. 2341 "

M 56x2 . 56 2,0 54.70l. 53,546 ,.0,289 . 1~4 . 2252 2301.M 56x4 56 4.,0 .53,402 51,093 0,577 97 2050 2144'

M 64Xl,5 M 1,5 63,026 62,160 0,217 295 . 3035 3071M: 64 x 2 64 2,0 152.70.1 61,546 0,289 221 2976 30331rí 64. X 4- 64 4,0 151.4:02 59,093 0.577 111 : '2143 2851

M 72x1.5 72 1.5 71.026 70,160 0,211 330' 3867 .- ... 3914M 72x2 72 2,0 70,101 e9,546 0,2.89 249 3800 "3862M 7? ~.t 72- .(.0 69.402 57.093 0.517 izs 35:i5 3659 .

•••••••• 1"1I

a.J

5.U Rái5!.nee , '. tr.ction ,vte1., cale bi.i"

TABLEAU 3 - C,rllctlñrtiq es mkanil;ltllS des bouJonf. vis.t QOuJor

cr.j¡u d. ullit'

~t\5.6 ul U 1) ala'

'L.,../ <: MI6 > M16,1

nornin~f 300 4006.'el

5.2

o..rge de rupture • la trilction.Rmo N/mm2

500 520 600 800 830mino

mino

~"'.min.

mu.

HRItn;,,_

HAC

HAarnlX.

HAC

...••.. 320

9.821 10.9 12.9

900 1 000 1 2QO

900 1040'220

220 250 300

95 1:20 130 155 160 \90 230: :255 280 310 ·3125.3 Ourtti Vicl<eri31• HV. F > 9.8 N

90 114 .124 147 152 181 219lA Durrli Brinell31• HB. F = 30 02

209 238 285

52 67 71 82 8979

5~ Ou.tU RockweU31 HR95

30

l.' Ou,.tlluPerftclell •• I:IV0.3

'.7 Umitt ,¡¡parente IIfIl.ticiliC1•~.L.N/mm2min. 190 240 340 300 .:20 480

6-40

les v.reU" J)OUrvis tt W>ulonslntier"l.!pas les ~jonsl dOiverl¡ll\!" ¡¡pIa~J( varNr"I minim,'es de ~I\.r,> ••~ rl.?tu~t' I1 ' • .ctia" indi~e.I Ir: 5.2

- 25 '. ~ 30, 25· 20 15

~'eur,.,1 Ptu,,¡

••• Umite co,w~ntion~lIt d'ilastidtl.~PO,2' Nfmm' 6-40

I

~

., iH. , IiH• '¡HI')015 ". I"I--"~b'--I---------~--'----------~~------------~~1".----- ¡,:';'í--~_~I

ecr ,)<J ons pour struttures JnIlU1l11ques > M12. I

I

': S"Pplj Que un/que~nt .ux dimenslons jUiq.,l'¡J 161M' de dil '1"oltre de filetagl.

;, V,',uí I de dure!E carculées d'.pris ISOfT~ l.1/S03 N357. I

I Au cas~oU J. ¡¡"lit. epparent. d'fJl$tici~ Re\. /'le p.eut 'fa dE :ermi~. P est foil•.•de mesu •..•r I1 IIm/tl convtn tlonnellI

I 12

SplReL OU RpO.2 0.,94 0..94 0,91 0.,94 0,,9. 0,91 0.91 ,R6isunc:e • 1, thllr¡¡e CftPrCIIYr,S" ..·----:\.O.

Hfrrvn' 'SO 225 310 280 38r «O 7'5.10 AIlor.~ment .prh 'rupture, AS- " 1022 14 20min.

tnerfie de ebee, J min.

SoIiditl de l. lh~

HlIuteur minirn.,ij¡ ~ 1, ron«~u fiJu.ge ftOll 6k.rburH. E

1,14ProfcY.>deur m.ximal. dedEarbur.tion loule. G

336 360 382 .34

:242 266 m 35J

319 342 363 412

- - - -23 27 31 31

- - - -34 36 3t 44

~56 . 380 402 454

- - - -- - - -

640 720 900 1080.660 720 940 1100

0.91 0.91 0.88 0,88 : ,

600 650 I 830 170

12 '0 • •

d'E11S icitl R pO.2-

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1Ir

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1500

I. 250--1

El esquema de la figura adjunta corresponde a una prensa para elmoldeo, con tratamiento térmico, de piezas de materiales sintéticos. Elárea del pistón del cilindro es de 300 cm2 y el del vástago 200 cm2

• Enla fase de avance la resistencia mecánica es prácticamente nula,desplazándose el pistón 12 cm en 1,5 s. En la fase de retroceso laresistencia mecánica al movimiento del pistón también se consideradespreciable. La duración del tratamiento térmico es de 2 min ydurante ese tiempo la fuerza de compresión requerida es de 450 kNcomo mínimo. Por otro lado, el tiempo para la retirada de cada piezamoldeada y de recarga de la prensa es de 2 mino

a) Determinar el volumen del acumulador, sabiendo que la bombaalimenta el circuito con un caudal constante de 6 I/min y que laválvula Iimitadora de presión está regulada a 20 MPa. "

b) Estimar el consumo de energía para 100 ciclos de trabajo en unturno de 8 h.

20J.~fo..--¡t¡=-¡il--~r,

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Técnicas Mecánicas y de Mantenimiento. Apuntes 2º ITM

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