Tecnicas de Resolucion de Problemas Matematicos

8/3/2019 Tecnicas de Resolucion de Problemas Matematicos

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Resolucin deProblemas Matemticos

Jos Heber Nieto Said


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Prefacio

Hace 10 aos precisamente se gestaron las Olimpiadas Matemticas de Puerto Rico(OMPR), con un pequeo grupo de 20 estudiantes, seleccionado por el Departamentode Educacin de Puerto Rico, para llevar unos equipos a olimpiadas internacionales enrepresentacin de nuestra Isla. A partir de ese momento, las OMPR se han dado a latarea de establecer un protocolo de nivel internacional para reclutar, depurar y educaral talento matemtico de la Isla. Nuestros ciclos anuales ahora comienzan con ms

de 5,000 estudiantes, convocados a travs de un proceso abierto y gratuito. El cicloculmina con 13 estudiantes que representan a Puerto Rico en olimpiadas matemticasinternacionales. En esta ocasin, finalmente y por primera vez, Puerto Rico es sedede una de estas olimpiadas internacionales: la XII Olimpiada Matemtica de Cen-troamrica y el Caribe. Es un placer y motivo de profunda satisfaccin para todos losorganizadores el recibir a lo mejor de la juventud de nuestra regin y el ser anfitrionesde una competencia acadmica e intelectual de esta magnitud. Como es tradicionaldurante una Olimpiada Matemtica de Centroamrica y el Caribe, los primeros dasde la actividad se dedican a un seminario dirigido a maestros locales, con conferenciasy talleres ofrecidos por los expertos internacionales invitados al evento. Estas notasson de la autora de Jos H. Nieto, profesor de matemticas de la Universidad delZulia en Venezuela, quien tiene una larga trayectoria en olimpiadas matemticas, yque funge como Jefe del Banco de Problemas para nuestra edicin de la olimpiada. Es

un honor contar con l como instructor en el seminario para maestros y agradecemossu generoso ofrecimiento de permitirnos imprimir y distribuir estas notas en conme-moracin de este evento, con una portada alusiva a la actividad. Esperamos que losmaestros asistentes aprovechen esta oportunidad nica de interactuar con una perso-na del calibre del profesor Nieto y que las semillas sembradas durante este seminarioen los maestros asistentes den fruto en sus estudiantes.

Comit OrganizadorCENTRO 2010

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Mayo de 2010

Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida ni transmitida por ningn medioelectrnico, mecnico, fotocopiado, grabado u otro, excepto con el permiso por escrito

del autor.

Esta copia es para ser distribuida de forma gratuita exclusivamente. Su venta estprohibida.

La impresin de estas notas es gracias al proyecto AFAMaCMatemticas dirigidopor el Dr. Luis F. Cceres con fondos del Departamento de Educacin de Puerto Ricobajo el contrato #2009AF0185.


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ndice general

Prefacio iii

Introduccin 1

1. Metodologa de laresolucin de problemas 3

1.1. Resolucin de Problemas y Creatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Tcnicas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Poincar y la Creacin Matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. La metodologa de Plya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5. El aporte de Alan Schoenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Algunos problemas sencillos 122.1. Aritmtica y lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Geometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3. Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. Las Olimpiadas Matemticas 263.1. Orgenes de las Olimpiadas Matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2. Olimpiadas Internacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3. Olimpiadas regionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4. Olimpiadas a distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5. Crtica de las Olimpiadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4. Algunos temas importantes 324.1. Geometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2. El principio del palomar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3. Combinatoria enumerativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4. Teorema Fundamental de la Aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.5. Polinomios y Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.6. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5. Algunas estrategias importantes 665.1. Figuras y diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2. Bsqueda de patrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.3. Transformaciones e Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

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5.4. El Principio Extremal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6. Problemas para pensar 78

7. Soluciones y sugerencias 83

Bibliografa 100


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Introduccin

La palabra problema proviene del griego o, que significa lanzar ade-lante. Un problema es un obstculo arrojado ante nosotros para ser superado, unadificultad que exige ser resuelta, una cuestin que reclama ser aclarada. Todos vivi-mos resolviendo problemas: desde el ms bsico de asegurar la cotidiana subsistencia,comn a todos los seres vivos, hasta los ms complejos desafos planteados por laciencia y la tecnologa. La importancia de la actividad de resolucin de problemas es

evidente: en definitiva, todo el progreso cientfico y tecnolgico, el bienestar y hastala supervivencia de la especie humana dependen de esta habilidad. No es de extra-ar, por lo tanto, que la misma se haya convertido en un nuevo objeto de estudio,atrayendo por igual la atencin de psiclogos, ingenieros, matemticos, especialistasen inteligencia artificial y cientficos de todas las disciplinas. En el campo educativose ha reconocido ampliamente su importancia, y en la actualidad se considera queesta actividad debe ser el punto focal de la enseanza de la matemtica en la escuela,concebida como un proceso que debe permear todo el programa y proveer el contextoen el cual se puedan aprender conceptos y habilidades. En muchas universidades eldesarrollo de la creatividad y de la habilidad para resolver problemas se ha convertidotambin en una parte integral del currculum.

Pero, lamentablemente, todava es muy comn que se expongan ante el alumnolos productos y resultados de la resolucin de problemas y no el proceso mismo. Si

examinamos un libro de texto con problemas resueltos de matemtica, encontraremospor lo general soluciones tersas y acabadas. Rara vez el autor incluye comentarios sobrelos intentos fallidos de solucin, los casos particulares examinados antes de llegar a lasolucin general o los refinamientos realizados a una primera solucin no totalmentesatisfactoria. Estos y otros elementos del proceso son cuidadosamente eliminados ylo que se nos presenta es el producto final, pulido y elegante. Hay muchas posiblesrazones para esto: un estilo de exposicin matemtica consagrado por la tradicin,criterios estticos de concisin y elegancia, razones econmicas de las editoriales, etc.Pero la consecuencia es que el estudiante obtiene una visin falseada de lo que esresolver problemas y de la actividad matemtica en general.

El principal objetivo de esta obra es sensibilizar a los maestros y profesores dematemtica respecto a la importancia de la resolucin de problemas, proporcionn-doles adems un material que los ayude en la tarea de cultivar y desarrollar en susalumnos esta habilidad.

El plan de la obra es el siguiente: en el Captulo 1 se ofrece una visin amplia de laresolucin de problemas y su relacin con la creatividad. Primero se examinan breve-mente algunas tcnicas y principios generales, aplicables a todo tipo de problemas, y

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2 PREFACIO

luego se concentra la atencin en las metodologas desarrolladas especficamente pararesolver problemas matemticos.

En el Captulo 2 se ponen en prctica los principios metodolgicos examinados enel primer captulo. Para ello se examinan en detalle varios problemas sencillos, con-centrando la atencin en el proceso de resolucin ms que en el contenido matemticode los mismos.

El Captulo 3 est dedicado a las Olimpiadas Matemticas, concursos de resolucinde problemas que se realizan en todo el mundo y que han contribuido en gran medida aponer de relieve la importancia de la resolucin de problemas. Se analizan su historia,objetivos y modalidades. Se describen varios tipos de olimpiadas, sobre todo aquellasen las que participa Venezuela. Se trata en especial detalle la historia y la situacinactual de las olimpiadas matemticas en Venezuela.

El Captulo 4 trata algunos temas matemticos que generan familias importantesde problemas, presentes en todas las competencias de tipo olmpico.

El Captulo 5 se concentra en algunas estrategias que han probado ser de granutilidad para resolver problemas matemticos en general y en particular los de tipoolmpico.

El Captulo 6 es una coleccin de problemas de todo tipo, que van desde algunosmuy sencillos hasta algunos bastante difciles. A diferencia de los problemas propues-tos en captulos anteriores, en ste el lector no tendr clave alguna sobre el temao la estrategia ms apropiada para resolverlos, por lo cual podr experimentar lascondiciones que se presentan en las competencias.

Para finalizar, el Captulo 7 contiene soluciones o sugerencias para todos los pro-blemas propuestos en el libro.


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Captulo 1

Metodologa de laresolucin de problemas

La principal razn de existir del matemtico es resolver problemas,y por lo tanto en lo que realmente consisten las matemticas es enproblemas y soluciones.

Paul R. Halmos [9]

Este captulo ofrece una visin panormica de la resolucin de problemas. Luegode examinar brevemente varias tcnicas y principios generales, aplicables a todo tipode problemas, se focaliza la atencin en las metodologas desarrolladas especficamentepara resolver problemas matemticos.

Antes de comenzar el autor se siente obligado a hacer una importante adverten-cia: la nica manera de aprender realmente a resolver problemas es. . . resolviendoproblemas! Por lo tanto la lectura de este captulo solamente ser til si se combinacon la prctica correspondiente.

Para quienes estn interesados en los procesos cognitivos de la resolucin de pro-blemas este captulo puede servir como introduccin a obras ms especializadas, comoHuman Problem Solving [12]. Quienes deseen en cambio abordar rpidamente algu-nos problemas matemticos interesantes pueden pasar rpidamente por las pginassiguientes, para volver a ellas ms tarde, como referencia, mientras estn trabajandoen la resolucin de problemas concretos.

1.1. Resolucin de Problemas y CreatividadEvidentemente la resolucin de problemas est estrechamente relacionada con la

creatividad, que algunos definen precisamente como la habilidad para generar nuevasideas y solucionar todo tipo de problemas y desafos.


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4Metodologa de la

resolucin de problemas

La especie humana es creativa por naturaleza. Todo ser humano nace con un granpotencial para la creacin, pero mientras algunos lo aprovechan al mximo, otros casino lo utilizan.

La creatividad, al igual que cualquier otra habilidad humana, puede desarrollarse atravs de la prctica y el entrenamiento adecuado. Lamentablemente, tambin puedeatrofiarse si no se ejercita de forma adecuada.

El pensamiento se ha dividido en divergentey convergente. El primero consiste enla habilidad para pensar de manera original y elaborar nuevas ideas, mientras queel segundo se relaciona con la capacidad crtica y lgica para evaluar alternativas yseleccionar la ms apropiada. Estos dos tipos de pensamiento se asocian a los he-misferios cerebrales derecho e izquierdo, respectivamente. En efecto, la neurocienciaha establecido la especializacin de los hemisferios cerebrales: la capacidad de hablar,escribir, leer y razonar con nmeros, es fundamentalmente una responsabilidad del he-misferio izquierdo; mientras que la habilidad para percibir y orientarse en el espacio,trabajar con figuras geomtricas y rotarlas mentalmente, son ejecutadas predominan-temente por el hemisferio derecho. El hemisferio derecho sera tambin el asiento delas emociones y de la creatividad artstica, mientras que al izquierdo le corresponden

los procesos cognitivos en los cuales el lenguaje y la lgica juegan un rol central.Ambos tipos de pensamiento juegan un rol fundamental en la resolucin de proble-mas, que por consiguiente debe ser abordada, por as decirlo, con el cerebro completo.

1.2. Tcnicas generales

Tres aspectos de la creatividad han recibido mucha atencin: el proceso creativo,las caractersticas de la personalidad creativa, y las circunstancias que posibilitan ofavorecen el acto creativo. Como consecuencia de estos estudios se han desarrolladotcnicas y mtodos generales dirigidos a desarrollar el potencial creativo. Si bien estaobra se concentra en las metodologas especficas que han probado ser ms tiles parala resolucin de problemas matemticos, en esta seccin se hace una breve resea

de algunos de los mtodos ms generales, remitiendo al lector interesado a la biblio-grafa correspondiente. Algunas de estas tcnicas son meras observaciones de sentidocomn, mientras que otras se han convertido en verdaderos sistemas con seguidoresapasionados y fieles.

Invertir el problema

Cada concepto tiene uno contrario y la oposicin entre ellos genera una tensinfavorable al hecho creativo. Esta idea, que tiene profundas races tanto en la filosofaoriental como en la occidental, se refleja en la sabidura popular en aforismos talescomo: Para saber mandar hay que aprender a obedecer o Para ser un buen oradorhay que saber escuchar.

Como ejemplo de esta tcnica supongamos que se desea disear un zapato que seamuy cmodo. El problema inverso sera disear un zapato incmodo. Esto puede pa-recer absurdo, pero el anlisis de este problema nos permitir posiblemente descubrirlos factores que causan incomodidad en un zapato, y al evitarlos se habr dado ungran paso hacia la solucin del problema original (ver [26]).


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1.2 Tcnicas generales 5

En matemtica el pensamiento inverso interviene en las demostraciones por re-duccin al absurdo, en las cuales se toma como punto de partida precisamente locontrario a lo que se quiere probar, para tratar de llegar a una contradiccin.

Pensamiento lateral

Consiste en explorar alternativas inusuales o incluso aparentemente absurdas pararesolver un problema. En otras palabras: evitar los caminos trillados, intentar lo quenadie ha intentado, ensayar percepciones y puntos de vista diferentes (ver [2]).

Los problemas realmente difciles, aquellos que resisten de manera pertinaz losesfuerzos de los mejores solucionistas, requieren frecuentemente un enfoque de es-te tipo para ser resueltos. Muchos problemas matemticos se resuelven de manerasorprendente estableciendo conexiones inesperadas con ramas de la matemtica queaparentemente no guardan relacin alguna con el problema original.

Principio de discontinuidad

La rutina suprime los estmulos necesarios para el acto creativo, por lo tanto, siexperimenta un bloqueo temporal de su capacidad creadora, interrumpa su programacotidiano de actividades y haga algo diferente a lo acostumbrado. Vaya a dar unpaseo por sitios que no conoce, ensaye una nueva receta de cocina, escuche msicadiferente a la que escucha habitualmente, lea un libro que no tena pensado leer, asistaa algn tipo de espectculo diferente a sus favoritos. Romper la rutina suele provocaruna liberacin de energa creadora suficiente para resolver problemas que se nos hanresistido durante mucho tiempo.

Imitacin

La mayor parte de los grandes artistas comienzan imitando a sus maestros. Msaun se ha llegado a afirmar, en parte en broma y en parte en serio, que la originalidadno es otra cosa que un plagio no detectado. En cualquier caso, es claro que la imitacinpuede ser un primer paso vlido hacia la originalidad, ya que permite consolidar unatcnica sobre la cual puede luego edificarse algo novedoso. Si usted desea convertirseen un solucionista experto, no vacile en observar e imitar las tcnicas de resolucinde problemas empleadas con xito por sus compaeros, maestros o colegas.

Factores emocionales

La resolucin de problemas no es un asunto puramente intelectual. Las emociones,y en particular el deseo de resolver un problema, tienen tambin una gran importancia.La incapacidad que manifiestan algunos alumnos para resolver incluso el ejercicioms sencillo no es producto por lo general de una deficiencia intelectual, sino deuna absoluta falta de inters y motivacin. A veces no existe ni siquiera el deseo decomprender el problema, y por lo tanto el mismo no es comprendido. El profesorque desee ayudar realmente a un alumno con estas caractersticas deber ante tododespertar su curiosidad dormida, motivarlo y transmitirle deseos de logro y superacin.

Algunas creencias negativas para el proceso creativo estn asociadas a una bajaautoestima y pueden tener races emocionales profundas. Por ejemplo, hay quienes


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6Metodologa de la


enfrentados a un problema creen a priorique no podrn resolverlo, y que si lo intentanslo conseguirn terminar con un dolor de cabeza. El maestro o profesor debe enestos casos apelar a todas sus dotes y conocimientos como educador, aunque en casosextremos ser necesaria tambin la ayuda de un orientador o la de un psiclogo.

En el polo opuesto, alguien que tenga confianza en su propia capacidad, y crea queun problema es un desafo que vale la pena enfrentar y que resolverlo le proporcionaruna satisfaccin intelectual al mismo tiempo que ser una experiencia valiosa parasu formacin, estar en excelentes condiciones psicolgicas para abordar el procesoresolutivo. Para profundizar en estos aspectos vea [11].

Bloqueos mentales

James Adams, profesor de diseo en la Universidad de Stanford, centra su en-foque de la creatividad en la superacin de los bloqueos mentales, barreras que nosimpiden percibir un problema en la forma correcta y encontrarle solucin. En Con-ceptual Blockbusting [1] analiza diferentes tipos de bloqueos y propone ejercicios para

identificarlos y superarlos. Su clasificacin es la siguiente:Bloqueos perceptivos: estereotipos, dificultad para aislar el problema, de-limitar demasiado el espacio de soluciones, imposibilidad de ver el problemadesde varios puntos de vista, saturacin, no poder utilizar toda la informacinsensorial.

Bloqueos emocionales: miedo a cometer errores, a arriesgar, a fracasar; de-seo de seguridad y orden; preferir juzgar ideas a concebirlas; inhabilidad pararelajarse; falta de estmulo; entusiasmo excesivo; falta de control imaginativo.

Bloqueos culturales: tabes; el peso de la tradicin; roles predeterminadosasignados a la mujer y al hombre.

Bloqueos ambientales: distracciones; falta de apoyo para llevar adelante unaidea; falta de cooperacin entre colegas.

Bloqueos intelectuales: inhabilidad para seleccionar un lenguaje apropiadopara el problema (verbal, matemtico, visual); uso inadecuado de las estrategias;falta de informacin o informacin incorrecta.

Bloqueos expresivos: tcnicas inadecuadas para registrar y expresar ideas (alos dems y a uno mismo).

1.3. Poincar y la Creacin Matemtica

Una de las reflexiones ms profundas que se han hecho sobre la creatividad enmatemtica fu realizada a principios del siglo XX por Henri Poincar, uno de los msgrandes matemticos de todos los tiempos. En una conferencia pronunciada ante laSociedad Psicolgica de Pars [19] hizo interesantsimas revelaciones sobre sus propiasexperiencias como creador:


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1.4 La metodologa de Plya 7

Qu es, de hecho, la creacin matemtica? No consiste en hacer com-binaciones nuevas con entes matemticos ya conocidos. Cualquiera podrahacerlo, pero las combinaciones que se podran hacer as seran un nmerolimitado y en su mayora totalmente desprovistas de inters. Crear consiste

precisamente no en construir las combinaciones intiles, sino en construirlas que son tiles y que estn en nfima minora. Crear es discernir, esescoger...

A menudo, cuando se trabaja en un problema difcil, no se consiguenada la primera vez que se comienza la tarea. Luego se toma un descansoms o menos largo y uno se sienta de nuevo ante la mesa. Durante laprimera media hora se contina sin encontrar nada. Despus, de repente,la idea decisiva se presenta ante la mente. . .

Hay que hacer otra observacin a propsito de las condiciones de estetrabajo inconsciente. Se trata de que tal trabajo no es posible, y en todocaso no es fecundo, si no est por una parte precedido y por otra segui-do de un perodo de trabajo consciente. Estas inspiraciones sbitas no sepresentan. . . ms que tras algunos das de esfuerzos voluntarios, aparen-temente estriles, en los que uno ha credo no hacer nada interesante, ypiensa haber tomado un camino falso totalmente. Estos esfuerzos no fue-ron, por tanto, tan estriles como se pensaba. Pusieron en movimientola mquina inconsciente y sin ellos sta no habra funcionado ni hubieraproducido nada. . .

Poincar esboza luego una teora del trabajo del yo subliminal, en la cual atribuyeun rol fundamental a la sensibilidad y el sentido esttico del matemtico en el procesode seleccin, durante el trabajo inconsciente, de las combinaciones ms significativas.

Una conclusin prctica: cuando un problema se resiste a nuestros mejores esfuer-zos, nos queda todava la posibilidad de dejarlo durante un tiempo, descansar, darun paseo, y volver a l ms tarde. Sin embargo, solamente aquellos problemas quenos han apasionado, mantenindonos en una considerable tensin mental, son los que

vuelven ms tarde, transformados, a la mente consciente. La inspiracin o iluminacinsbita, que los antiguos consideraban un don divino, hay que merecerla.

1.4. La metodologa de Plya

En 1945, el insigne matemtico y educador George Plya (18871985) public unlibro que rpidamente se convertira en un clsico: How to solve it(Cmo resolverlo)[20]. En el mismo propone una metodologa en cuatro etapas para resolver problemas.A cada etapa le asocia una serie de preguntas y sugerencias que, aplicadas adecuada-mente, ayudarn a resolver el problema.

Las cuatro etapas y las preguntas a ellas asociadas se detallan a continuacin:

Etapa I: Comprensin del problema.

Cul es la incgnita? Cules son los datos? Cual es la condicin?

Es la condicin suficiente para determinar la incgnita? Es insuficiente? Re-dundante? Contradictoria?


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8Metodologa de la


Etapa II: Concepcin de un plan.

Se ha encontrado con un problema semejante? Ha visto el mismo problemaplanteado en forma ligeramente diferente?

Conoce un problema relacionado con ste? Conoce algn teorema que le puedaser til? Mire atentamente la incgnita y trate de recordar un problema que lesea familiar y que tenga la misma incgnita o una incgnita similar.

He aqu un problema relacionado con el suyo y que se ha resuelto ya. Podrautilizarlo? Podra emplear su resultado? Podra utilizar su mtodo? Podrautilizarlo introduciendo algn elemento auxiliar?

Podra enunciar el problema en otra forma? Podra plantearlo en forma dife-rente nuevamente? Refirase a las definiciones.

Si no puede resolver el problema propuesto, trate de resolver primero algnproblema similar. Podra imaginarse un problema anlogo un tanto ms acce-

sible? Un problema ms general? Un problema ms particular? Un problemaanlogo? Puede resolver una parte del problema? Considere slo una parte dela condicin; descarte la otra parte; en qu medida la incgnita queda ahora de-terminada?, en qu forma puede variar? Puede usted deducir algn elementotil de los datos? Puede pensar en algunos otros datos apropiados para deter-minar la incgnita? Puede cambiar la incgnita? Puede cambiar la incgnitao los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que la nueva incgnita y losnuevos datos estn ms cercanos entre s?

Ha empleado todos los datos? Ha empleado toda la condicin? Ha conside-rado usted todas las nociones esenciales concernientes al problema?

Etapa III: Ejecucin del plan.

Al ejecutar el plan, compruebe cada uno de los pasos.

Puede ver claramente que el paso es correcto? Puede demostrarlo?

Etapa IV. Visin retrospectiva.

Puede usted verificar el resultado? Puede verificar el razonamiento?

Puede obtener el resultado en forma diferente? Puede verlo de golpe? Puedeemplear el resultado o el mtodo en algn otro problema?

La primera etapa es obviamente insoslayable: es imposible resolver un problemadel cual no se comprende el enunciado. Sin embargo, en nuestra prctica como do-centes, hemos visto a muchos estudiantes lanzarse a efectuar operaciones y aplicarfrmulas sin reflexionar siquiera un instante sobre lo que se les pide. Por ejemplo, sien el problema aparece una funcin, comienzan de inmediato a calcularle la derivada,independientemente de lo que diga el enunciado. Si el problema se plantea en un exa-men y luego, comentando los resultados, el profesor dice que el clculo de la derivada


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1.5 El aporte de Alan Schoenfeld 9

no se peda y ms aun que el mismo era irrelevante para la solucin del problema,algunos le respondern: o sea que no nos va a dar ningn punto por haber calculadola derivada? Este tipo de respuesta revela una incomprensin absoluta de lo que esun problema y plantea una situacin muy difcil al profesor, quien tendr que luchar

contra vicios de pensamiento arraigados, adquiridos tal vez a lo largo de muchos aos.La segunda etapa corresponde a la estrategia, es decir a la formulacin de un

plan general para atacar y resolver el problema, dejando los detalles tcnicos de suejecucin para un momento posterior. Las preguntas que Plya asocia a esta etapaestn dirigidas a posibilitar la elaboracin de un plan factible, por ejemplo llevandoel problema hacia un terreno conocido. Esta etapa es la ms sutil y delicada, yaque no solamente est relacionada con los conocimientos y la esfera de lo racional,sino tambin con la imaginacin y la creatividad. Las recomendaciones de Plya sonmuy tiles para el tipo de problemas que suele plantearse en los cursos ordinariosde matemtica, sin embargo se quedan un poco cortas para problemas olmpicosverdaderamente originales.

La tercera etapa corresponde a la tctica, es decir a los recursos tcnicos necesariospara ejecutar con xito el plan estratgico. Si el plan est bien concebido, es factibley se poseen los conocimientos y el entrenamiento necesarios, debera ser posible eje-cutarlo sin contratiempos. Sin embargo, por lo general en esta etapa se encontrarndificultades que nos obligarn a regresar a la etapa anterior para realizar ajustes alplan o incluso para modificarlo por completo, una o ms veces.

La cuarta etapa es muchas veces omitida, incluso por solucionistas expertos. PeroPlya insiste mucho en su importancia, en primer lugar porque comprobar los pasosrealizados y verificar su correccin nos puede ahorrar muchas sorpresas desagradables.Desconfe de una solucin hallada fcilmente y sin esfuerzo alguno. H. L. Menckendeca que Todo problema tiene una solucin sencilla, clara. . . y errnea!. Desconfetambin de los clculos muy largos y laboriosos, es probable que algn error numricocerca del principio haya enredado todo.

Pero la razn ms importante para practicar la visin retrospectiva es que puede

conducir a nuevos resultados que generalicen, amplen o fortalezcan el que se acabade hallar. Henri Poincar deca que no hay problemas resueltos, slo hay problemasms o menos resueltos. En particular, la visin retrospectiva puede permitile generarnuevos problemas a partir del que acaba de resolver.

1.5. El aporte de Alan Schoenfeld

Si bien la mayora de los matemticos reconocen en las estrategias heursticas dePlya los mtodos que ellos mismos utilizan habitualmente, no es tan fcil para el queno tiene experiencia aplicarlas exitosamente. En otras palabras, dichas estrategiasson ms descriptivas que prescriptivas. Alan Schoenfeld (ver [23], [24], [25]) es uno delos que ms han estudiado esta problemtica. En su anlisis identifica los siguientescuatro factores relevantes para la resolucin de problemas:

Recursos cognitivos. Son nuestros conocimientos matemticos generales, tan-to de conceptos y resultados como de procedimientos (algoritmos).

Heurstica. Es el conjunto de estrategias y tcnicas para resolver problemasque conocemos y estamos en capacidad de aplicar.


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10Metodologa de la


Control o metacognicin. Es la capacidad de utilizar lo que sabemos paralograr un objetivo.

Creencias. Se refiere a aquellas creencias y opiniones relacionadas con la reso-

lucin de problemas y que pueden afectarla favorable o desfavorablemente.La importancia del primer factor es obvia. Sin embargo, se ha demostrado (ver [5])que no es suficiente poseer un amplio bagaje de conocimientos matemticos para serun solucionista experto. Tambin es necesario dominar algunas tcnicas y estrategiasque nos ayuden a atacar el problema. En dominios restringidos y bien delimitados, enlos cuales los problemas a resolver son ms o menos rutinarios, se han desarrolladoestrategias que pueden ser aplicadas con xito incluso por un computador, con resul-tados tan buenos o mejores que los obtenidos por los expertos humanos (estos sonlos famosos sistemas expertos, producto de las investigaciones en inteligencia artificialy ciencia cognitiva). No obstante, para resolver problemas no rutinarios en dominiosricos en contenido, como la matemtica, se requiere algo ms que conocimientos y es-trategias. Ese factor adicional es lo que llamamos control; acta como una voz interior

que nos dice qu ideas y estrategias (entre muchas alternativas posibles) nos convieneaplicar para el problema que tenemos entre manos, o bien si debemos abandonar uncamino que no parece arrojar resultados o por el contrario redoblar esfuerzos y perse-verar en l. Los solucionistas inexpertos tienen evidentes deficiencias en este aspecto:se apresuran a transitar el primer camino que se les ocurre y luego se mueven encrculos, cayendo una y otra vez en el mismo error.

El ltimo factor puede influir tambin de manera importante en el proceso deresolucin de problemas. Algunas creencias comunes, sobre todo entre estudiantesde enseanza media, son las siguientes: todo problema se resuelve mediante algunafrmula, lo importante es el resultado y no el procedimiento, la respuesta del librono puede estar equivocada. Este tipo de creencias es un obstculo para el desempeode cualquier persona como solucionista.

Schoenfeld elabor tambin una lista de las estrategias ms utilizadas:

1. Anlisis.

a) Dibuje un diagrama siempre que sea posible.

b) Examine casos especiales.

1) Seleccione algunos valores especiales para ejemplificar el problema eirse familiarizando con l.

2) Examine casos lmite para explorar el rango de posibilidades.3) Si hay un parmetro entero positivo, dele sucesivamente los valores 1,

2, . . . , m y vea si emerge algn patrn inductivo.

c) Trate de simplificar el problema.

1) Explotando la existencia de simetra.

2) Usando argumentos del tipo sin prdida de generalidad.2. Exploracin.

a) Considere problemas esencialmente equivalentes.

1) Reemplazando condiciones por otras equivalentes.


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1.5 El aporte de Alan Schoenfeld 11

2) Recombinando los elementos del problema de maneras diferentes.

3) Introduciendo elementos auxiliares.

4) Reformulando el problema:

Mediante un cambio de perspectiva o notacin.Mediante argumentos por contradiccin o contraposicin.Asumiendo que tenemos una solucin y determinando sus propie-dades.

b) Considere un problema ligeramente modificado.

1) Escoja submetas (tratando de satisfacer parcialmente las condiciones).

2) Relaje una condicin y luego trate de reimponerla.3) Descomponga el dominio del problema y trabaje caso por caso.

c) Considere problemas sustancialmente modificados.

1) Construya un problema anlogo con menos variables.2) Deje todas las variables fijas excepto una, para determinar su impacto.

3) Trate de aprovechar cualquier problema relacionado que tenga forma,datos o conclusiones similares.

3. Verificacin de la solucin.

a) Pasa su solucin estas pruebas especficas?

1) Usa todos los datos pertinentes?

2) Est de acuerdo con estimaciones o predicciones razonables?

3) Soporta pruebas de simetra, anlisis dimensional y escala?

b) Pasa estas pruebas generales?

1) Puede ser obtenida de manera diferente?2) Puede ser sustanciada por casos especiales?

3) Puede ser reducida a resultados conocidos?4) Puede utilizarse para generar algn resultado conocido?


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Captulo 2

Algunos problemas sencillos

Resolver un problema es hacer un descubrimiento. Un gran problemasignifica un gran descubrimiento, pero hay una partcula de descu-

brimiento en la solucin de cualquier problema. El suyo puede sermodesto, pero si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en

juego las facultades inventivas, y si lo resuelve por medios propios,puede experimentar la tensin y el encanto del descubrimiento y elgoce del triunfo.

George Plya [20]

En este captulo se ponen en prctica los principios y tcnicas examinados en elcaptulo precedente. Para ello se han seleccionado varios problemas sencillos que seanalizan detalladamente, concentrando la atencin en el proceso de resolucin ms

que en el contenido matemtico de los mismos.

2.1. Aritmtica y lgebra

Algunos de los problemas ms antiguos que se conocen son de tipo aritmtico. Estpico que se pida hallar una cantidad determinada por ciertas condiciones, o bienefectuar un reparto cumpliendo ciertos requisitos.

El siguiente problema aparece en la Antologa Palatina, una recopilacin de 3700epigramas griegos compuestos por ms de 300 autores desde el siglo IV d.C. hastala poca bizantina tarda y descubierta por el humanista Salmasius en 1607, en uncdice del siglo IX de la Biblioteca Palatina de Heidelberg. Los epigramas versan sobrelos temas ms variados, y ms de un centenar de ellos son problemas aritmticos.

El siguiente se refiere a Diofanto, un notable matemtico griego que desarroll suactividad en Alejandra en el siglo III a.C. y del cual se conservan muy pocos datosbiogrficos. Sin embargo, se dice que su epitafio contena la siguiente inscripcin:

Ejemplo 2.1. Caminante: aqu yacen los restos de Diofanto. Los nmeros puedenmostrar cun larga fue su vida, cuya sexta parte constituy su hermosa infancia.


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2.1 Aritmtica y lgebra 13

Haba transcurrido adems una duodcima parte cuando sus mejillas se cubrieronde vello. Luego de una sptima parte se cas, y transcurrido un quinquenio le hizodichoso el nacimiento de su primognito, cuya existencia dur tan slo la mitad de lade su padre. Luego de cuatro aos buscando consuelo en la ciencia de los nmeros,

descendi Diofanto a la sepultura.Qu edad alcanz Diofanto? A qu edad se cas? Cuntos aos vivi su hijo?

Solucin. Veamos si comprendemos bien el problema. Cul es la incgnita? El n-mero de aos que vivi Diofanto (las preguntas restantes se responden fcilmenteconociendo la respuesta a la primera). Cules son los datos? Una serie de informa-ciones sobre las etapas sucesivas de su vida, desde su infancia hasta su muerte. Ahoradebemos concebir un plan. Se ha encontrado con un problema semejante? Es de es-perar que s, ya que la mayora de los problemas resolubles por mtodos algebraicoselementales son semejantes. El plan general consiste en escribir ecuaciones que reflejenlas condiciones planteadas, resolver el sistema resultante y finalmente interpretar lassoluciones obtenidas en el contexto original del problema. Llamemos x al nmero deaos vividos por Diofanto. Esta cantidad debe ser igual a la suma de las duraciones

de las etapas de su vida, a saber: su infancia ( x/6), la duodcima parte transcurridahasta que le sali barba (x/12), los aos transcurridos hasta que contrajo matrimonio(x/7), los aos transcurridos hasta que naci su primognito (5), los aos que stevivi (x/2) y los 4 aos que Diofanto le sobrevivi. Por lo tanto escribimos:

x =x

6+

x

12+

x

7+ 5 +

x

2+ 4. (2.1)

Agrupando trminos semejantes resulta:

(1 16

112

17

12

)x = 5 + 4

y simplificando queda

328

x = 9.

Por lo tanto x = 28 9/3 = 84. Verifiquemos el resultado:84

6+

84

12+

84

7+ 5 +

84

2+ 4 = 14 + 7 + 12 + 5 + 42 + 4 = 84.

Diofanto se cas cuando contaba 84/6 + 84/12 + 84/7 = 33 aos, y su hijo vivi84/2 = 42 aos.

Visin retrospectiva: La solucin anterior no es seguramente la que podan dar loslectores de la Antologa Palatina, en una poca anterior al nacimiento del lgebrasimblica. Ser posible entonces resolver el problema sin usar ecuaciones? Efectiva-mente, la clave est en las fracciones de la vida de Diofanto a que hace referencia elproblema: 1/6, 1/12, 1/7, 1/2. Como el denominador comn para todas ellas es 84,este nmero es un buen candidato para la solucin del problema (otros candidatospodran ser los mltiplos de 84, pero es difcil que Diofanto haya vivido 168 aos oms). Luego de verificar que 84 cumple las condiciones del problema nos convencemosde que efectivamente es la solucin, y el resto es sencillo.


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14 Algunos problemas sencillos

Los documentos matemticos ms antiguos que se conservan son dos rollos depapiro egipcios que datan aproximadamente de la XII dinasta (2078 a 1788 a.C.).Uno de ellos, escrito en hiertico por Ahmes y conocido como el papiro Rhind, constade unos 85 problemas y ejemplos prcticos. El siguiente es uno de ellos:

Ejemplo 2.2. Dividir cien panes entre cinco hombres, de modo que las porciones quereciban estn en progresin aritmtica y que la sptima parte de la suma de las tresmayores sea igual a la suma de las dos porciones menores.

Solucin. Asegurmonos de comprender bien el problema. Qu se nos pide? Dividircien panes entre cinco hombres, de modo que se cumplan ciertas condiciones. Culesson los datos? El nmero total de panes (100), la cantidad de porciones (5) y lascondiciones que debe cumplir el reparto. Cules son las incgnitas? Obviamente, lacantidad de panes que le corresponder a cada uno. Comprendemos la condicin?En primer lugar las porciones deben estar en progresin aritmtica; esto significa quesi escribimos las porciones en orden creciente de magnitud, la diferencia de cada unade ellas con la siguiente es constante. En otras palabras, si llamamos x a la menor

de las porciones y r a la diferencia comn (o razn) de la progresin, entonces lascinco porciones debern ser x, x + r, x + 2r, x + 3r y x + 4r. Utilizando esta notacinpodemos describir la ltima condicin del problema mediante una ecuacin:

(x + 2r) + (x + 3r) + (x + 4r)

7= x + (x + r). (2.2)

Es la condicin suficiente para determinar la incgnita? Es insuficiente? Estas pre-guntas vienen muy bien en este momento, ya que nos hacen observar que tenemos dosincgnitas x y r pero una sola ecuacin. En general (pero por supuesto hay excepcio-nes) esto significa que el problema es indeterminado, es decir que en vez de una nicasolucin admite varias, tal vez hasta un nmero infinito de ellas. Pero otra posibilidada tener en cuenta es que no tengamos suficientes ecuaciones sencillamente por haberpasado por alto algn dato o condicin del problema. Recordemos las preguntas de

Plya: Ha empleado todos los datos?, ha empleado toda la condicin? Bueno, le-yendo una vez ms el enunciado del problema vemos que no hemos utilizado el hechode que los panes a dividir son cien. Este dato nos permite escribir otra ecuacin:

x + (x + r) + (x + 2r) + (x + 3r) + (x + 4r) = 100. (2.3)

Bien, ya tenemos dos ecuaciones y dos incgnitas. El plan a seguir es simple: resolverel sistema. Para ello simplificamos primero las ecuaciones 2.2 y 2.3 hasta obtener

11x 2r = 0, (2.4)x + 2r = 20, (2.5)

de donde resulta x = 5/3 y r = 55/6. Las cinco porciones sern entonces: 5/3 = 1 23 ,5/3 + 55/6 = 65/6 = 10 5

6

, 65/6 + 55/6 = 20, 20 + 55/6 = 175/6 = 29 16

y finalmente175/6 + 55/6 = 115/3 = 38 13 .Visin retrospectiva: Puede usted verificar el resultado? Esto es fcil: 5/3 + 65/6 +20 + 175/6 + 115/3 = 100 y 65/6 5/3 = 2 0 65/6 = 175/6 20 = 115/3 175/6 = 55/6. Puede obtener el resultado en forma diferente? Bueno, si se tienecierta experiencia resolviendo problemas con progresiones aritmticas se observa que


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2.1 Aritmtica y lgebra 15

muchas veces resulta ms cmodo representar la progresin de manera simtrica,alrededor de un trmino central. En nuestro caso, si llamamos z al trmino central yr a la diferencia comn, los cinco trminos sern z 2r, z r, z, z + r y z + 2r. Ahorala condicin de que las partes suman cien se escribe as:

(z 2r) + (z r) + z + (z + r) + (z + 2r) = 100,que se reduce a 5z = 100 y por tanto z = 20 (ms en general, el trmino medio deuna progresin aritmtica con un nmero impar de trminos es igual al promedio detodos los trminos). Si ahora llamamos S a la suma de los dos trminos menores,la otra condicin del problema nos dice que S = (100 S)/7. De aqu se despejaS = 25/2. Como S = 20 2r + 20 r = 40 3r, se deduce r = (40 S)/3 = 55/6.Se obtiene por supuesto la misma solucin que antes, pero el procedimiento luce mslimpio y elegante: en lugar de resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitasse resuelven ecuaciones de primer grado.

Cmo resolvan los egipcios este problema? Bueno, eso lo dejaremos a la ima-ginacin del lector pero un indicio es que utilizaban el mtodo de la falsa posicin,

consistente en plantear una solucin tentativa para luego modificarla de modo que secumplan las condiciones requeridas. Por ejemplo, para dividir 100 en dos partes talesque una sea un sptimo de la otra (cmo se hizo ms arriba para hallar la suma Sde los dos trminos menores), se puede partir de 1 y 7. Como 1 es un sptimo de 7,cumplen una de las condiciones, pero no la otra ya que suman 8. Ahora bien, comomultiplicando 8 por 25/2 se obtiene 100, multiplicando 1 y 7 por 25/2 se obtienen25/2 y 175/2, que suman 100 y estn en la proporcin de 1 a 7, ahora slo quedadeterminar la diferencia comn r para que los tres trminos superiores (20, 20 + r y20 + 2r) sumen 175/2.

Para complicar aun ms las cosas, tenga en cuenta que los egipcios no slo nodisponan del lgebra simblica, sino que tampoco manejaban las fracciones comonosotros estamos acostumbrados a hacerlo. En efecto, slo escriban fracciones connumerador 1, y cualquier otra la escriban como suma de estas fracciones particulares.

Por ejemplo 3/7 lo representaban como 13 + 17 + 1231 .

Ejemplo 2.3. Tres recipientes contienen agua. Si se vierte 1/3 del contenido delprimer recipiente en el segundo, a continuacin 1/4 del contenido del segundo en eltercero, y por ltimo 1/10 del contenido del tercero en el primero, entonces cadarecipiente queda con 9 litros de agua. Qu cantidad de agua haba originalmente encada recipiente?

Solucin. Este problema puede tratarse en principio con el mismo mtodo que losanteriores: si llamamos x, y, z a los contenidos iniciales de los recipientes es posible es-cribir unas ecuaciones que reflejen las condiciones del problema. Por ejemplo, despusde la primera operacin el contenido del primer recipiente ser (2/3)x y el del segun-do y + x/3. Luego de la segunda operacin el contenido del segundo recipiente ser(3/4)(y+x/3) = x/4+(3/4)y y el del tercero z+(1/4)(y+x/3) = x/12+y/4+z. Luegode la tercera operacin el contenido del tercer recipiente ser (9/10)(x/12 + y/4 + z)y el del primero (2/3)x + (1/10)(x/12 + y/4 + z). Igualando ahora el contenido finalde cada recipiente con 9 obtenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incgni-tas, cuya solucin es la respuesta buscada. Los detalles se los dejamos al lector comoejercicio.


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Visin retrospectiva: No cabe duda de que el mtodo anterior, aunque infalible, esbastante aburrido y proclive a errores numricos. No habr otra forma de procederms apropiada para este tipo de problema? S la hay, y consiste en sustituir el anlisishacia adelante que realizamos, partiendo de la configuracin inicial y estudiando la

evolucin del contenido de los recipientes con cada operacin, por un anlisis retros-pectivo. Este tipo de anlisis consiste en partir de la configuracin final y estudiarcmo se lleg a ella. En nuestro caso los tres recipientes finalizan con 9 litros, y laltima operacin consisti en trasvasar 1/10 del contenido del tercer recipiente al pri-mero. Pero si el tercer recipiente, luego de perder la dcima parte de su contenido,qued con 9 litros, es obvio que deba contener diez litros. Y el primero, como quedcon 9 luego de ganar un litro, antes contena 8 litros. En otras palabras, despus dela segunda operacin y antes de la tercera el contenido de los recipientes era 8, 9 y10 litros, en ese orden. Del mismo modo se ve que antes de la segunda operacin elsegundo recipiente contena 12 litros, para poder quedar en 9 al perder la cuarta partede su contenido. Y el tercero, por consiguiente, tena 7 litros. Los contenidos antesde la segunda operacin eran entonces 8, 12 y 7. Razonando de igual forma llegamosa que inicialmente los recipientes contenan 12, 8 y 10 litros de agua. Este anlisisretrospectivo se resume en la siguiente tabla:

1 2 3

9 9 98 9 108 12 7

12 8 10

Ejemplo 2.4 (OMV 1998).Determinar todos los nmeros de tres cifras abc para los cuales abc = a! + b! + c!(Nota: a! es el producto de todos los nmeros naturales desde 1 hasta a, por ejemplo5! = 1 2 3 4 5 = 120. Por convencin 0! = 1).Solucin. Este es un tpico problema que se puede resolver mediante un examen decasos exhaustivo. Estos problemas son ms fciles de resolver para una computadoraque para un ser humano, ya que la computadora puede proceder por fuerza brutaanalizando todos los casos uno tras otro rpidamente y sin errores. En cambio un serhumano debe administrar mejor sus fuerzas, delimitando cuidadosamente los casosque se van a estudiar. En este problema se puede comenzar por observar que cadacifra debe ser menor o igual a 6, ya que si alguna fuese 7 o ms el miembro derechosuperara a 7! = 5040. Ms aun ninguna puede ser 6, ya que de lo contrario el miembroderecho superara a 6! = 720 y a debera ser por lo menos 7, lo cual es imposible. Enresumen las posibles soluciones deben cumplir 0 a,b,c 5 y a = 0. Pero entoncesa!+b!+c!

5!+5!+5! = 360, y vemos que a

3. Entonces a!+b!+c!

3!+5!+5! = 246,

y vemos que a 2. Hay por lo tanto slo dos posibilidades para a, que son 1 y 2.Analicemos cada uno de estos casos por separado.Caso a = 1: debe cumplirse 100+10b + c = 1 + b! + c!, es decir 99+10b + c = b! + c!.De aqu se deduce que b o c deben valer 5 (si no b! + c! no pasara de 48). Con b = 5se tiene 100+50+ c = 1+ 120+ c!, o bien 29 + c = c!, que claramente no se satisface


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2.2 Geometra 17

para ningn c. Con c = 5 se tiene 100 + 10b + 5 = 1 + b! + 120, o bien 10b = b! + 16,que se satisface para b = 4. As hemos hallado la solucin a = 1, b = 4, c = 5.Caso a = 2: debe cumplirse 200+10b + c = 2 + b! + c!, es decir 198+10b + c = b! + c!.Para que esto se cumpla la nica posibilidad es que sea b = c = 5, pues si uno de

ellos fuese menor que 5 entonces b! + c! 144. Pero a = 2, b = c = 5 no es solucin,ya que 2! + 5! + 5! = 242 = 255. En conclusin hay una nica solucin: a = 1, b = 4,c = 5.

2.2. Geometra

La otra clase importante de problemas que encontramos en la matemtica ele-mental son los de geometra. Hay una gran variedad de problemas geomtricos: deconstruccin, de clculo, de demostracin, de existencia, de lugares geomtricos, dedesigualdades, etc. El siguiente es un ejemplo sencillo.

Ejemplo 2.5. Los lados del tringulo ABC miden AB = 26 cm, BC = 17 cm yCA = 19 cm. Las bisectrices de los ngulos de vrtices B y C se cortan en el puntoI. Por I se traza una paralela a BC que corta a los lados AB y BC en los puntos My N respectivamente. Calcule el permetro del tringulo AMN.

Solucin. La primera de las estrategias que Schoenfeld coloca en su lista es hacer undiagrama, toda vez que sea posible. Si bien esta recomendacin se aplica a todo tipode problemas, es casi insoslayable si el problema es de carcter geomtrico. Muchasveces el enunciado de estos problemas va acompaado de un dibujo, pero otras veces(como en este caso) no es as, y hacerlo es la primera tarea que debemos realizar.Tal vez usted haya odo frases tales como un dibujo no constituye demostracin,razonar en base a un dibujo puede conducir a errores, etc. Todo eso es cierto, sinembargo un dibujo nos ayuda en primer lugar a comprender el problema. Ademsestimular nuestra imaginacin y es posible que nos sugiera algn plan para hallar

la solucin. Si tiene a mano instrumentos geomtricos selos; sin embargo incluso unbosquejo aproximado suele ser de mucha ayuda (Hgalo ya antes de seguir leyendo!).

B C

A

IM N

Hay muchas maneras de resolver es-te problema. El que tenga aficin a losclculos complicados podra por ejemplocomenzar por hallar el rea del tringuloABC (usando la frmula de Heron). Di-vidiendo el rea entre el semipermetrose obtiene el radio de la circunferenciainscripta, es decir la distancia de I a loslados del tringulo ABC. Con estos da-tos es posible calcular, por proporciona-lidad, las longitudes de AM, M N y AN.Sin embargo, esto es bastante engorroso.No habr una manera ms sencilla? Simiramos el dibujo detenidamente, buscando alguna relacin interesante, observare-mos (sobre todo si el dibujo est bien hecho) que los tringulos BM I y CN I parecen


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issceles. Si esto fuese cierto la solucin sera inmediata, ya que de las igualdadesMI = M B y IN = N C se obtiene:

AM + M N + AN = AM+ M I+ IN + AN = AM + MB + AN + N C

= AB + AC = 26 + 19 = 45.

Ahora bien, podremos probar que los tringulos BM I y CN I son issceles? Paraprobar por ejemplo que BM I es issceles es suficiente probar que los ngulos M BIy M IB son iguales. Pero sabemos que M N es paralela a BC, por lo tantoMIB =IB C ya que son ngulos alternos internos. Pero BI es la bisectriz de ABC, por lotanto M BI = IB C y hemos completado la demostracin (por supuesto que parael tringulo CN I se razona de modo anlogo).Visin retrospectiva: Si revisamos los datos del problema vemos que hay uno de ellosque no fue utilizado: la longitud del lado BC. En realidad para cualquier tringulo conAB = 26cm y CA = 19cm la solucin sera la misma, 26+19 = 45. Y si variamos ABy CA? Bueno, es fcil ver que la respuesta ser siempre AB + CA. En otras palabras,los valores 26 y 19 no juegan ningn papel especial, y mucho menos BC = 17. Estos

datos en vez de ayudar a resolver el problema ms bien estorban, dirigiendo nuestraatencin hacia detalles sin importancia. Son elementos distractores, que aumentan ladificultad del problema suministrando ms informacin que la estrictamente necesa-ria para resolverlo. Para aclarar mejor este punto supongamos que el enunciado delproblema hubiese sido el siguiente:

En un tringulo ABC las bisectrices de los ngulos de vrtices B y C se cortan enel punto I. Por I se traza una paralela a BC que corta a los lados AB y BC en lospuntos M y N respectivamente. Calcule el permetro del tringulo AMN en funcinde los lados AB y AC.

Este problema, a pesar de ser ms general, es probablemente ms fcil de resolver yaque nuestra atencin se enfocar directamente hacia los lados AB y AC. Este es elsentido de la recomendacin de Plya: considere un problema ms general. Aparen-temente un problema ms general debera ser ms difcil, sin embargo una abstraccin

adecuada, al eliminar la hojarasca innecesaria, puede permitirnos ver el camino conms claridad. Ahora bien, es posible en general distinguir los datos relevantes de lossuperfluos? En realidad esto es bastante difcil. Es razonable por ejemplo desconfiarde datos que parecen muy particulares para la naturaleza del problema. Sin embargohay propiedades que efectivamente dependen de valores muy particulares de los datos(esto es comn en problemas de aritmtica).

2.3. Combinatoria

La combinatoria estudia las configuraciones que se pueden obtener disponiendoobjetos de acuerdo a ciertas reglas. Un primer problema combinatorio es el de laexistencia de tales configuraciones y un segundo problema es el de su enumeracin.

Los siguientes son algunos ejemplos sencillos de problemas combinatorios.Ejemplo 2.6. Un cubo slido de madera de lado 20 cm se pinta de rojo. Luego, conuna sierra, se hacen cortes paralelos a las caras, de centmetro en centmetro, hastaobtener 203 = 8000 cubitos de lado 1 cm. Cuntos de esos cubitos tendrn al menosuna cara pintada de rojo?


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2.3 Combinatoria 19

Solucin. El problema es de fcil comprensin. El primer plan que se nos ocurre essencillamente contar los cubitos pintados. Por ejemplo: en cada cara del cubo hay202 = 400 cubitos pintados, por lo tanto, en total sern. . . 400 6? No, porqueestaramos contando ms de una vez los cubitos que estn en los vrtices y aristas del

cubo. Pero al menos esto nos da una pista para mejorar el plan (y una cota superior:el nmero de cubitos pintados debe ser menor que 2400). Contemos entonces porseparado los diferentes tipos de cubitos pintados:

Los correspondientes a los vrtices del cubo, que tienen tres caras pintadas yson ocho en total.

Los correspondientes a las aristas del cubo, excludos los vrtices (tienen exac-tamente dos caras pintadas). Cada arista tiene contacto con 20 cubitos, perodos de ellos son vrtices (que ya contamos aparte) por lo cual nos quedan 18.Como el cubo tiene 12 aristas, el nmero total es 18 12 = 216.Los cubitos con exactamente una cara pintada. En cada cara del cubo, las caraspintadas de estos cubitos forman un cuadrado de 18

18, por lo tanto en total

sern 18 18 6 = 1944.Por consiguiente la respuesta es 8 + 216 + 1944 = 2168.

Visin retrospectiva: Podemos obtener el resultado en forma diferente? Una primeraalternativa es partir de nuestro primer resultado errneo, 2400, y efectuar las correc-ciones necesarias. Como los cubos de los vrtices se contaron tres veces cada uno,restemos 8 2 = 16. Y como los de las aristas se contaron dos veces, restemos 216.El resultado ser 2400 16 216 = 2168. Otra idea (posiblemente la ms elegan-te) se obtiene invirtiendo el problema. Contemos los cubitos que no tienen ningunacara pintada. Es claro que estos cubitos forman un cubo interior al primero, de la-do 18. Por lo tanto, son 183 = 5832. Los que tienen al menos una cara pintada sepueden obtener ahora restando esta ltima cantidad del total de cubitos, a saber203

183 = 8000

5832 = 2168.

Ejemplo 2.7. En cada una de las 64 casillas de un tablero de ajedrez hay un grano deazcar. Una hormiga comienza en un vrtice del tablero, come el azcar, y se trasladaa una casilla adyacente, desplazndose en direccin horizontal o vertical (pero nuncaen diagonal). Contina de este modo hasta acabar con todo el azcar, y sin pasardos veces por una misma casilla. Es posible que su trayecto finalice en el vrticediagonalmente opuesto al inicial?

Solucin. Este problema es de naturaleza diferente a los anteriores. No se nos pidecalcular nada, por lo cual muchos pensarn que no es un verdadero problema dematemtica. Sin embargo, si hacemos abstraccin de la hormiga y el azcar (queobviamente se han incluido para hacer ms atractivo el enunciado) vemos que elproblema trata de la existencia de trayectorias con ciertas caractersticas geomtricas.

Por alguna razn la mayora de las personas a quienes les he planteado este pro-blema contestan de inmediato que s. Cuando les pido que dibujen en la pizarra latrayectoria, demuestran que no han comprendido cabalmente el enunciado: trazanlneas diagonales, pasan ms de una vez por la misma casilla o simplemente finalizanen un vrtice que no es el opuesto al inicial, y aun as creen haber resuelto el proble-ma. Cuando por fin comprenden las condiciones, luego de dos o tres intentos fallidos


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cambian sbitamente de opinin y contestan que es imposible. Ahora bien, es claroque una respuesta afirmativa queda suficientemente justificada con slo exhibir unatrayectoria que cumpla las condiciones pedidas. Pero cmo podemos justificar unarespuesta negativa? Es muy importante comprender la enorme diferencia que existe

entre las afirmaciones no puedo hallar ninguna solucin y no existe ninguna solu-cin. Para poder afirmar esto ltimo, hay bsicamente dos maneras de proceder. Unade ellas consiste en dibujar todas las trayectorias posibles que parten de un vrtice yrecorren todo el tablero, desplazndose en direccin horizontal o vertical y sin pasardos veces por ninguna casilla. Una vez hecho esto podemos examinar las trayectoriasy verificar que ninguna finaliza en el vrtice opuesto al inicial. Un inconveniente deeste procedimiento es que resulta muy lento y engorroso para un ser humano, aunquesera factible realizarlo con ayuda del computador. Otro inconveniente es que si se nosocurre generalizar el problema para tableros ms grandes, rpidamente el problema sevuelve inmanejable, incluso para el computador. Ms aun, si queremos una respuestageneral, para tableros de n n, este procedimiento resulta completamente intil.

La segunda manera de proceder es demostrar que no existe trayectoria alguna quecumpla las condiciones exigidas. Para esto resulta til el hecho de que las casillasde un tablero de ajedrez estn pintadas de dos colores, digamos blanco y negro, enforma alternada. La observacin clave es que cada movimiento unitario en direccinhorizontal o vertical nos lleva de una casilla a otra de diferente color. Ahora bien, comoel tablero tiene 8 8 = 64 casillas, comenzando en cualquiera de ellas se requieren 63movimientos para recorrerlas todas. Pero es claro que despus de 1, 3, 5 o cualquiernmero impar de movimientos estaremos en una casilla de color diferente a la inicial.Esto demuestra que la respuesta al problema que nos ocupa es negativa, ya que unvrtice y el opuesto son del mismo color.

Visin retrospectiva: Una generalizacin obvia de este problema consiste en considerartableros de nn, para cualquier entero positivo n. Es claro que si n es par entonces larespuesta es negativa, por el mismo argumento usado para el caso 88. En cambio si nes impar el argumento no se aplica. De hecho es fcil ver que la respuesta es afirmativa.

Otras generalizaciones que se resuelven con el mismo mtodo: especificar dos casillascualesquiera como inicio y fin de la trayectoria; cambiar el tipo de movimiento bsico,usando por ejemplo saltos de caballo; plantear el problema en tres dimensiones, porejemplo en un cubo.

Muchos problemas no se pueden clasificar de manera clara dentro de una ramade la matemtica, sino que se encuentran en la frontera entre dos o ms de ellas. Elsiguiente, por ejemplo, pertenece tanto a la geometra como a la combinatoria.

Ejemplo 2.8. En cuntas regiones queda dividido el plano por 6 rectas en posicingenrica (es decir, tales que no haya dos de ellas paralelas ni tres concurrentes en unpunto)?

Solucin. Evidentemente una recta divide el plano en dos regiones, y dos rectas noparalelas lo dividen en cuatro. Pero ya para tres rectas el problema comienza a com-plicarse. Si trazamos unos cuantos diagramas veremos que la tercera recta atraviesasiempre a tres de las cuatro regiones determinadas por las dos primeras, pero no ala cuarta, y por lo tanto la respuesta para tres rectas parece ser siete. Pero pode-mos estar seguros de esto? Y qu pasar cuando tracemos la cuarta, la quinta y la


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2.3 Combinatoria 21

sexta recta? Lamentablemente, los dibujos se complican demasiado, algunas rectasse cortan fuera de la hoja y no es fcil contar las regiones sin equivocarnos. Ademspareciera que la respuesta depende de como dibujemos las rectas. Volvamos entoncesal principio. Podra imaginarse un problema anlogo un tanto ms accesible? Bueno,

en vez de disminuir el nmero de rectas podemos disminuir la dimensin, es decirconsiderar en cuntas regiones queda dividida una recta por cierto nmero de pun-tos. Este problema s es fcil, n puntos dividen a la recta en n + 1 regiones (a sabern 1 segmentos y 2 semirrectas). Y no podemos aprovechar este resultado para elproblema en el plano? Veamos, si ya hemos trazado n 1 rectas, entonces, al trazarla n-sima, sta cortar a las anteriores en n 1 puntos diferentes (por la hiptesisde genericidad). Por lo tanto la n-sima recta quedar dividida en n partes por esospuntos de interseccin. Pero es claro que cada una de esas partes estar contenidapor completo en una regin de las determinadas por las primeras n 1 rectas, reginque quedar dividida en dos por la n-sima recta. Por lo tanto hemos descubierto queal trazar la n-sima recta el nmero de regiones aumenta en n unidades. Apliquemosahora este resultado desde el comienzo y de manera sucesiva. Inicialmente hay unasola regin: el plano. Al trazar la primera recta el nmero de regiones aumenta enuna unidad, y tendremos 1 + 1 = 2 regiones. Al trazar la segunda recta el nmerode regiones aumenta en dos unidades, y tendremos 2 + 2 = 4 regiones. Al trazar latercera recta el nmero de regiones aumenta en tres unidades, y tendremos 4 + 3 = 7regiones. Hasta aqu los resultados concuerdan con lo que ya sabamos. Ahora resultafcil continuar: para cuatro rectas son 7 + 4 = 11 regiones, para cinco rectas son11 + 5 = 16 regiones, para seis rectas son 16 + 6 = 22 regiones.

Visin retrospectiva: Resulta natural preguntarse cul ser el nmero de regiones enque queda dividido el plano por un nmero n cualquiera de rectas en posicin gen-rica. Recordando que la suma de los enteros desde 1 hasta n es n(n + 1)/2 es fcilobtener

1 + 1 + 2 + 3 + + n = 1 + n(n + 1)/2 = (n2 + n + 2)/2.

Hay otras generalizaciones y problemas similares a los cuales se puede aplicar el mismomtodo.

A continuacin se proponen algunos problemas relativamente sencillos para que ellector pruebe su mano resolvindolos.

Problema 2.1 (Canguro 2004, 3er grado).

Se tiene un cubo de lado un metro. Una hormiga camina a lo largo de las aristas delcubo de tal forma de no pasar dos veces por el mismo lado, aunque puede pasar msde una vez por un mismo vrtice. Cul es la mayor distancia que la hormiga puedecaminar?

(A) 6 m, (B) 8 m, (C) 9 m, (D) 10 m, (E) 1 m.

Problema 2.2 (Canguro 2003, 4o

grado).A Beatriz le gusta calcular la suma de los dgitos que ella ve en su reloj digital (porejemplo, si el reloj muestra 21:17, entonces Beatriz obtiene 11). Cul es la mayorsuma que ella puede obtener?

(A) 19, (B) 24, (C) 36, (D) 25, (E) 23.


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Problema 2.3 (Canguro 2003, 4o grado).En el siguiente cuadrado mgico faltan cinco nmeros. En un cuadrado mgico, lasuma de los tres nmeros en cada fila, en cada columna y en cada diagonal es lamisma. Cul es el valor de la letra A?

15 35

50

25 A

(A) 50, (B) 40, (C) 20, (D) 30, (E) 10.

Problema 2.4 (Canguro 2003, 5o grado).Un cdigo de barras est formado por 17 barras negras y blancas alternadas (laprimera y la ltima son negras). Las barras negras son de dos tipos: anchas y estrechas.El nmero de barras blancas excede en 3 al nmero de barras negras anchas. El nmerode barras negras estrechas es:

(A) 4, (B) 2, (C) 3, (D) 1, (E) 5. ...

Problema 2.5 (Canguro 2003, 6

o

grado).Hay 5 loros en una jaula. El costo promedio es de 6000 bolvares. Un da se escapaun loro y entonces el costo promedio de los 4 loros que quedaron es de 5000 bolvares.Cul era el precio del loro que se escap?

(A) Bs. 1000, (B) Bs. 2000, (C) Bs. 10000, (D) Bs. 6000, (E) Bs. 5000.

Problema 2.6 (Canguro 2003, 7o grado).Con la figura se puede formar un cubo. Cual caraes opuesta a la cara marcada con la letra x?

(A) d, (B) e, (C) a, (D) c, (E) b.

a

b x c

d e

Problema 2.7 (Canguro 2003, 8o grado).

Cuntos enteros positivos n poseen la siguiente propiedad: entre los divisores posi-tivos de n, diferentes de 1 y de n mismo, el mayor es 15 veces el menor?

(A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) infinitos, (E) otra respuesta.

Problema 2.8 (Canguro 2003, 9o grado).En el rectngulo ABCD los puntos P, Q, R y S son los puntos medios de los ladosAB, BC, CD y AD, respectivamente, y T es el punto medio de RS. Qu fraccindel rea de ABCD cubre el tringulo P QT?

A B

CD

P

Q

R

S

T

(A)5

6, (B)

1

4, (C)

1

5, (D)

1

6, (E)

3

8.


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2.3 Combinatoria 23


1 + 20001 + 20011 + 2002

1 + 2003

2005 =

(A) 2000, (B) 2001, (C) 2002, (D) 2003, (E) 2004.

Problema 2.10 (Canguro 2003, 11o grado).El gerente de una tienda tiene que decidir qu precio debe colocarle a unos suteres.Un estudio de mercado le arroja los siguientes datos: Si el precio de cada suter fuese$75, entonces 100 adolescentes comprarn estos suteres. Cada vez que el precio seincremente en $5, 20 adolescentes menos comprarn estos suteres. Sin embargo, cadavez que al precio se le resten $5, sern vendidos 20 suteres ms. Estos suteres lecuestan a la compaa $30 cada pieza. Cul es el precio de venta que proporcionaralas mayores ganancias?


Una sucesin an se define para n 0 de la siguiente forma:a0 = 4,a1 = 6,an+1 = an/an1 si n 1.

Entonces a2003 es igual a: (A)3

2, (B)

2

3, (C) 4, (D)

1

4, (E)

1

6.

Problema 2.12 (Canguro 2003, 9o grado).Una alfombra de 1 cm de grosor es enrollada hasta formar un cilindro de un metro dedimetro. Cul de los siguientes valores es el mejor estimado del largo de la alfombra?

(A) 75 m, (B) 50 m, (C) 20 m, (D) 150 m, (E) 300 m.

Problema 2.13 (ORMV 2002, prueba final de 5o grado).

Cuarenta personas van a un concierto. Los nios pagan Bs. 300 y los adultos Bs. 800.Si recaudan Bs. 20000 por la venta de entradas, cuntos nios entraron?

Problema 2.14 (ORMV 2002, prueba final de 5o grado).Piensa una forma novedosa de calcular la siguiente suma:

9 + 99 + 999 + 9999 + 99999 =?

Y si fueran 20 sumandos con el mismo patrn de formacin?

Problema 2.15 (ORMV 1993, prueba final de 6o grado).Soy un nmero de dos cifras. La suma de mis cifras es 8. Si mis cifras se invierten, elnmero as formado es 18 unidades menor que yo. Qu nmero soy?

Problema 2.16 (OJMV 2004).Un tringulo rectngulo tiene catetos de longitudes a y b. Una circunferencia de radior es tangente a los dos catetos y tiene su centro sobre la hipotenusa del tringulorectngulo. Demuestra que:

1

a+

1

b=

1

r.


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Problema 2.17 (ORMV 2002, prueba final de 6o grado).Una caja mgica regresa el doble del dinero que se le introduce, pero hay que pagarBs. 1200 despus de utilizarla. Ramn meti todo su dinero en la caja, se le duplicy pag Bs. 1200. Volvi a meter todo su dinero, la caja se lo duplic y pag Bs. 1200.Por tercera vez meti su dinero, se le duplic, pag Bs. 1200 y qued sin un centavo.Cunto dinero tena Ramn al comenzar tan mal negocio?

Problema 2.18.Se tienen tres circunferencias de radio 1 cm y cada una de ellas es tangente exterior-

mente a las otras dos. Calcular el rea de la regin que queda atrapada entre lastres circunferencias.

Problema 2.19.

Tal vez el punto ms alto de la matemtica egipcia sea el hallazgo de una frmula paracalcular el volumen de un frustum o tronco de pirmide. Suponga que una pirmidede base cuadrada de lado a se corta con un plano paralelo a la base y a una distancia hde ella. Sea b el lado de la seccin cuadrada resultante. Calcule el volumen del frustum

en funcin de a, b y h.

Problema 2.20.El historiador judo del siglo I Flavio Josefo particip en una revuelta contra el

poder romano. Se cuenta que 41 rebeldes fueron cercados por las tropas romanas yque, antes de ser capturados, prefirieron la muerte. Josefo no estaba convencido de lautilidad del sacrificio, as que propuso el siguiente sistema de inmolacin: dispuestostodos en crculo, se ira eliminando a cada tercera persona hasta que slo quedarauno, quien deba entonces suicidarse. Josefo calcul la posicin que deba ocupar paraser el ltimo en quedar vivo y salvarse. Cul es esa posicin?

Problema 2.21.A un tablero cuadrado de 8 8 se le recortan dos casillas ubicadas en vrtices opues-tos. Es posible cubrir completamente las 62 casillas que quedan con 32 domins dedimensiones 2 1? (cada domin se puede colocar horizontal o verticalmente paracubrir exactamente dos casillas).

Problema 2.22 (OMCC 1999).Se supone que 5 personas conocen, cada una, informaciones parciales diferentes sobrecierto asunto. Cada vez que la persona A telefonea a la persona B, A le da a B todala informacin que conoce en ese momento sobre el asunto, mientras que B no le dicenada de l. Cul es el mnimo nmero de llamadas necesarias para que todos lo sepantodo sobre el asunto? Cuntas llamadas son necesarias si son n personas?

Problema 2.23 (OMCC 2000).

Encontrar todos los nmeros naturales de tres dgitos abc (a = 0) tales que a2+b2+c2es divisor de 26.

Problema 2.24 (OMCC 2002).Para qu enteros n 3 es posible acomodar, en algn orden, los nmeros 1, 2, . . . , nen forma circular de manera que cualquier nmero divida a la suma de los dos nmerossiguientes en el sentido de las manecillas del reloj?


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2.3 Combinatoria 25

Problema 2.25 (OM 2005, 1er Nivel).En el pizarrn haba seis figuras: un crculo, un tringulo, un cuadrado, un trapecio,un pentgono y un hexgono, pintadas de seis colores: azul, blanco, rojo, amarillo,verde y marrn. Cada figura tena un solo color y todas las figuras eran de coloresdistintos. Al da siguiente se pregunt de qu color era cada figura. Pablo respondi:El crculo era rojo, el tringulo era azul, el cuadrado era blanco, el trapecio era verde,el pentgono era marrn y el hexgono era amarillo. Sofa respondi: El crculo eraamarillo, el tringulo era verde, el cuadrado era rojo, el trapecio era azul, el pentgonoera marrn y el hexgono era blanco. Pablo se equivoc tres veces y Sofa dos veces,y se sabe que el pentgono era marrn. Determina si es posible saber con certeza culera el color de cada una de las figuras.

Problema 2.26 (OJMV 2008 Regional, 7o grado).En un desierto hay serpientes, ratones y alacranes. Cada maana, cada serpiente secome un ratn, cada medioda, cada alacrn mata a una serpiente y cada noche, cadaratn se come a un alacrn. Si despus de cinco das el nico animal que queda vivoes un ratn, cuntos ratones haba al inicio?


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Captulo 3

Las Olimpiadas Matemticas

No debemos olvidar que la solucin de todo problema digno de estenombre no se logra fcil e inmediatamente, sino que requiere un trabajo

intelectual intenso, ya que la solucin es el resultado de un esfuerzoconsiderable. Por qu debe estar el joven dispuesto a realizar esteesfuerzo en los lmites de sus posibilidades? Probablemente, la explicacinse sita en una preferencia instintiva por ciertos valores, esto es, en laactitud que coloca el nivel del esfuerzo y de los logros intelectuales yespirituales por encima de las ventajas materiales. Tal escala de valorespuede ser slo el resultado de un largo desarrollo cultural del ambientey del espritu pblico, desarrollo que es difcil acelerar. Y el medio msefectivo para lograrlo puede consistir en transmitir a las mentalidades

jvenes la belleza del trabajo intelectual y el sentimiento de satisfaccinque resulta como consecuencia de un esfuerzo intelectual sostenido yexitoso.

Gbor Szeg

Este captulo trata sobre las Olimpiadas Matemticas. Se examinan sus orge-nes, sus objetivos, sus modalidades y algunas de las competencias existentes en laactualidad.

3.1. Orgenes de las Olimpiadas Matemticas

Las competencias de resolucin de problemas matemticos son una vieja tradicinen muchos pases, que probablemente se remontan hasta la antigua Grecia. Son fa-mosas las competencias para resolver ecuaciones cbicas que se realizaron en el sigloXVI en Italia. En Francia hubo competencias matemticas en el siglo XVIII y Hun-gra comenz a realizar en 1894 las competencias Etvs, las cuales (con el nombreKrschk a partir de 1947) han continuado hasta el da de hoy y son el ms cercanoantecedente de las modernas Olimpiadas Matemticas. Las competencias Etvs tu-


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3.2 Olimpiadas Internacionales 27

vieron enorme influencia en el desarrollo de la matemtica hngara, gran parte decuyos mejores matemticos pasaron por stas.

La primera Olimpiada Matemtica, con ese nombre, tuvo lugar en Leningrado(actual San Petersburgo) en 1934, y la segunda en Mosc en 1935, organizadas por B.

N. Delone y G. M. Frijtengolts. Las Olimpiadas Matemticas se popularizaron en todala (para entonces) Unin Sovitica y luego se extendieron a pases como Rumania,Polonia, Alemania, Bulgaria y Checoslovaquia.

En una conferencia Delone expres: Un alumno no es un recipiente que hay quellenar de conocimientos, sino una antorcha que hay que encender. Este esprituha prevalecido hasta nuestros das en la preparacin de los alumnos que participanen las olimpiadas. A diferencia de lo que ocurre en la enseanza tradicional de lamatemtica, en la cual los alumnos realizan ejercicios mecnicamente sobre los temasespecificados en el programa de estudios, dejando de lado el placer de entender ypensar por s mismos, en las Olimpiadas Matemticas se les presentan verdaderosproblemas que no requieren del conocimiento de muchos contenidos, pero s presentanun desafo tal que en la bsqueda de sus soluciones los alumnos construyen significados,redescubren conceptos bsicos y adquieren habilidades y destrezas de gran utilidadpara sus estudios posteriores.

3.2. Olimpiadas Internacionales

La primera Olimpiada Internacional de Matemticas (IMO) tuvo lugar en Ruma-nia en 1959 y fue en realidad una competencia regional de Europa oriental: solamenteparticiparon siete pases. Esta competencia se fue extendiendo gradualmente hastallegar a abarcar actualmente ms de noventa pases de los cinco continentes. La IMOse ha celebrado anualmente desde 1959, con la sola excepcin de 1980.

La IMO es la decana de las Olimpiadas Cientficas Internacionales. Las otras, pororden de antigedad, son:

IPhO Olimpiada Internacional de Fsica. Se celebra desde 1967.IChO Olimpiada Internacional de Qumica. Se celebra desde 1968.

IOI Olimpiada Internacional de Informtica. Se celebra desde 1989.

IBO Olimpiada Internacional de Biologa. Se celebra desde 1990.

IAO Olimpiada Internacional de Astronoma. Se celebra desde 1996.

La IMO se realiza anualmente y su sede es es rotativa. Durante los ltimos quin-ce aos se ha efectuado en Canad (1995), India (1996), Argentina (1997), Taiwn(1998), Rumania (1999), Corea (2000), Estados Unidos de Amrica (2001), Esco-cia (2002), Japn (2003), Grecia (2004), Mxico (2005), Eslovenia (2006), Vietnam(2007), Espaa (2008) y Alemania (2009). En el ao 2010 se realizar en Kazajstn.

La IMO est dirigida a estudiantes que an no hayan ingresado a la universidad yque no superen los 20 aos de edad durante el ao anterior al examen. Los problemaspropuestos no requieren conocimientos matemticos ms all de los cubiertos en loscursos de bachillerato, pero s muchsimo ingenio y habilidad, hasta el punto de queson un verdadero desafo para cualquier matemtico profesional.

Los objetivos de la IMO son:


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28 Las Olimpiadas Matemticas

Descubrir, estimular y apoyar a los jvenes con talento matemtico.

Estimular relaciones amistosas entre las comunidades matemticas de los diver-sos pases.

Crear una oportunidad para el intercambio de informacin sobre la educacinmatemtica en todo el mundo.

Cada pas puede enviar a la IMO un equipo de hasta seis estudiantes (como m-ximo) y dos delegados. Las pruebas se realizan en dos das consecutivos, en cada unode los cuales se proponen tres problemas y se otorgan cuatro horas y media pararesolverlos. Cada problema tiene un valor de siete puntos, as que el mximo puntajeque se puede obtener es 42 (correspondiente a una prueba perfecta).

Cada pas participante puede proponer problemas. Luego de una seleccin pre-liminar realizada por un Comit de Problemas, el Jurado Internacional compuestopor los Jefes de delegacin y un Comit Ejecutivo escogen los seis problemas a serpropuestos.

La premiacin consiste en medallas de oro, plata y bronces que se otorgan a quienes

obtengan las mejores puntuaciones. A lo sumo la mitad de los participantes recibenmedallas y la proporcin entre oro, plata y bronce debe ser aproximadamente 1:2:3. Alos participantes que no obtengan medalla pero que resuelvan un problema completose les entrega un diploma de mencin honorfica.

3.3. Olimpiadas regionales

La IMO ha servido de modelo para varias olimpiadas regionales. A continuacinse resean aquellas en las que participa Venezuela.

Olimpiada Iberoamericana de Matemtica (OIM)

Es una olimpiada patrocinada por la Organizacin de Estados Iberoamericanospara la Educacin, la Ciencia y la Cultura (OEI), en la que participan los paseslatinoamericanos, Espaa y Portugal. La primera se realiz en Colombia, en 1985.

Un aspecto interesante de la OIM es la Copa Puerto Rico, trofeo que se otorgacada ao al pas de mayor progreso relativo tomando en cuenta los resultados de eseao y de los dos anteriores. Este trofeo tiene por objetivo estimular el desarrollo delos equipos, independientemente del nivel absoluto alcanzado por cada pas.

Olimpiada Matemtica de Centroamrica y el Caribe (OMCC)

Es una especie de hermana menor de la OIM, dirigida a los pases de Centroam-rica y el Caribe. Hasta ahora se han realizado siete de estas competencias, en CostaRica (1999), El Salvador (2000), Colombia (2001), Mxico (2002), Costa Rica (2003),Nicaragua (2004), El Salvador (2005), Panam (2006), Venezuela (2007), Honduras(2008) y Colombia (2009). Los que han participado hasta el presente son Colombia,Costa Rica, Cuba, El Salvador, Guatemala, Honduras, Mxico, Nicaragua, Panam,Puerto Rico, Repblica Dominicana y Venezuela.

En el ao 2010 se realizar en Puerto Rico, posiblemente con la participacin porvez primera de pases de habla inglesa.


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3.4 Olimpiadas a distancia 29

Como la OIM, en esta olimpiada se otorga un trofeo al pas de mayor progresorelativo, llamado Copa El Salvador.

Los objetivos de la OMCC son promover la participacin de los pases de la reginen olimpiadas matemticas, estimular la participacin de jvenes menores de 17 aosen concursos matemticos y fomentar el intercambio de experiencias acadmicas yorganizativas para fortalecer el recurso humano involucrado en este tipo de eventos.

Para ms detalles sobre esta competencia, problemas propuestos, resultados yestadsticas vea [14, 17, 18].

3.4. Olimpiadas a distancia

La IMO, la OIM y la OMCC son olimpiadas en las que todas las delegacionesde los pases participantes se trasladan hasta el pas sede para realizar las pruebas.Pero existen otras olimpiadas que se realizan a distancia, es decir que las pruebasse realizan en cada pas participante ms o menos simultneamente (debido a las

diferencias horarias la simultaneidad estricta no es posible) y luego se centralizanlos resultados. El correo electrnico ha facilitado mucho este tipo de competencias.Algunas de estas competencias se mencionan a continuacin.

Canguro Matemtico

El Canguro Matemtico es un concurso originado en Francia en 1991, inspirado enla primera fase del Concurso Nacional Australiano (de all su nombre). Sus objetivosson diferentes a los de las Olimpiadas que hemos mencionado hasta ahora: en vez debuscar la excelencia a travs de pruebas muy exigentes se trata ms bien de popularizarla matemtica mediante un concurso de masas, en el cual todos los participantes sediviertan resolviendo problemas. En 1993 este concurso se extendi a Europa mediante

la creacin de la Asociacin Internacional Canguro sin Fronteras (KSF, Kangourousans Frontires).Ms tarde se fueron incorporando otros pases no europeos, como Brasil, Mxico,

Paraguay, Egipto, Estados Unidos de Amrica y Venezuela. Actualmente es sin dudael Concurso de masas ms popular del mundo, con una participacin que supera lostres millones de estudiantes.

El Canguro Matemtico se estructura por grupos de edad: 9 a 10, 11 a 12, 13a 14, 15 a 16 y 17 a 18 aos. Los participantes deben responder 30 preguntas (losms pequeos slo 24) en 75 minutos. Las diez primeras preguntas son muy fciles yvalen 3 puntos cada una; las diez siguientes son algo ms difciles y valen 4 puntos; lasdiez ltimas son las ms difciles y valen 5 puntos cada una. Cada pregunta tiene 5posibles respuestas, de las que solamente una es correcta. Los participantes marcan larespuesta que creen correcta en la hoja de respuestas. Las preguntas no contestadasno se toman en cuenta, pero las respuestas incorrectas se penalizan con 1/4 de lospuntos que vale la pregunta. Inicialmente cada participante tiene 30 puntos.

Todos los participantes reciben diplomas y regalos, que pueden ser publicacionesmatemticas dirigidas a la juventud, juegos, franelas, etc. Los que obtienen mejorespuntajes reciben calculadoras, viajes y otros premios.


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30 Las Olimpiadas Matemticas

Olimpiada de Mayo

El Centro Latinoamericano de Matemtica e Informtica (Clami) y la FederacinIberoamericana de Competiciones Matemticas auspician y promueven la realizacin

de la Competencia Juvenil Iberoamericana de Matemtica, tambin conocida comoOlimpiada de Mayo. El concurso se lleva a cabo por correspondencia y est basado enel modelo que sigue la Olimpiada Matemtica Asitico-Pacfica (APMO), concursode larga distancia con gran tradicin.

Esta competencia se desarrolla en dos niveles:

primer nivel para jvenes que no hayan cumplido 13 aos al 31 de diciembre delao anterior al de la celebracin de la Olimpiada.

segundo nivel para jvenes que no hayan cumplido 15 aos al 31 de diciembre delao anterior al de la celebracin de la Olimpiada.

Cada una de las pruebas consta de cinco problemas y el plazo para su resolucin

es de tres horas.

Olimpiada Bolivariana

Este evento es organizado por la Universidad Antonio Nario de Colombia y par-ticipan por correspondencia los pases andinos y Panam. Hay dos niveles de compe-tencia: nivel intermedio y nivel superior. Comenz a realizarse en el ao 2000.

Otras Olimpiadas a distancia muy importantes son la Olimpiada Matemtica dela Cuenca del Pacfico (APMO) y el Torneo de las Ciudades (TT).

3.5. Crtica de las Olimpiadas

Como toda actividad humana, las olimpiadas matemticas tienen partidarios ydetractores. Para quienes han experimentado el estmulo intelectual que significa pre-pararse para estas competencias y han disfrutado del ambiente de camaradera y loslazos de amistad que generan, es difcil entender que se las pueda criticar. Sin embargo,vale la pena dedicar unos momentos a considerar el trasfondo de estas crticas.

Una crtica muy comn es que las olimpiadas son elitistas, que estn dedicadas alos alumnos superdotados olvidando a la gran masa que no puede acceder a los sofis-ticados razonamientos necesarios para resolver los alambicados problemas olmpicos.Esto en parte es cierto: slo algunos jvenes, con especial talento matemtico, pue-den llegar a participar con xito, por ejemplo, en una IMO. Pero hay competenciascomo el Canguro Matemtico en las que participan ms de tres millones de jvenesde todo el mundo, esto difcilmente puede ser calificado de elitista! Ahora bien, enlas olimpiadas hay evidentemente un proceso de seleccin que lleva a identificar aquienes tienen ms aptitudes, vocacin e inters por la matemtica (o por la fsica, laqumica, la informtica, etc., en sus respectivas olimpiadas). Esto lo aprovechan lospases con los sistemas polticos ms diversos para identificar a sus futuros cientfi-cos: tanto China como Alemania, Estados Unidos de Amrica como Rusia, Irn como


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3.5 Crtica de las Olimpiadas 31

Israel, organizan competencias matemticas y otros concursos cientficos para la ju-ventud y se enorgullecen de los excelentes resultados que obtienen en las olimpiadasinternacionales.

Por otra parte, es lo mismo que ocurre en el deporte. Millones de jvenes practican

bisbol desde nios, pero muy pocos llegan a ser peloteros profesionales en las grandesligas. Significa esto que el bisbol es una actividad elitista?

Otra crtica consiste en que las olimpiadas matemticas, al promover la competen-cia en vez de la cooperacin y la solidaridad, tienden a conformar una personalidadindividualista, egosta, engreda y asocial. Curiosamente quienes hacen este tipo decrtica no la aplican a las actividades deportivas, en las cuales el aspecto puramen-te competitivo tiene sin duda mucho ms peso que en las olimpiadas matemticas.Pero adems, quienes conocen de cerca estas competencias saben que se respira unambiente de camaradera y se generan amistades perdurables. A esto contribuyen lasactividades recreativas y culturales que forman parte de toda olimpiada.

Finalmente, hay educadores que piensan que la enseanza debe estar dirigida sloal alumno medio y que no se deben plantear cuestiones que no puedan ser resueltaspor la mayora de los alumnos. Esta creencia, si acaso no es

Tecnicas de Resolucion de Problemas Matematicos

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