Sistemas Cristalinos, planos cristalogrficos y redes de bravais.PorJos Estrada Saudo.Instituto Tecnolgico de Mexicali.Segundo Semestre de Ingeniera Mecatrnica.

SISTEMAS CRISTALINOSSistema cristalinoA sistema cristalino es una categora de grupos del espacio, que caracterizan simetra de estructuras en tres dimensiones con simetra de translacin en tres direcciones, teniendo una clase discreta de grupos del punto. Un uso importante est adentro cristalografa, para categorizar cristales, pero por s mismo el asunto es uno de 3D Geometra euclidiana.

CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS CRISTALINOS.

Hay 7 sistemas cristalinos: Triclnico, todos los casos que no satisfacen los requisitos de cualquier otro sistema. No hay simetra necesaria con excepcin de simetra de translacin, aunque la inversin es posible. Monoclinic, requiere cualquiera 1 doble eje de la rotacin o 1 plano del espejo. Orthorhombic, requiere 3 hachas dobles de rotacin o 1 eje doble de la rotacin y de dos planos del espejo. Tetragonal, requiere 1 eje de la rotacin cudruple. Rhombohedral, tambin llamado trigonal, requiere 1 eje de la rotacin triple. Hexagonal, requiere 1 eje del sixfold de la rotacin. Isomtrico o cbico, requiere 4 hachas triples de rotacin.

Sistema cristalino triclnicoEn cristalografa, triclnicosistema cristalino es uno del enrejado 7 grupos del punto. Un sistema cristalino es descrito por la base tres vectores. En el sistema triclnico, cristal es descrito por vectores de la longitud desigual, como en orthorhombic sistema. Adems, los tres vectores no estn mutuamente orthogonal.

El enrejado triclnico es el menos simtrico de los 14 tridimensionales Enrejados de Bravais. Tiene (s mismo) la simetra mnima que todos los enrejados tienen: los puntos de la inversin en cada punto del enrejado y en 7 ms puntos para cada enrejado sealan: en los puntos medianos de los bordes y de las caras, y en los puntos de centro. Es el nico tipo que s mismo del enrejado no tiene ningn plano del espejo.

Grupos del punto que la cada bajo este sistema cristalino es enumerada abajo, seguido por sus representaciones en la notacin internacional y Notacin de Schoenflies.

NombreInternacionalSchoenflies

normal triclnicoCi (tambin denotado cerca S2)

hemihedral triclnico1C1

Con cada uno solamente un grupo del espacio es asociado.Mineral los ejemplos incluyen plagioclase, microcline, rhodonite, turquesa, wollastonite y amblygonite, todos en normal triclnico (barra 1).

Sistema cristalino MonoclinicEn cristalografa, monoclinicsistema cristalino es uno del enrejado 7 grupos del punto. Un sistema cristalino es descrito por tres vectores. En el sistema monoclinic, cristal es descrito por vectores de la longitud desigual, como en orthorhombic sistema. Forman un rectangular prisma con a paralelogramo como base. Por lo tanto dos pares de vectores son perpendiculares, mientras que el tercer par hace un ngulo con excepcin de 90.Existen dos monoclinicEnrejados de Bravais: los enrejados centrados monoclinic y monoclinic simples, con capas con un enrejado rectangular y rombal, respectivamente.Monoclinic simpleMonoclinic centrada

clases cristalinas que la cada bajo este sistema cristalino es enumerada abajo, seguido por sus representaciones en la notacin internacional y Notacin de Schoenflies, y mineral ejemplos.

NombreInternacionalSchoenfliesEjemplo

normal monoclinicC2hyeso, orthoclase, mica

hemimorphicmonoclinic2C2halotrichite

hemihedralmonoclinicmC1hhilgardite

El nmero de grupos del espacio para cada cristal la clase es 6, 3, y 4, respectivamente.Los tres grupos hemimorphicmonoclinic del espacio son como sigue: un prisma con como seccin representativa grupo p2 del papel pintado dem con las hachas del tornillo en vez de las hachas dem con el tornillo disminuye as como las hachas, paralelo, mientras tanto; en este caso un vector adicional de la traduccin es una mitad de un vector de la traduccin en el plano bajo ms una mitad de un vector perpendicular entre los planos bajosLos cuatro grupos hemihedralmonoclinic del espacio incluyen sos con la reflexin pura en la base del prisma y a medio camino sos con deslizamiento acepillan en vez de los planos puros de la reflexin; el deslizamiento es una mitad de un vector de la traduccin en el plano bajo sos con ambos medios; en este caso un vector adicional de la traduccin es este deslizamiento ms una mitad de un vector perpendicular entre los planos bajos.

Sistema del cristal de OrthorhombicEn cristalografa, orthorhombicsistema cristalino es uno del enrejado 7 grupos del punto. Orthorhombicenrejados resulte de estirar un enrejado cbico a lo largo de dos de sus vectores del enrejado por dos diversos factores, dando por resultado un rectangular prisma con una base rectangular (a por b) y altura (c), tales que a, b, y c sea distinto. Las tres bases se intersecan a los ngulos 90. Sigue habiendo los tres vectores del enrejado mutuamente orthogonal.Hay cuatro orthorhombicEnrejados de Bravais: orthorhombicorthorhombic, y face-centeredorthorhombic, body-centeredorthorhombic, base-centrada simple.

Sistema cristalino tetragonalEn cristalografa, tetragonalsistema cristalino es uno del enrejado 7 grupos del punto. Tetragonal enrejados cristalinos resulte de estirar un enrejado cbico a lo largo de uno de sus vectores del enrejado, de modo que cubo se convierte un rectangular prisma con una base del cuadrado (a por a) y altura (c, de que es diferente a).Hay dos tetragonales Enrejados de Bravais: el tetragonal tetragonal (de estirar el enrejado simple-cbico) y centrada simple (de estirar el enrejado cbico face-centered o body-centered).Tetragonal simpleTetragonal Body-centered

grupos del punto que la cada bajo este sistema cristalino es enumerada abajo, seguido por sus representaciones en la notacin internacional y Notacin de Schoenflies, y mineral ejemplos.

NombreInternacionalSchoenfliesEjemplo

ditetragonalbipyramidalD4hrutilo

ditetragonalpyramidal4mmC4vdiaboleite

bipyramidal tetragonalC4hscheelite

pyramidal tetragonal4C4wulfenite

el alternarse del ditetragonalD2.ocalcopirita

trapezohedral tetragonal422D4phosgenite

el alternarse tetragonalS4cahnite

Sistema del cristal de RhombohedralEn cristalografa, rhombohedral (o trigonal) sistema cristalino es uno de los siete enrejadogrupos del punto, nombrado despus del de dos dimensiones rombo. A cristal el sistema es descrito por la base tres vectores. En el sistema rhombohedral, el cristal es descrito por vectores de iguallongitud, de que los tres no estn mutuamente orthogonal. sistemarhombohedral puede ser pensado en como sistema cbico estirado diagonal a lo largo de un cuerpo. a = b = c; . En algunos esquemas de la clasificacin, sistema rhombohedral se agrupa en un ms grande sistema hexagonal.Existe solamente uno rhombohedralEnrejado de Bravais.Lista de detallesLos grupos del punto que caen bajo este sistema cristalino son enumerados abajo, seguido por sus representaciones en la notacin internacional (Notacin de Hermann-Mauguin) y Notacin de Schoenflies, y cristales del ejemplo.

nombreinternacionalSchoenfliesejemplos

holohedralrhombohedralD3dcalcita, corindn, hematita

hemimorphicrhombohedral3mC3vtourmaline, alunite

tetartohedralrhombohedralS6doloma, ilmenita

trapezohedral32D3cuarzo, cinabrio

tetartohedralrhombohedral3C3ningunos verificados

Sistema cristalino hexagonalEn cristalografa, hexagonal es uno de los 7 sistema cristalino, contiene 7 grupos del punto . Tiene la misma simetra que una derecha prisma con a hexagonal base. Hay solamente uno hexagonal Enrejado de Bravais, por que tiene seis tomos clula de la unidad.Grafito es un ejemplo de a cristal eso se cristaliza en el sistema cristalino hexagonal.Los arreglos hexagonales tambin se han observado en sistemas de amphiphiles y constituye uno de los tipos de polimorfismo del lpido.grupos del punto (clases cristalinas) esa cada bajo este sistema cristalino es enumerada abajo, seguido por sus representaciones adentro Hermann-Mauguin o notacin internacional y Notacin de Schoenflies, y mineral ejemplos, si existen.

nombreinternacionalSchoenfliesejemplo

dihexagonalbipyramidalD6hberyl

dihexagonalpyramidalC6vgreenockite

bipyramidal hexagonalC6hapatita

pyramidal hexagonalC6nepheline

trapezohedral hexagonalD6kalsilite y alto cuarzo

ditrigonalbipyramidalD3hbenitoite

trigonal bipyramidalC3hningunos

Sistema cristalinocbicosistema cristalino cbico (o isomtrico) es a sistema cristalino donde clula de la unidad est en la forma de a cubo. ste es una de las formas mas comunes y ms simples encontradas en cristales metlicos.Los tres Enrejados de Bravais qu forma el sistema cristalino cbico esCbico simpleCbico Body-centeredCbico Face-centered

cbico simple el sistema consiste en un punto del enrejado en cada esquina del cubo. Cada tomo en los puntos del enrejado entonces se comparte igualmente entre ocho cubos adyacentes, y la clula de la unidad por lo tanto contiene en el tomo del total uno (1/8 * 8). el cuerpo se centr el sistema cbico tiene un punto del enrejado en el centro de la clula de la unidad adems de los ocho puntos de la esquina. Tiene una contribucin de 2 puntos del enrejado por la clula de la unidad ((1/8) *8 + 1). Finalmente, cbico centrada cara tiene puntos del enrejado en las caras del cubo de el cual cada cubo de la unidad consigue exactamente una mitad contribucin, adems de los puntos de la esquina del enrejado, dando un total de 4 tomos por la clula de la unidad ((1/8 para cada esquina) * 8 esquinas + (el 1/2 para cada cara) * 6 caras). El procurar crear el A.c. - el sistema cristalino cbico centrado dara lugar a un enrejado de Bravais tetragonal simple. Hay 8 puntos del enrejado en un cbico simple para cada esquina de la forma. Hay 9 puntos del enrejado para un cuerpo centrado debido a el punto adicional en el centro de la unidad. Hay 14 puntos del enrejado en un cbico centrada cara.

REDES DE BRAVAIS

En geometra y cristalografa las redes de Bravais son una disposicin infinita de puntos discretos cuya estructura es invariante bajo cierto grupo de traslaciones. En la mayora de casos tambin se da una invariancia bajo rotaciones o simetra rotacional. Estas propiedades hacen que desde todos los nodos de una red de Bravais se tenga la misma perspectiva de la red. Se dice entonces que los puntos de una red de Bravais son equivalentes.Mediante teora de grupos se ha demostrado que slo existe una nica red de Bravais unidimensional, 5 redes bidimensionales y 14 modelos distintos de redes tridimensionales.La red unidimensional es elemental siendo sta una simple secuencia de nodos equidistantes entre s. En dos o tres dimensiones las cosas se complican ms y la variabilidad de formas obliga a definir ciertas estructuras patrn para trabajar cmodamente con las redes.Para generar stas normalmente se usa el concepto de celda primitiva. Las celdas unitarias, son paralelogramos (2D) o paraleleppedos (3D) que constituyen la menor subdivisin de una red cristalina que conserva las caractersticas generales de toda la retcula, de modo que por simple traslacin de la misma, puede reconstruirse la red al completo en cualquier punto.Una red tpica R en tiene la forma:

donde {a1,..., an} es una base en el espacio Rn. Puede haber diferentes bases que generen la misma red pero el valor absoluto del determinante de los vectoresai vendr siempre determinado por la red por lo que se lo puede representar como d(R).

Caractersticas de las celdas unitarias y las celdas convencionalesLas celdas unitarias se pueden definir de forma muy simple a partir de dos (2D) o tres vectores (3D). La construccin de la celda se realiza trazando las paralelas de estos vectores desde sus extremos hasta el punto en el que se cruzan. Existe un tipo de celda unitaria que se construye de un modo distinto y que presenta ciertas ventajas en la visualizacin de la red ya que posee la misma simetra que la red, es la celda de Wigner-Seitz. Una celda unitaria se caracteriza principalmente por contener un nico nodo de la red de ah el adjetivo de "unitaria". Si bien en muchos casos existen distintas formas para las celdas unitarias de una determinada red el volumen de toda celda unitaria es siempre el mismo.En ocasiones resulta ms sencillo construir otro tipo de celdas que sin ser unitarias describen mejor la estructura de la red que tratamos. Este tipo de celdas se denominan celdas convencionales. stas tienen, a su vez, sus propios parmetros de red y un volumen determinado. Todas estas celdas se consideran celdas primitivas ya que son capaces de cubrir todo el espacio mediante traslaciones sin que queden huecos ni solapamientos. Sus diferencias o caractersticas son las siguientes:

Empaquetamiento compacto: Esto es cuando los tomos de la celda estn en contacto unos con otros. No siempre ser as y en muchos casos mediar una distancia mnima entre las nubes electrnicas de los diferentes tomos.Parmetro de red: Es la longitud de los lados de la celda unitaria. Puede haber tan solo uno, dos o hasta tres parmetros de red distintos dependiendo del tipo de red de bravais que tratemos. En las estructuras ms comunes se representa con la letra a y con la c en caso de haber dos.Nodos o tomos por celda: Tal y como dice el nombre es el nmero de nodos o tomos que posee cada celda. Una celda cuadrada, por ejemplo, poseer un nodo por celda ya que cada esquina la comparte con cuatro celdas ms. De hecho si una celda posee ms de un nodo de red es que no es unitaria, en cambio si posee ms de un tomo por celda pudiera ser que estuvisemos en una celda unitaria pero con una base atmica de ms de un tomo.Nmero de coordinacin: Es el nmero de puntos de la red ms cercanos, los primeros vecinos, de un nodo de la red. Si se trata de una estructura con empaquetamiento compacto el nmero de coordinacin ser el nmero de tomos en contacto con otro. El mximo es 12.Factor de empaquetamiento: Fraccin del espacio de la celda unitaria ocupada por los tomos, suponiendo que stos son esferas slidas.

Donde f es el factor de empaquetamiento o fraccin de volumen ocupado, n el nmero de tomos por celda, v el volumen del tomo y Vc el volumen de la celda. Normalmente se suele dar el factor de empaquetamiento compacto para las diferentes celdas como indicador de la densidad de tomos que posee cada estructura cristalina. En este caso los tomos se tratan como esferas rgidas en contacto con sus vecinos ms cercanos.Densidad: A partir de las caractersticas de la red, puede obtenerse la densidad terica del material que conforma la red mediante la siguiente expresin.

Donde es la densidad, NA el nmero de Avogadro y m la masa atmica.Volumen de la celda unitaria primitiva: Toda celda unitaria tiene el mismo volumen representado por la siguiente frmula. Donde a son los vectores de la base de la red.Redes bidimensionalesSegn los ngulos y la distancia entre los nodos se distinguen 5 redes distintas.

En funcin de los parmetros de la celda unitaria, longitudes de sus lados y ngulos que forman, se distinguen 7 sistemas cristalinos.

Ahora bien, para determinar completamente la estructura cristalina elemental de un slido, adems de definir la forma geomtrica de la red, es necesario establecer las posiciones en la celda de los tomos o molculas que forman el slido cristalino; lo que se denominan puntos reticulares. Las alternativas son las siguientes:

P: Celda primitiva o simple en la que los puntos reticulares son slo los vrtices del paraleleppedo.

F: Celda centrada en las caras, que tiene puntos reticulares en las caras, adems de en los vrtices. Si slo tienen puntos reticulares en las bases, se designan con las letras A, B o C segn sean las caras que tienen los dos puntos reticulares.

I: Celda centrada en el cuerpo que tiene un punto reticular en el centro de la celda, adems de los vrtices.

C: Primitiva con ejes iguales y ngulos iguales hexagonal doblemente centrada en el cuerpo, adems de los vrtices.

Combinando los 7 sistemas cristalinos con las disposiciones de los puntos de red mencionados, se obtendran 28 redes cristalinas posibles. En realidad, como puede demostrarse, slo existen 14 configuraciones bsicas, pudindose el resto obtener a partir de ellas.

En el caso ms sencillo, a cada punto de red le corresponder un tomo, pero en estructuras ms complicadas, como materiales cermicos y compuestos, cientos de tomos pueden estar asociados a cada punto de red formando celdas unitarias extremadamente complejas. La distribucin de estos tomos o molculas adicionales se denomina base atmica y esta nos da su distribucin dentro de la celda unitaria.Existen dos casos tpicos de bases atmicas. La estructura del diamante y la hexagonal compacta. Para redes bidimensionales un caso ejemplar sera el grafito cuya estructura sigue un patrn de red en panal.

Estructuraa (r)Nmero decoordinacinFactor deempaquetamientoEjemplos

Cbica simple (CS)a = 2r60,52Hg

Cbica centrada en el cuerpo (CCI)a = 4r/380,68Fe, Ti, W, Mo, Nb, Ta, K, Na, V, Cr, Zr

Cbica centrada en las caras (CCC)a = 4r/2120,74Cu, Al, Au, Ag, Pb, Ni, Pt

Hexagonal compacta (HC)a = 2rc/a = 1,633120,74Ti, Mg, Zn, Be, Co, Zr, Cd

PLANOS CRISTALOGRFICOS

Al hablar de materiales cristalinos, a menudo es conveniente especificar algn plano cristalogrfico de tomos particular o alguna direccin cristalogrfica. Una celdilla unitaria o cristal contiene planos de los tomos, y esos planos influyen en las propiedades y comportamiento de los cristales. Esta forma ser ventajosa para identificar los varios planos que existen en un cristal.

Un cristal contiene planos de los tomos, y estos planos influyen en las propiedades y comportamiento de los cristales.

Esta forma ser ventajosa para identificar los varios planos atmicos que existen en un cristal.

La orientacin de los planos cristalogrficos de la estructura cristalina se presentan de manera similar al de las direcciones cristalogrficas. Tambin se utiliza un sistema de coordenadas de tres ejer ortogonales y la celdilla unitaria es fundamental. Una celdilla o cristal contiene planos de los tomos, y esos planos influyen en las propiedades y comportamiento de los cristales. Esta forma ser ventajosa para identificar los varios planos atmicos que existen en un cristal.

A veces es necesario referirse a los planos reticulares especficos de los tomos que se encuentran en una estructura cristalina, o puede ser interesante conocer la orientacin cristalogrfica de un plano o de grupos de planos en una red cristalina. Para identificar a los planos cristalinos en una estructura cristalina cbica se utiliza el sistema de notacin de Miller. Los ndices de Miller de un plano cristalino se definen como el recproco de las fracciones de interseccin (con fracciones simplificadas) que el plano presenta con los ejes cristalogrficos x, y y z de las tres aristas no paralelas de la celdilla unitaria cbica. Las aristas del cubo en la celdilla unitaria representan longitudes unidad y las intersecciones de los planos reticulares se miden con base en estas longitudes unidad.

El procedimiento para determinar los ndices de Miller para un plano cristalogrfico cbico es como sigue:

1. Se elige un plano que no pase por el origen de coordenadas (0, 0, 0).

2. Se determinan las intersecciones del plano en la funcin de los ejes cristalogrficos x, y y z para un cubo unitario.

Estas intersecciones pueden ser fraccionarias.

3. Se obtiene el recproco de las intersecciones.

4. Se simplifican las fracciones y se determina el conjunto ms pequeo de nmeros enteros que estn en la misma proporcin que las intersecciones. Este conjunto de nmeros enteros son los ndices de un plano cristalogrfico y se encierran en parntesis sin utilizar comas. La notacin (h k l) se utiliza para indicar los ndices de Miller en este plano un sentido general, donde h, k y l son los ndices de Miller de un plano cristalino cbico para los ejes x, y yz, respectivamente.

En la figura 4 se muestran nueve planos cristalogrficos dentro de los cuales los siete primeros son considerados como los ms importantes de una estructura cristalina cbica. Considrese en primer lugar el plano sombreado de la figura (1 1 0), que tiene las intersecciones 1, , para los ejes x, y y z, respectivamente. Si se toman los recprocos de estas intersecciones para obtener los ndices de Miller, sern, por tanto, 1, 0, 0. Como estos nmeros no son fraccionarios, los ndices de Miller para este plano son (1 0 0), que se lee como plano uno-cero-cero. Considrese ahora como ejemplo el segundo plano (1 1 0). Las intersecciones en este plano son 1, 1, . Dado que los recprocos de estos nmeros son 1, 1, 0, que no presentan fracciones, los ndices de Miller de este plano (1 1 0). Finalmente, un tercer plano (1 1 1) tiene las intersecciones 1, 1, 1, corresponde a unos ndices de Miller (1 1 1)

Bibliografa

http://enciclopedia.us.es/index.php/Redes_de_Bravais http://161.116.85.21/crista/castella/xarxes-bravais/xarxes_es.htm# http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Crystal_system