UNIVERSIDAD DE LOS ANDESTarea 1 IIND2103 Principios de Optimización 2015-20‐ ‐INSTRUCTORES: Daniel Duque, Manuel Bolívar, Juliana Gómez.ASISTENTES: Jorge Huertas, Juliana Arango, Sergio Cárdenas, Daniel López, Oscar Guaje, Manuel Duque, Claudia Bedoya, Mariana Escallón

NOMBRE CÓDIGO LOGINSECCIÓN

MAGISTRALSECCIÓN

COMPLEMENTARIAAlejandra Navarrete 201327108 ma.navarrete11 21 18

Andrés Mantilla 201316545 af.mantilla11 21 7Arvid Tenganá 201527819 a.tengana 13 7

Problema 1: Consultora ACME

(a)

I. Conjuntos

I = { } IngenierosP = { } ProyectosC = { } ConstructorasM = { } Meses para actuarRango = { } Rango de los ingenieros (Senior, Junior)R = { } Subconjunto de rango (Senior, Junior) por ingeniero (indexado en I)SC = { } Subconjunto de constructoras por proyecto

II. Parámetros

hip: Si cada ingeniero i ∈ I puede hacer el proyecto p ∈ Pd p: Duración de cada proyecto p ∈ Pi p: Ingreso de cada proyecto p ∈ Pisp: Número de Senior por proyecto p ∈ Pijp: Número de Junior por proyecto p ∈ Pe p: Especialidad necesitada por proyecto p ∈ Pcn p: Proyecto asociado a cada constructora p ∈ Ppresupuestoc: Presupuesto de cada constructora c ∈ CCOSTOS pm: Patron de costos por mes m ∈ M asociado a cada proyecto p ∈ P

III. Variables de decisión

X ipm : Si el Ingeniero i ∈ I es asignado al proyecto p ∈ P en el mes m ∈ M

1

Y ip: Si el Ingeniero i ∈ I se asigna a cada proyecto p ∈ PZpm : Si el proyecto p ∈ P se realiza en cada mes m ∈ Mw p: Si el proyecto p ∈ P se realiza o no

IV. Función objetivo

max ¿¿

V. Restricciones

o Requerimientos de Senior y Junior por proyecto

∑ra∈R

Y rap=isp∗wp

∀ r ∈ Rango, ∀ p ∈ P

∑ra∈R

Y rap=ijp∗wp

∀ r ∈ Rango, ∀ p ∈ P

o Los trabajos no pueden durar más ni menos que su duración

∑m∈M

z pm=d p∗wp

∀ p ∈ P

o 1 proyecto al mes por ingeniero

∑pro∈ P

X ing prom≤1

∀ i ∈ I, ∀ m ∈ M

o Daniela y Paola no pueden trabajar juntas en ningún proyecto.Y daniela p+Y paola p≤1

∀ p ∈ P

o 1 proyecto al mes por constructora

∑p∈P talquecn ( p)=c

z pm≤1

∀ c ∈ C, ∀ m ∈ M

o Los trabajos no pueden durar más de 4 mesesforall(p in P, m in M)z(p,m)*m <= 4

2

o Si un ingeniero es asignado a un proyecto, lo debe terminarforall(ing in I, p in P)sum(m in M) x(ing,p,m) = d(p)*y(ing,p)

o Presupuesto(lo que nos ingresa no debe ser mayor de lo que tienen nuestros clientes)forall(c in C)sum(p in P | cn(p) = c) w(p)*i(p) <= presupuesto(c)

o Relacionar las variablesforall(p in P, ing in I | exists(h(ing,p)))y(ing,p)*d(p) = sum(m in M) x(ing,p,m)forall(p in P)w(p)*d(p)=sum(m in M) z(p,m)forall(p in P)w(p) <= sum(ing in I) y(ing,p)forall(m in M, p in P)dosum(ing in I)x(ing, p,m) >= z(p,m)

o sum(ing in I)x(ing, p,m) <= z(p,m)*100000

b)

ProyectoMeses

Enero Febrero Marzo Abril

1Daniela, Sandra,

Alejandro Daniela, Sandra,

Alejandro

2

3 Carlos, Lucia,

Viviana

4

5Lucia, Juan,

Paola Lucia, Juan,

Paola

6

7

Problema 2: Método Gráfico

3

a. (5 puntos) Formule matemáticamente el problema de forma explícita, es decir, escriba término a término todas las variables de decisión, las restricciones y la función objetivo.

Variables de decisión

X1→Delanteros X2→Volantes ofensivos

Restricciones

1. X1≤10→Númeromáximodedelanteros

2. X2≤7→Númeromáximode volantesofensivos

3. 9.5 X 1+7.6 X2≤200→Presupuesto

4. 3 X1≥ X2→Balanceo de equipo

5. X1 , X2≥0→Nonegatividad

Función Objetivo

max20 X1+12 X2

b. (5 puntos) Utilice un procedimiento en MS-Excel a través de macros como el que se siguió en la clase magistral (Magistral 02 – Método Gráfico) para buscar una buena solución al problema. Justifique su propuesta, comente acerca del método utilizado para encontrar la solución y del tiempo de ejecución.

4

En el siguiente literal se emplea un método MS-Excel a través de macros, el cual evalúa distintos puntos o valores para las variables de decisión que cumplan las restricciones en una escala de (0.01) con un tiempo de ejecución de 14 segundos. Este método al evaluar tiene en cuenta los distintos valores que van cumpliendo con las distintas restricciones, es decir evalúa un número más amplio de variables. Es por esto que se decide usar esta propuesta.

c. (5 puntos) Adicionalmente, resuelva el modelo utilizando Solver de MS-Excel. ¿Cuál es la cantidad óptima de delanteros y de volantes ofensivos que Dantzig Fútbol Club debe comprar?

En orden para cumplir con todas las restricciones dadas, la cantidad óptima de delanteros es de 10 y el volantes ofensivos es 7.

d. (2 puntos) ¿Cuál es la diferencia entre el método de solución del inciso b y el inciso c? ¿Cuál cree usted que es el más adecuado para solucionar modelos de optimización? ¿Por qué?

Aunque el resultado es el mismo para los dos procedimientos utilizados anteriormente, existe una diferencia que se debe al tiempo computacional que toma cada uno de ellos. El procedimiento de macros toma mayor tiempo de ejecución en comparación al procedimiento por medio de solver. Es por esto que el método más adecuado sería solver ya que permite evaluar distintas variables y escenarios de manera más rápida.

e. (3 puntos) Resuelva el modelo utilizando el método gráfico. Usted debe graficar todas las restricciones, la región factible, el gradiente, las isoclinas e indicar el punto óptimo. Recuerde especificar el nombre de los ejes y de las unidades de medida de las variables de decisión.

5

Variables de decisión

x→Delanteros y→Volantes ofensivos

Muestre los cambios realizados a la formulación original.

a. (4 puntos) Dantzig Fútbol Club ha contratado a un experto en marketing deportivo el cual asegura que el equipo debe recibir ingresos por conceptos de publicidad mayores a $80 millones de pesos para tener solvencia financiera. Para esto el experto ha dicho que por cada delantero que se contrate se recibirán $5 millones de pesos, mientras que por cada volante ofensivo contratado el equipo recibirá $3 millones de pesos. ¿Cómo cambia la solución de este problema ante esta nueva situación? ¿Qué decisión tomarían sobre la contratación del experto en marketing?

Se añade una nueva restricción (Número 5), la cual garantiza solvencia financiera. Es decir, Dantzig Futbol tendrá que garantizar que la plata invertida en conceptos de publicidad retorne al equipo en el dinero que se reciba al vender los delanteros y/o volante ofensivos.

6

Delanteros

Volantes ofensivos

Restricciones1. X1≤10→Númeromáximodedelanteros

2. X2≤7→Númeromáximode volantesofensivos

3. 9.5 X 1+7.6 X2≤200→Presupuesto

4. 3 X1≥ X2→Balanceo de equipo

5. 5 X1+3 X2>80→Conceptosde publicidad

6. X1 , X2≥0→Nonegatividad

7

Delanteros

Volantes ofensivos

Teniendo en cuenta que al realizar el método gráfico no se tuvo ninguna solución óptima que cumpliera con todas las restricciones, la empresa optará por no invertir en conceptos de publicidad ya que la venta de los jugadores no asegura los $80 millones.

b. (3 puntos) La directiva se ha comunicado con el director técnico para informarle que existe un presupuesto salarios de $50 millones de pesos para la próxima temporada. El salario anual (por temporada) de los delanteros es de 5 millones de pesos, mientras que el salario de los volantes ofensivos sería de 3 millones de pesos. ¿Cómo cambia la solución de este problema ante esta nueva situación?

Se añade una nueva restricción con respecto al modelo inicial (Numero 5), la cual garantiza que el presupuesto disponible para el pago de salarios de los jugadores no se excederá.

Restricciones1. X1≤10→Númeromáximodedelanteros

2. X2≤7→Númeromáximode volantesofensivos

3. 9.5 X 1+7.6 X2≤200→Presupuesto

4. 3 X1≥ X2→Balanceo de equipo

5. 5 X1+3 X2≤50→Salarios

6. X1 , X2≥0→Nonegatividad

8

Delanteros

La solución se mantiene igual, es decir la función objetivo sigue teniendo el mismo valor. Es decir que la empresa podría adoptar la nueva política o restricción para el pago de salarios de los jugadores del equipo.

c. (3 puntos) El equipo ha encontrado un patrocinador que va a hacer un aporte de capital que le permite al equipo realizar la contratación de la cantidad de jugadores que el técnico 7 considere necesarios. Tenga en cuenta que esto también tiene un impacto en el presupuesto del equipo.

En comparación al modelo inicial que contaba con una restricción de presupuesto, este nuevo modelo permite eliminar dicha restricción ya que el equipo encuentra un patrocinador el cual hace el aporte de capital para la contratación ilimitada de jugadores.

Restricciones1. X1≤10→Númeromáximodedelanteros

2. X2≤7→Númeromáximode volantesofensivos

3. 3 X1≥ X2→Balanceo de equipo

4. X1 , X2≥0→Nonegatividad

9

Volantes ofensivos

La función objetivo es de 284, igual al modelo inicial.

10

Delanteros

Volantes ofensivos

Delanteros: 10

Volantes ofensivos: 7

Problema 3: Navidad

(a)

I. Conjuntos

C = {1, 2, 3, 4, 5} continentesN = {1, 2, 3,…100} niñosR = {1, 2, 3, 4} renos

II. Parámetros

pnc: Puntaje del niño n ∈ N al continente c ∈ Cvr: Capacidad de carga del reno r ∈ R

III. Variables de decisión

Z: Mínimo puntaje que balancea entre continentes la cantidad de niños que recibirán regaloX nc: Niño n ∈ N que recibirá regalo en el continente c ∈ C,

Entonces X nc= {0, 1} donde 0 = si recibe y 1= no recibeY rc: Reno r ∈ R asignado al continente c ∈ C,

Entonces Y rc= {0, 1} donde 0 = asignado y 1 = no asignado

IV. Función objetivo

max ¿ Z

V. Restricciones

o Balance de puntaje entre continentes para poder maximizar el mínimo Z

∑n∈N

X nc∗pnc≥Z

∀ c ∈ C

o Máximo 3 viajes por reno

∑c∈C

Y rc≤3 ∀ r ∈ R

o Capacidad de carga de los renos

11

∑n∈N

X nc≤∑r∈ R

Y rc∗vr

∀ c ∈ C

o Condiciones adicionales

r Renos1 Donner2 Blitzen3 Rudolph4 Vixen

Si el reno Blitzen (2) viaja a Oceanía, no puede ir a Europa (4) y si no va a Oceanía, pude ir a Europa

Y 25≤ (1−Y 24)

Si el reno Blitzen (2) viaja a Oceanía, no puede ir a América (2) y si no va Oceanía, puede ir a América

Y 25≤ (1−Y 22)

Si el reno Donner (1) viaja a África, no puede ir a Oceanía (5) y si no va a África, puede ir a Oceanía

Y 11≤(1−Y 15)

Si el reno Rudolph (3) viaja a América (2), debe ir a África (1)

Y 32≤Y 31

(b)

RenosContinentes

África América Asia Europa OceaníaDonner x x xBlitzen x x x

Rudolph x x xVixen x x x

Continentes

12

c Continentes1 África2 América3 Asia4 Europa5 Oceanía

África América Asia Europa Oceanía

Niños con regalo

Esteban, Andrés, Mateo,

Orlando, Jimena, Cristian

David, Aleida, Ana, Hugo,

Renata

Laura, Clara, Manuel, Sara, Amelia, Isabel,

Francisco, Antonio, Violeta

Alejandra, Felipe, Juliana,

Paola, Constanza, Fernanda, Miranda

María, Sebastián,

Franco, Eduardo, Liliana, Olivia

Puntaje: 294 446 448 442 498

Conclusión sobre los resultados:

Los resultados obtenidos con X-press muestran que el balance del puntaje entre continentes se dio para un valor de Z = 442, en donde los niños seleccionados fueron en su mayoría los de mejores puntajes para todos los continentes, como se ve en la siguiente imagen, cumpliendo así con los objetivos del análisis para la entrega de regalos.

Tabla. Niños organizados por continente. En verde se muestran los niños seleccionados.

El continente con mayor variación en los puntajes de los niños seleccionados fue África, en el cual los niños seleccionados no eran necesariamente todos los de mejor puntaje y en especial se escogieron 2 niños (Jimena y Cristian) que rompían la tendencia de selección de los mejores puntajes que se presenta en los demás continentes y en el resto de niños de África que también fueron seleccionados.

La cantidad de niños seleccionados varía en cada continente, con lo cual se aprecia que el balance realizado teniendo en cuenta la suma de puntajes entre continentes genera que la cantidad de niños no sea igual, y permite que en un continente como Asia, el 75% de los niños hayan sido seleccionados, mientras que en Oceanía solo el 19% de los niños fueron seleccionados. En las siguientes tablas se aprecian los porcentajes de niños que son seleccionados en sus respectivos continentes y también cual es la proporción frente al total de los 100 niños.

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Tablas. Informacion sobre proporciones de los niños seleccionados por cda continente respecto al total de niños en cada continente y respecto al total de los 100 niños.

Los renos fueron utilizados a su máxima capacidad en cuanto a los regalos que podían llevar en cada viaje como con el número máximo de viajes que podían realizar, entregando así 33 regalos en la noche, lo cual responde al objetivo de maximización del balance de puntajes y por lo tanto los recursos fueron utilizados en su totalidad.

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