SUPERFICIES CUADRICAS

Presentado por:

Daniel Giovanny Lpez Moncayo

Diego Andrs Araque

UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA

FACULTAD DE INGENIERIAS

MEDELLIN-ANTIOQUIA

2015

CALCULO MULTIVARIADO

Presentado por:

Daniel Giovanny Lpez Moncayo

Diego Andrs Araque

Superficies Cudricas Clculo Multivariado

DOCENTE

Carlos Alberto Mrquez

UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA

FACULTAD DE INGENIERIAS

MEDELLIN-ANTIOQUIA

2015

Elipsoide:

Como los coeficientes de x2, y2, z2 son todos positivos entonces la

superficie es un ELIPSOIDE con el eje focal el eje z.

Interceptos:

Con el eje x: (2,0,0) y (-2,0,0)

Con el eje y:(0,3,0) y (0,-3,0)

Con el eje z:(0,0,6) y (0,0,-6)

Simetras:

La superficie es simtrica con los tres planos coordenados, con los tres ejes

coordenados y con el origen.

Trazas:

Con el plano xy : Si z=0,entonces 2

4+

2

9= 1 .La traza con el plano

xy es una elipse con eje focal el eje y, centro el origen, semieje

mayor 3 unidades de longitud y semieje menor 2 unidades de

longitud.

Con el plano xz: si y=0, entonces 2

4+

2

36= 1 .La traza con el plano

xz es una elipse con eje focal el eje z, centro el origen, semieje

mayor a 6 unidades de longitud y semieje menor de 2 unidades de

longitud.

Con el plano yz: si x=0. 2

9+

2

36= 1.La traza con el plano yz es una

elipse con el eje focal el eje z, centro del origen, semieje mayor 6

unidades de longitud y semieje menor 3 unidades de longitud.

Secciones:

Por Planos perpendiculares al eje x

Si x=-1 o x=1, entonces2

27

4

+2

27= 1.Estas secciones corresponde a

un par de elipses con centro (-1,0,0) y (1,0,0), eje focal z, semieje

mayor igual a 27 y semieje menor igual a 27

4 unidades de longitud.

Por Planos perpendiculares al eje y

Si y=-2 o y=2, entonces 2

20

9

+2

20= 1.Estas secciones corresponde a

un par de elipses con centro (0, -2, 0) y (0, 2, 0), eje focal el eje

semieje mayor igual a 20 y semieje menor igual a 20

9 unidades de

longitud.

Por Planos perpendiculares al eje z

Si z=3 o z=-3, entonces 2

3+

2

27

4

= 1. Estas secciones corresponden

a un par de elipses con centro en (0, 0, 3) o (0, 0,-3), eje focal el eje

y, semieje mayor igual a 27

4 y semieje menor igual a 3 unidades

de longitud.

Extensiones:

-Cuando x>2 o x3 o y6 o z

Hiperboloide de una hoja:

Interceptos con los ejes coordenados

Con el eje x :(2,0,0) y (-2,0,0)

Con el eje y:(0,3,0) y (0,-3,0)

Con el eje z:No intercepta al eje z

Simetras

La superficie es simtrica con los tres planos coordenados, con los tres ejes

coordenados y con el origen

Trazas

Con el plano xy: Si z=0, entonces 2

4+

2

9= 1.La traza con el plano xy

es una elipse con eje focal al eje y, centro el origen, semieje mayor

igual a 3, unidades y semieje menor igual a 2 unidades.

Con el plano xz: su y=0, entonces2

4

2

16= 1.La traza con el plano xz

es una hiprbola con el eje focal el eje x, centro en el origen y

vrtices en (2, 0, 0) y (-2, 0, 0).

Con el plano yz: si x=0, entonces 2

9

2

16= 1.La traza con el plano yz

es una hiprbola con el eje focal y y centro en el origen y vrtices en

(0, 3, 0) y (0,-3,0).

Secciones

Al dibujar la grfica de una superficie cuadrica nos interesa sobremanera

conocer las secciones por planos perpendiculares al eje de la superficies;

en este caso, al eje z. Si z=2 o z=-2 entonces 2

3+

2

27

4

= 1 .Estas

corresponden a un par de elipses con centros en (0, 0, 2) y (0, 0, -2),eje

focal el eje y, semieje mayor igual a 27

4 y semieje menor igual a 3 .

Extensin

Para cualquier valor real que tome z siempre encontraremos

expresiones reales en trminos de x y y: estas expresiones son

elipses. Por lo tanto, la superficie se extiende a lo largo de todo el eje

z.

Para cualquier valor real que tome y siempre encontraremos

expresiones reales en trminos de x y z:estas expresiones.

Para cualquier valor real que tome x siempre encontraremos

expresiones reales en trminos de y y z:estas expresiones son

hiprbolas. Por lo tanto, la superficie se extiende a lo largo de todo el

eje x.

Grfica:

Hiperboloide de dos hojas:

Interceptos con los ejes coordenados:

Con el eje x: No intercepta al eje x

Con el eje y:No intercepta con el eje y

Con el eje z:(0,0,4) y (0,0,-4)

Simetras:

Esta superficie es simtrica con los tres planos coordenados, con los tres

ejes coordenados y con el origen.

Trazas:

Con el plano xy: z=0. Entonces 2

4+

2

9= 1 Lo cual no corresponde

a ningn lugar geomtrico.

Con los planos xz y yz son, respectivamente las hiprbolas: 2

4

2

16=

1 y 2

9

2

16= 1.

Secciones:

Nos interesa especialmente analizar las secciones por planos

perpendiculares al eje de superficie, es decir al eje z. Podemos comprobar

que cuando z toma valores en el intervalo(-4,4),la ecuacin resultante es

una elipse; adems, (0,0,4) y(0,0,-4) son los interceptos con el eje z. Si z>4

o y

2

41

4

2

369

16

= 1, z=-5 2

41

4

2

369

16

= 1, z=5

Estas elipses tienen su centro en (0,0,-5) y (0,0,5) respectivamente. Su

semieje mayor mide 369

16 unidades de longitud y su semieje menor mide

41

4 unidades de longitud

Extensin:

La variable x puede tomar cualquier valor real

La variable y puede tomar cualquier valor real

La variable z puede tomar valores mayores o iguales a 4 o menores

iguales a 4

Grfica:

Cono Elptico:

Ya que los coeficientes de x2 y y2 son positivos y el de z2 es negativo,

entonces el eje del cono es el eje z.

Interceptos:

Si y=z=0 entonces 2

4 =0 y x= 0 Luego la superficie corta el eje x en el

origen

P (0, 0, 0)

Si x=z=0 entonces 2

9 =0 y y=0 Luego la superficie corta el eje y en el

origen

P (0, 0, 0)

Si x=y=0 entonces 2

16 =0 y z= 0 Luego la superficie corta el eje z en el

origen

P (0, 0, 0)

Simetras:

La superficie es simtrica con los tres planos coordenados con los tres ejes

coordenados y con el origen.

Trazas:

Con el plano xy: si z=0, 2

4+

2

9= 0 luego la traza es (0,0,0)

Con el plano xz: si y=0, 2

4

2

16= 0 luego la traza con el plano xz son el

par de rectas x=z/2 o x=-z/2. (ambas pasan por el origen)

Con el plano yz: si y=0, 2

9

2

16= 0 luego la traza con el plano yz son el

par de rectas y/3=z/8 o y/3=-z/8. (ambas pasan por el origen)

Secciones:

Analizamos las secciones por plano perpendiculares al eje de la superficie; es

decir al eje z. Si hacemos z=2 o z=-2 nos queda la ecuacin 2

4+

2

9=

1

4 . Por lo

tanto, estas secciones son elipses:

2

4+

2

9=

1

4 , z=2 y

2

4+

2

9=

1

4 , z=-2.

Extensin:

Las variables x, y y z pueden tomar cualquier valor real; por lo tanto, la

superficie se extiende sin ninguna limitacin a lo largo de todos los ejes

coordenados.

Grfica:

Paraboloide Elptico:

Interceptos:

Si y=z=0 entonces 2

4=0 y x= 0 Luego la superficie corta el eje x en el

origen

P (0, 0, 0)

Si x=z=0 entonces 2

9 =0 y y=0 Luego la superficie corta el eje y en el

origen

P (0, 0, 0)

Si x=y=0 la superficie corta el eje z en el origen

P (0, 0, 0)

El nico intercepto con los ejes en (0, 0, 0)

Simetras:

La superficie es simtrica con respecto al eje y, al plano xy y al plano yz.

Trazas:

Con el plano xy: si z=0, 2

4+

2

9= 0 luego la traza es (0,0,0)

Con el plano xz: es el punto (0,0,0)

Con el plano yz: si x=0, 2

9= luego esta parbola tiene su vrtice en el

origen y su eje focal es el eje y.

Secciones:

Nos interesan las secciones por planos perpendiculares al eje z(eje de la

superficie). Si z=4, nos queda la ecuacin 2

4+

2

9= 4.Esta ecuacin

corresponde a una elipse .

Extensin:

Notemos que z no puede tomar valores negativos. Por lo tanto la grfica de la

superficie est ubicada, a partir del origen en la parte positiva del eje z. Las

otras dos variables no tienen ninguna limitacin y la grfica se extiende a lo

largo de los ejes x y y.

Grafica:

Paraboloide Hiperblico

Interceptos: El nico intercepto con los ejes es (0,0,0).

Simetras: La superficies es simtrica con respecto a los planos xz y yz y con

respecto al eje z.

Trazas con los planos coordenados:

Con el plano xy: Si z=0, 2

4+

2

9= 0 ; es decir, dos rectas que pasan por

el origen y estn sobre el plano xy.

Con el plano xz: Si y=0, 2

4= .Esta ecuacin corresponde a una parbola

con vrtice en el origen, eje focal el eje x y cncava hacia la parte positiva

del eje x.

Con el plano yz: Si x=0, 2

9= .Esta ecuacin corresponde a una

parbola con vrtice en el origen, eje focal al eje z y cncava hacia la parte

negativa del eje z.

Secciones:

Nos interesan fundamentalmente las secciones por planos

perpendiculares al eje del paraboloide hiperblico ya que estas, junto

con las trazas, nos arman el esqueleto de la silla de montar.,

Si z=4, entonces, entonces 2

16

2

36= 1,la cual corresponde a una

hiprbola con centro en (0,0,4) y eje focal (0,0,4) y eje focal el eje

y.

Si z=-4, entonces, entonces 2

16+

2

36= 1,la cual corresponde a

una hiprbola con centro en (0,0,-4) y eje focal el eje x.

Extensin:

La superficie puede extenderse sin ninguna limitacin a lo largo de los ejes

x, y y z.

Grfica: