ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALCÁLCULO VECTORIAL

Alumno: Alexis Vallejo Fecha: 25/10/2012Paralelo: GR4

Ing. Hugo Rodríguez

SUPERFICIES ELEMENTALES

ELIPSOIDE

Un elipsoide de revolución es la superficie generada por una elipse que gira alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. A veces se le da el nombre de esferoide. En la figura que se presenta abajo se muestra el caso de la elipse de ecuación:

En el sistema de coordenadas , cuyos ejes de simetría son los del sistema,

.

Si se gira alrededor del eje de las abscisas, se obtiene la superficie esbozada en rojo. La tercera coordenada, z, tiene en este caso el mismo papel que y, luego aparece en la misma forma en la ecuación del elipsoide:

Como y, z varía entre -2 y 2.

Si se gira alrededor del eje de las ordenadas, se obtiene la superficie bosquejada en azul, y z tiene el mismo papel que x, luego la ecuación es:

Como x, z varía entre -3 y 3. Por tanto las superficies no son idénticas, la en azul tiene mayor «espesor», como se puede adivinar en la figura anterior.

Se han representado las dos superficies - a la izquierda la de tipo «pelota de rugby» (correspondiente al esbozo en rojo) y a la derecha la del tipo «canto rodado» (esbozo en azul) - aumentando sus diferencias tomando la longitud igual a dos veces la anchura.

Se generaliza el concepto de elipsoide al incluir superficies que no se obtienen por rotación. En un sistema de coordenadas cuyo centro es el de simetría de la superficie, cuyos ejes son también ejes de simetría de la misma, la ecuación de un elipsoide cualquiera es:

Las constantes a, b y c son los las longitudes de los semiejes del elipsoide (ver figura, donde a = 2, b = 3 y c = 1) lo que se justifica al observar que los puntos A(a, 0 ,0), A'(-a, 0, 0), B(0, b, 0), B'(0, -b, 0), C(0, 0, c) y C'(0, 0, -c) pertenecen a la superficie porque son soluciones obvias de su ecuación.

Cuando dos de las tres constantes son iguales se trata de un esferoide, y cuando a = b = c, de una esfera de radio a.

El elipsoide se define por ser una cuádrica acotada en el espacio, o, empleando la terminología del espacio proyectivo, por no tener punto infinito.

El elipsoide anterior se obtiene estirando la esfera unitaria de ecuación:

Por un factor a en la dirección de las abscisas (es decir aplicando la trasformación x→ax) , por un factor b en las ordenadas (aplicando y→by) y c en las z (con z→cz). Estas tres trasformaciones sucesivas multiplican los volúmenes por a·b·c, por tanto, conociendo el volumen de la esfera unitaria:

, se obtiene lo siguiente:

Volumen contenido en el elipsoide es:

Estas tres trasformaciones permiten deducir, a partir de las coordenadas esféricas, la parametrización del elipsoide, es decir la manera de localizarse en esta superficie:

Nótese que θ y Φ no corresponden a ángulos geométricos en el elipsoide mismo sino en la esfera unitaria porque la trasformación (x, y, z) →(a·x, b·y, c·z) deforma los ángulos.

Superficie

La superficie de un elipsoide está dada por la siguiente fórmula:

donde

es su excentricidad angular, , y , son las integrales elípticas de primera y segunda especie.

Una ecuación aproximada de su superficie es:

donde p ≈ 1,6075. Con esta expresión se obtiene un error máximo de ±1,061%, en función de los valores de a, b y c. El valor p = 8/5 = 1,6 es óptimo para elipsoides cuasi esféricos, con un error relativo máximo de 1,178%.1

Volumen

El volumen de un elipsoide está dado por la ecuación:

Utilizando Geometría diferencial se puede demostrar la expresión anterior:

Se sabe que el volumen de una región cerrada Ω corresponde a la integral triple de la función f(x,y,z) = 1 y que si se realiza algún cambio de coordenadas ( por ejemplo esféricas) se ha de multiplicar por el Jacobiano del Cambio de Variable y adaptar los límites de integración.

En este caso el cambio de variable es de tipo pseudoesférico, mucho más general que el de la esfera (por un motivo lógico, un elipsoide con todos sus parámetros a,b,c iguales genera una esfera, es decir, que la esfera es un elipsoide particular con un alto grado de simetría). También se han definido los límites de integración.

Para calcular el Jacobiano habría que calcularse la matriz en derivadas parciales respecto de r, theta y phi y el determinante de esta matriz cuadrada tres por tres da como resultado:

Por lo tanto la integral que hay que resolver es teniendo el cuenta lo dicho anteriormente es:

Operando:

Una demonstración alterna se puede hacer con sumas de Riemann. Esta consiste en sumar a lo largo del eje X las áreas de las secciones transversales. Como la sección

transversal de un elipsoide es una elipse, su área esta dada por por lo que el volumen del elipsoide estaría dado por:

Nuevamente como las secciones transversales son elipses se tiene:

Reemplazanado:

HIPERBOLOIDE

Los hiperboloides son de origen de ecuaciones cuadráticas con centro de simetría. Si el centro de simetría es C(0, 0, 0), y el eje del hiperboloide es el eje z, entonces la ecuación del hiperboloide de una hoja es:

Si la ecuación del hiperboloide de dos hojas es:

Si el centro fuera C(x0, y0, z0), entonces las ecuaciones se escribirían:

Características de los hiperboloides

Hiperboloide de una hoja

Sea el hiperboloide de una hoja de ecuación:

ü El hiperboloide de una hoja es simétrico respecto al origen de coordenadas.ü El hiperboloide de una hoja es simétrico respecto a los ejes de coordenadas.ü El hiperboloide de una hoja es simétrico respecto a los planos coordenados.ü Las secciones con planos paralelos a los coordenados y al eje del hiperboloide son hipérbolas.ü El hiperboloide de una hoja se extiende infinitamente.

ü Una ecuación paramétrica de este hiperboloide de una hoja es es:

Hiperboloide de dos hojas

Sea el hiperboloide de dos hojas de ecuación:

ü El hiperboloide de dos hojas es simétrico respecto al origen de coordenadas.ü El hiperboloide de dos hojas es simétrico respecto a los ejes de coordenadas.ü El hiperboloide de dos hojas es simétrico respecto a los planos coordenados.ü Las secciones con planos paralelos a los coordenados y al eje del hiperboloide son hipérbolas.

ü El hiperboloide de dos hojas se extiende en -∞ ≤ x ≤ ∞; -∞ ≤ y ≤ ∞; |z| ≥ c.ü Una ecuación paramétrica de este hiperboloide de dos hojas es:

Área

La superficie de un hiperboloide de una hoja de altura h, situado entre los planos y y de sección transversal circular, es decir, .

Su ecuación queda de la forma .

Si

Demostración

En este caso vamos a utilizar la parametrización:

Para el cálculo del área vamos a hacer uso de las propiedades de la integral de superficie:

Volumen

El volumen comprendido por la función del hiperboloide de una hoja

Y los planos z=h/2 y z=-h/2.

Demostración

Para hallar el volumen vamos a utilizar las propiedades de las integrales múltiples. Utilizamos coordenadas cilíndricas:

PARABOLOIDE

En la Geometría analítica, un paraboloide es una cuádrica, un tipo de superficie tridimensional que se describe mediante ecuaciones cuya forma canónica es del tipo:

Los paraboloides pueden ser elípticos o hiperbólicos, según sea que sus términos cuadráticos (los que contienen variables elevadas al cuadrado, aquí indicadas como x e y) tengan igual o distinto signo, respectivamente.

ELÍPTICO

HIPERBÓLICO

EL CONO

En Geometría analítica y Geometría diferencial, el cono es el conjunto de puntos del espacio que verifican, respecto un sistema de coordenadas cartesianas, una ecuación del tipo:

Este conjunto también coincide con la imagen de la función:

que es llamada parametrización del cono.

P

or ejemplo, en el caso que a = b (no nulos), éste conjunto es obtenido a partir de rotar la

recta respecto al eje z, y por eso es llamada parametrización de revolución.

El cono no es una superficie regular, pues posee una singularidad: su vértice; quitándolo se convierte en una superficie regular disconexa y abierta. Entre sus características, podemos destacar que es una superficie reglada (es decir que se puede generar por el movimiento de una recta), y es desarrollable, es decir, que se puede desplegar sobre un plano; técnicamente esto se expresa diciendo que su curvatura gaussiana es nula (como en el plano o el cilindro).