Cálculo III

Mirna Cuautle Aguilar Superficies Cuadráticas en

3-D

Superficies cuadráticasUna ecuación para una esfera con centro C(h, k, l) y radio r es

En particular si el centro está en el origen (0,0,0), la ecuación es

Esferas

2222 rlzkyhx

2222 rzyx

4213 222 zyx4222 zyx

Una ecuación para una elipsoide es

Las trazas son elipses.

Elipsoides

3694 222 zyx 444 222 zyx

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

La ecuación para una paraboloide elíptico es

Las trazas horizontales son elipses y las verticales parábolas. La variable de primer grado indica el eje del paraboloide.

Paraboloide elíptico

224 yxz 22 9zxy 22 zyx

Paraboloides

2

2

2

2

by

ax

cz

La ecuación para una paraboloide hiperbólico es

Las trazas horizontales son hipérbolas y las verticales parábolas. La variable de primer grado indica el eje del paraboloide.

Paraboloide

hiperbólico

22 2yxz 22 9zxy 22 yzx

Paraboloides

2

2

2

2

by

ax

cz

La ecuación para una hiperboloide de una hoja es

Las trazas horizontales son elipses y las verticales hipérbolas. El eje de simetría lo indica la variable negativa.

Hiperboloide de una

hoja

44 222 zyx 3694 222 zyx

1222 zyx

Hiperboloides

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

La ecuación para una hiperboloide de dos hojas es

Las trazas horizontales en z = k son elipses si k > c ó k < - c y las verticales son hipérbolas. Los dos signos menos indican dos hojas.

Hiperboloide de dos

hojas

3694 222 zyx 99 222 zyx44 222 zyx

Hiperboloides

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

La ecuación para un cono es

Las trazas horizontales son elipses y las verticales en los planos x = k y y = k son hipérbolas si k es diferente de cero, si k = 0 son rectas. El eje de simetría lo indica la variable negativa.

Cono

0222 zyx 02 222 zyx

02

2

2

2

2

2

cz

by

ax

022 222 zyx

La ecuación para un plano es

Se pueden tener casos particulares como:

O bien, como

Planos

042 z 03x

0 dczbyax

0422 zyx

,0 dczby0 dax

0 dczax

0 dby 0 dcz

0 dbyax

063 zy