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Distribuciones de probabilidad en la práctica - Parte 1 Dr. Diego Hernández Rangel ITAM Septiembre 2011
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Distribuciones de probabilidad
en la práctica - Parte 1
Dr. Diego Hernández Rangel
ITAM
Septiembre 2011
Temas a tratar
• Riesgo, aleatoriedad y probabilidad
• Probabilidad y seguros
• Modelos y estimación
• Buenos hábitos
Riesgo y probabilidad
Riesgo y probabilidad
• Un punto central en toda actividad económica es la toma de decisiones en condiciones que involucran riesgo.
• La existencia del riesgo justifica – La razón de existir de ciertas industrias – creación de
valor
– La existencia de precios
– La determinación del valor de una empresa
– El costo del capital
• Históricamente no siempre hemos evolucionado en la misma dirección en la administración de riesgos.
Riesgo y probabilidad
• Desde la perspectiva científica, preguntarnos qué es riesgo es tan inútil como preguntarnos qué es la gravedad.
• Al físico le interesa el efecto de la gravedad en un sistema (ej órbitas planetarias, difusión de partículas, etc.)
• Al actuario le interesa el efecto del riesgo en un sistema económico, para medirlo y controlar dichos efectos.
Riesgo y probabilidad
• El análisis cuantitativo del riesgo se da en el contexto de modelos de decisión.
• Parten de un conjunto de decisiones, con múltiples escenarios a los cuales se asocian probabilidades y consecuencias (monetarias).
• A partir de ellos se proponen criterios de decisión (ganancia promedio, minimax, maximin, etc.) que finalmente son criterios de creación de valor y determinantes de precios y capital.
Riesgo y probabilidad
• Al incorporar aspectos psicológicos surgen modelos que mejoran la explicabilidad (utilidad esperada y similares).
• Probabilidad surge como un elemento de construcción. En ocasiones de forma natural y en otras de forma artificial, como lo hacemos en finanzas con los argumentos de arbitraje.
Riesgo y probabilidad
• Tanto en seguros como en finanzas, la
“medición de riesgo” se refiere a
cuantificar características de la
distribución de probabilidades de las
pérdidas o ganancias.
• Ej. VaR, tail-VaR, Riesgo de cobertura,
etc.
Aleatoriedad y probabilidad
Aleatoriedad y probabilidad
• Nociones de aleatoriedad:
– Problema de medición
– Complejidad
– Carencia de explicación
– Combinación de las 3
• Misma matemática para tratarlas.
• Posibles diferencias en la interpretación.
Aleatoriedad y probabilidad
• Asignación de probabilidades:
– Principio de razón insuficiente
– Probabilidades subjetivas
– Argumentos físicos
– Análisis del peor caso (ej máx. Entropía)
– Búsqueda de simplicidad (+robustez)
– Medición de fenómenos repetibles
(Estadística!)
Probabilidad y seguros
Ley de grandes números
• Sin entrar en formalidades matemáticas,
la Ley de Grandes Números (LGN) dice
que si tienes una sucesión de números
provenientes del mismo fenómeno
aleatorio, los promedios parciales de
dichos números se aproximarán
“gradualmente” a la media de la
distribución de probabilidades que rige al
fenómeno.
Ley de grandes números Promedios parciales
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
11 8
15
22
29
36
43
50
57
64
71
78
85
92
99
10
6
11
3
12
0
12
7
13
4
14
1
14
8
15
5
16
2
16
9
17
6
18
3
19
0
19
7
20
4
21
1
21
8
22
5
23
2
23
9
24
6
25
3
26
0
26
7
27
4
28
1
28
8
29
5
Núm. lanzamientos
Ley de grandes números
• Apliquemos esta idea a un sistema de seguros: Toma un número "grande" de asegurados, cada uno expuesto a riesgos tan similares que puedan considerarse idénticos. Si el actuario ha realizado su trabajo correctamente, dispone de estimaciones certeras sobre las probabilidades de cada escenario.
• Entonces, la LGN indica que el costo promedio de las pérdidas sufridas por asegurado se aproximará al promedio calculado con las probabilidades que estimó el actuario.
Ley de grandes números
• Considera pólizas de seguro de vida que
pagan $100,000 en caso de fallecer y la
probabilidad de morir es de 0.05 igual
para todos.
• ¿A qué valor debe aproximarse la
sucesión de promedios?
Ley de grandes números Promedios parciales
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
1
49
97
14
5
19
3
24
1
28
9
33
7
38
5
43
3
48
1
52
9
57
7
62
5
67
3
72
1
76
9
81
7
86
5
91
3
96
1
10
09
10
57
11
05
11
53
12
01
12
49
12
97
13
45
13
93
14
41
14
89
15
37
15
85
16
33
16
81
17
29
17
77
18
25
18
73
19
21
19
69
Núm. asegurados
Ley de grandes números
• Sin ver esta gráfica podemos decir que los
promedios parciales convergerán al costo
promedio por póliza, que es
$100,000(0.05)=$5,000.
• Ahora bien, hemos determinado que los
promedios parciales se aproximan a la media
teórica. Sin embargo, el asegurador no paga
"indemnizaciones promedio" sino
indemnizaciones totales. Veamos entonces
cómo se comportan las indemnizaciones totales.
Ley de grandes números
• El promedio de los costos totales con 2000 pólizas es $100,000(0.05)(2000)=$10,000,000.
• ¿Será cierto que los costos totales se aproximan a este valor?
• El proceso de las sumas parciales de las indemnizaciones, claramente forma una gráfica escalonada.
• Más aún, podemos ver que este valor NO se aproxima a $10,000,000 como los promedios se acercaban a $5,000.
Ley de grandes números Costos agregados
0
2000000
4000000
6000000
8000000
10000000
12000000
140000001
50
99
14
8
19
7
24
6
29
5
34
4
39
3
44
2
49
1
54
0
58
9
63
8
68
7
73
6
78
5
83
4
88
3
93
2
98
1
10
30
10
79
11
28
11
77
12
26
12
75
13
24
13
73
14
22
14
71
15
20
15
69
16
18
16
67
17
16
17
65
18
14
18
63
19
12
19
61
Núm. asegurados
Ley de grandes números
• Ahora es mucho más claro ver lo que realmente sucede: los costos totales de un grupo de 2000 asegurados no se aproximan a los 10 millones, pero si este procedimiento se repite muchas veces, el promedio (sobre las repeticiones) de los costos totales sí se aproxima a los 10 millones. Sin embargo, la variabilidad de los resultados AUMENTA con el número de asegurados.
• ¿Qué implicaciones tiene esto para un sistema de seguros? ¿Para un plan de negocios?
Teorema Central del Límite
• Sin entrar en detalles técnicos, el TCL nos
dice que la suma de un número grande de
observaciones provenientes de un
fenómeno aleatorio tiene una distribución
aproximadamente normal.
• Requisitos generales:
– “baja” variabilidad
– “baja” asociación entre las observaciones.
Teorema Central del Límite
• Parámetros bajo independencia
• De lo contrario, necesitamos obtener la
distribución de la suma. En el caso de variables
independientes, se realiza mediante el proceso
de convolución.
n
i
in
n
i
in
XVarXXVar
XEXXE
1
1
2
1
1
...
...
Teorema Central del Límite
Convoluciones - Modelo Exponencial (1)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
1.4
2.8
4.2
5.6 7
8.4
9.8
11
.2
12
.6 14
15
.4
16
.8
18
.2
19
.6 21
22
.4
23
.8
25
.2
26
.6 28
29
.4
Monto
Teorema Central del Límite
Densidad Gamma (100,1) vs Normal
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
10
0
10
2
10
3
10
5
10
6
10
8
10
9
11
0
11
2
11
3
11
5
11
6
11
8
11
9
12
1
12
2
12
4
12
5
12
7
12
8
Monto
Gamma
Normal
Normal
Gamma
Teorema Central del Límite
• En el caso de las pólizas de vida:
05.0105.0100000
05.0100000
2
n
n
Teorema Central del Límite
12000000100000008000000600000040000002000000
40
30
20
10
0
Pe
rce
nt
n=500
n=1000
n=2000
1000 simulaciones del costo total de n pólizas
Economías de escala
• Bajo la aproximación normal, notamos que
los costos totales incrementan los
parámetros de manera diferente.
• El costo promedio se incrementa de
manera lineal.
• La desviación estándar se incrementa en
términos de raíz de n.
Economías de escala
• Si la prima total fuera calculada bajo el escenario n=1000 como el percentil 95 de la distribución del costo total tendríamos
• Es decir la prima individual es el costo promedio de c/póliza más un 23%.
2267.1
637,133,6$645.1
202,689$
000,000,5$
P
P
Economías de escala
• La misma prima alcanza a cubrir el costo total con una mayor probabilidad conforme el número de pólizas aumenta.
• Subaditividad!
n 500 1000 2000
mu $2,500,000 $5,000,000 $10,000,000
sigma $487,340 $689,202 $974,679
prima $3,066,819 $6,133,637 $12,267,274
Pr insolv. 0.12 0.05 0.01
Modelos y estimación
Modelos y estimación
• Un modelo es una representación simplificada de algún aspecto del mundo real.
• Un buen modelo debe tener – Corrección: debe estar basado en teoría y en las
reglas matemáticas.
– Concordancia: ser acorde con las mediciones que observamos en la realidad.
– Aplicabilidad: servir para los propósitos que nos hemos planteado.
Modelos y estimación
• Es falso suponer que los modelos
(probabilísticos) actuariales solamente se
basan en datos históricos, ignorando las
variables que interactúan con el fenómeno
de interés.
• Los modelos deben incluir toda la
información relevante disponible.
Modelos y estimación
• Una distinción fundamental existe entre el
modelo del riesgo para el asegurador y el
modelo que representa el flujo de información
disponible.
• Ejemplo: la aplicación de deducibles,
coaseguros, topes a la indemnización, periodos
de espera,… causa que la información confiable
que tiene el asegurador sea únicamente la de
las indemnizaciones y no la de las pérdidas
sufridas por el asegurado.
Modelos y estimación
• Siniestros (X) vs Indemnizaciones (Y)
• r=inflación, d=deducible, u=límite,
a=1-coaseguro:
ruXdu
ruXrddXr
rdX
Y
1/,
1/1/,1
1/,0
a
a
Modelos y estimación
duy
duydF
uF
duydF
dyf
yf
duy
duydF
dFdyFy
yF
X
X
X
X
Y
X
XXY
,0
,1
1
0,1
,1
0,1
0,0
Modelos y estimación
• Cuando efectivamente utilizamos sólo la información histórica para construir una distribución de probabilidades, sin suponer una familia paramétrica, estamos utilizando un método empírico.
• Los métodos empíricos son útiles de dos maneras:
1. Cuando monitoreamos variables sin referirnos explícitamente a un modelo.
2. Cuando los datos son suficientes para evitar un proceso de inferencia paramétrica.
Modelos y estimación
n
xxxF
j
n
de #
• La distribución empírica asociada a una
muestra aleatoria es
• Y también define
n
xxxf
j
n
de #
Modelos y estimación
• Estas funciones contienen toda la información de la muestra sin hacer ningún supuesto sobre la población, pero sí suponen una muestra aleatoria.
• Cualquier cantidad de interés de la población se estima como la misma cantidad sobre la distribución empírica.
• Este enfoque no impide la construcción de intervalos de confianza, pruebas de hipótesis y otros instrumentos de inferencia.
Modelos y estimación paramétrica
• Los métodos paramétricos consisten en utilizar toda la información disponible para estimar los parámetros de cierta distribución.
• En ese sentido son más eficientes que los métodos empíricos. Además la estructura permite herramientas de análisis de mayor alcance.
• Dependen fundamentalmente de que la distribución elegida sea la correcta.
• En ocasiones son la única opción, debido a la forma en que se presenta la información.
Modelos y estimación paramétrica
• Un criterio fundamental para ajustar modelos paramétricos es la parsimonia, pues nunca debemos utilizar un modelo complejo si uno más simple logra explicar los datos observados y resolver nuestro problema.
• Esto implica proceder de manera ordenada, de menor a mayor complejidad.
Modelos y estimación paramétrica
• Para realizar un proceso de selección de
modelos y estimación es necesario recorrer el
“árbol genealógico” de cada familia de
distribuciones.
• Este árbol se construye al aplicar operaciones
simples a distribuciones base.
• Esto constituye un procedimiento objetivo con
el cual dos actuarios podrán coincidir en el
mejor modelo para los mismos datos.
Modelos y estimación paramétrica
Modelos y estimación paramétrica
Modelos y estimación paramétrica
Modelos y estimación paramétrica
• Para especificar el miembro de la familia paramétrica que mejor representa los datos necesitamos elegir el método de estimación paramétrica.
• Estos métodos son de dos tipos: – Empate de características de los datos
– Métodos de optimización
• Cada método tiene razones prácticas de uso. Sin embargo, el único que tiene un respaldo teórico objetivo es el de maximización de la función de verosimilitud.
Modelos y estimación paramétrica
• Recordemos que la función de verosimilitud
mide la concordancia de los datos con algún
miembro de la familia paramétrica elegida.
• Es una función del vector de parámetros de esa
familia, en tanto los valores de la muestra se
consideran constantes.
• La combinación de parámetros que maximiza
esta función nos indica el miembro de la familia
paramétrica que mejor representa los datos.
Ejemplo lognormal
• Si tenemos n observaciones
independientes tomadas con absoluta
precisión,
• Y suponemos que la población que
observamos es lognormal…
Ejemplo lognormal
n
j
j
n
j
j
n
j
j
n
j
j
n
j
jn
n
j
j
jn
j j
xn
xn
xnl
xl
xnxL
x
xL
1
2
1
13
2
12
12
2
2
1
2
2
1
ˆln1
ˆ;ln1
ˆ
ln/
ln/
2
ln2lnlnln,ln
2
lnexp
2
1,
Ejemplo lognormal
Ejemplo lognormal
• Considera los montos procedentes de 100 eventos de GMM.
• Suponemos que estos montos se observan con total precisión, no hay deducibles y que los eventos que originan las secuencias de pagos son independientes.
• La función de verosimilitud es justamente la que ya tenemos.
Ejemplo lognormal
1086420
40
30
20
10
0
C1
Pe
rce
nt
Histograma de 100 observaciones de GMM
74.1
13.1ˆ
08.0ˆ
media
Ejemplo lognormal
• Considera ahora que aplicara un deducible de 0.2.
• Esto implicaría que obtenemos información parcial de los gastos médicos.
• En el caso de nuestro ejemplo, cerca del 10% de los datos simplemente desaparecen.
• Nota que el modelo (lognormal) no cambia, sino el flujo de información.
Ejemplo lognormal
• Ahora la función de verosimilitud toma la
forma:
• Ya ahora debemos maximizar esta función de
forma numérica.
n
j X
jX
dF
xfL
1 1,
Ejemplo lognormal
764.1
19.1ˆ
14.0ˆ
media
1086420
40
30
20
10
0
C2
Pe
rce
nt
Histograma de las indemnizaciones pagadas por el asegurador
Buenos hábitos
Buenos hábitos
• La salud de un sistema de seguridad
financiera requiere una conducta
profesional de todos los involucrados.
• La naturaleza de las responsabilidades
actuariales nos llevan a discutir
brevemente algunos aspectos relevantes
en nuestro campo de acción.
Manejo de datos y estadísticas
• La información (de la operación, clientes,
siniestros, litigios, inversiones, etc) es vital
para un asegurador.
• Los actuarios tenemos una
responsabilidad doble:
– Crear una cultura de recopilación de
información confiable, constante y
permanente.
– Utilizarla!
Manejo de datos y estadísticas
• Existe un terrible hábito de considerar a la
información como un trámite a cumplir
(entrega de estadísticas, reportes
mensuales, etc.) y no una herramienta
para el éxito profesional.
• También tenemos el vicio de generar
reportes ante una pregunta simple (¿cómo
vamos? ¿qué recomiendas?).
Modelación
• “Un actuario es una persona que mide las
dimensiones de un cuarto con pasos y
utiliza un micrómetro para la parte
restante”.
• ¿Cuántos modelos actuariales, que
involucran cálculos con gran detalle,
descansan en supuestos vagos y
estimados poco confiables?
Modelación
• La precisión de algún valor producido por
un modelo depende de:
– La calidad de la información
– Los supuestos del modelo
– La adecuación del modelo al problema
– La complejidad del modelo
Modelación
• Los procesos de estimación pueden contener elementos subjetivos, sin embargo debemos tratar de seguir procedimientos objetivos, reproducibles por otros actuarios.
• Siempre debemos revisar si los pronósticos generados con un modelo fueron correctos y realizar los ajustes correspondientes.
Modelación
• Con el desarrollo del cómputo y bases de datos, ha
surgido la tendencia a crear modelos muy complejos y
costosos (infraestructura + horas/actuario) pero que
producen los mismos resultados de los modelos
relativamente más sencillos.
• Sin una medida del margen de error no podemos
evaluar la ganancia en la calidad del pronóstico.
• Tal vez la ganancia es en explicabilidad. En ese caso
debemos evitar usar este modelo para pronóstico.
Modelación
• Es muy peligroso pedir valores extremos a un
modelo basado en supuestos de difícil
confirmación y con datos limitados.
• Ejemplos:
– La estimación de percentiles altos de una distribución
de pérdidas.
– El pronóstico a horizontes muy lejanos.
Comunicación
• Sin una comunicación clara, oportuna y
acorde con la relevancia de los resultados,
ningún análisis cumplirá su función
cabalmente.
• Los actuarios tenemos la responsabilidad
de adecuar el nivel y detalle de la
comunicación para nuestros
interlocutores.
Comunicación
• Debemos fomentar el hábito de proporcionar
cualquier valor estimado (empíricamente o
mediante un modelo) indicando el margen de
error involucrado.
• Recordemos que al aplicar un método de
estimación, los valores derivados del modelo
dependen del método. Y las propiedades son
del método, no del número estimado.
Comunicación
• También es necesario combatir la tendencia a
no documentar suficientemente los análisis y
métodos aplicados.
• Una hoja excel no basta.
• La documentación es parte del proceso y debe
asignarse tiempo para ella. Es la única forma en
que podemos ir gradualmente contribuyendo a
nuestras empresas y a la profesión.
