TALLER: APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA GRADO 10

En grupos de dos analicen cada situación y preparen exposición sobre estos ejemplos de aplicación

Nombres y apellidos: _________________________________________________________________

1.

2. Un faro está ubicado sobre la playa. El faro tiene

una altura de 675 metros. Desde lo alto del faro y

en un ángulo de depresión de 76° se divisa una

embarcación. ¿A qué distancia de la base del faro

se encuentra la embarcación?

Solución: La embarcación se encuentra a 2, 707.28

metros de distancia de la base del faro.

3. Se agita el extremo de una cuerda con una

frecuencia de 2 Hz y una amplitud de 3 cm. Si la

perturbación se propaga con una velocidad de 0,5

m/s, escribe la expresión que representa el

movimiento por la cuerda.

Solución

La frecuencia angular es: ω = 2 π ν = 4 π rad/s

El número de onda es: k = 2 π λ = 2 π v/ν = 2 π 0,5/2

= 8 π m −1

La expresión pedida es:

y = A cos (ω t − k x) = 0,03 cos (4 π t − 8 π x)

Operando:

y = 0,03 cos 4 π(t − 2 x)

4. Un rayo de luz se propaga por un vidrio de índice

de refracción 1,52 y llega a la superficie de

separación vidrio-agua (índice de refracción del

agua = 1,33) con un ángulo de incidencia de 30º.

Dibuja los rayos incidente y refractado y señala

los ángulos correspondientes.

Calcula el valor del ángulo de refracción

Por la ley de Snell, y sustituyendo,

5. Sobre un cuerpo se aplica una fuerza de 10 N formando un ángulo de 30º con la horizontal. Calcula el valor dos fuerzas, una horizontal y otra vertical, cuyo efecto conjunto sea equivalente al de la primera.

Solución

Datos

F = 10 N A = 30º

Dado que nos proporcionan el módulo de la fuerza y el ángulo que forma con el eje x (horizontal), podemos descomponerla haciendo uso de la definición del seno y del coseno. Llamaremos Fx a la fuerza horizontal y Fy a la fuerza vertical:

Fx=F⋅cos(α)=10 N⋅cos(30)=8.66 N

Fy=F⋅sin(α)=10 N⋅sin(30)=5 N

Por tanto, las fuerzas solicitadas son de:

Fx=8.66 NFy=5 N

GEOMETRÍA ANALÍTICA: CÓNICAS

Se define lugar geométrico como el conjunto de puntos que verifican una propiedad conocida. Las cónicas que estudiaremos a continuación se definen como lugares geométricos. Pero antes de deducir las ecuaciones correspondientes, vamos a ver cómo se deducen las cónicas a partir de una superficie plana. Se define una superficie cónica de revolución como la superficie que genera una recta, llamada generatriz, al girar alrededor de otra superficie fija o eje.

figuras, se obtienen las cónicas que estudiaremos a continuación. Al cortar esta superficie cónica de revolución con un plano, como se muestra en las

CIRCUNFERENCIA Se define la circunferencia como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro, es decir, ( ),d P C r=

Como la distancia entre un punto cualquiera P y el centro C es siempre constante r,

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2x a y b r x a y b r− + − = ⇒ − + − =

Desarrollando la expresión anterior y agrupando términos semejantes se obtiene la siguiente ecuación: 2 2 0x y Ax By C+ + + + =

En el caso de que el centro de coordenadas esté en el origen ( )0,0 , la ecuación de la

circunferencia se escribe: 2 2 2x y r+ = y su representación gráfica viene dada arriba al lado derecho.

a

b

rP(x,y)

C

ELIPSE

Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos F y F’, es constante. Es decir ( ) ( ), , ' , d P F d P F C C+ = ∈

FF’AA’

B

B’

2c

2a

2b

P(x,y)

FF’AA’

B

B’

2c

2a

2b

P(x,y)

Antes de deducir la ecuación, se explicarán brevemente los elementos que la definen y que aparecen en la figura anterior.

- F y F’ son dos puntos fijos llamados focos, la recta que pasa por ellos recta focal, y, la distancia entre ellos distancia focal, representada por 2c. - Dado un punto P cualquiera, a los segmentos PF y 'PF se les llama radio vector, y verifican ' 2PF PF a+ = . - El segmento 'AA es el eje mayor de la elipse y su distancia es 2a. - El segmento 'BB es el eje menor de la elipse y su distancia es 2b. A continuación se deducirá la ecuación de la elipse. Considerando como ejes coordenados los ejes de la elipse, las coordenadas de los focos serán: ( ) ( ),0 y ' ,0F c F c− respectivamente.

Teniendo en cuenta que un punto P cualquiera de la elipse verifica: ( ) ( ), , ' 2d P F d P F a+ = , sustituyendo en esta expresión las coordenadas respectivas,

obtenemos: ( ) ( )2 22 2 2x c y x c y a− + + + + = .

Haciendo las operaciones necesarias para eliminar la raíz cuadrada, y teniendo en cuenta que 2 2 2a b c= + , se obtiene que la expresión reducida de la elipse es:

2 2

2 2 1, con , 0x y a ba b

+ = >

En el caso que la elipse tenga el centro en el punto ( )0 0,x y la ecuación correspondiente

es: ( ) ( )2 20 0

2 2 1, con , 0x x y y

a ba b− −

+ = > .

HIPÉRBOLA Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos F y F’, es constante. Es decir se verifica:

( ) ( ), , ' , d P F d P F C C− = ∈ .

Análogamente ha como se ha hecho en la elipse, se verán brevemente los elementos que intervienen en la hipérbola y están representados en la figura. - F y F’ son dos puntos fijos llamados focos, la distancia entre ellos distancia focal, representada por 2c.

- Dado un punto P cualquiera, a los segmentos PF y 'PF se les llama radio vector, y verifican ' 2PF PF a− = Pare deducir la ecuación, se considera como sistema de referencia aquél que está centrado en la hipérbola como se muestra en la figura anterior, en el que el eje focal coincide con el eje de abcisas. Así, las coordenadas de los focos serán ( ) ( ),0 y ' ,0F c F c− respectivamente.

Teniendo en cuenta que un punto ( ),P x y cualquiera de la hipérbola verifica

( ) ( ), , ' 2d P F d P F a− = , sustituyendo en esta expresión las coordenadas respectivas,

obtenemos: ( ) ( )2 22 2 2x c y x c y a− + − + + = .

Haciendo las operaciones necesarias para eliminar la raíz cuadrada, y teniendo en cuenta que 2 2 2c a b= + , se obtiene que la expresión reducida de la hipérbola es:

2 2

2 2 1, con , 0x y a ba b

− = >

En el supuesto de que el eje focal estuviera en el eje de ordenadas, la ecuación sería: 2 2

2 2 1, con , 0y x a bb a

− = >

En el caso que la hipérbola tenga el centro en el punto ( )0 0,x y la ecuación correspondiente

es: ( ) ( )2 20 0

2 2 1, con , 0x x y y

a ba b− −

+ = > .

PARÁBOLA Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco, y una recta fija d, llamada directriz, es decir: ( ) ( ), ,d P F d P d=

- La recta que pasando por el foco es perpendicular a la directriz es el eje de la parábola. - El punto de corte del eje con la parábola se llama vértice. - La distancia desde le foco hasta la directriz se designa con el parámetro p.

Para deducir la ecuación de la parábola se considera un sistema de referencia ortonormal donde el vértice coincide con el origen de coordenadas y el eje de la parábola con el eje de ordenadas. Teniendo en cuenta que un punto ( ),P x y cualquiera de la parábola verifica

( ) ( ), ,d P F d P d= , utilizando las expresiones correspondientes de las distancias, y

haciendo las operaciones se llega a la siguiente ecuación reducida de la parábola: 2 2x py=

En el caso en que el vértice esté situado en un punto ( )0 0 0,P x y , y el eje de la parábola

sea paralelo el eje de ordenadas como aparece en el siguiente gráfico

la ecuación correspondiente es: ( ) ( )20 02x x p y y− = − .

Por último, cuando el eje de la parábola sea el eje de abcisas o paralelo a él, las gráficas y ecuaciones correspondientes serán como se muestra en la grafica de arriba a la derecha.

EJERCICOS RESUELTOS 1.- Calcular la ecuación de la circunferencia de centro ( )1, 1 y radio 3C r− = .

( ) ( )2 21 1 9x y− + + =

2.- Identificar la curva de ecuación 2 2 6 8 21 0x y x y+ + − + = .

Como los coeficientes de 2 2e x y son iguales se trata de una circunferencia.

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 23 4 21 9 16 0 3 4 4x y x y+ + − + − − = ⇒ + + − =

3.- Identificar las siguientes curvas:

a) 2 29 4 36x y+ =

b) 2 23 9 27x y− =

a) 2 2 2 2

2 2 9 49 4 36 1 136 36 4 9x y x yx y+ = ⇒ + = ⇒ + = . Es una elipse de centro el

origen, semieje menor 2a = , y semieje mayor 3b = .

b) 22 2 23 9 1 1

27 27 9 3x y x y

− = ⇒ − = , es una hipérbola.

4.- El eje de ordenadas es el eje de una parábola cuyo vértice está en el origen. Calcular la ecuación de la parábola sabiendo que pasa por el punto ( )2,4 .

( ) ( )22 212 2 2 42

x py p p x y= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Identificar las siguientes curvas y expresarlas en forma canonica y grafica:

a) 2 2 2 4 1 0x y x y+ + − + =

b) 2 24 2 3x y x+ − =

c) 2 24 3 8 6 5 0y x y x− − − − =

d) 2 2 1 0y y x− − − =

e) 122 =− xy

f) 9003625 22 =+ yx

g) 144 22 =+ yx

h) 28 yx =

i) 1−=xy

j) 2 22 4 4 4 0x y x y+ − + + =

k) 0412834 22 =−++− yxyx

l) 05462 =+−− yxx

m) 04 22 =+− yxx

A’ O A

B’

B

a

b

c

Y

Xc

a

F1 F2

P

YP

XP d1 d2

Y

X

ASÍNTOTA ASÍNTOTA

d2 d1

VECTORES

LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES DEFINICIÓN

Un vector es un segmento orientado. Un vector AB queda determinado por dos puntos,

origen A y extremo B.

Elementos de un vector: Módulo de un vector es la distancia entre A y B y se designa por el vector entre

barras : |AB |

Dirección del vector es la dirección de la recta en la que se encuentra el vector y la de todas sus paralelas.

Sentido si va de A a B o de B a A. Igualdad de vectores: Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Todos ellos se llaman representantes de un único vector. Llamaremos representante canónico a aquel vector que tiene por origen el punto O.

Notación: Los vectores se representan por letras: u ,

v ,

w , .... o bien mediante uno de

sus representantes, designando su origen y su extremo con una flecha encima AB

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO

El producto de un número k por un vector v es otro vector

kv que tiene:

Módulo: igual al producto del módulo de v por el valor absoluto de k : |

kv | =

|k|.|v |

Dirección: la misma que la de v

Sentido:

- El de v si k > 0

- El del opuesto de v si k < 0

El producto 0. v es igual al vector cero:

0 . Es un vector cuyo origen y extremo

coinciden y, por tanto, su módulo es cero y carece de dirección y de sentido.

El vector –1. v se designa por

v y se llama opuesto de

v

SUMA DE DOS VECTORES

Dados dos vectores u y

v para sumarlos gráficamente hay dos posibilidades:

Se sitúa el origen del segundo vector sobre el extremo del primero y el vector suma

es el vector que une el origen del primero con el extremo del segundo. Se sitúan los dos vectores con origen común. Se forma el paralelogramo que tiene

por lados los dos vectores y la diagonal que parte del origen de los dos vectores es el vector suma.

RESTA DE DOS VECTORES Restar dos vectores es lo mismo que sumar al primer vector el opuesto del segundo.

u –

v =

u + (-

v )

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

Dados dos vectores, u y

v , y dos números a y b, el vector a

u + b

v se dice que es

una combinación lineal de u y

v .

Notas:

- Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos. - Esta combinación lineal es única.

COORDENADAS DE UN VECTOR. BASE

Dos vectores u y

v con distintas dirección y no nulos forman una base, pues

cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de ellos. Si los dos vectores de la base son perpendiculares entre si, se dice que forman una base ortogonal, y si además tienen módulo 1, se dice que forman una base ortonormal.

Coordenadas de un vector respecto de una base: Cualquier vector w se puede poner

como combinación lineal de los elementos de una base B(x ,

y ) de forma única:

w = a

x + b

y

A los números (a,b) se les llama coordenadas de w respecto de B.

Y se expresa así: w = (a,b) ó

w (a,b)

OPERACIONES CON COORDENADAS SUMA DE DOS VECTORES

Las coordenadas del vector u +

v se obtienen sumando las coordenadas de con las

de v: u +

v = (u1,u2) + (v1,v2) = (u1 + u2,v1 + v2)

RESTA DE DOS VECTORES

Las coordenadas del vectoru -

v se obtienen restando las coordenadas de con las de

v :

u -

v = (u1,u2) - (v1,v2) = (u1 - u2,v1 - v2)

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO

Las coordenadas del vector ku se obtienen multiplicando por k las coordenadas de

u

ku = k.(u1,u2) = (ku1,ku2)

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

au + b

v = a(u1,u2) + b(v1,v2) = (au1 + bv1,au2 + bv2)

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

DEFINICIÓN

El producto es calar de dos vectores u y

v es un número que resulta de multiplicar el

módulo de cada uno de los vectores por el coseno del ángulo que forman y se designa

por u .

v :

u .

v = |

u |.|

v |.cos(

u ,

v )

PROPIEDADES El producto escalar del vector o por otro vector cualquiera es el número 0

Si u =

0 o

v =

0

u .

v = 0

Si dos vectores son perpendiculares, entonces su producto escalar es cero:

Si u

v

u .

v = 0

Si el producto escalar de dos vectores no nulos es cero, entonces son

perpendiculares: u .

v = 0, con

u

0 ,

v

0

u

v

El producto escalar de dos vectores es igual al producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él, con signo + o – según si forman ángulo agudo o

obtuso. Por tanto, llamaremos proyección ortogonal de u sobre

v :

u ´=

v

v.u

Propiedad conmutativa: u .

v =

v .

u

Propiedad asociativa: a.( u .

v ) = (a

u ).

v

Propiedad distributiva: u .(

v +

w ) =

u .

v +

u .

w

Si B(x ,

y ) es una base ortogonal:

x .

y =

y .

x = 0

Si B(x .

y ) es una base ortonormal :

x .

y =

y .

x = 0,

x .

x = 1,

y .

y = 1

EXPRESIÓN ANALÍTICA (en una base ortonormal)

Si las coordenadas de los vectores u y v respecto a una base ortonormal son u (u1,u2) y

v (v1,v2), entonces el producto escalar u.v adopta la siguiente expresión:

u .

v = u1.v1 + u2.v2

Dem : u .

v = (u1

x + u2

y ).(v1

x + v2

y ) = u1.v1.

x .

x + u1.v2.

x .

y + u2.v1.

y .

x + u2.v2.

y .

y = u1.v1 + u2.v2

MÓDULO DE UN VECTOR (en una base ortonormal)

Expresión vectorial : v .

v = |

v |.|

v |.cos(

v ,

v ) = |

v |2.cos0 = |

v |2 |

v | =

v.v

Expresión cartesiana : |v | = 2

221 vv

ÁNGULO DE DOS VECTORES (en una base ortonormal)

Expresión vectorial : u .

v = |

u |.|

v |.cos(

u ,

v ) cos (

u ,

v ) =

|v|.|u|

v.u

Expresión analítica : cos (u ,

v ) =

22

21

22

21

2211

vv.uu

v.uv.u

VECTOR ORTOGONAL A OTRO Un vector ortogonal a (a,b) es (-b,a) ó (b,-a) “Si cambian de orden y una de signo”. VECTOR UNITARIO Para convertir un vector en unitario, se divide cada una de las coordenadas por el

módulo del vector: u (a,b) Vector unitario

2222 ba

b,ba

a

ALGUNAS APLICACIONES DE LOS VECTORES COORDENADAS DEL VECTOR QUE UNE DOS PUNTOS

Las coordenadas del vector AB se obtienen restándole a las coordenadas del extremo B

las del origen A : AB = (x2,y2) – (x1,y1) = (x2-x1,y2-y1)

CONDICIÓN PARA QUE TRES PUNTOS ESTÉN ALINEADOS Los puntos A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) están alineados siempre que los vectores AB y BC tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales:

23

12

23

12

yyyy

xxxx

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Las coordenadas del punto medio, M, de un segmento de extremos A(x1,y1), B(x2,y2)

son: M

2yy

,2

xx 2121

SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO Para calcular el simétrico A’ del punto A respecto del punto B, solo hay que tener en cuenta que el punto B es el punto medio entre A y A’.

ALGEBRA DE MATRICES

Explicaciones generales

matriz 3 x 4

El primer número nos indica el número de filas que tiene la matriz.

El segundo indica la cantidad de columnas que tiene la matriz.

Ejemplo:

1211109

8765

4321

Si la matriz es A las posiciones de cada número son ai j

i es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz

A.

Si la matriz es B las posiciones de cada número son bi j

i es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz

B.

Ejemplos:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

B

En la siguiente matriz indica la posición del número circulado.

16151413

1211109

8765

4321

A

Suma de matrices

Para poder sumar matrices deben de tener el mismo orden, ambas matrices deben

tener el mismo número de filas y columnas.

Definición de suma:

Si A = (ai j) mxn y B = (bi j) mxn entonces su suma es A + B = (ai j + bi j) mxn.

fila columna

3 filas

4 columnas

La matriz es 3 x 4

2 __________

7 __________

9 __________

14 __________

MATRICES

Una matriz es un conjunto de números ordenados en filas y columnas.Las matrices tienen por nombre una letra mayúscula y sus elementos se encierranentre paréntesis o corchetes.

Ejemplo:

Suma las matrices A + B

75

31A

84

75B

6

84

75

75

31

106

84

75

75

31

9

106

84

75

75

31

159

106

84

75

75

31

Propiedades:

Ley asociativa CBACBA

Ley conmutativa ABBA

Elemento neutro

43

21

43

21

00

00

Producto de un escalar

Definición:

Si kA = k(ai j) mxn

Debes multiplicar cada número de la matriz por el escalar.

Ejemplo:

Opera 2A

43

51A

86

102

43

5122 A

Suma a1 1 + b1 1

1 + 5 = 6

3 + 7 = 10

Suma a1 2 + b1 2

5 + 4 = 9

Suma a2 1 + b2 1

7 + 8 = 15

Suma a2 2 + b2 2

Inverso aditivo (resta)

14

32

A

21

54

B

Opera A – B

35

86

21

54

14

32

BA El orden es igual que en la suma pero debes

fijarte muy bien en los signos.

ACTIVIDAD

En cada ejercicio realiza: a) A + B b) B – A c) 2 A + 3 B d) 5 A - 4 B

1)

01

43

21

A

40

62

31

B

2) 83

25 A

94

36 B

3)

243

174

652

A

792

843

725

B

4) 212

103

A

321

120

B

5) 01A 10 B

6)

0221

1230

5432

4321

A

4305

7864

1130

4975

B

7) 0A 1B

8) 52 A 975B

9) 82

35

A

37

12

B

Multiplicación de matrices:

Para poder multiplicar debemos revisar primero el numero de filas x columnas

Si tenemos que una matriz es 3 x 5 y la otra 5 x 2 se puede multiplicar si

Matriz A Matriz B

3 x 5 5 x 2

Resuelve el siguiente ejercicio e indica si se puede multiplicar las matrices o no, y cual es el tamaño

de la matriz de la respuesta.

Matriz A

Matriz B

¿se puede multiplicar?

Tamaño de respuesta

3 x 4 4 x 5

5 x 6 6 x 2

5 x 3 4 x 6

7 x 8 8 x 2

4 x 2 3 x 4

5 x 7 7 x 2

3 x 1 1 x 4

4 x 3 4 x 3

2 x 5 5 x 4

Ejemplo:

33

141312

11109

876

543

210

Se opera asi:

332490

1229160

Debe ser igual entonces

si se puede multiplicar

Si los números centrales son

iguales entonces se puede

multiplicar y el tamaño de la

respuesta son los números de los

extremos 3 x 2

El tamaño de la

respuesta es 3 x 2

1) Reviso el tamaño de la matriz

A = 2 x 3 B = 3 x 3

Como son iguales se puede

multiplicar.

El tamaño de la matriz de la

respuesta es 2 x 3

2) Siempre se toma la primera matriz

con la fila 1 (horizontal) con la 1

columna (vertical) marcada en la

matriz.

3633

141312

11109

876

543

210

3626100

13210170

393633

141312

11109

876

543

210

3928110

14211180

114

393633

141312

11109

876

543

210

114603618

1259463

126114

393633

141312

11109

876

543

210

126654021

13510473

138126114

393633

141312

11109

876

543

210

138704424

14511483

Respuesta:

141312

11109

876

543

210

138126114

393633

EJERCICIOS PARA DESARROLLAR EN CASA

Encuentra AB y BA, si es posible.

1)

62

53A

71

25B

2)

12

34A

24

12B

3)

135

240

103

A

310

214

051

B

4)

200

030

005

A

200

040

003

B

5)

225

134A

74

10

12

B

6)

65

43

21

A

43

21

20

B

7) 11A

3

2

1

B

8)

054

321A

032

751B

Resuelve el siguientes problema:

1) Tres ebanistas: José, Pedro y Arturo trabajan a contrato para una compañia de muebles .Por

cada juego de alcoba en caoba les pagan $500; si es de cedro les pagan $400 y si es de pino tratado

les pagan $100. A continuación están las matrices A y B que representas sus producciones en enero

y febrero. La matriz X es la matriz pago/unidad.

Arturo

Pedro

José

100

400

500

412

302

321

321

411

302

Pino

Cedro

CaobaPinoCedroCaobaPinoCedroCaoba

Calcule las siguientes matrices y decida que representan.

a) AX b) BX c) BA D) XBA

Evalúa la expresión matricial

621-

17-3

8-59-

By

524

262

733

A

Evalúa:

a) 22 BA b) BAA3 c) BA 52 d)

22 BBAA

Producción

enero

A

Salario/

Unidad

X

Producción

febrero

B

MATRICES Y DETERMINANTES PARTE II Cuando los sistemas de ecuaciones lineales son extensos, mayormente se utiliza matrices por su facilidad de manejo. Las matrices son ordenamientos de datos y se usan no solo en la resolución de sistemas de ecuaciones (lineales), sino además en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales y de derivadas parciales. Además las matrices también aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc. El álgebra matricial puede ser aplicada a sistema de ecuaciones lineales. Sin embargo, puesto que muchas relaciones económicas pueden ser aproximadas mediante ecuaciones lineales y otras pueden ser convertidas a relaciones lineales, esta limitación puede ser en parte evitada. Matriz: definición Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos ija dispues

en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

tos

A =

11 12 13 1n

21 22 23 2n

m1 m2 m3 mn

a a a ... aa a a ... a. . . ... .. . . ... .

a a a ... a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =[aij], con i =1, 2,..., m; j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

Filas de la matriz A

Columnas de la matriz A

Matrices Iguales Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales. Sean las matrices A y B, donde:

A(2x2)= 9 a3 2

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

B(2x2)=9 a3 2

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

Entonces A = B

Análogamente

C(2x3) = 3 2 04 z 2

−⎡ ⎤⎢⎣ ⎦

⎥ D(2x3) = 3 2 04 z 2

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Entonces, C = D (Note que C y D no necesitan tener una forma cuadrada o simétrica).

Algunos tipos de matrices

Según la forma Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1.

Ejemplo: ( )3x1

3A 4

a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1x n. Es decir, A= (a11 a12 ... a1n). Por ejemplo: ( ) [ ]1x3A 1 2 3= −

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n (aunque es lo mismo). Los elementos aij con i = j, o sea aij forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.

En la matriz ( )3x3

1 3 0A 2 1 4

3 7 9

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

La diagonal principal está formada por [ 1 1 9 ] y la diagonal secundaria por [ 0 1 3 ]

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, su matriz se representa por At, la cual se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de At, la segunda fila de A es la segunda columna de At y así sucesivamente. De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m. Ejemplo: ( )2x3

3 8 9A

1 0 4⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

entonces ( )t3x2

3 1A 8 0

9 4

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aj= aj

Ejemplo: 2 1 3

A 1 0 23 2 7

⎡ ⎤⎢ ⎥

= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

(Comprobar que A = At )

Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada se dice que es antisimétrica si A = –At, es decir aij= -aji. Ejemplo:

0 1 3A 1 0 2

3 2 0

⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

(comprobar que A = –At)

Según los elementos Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.

Ejemplo: 0 00 0⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

0 0 0

00 0 0⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

2 0 0A 0 3 0

0 0 4

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Matriz escalar: Es una matriz diagonal (y en consecuencia, una matriz cuadrada) con todos los elementos de la diagonal iguales.

Ejemplo: A = 3 0 00 3 00 0 3

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= 3 1 0 00 1 00 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= 3 I

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1. Se denota por el símbolo I o In.

Ejemplo: 21 0

I0 1⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

3

1 0 0I 0 1 0

0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:

Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aj =0, i < j. Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aj = 0, j < i. Ejemplos:

Triangular Inferior

Triangular Superior

( )4x4

3 0 0 04 3 0 0

A0 2 8 01 6 y 1

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

( )4x4

3 0 3 10 3 9 z

A0 0 8 00 0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

Operaciones con matrices Trasposición Dada una matriz de orden mxn, A = [ aij ], se llama matriz traspuesta de A y se

e se obtiene cambiando las filas por las columnas (o iceversa) en la matriz A. Es decir:

⎥⎦

Propiedades de la trasposición de matrices

representa por At, a la matriz quv

11 1n 11 m1t

m1

a a a aA A

a

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎣

… …

mn 1n mna a a⎥ ⎢⎦ ⎣

1. Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única. 2. (At)t = A.

Tipo de empleado Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4

Administradores (A) 1 2 1 1

Supervisores (S) 4 6 3 4

Trabajadores (T) 80 96 67 75

Si los anan S/. 35 A) a la semana, los supervisores S (PB) y los tr (PT). ¿Cuál es la nómina de cada fábrica?

administradores g 0 (P /. 275 abajadores S/. 200

Solución. Lo que se pide es el monto pagado por cada fábrica el cual es igual al número de cada empleado por su respectivo ingreso salarial. En general, será:

= PAAi + PSSi + PTTi , donde Ii es el monto de la fabrica i. Por ejemplo, el monto de la

s el cálculo e complicaría. Existe otra forma para calcular directamente los montos de todas las

⎢ ⎥⎣ ⎦ Si se multiplica ambas matrices (en ese orden) debería obtenerse lo solicitado. Sin embargo, esta multiplicación matricial no esta definida. Note que la primera matriz es

e orden 3x4 mientras la segunda es 3x1 (las cifras de negro debería ser iguales). La

⎥⎥⎥⎦

Ii fábrica 1 será: I1 = PAA1 + PSS1 + PTT1 = 350*1 + 4*275 + 80*200 = 17450. Con este sencillo cálculo puede obtenerse fácilmente los 3 montos restantes. Sin embargo, si hubiera más tipos de empleados o un mayor número de fábricasfábricas. El cuadro anterior equivale a cantidades de especialistas de cada fábrica. Entonces, si estas cantidades son multiplicadas por su salario respectivo debería entonces obtenerse la nomina de cada fábrica. Llevando esto a matrices: 1 2 1 1 350

4 6 3 4 275⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 80 96 67 75 200⎢ ⎥⎣ ⎦

dsolución es transponer la primera matriz a fin de obtener una matriz de orden 4x3 y así, poderla multiplicar por la segunda (3x1), con lo cual es posible multiplicar ambas matrices y la matriz resultante sería del orden 4x1, la cual brindaría los 4 montos solicitados.

1 4 80 17450350⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥2 6 96 21550275

1 3 67 14575200

1 4 75 16450

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣

Ejemplo: Una compañía tiene 4 fábricas, cada una emplea administradores (A),supervisores (S) y trabajadores calificados (T) en la siguiente forma

Así, los montos de la fábrica 1, 2, 3 y 4 son: S/. 17450, S/. 21550, S/. 14575, y S/. 16450, respectivamente.

Inversibilidad

de singular. Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre

nica 2. A-1A=A·A-1=I

. (A-1)-1=A

Propiedades de la inversión de matrices 1. La matriz inversa, si existe, es ú

3. (A·B) -1=B-1A-1 45. (kA)-1=(1/k·A)-1 6. (At)–1=(A-1)t El desarrollo de ejemplos se verá luego de determinantes

triz, y su cálculo epende del orden de la matriz cuadrada en análisis.

Es fácil comprobar que aplicando la definición: A = a11 ⇒ det (A) = a11.

se toma el producto de los dos elementos de la diagonal principal y se

Determinantes Un determinante es un número real o escalar asociado a una mad Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3

Orden 1 x 1:

substrae del producto de los dos elementos de la diagonal secundaria.

11 12 11 1211 22 12 21

21 22 21 22

a a a aA det(A) a a a a

a a a a⎡ ⎤

= ⇒ = = −⎢ ⎥⎣ ⎦

Orden 2 x 2:

Orden 3 x 3: Regla de Sarros: solo para matrices de orden 3x3 se suele ar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos:

us

Sea la matriz 11 12 13a a a

A a21 22 23

31 32 33

a aa a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, la multiplicación de diagonales es:

o lo que es igual:

Ejercicio 15: Usando Sarros, obtener el determinante de la matriz

( )

a a a a a a

det A

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

a a a a a aa a a a a aa a a a a aa a a a a a

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 11 23 32et(A) (a a a a a a a a a ) (a a a a a a a a a )= + + − + +33d

3 1 4

z 6 2

−B 2 2 0

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Solución. Primero, se atriz/determinante, en la cual las dos primeras filas se repiten en la parte inf matriz,

grafica la merior de tal

Caso 1 (por filas) 3 1 4−2 2 0

6 2det(B) 3 1 4

2 2 0

z

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦=−

−

Luego, se procede a obtener los productos positivos (diagonales del medio hacia abajo). En este caso, por tratarse de una matriz 3x3, serán 3 productos:

((-3).2.2) + (2.6.4) + ((-z) .1.0) = 60. Luego, los tres productos negativos:

Así, el determinante será

Caso 2 (por columnas) →

-[((-z).(-2).4) + ((-3).6.0) + (2.1.2)] = -4 – 8z

∣ A ∣ = 60 - 4 - 8z = 56 – 8z

Otra forma es utilizando el método de Sarrus por columnas.

3 1−⎡ 4 3 1det(B) 2 2 0 2 2

z 6 2 z 6

−⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

Cálculo de un determinante de orden nxn: desarrollo por menores Sea u como

na matriz de orden 3 x 3 11 12 13

ij 21 22 23

31 32 33

a a aA a a a a

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Contiene otras submatrices tales como:

(matriz obtenida al eliminar la primera fila y la primera columna)

iminar la segunda fila y la primera columna)

⎤⎥

22 2311

32 33

a aA

a a⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

12 13a a⎡ ⎤21

32 33A

a a= ⎢ ⎥⎣ ⎦

(matriz obtenida al el

12 1331

22 23

a aA

a a⎡

= ⎢⎣ ⎦

(matriz obtenida al eliminar la tercera fila y la primera columna)

Ahora bien, se define el determinante de la matriz A mediante la formula:

22 23 12 13 12 1311 21 31

a a a a a a(A) a a a= − +

32 33 32 33 22 23det

a a a a a a

det (A) = a11det(A11) – a21det(A21) + a31det(A31) (2.1) En realidad, la expresión (2.1) tiene múltiples generalizaciones por lo que es necesario

rmalizarlas. Finalmente, para el caso de una matriz (cuadrada) de orden n x n el :

o lo que es igual

fodeterminante será

n i j+ij ij

j 1det(A) ( 1) (a ) M

== −∑

baja el orden del determinante que se pretende calcular en una nidad. Para evitar el cálculo de muchos determinantes conviene elegir la fila o

columna con mayor número de ceros.

Ejercicio16: Obtener el determinante de la matriz B.

z 6 2

(2.3)

Nota: Esta regla reu

3 1 4B 2 2 0

−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Solución. Calcular la matriz A por medio de menores.

2 0 1 1 4det(A) 3 2 z

6 2 6 2 2 04−

= − − −−

det (A) = 12 – 4 +48 -8z = 56 -8z

Ejercicio 17: Sea la matriz A, obtener su determinante. 2 4 3

A 3 5 21 3 2

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

oluciónS . En teoría el determinante resultará de usar alguna fila o columna al azar, en este caso se usa la 3era fila (-1, 3, 2). Luego se forman los determinantes de las submatrices correspondientes:

( ) ( ) ( )3 1 3 2 3 34 3 3 2 4A 1 1 3 1 2 1

5 2 3 2 3 5+ + +2− −

= − − + − + −− −

( ) ( ) ( )A 8 15 3 4 9 2 10 12= − − − + + − − A 76= −

- Matriz de cofactores Una matriz de cofactores es una matriz donde cada elemento es un determinante, en la cual cada elemento es reemplazado por su cofactor ∣Cij∣. Una matriz adjunta es

ta de una matriz de cofactores. Para el caso de una matriz: ija

la transpues

11 12 13

21 22 23

31 32 33C C C

C C CC C C C

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

y su adjunta será,

11 21 31C C Ct

12 22 32

13 23 33

adj(A) C C C CC C C

⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Cofactor de un componente

l cofactor de un componente aij denotado por Cij esta definido por: ∣Cij∣ = (-1)i+j ∣Mij∣ (2.2)

n otras palabras, el cofactor del componente Cij es el menor con signo prefijado

so de una matriz 3 x 3

E

E ijM(-1)i+j. Por ejemplo, para el ca

21 2213 13

31a 32

a aC M

a= =

ces el menor del elemento Cij se enota por y se define como el determinante de la submatriz (n-1)(n-1) de A la cual

se forma suprimiendo todos los elementos de la fila y todos los elementos de la columna j. Para la matriz del ejercicio 16, los menores que se pueden formar son:

Ejercicio 18: i

Menor de un componente Si A es una matriz cuadrada de orden n x n, entond ijM

i

Sea la matr z A, hallar su matriz de cofactores: 2 3 1

A 4 1 25 3 4

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Solución. Formar la matriz de menores para la matriz C (por ejemplo el menor C11 se efine como la determinante de la submatriz A que se forma suprimiendo todos los

elementos de la fila 1 y de la columna 1) y resolver cada menor: d

1 2 4 2 4 13 4 5 4 5 3

2 6 73 1 2 1 2 3

C 9 3 93 4 5 4 5 3

5 0 103 1 2 1 2 31 2 4 2 4 1

⎡ ⎤+ − +⎢ ⎥⎢ ⎥ − −⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= − + − = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥+ − +

⎢⎣ ⎥⎦

La matriz adjunta adj(A) será la transpuesta de C:

2 0 2 0 2 2

2 0 2 0 2 2

− −

− −

6 2 z 2 z 61 4 3 4 3 1

C6 2 z 2 z 61 4 3 4 3 1

− −

− −=

−

− −

t2 9 5

adj(A) C 6 3 07 9 10

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= = −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Esta matriz será vista con mayor detalle en el punto 2.4.4

ropiedad 1. Si se permuta dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo con respecto al inicial:

a bc d

= ad - bc, pero con intercambiando las dos filas:

c d= cb – ad = - ( ad –bc )

a b

una matriz cuadrada tiene una línea con todos los elementos nulos, su determinante

La multiplicación de una fila (columna) por un escalar cambia el valor del determinante k veces

Sivale cero.

.

( )ka kb a b

kad kbc k ad bc kc d c d

= − = − =

La suma (resta) de un múltiplo de una fila a otra fila dejará el valor del

. Si en el determinante anterior, se suma k veces la fila superior a su egunda fila, se obtiene el determinante original.

determinante inalterado. Esto también es valido en el caso de columnas. Por ejemplo

( ) ( )a b a b

a d kb b c ka ad bcc ka d kb c d

= + − + = − =+ +

Propiedad 3.

Propiedad 2.

Propiedades básicas de los determinantes

Propiedad 4. El intercambio de filas y columnas no afecta el valor del determinante. En otras palabras, el determinante de una matriz A tiene el mismo valor que el de su transpuesta: ∣A∣ = ∣At∣.Por ejemplo.

4 3 4 59

5 6 3 6= =

a b a cad bc

c d b d= = −

Aplicaciones

de los elementos de una fila por sus djuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos

de una fila por los adjuntos d otra fila diferente es 0 (esto sería el desarro de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).

Cálculo de la matriz inversa Dada una matriz cuadrada A, su inversa será igual a la expresión 2.4, la cual es fácil probarla ya que la suma de los productos a

e llo

1 1A adj(A)det(A)

− = (2.4) Solución de sistemas de ecuaciones lineales (s.e.l) Un sistema de ecuaciones lineales (s.e.l.) es un conjunto de m ecuaciones con n incógnitas de la forma:

11 1 12 2 1n n 1a x a x ... a x b+ + + = ⎫

21 1 22 2 2n n 2

m1 1 m2 2 mn n m

a x a x ... a x b

a x a x ... a x b

⎪+ + + = ⎪⎬⎪⎪+ + + = ⎭

A X = b

De modo simplificado suele escribirse mxn nx1 mx1A X b= , donde la matriz A se enomina matriz de coeficientes. También se usará la matriz ampliada, que se

representa por A', que es la matriz de coeficientes a la cual le hemos añadido la columna del término independiente:

.l. que cumple estas condiciones se le llama un istema de Cramer). El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo

denominador es el determinante de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los términos independientes:

d

11 12 1n 1

21 22 2n 2'

m1 m2 mn mn

a a a ba a a b

A

a a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

…

2..4.1 Aplicando la Regla de Cramer Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado (a un s.es

ii

Ax

A= (2.5)

+ 2x3 = 17

Solución

Ejercicio 19: Obtener el valor de las incógnitas del siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2x1 + 4x2 - 3x3 = 12

3x1 - 5x2 + 2x3 = 13

-x1 + 3x2

. El primer paso es ordenar el sistema de ecuaciones: cada columna corresponder a una sola variable y todas las constantes deben pasar al lado derecho de igualdad. Una vez ordenado el sistema, se procede a calcular el determinante de

debe

la la matriz principal o matriz de coeficientes (A):

Donde aj son los coeficientes, xi las incógnitas y bi son los términos independientes. El

⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎠

anterior sistema se puede expresar en forma matricial, usando el producto de matrices de la forma:

11 12 1n 1 1

21 22 2n 2 2

m1 m2 mn n m

a a a x ba a a x b

a a a x b

⎛ ⎞⎛⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎜ =⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝

−= −−

2 4 3A 3 5 2 = 2( -10 – 6 ) – 4 ( 6 + 2 ) – 3 ( 9 - 5 ) = -76

olumna de constantes. Para las tres riables, los determinantes de tales matrices son:

1 3 2

Paso seguido, se obtienen las matrices especiales formadas del reemplazo de la columna de coeficientes xi con el vector cva

−= −1

12 4 3A 13 5 2

17 3 2= 12( -10 – 6 ) – 4 ( 26 - 34 ) – 3 ( 39 + 85 ) = -532

−

=−

2

2 12 3A 3 13 2

1 17 2= 2( 26 – 34 ) – 12 ( 6 + 2 ) – 3 ( 51 + 13 ) = -304

= −−

3

2 4 12A 3 5 13

1 3 17= -248 -256 -48 = -456

Una vez obtenidos los determinantes, se procede fácilmente a obtener el valor de las

s: incógnita

11

A 372x 7A 76

−= = =

− 2

2A 304x 4−A 76

= = = −

33

A 456x 6A 76

−= = =

−