Tabla de derivadas · 2013. 1. 7. · ˇˆ˙˝ ˛˚˜ ˛ ˜ ˛!˛ ˛ ˆ "#$ #% &’ #(% TABLA DE...

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TABLA DE DERIVADAS CCSS

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Funciones: f, g (contienen a la x) Número: k

1) y = k y ’ = 0

2) y = x y ’ = 1

3) y = f ± g y ’ = f ’ ± g ’

4) y = k · f y ’ = k · f ’

5) y = f · g y ’ = f ’ · g + f · g ’

6) y = g

f y ’ =

2

'·'·

g

gfgf −

7) y = fk y ’ = k · f

1−k · f ’

8) y = kf y ’ = f ’ · k

f· L k

9) y = ef y ’ = f ’· e

f

10) y = loga f y ’ = f

f

La

'·

1

11) y = L f y ’ = f

f '

12) y = sen f y ’ = f ’· cos f

13) y = cos f y ’ = - f ’ ·sen f

14) y = tg f y ‘ = f ‘· sec2 f

15) y = arctg f y ‘ = 21

'

f

f

+

16) y = arcsen f y ‘ = 21

'

f

f

−

17) y = arccos f y ‘ = 21

'

f

f

−

−

18) y = fg y ‘ = g · f

1−g· f ‘ + g ‘ · f

g · L f

ejerciciosyexamenes.com

DERIVADASDERIVADAS1. y = 5x6-3x5+3x3-2 2. y = x-4+2x-3+x-43.

x

3+x2+x3=y 10 4. 3+x.-x.3=y 3 π

5. y = 4 senx - 3 cosx 6. x+x

2+x2=y 5

7. y = 4x3 + 2x3 - x3 + 4 8. x3-x.2

=y cosπ

9. y = cos(3x) 10. y = cos2(x3)11. y = sen (3x2-2x) 12. y = cos(x2)13. y = sen3(2x2) 14. y = cos4(3x4)15. y = 3 sen2(2x-3) 16. y = cos5(3x2)17. y = cos (senx) 18. y = cos2(sen(3x))19. 3 2 x=y cos 20. 3 22 )x(=y cos

21. 3x-x=y 2 22. 3 22 )3x-x(=y

23. ( )3x-x2=y3 24. 3 2 xsen=y

25. 5 sen(3x)=y 26. senx-3x=y

27. ( )x-1-x3=y 223 28. ( )5x-x3 sen=y 2

29. )1-(x+xsen=y33 30. ( )x3-x=y 23

cos

31.5

x=y 32.

x

5=y

33.4

3x-x=y

4

34.x

3-x=y

3

35.3

)3x-x(=y

24 36.x3

)1-(x=y

3

37.1-x

x=y

2

2 38.x

3x=y

39.x

3=y 40.

x3

x=y

41. 3 2 senx-x3=y 42. 1)-(3xnl=y

43. 3x)-x(nl=y 2 44. 2-xnl=y

45. )x(3=y 2

2log 46. e=y x 2

47. 2=y x 48. e=y 2x-x2

49. 3=y xsen 50. )x(tg=y 3

51. e3=y 3x-x2 52. e=y cosx

53. xtg3=y 2 54. 1)-(x.1)-x(=y 2

55. xnl.x=y 2 56. x.e=y x2

cos

57. e.x=y x34 58. x sen.e=y x3-x 24


59. e.xnl=y xsen2 60.xnl

1=y

61.

1+x

3-x=y

2

23

62. e.xnl=y senx-x 2

63. ( ) e.xsen-3x=y x32 3

cos 64.

2-x

xnl=y

3

22

65.3

xnl=y

x66.

senx-x

xnl+e=y

2

x

67.

e

xsennl=y

x68.

1-x

xsen=y

69.1-x2

2-3x+x2-x3=y

24

70. ( ) x.)e( sen=y 3x 2cos

71. )x(arctg=y 2 72. xarcsen=y 3

73. x)(nl=y sec 74. x)n(larctg=y

75. e.xarcsen=y cosx 76. )e(arctg=y 3x

77.

e

tgxnl=y

x3 2 78.

e

1+xarcsen=y

x

79. ( )arctg(5x)nl=y 80. xarctg=y 3

81. (senx)arctg5=y 2 82. 3=y )x(arctg 2

83.x

2)-(3xarcsen=y

284.

3-4x

xtg-xsen=y

85. x=y senx 86. )x(sen=y x 2

87. )x(=yx-x3

cos 88. 4=y x)n( larctg

89.

x

2+xnl=y

2

3

90.

senx

e=y

3x x2

91. 10=y cosx-3x

e-senx x

92.

x)n(lsen

xtg=y cos

93.)xn(l

x=y

3

cosx

94.

3

tgxnl.)e(4=y

x

x22cos

95. 3

x2

(cosx)arctg

)e(sen=y 96.

5

e=y

x

x)(nl

cos

cos

97.e

x.)e(=y

tgx

xcos 98. ( )x+)e(tg=y 2x x

99.x)-x(nl

x.earctg=y

2

x cos 100.)e(sen

xnl=y

cosx

cos

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APLICACIONES DERIVADAS CCSS

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1) Dada la función 35 5x3xf(x) −= , estudiar su monotonía y los máximos y

mínimos relativos.

2) Estudiar monotonía y máximos y mínimos relativos de la función:

1x

2xf(x)

2

2

+

+=

3) Estudiar la curvatura y los puntos de inflexión de la función:

53xxf(x) 24+−=

4) Halla b, c y d sabiendo que la curva dcxbxxy 23+++= pasa por el

punto (0, 2) y presenta un punto de inflexión en (2, -22).

5) Dada la función 1x

xlnf(x)

2

−= donde ln significa logaritmo neperiano,

definida para x > 1, hallar un punto (a, f(a)) tal que la recta tangente a la

gráfica de f(x) en ese punto sea paralela al eje OX.

6) Calcular la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y área

máxima.

7) Dada la función x

1f(x) = , se pide:

a) Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto

(-1, f(-1)).

b) Hallar los puntos de corte de la recta tangente hallada en el

apartado a) con los dos ejes de coordenadas.

8) Dada la función 2xx·ef(x) −

= , estudia intervalos de crecimiento y

máximos y mínimos relativos.

9) Determine los coeficientes a y b de la función f(x) = x3 + ax + b, de

manera que f tenga un mínimo relativo en x = 1 y que el valor mínimo

relativo que alcanza en ese punto sea 3.

10) Dada la función ��

��

�=

2

xln

2

xf(x)

2

, estudiar concavidad y convexidad.

��

��

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LÍMITES Y CONTINUIDAD CCSS

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Calcular los siguientes límites:

1) a) 2x

86xxlim

2

2

x −

+−

∞→ b)

1x

1xlim

2

4

x −

−

∞→ c)

1x

1xlim

7

5

x −

−

∞→

2) a) 3x

3lim

3x −→ b)

1x

12xlim

1x +

+

−→ c)

20x x

1lim

→

3) a) 4x

x4xlim

2

4x −

−

→ b)

1x

1xlim

2

3

1x −

−

→

4) a) 1x1

xlim

0x +−→ b) )xxx(lim 2

x−+

∞→ c) ��

�

��

�−

+∞→x

1x

xlim

2

x

5)

a) Calcula los valores de a y b para que la función:

��

�

≥+

<≤+

<+

=

�xsibax

�x0si2acosxx

0xsi23x

f(x)2

2

sea continua para todo valor de x.

b) Estudiar la derivabilidad de f(x) para los valores de a y b

obtenidos en el apartado anterior.

6) Calcula los siguientes límites:

a) )xxxx(lim 22

x−−+

∞→ b)

4x

x4x4lim

0x

−−+

→

7) Dada la función: ��

�

>

≤−

=1xsi

ax

2

1xsiax3

f(x)

2

¿Para que valores del parámetro a es continua?

��

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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES CCSS

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Representar gráficamente las siguientes funciones:

1) a) x2xxf(x) 23+−= b) xxxf(x) 23

+−=

2) a) 1x

1-xf(x)

+= b)

x

1xf(x)

2+

= c) 1x

1f(x)

2+

=

3) a) ( ) x·ex1f(x) += b) 4)ln(xf(x) 2−= c) x·senx-cosxf(x) =

4) x1

xf(x)

+=

5) 2x5x·f(x) −=

6) x9x6x)x(f 23−−=

7) 2xf(x) 2−=

8) 1x

xf(x)

2−

=

9) ·lnxef(x) x=

Tenéis dibujadas las gráficas en: http://www.acienciasgalilei.com/mat/graf-func0.htm

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TABLA DE INTEGRALES CCSS

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f,g: funciones (contienen x)

K y C: constantes (números)

1) � += Cxdx

2) ( )� � �±=± dxgdxfdxgf ···

3) � �= dxfKdxfK ····

4) � −≠++

=+

)1(1

·'·1

kCk

fdxff

k

k

5) � += Cfdxf

fln·

'

6) � += Cedxef ff ·'·

7) � += CK

KdxKf

f

f

ln·'·

8) � +−= Cfdxsenff cos·'·

9) � += Csenfdxff ·'·cos

10) � += Cftgdxff ·'·sec2

11) � +=−

Cfarcsendxf

f21

'

12) � +=−

−Cfdx

f

farccos

1

'2

13) � +=+

Cfarctgdxf

f·

1

'2


INTEGRALES

1. dxx3∫ 2. dx

3

x3

∫ 3. dx6

x4

∫

4. dx3)+x( 3∫ 5. dx)x

1-2x+x( 2∫ 6. dx

x

1+x-x23

∫

7.x

dx2

∫ 8.

x

dx5

∫ 9. dxx

3+2x-x6

4

∫

10. dx3

x4 3

∫ 11.4 x

dx∫ 12. dxx3+x

3

8 3

∫

13. dx1)+x(x3∫ 14. dxcosx)8+ senx2-x( 2∫ 15. dxx

1+e

x

∫

16.xx

dx∫ 17. dx

x

3)+x(1)+(x3

2

∫ 18. dxx)+cosx+x( 2sec∫

19. dxxtg2∫ 20. dx

x

1+x

∫ 21. dx

xxsen

xsen-x22

22

cos

cos∫

22. dxx

e+1e

-xx

∫ 23. dx35

xx∫

24. dxx+1

3-

x-1

122∫

25.xxsen

dx22

cos∫ 26. dx

xsen

xsen-22

3

∫ 27. ∫ 2+3x

dx

28.x-3

dx∫ 29.

x+2

dxx2

∫ 30.

)1+(x

dx23

∫

31.x+1

dxx3

2

∫ 32.

xsen+3

dxsen2x2

∫ 33.

1+6x-x

dx3)-(x

2∫

34. dxe+2exx∫ 35. dx

x

xln∫ 36. dx1+xx

32∫

37. dx5xsen∫ 38. dxx6x 2cos∫ 39.

xsen+1

dxx2

cos∫

40.xtg-1x

dx

22cos∫ 41. dxex x4 5

∫ 42.

x+1

dx)x(48

3

∫

43. dx2x∫ 44.

9+x

dx2

∫ 45. dxe7x∫

46. dx)e+e( -xx∫ 47.

x

e x

∫ 48. dxe

xxsen

cos∫

49.x-25

dx

2∫ 50.

9+x2

dx2

∫ 51. dx)5+(2x 9∫

52.x+1

dx)(arctgx2

3

∫ 53. dxxxsen5 cos∫ 54. dx

xsen

x

3 2

cos∫


55.xx

dx

ln∫ 56. dx

x

xcos∫ 57. dx)e+e( 2-xx∫

58.x-1)x(

dx

23arccos

∫ 59. dxxx+5

x+1

ln

ln∫ 60. dx

x

tgx+xtg2

2

cos∫

61. dx senxcosx∫ 62. dxeexe

x

∫ 63. dxeexx cos∫

64.1+)1+(x

dx2

∫ 65. dxcosx

xsen3

∫ 66.

x

dxsenlnx∫

67.x+2

dxx6

2

∫ 68. dxx-1x

dx

2ln

∫ 69. dxx

x+3∫

70. dxxsen

x3

3cos∫ 71. dxex x-3 4

∫ 72. dx1+e2-e

ex2x

x

∫

73.x-1

dxx

4∫ 74. dxx+1x 2∫

75. dxtgxx)( cosln∫

76. dxxx

x)(

ln

lnln∫ 77. dx

x

e2

xtg2

cos∫ 78. dx

x

senx2

cos∫

79. dx2x-2

xsen2

cos∫ 80. dxxxsen

23cos∫ 81. dx

e

xxsen

cos∫

INTEGRACIÓN POR PARTES

82. dx senxx∫ 83. dx3xx cos∫ 84. dxxx2 ln∫

85. dxexx3∫ 86. dxex

3x2∫ 87. dxex x∫

88. dxarcsenx∫ 89. dx2x+1x∫ 90. dxarctgxx∫

91. dx senxx2∫ 92. dx)x( 2ln∫ 93. dx)x( lnsen∫

94. dxxx ln∫ 95. dxarctgx∫ 96. dxxx2 cos∫

97.x+1

dxx∫ 98. dxx)sen( ln∫ 99.

x

dxx2cos

2∫

100. dxx

xln∫ 101. dxex)-x( -x2∫ 102. dxex x3 2

∫

103. dxxln∫ 104. dxxex cos∫ 105. dxxsene

x∫

106. dxex -3x∫ 107.

x

dxx2

cos∫ 108. dxcosxx∫

109. dxx

x3

ln∫ 110. dx senxx

2∫ 111. dxxe-3x cos∫

112. dx)x(x 2ln∫ 113. dxxx3 ln∫ 114. dx

x

x)( lnln∫

115.x-1

dxx∫ 116. dx3)senx-(x∫ 117. dx)x+1+(x 2ln∫


118. dxx-1

arcsenxx

2∫ 119. dxarcsenxx 2∫ 120. dx)(lnxx 2∫

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

121. dxx

x

2

32

+

−∫ 122.

4-x

dx2

∫ 123. dx6-x+x

1-x2

∫ 1

124.6+5x+x

dx22

∫ 125. dx)1-(xx

1+x2

∫ 126.

2x+x

dx2

∫ 2

127. dx6-x+x

1+x2

2

∫ 128. dxx+x

1-x2

3

∫ 129. dx1-x

1+x2

2

∫ 3

130.1)+(xx

dx2

∫ 131.

9-x

dx2

∫ 132.

1)+(x)1-(x

dxx2

∫ 4

133.2)+(x1)-(xx

dx6∫ 134. dx

x+x2-x

1+x-x23

2

∫ 135. dx1+x

1-2x+x2 2

∫ 5

136.4+x3-x

dx7x)-x(223

2

∫ 137.

3-2x+x

dx4)+(2x2

∫ 138.

3)+(x)2-1)(x+(x

dx2

∫

139.x+x

dx23

∫ 140.

)1+(x)2-(x

dx5)+2x+x(322

2

∫ 141. dx4x-x

8-x+x3

45

∫

142. dx1+x

1-x2

2

∫ 143.

4x+x4-x

dx8)-(x23

∫ 144. dx2-x5+x4-x

1+x23

∫

145.x+x+x

dx23

∫ 146.

4+x

dx2

∫ 147.

5+2x-x

dx2

∫

148.1-x

dx33

∫ 149. dx25x+x6-x

25+2x-x523

2

∫ 150.

1)+x()1-(x

dx2x-22

∫

INTEGRALES VARIADAS

151. dx3)-2x+x3+x( 23∫ 152. dx3)+e( x∫ 153. dxx

1+

2x

1-x+e 23

3x-

∫

154. dxexx2∫ 155.

)1+(3x

dx4

∫ 156. dx)x2/3+(3x+5

x2+33

2

∫

157.)x+x(

dx1)+(2x32

∫ 158. dxx

x2

cos∫ 159.

e+e

dx5x-x

∫

160. dxx)xtag+(1 22∫ 161. dxxsen2∫ 162. dxxtag

2∫

163. dxx)tag+(3 2∫ 164. dxx

x

−

+∫1

1 165. dxxx+2 2∫


166. dx senx+1

cosx5∫ 167. dx

e

1+e+ex

x3x

∫ 168.

x-9

dx

2∫

169.1+x

dxx32

3

∫ 170. dx3

5x

x

∫ 171. dxx

x2

ln∫

172. dx4x

4+

xsen

x6232

2

∫

cos173.

e

dx1+2x

∫ 174.

4+x

dx2

∫

175.4+x

dxx3

2

∫ 176. dxe+1

e6x

3x

∫ 177. dx(-5x)e x-5 2∫

178. dxx

tgx2

cos∫ 179. dxtgx∫ 180. dx sen2x)3-5x( cos∫

181.)3+x(+1

dxx22

∫ 182. dxx

xln∫ 183. dxcosx)e-(x x∫

184. senx-1

dx∫ 185. dxcosxe

senx∫ 186. dxxxsen33

cos∫

187. dx)x+(1x 2cos∫ 188.

)x+(1x

dx∫ 189. dx

9-x

9+x2

∫

190. dxe+2

e5x

x

∫ 191. dxx-x

x-x3

∫ 192.

xsen-1

dx2

∫

193.x+x

dxx∫ 194. dx

x

xtg2

3

cos∫ 195. dx

x

e2

tgx

cos∫

196. dxx5+9

2x2

∫ 197. dx1+x

1+3x+x+x2 23

∫ 198. dxcosxsenx

xsen+1 2

∫

199. dxxsen

cosx3

∫ 200. dxx-1

dx2x

4∫

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EJERCICIOS DE FUNCIONES CCSS

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1) (Jun 07) Representar gráficamente la región acotada por las gráficas de

las funciones 2

4

5)( xxf = , ( )205

2

1)( += xxg , ( )205

2

1)( +−= xxh y

obtener su área.

2) (Sep 06) Representar gráficamente la región acotada limitada por las

gráficas de las funciones 2x9)x(f −= , g(x) = 3 + x y obtener su área.

3) (Jun 06) Se considera la función real de variable real definida por:

x9x)x(f 3−= , se pide:

a) Calcular sus máximos y mínimos relativos, si existen.

b) Calcular el área del recinto plano acotado por la gráfica de la

función f y el eje OX.

4) (Jun 06) Se considera la curva de ecuación cartesiana: x8xy 2+= , se

pide:

a) Calcular las coordenadas del punto en el que la recta tangente a

la curva es paralela a la recta y = 2x.

b) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por las gráficas

de la curva dada y de la recta de ecuación cartesiana y = x + 8.

5) (Jun 05)

a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica xexf −=

2)( en

el punto donde ésta corta al eje de ordenadas.

b) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función

x4x)x(f 2−= , el eje OX y las rectas x = -1, x = 4.

6) (Sep 04) Sean las funciones: 8x2x)x(f 2−−= y 4x

2

x)x(g

2

++−=

a) Calcular )(

)(lim

4 xg

xf

x→

b) Calcular el área del recinto acotado limitado por las curvas f(x) y

g(x).

7) (Jun 04) Calcular la integral definida ( )�−

++

1

1

dx1xx

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EJERCICIOS DE FUNCIONES CCSS

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8) (Sep 03) Se considera la función 2xxe)x(f = .

a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el

punto de abscisa x = 1.

b) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica

de f(x) para 0x ≥ , el eje OX y la recta x = 2.

9) (Jun 03) Sean las funciones 9x)x(f 2−= , 6xx)x(g 2

−−= . Calcular:

a) )(

)(lim

3 xg

xfx→

b) Los extremos relativos de g(x), si existen.

c) El área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x), el eje

OX y las rectas x = 3, x = 6.

Tabla de derivadas · 2013. 1. 7. · ˇˆ˙˝ ˛˚˜ ˛ ˜ ˛!˛ ˛ ˆ "#$ #% &’ #(% TABLA DE...

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