Sumativo Nº 2.

Diego Guzmán1, Alexis Estévez2

1Universidad de las Fuerzas Armadas – ESPE, Departamento de Eléctrica y Electrónica. Av. General

Rumiñahui S/N, Sangolquí, Ecuador. 1ddguzman1@espe.edu.ec, 2adestevez1@espe.edu.ec

Introducción

El presente trabajo pretende estudiar sobre la Serie, Transformada de Fourier la cual es aplicada para

el respectivo estudio de señales y temas diversos referentes a lo que es ingeniería, en esta ocasión nos

basaremos para el estudio una aplicación de java, la cual pretende brindarnos una mayor facilidad y

una nueva técnica de manejar de las series y transformadas.

Tema

Series y Transformada de Fourier

Objetivos

Estudiar las series y transformada de

Fourier para cualquier señal mediante

Applets de Java para entender que

sucede en cada señal cuando

aplicamos Fourier.

Investigar todos los usos de la

transformada de Fourier así como la

descomposición y mejoramiento de la

señal para verificar si se obtiene ruido

o no y que ocurre cuando esto sucede.

Implementar el uso de MATLAB

para solucionar ejercicios o

problemas de transformada o

trasformada inversa de Fourier y

entender de mejor manera como se

producen ciertas señales.

Resumen y palabras claves

La Transformada de Fourier se encarga de

transformar una señal del dominio del tiempo, al

dominio de la frecuencia, de donde se puede

realizar su anti transformada y volver al dominio

temporal.

Las Transformadas de Fourier, propiedades. La

series de Fourier es una serie infinita que converge

puntualmente a una función continua y periódica.

Las series de Fourier constituyen la herramienta

matemática básica del análisis de Fourier empleado

para analizar funciones periódicas a través de la

descomposición de dicha función en una suma

infinitesimal de funciones senoidales mucho más

simples (como combinación de senos y cosenos

con frecuencias enteras). El nombre se debe al

matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier

que desarrolló la teoría cuando estudiaba la

ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales

series sistemáticamente, y publicando sus

resultados iniciales en 1807 y 1811.

Esta área de investigación se llama algunas veces

Análisis armónico

Ruido En comunicación, se denomina ruido a toda

señal no deseada que se mezcla con la señal útil que

se quiere transmitir. Es el resultado de diversos

tipos de perturbaciones que tiende a enmascarar la

información cuando se presenta en la banda de

frecuencias del espectro de la señal, es decir, dentro

de su ancho de banda.

Relación Señal Ruido La relación señal/ruido (en

inglés Signal to noise ratio SNR o S/N) se define

como la proporción existente entre la potencia de la

señal que se transmite y la potencia del ruido que la

corrompe. Este margen es medido en decibelios.

Ortogonalidad En matemáticas, el término

ortogonalidad (del griego orthos —recto— y gonía

—ángulo—) es una generalización de la noción

geométrica de perpendicularidad. En el espacio

euclídeo convencional el término ortogonal y el

término perpendicular son sinónimos. Sin

embargo, en espacios de dimensión finita y en

geometrías no euclídeas el concepto de

ortogonalidad generaliza al de perpendicularidad.

Materiales y métodos

Java Applet.

Computador.

MATLAB.

Fuentes de consulta.

Resultados y discusión

Usando el formato de presentación de proyectos

realizar la siguiente tarea.

1. Ingresar al link.

http://www.stat.ucla.edu/~dinov/course

s_students.dir/04/Spring/Stat233.dir/S

TAT233_notes.dir/JavaApplet.html

2. En la sección de materiales y métodos

traducir el texto presentado en la web

desde Description hasta Other things to

try. La traducción debe ser entendible

al lector de acuerdo a terminología

usada en clase, no será suficiente pasar

por un traductor web automático.

1 D Transformada De Fourier Java Applet

Descripción

Esta applet de Java es una simulación que

demuestra la serie de Fourier, que es un método de

expresar una función periódica arbitraria como una

suma de seno + coseno o términos de sólo coseno.

En otras palabras, la serie de Fourier se puede usar

para expresar una función en términos de las

frecuencias (armónicos) de los que se componen.

Función 1D

Para seleccionar una función, tu puedes presionar

uno de los siguientes botones: Seno, Triangular,

Diente de sierra, Cuadrada y Ruido. La función se

visualiza en blanco, con la aproximación de la serie

de Fourier en rojo. Si usted sólo ve un gráfico rojo,

eso significa que la aproximación de Fourier es casi

la misma que la función original. (El gráfico rojo

se redibuja en la parte superior de la blanca.)

1D FT

Por debajo de la función podrás ver una gráfica de

los coeficientes de Fourier. Cada uno representa

una frecuencia, o armónico. Existe dos conjuntos

de términos; en la parte superior son los términos

de magnitud, y en la parte inferior son los términos

de fase. Las bajas frecuencias son de la izquierda y

las frecuencias más altas están a la derecha. (Si sólo

está familiarizado con desarrollos en serie de

Fourier que involucran senos y cosenos, en lugar de

fases, revisar esta pagina.)

http://www.stat.ucla.edu/~dinov/courses_students.

dir/04/Spring/Stat233.dir/STAT233_notes.dir/Fou

rierSeries.html)

FT Función Aproximación

El número de términos deslizados se ajusta al

número de términos en el desarrollo de Fourier.

Para los términos más lejanos, será mejor la

aproximación. Deslizar el número de términos de

izquierda a derecha lentamente para ver los

términos de Fourier añadidos uno por uno.

Ajustando la señal (en el dominio del tiempo /

frecuencia)

Si mueve el cursor del mouse sobre uno de los

armónicos, este se tornara amarillo, y el término de

Fourier correspondiente (frecuencia) será dibujado

en la parte superior de la función en amarillo. Así

que si usted mueve el cursor del mouse sobre todos

los armónicos, se puede ver cada uno de los

términos de forma individual. Además, si hace clic

derecho con el mouse sobre uno de los armónicos,

el número de términos deslizados variara por lo que

se tomarán todos los términos de mayor frecuencia

de la serie. Se puede modificar la función de dos

maneras. Primero editar la función directamente

pulsando sobre ella; en este caso, se regenerarán

cuando haya terminado los coeficientes de Fourier.

Segundo, puede modificar los coeficientes de

Fourier, en cuyo caso la función se cambiará para

coincidir. Si desea crear una función desde cero,

presione el botón Borrar.

Sonidos

El botón Play reproducirá la función a 220 Hz. La

frecuencia es ajustable usando el control

deslizante de variación de frecuencias. Trate de

jugar con varias funciones para ver cómo suenan.

Pruebe también el aislamiento de cada armónico, o

la mezcla de dos o tres armónicos juntos. El número

de términos deslizados afectará cuántos armónicos

se juegan. (La tasa de muestreo utilizado para

medir es de 22 KHz, por lo que las frecuencias más

altas de 11.000 Hz se filtran afuera.)

Amplitud de la señal

El botón Clip puede ser usado para simular

recortes. Este aumentará la amplitud de la función,

pero recortará si se encuentra fuera de rango. Trate

de hacer esto con una función seno. El uso de este

botón generalmente resulta en bordes más afilados,

esto significa que los términos de más alta

frecuencia estarán involucrados en la expansión.

Algunas funciones, como la onda cuadrada, no se

ven afectados tanto por el recorte. Pruebe tocando

la señal de ruido y después haga clic en "Clip " un

par de veces para ver si esta varía.

Aliasing

El botón volver a muestrear se puede utilizar para

demostrar esto. Este es uno de los efectos que se

causa en el botón Reproducir para dar resultados

tan pobres. La función se reemplaza con muestras

a 12 puntos. Esto corresponde a una frecuencia de

muestreo de 2640 Hz (en la frecuencia de juego por

defecto de 220 Hz). En casi todos los casos, esto

hará que el aliasing, donde se introducirán nuevas

frecuencias, no deseados. Para frecuencias de más

de 1320 Hz, los alias serán más fuertes que la

frecuencia original. Por ejemplo, una frecuencia de

440 Hz, cuando se vuelve a muestrear, tendrá alias

a 2200 Hz (2640-440), 3080 Hz (2640 + 440), 4840

Hz (2640 * 2-440), 5720 Hz (2640 * 2 + 440),

etcétera.

Cuantificación Distorsión

Cuando se presiona el botón de cuantificación, los

valores de la función se redondean al múltiplo más

cercano de 1/2. El error de redondeo resultante

provoca nuevas frecuencias para ser introducidas;

estos pueden ser escuchados cuando se reproduce

la función. Esto se conoce como distorsión de

cuantificación.

Señales positivas

El botón Rectificar hará cero a la función siempre

que sea negativo. El botón completar Rectificar

tomará el valor absoluto de la función en todos los

puntos. Intente esto con la función seno o de diente

de sierra.

Otras cosas para probar

• Dibujar una onda sinusoidal que varía

rápidamente (lo mejor que pueda), y observe a los

coeficientes de Fourier para ver si la frecuencia es

recogida por la descomposición de Fourier. Una de

las magnitudes debería ser mucho más alta que las

otras.

• Comience con una función y elimine

términos de Fourier uno a uno mediante el

establecimiento de los coeficientes a cero.

• Comience con una onda sinusoidal, y

después haga clic en el botón Clip repetidamente.

Observe cómo la de mayor frecuencia en términos

se vuelve más y más prominente.

• Hit Borrar y luego añadir dos frecuencias

a la función haciendo clic en las magnitudes.

Observe cómo las frecuencias interactúan. Si las

frecuencias son bastante próximas entre sí, se

debería ver latidos; la amplitud de la función

general oscilará a una frecuencia que es igual a la

diferencia de las dos frecuencias originales.

3. Estudiante 1

a. Abrir la aplicación JAVA.

Cada integrante del grupo

escogerá una señal para

analizar e identificará su

aporte en la sección de

resultados y discusión

respondiendo el siguiente

cuestionario.

b. ¿Qué sucede al reducir y

aumentar el número de

coeficientes hasta cero y hasta

su valor máximo? Desplace el

slider number of terms.

En el caso de aumentar el numero de coeficientes

da la serie de fourier teniendo como señal evaluada

una señal cuadrada en cuanto a su señal

transformada tenemos que tiende a tomar la misma

forma de la señal cuadrada con cieras puntas en sus

esquinas.

Encuanto a la señal de la magnitud tiende a irse a

un valor de cero cada que se acerca al infinito, a

diferencia de su fase que siempre tiende a ser la

misma pero con una pequeña perdida de su valor

pico mientras se acerca al infinito.

Para el caso en que la señal reduce sus terminos de

los coeficientes nuestra señal tiende a ser senoidal

en el minimo numero de tereminos posibles hasta

llegar a 0 donde se vuelve una señal nula.

En cuanto a su fase y magnitud muestra el valor

pico de la señal en cada una de ellas

c. Establezca el número de

términos en 25 coeficientes.

¿Qué observa al colocar el

cursor del mouse sobre los

coeficientes?

Podemos observar que en cada coeficiente tenemos

una señal senoidal con una frecuencia mayor cada

que avanza el número de términos, con lo que

podemos entender cómo se forma cada

aproximación según el número de sus coeficientes

y como se empieza a formar la señal final de la serie

de Fourier

d. ¿Cuál es fenómeno de Gibbs?.

Muestre el enunciado del

fenómeno de Gibbs usando la

aplicación y capturas de

pantalla.

El fenómeno de Gibbs ocurre cada vez que las

señales tienen discontinuidades de salto

(generalmente en los extremos), y siempre estarán

presentes cuando la señal tiene oscilaciones fuertes

como en este caso de uno a menos uno. Como se

puede apreciar, a medida que se adhieren más

términos a las series, ésta se va aproximando a la

onda cuadrada dado que las oscilaciones se vuelven

más rápidas y más pequeñas, pero los picos no

disminuyen. Estos picos en la series de Fourier de

la función cuadrada nunca desaparecen; son

llamados el fenómeno de Gibbs.

Como veremos en las gráficas este fenómeno se

encuentra presente siempre así el número de

coeficientes tienda al infinito.

e. Presione el botón rectify.

Compare los resultados de

obtenidos entre la señal

original y la obtenida después

de presionar el botón rectify.

Al presionar el botón rectify la señal se corta en

magnitud a la mitad es decir para ser más claro su

señal no tiene valores negativos, por lo cual solo

tomaría valores positivos desde 0.

4. Estudiante 1

a. Abrir la aplicación JAVA.

Cada integrante del grupo

escogerá una señal para

analizar e identificará su

aporte en la sección de

resultados y discusión

respondiendo el siguiente

cuestionario.

b. ¿Qué sucede al reducir y

aumentar el número de

coeficientes hasta cero y hasta

su valor máximo? Desplace el

slider number of terms.

Min number of terms

El momento de evaluar en el número

mínimo de términos podemos visualizar

en la gráfica con facilidad que esta posee

la línea roja es decir, la que sería la Serie

de Fourier está ubicada en el origen y es

nula, al igual que la gráfica de su

magnitud y fase.

Si ubicamos el término en 1 podemos

visualizar la senoidal de la que está basada

nuestra serie de Fourier además de su

respectiva fase y magnitud.

Al aumentar el número de términos vemos

como esta empezará a comportarse tanto

en magnitud, fase y la serie como se

explicara detalladamente al mencionar el

número máximo de términos.

Max number of terms.

Siendo el caso de empezar a realizar el análisis de

nuestra serie de Fourier con el número máximo de

términos es decir 138 según la cantidad que nos

brindó el app de java, podemos visualizar como se

encuentra esta gráfica, posee básicamente la misma

estructura, ambas tienen en su comportamiento la

diente de sierra con la gran diferencia que la serie

de Fourier presenta picos al final e inicio de cada

diente como podremos ver a continuación

En cuanto a las grafica correspondiente a la

magnitud podemos visualizar con facilidad que

existe en un comienzo es decir de 0 a 1 según la app

de java un cambio brusco de estar en 0 hasta su

máxima magnitud, y mientras avanza hacia el más

infinito, empieza tener un tendencia hacia cero

La grafica de fase similar a la de magnitud tiene su

inicio en cero y varia primeramente hacia su valor

maximo negativo y esta a su vez a su minimo

positivo, avanzando sucesivamente con cada

interaccion de numero de terminos, ademas

podemos observar que esta tiene su tendencia

variante mientras mas se acerca al infito.

c. Establezca el número de

términos en 25 coeficientes.

¿Qué observa al colocar el

cursor del mouse sobre los

coeficientes?

Se puede observar que al colocar el cursor sobre los

coeficientes se visualiza una gráfica senoidal con

una frecuencia es decir para el primer coeficiente

se pudo observar que la frecuencia es de 27 Hz con

una amplitud alta, mientras que para el coeficiente

25 la amplitud de la senoidal disminuyó

considerablemente y la frecuencia aumento

tomando el valor de 675 Hz

Con esta relación podemos entender de una manera

más sencilla como empieza a modelarse cada serie

de Fourier basada en sus coeficientes.

d. ¿Cuál es fenómeno de Gibbs?.

Muestre el enunciado del

fenómeno de Gibbs usando la

aplicación y capturas de

pantalla.

Fenómeno de Gibbs.- Cuando una función tiene

una discontinuidad de salto en un punto, su serie de

Fourier tiene un comportamiento especial en dicho

punto. Este comportamiento se llama fenómeno de

Gibbs. Este fenómeno consiste en que cerca del

punto las sumas parciales de la serie de Fourier

mantienen unas oscilaciones que no se hacen

pequeñas. Este fenómeno fue observado por el

físico experimental Albert Michelson, quien en

1898 construyó una máquina para sumar series de

Fourier. Alrededor de las discontinuidades de las

funciones siempre aparecían saltos, que no se

hacían pequeños por mucho que se aumentara el

número de sumandos de la serie. El fenómeno fue

explicado en 1899 por J. Williard Gibbs, y puede

cuantificarse con precisión. Aquí tan sólo

ilustramos el fenómeno considerando la función

que vale 1 entre 0 y pi y -1 entre -pi y 0. Las sumas

parciales de la serie de Fourier de esta función son

A continuación visualizaremos el fenómeno de

Gibss en la diente de sierra, además este fenómeno

siempre estará presente en cualquier tipo de grafica

así el valor de coeficientes sea infinitos.

e. Presione el botón rectify.

Compare los resultados de

obtenidos entre la señal

original y la obtenida después

de presionar el botón rectify.

Al utiliza la opción Rectify la serie se corta

ubicándolos en cero para toda parte negativa, la

magnitud toma valor medio con respecto a la

anterior por el hecho de ya no existe parte negativa,

y la fase empieza un poco más negativa que la

primera gráfica.

5. Entre los integrantes del grupo

responder. Como se obtiene la serie de

Fourier del Ruido (Noise).

La Serie de Fourier del Ruido tiene su

representación en series ortogonales de señales y

ruido, estas tienen muchas aplicaciones

significativas en problemas de comunicación.

Para la presente explicación realizaremos las

debidas aclaraciones sobre los términos y fórmulas

para un claro entendimiento.

Funciones ortogonales.

Antes de estudiar la serie ortogonal, es necesario

definir las series ortogonales.

Definición. Se dice que las funciones 𝜑𝑛(𝑡) y

𝜑𝑚(𝑡) son ortogonales entre sí en el intervalo a

< t < b si satisface la condición

∫ 𝜑𝑛(𝑡)𝑏

𝑎

𝜑𝑚(𝑡)𝑑𝑡 = 0; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 ≠ 𝑚

Además, si las funciones en el conjunto son

ortogonales, entonces también satisfacen la

relación

∫ 𝜑𝑛(𝑡)𝑏

𝑎

𝜑𝑚(𝑡)𝑑𝑡 = {0, 𝑛 ≠ 𝑚

𝑘𝑛 , 𝑛 = 𝑚} = 𝑘𝑛𝛿𝑛𝑚

Donde

𝛿𝑛𝑚 ≡ {0, 𝑛 ≠ 𝑚 1, 𝑛 ≠ 𝑚

}

𝛿𝑛𝑚 es la función delta de Kronecker. Si todas las

constantes Kn son iguales a 1, se dice que las

funciones 𝜑𝑛(𝑡) son funciones ortonormales.

Es decir, que la primera ecuación se utiliza para

probar pares de funciones para ver si son

ortogonales. Son ortogonales en el intervalo (a,b) si

la integral de su producto es cero. El resultado cero

implica que son funciones "independientes" o que

están en "desacuerdo". Si el resultado no es cero,

no son ortogonales, y en consecuencia, las dos

funciones tienen una cierta "dependencia" o

"similitud" entre sí.

Serie Ortogonal

Supóngase que w(t) es una forma de onda práctica

(señal, ruido, o una combinación de señal y ruido)

que se desea representar en el intervalo a < t < b.

En seguida se obtiene una representación de serie

ortogonal equivalente por medio del teorema

siguiente.

𝑤(𝑡) = ∑ 𝑎𝑛

𝑛

𝜑𝑛(𝑡)

donde los coeficientes ortogonales están dados por

𝑎𝑛 =1

𝑘𝑛

∫ 𝑤(𝑡)𝑏

𝑎

𝜑𝑛(𝑡)𝑑𝑡

y el intervalo de n queda sobre los valores enteros

que corresponden a los subíndices utilizados para

denotar las funciones ortogonales en el conjunto

ortogonal completo.

Para que la fórmula de 𝑤(𝑡) sea una representación

válida de cualquier señal física (es decir, una con

energía finita), el conjunto ortogonal tiene que estar

completo. Esto implica que se puede utilizar el

conjunto para representar cualquier función con un

error arbitrariamente pequeño [Wylie, 1960].

En la práctica, por lo general es difícil probar que

un conjunto dado de funciones está completo

La serie ortogonal es muy útil para representar una

señal, ruido o una combinación de señal y ruido.

Las funciones 𝜑𝑖(𝑡) son determinísticas.

Además, si la forma de onda 𝑤(𝑡) es

determinística, las constantes también lo son y se

evalúan con 𝑤(𝑡).

También es posible utilizar la expresión 𝑤(𝑡) para

generar las funciones 𝑤(𝑡) a partir de las funciones

𝜑𝑖(𝑡)y los coeficientes 𝑎𝑖. En este caso 𝑤(𝑡) se

aproxima utilizando un número razonable de las

funciones 𝜑𝑖(𝑡).

Conclusiones

El estudio de las series y transformadas de

fourier, desde el uso de un aplicación nos

brinda con mayor facilidad el

entendimiento de cada concecpto

aprendido durante las horas impartidas

por el docente a cargo de la materia en

clases, ademas de las investigaciones

realizadas por el alumno.

Una señal analizada mediante la

respresentacion de la serie de fourier, nos

indica que mientras esta posea mas

componentes relacionados hacia la

frecuencia esta serie converge hacia la

señal original empezando a tener una

similitud llamandola asi que realiza una

funcion de espejo.

El fenomeno de Gibbs pudo ser entendido

mediante el aumento de terminos que nos

brindo la applet de java con las diferentes

señales visualizando las oscilaciones que

eran presentes en los diferentes picos o

fines de rectas, esto siempre ocurrira sin

importar el numero de terminos a los que

aumente nuestra serie.

Algo que se vuelve importante en el

estudio de señales y su tranformada de

Fourier es tomar en cuenta que mientras

mas rapido varie en el tiempo su ancho de

banda tendera a ser mayor.

En la tranformada de Fourier algo que hay

que tomar mucho en cuenta es si la señal

es par, impar o no cumple con ningunas de

las dos , ya que esto nos ayudara a

entender mejor si la señal es real,

imaginaria o compleja, respectivamente.

Bibliografía

http://es.wikipedia.org/wiki/Ortog

onalidad_%28matem%C3%A1tic

as%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Ruido

_(comunicaci%C3%B3n)

http://es.slideshare.net/Telecomun

efasenales/peresentacion-

transformada-y-serie-de-fourier-e-

transformada-de-laplace

http://datateca.unad.edu.co/conten

idos/208016/contLinea/leccin_cato

rce__representacin_en_series_orto

gonales_de_seales__y_ruido.html

Anexos

Ejercicios de Kamen

3.20 Calcular la transformada de Fourier de

las señales que aparecen en la figura. Graficar

la magnitud y fase de la transformada.

Literal a.

𝑥(𝑡) = 𝑥1(𝑡) + 𝑥2(𝑡)

𝑋(𝜔) = 𝑋1(𝜔) + 𝑋2(𝜔)

𝑋(𝜔) = ∫(𝑡 + 1)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡

0

−1

+ 𝑋2(𝜔)

Por la propiedad de desplazamiento en el tiempo y

la transformación de un pulso tenemos

𝑋2(𝜔) = 𝑠𝑖𝑛𝑐 (𝜔

2𝜋) 𝑒−𝑗

𝜔2

𝑋(𝜔) = ∫(𝑡 + 1)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡

0

−1

+ 𝑠𝑖𝑛𝑐 (𝜔

2𝜋) 𝑒−𝑗

𝜔2

Usando la aplicación Web de integración de

Wolfram Mathemática tenemos que la integral es

𝑋(𝜔) =−𝑗𝜔 + 𝑒𝑗𝜔 − 1

𝑗2𝜔2+ 𝑠𝑖𝑛𝑐 (

𝜔

2𝜋) 𝑒−𝑗

𝜔2

𝑋(𝜔) = 𝑠𝑖𝑛𝑐 (𝜔

2𝜋) 𝑒−𝑗

𝜔2 −

1

𝜔2 𝑐𝑜𝑠(𝜔) +

1

𝜔2

+ 𝑗 (1

𝜔−

1

𝜔𝑠𝑖𝑛𝑐 (

𝜔

𝜋))

Literal d.

𝑥(𝑡) = 2 𝛬(𝑡) − 𝛬(𝑡)

Aplicando propiedades inversas de pulso

triangular tenemos

𝑋(𝑡) = 4 𝑠𝑖𝑛𝑐2 (𝜔

𝜋) − 𝑠𝑖𝑛𝑐2 (

𝜔

2𝜋)

3.21 Calcular la transformada inversa de

Fourier de las funciones de frecuencia 𝑿(𝝎) que se

muestra en las figuras

Literal a.

𝑋(𝜔) = 𝜌(𝜔) − Λ(𝜔)

𝑋(𝜔) = 2 𝑠𝑖𝑛𝑐 (𝜔

𝜋) − 𝑠𝑖𝑛𝑐2 (

𝜔

2𝜋)

Aplicando propiedades de pulso rectangular, pulso

triangular y dualidad tenemos

𝑥(𝑡) =1

𝜋 𝑠𝑖𝑛𝑐 (

𝑡

𝜋) −

1

2𝜋𝑠𝑖𝑛𝑐2 (

𝑡

2𝜋)

Literal d.

𝑋(𝜔) = 2 Λ(𝜔) − Λ(𝜔)

Aplicando propiedades inversas de pulso

triangular tenemos

𝑥(𝑡) =2

𝜋 𝑠𝑖𝑛𝑐2 (

𝑡

𝜋) −

1

2𝜋𝑠𝑖𝑛𝑐2 (

𝑡

2𝜋)

Grafique la magnitud y fase de los

resultados usando Matlab.

3.20 Literal a. syms t X omega X=simplify(int((t+1)*exp(-

1i*omega*t),t,-1,0)+int(exp(-

1i*omega*t),t,0,1)); ezplot(abs(X),0,20) axis([0 20 0 2]) ylabel ('Magnitud X(w)') grid on

syms t X omega X=simplify(int((t+1)*exp(-

1i*omega*t),t,-1,0)+int(exp(-

1i*omega*t),t,0,1)); w=0.1:.50:20; angX=180*subs(X,w)/pi; plot(w,angX) ylabel ('Fase X(w)') grid on

Literal d. syms t X omega X=simplify(int((t+2)*exp(-

1i*omega*t),t,-2,-1)+int(exp(-

1i*omega*t),t,-1,1)+int((-t+2)*exp(-

1i*omega*t),t,1,2)); ezplot(abs(X),0,20) axis([0 20 0 3.1]) ylabel ('Magnitud X(w)') grid on

syms t X omega X=simplify(int((t+2)*exp(-

1i*omega*t),t,-2,-1)+int(exp(-

1i*omega*t),t,-1,1)+int((-t+2)*exp(-

1i*omega*t),t,1,2));

w=0.1:.01:20; angX=180*subs(X,w)/pi; plot(w,angX) ylabel ('Fase X(w)') grid on

3.21 Literal a. syms t X omega X=1/pi*(sinc(t/pi))-

1/(2*pi)*(sinc(t/(2*pi)))^2; ezplot(abs(X),0,20) axis([0 20 0 0.2]) title(' '); xlabel (' ') ylabel ('Magnitud x(t)') grid on

syms t X omega X=1/pi*(sinc(t/pi))-

1/(2*pi)*(sinc(t/(2*pi)))^2; w=0.1:.01:20; angX=180*subs(X,w)/pi;

plot(w,angX) title(' '); xlabel (' ') ylabel ('Fase x(t)') grid on

Literal d.

syms t X omega X=2/pi*(sinc(t/pi))^2-

1/(2*pi)*(sinc(t/(2*pi)))^2; ezplot(abs(X),0,20) axis([0 10 0 0.5]) title(' '); xlabel (' ') ylabel ('Magnitud x(t)') grid on

syms t X omega X=2/pi*(sinc(t/pi))^2-

1/(2*pi)*(sinc(t/(2*pi)))^2; w=0.1:.01:20; angX=180*subs(X,w)/pi; plot(w,angX) title(' '); xlabel (' ') ylabel ('Fase x(t)') grid on

Comente resultados relacionando con

contenido espectral y ancho de banda.

Tomando en cuenta que la transformada de Fourier

de una función no sólo permite hacer una

descomposición espectral de los formantes de una

señal, sino que con el espectro generado por el

análisis de Fourier incluso se puede reconstruir

(sintetizar) la función original mediante la

transformada inversa, podemos gracias a este

separar la función en varias para sumarlas o

restarlas y obtener la señal total y obtener mar

fácilmente la transformada o transformada inversa

de Fourier de la función, que es lo que

implementamos en varios de los ejercicios

resueltos.

En cuanto al ancho de banda siempre tenemos en

cuenta que mientras la señal varía más rápido en el

tiempo mayor será su ancho de banda, así como nos

podemos dar cuenta la diferencia entre los literales

a y d de cada ejercicio como su ancho de banda en

el literal d se reduce gracias a que la frecuencia es

más grande.

¿Qué sucede con las señales complejas

en el tiempo?

Al ser una señal compleja al obtener su

transformada esta no tiende a ser simétrica es decir

no es par, ni impar, ya que las señales pares tiende

a tener una transformada puramente real, si es

impar su transferencia será imaginaria y ya que no

cumple con ninguna de las dos tiene a ser

puramente compleja.