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SUCESIONES

I. CONCEPTOUna sucesión es todo conjunto numérico, literalo gráfico cuyos términos obedecen a una ley deformación, que nos permita determinar el términoque continúa. Denominándose a los elementosde este conjunto “términos de la sucesión”.Ejemplos :a) 1, 4, 7, 10, ..... b) 4, 8, 16, 32, .....c) A, B, C, D, ..... d) , , , , .....e) , , , .....

II. CLASIFICACIÓNA. Sucesiones Numéricas.B. Sucesiones Literales.C. Sucesiones Alfanuméricas.D. Sucesiones Gráficas.

A. SUCESIONES NUMÉRICASDefinición:Una sucesión es una función cuyo dominio es el

conjunto de los números enteros positivos y cuyorango es un conjunto arbitrario.

Trataremos solamente de sucesiones de númerosreales, es decir:

Consideremos una función F: Z+R, tal que,+ n Z , F(n), R, es un elemento de la sucesión.

En vez de escribir F(n) escribiremos Fn y la lla-maremos n-ésimo término de la sucesión.Notación:

A una sucesión infinita F1, F2, F3, ......, Fn,...... larepresentaremos por 1nn }F{

Gráficamente se tiene:

12

3

n

........

....... .

F(1) = F1

F(2) = F2

F(3) = F3

F(n) = Fn

Z+ RF

Ejemplos:1. La sucesión 1, 4, 9, 16, ..., n2, ... se escribe así:

{n2} n ³ 12. Los cuatro primeros términos de la sucesión:

n

n 1

( 1)n !

......................................................................

SUCESIONES NUMÉRICAS NOTABLES

a. Sucesión Aritmética o Polinomial

Es aquella sucesión ordenada de cantidades enla que cada término a partir del segundo es igualal anterior aumentado en cierta cantidad varia-ble o constante denominada razón. Si dicharazón es constante la sucesión toma el nombrede “progresión”.

Toda sucesión aritmética o polinomial tiene porLey de Formación un polinomio de grado “n”pudiendo ser lineal; cuadrática; cúbica; etc.

a.1. Sucesión Lineal:

(o de primer orden)

* Progresión Aritmética (P.A.)

Notación:

t , t , t , K, t1 2 3 n

+r +r

P.A.:

2 1

3 1

4 1

n 1

donde: t = t + r

t = t + 2r

t = t + 3r

t = t + (n – 1) r

Fórmula recurrente:

n 1t t (n 1) r

326

(Polinomio Lineal)Donde:t1 : primer término.tn : término n-ésimo, general o último

término.n : número de términos.r : razón de la P.A.

n 1 n ot t t tn 1

r r

(to = término anterior al primero)

¡Prueba tu habilidad!Calcule los elementos de la siguiente P.A.5; 10; 15; ......; 80t1 : ...........................tn : ...........................r : ...........................n : ...........................

Además t5 y t7a.2. Sucesión Aritmética de Orden Superior:* Sucesión Cuadrática de segundo orden.

Fórmula general:

2nt an bn c

Donde: a, b, c Constantes y n N

• Regla práctica para encontrar la ley de for-mación:

r;r;rA

R;R;R;RB

t;t;t;t;t;tC

o

321o

n4321o

Pivot PrincipalPivot Secundario

tn: término enésimo:

2A Atn n B n C

2 2

Halle tn en:

0; 3; 8; 15; 24; .............

* Sucesión Polinomial en general:

a,a,a,m,m,m,m

,k,k,k,k,K,r,r,r,r,r,r

t,,t,t,t,t,t,t,t

4321

54321

654321

n7654321

“p” términos

n–1 n–1 n–1 n–1n 1 0 1 1 1 2 p – 1 t = t + r + k + K + aC C C C

m

n

m!*

(m n)! n!C

b. Sucesión Geométrica

Es una sucesión de números tal que cualquiertérmino posterior al primero se obtiene multipli-cando el término anterior por un número no nulo.Llamado razón de la progresión.

t , t , t , t , ....., t1 2 3 4 n

× q × q

P.G.::

2 1

23 1

34 1

n–1n 1

donde : t = t · q

t = t · q

t = t · q

t = t · q

Fórmula recurrente:

n 1n 1t t q

Donde:

t1 : primer término (t1 0)

q : razón de la P.G. (q 0)

tn : término n-ésimo o general

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SUCESIONES NUMÉRICAS ESPECIALESa. Armónica

Sucesión cuyos recíprocos (inversos) de sus tér-minos forman una P.A. Ejemplo:

1 1 1 1, , , ,

3 5 7 9

b. FibonacciSucesión en la cual cada término a partir deltercero es la suma de los dos anteriores.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, .....

c. Lucas 1, 3, 4, 7, 11, 18, .....

d. Feimberg (Tribonacci)

1, 1, 2, 4, 7, 13, .....

e. Oscilante 1, –1, 1, -1, 1, .....

n 1nt ( 1)

f. Morgan1; 2; 3; 4; 245; 1206; .....

nt n k(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)

g. Números Primos2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, .....

h. Triangulares 1, 3, 6, 10, .....

nn (n 1)

t2

B. SUCESIONES LITERALES:Son aquellas sucesiones cuyos términos son le-tras (no se consideran la “CH” ni la “Ll”).

• Teorema de la correspondencia ordinal“Toda sucesión literal se puede transformar en unasucesión numérica por correspondencia unívoca”.

A B C D E F G H I1 2 3 4 5 6 7 8 9

J K L M N Ñ O P Q10 11 12 13 14 15 16 17 18R S T U V W X Y Z19 20 21 22 23 24 25 26 27

¿Qué letra continúa?A, C, E, G, .............

• Determinados problemas se enmarcan a ciertaspalabras o frases. Ejemplo:

L, M, M, J, V, S, .....

O, I, M, R, O, M, .....

C. SUCESIONES ALFANUMÉRICASSucesiones alternadas conformada por una su-cesión numérica y otra literal. Ejemplo:

1, A, 3, D, 6, G, 10, J, .....D. SUCESIONES GRÁFICAS

Sucesión cuyos términos son figuras o gráficos.Ejemplo:¿Qué figura continúa?

, , , , .....

Rpta.: .............................................................

328

1 . Hallar: x + y + z23, 44, 66, 89, xy, 12z

Rpta.: .............................................................

2. Hallar “x”3; 6; 8; 4; 2; 4; x

Rpta.: .............................................................

3. Hallar “x”7, 8, 12, 28, x

Rpta.: .............................................................

4. ¿Qué término continúa?BA, DI, FU, HE, ...

Rpta.: .............................................................

5. Hallar el término siguiente:(A, B, 2) ; (D, E, 6) ; (G, H, 12) ; J, K, 20) ; ...

Rpta.: .............................................................

6 . Calcule el término décimo de la sucesión:

5, 10, 17, 26, ...

Rpta.: .............................................................

7 . De una P.A. se sabe que t47 = 201 y t38 = 165,entonces t85 es:

Rpta.: .............................................................

8. Dada la P.G.x 2x–1 3x–22 ; 2 ; 4 , hallar “x”.

Rpta.: .............................................................

9. ¿Cuántos términos hay en la siguiente suceisón?12; 26; –42; 60; ... 2 520

Rpta.: .............................................................

10. Dadas las siguientes sucesiones:S1 = 7, 12, 17, 22, ..., 297S2 = 4, 11, 18, 25, ...¿cuántos términos son comunes a ambas suce-siones?

Rpta.: .............................................................

1. ¿Qué número sigue dado: 18, 10, 2, –6, –14?A) 20 B) –20 C) –22D) –24 E) –26

2. Hallar “x”: 1 1 , , 2 , 8, x8 2

A) 30 B) 32 C) 34 D) 35 E) 36

R.M. QUÈ FACILGrado Vº Bimestre IProf. Gerson Maclena C.

Estudiante: .................................................................................................................Fecha de entrega...../...../..... Fecha de presentacion ..../..../.....

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3. Hallar “x + y” en:73 4 12 x5 ; 7 ; 11 ; 17 ; y

A) 44 B) 45 C) 43 D) 48 E) 61

4. ¿Qué número continúa?

24

45

36

?

A) 47 B) 3

6 C) 57 D) 7

5 E) 78

5. ¿Qué figura sigue?

38

48

?

A) 12 B) 3

16 C) 58 D) 1

16 E) 18

6. ¿Qué letra sigue en:C, U, D, T, C, ...?

A) C B) S C) O D) N E) D

7. Dadas las P.A.: 3; 2x; 3x; ...a; 2x; 2a; ...

hallar “a”.A) 4 B) 5 C) 2 D) 6 E) 7

8. Hallar el término general de la sucesión:1; 1; 2; 6; 24; ...

A) n! B) (n + 1) ! C) (n – 1) !D) n +1 E) n

2 – 3n + 3

9. Hallar “n” en: 1 9 5 14 ; ; ; ; ...2 12 6 16

Si: n29a =30

A) 10 B) 16 C) 15 D) 14 E) 12

10. ¿Cuántos términos de la siguiente sucesión tie-nen 3 cifras?

3, 12, 21, 30, ...A) 98 B) 99 C) 97D) 100 E) 101