Sucesiones - progresiones -

SUCESIONES - PROGRESIONES

Una sucesión numérica es un conjunto de elementos, llamados términos que se forman mediante una

ley determinada. Esto significa que, cada término (con excepción del primero se deriva del anterior de

acuerdo de una operación la cual es siempre la misma (constante) para la formación u obtención de todos y

cada uno de los términos de la sucesión.

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos (números

naturales).

En lugar de usar la notación acostumbrada para una función , una sucesión se representa por el

símbolo , al cual se le denomina “término n-simo” o término general de la sucesión.

EJEMPLO

N = 0, 1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 ,.....,n

= 0, es el primer término de la sucesión.

= 1, es el tercer término de la sucesión.

= 2, es segundo término de la sucesión.

= 2 . n es el término n-simo o general de la sucesión

1

EJEMPLOS:

1.- Determinar cada una de las siguientes sucesiones:

a)

Para n = 0

Para n = 1

Para n = 2

Para n = 3

La sucesión es:

b)

N* es el conjunto de los números naturales sin el cero.

Para n = 1

Para n = 2

Para n = 3

Para n = 4

La sucesión es:

2

2.- Dadas las siguientes sucesiones, encontrar o deducir el término n-simo o general de cada una de

ellas.

En cada caso tenemos que encontrar la fórmula o la expresión mediante la cual dando valores a “n” de

0,1, 2, 3, 4, etc. se obtienen los términos dados de la sucesión.

Para encontrar la fórmula debemos observar la Ley de formación (como se van formando los términos,

por lo tanto la respuesta de estos ejercicios dependen más que nada de la habilidad, destreza y la buena pupila

del alumno. Sin embargo trataré de aclarar lo más que pueda para ayudarlos en la deducción de dicha

fórmula.

a) 1, 21, 22 , 23, ....

Se puede observar que la base es la misma (2), y que los exponentes aumentes aumenta de 1 en 1,

comenzando desde cero; ya que todo número elevado a la cero, es igual a la unidad; por lo tanto el termino

general es 2n

1, 21, 22, 23, ...., 2n n N

b) 1 ,

Los términos de la sucesión son fracciones, cuyo único numerador es la unidad, y los denominadores

“van” de 1 en 1, es decir, son números consecutivos, por tanto, el término n-simo, es de la forma:

Si queremos podemos asignarles a| n| los valores para comprobar el ejercicio:

Este ejercicio puede tener también cómo término general a siendo el Dominio:

3

c)

Los términos de la sucesión son fracciones, cuyos numeradores son números consecutivos después de

la unidad, y los denominadores, son una unidad mayor que el numerador respectivo, por lo tanto, el término

general o n-simo de la sucesión dada, es

PROGRESIONES

En este nivel, estudiaremos detalladamente dos tipos esenciales de sucesiones que, por la forma en el

cual se construyen, reciben el nombre de PROGRESIONES y pueden ser: Aritméticas y/o Geométricas.

PROGRESIONES ARITMETICAS

Una progresión aritmética es una sucesión en la cual cada término con excepción del primero, es igual

al anterior más una cantidad constante llamada razón.

La razón en toda progresión aritmética, la razón debe ser diferente de cero. Si es positiva, la

progresión aritmética es creciente y si es negativa la progresión aritmética es decreciente.

La razón de una progresión aritmética es igual a un término cualquiera menos el anterior, es decir:

EJEMPLOS:

1.- Sea la sucesión: 6, 14, 22, 30, 38, ....., es una progresión aritmética creciente cuya razón vale:

2.- La sucesión: 32, 28, 24, 20, ....., es una progresión aritmética decreciente cuya razón es igual a

En las progresiones aritméticas, la notación es al siguiente.

es el primer término.

es el segundo término.

es el tercer término.

4

es el antepenúltimo

es el penúltimo.

an es el último término o término n-simo.

Las progresiones aritméticas pueden ser finitas e infinitas son finitas, las que poseen desde el primer

término hasta el último y son infinitas aquellos que no se sabe cual es el último de sus términos.

EJERCICIOS

1.- Indica cuales de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas:

a) 8,12,16,20..

b) 2,4,8,16,32...

c) –12,-15,-18,-21...

d) 36,33,30,27,24,...

e) ½, 1, 1 ½ , 2, 2 ½,..

f) ¼ , ½, ¾ , 1, 1 ¼, ....

g) 68,59,50,41,...

NOTA: Para comprobar si una sucesión es una progresión aritmética, se calcula la razón y luego se

forma la progresión.

2.- Calcula el valor de “x” para que los términos de cada una de las siguientes sucesiones formen una

progresión aritmética.

a) x + 1, x2 + 4, 2x2 – 1, ...

5

b) x + 3, 2x2 – 1, ...

c) x, 3x + 2, 3x2 + 2,...

d) 4x – 3, 5x, 3x2 + 3, 8x + 4,...

e) 2x –1, 3x + 2, x2 + 5,...

TERMINO N-SIMO DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Por la definición de progresión aritmética, en donde es el primer término y “r” la razón, tenemos que:

. .

. .

. .

. .

. .

Siendo esta expresión la fórmula que nos permite obtener el último término de una progresión

aritmética y en donde:

: es el término n-simo o último término de la progresión aritmética.

: es el primer término

n: es el número de término que posee dicha progresión.

6

DESPEJES

1.- = ?

2.- r = ?

3.- n = ?

NOTA: Primero se efectúa la división y luego se le suma a ese resultado la unidad.

PROBLEMAS

1.- Calcular el vigésimo quinto término de una progresión aritmética que empieza en 12 y la razón es 6.

DATOS FÓRMULA DESARROLLO

= ?n = 25

= 12r = 6

= 12 + ( 25 –1) .6 = 12 + ( 24) .6

= 156

2.- Determinar el primer término de una progresión aritmética de 24 términos, cuya razón es 5 y termina en 124.

7

DATOS FÓRMULADESARROLLO

= ?n = 24

= 124r = 5

DESPEJE

= 124 – (24-1).5= 124 – (23).5 = 124 – 115

= 9

3.- Calcular la razón de una progresión aritmética de términos, sabiendo que empieza en 10 y termina en 7.


n = ?r = 7

= 14 = 497

DESPEJE

n = 69 +1

n = 70

Entre 10 y 500, existen 70 números múltiplos de

EJERCICIOS

1.- ¿Cuál es el último término de una progresión aritmética de 13 términos que empieza en 23 y la razón es 9?

R = 131.

2.- Hallar el último término de una progresión aritmética sabiendo que empieza en 15, tiene 14 términos y la razón es 10. R = 145.

3.- En una progresión aritmética de 10 términos, el último es 56 y la razón 4. Determinar el primer término.

R = 20

4.- Hallar el primer término de una progresión aritmética cuya razón es – 6, sabiendo que el octavo término es – 23.

R = 19.

8

5.- En una progresión aritmética de seis términos el primero es 3 y el último 23, ‘Cuál es la razón?.

R = 4.

6.- El primer término de una progresión aritmética es 7 y el décimo –11. Calcular la razón.

R = - 2

7.- El primer término de una progresión aritmética es 25, el último la unidad, y la razón –4. Determinar el

número de términos de dicha progresión.

R = 7.

8.- Calcular el número de términos de una progresión aritmética que empieza en 2, termina en 38 y la razón es

4.

R = 10.

RELACIÓN ENTRE DOS TERMINOS CUALESQUIERA DE UNA PROGRESION ARTIMETICA

EJEMPLOS:

1.- En una progresión aritmética, el cuarto término es 12 y la razón es 5, ¿Cuánto vale el décimo término?


2.- En una progresión aritmética, el décimo sexto término es si la razón es 5, ¿Cuánto vale el quinto

término?


r

3.- Hallar el trigésimo término de una progresión aritmética, sabiendo que el octavo término es 20 y el

vigésimo 56.

9

DATOS FÓRMULAS DESARROLLO

DESPEJE

4.- Hallar tres números en progresión aritmética, sabiendo que suman 57 y el producto 5928.

DATOS FÓRMULAS

DESARROLLO

19 . (192 – r2) = 5928

361 – r2 = 312.

361 - 312 = r

10

Si r = 7

Si r = -7 A2 = 19

5.- Hallar cuatro números que en progresión aritmética suman 96, su producto es 308.880.

DATOS

FORMULAS

A4 = x + 3y

DESARROLLO

(x – 3 .y) + (x - y) + (x + y) (x +3 .y) = 90

4 x = 96

(x

– 3 y ) .(x - y) . (x + y) . (x + 3 y) =

308.880

(x – 3y) . (x + 3y) . (x-y) . (x+y) = 308.880

(x2 - 9 y2) . (x2 - y2) = 308.880

x4 - x2 y2 - 9 x2 y + 9 y4 = 308.880

x4 - 10x2y2 + 9y4 = 308.880

(19)4 – 10(19)2 y2 + 9 y4 = 308.880

331776 – 10(576)y2 + 9y4 = 308.880

Los números son: 18, 22, 26, 30

Para y = - 2

11

9y4 – 5760y2 +331776 – 308.880 = 0

9y4 – 5 760y2 + 22 896 = 0

y4 – 640y2 +2544 = 0

Se realiza un cambio de variable y la

ecuación se transforma en una ecuación

cuadrática.

y2 = u

u2 – 640u + 2544 = 0

Resolviendo con la calculadora o aplicando la resolverte de las ecuaciones de segundo grado; obtenemos:

y = 2 (es solución)

= 636 y= 25,22 (no es solución).

Los números son: 30 , 26 , 22 , 18.

6.- En una progresión aritmética, la suma del cuarto término con el noveno es 64 y la del séptimo con

undécimo es 8. Hallar el décimo quinto término de dicha progresión.

DATOS FORMULAS

DESARROLLO

- 1 2 + 11 r = 64

_________________________ -2 – 11r = - 64

5 r = 20

12

r =

r = 4

2 2

= 10

7.- En una progresión aritmética, la suma del tercer y séptimo términos es 93, y la diferencia entre el quinto y

el primero es 36. Determinar el cuarto término y la razón de la progresión.

Datos Formulas

a3 + a7 = 93 (1) a3 = a + 2 r

a5 – a = 36 (2) a7 = a + 6 r

a5 = a + 4 r

a4 = ? a4 = a + 3 r

r = ?

a3 + a7 = 93 (1) a5 – a = 36 2 a + 8 r = 93

a + 2 r + a + 6 r = 93 a + 4 r - a = 36 2 a + 8 (9 ) = 93

2 a + 8 r = 93 4 r = 36 2 a + 72 = 93

r = 2 a = 93 – 72

r = 9 a =

a 4 = a1 + 3 r

a 4 = + 3 (9)

a4 =

a4 =

13

RELACION ENTRE LOS TERMINOS EQUIDISTANTES DE

UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Sea la Progresión Aritmética: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37. Sumemos los términos extremos y sus

equidistantes:

a1 + an = 2 + 37 = 39

a2 + a = 7 + 32 = 39

a3 + a = 12 + 27 = 39

Los términos centrales: 17 + 22 = 39

Se puede deducir, según lo anterior que:

“La suma de los términos extremos y la de sus términos extremos en una progresión aritmética cuyo

número de términos es par, son iguales”.

Ahora veamos, una progresión aritmética cuyo número de términos es impar.

- 17, - 9 , - 1 , 7, 15 , 23 , 31 , 39 , 47

Sumemos los términos extremos y sus equidistantes:

a1 + an = 17 + 47 = 30

a2 + a = 9 + 39 = 30

a3 + a = -1 + 31 = 30

a4 + a = 7 + 23 = 30

El término central (ac) de una progresión aritmética es igual a la mitad tanto de la suma de sus

términos extremos como la de los equidistantes a sus extremos, es decir:

de donde se desprende que:

14

2ac = a1 + an

Por lo que se puede asegurar dos premisas:

1.- El término central (ac) de una progresión aritmética, cuyo número de términos sea impar, es igual a la

semi-suma de sus términos extremos.

2.- El doble del término central (ac) de una progresión aritmética de número de términos impar, es igual a

la suma de sus extremos.

EJERCICIOS

1.- Calcular el término central de una progresión aritmética de 11 términos que empiezan en – 3 y

termina en 43.

Datos Fórmula Desarrollo

n=11

a = -3

2.- En una progresión aritmética cuyo término central es 14, calcular el último término sabiendo que

empieza en –2.


DESPEJE

15

SUMA DE LOS “N” PRIMEROS TERMINOS

Sea la progresión aritmética: a1, a2,, a3 , ......., an-2 , an-1 , an y la suma de sus términos:

S = a1 + a2, + a3 + ....... + an-2 , + an-1 , + an ó

+ S = an + an-1 + an-2,+ ……+ a3 + a2, + a1

2S = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + …. + (a3 + an-2) + (a2 + a-n1) + (a1 + an)

en donde, todos los binomios por ser términos equidistantes a los extremos, la suma es igual a ellos(los

términos extremos), por lo tanto:

2S = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + …. + (a1 + an) + (a1+ a-n) + (a1 + an) n – veces:

2S = (a1 + an) . n

Es la expresión usada para calcular la suma de los “n” primeros términos de una progresión aritmética y

S = es la suma de los “n” términos de progresión aritmética

a1 = es el primer término de la progresión aritmética.

an = es el término n-simo o último término de la progresión

n = es el número de términos de la progresión

DESPEJES

1.- a1 = ?

2S = (a1 + an) . n

= a + an

16

2.- an = ? S =

2

2 . S = (a + an ) . n

3.- n = ?

2. S = ( a + a n ) . n

2 . S = ( a + ). n

EJERCICIOS

1.- Hallar la suma de los veinte primeros términos de una progresión aritmética que empieza en 5

y termina en 58.


n = 20 S =

S = 63 . 10

S = 630

17

2.- Calcular el primer término de una progresión aritmética de 12 términos, que termina en 58 y la

suma es 366.


a = ?

n = 12 DESPEJE

S = 366

3.- La suma de los 40 primeros términos de una progresión aritmética que empieza en 4, es 1060,

calcular el último término.


n = 40

DESPEJE

S = 1060

4.- ¿Cuántos términos se necesitan para que la suma de los términos de una progresión aritmética que

empieza en 4 y termina en 100 sea 520.


n = ?

DESPEJE

S = 520

5.- Hallar la suma de los primeros cien enteros positivos múltiplos de siete.

18

Datos Fórmulas Desarrollo

a1 = 7 an =7 + (100 – 1) . 7

n = 100 an = 7 + 99.7 =

r = 7 an = 7 + 693 = 700

an = ?

S = ? S = 35.350

6.- Calcular la razón de una progresión aritmética de 20 términos que empieza en –10 y la suma es 420.


r = ?

n = 21

an = 40 + 10 = 50

S = 420 DESPEJES

7.- En una progresión aritmética se sabe que: la suma del cuarto término con el décimo es 60 y la del séptimo

con el décimo cuarto es 109. Calcular la suma de los primeros veinte términos.


19

S = ?

n = 20

- 1 2a1+ 12r = 60 (3) 2a1+ 12r = 602a1 + 19r = 109 (4) 2a1 + 12.7= 60 2a1 + 84 = 602a1 - 12r = - 60 2a1 = 60 - 84 2a1 +19r = 109 a1 = -24 2

7r = 49 a1 = -12

r = 7

a20 = - 12 +19 (7)

a20 = - 12 + 133

a20 = 121

8.- Hallar cuántos enteros consecutivos de la progresión: 10 , 11 , 12 ,13, . . . . . , se deben tomar para que la

suma sea 2035.


n =? an = + (n – 1) .r 2 S = (a1 + an) . n

a1 = 10 2 S = (a1 + a1 +(n-1 ) . r

S = 2035 En ambas fórmulas hay dos 2 S = (2a1 + n . r – r) . n

r = 1 incógnitas por lo tanto hay 2 S = 2a1 n + n2 r – r n que insertar una dentro de Se sustituyen los elementos la otra conocidos y nos queda una

ecuación cuadrática

2 = (2035) = (10) n + n2 – n

20

20 n + n2 - n – 2 (2035) = 0 n2 + 19 n – 4070 = 0

Resolviendo con la calculadora: Se tiene que:

n1 = 55 n2 = -74 (No es solución) ¿Por qué no es solución?

Se deben sumar 55 enteros consecutivos a partir de 10

EJERCICIOS

1.- Hallar el cuarentavo término y la suma de los primeros 40 términos de la progresión aritmética: 10, 8, 6,

4......

2.- En una progresión aritmética se sabe que: . Calcular la suma de los primero 20

términos de dicha progresión.

3.- En una progresión aritmética, el cuarto término más el octavo suman 36 y el quinto sumado con el

undécimo es igual a 48. Calcular la suma de los 30 primeros términos de la progresión dada.

4.- Hallar la suma de las trece primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que:

a13 - a7 = 3a3 + a5 = 11

5.- Calcular la suma de los primeros quince términos de una progresión aritmética en donde se cumple que:

a2 . a7 = 75a5 + a10 = 32

6.- Calcular la suma de los veinte primeros términos de una progresión aritmética, sabiendo que:

21

4a7 – 3a3 = 51

7.- Calcular la suma de los 20 primeros múltiplos de 4.

8.- Calcular la suma de los múltiplos de 7 comprendidos entre 100 y 200.

9.- Calcular la suma de todos los números de tres cifras.

10.- Hallar cuánto tiempo se empleará en saldar una deuda de Bs. 880 pagando Bs. 25 en el primer mes,

Bs 27, en el segundo, Bs. 29 en el tercero, etc...

11.- En una progresión aritmética se cumple que: . Hallar la razón.

12.- En una progresión aritmética se sabe que: S10 = 135 y a1 = 0. Hallar S8 .

13.- En una progresión aritmética se cumple que: S10 = 120 y S20 = 440. Hallar S30 .

14.- ¿Cuántos términos de la progresión: 24, 22,20 _____, se necesitan para que la suma sea 150?.

INTERPOLACIÓN DE MEDIOS ARITMÉTICOS

Dados los extremos de una progresión aritmética: a1 y an. Se llama interpolar “m” medias aritméticas

entre ellos, a formar una progresión aritmética cuyo número de términos “n” sea igual a m + 2 (n = m + 2).

El problema consiste en calcular la razón y después formar la progresión:

Ejemplos:

1.- Interpolar 5 medios aritméticos entre 2 y 26


22

a1 = 2

an = 26 DESPEJE

m = 5

n = 5 + 2 = 7

a1 = 2

a2 = a1 + r = 2 + 4 = 6 a5 = a4 + r = 14 + 4 = 18 a3 = a2 + r = 6 + 4 = 10 a6 = a5 + r = 18 + 4 = 22a4 = a3 + r = 10 + 4 = 14 a7 = a6 + r = 22 + 4 = 26

2.- Interpolar 3 medios diferenciales entre: 2 y 3


DESPEJE

m = 3

n = 3 + 2 = 5

a1 =

a2 = a1 + r =

a3 = a2 + r =

a4 = a3 + r =

a5 = a4 + r =

3.- Interpolar 4 medios aritméticos o diferencial 4 es entre – 2 y


23

a1 = - 2 an = a1 +(n -1) .r

m = 4 DESPEJE

a1 = - 2

a2 = a1 + r = - 2

a3 = a2 + r =

a4 = a3 + r =

a5 = a4 + r =

a6 = a5 + r =

24

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