Sucesiones · 2017. 8. 30. · Matemática II Científico IDAL 2017 Sucesiones 5 Prof. F. Díaz-...

Matemática II Científico IDAL 2017 Sucesiones 5 Prof. F. Díaz- Prof A. Galli

1

Sucesiones

En resumen podemos decir que:

Definición: Una función RAf : , se llama sucesión, donde an= f(n) en cada caso, y A⊆ 𝑁

En símbolos: nn an:a , con An y Ran .

Ejemplos:


2

1)

1

13

n

n

2) 01 a , 4

21

nn

aa

3) 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,414213;…….

Una sucesión se puede definir de distintas formas, por término enésimo (término general o an),

por recurrencia (definiendo un término, y luego su relacion con algún otro término), o de forma

aleatoria (la no existencia de una regla general)

Ejemplo:

Por tèrmino general, (an)/ an= 𝑛+1

𝑛+2+ 𝑛

Por recurrencia, (an)/ an={𝑎1 = −2

𝑎𝑛 = −(𝑎𝑛−1) + 5

De forma aleatoria an={−1, 7,1

3, 9, √15…… . }

Ejercicio 1: Escriba los 10 primeros términos de la sucesión an cada una de las siguientes

sucesiones:

a)

nn

n

n,,

1

32,

b) n1

c) n2

d)

n

n 1

1

e)

n

n 21

f) nn .)1(2

g)

nn )1(22

1

h) ,11 a 12 a , 12 nnn aaa

i) ,101 b 12

1 n

n

bb

j) 4; 3,2; 3,15; 3,142; 3,1416; 3,14160;


3

Sucesiones monótonas:

Definición: na es monótona creciente en sentido amplio 1 nn aa .

na es monótona creciente en sentido estricto 1 nn aa .

na es monótona decreciente en sentido amplio 1 nn aa .

na es monótona decreciente en sentido estricto 1 nn aa .

Ejercicio 2:

Investiga la monotonía de cada una de las sucesiones definidas en el ejercicio 1

Sucesiones acotadas:

Definición: na es acotada

kaknn/*Nn,Rk,Rk

kak*Nn/Rk,Rk

ann/*Nn,R

a*Nn/R

n

n

n

n

00

00

Ejercicio 3:

Investigar cual o cuales de las sucesiones del ejercicio 1 están acotadas

Limite de una sucesión.

Definición: lan o llíman > 0, no N*/ n ≥ no lan

Definición: na o nlíma K > 0, no N*/ n ≥ no Kan

Definición: na o nlíma K > 0, no N*/ n ≥ no Kan

Definición: na o nlíma K < 0, no N*/ n ≥ no Kan .

Definición: Si lan , se dice na convergente.

Definición: Si na , se dice na divergente.

Definición: Si na no es convergente ni divergente se dice oscilante.


4

Ejercicio 4:

De las sucesiones del ejercicio 1, indica cuales son convergentes y cuales son

divergentes, luego en caso que exista, señala su limite

Ejercicio 5:

Considere las siguientes sucesiones an, investigar en cada caso su monotonía,

investigar su acotación, y luego calcular su límite, en caso que exista

a) 𝑎𝑛 =4𝑛+3

𝑛+2

b) 𝑎𝑛 =1

2𝑛+3+ 1

c) 𝑎𝑛 =2𝑛2+3𝑛−5

𝑛+3

d) 𝑎𝑛 = 2𝑛 −𝑛

𝑛+3

e) 𝑎𝑛 = ln(2𝑛 + 3)

f) 𝑎𝑛 = 𝑒2𝑛−5

Ejercicio 6:

Demuestra que la siguiente sucesión an es 2, siendo 𝑎𝑛 =−2𝑛+5

1−𝑛

Progresiones

Término general de una progresión aritmética


5

Suma de términos de una P.A.


6

Progresiones geométricas

Definición

Una sucesión es una progresión geométrica cuando cada término se obtiene multiplicando el

anterior por un número fijo, llamado razón de la progresión. Por tanto, en una progresión

geométrica, el cociente entre dos términos consecutivos siempre es igual a la razón. En

consecuencia, una progresión geométrica queda determinada dando cualquier término y la

razón.

Si el primer término de una progresión geométrica es a1 y la razón es r, la progresión será:

a1 raa 12 raa 23 raa 34 ... raa nn 1

raa 12 2

13 raa 3

14 raa ... 1

1 nn raa

El término general de la progresión geométrica es: 1

1 nn raa


7

Ejemplo:

La sucesión 1, 2, 4, 16, 32, ... es una progresión geométrica de razón r = 2.

Su término general será: 11 22·1 nnna .

Con esto, por ejemplo: 5122910 a ; 44161759218604244

45 a .

EJERCICIO DE APLICACIÓN

14. Comprueba que las siguientes sucesiones son progresiones geométricas, halla el término

general y el valor del término duodécimo.

a) 5, 2

15,

4

45,

8

135, ... b) +1, 1, +1, 1, ... c) 1, +1, 1, +1, ...

Solución:

Una sucesión es una progresión geométrica si el cociente entre dos términos consecutivos es

siempre constante.

a) Para 5, 2

15,

4

45,

8

135, ... se cumple que:

2

3

10

15

5

2/15

1

2 a

a, y lo mismo sucede

para 2

3

60

90

2/15

4/45

2

3 a

a y para

3

4

a

a (compruébalo)

Como a1 = 5 y r = 2

3, su término general será:

1

2

3·5

n

na .

Por tanto, 2048

885735

2

3·5

11

12

a

b) Para +1, 1, +1, 1, ..., el cociente entre dos términos consecutivos es siempre 1; por

tanto, r = 1.

Su término general es 11 )1()1·(1 nnna ; luego 1)1(11

12 a

c) Para 1, +1, 1, +1, ... que también tiene razón 1, su término general es nn

na )1()1)·(1(1 ; siendo 112 a

Resuelve tú 15. Comprueba si las siguientes sucesiones son progresiones geométricas, halla el término

general y el valor del término noveno.

a) 2, 1, 1/2, 1/4, b) 1,02, 1,022, 1,023, ... c) 3, 3,3, 3,33, 3,333, …


8

[sol] a) 22

1n

; 2

17

b) n02,1 ; 902,1 ; c) No es pg; 3,33333333.

Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica Sea una progresión geométrica de primer término a1 y razón r.

Para hallar el valor de la suma

nn aaaaaaS 14321 ...

puede procederse así:

1. Se expresan todos los términos en función de 1a y de r:

11

21

31

2111 ...

nn rararararaaS (1)

2. Se multiplican los dos miembros de la igualdad anterior por r:

nn rararararararS 11

14

13

12

11 ... (2)

3. Se restan las igualdades anteriores, (1) (2), obteniéndose:

nraarSS 11 )1()1( 1nrarS

4. Se despeja S:

1

)1(

1

)1( 11

r

ra

r

raS

nn

Ejemplo:

La suma de los 10 primeros términos de la progresión 1, 2, 4, 8, ... es

102312

1)1·(210

S .

Suma de infinitos términos consecutivos cuando 1r

Si la razón, r, es menor que 1 en valor absoluto (esto es, 1r ), podemos plantearnos la suma

de infinitos términos consecutivos. Dicha suma vale:

r

a

r

aS

11

)1( 11 ,

pues en la fórmula general el valor de rn se hace cada vez menor (tiende a 0), cuando n tiende

a infinito. Por ejemplo, si r = 0,8, para n = 20 se tiene 01,08,02020 r ; y si n = 60,

0000015,08,0 60 , cantidad cada vez más insignificante.


9

Ejemplo:

La suma 100 + 50 + 25 + 12,5 + ... (infinitos términos, con r = 1/2) vale: 2002/11

100

S

.

EJERCICIO

16. Halla las siguientes sumas:

a) (1,01) + (1,01)2 + (1,01)3 + (1,01)4 + (1,01)5 + (1,01)6 b) 7 + 7/3 + 7/9 + 7/27 + … (infinitos términos)

Solución:

a) Es la suma de 6 términos consecutivos de una progresión geométrica con: a1 = 1,01 y r =

1,01. Por tanto:

S = (1,01) + (1,01)2 + (1,01)3 + (1,01)4 + (1,01)5 + (1,01)6 = 213535,6101,1

)101,1·(01,1 6

b) Como r = 1/3, la suma de los infinitos términos será:

5,102

21

3/11

7

S

Resolver 17. Halla las siguientes sumas:

a) 1 + 2 + 4 + 8 + …. (20 términos)

b) 10 5 + 2,5 1,25 + … (infinitos términos) [sol] a) 1048576, b) 20/3

Producto de n términos consecutivos de una progresión geométrica Sea una progresión geométrica de primer término a1 y razón r.

Para hallar el valor del producto

nn aaaaaP ··...··· 1321

puede procederse así:

1. Se observa que ...··· 23121 nnn aaaaaa , pues:

nn

n aar

araaa ··· 1112 ; nn

nn aaaa

r

araaa ···· 112

1223

; …


10

2. Se halla )··...···)·(··...···( 132113212

nnnn aaaaaaaaaaP

)·)·(·)·(·)·...·(·)·(·)·(·( 12132231212 aaaaaaaaaaaaP nnnnnn

nnaaP )·( 1

2

n

naaP )·( 1

Ejemplo:

El producto de los 10 primeros términos de la progresión geométrica 3, 6, 12, 36, .. es: 4510902010910

101 2·32·3)2·3·3()·( aaP (Observa que 9

10 2·3a )

El producto de los 18 primeros términos de la progresión geométrica 256, 128, 64, .. es: 714161516

161 2)2()2·256·256()·( aaP

Sucesiones · 2017. 8. 30. · Matemática II Científico IDAL 2017 Sucesiones 5 Prof. F. Díaz-...

Documents

Transcript of Sucesiones · 2017. 8. 30. · Matemática II Científico IDAL 2017 Sucesiones 5 Prof. F. Díaz-...