Walter Ramos Melo 1

1

SUCESIONES

Una sucesión (de números reales) es una función

para cada , , y denotamos la sucesión por

Sucesión creciente

Una sucesión es creciente si ,

Sucesión estrictamente creciente

Una sucesión es estrictamente creciente si ,

Sucesión decreciente

Una sucesión es creciente si ,

Sucesión estrictamente decreciente

Una sucesión es estrictamente creciente si ,

Sucesión monótona

Se denomina una sucesión monótona si es o creciente o estrictamente creciente o decreciente o estrictamente

decreciente.

Sucesiones acotadas

Una sucesión es acotada superiormente si existe , denominado cota superior de la sucesión, tal que,

, .

Una sucesión es acotada inferiormente si existe , denominado cota inferior de la sucesión, tal que,

, .

Una sucesión es acotada si lo es superior e inferiormente, esto es, existen tales que, ,

.

Walter Ramos Melo 2

2

Convergencia de una sucesión

es convergente si

Principio Arquimediano

Axioma de completitud

Si es una sucesión de números reales creciente y acotada superiormente, entonces es

convergente.

El límite tiene la propiedad de ser la menor de sus cotas superiores.

Si es una sucesión de números reales decreciente y acotada inferiormente, entonces es

convergente.

El límite tiene la propiedad de ser la mayor de sus cotas inferiores.

Toda sucesión monótona y acotada es convergente.

Toda sucesión convergente es acotada.

El recíproco del Axioma de Completitud no se cumple. Esto es, NO es cierto que si una sucesión sea convergente,

entonces ésta deba ser monótona y acotada. Solo se puede afirmar que tendrá que ser acotada, según la

proposición de arriba.

Walter Ramos Melo 3

3

Tampoco se cumple en general que el límite de una sucesión de números reales convergente sea su cota superior

mínima ni tampoco una cota inferior.

Teorema del Sandwich

Sean , , sucesiones convergentes con

y sea una sucesión tal que

Entonces converge y

Ejercicios

01. Sea una sucesión de números positivos tal que: y para todo n 0 ù.

a) Demuestre que la sucesión es monótona.

b) Pruebe que la sucesión es acotada.

c) Por el Axioma de Completitud la sucesión es convergente. Calcule el límite.

Resolución

a) Como

multiplicamos por y por ser positiva no altera la desigualdad

÷

÷

Esto implica que la sucesión es estrictamente decreciente, por lo tanto es monótona

b) Como la sucesión es decreciente entonces es acotada superiormente por el primer término .

Como los términos son positivos la sucesión esta acotada inferiormente por el número cero.

Como es acotada superiormente e inferiormente, entonces la sucesión es acotada.

Walter Ramos Melo 4

4

c) Como es convergente, implica que:

÷

÷

÷

ˆ

02. Una función con dominio se dice creciente (decreciente) si para todo con se tiene

que .

Considere una sucesión en y una función con dominio . Muestre que:

a) Si es creciente y es creciente entonces la sucesión es creciente.

b) Si es creciente y es decreciente entonces la sucesión es decreciente.

c) Si es decreciente y es creciente entonces la sucesión es decreciente.

d) Si es decreciente y es decreciente entonces la sucesión es creciente.

Resolución

a) Si es creciente:

œ n 0 ù, , con

como es creciente, entonces

entonces es creciente

b) Si es creciente:

œ n 0 ù, , con

Walter Ramos Melo 5

5

como es decreciente, entonces

entonces es decreciente

c) Si es decreciente:

œ n 0 ù, , con

como es creciente, entonces

entonces es decreciente

d) Si es decreciente:

œ n 0 ù, , con

como es decreciente, entonces

entonces es creciente

03. Sean y sucesiones de números de reales. Muestre que

a) Si e son ambas crecientes (resp. decrecientes) entonces la sucesión es

creciente (resp. decreciente).

b) Si e son ambas crecientes (resp. decrecientes) con términos positivos entonces la

sucesión es creciente (resp. decreciente).

c) Si es creciente (resp. decreciente) e es decreciente (resp. creciente) con términos

positivos entonces la sucesión es creciente (resp. decreciente).

Resolución

a) Si es creciente:

œ n 0 ù, ... (1)

Si es creciente:

œ n 0 ù, ... (2)

sumando (1) y (2)

Walter Ramos Melo 6

6

entonces la sucesión es creciente

b) Si es creciente:

œ n 0 ù, ... (1)

Si es creciente:

œ n 0 ù, ... (2)

multiplicando (1) y (2) por ser términos positivos

entonces la sucesión es creciente

c) Si es creciente:

œ n 0 ù, ... (1)

Si es decreciente:

œ n 0 ù, , como tiene términos positivos

÷ ... (2)

multiplicando (1) y (2) por ser términos positivos

entonces la sucesión es creciente

04. Establezca si la sucesión dada es creciente, decreciente o no monótona. Además determine si estas son

acotadas o no justificando su respuesta.

a)

Walter Ramos Melo 7

7

b)

c)

d)

e)

Resolución

a) ÷

como:

÷

÷

÷

÷

÷

ˆ es estrictamente creciente

ˆ es monótona

para se tiene la cota inferior

como , entonces una cota superior es

Walter Ramos Melo 8

8

b)

pero , por lo que la sucesión no es monótona

Analizamos a donde tiende la sucesión

÷

÷

÷

œ n $ 2 se cumple

÷

ˆ

entonces a partir de n $ 2, la sucesión de decreciente, por lo que es acotada superiormente por y

como decrece entonces la cota inferior es 0.

ˆ La sucesión es acotada y no es monótona

Walter Ramos Melo 9

9

05. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones justificando cada una de ellas:

a) Una sucesión creciente y acotada inferiormente es convergente.

b) Una sucesión decreciente está acotada superiormente.

c) Una sucesión decreciente y acotada inferiormente es convergente.

Resolución

a) Sea una sucesión creciente, entonces es acotada inferiormente en

÷ œ n 0 ù,

Supongamos que converge en L

÷

œ n 0 ù, ... (1)

Como

÷

÷ ... (2)

de (1) y (2) hay contradicción

ˆ La proposición es FALSA

b) Sea una sucesión decreciente, entonces es acotada superiormente en

ˆ La proposición es VERDADERA

c) Sea una sucesión decreciente, entonces es acotada superiormente en

÷ œ n 0 ù,

Como es acotada inferiormente

› M 0 ú, œ n 0 ù,

Walter Ramos Melo 10

10

÷ › L # M :

÷ converge en L

ˆ La proposición es VERDADERA

06. Determine la monotonicidad y acotación de cada una de las siguientes sucesiones.

a)

b)

c)

d)

e)

(sugerencia: observe que )

Resolución

a) ÷

œ n 0 ù :

÷ œ n 0 ù :

ˆ es estrictamente creciente

Walter Ramos Melo 11

11

÷ e monótona, donde es acotada inferiormente en

No tiene cota superior dado que es estrictamente creciente

b) La sucesión es

como la sucesión decrece y luego es creciente, entonces no es monótona

Como el punto crítico del valor absoluto es:

2 - n = 0 ÷ n = 2, osea a partir del segundo término va a ser creciente, entonces la sucesión se puede

redefinir:

; v

÷

entonces converge en 1

÷ tiene cota inferior en 0 y cota inferior en 1

c) œ n 0 ù :

÷

÷

÷

÷

÷

÷

÷

Walter Ramos Melo 12

12

ˆ , œ n 0 ù

÷ es estrictamente decreciente

÷ es monótona

÷ la cota superior es

entonces converge en - 1

÷ la cota inferior es -1

d) La sucesión es

como la sucesión crece y decrece, entonces no es monótona

además œ n 0 ù

La cota inferior es - 1 y la cota superior es 1

e) La sucesión es

Como , entonces los ángulos van decreciendo desde hasta

entonces

co s( 12

)co s( 12

)

co s( 13

)co s( 13

)cos(

13

)cos(13

)

co s 1co s 1

Walter Ramos Melo 13

13

Entonces la sucesión es estrictamente creciente, por lo que es monótona, acotada inferiormente en 0 y

superiormente en 1

07. Demuestre, usando la definición, la convergencia de las siguientes sucesiones al límite mencionado.

a) , ,

b) , , L = 5

c) , , L = 0

d) , , L = 0

e) , , L = 0

Resolución

Si , entonces

œ , > 0, › 0 ù, ÷

a) œ , > 0, › 0 ù, ÷

÷

÷

÷

÷

÷

Walter Ramos Melo 14

14

÷

÷

÷

÷

÷

÷

ˆ

c) , , L = 0

œ , > 0, › 0 ù, ÷

Como

entonces buscamos

Demostración

÷

÷

Walter Ramos Melo 15

15

÷

÷

÷

÷

÷

ˆ

08. Supongamos que hay que hacer n pagos: dentro de un año, dentro de dos años y así sucesivamente

hasta dentro de n años.

a) Muestre que la cantidad que hay que depositar hoy en una cuenta de ahorro a una tasa de p% anual para

cubrir estos n pagos viene dado por

b) Muestre que si , entonces viene dado por

muestre para este caso que la sucesión es creciente y acotada.

Resolución

a) Sea el depósito a realizar hoy en la cuenta para tener la cantidad dentro de un año

Walter Ramos Melo 16

16

÷ ÷

Sea el depósito a realizar hoy en la cuenta para tener la cantidad dentro de dos años

÷ ÷

Análogamente

ˆ

÷

÷

ˆ

Es acotada inferiormente por , como es creciente no es acotada superiormente

Walter Ramos Melo 17

17

ˆ

b)

como

÷

Es la suma de n términos de una progresión geométrica de razón

÷

ˆ

Walter Ramos Melo 18

18

ˆ

Es acotada inferiormente por , como es creciente no es acotada superiormente

ˆ

09. Dado , > 0, calcula 0 ù tal que para todo se verifica donde , L vienen dados en cada

caso por:

a) ,

b) ,

c) (a > 0), L = 1

Walter Ramos Melo 19

19

Resolución

Si , entonces

œ , > 0, › 0 ù, ÷

c) œ , > 0, › 0 ù, ÷

Por media geométrica y aritmética

Sea v

÷ ÷ ÷ ... (1)

Como a > 0

’ Sea ÷ ÷

÷

Sea , b > 1

÷

÷

÷

÷

÷

Walter Ramos Melo 20

20

ˆ

’ Sea ÷ ÷

÷

÷

÷

÷

÷

ˆ

10. Demostrar, usando la definición de límites, que la sucesión de término general converge a 4

Resolución

Del dato

entonces

pero , se puede expresar como

entonces

Walter Ramos Melo 21

21

÷

÷ , por ser

÷

÷

÷

÷

÷

÷

÷

ˆ