Sucesiones infinitasSucesiones infinitas . Una sucesin infinita es una funcin cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos; es el valor de esta funcin para un entero n positivo dado. A veces se indica con solo escribir los primeros trminos de la sucesin en este captulo se consideran solo las sucesiones en las que los valores sean nmeros reales.EJEMPLO 42.1a) es la sucesin b) es la sucesin c) es la sucesin de cuadrados d) es la sucesin de enteros positivos pares 2, 4, 6, 8, 2n, e) es la sucesin de enteros impares positivos 1, 3, 5, 7, Lmites de una sucesin .Si es una sucesin infinita y L es un nmero, entonces que si se aproxima arbitrariamente a L cuando n crece sin lmite. Desde un punto de vista ms preciso, significa que para todo nmero real positivo hay un nmero positivo tal que cuando Para ilustrar lo que esto significa, se colocan los puntos L, L- en una recta numrica (fig. 42.1), donde es algn nmero real positivo. Ahora, si se colocan los puntos en la recta numrica, tarde o temprano habr un ndice tal que y todos los trminos subsiguientes de la sucesin quedaran dentro del intervalo (L-. LLL-

Fig.42.1Si entonces la sucesin converge a L. si existe un numero L tal que converge a L, entonces es convergente. Cuando no es convergente, entonces es divergente.EJEMPLO 42.2. Es convergente, por que Para comprobarlo, se observa que puede aproximarse arbitrariamente a 0 haciendo a n lo suficientemente grande. Esto se explica al observar que y as sucesivamente. Para comprobar que la definicin precisa se satisface, sea un nmero positivo cualquiera. Se toma como el entero ms pequeo mayor que entonces Por tanto, si entonces y, por consiguiente, Con esto se comprueba que EJEMPLO 42.3. Es una sucesin divergente, ya que el para cada nmero real L. de hecho, 2n aumenta arbitrariamente cuando n crece.Se escribe = si se vuelve arbitrariamente grande cuando n crece. En tal caso, diverge a . Dicho con mayor precisin, si y solo si, para cualquier numero c, sin importar cun grande sea, existe un numero positivo tal que, n , se tiene que c.De igual manera, se escribe = se vuelve arbitrariamente pequeo cuando n crece. En tal caso, diverge a Mejor dicho, y solo si, para cualquier numero c, sin importar cuan pequeo sea, existe un positivo tal que, cuando se tiene que Se escribir si es decir, la magnitud de crece arbitrariamente cuando n crece.EJEMPLO 42.4a) = Ntese que en el inciso c), la sucesin no converge a +ni a EJEMPLO 42.5La sucesin es divergente, pero no diverge a + ni a ni a . Sus valores oscilan entre 1 y -1.Una sucesin esta acotada por encima si hay numero c tal que para todo n y se entiende que est acotada por debajo si existe un numero b tal que b para todo n. una sucesin est acotada (limitada) si est limitada tanto por encima como por debajo. Est claro que una sucesin est acotada si y solo si hay un nmero d tal para todo n.EJEMPLO 42.6a) La sucesin est acotada por debajo (por ejemplo, por 0), pero no est acotada por encima.b) La sucesin est acotada. Observe que es -1, 1, -1, entonces, para toda n.Teorema 42.1Toda la sucesin convergente es acotada.En el problema 5 se presenta una demostracin.El reciproco del teorema 42.1 es falso. Por ejemplo, la sucesin es acotada pero no convergente.Las operaciones aritmticas estndar sobre sucesiones convergentes resultan en sucesiones convergentes, como lo demuestran los resultados siguientes intuitivamente obvios.Teorema 42.2 Entonces:a) k=k donde k es una constante.b) donde k es una constantec) d) e) f) siempre que d para todo n.Para ver las demostraciones de los incisos c) y e), repase el problema 10.Los siguientes hechos sobres sucesiones son intuitivamente claros.Teorema 42.3Si para toda n, entonces Para ver una demostracin, consulte el problema 7.Teorema 42.4a) Si En particular, si a entonces b) Si entonces En el problema 8 puede consultar las demostraciones respectivas.Teorema 42.5(Teorema del sndwich o teorema de intercalacin). y existe un entero m tal que para todo n entonces Para ver una demostracin, repase el problema 11.Corolario 42.6,Sin y hay un numero m tal que para todo , entonces Esta es una consecuencia del teorema 42.5 y el hecho de que equivale a EJEMPLO 42.7 Para comprobarlo, use el corolario 42.6, observando que Teorema 42.7Sea una funcin continua en y sea donde todos los trminos estn en el dominio de Entonces Vase el problema 33.Es evidente que si una sucesin converge o no, no se ver afectada si se borran, suman o alteran un nmero finito de trminos en su comienzo. La convergencia depende de que sucede en el largo plazo.Es necesario ampliar la nocin de sucesiones infinitas al caso donde se permite que el dominio de una sucesin sea el conjunto de enteros no negativos o cualquier conjunto que conste de todos los enteros mayores o iguales que un entero fijo. Por ejemplo, si se toma el dominio como el conjunto de enteros no negativos, entonces indicara la sucesin de enteros impares positivos, y representara la sucesin, 1,Sucesiones montonas .a) Una sucesin es no decreciente si para todo b) Una sucesin es creciente si para todo c) Una sucesin es no creciente si para todo d) Una sucesin es decreciente para todo .e) Una sucesin es montona si es no decreciente o no creciente.Claramente, toda sucesin creciente es no decreciente (pero no recprocamente), y toda sucesin decreciente es no creciente (pero no recprocamente).EJEMPLO 42.8a) La sucesin 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, es no decreciente, pero no creciente.b) -1, -1, -2, -2, -3, -3, -4, -4,es no creciente, pero no decreciente.Una propiedad bsica e importante del sistema de nmeros reales est dada por el siguiente resultado. Su demostracin va ms all del objetivo de esta obra.Teorema 42.8.Toda sucesin montona acotada es convergente.Hay varios mtodos para mostrar que una sucesin es no decreciente, creciente, no creciente o decreciente. En el caso siguiente, la propiedad es creciente.Mtodo 1: demuestre que .EJEMPLO 42.9.Considere . Entonces, por tanto, Ya que Mtodo 2: cuando todo EJEMPLO 42.10.Use el mismo ejemplo anterior.

Mtodo 3: halle una funcin diferenciable tal que = para todo n, y demuestre que para todo(y, por tanto, que f es una funcin creciente para xEJEMPLO 42.11.Considere de nuevo para todo x.PROBLEMAS RESUELTOS.1. En cada una de las sucesiones siguientes, escriba la frmula para el trmino n-esimo y determine el lmite (si existe). Supngase que n= 1, 2, 3,

0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, a) b) c) Esto es intuitivamente claro, pero tambin puede aplicarse el teorema 42.3 a la sucesin como .d) .e) Ntese que en virtud del teorema 42.4b).f) .

2. Evalu en los casos siguientes:

a) Recurdese que por el problema 13 del captulo 7. As, Un resultado semejante se cumple cuando es un cociente de los polinomios del mismo grado.

b) Recurdese que por el problema 13 del captulo 7. Entonces, Un resultado semejante se obtiene cuando es una funcin racional cuyo numerador tiene un grado mayor que el denominador (y cuyos primeros coeficientes son del mismo signo).

c) Recurdese que por el problema 13 del capitulo7. as, El mismo resultado se cumple cuando es una funcin racional cuyo denominador tiene grado mayor que el numerador.

3. Para cada una de las sucesiones siguientes, determine si es no decreciente, creciente, no creciente, decreciente o ninguna de las anteriores. Luego determine su lmite, si existe.

Sea Entonces, por tanto, es una funcin creciente y, por ende, es una sucesin creciente.

Sea Entonces

Como De esta manera,

Por tanto, es decrecienteEl teorema 42.4b) indica que 4. Demuestre que la sucesin es convergente.De acuerdo con el teorema 42.8, es acotada, como 0ahora se demostrara que es decreciente. Observe que =5. Demuestre el teorema 42.1: toda sucesin convergente es acotada.Sea se toma Entonces, hay un entero positivo tal que, siempre que se tiene que . Por ende, para mediante la desigualdad triangular se obtiene

Si se toma M como el mximo de 1+se obtiene para todo n. as, es acotada.

6. Demuestre que la sucesin es divergente.Puesto que para la sucesin no es acotada. Entonces, por el teorema 42.1, la sucesin no puede ser convergente.

7. Pruebe el teorema 42.3: si para todo n, entonces Considere todo Como existe algn entero positivo m tal que, cuanto por tanto, Entonces, 8. Pruebe el teorema 42.4: a) si entonces si entonces a) Sea M y sea Entonces, Ahora cuando b) Sea Como Por el inciso a), Por lo tanto, Entonces, por el teorema 42.3,

9. Demuestre: Por el teorema 42.4 a). As, por el teorema 42.3.

10. Pruebe el teorema 42.2 c) y e).Sea c) Entonces existen enteros tales que para para Sea m el mximo de . Entonces, para Por lo tanto, para

d) Como resulta convergente, es acotada, por el teorema 42.1 y, por lo tanto, hay un nmero positivo M tal que para todo n. sea Si existe un entero tal que, para por consiguiente, para Tambin existe un tal que para Sea m el mximo de

11. Demuestre el teorema de intercalacin: si existe un entero m tal que para todo entonces Sea Existe un entero tal que para Ahora supngase que Como Pero

As, Por tanto,

.

PROBLEMAS COMPLEMENTERIOS.

En los problemas 12 a 29, determine para cada sucesin si es acotada o no y si es no decreciente, creciente, no creciente o decreciente. Indique asimismo si es convergente y, si es posible, establezca su lmite. (nota: si la sucesin tiene un lmite finito, debe ser acotada; en cambio, si tiene un lmite infinito, debe ser no acotada.)12. respuesta: no decreciente, creciente para limite +13. respuesta: acotada; sin limite14. respuesta: creciente, limite +15. respuesta: creciente para 16. respuesta: decreciente para 17. respuesta: acotada; sin limite18. respuesta: decreciente; limite 019. Respuesta: no creciente; decreciente para 20. respuesta: decreciente para 21. respuesta: creciente; limite 322. respuesta: creciente; limite 123. respuesta: decreciente; limite 024. respuesta: limite 025. respuesta: decreciente; limite 026. respuesta: decreciente; limite 027. respuesta: creciente, limite 28. respuesta: creciente, limite+29. respuesta: creciente; limite+En los problemas 30 a 32, encuentre la formula plausible para una sucesin cuyos primeros trminos estn dados. Determine el lmite (si existe)de la sucesin.30. 1, respuesta:;el limite es+31. -1,1,-1,1,-1,1, respuesta: sin limite32. respuesta: decreciente, el lmite es 33. Demuestre el teorema 42.7. (sugerencia: sea Escoja tal que, para x en el dominio de para el cual se tiene que . Seleccionar m de manera que implique 34. Demuestre que para (sugerencia: 35. (CG) use una graficadora para analizar para luego determine analticamente el comportamiento de la sucesin.Respuesta: decreciente, el lmite es 36. (CG) use una graficadora para analizar para n=1 hasta n=10. Luego determine analticamente el comportamiento de la sucesin.Respuesta: decreciente para el lmite es 037. Demuestre que =0 equivalente a 38. Si para todo pruebe que 39. (CG)defina por recursin de la siguiente manera: para a) Use una graficadora para calcular para n=2,, 5.b) Demuestre que si existe, entonces c) Demuestre que existe.40. Defina por recursin de la siguiente manera: para a) Demuestre que para todo n.b) Demuestre que es creciente.c) Evaluar Respuesta: d) 641. Pruebe el teorema 42.2, incisos a), b), d) y f).