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NOTA IMPORTANTE: La rotación en torno al eje vertical (r) se ha incluido en este modelo, sinembargo, deben eliminarlas en la simulación, pues existe un lazo externo que se encarga demantener esa variable fija.

Modelo Matemático

1. Dinámica de vuelo

Sistemas de Coordenadas

1. Sistema Inercial fijo a la Tierra: sobre la superficie de la tierra, donde apunta hacia el norte, apunta al este y apunta en la dirección del vector degravedad.

2. Sistema Datum Inercial Fijo a la Tierra: corresponde al sistema desplazado a una altura de referencia en la trayectoria de vuelo en la dirección .

3. Sistema Generalizado fijo al Modulo Lunar: fijo al centro de gravedaddel módulo lunar. La siguiente figura ilustra los ejes de este sistema en el módulo lunar:

Variables de Movimiento

La siguiente tabla nos muestra las variables de movimiento que se relacionan con cada eje delsistema :

Eje longitudinal

lateral

vertical

Orientación Velocidad Lineal

Velocidad Angular Fuerza Momento

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Controles de Movimiento

Las variables manipuladas de nuestro sistema son el flujo saliente de masa por cada tobera, loscuales generan un empuje que permite el desplazamiento del módulo lunar.

Orientación del Módulo Lunar y Transformación de Coordenadas

La derivación de las ecuaciones de movimiento del módulo lunar se realizará en el sistema decoordenadas fijo al módulo . Sin embargo, para propósitos de control de trayectoria nosinteresa saber la posición del módulo referida a un sistema inercial, que en este caso será .

Esta orientación la expresaremos en función de ángulos de Euler, los cuales corresponden aángulos generados por la rotación de un sistema de ejes en torno a sus propios ejes, según seexplica a continuación.

Las rotaciones de puntos en el espacio tridimensional pueden expresarse matricialmente. Paraello, resulta útil recordar primero las relaciones de rotación en dos dimensiones y extender dichosresultados al caso tridimensional. Considere un punto fijo a un sistema de coordenadas

definido como

( ) Supongamos que el sistema es girado un ángulo en sentido anti horario (regla de la manoderecha) con respecto a un sistema de coordenadas . La posición del punto referida a se denotará por y estará dada por:

Usando prostaféresis, es posible establecer la siguiente relación:

[]

Por lo que un punto cualquiera del sistema girado , puede expresarse en el sistema haciendo:

en donde también se cumple que .

En el espacio es posible definir matrices de rotación en torno a cada uno de los ejes , y ,respectivamente como:

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Definiendo un sistema de coordenadas fijo a un cuerpo que rota, y queinicialmente es coincidente con un sistema inercial fijo , la rotación en ángulos

de Euler corresponden a girar secuencialmente el sistema fijo al cuerpo en torno al eje unángulo , luego con el sistema resultante girarlo en torno a su nuevo eje un ángulo , yfinalmente girar este segundo nuevo sistema en torno a un ángulo . Los ángulos de Euler sonentonces son , los que definen una rotación secuencial para obtener la relación entre unsistema girado con respecto a otro. Esta transformación puede expresarse como:

Donde corresponde al mismo punto expresando en el sistema inercial y

Transformación de Velocidades Angulares

La matriz de rotación obtenida anteriormente puede emplearse para expresar la velocidadangular de rotación del módulo lunar en torno a sus propios ejes en términos develocidades angulares expresadas en ángulos de Euler   ̇ ̇̇. El vector de velocidadesangulares expresa la velocidad de giro del módulo relativo a sus propios ejes definidos por elsistema , mientras que expresa la velocidad de cambio de orientación del módulo relativo alsistema fijo .

Una manera de encontrar la relación entre y es observar que la velocidad de un punto fijo fijo a puede expresarse en las coordenadas de de dos maneras. Derivando con respecto

al tiempo la posición de :

Por otro lado, la velocidad instantánea del punto relativa a su propio sistema que gira avelocidad angular está dada por:

La expresión del vector en las coordenadas de permite encontrar la velocidad de relativaal sistema inercial:

= = ̂ Donde se define

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̂ Dadas estas dos relaciones para , es posible obtener que

̂ ⇒ ̂

y permite establecer que

̂ De lo anterior, es posible encontrar la relación entre y dada por:

2. Ecuaciones Dinámicas

La obtención del modelo dinámico será en base a la aplicación de la segunda ley de Newton sobrecada elemento de masa diferencial del módulo lunar.

Componentes de la aceleración

La velocidad de un punto en el sistema de coordenadas fijo al módulo lunar estará dadapor:

Donde debido a que se considera al cuerpo como rígido. De manera similar, la aceleración

del punto relativa al sistema solidario al módulo será:

 ̇ Si el origen de se desplaza relativo al sistema inercial , entonces la velocidad resultante delpunto será la suma de las velocidades locales y la velocidad de desplazamiento de relativo a , dada por :

Similarmente, las aceleraciones del punto referidas al sistema inercial pueden expresarsecomo:

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 ̇ ( ) ( ) ̇ ( )

La última igualdad de obtiene de la relación de cuerpo rígido . Evaluando las componentes

de la aceleración , es posible obtener:

 ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇

Ecuaciones de Fuerzas Generalizadas

Las ecuaciones de fuerzas generalizadas se obtienen al considerar la aplicación de fuerzasdistribuidas sobre elementos infinitesimales de masa . Por lo tanto, las fuerzas externas netas

, , actuando sobre el cuerpo del módulo lunar deben ser equivalentes a la suma (integral) de

todos los elementos infinitesimales de fuera. Esto es:

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

Como el origen del sistema coincide con el centro de gravedad del módulo lunar, entonces

∫ ∫ ∫

Con lo que las ecuaciones de fuerza de un cuerpo rígido con coordenadas inerciales se reducena:

 ̇  ̇̇

Ecuaciones de Momentos Generalizados

La segunda ley de Newton para el caso rotacional establece que el momento inercial es igual a lasumatoria de momentos que actúan sobre elementos infinitesimales de masa en la posición

del cuerpo:

∫ ∫ ∑ Reemplazando en lo anterior los momentos de inercia principales:

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∫∫∫

Y los productos de inercia

∫∫∫

Se obtienen las ecuaciones de momentos generalizados:

̂ ∑

Donde

es la matriz de inercia generalizada.

Como los momentos son calculados desde el centro de masas de una esfera hueca (y se desprecia

la masa de las toberas), por simetría se cumple que:

Con lo que las ecuaciones de momentos generalizados se reducen a:

̇̇ ̇

El momento de inercia de una esfera maciza de masa , de radio externo y radio interno estádado por:

Si la masa inicial del módulo lunar es , entonces la densidad del combustible (considerando que al comienzo) es:

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En otro instante cualquiera, el volumen de combustible instantáneo debe cumplir que:

De donde se obtiene que:

√ Con lo que es posible establecer que .

Fuerzas y Momentos Externos

Para completar el modelo es necesario incorporar las fuerzas y momentos externos. Estos son:

a. Términos Gravitacionales: La fuerza gravitacional en coordenadas del sistema inercial está dada por: La proyección de las componentes gravitacionales sobre los ejes del sistema decoordenadas fijo al módulo lunar es:

b. Términos de empuje de las Toberas: La segunda ley de Newton expresa que la fuerza neta

es igual a la derivada del momento. Para el caso de la masa que expulsa la tobera auna velocidad , la fuerza neta que este ejerce a la base del módulo lunar estará dadapor:

Donde se cumple que la fuerza siempre se ejerce en la dirección . Asumimos que lavelocidad con que se expulsa la masa desde cualquiera de las toberas es constante, y secumple que , con lo que el módulo de la fuerza que ejerce la tobera está dado por:

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Por lo tanto, el efecto del empuje de las toberas en la fuerza generalizada resultante es: Para el caso de los momentos generalizados, es fácil observar que:

Ecuaciones de Cambio de Masa

Debido a que la masa del módulo lunar no es constante, se debe relacionar el cambio de masa delsistema con el flujo de masa de las toberas. Dado lo anterior, se debe cumplir que:

̇ Donde corresponde a la masa del sistema en el tiempo .

3. Sistema de Ecuaciones del Módulo Lunar

Empleando las ecuaciones de cinemática y dinámica obtenidas en las secciones anteriores, eincorporando las fuerzas externas al sistema, el sistema de trece ecuaciones de movimiento seresumen en:

̇̇ ̇ ̇  ̇̇  ̇

  ̇̇ ̇̇ ̇̇