Problemas básicos con respuestas

Ejercicio 5.1

Use la ecuación de análisis (5.9) de la transformada de Fourier para calcular las transformadas de:

• (a) 1

2

𝑛−1𝑢 𝑛 − 1

• (b)1

2

|𝑛−1|

Dibuje y marque un periodo de la magnitud de cada transformada de Fourier.

Respuesta 5.1 (a)

• Sea 𝑥 𝑛 = (1/2)𝑛−1𝑢[𝑛 − 1] . Usando la ecuación de análisis de transformada de Fourier (5.9), la transformada de Fourier 𝑋(𝑒𝑗𝜔) de la señal es

• 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑛=−∞∞ 𝑥[𝑛]𝑒−𝑗𝜔𝑛

• = 𝑛=1∞ 1

2

𝑛−1𝑒−𝑗𝜔𝑛

• = 𝑛=0∞ 1

2

𝑛−1𝑒−𝑗𝜔(𝑛+1)

• = 𝑒−𝑗𝜔1

(1−(1/2)𝑒−𝑗𝜔)

Respuesta 5.1 (b)

• Sea 𝑥 𝑛 = (1/2)|𝑛−1|. Usando la ecuación de análisis de transformada de Fourier (5.9), la transformada de Fourier

𝑋 𝑒𝑗𝜔 de la señal es

• 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑛=−∞∞ 𝑥[𝑛]𝑒−𝑗𝜔𝑛

• = 𝑛=−∞0 1

2

−(𝑛−1)𝑒−𝑗𝜔𝑛 + 𝑛=1

∞ 1

2

𝑛−1𝑒−𝑗𝜔𝑛

• la segunda suma en el lado derecho de la ecuación anterior es exactamente la mismo que el resultado de la parte (a). Ahora,

• = 𝑛=−∞0 1

2

−(𝑛−1)𝑒−𝑗𝜔𝑛 = 𝑛=0

0 1

2

𝑛+1𝑒𝑗𝜔𝑛 = (1/

2)1

1−(1/2)𝑒𝑗𝜔

Ejercicio 5.2

Use la ecuación de análisis (5.9) de la transformada de Fourier para calcular las transformadas de:

• (a) 𝛿 𝑛 − 1 + 𝛿[𝑛 + 1]

• (b) 𝛿 𝑛 + 2 − 𝛿[𝑛 − 2]

Dibuje y marque un periodo de la magnitud de cada transformada de Fourier.

Respuesta 5.2 (a)

Sea 𝑥 𝑛 = 𝛿 𝑛 − 1 + 𝛿 𝑛 + 1 . Usando la ecuación de análisis de transformada de Fourier (5.9), la transformada de

Fourier 𝑋 𝑒𝑗𝜔 de la señal es

• 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑛=−∞∞ 𝑥[𝑛]𝑒−𝑗𝜔𝑛

• = 𝑒−𝑗𝜔 + 𝑒𝑗𝜔 = 2cos𝜔

Respuesta 5.2 (b)

Sea 𝑥 𝑛 = 𝛿 𝑛 + 2 − 𝛿 𝑛 − 2 . Usando la ecuación de análisis de transformada de Fourier (5.9), la transformada de

Fourier 𝑋 𝑒𝑗𝜔 de la señal es

• 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑛=−∞∞ 𝑥[𝑛]𝑒−𝑗𝜔𝑛

• = 𝑒2𝑗𝜔 − 𝑒−2𝑗𝜔 = 2𝑗 sin𝜔

Ejercicio 5.3

Determine la transformada de Fourier para – 𝜋 ≤ 𝜔 ≤ 𝜋 en cada caso de las siguientes señales periódicas:

• (a) 𝑠𝑒𝑛(𝜋

3𝑛 +

𝜋

4)

• (b) 2 + 𝑐𝑜𝑠(𝜋

6𝑛 +

𝜋

8)

Respuesta 5.3

tomamos nota de la sección 5.2 que una señal 𝑥 𝑛 periódica con representación en la serie de Fourier

• 𝑥 𝑛 = 𝑘=<𝑁> 𝑎𝑘𝑒𝑗𝑘( 2𝜋 𝑁)𝑛

• Tiene una transformada de Fourier

• 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑘=−∞∞ 2𝜋𝑎𝑘𝛿(𝜔 −

2𝜋𝑘

𝑁) .

Respuesta 5.3 (a)

Considere la señal 𝑥1 𝑛 = sin(𝜋

3𝑛 +

𝜋

4). Tomamos la nota que el

periodo fundamental de la señal 𝑥1 𝑛 es 𝑁 = 6 La señal puede ser escrita como

• 𝑥1 𝑛 =1

2𝑗𝑒𝑗

𝜋

3𝑛+

𝜋

4 −1

2𝑗𝑒−𝑗

𝜋

3𝑛+

𝜋

4 =1

2𝑗𝑒𝑗

𝜋

4𝑒𝑗2𝜋

6𝑛 −

1

2𝑗𝑒−𝑗

𝜋

4𝑒−𝑗2𝜋

6𝑛

• De esto obtenemos los coeficientes no-cero de la serie de Fourier 𝑎𝑘 𝑑𝑒 𝑥1 𝑛 en el rango −2 ≤ 𝑘 ≤ 3 como

• 𝑎1 =1

2𝑗𝑒𝑗

𝜋

4 , 𝑎−1 = −1

2𝑗𝑒−𝑗

𝜋

4 ,

• Por lo tanto, en el rango −𝜋 ≤ 𝜔 ≤ 𝜋, obtenemos

• 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 2𝜋𝑎1𝛿 𝜔 −2𝜋

6+ 2𝜋𝑎−1𝛿 𝜔 +

2𝜋

6

• =𝜋

𝑗{𝑒

𝑗𝜋

4 𝛿 𝜔 +2𝜋

6− 𝑒−

𝑗𝜋

4 𝛿 𝜔 −2𝜋

6}

Respuesta 5.3 (b)

Considerar la señal 𝑥2 𝑛 = cos(𝜋

6𝑛 +

𝜋

8). Notamos que el periodo

fundamental de la señal 𝑥2 𝑛 es 𝑁 = 12. La señal puede ser escrita como

• 𝑥2 𝑛 = 2 +1

2𝑗𝑒𝑗

𝜋

6𝑛+

𝜋

8 −1

2𝑗𝑒−𝑗

𝜋

6𝑛+

𝜋

8 = 2 +1

2𝑗𝑒𝑗

𝜋

8𝑒𝑗2𝜋

12𝑛 −

1

2𝑗𝑒−𝑗

𝜋

8𝑒−𝑗2𝜋

12𝑛

•

• De esto, obtenemos los coeficientes no-Cero de la serie de Fourier 𝑎𝑘 𝑑𝑒 𝑥2 𝑛 en el rango −5 ≤ 𝑘 ≤ 6 como

• 𝑎0 = 2, 𝑎1 =1

2𝑒𝑗

𝜋

6 , 𝑎−1 = −1

2𝑒−𝑗

𝜋

8 ,

•

• Por lo tanto, en el rango −𝜋 ≤ 𝜔 ≤ 𝜋 , obtenemos

• 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 2𝜋𝑎0𝛿(𝜔) + 2𝜋𝑎1𝛿 𝜔 −2𝜋

12+ 2𝜋𝑎−1𝛿 𝜔 +

2𝜋

12

• = 4𝜋𝛿 𝜔 + 𝜋{𝑒𝑗𝜋

8 𝛿 𝜔 −𝜋

6− 𝑒−

𝑗𝜋

8 𝛿 𝜔 −𝜋

6}

Ejercicio 5.4

Use la ecuación de síntesis (5.8) de la transformada de Fourier para calcular las transformadas inversas de Fourier de:

• (a) 𝑋1 𝑒𝑗𝜔 = 𝑘=−∞∞ {2𝜋𝛿 𝜔 − 2𝜋𝑘 + 𝜋𝛿 𝜔 −

𝜋

2−

Respuesta 5.4 (a)

Usando la ecuación de síntesis de la transformada de Fourier (5.8)

• 𝑥1 𝑛 = (1/2𝜋) −𝜋𝜋𝑋1(𝑒

𝑗𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑑𝜔

• = (1/2𝜋) −𝜋𝜋[2𝜋𝛿 𝜔 + 𝜋𝛿 𝜔 −

𝜋

2+ 𝜋𝛿 𝜔 +

𝜋

2]𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑑𝜔

• 𝑒𝑗0 +1

2𝑒𝑗

𝜋

2𝑛+ (1/2)𝑒

−𝑗𝜋

2𝑛

• 1 + cos(𝜋𝑛/2)

Respuesta 5.4 (b)

• Usando la ecuación de síntesis de la transformada de Fourier (5.8)

• 𝑥2 𝑛 = (1/2𝜋) −𝜋

𝜋𝑋2(𝑒

𝑗𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑑𝜔

• = −1

2𝜋 −𝜋02𝑗𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑑𝜔 +

1

2𝜋 0𝜋2𝑗𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑑𝜔

• = (𝑗/𝜋) −1−𝑒−𝑗𝑛𝜋

𝑗𝑛+

𝑒𝑗𝑛𝜋−1

𝑗𝑛

• = −(4/(𝑛𝜋))𝑠𝑖𝑛2 𝑛𝜋/2

Ejercicio 5.5

Use la ecuación de síntesis (5.8) de la transformada de Fourier

para calcular las transformadas inversas de Fourier de 𝑋 𝑒𝑗𝜔 =

|𝑋 𝑒𝑗𝜔 |𝑒𝑗∡𝑋(𝑒𝑖𝜔) donde

• 𝑋2 𝑒𝑗𝜔 = 1, 0 ≤ 𝜔 ≤

𝜋

4

0,𝜋

4≤ 𝜔 ≤ 𝜋

𝑦 ∡𝑋 𝑒𝑗𝜔 = −3𝜔

2

• Use su respuesta para determinar los valores de n para los cuales 𝑥[𝑛] = 0.

Respuesta 5.5

• De la información dada,

• 𝑥 𝑛 = (1/2𝜋) −𝜋𝜋𝑋(𝑒𝑗𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑑𝜔

• = (1/2𝜋) −𝜋

𝜋|𝑋(𝑒𝑗𝜔)|𝑒𝑗∢{𝑋 𝑒𝑗𝜔 } 𝑒𝑗𝜔𝑛𝑑𝜔

• = (1/2𝜋) −𝜋/4𝜋/4

𝑒(−3/2)𝜔𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑑𝜔

• =sin

𝜋

4𝑛−

3

2

𝜋 𝑛−3

2

• La señal 𝑥 𝑛 es cero cuando 𝜋

4𝑛 −

3

2es un múltiplo entero

no-cero de π o cuando 𝑛 → ∞. El valor de 𝜋

4𝑛 −

3

2. Nunca

puede ser tal de que sea un múltiplo entero no cero de pi. Por lo tanto, 𝑥 𝑛 = 0 sólo para 𝑛 = ±∞.

Ejercicio 5.6

Dado que 𝑥[𝑛] tiene transformada de Fourier 𝑋(𝑒𝑗𝜔), exprese las transformadas de Fourier de las siguientes señales en

términos de 𝑋(𝑒𝑗𝜔). Puede usar las propiedades de la transformada de Fourier enumeradas en la tabla 5.1

• (a) 𝑋1 𝑛 = 𝑥 1 − 𝑛 + 𝑥[−1 − 𝑛]

• (b) 𝑋2 𝑛 =𝑥∗ −𝑛 +𝑥[𝑛]

2

• (c) 𝑋2 𝑛 = (𝑛 − 1)2𝑥[𝑛]

Respuesta 5.6 (a)

A lo largo de este problema, asumimos que

• 𝑥 𝑛𝐹𝑇𝑋1 𝑒𝑗𝜔 .

(a) Usando la propiedad de inversión de tiempo (Sec. 5.3.6), Tenemos

• 𝑥 −𝑛𝐹𝑇𝑋 𝑒−𝑗𝜔 .

Usando la propiedad de cambio de tiempo (Sec. 5.3.3) en esto, obtenemos

• 𝑥 −𝑛 + 1𝐹𝑇𝑒−𝑗𝜔𝑛 𝑋 𝑒−𝑗𝜔 and 𝑥 −𝑛 − 1

𝐹𝑇𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑋 𝑒−𝑗𝜔

• Por lo tanto

• 𝑥1 𝑛 = 𝑥 −𝑛 + 1 + 𝑥 −𝑛 − 1𝐹𝑇

𝑒−𝑗𝜔𝑛 𝑋 𝑒−𝑗𝜔 +

𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑋 𝑒−𝑗𝜔

•𝐹𝑇2𝑋 𝑒−𝑗𝜔 cos𝜔

Respuesta 5.6 (b)

Usando la propiedad de inversión de tiempo (Sec. 5.3.6), Tenemos

• 𝑥 −𝑛𝐹𝑇𝑋 𝑒−𝑗𝜔 .

Usando la propiedad de conjugación en esto, tenemos

• 𝑥∗ −𝑛𝐹𝑇𝑋∗ 𝑒𝑗𝜔 .

Entonces,

• 𝑥2 𝑛 =1

2𝑥∗ −𝑛 + 𝑥 𝑛

𝐹𝑇 1

2𝑋 𝑒−𝑗𝜔 + 𝑋∗ 𝑒𝑗𝜔

•𝐹𝑇ℛ𝑒{𝑋 𝑒𝑗𝜔 }

Respuesta 5.6 (c)

• Usando la propiedad de diferenciación en la frecuencia (Sec. 5.3.8), tenemos

• 𝑛𝑥 𝑛𝐹𝑇𝑗𝑑𝑋(𝑒𝑗𝜔)

𝑑𝜔

• Utilizando misma propiedad por segunda vez,

• 𝑛2𝑥 𝑛𝐹𝑇−

𝑑2𝑋 𝑒𝑗𝜔

𝑑2𝜔

• Por lo tanto,

• 𝑥3 𝑛 = 𝑛2𝑥 𝑛 − 2 𝑛𝑥 𝑛 + 1𝐹𝑇

−𝑑2𝑋 𝑒𝑗𝜔

𝑑2𝜔− 2 𝑗

𝑑𝑋 𝑒𝑗𝜔

𝑑𝜔+

𝑋(𝑒𝑗𝜔)

Ejercicio 5.7

Para cada una de las siguientes transformadas de Fourier, use las propiedades de la transformada de Fourier (tabla 5.1) para determinar si la señal correspondiente en el dominio del tiempo es: (i) real, imaginaria o ni lo uno ni lo otro; (ii) par, impar, o ninguna de las dos. Haga esto sin evaluar la inversa de las transformadas dadas.

• (a) 𝑋1(𝑒𝑗𝜔) = 𝑒−𝑗𝜔 𝑘=1

10 sin 𝑘𝜔

• (b) 𝑋2 𝑒𝑗𝜔 = 𝑗𝑠𝑒𝑛(𝜔)cos(5ω)

• (c) 𝑋3 𝑒𝑗𝜔 = 𝐴 𝜔 + 𝑒𝑗𝐵(𝜔) donde

• 𝐴(𝜔) 1, 0 ≤ |𝜔| ≤ 𝜋

8

0, 𝜋

8≤ |𝜔| ≤ 0

• 𝐵 𝜔 = −3𝜔

2+ 𝜋

Respuesta 5.7 (a)

Considerar la señal 𝑦1[𝑛] con la transformada de Fourier

• 𝑌1 𝑒𝑗𝜔 = 𝑘=110 sin(𝑘𝜔)

Vemos que 𝑌1 𝑒𝑗𝜔 es real e impar. De la tabla 5.1 sabemos que la transformada de Fourier de una señal real e impar es puramente imaginaria e impar. Por lo tanto, podemos decir que la transformada de Fourier de una señal puramente imaginaria e impar es real e impar. Usando esta observación, concluimos que 𝑦1[𝑛] es puramente imaginaria e impar.

Note ahora que

• 𝑋1 𝑒𝑗𝜔 = 𝑒−𝑗𝜔𝑌1 𝑒𝑗𝜔

•

• Por lo tanto, 𝑥1 𝑛 = 𝑦1[𝑛 − 1]. Entonces, 𝑥1 𝑛 es también puramente imaginara. Pero 𝑥1 𝑛 no es nunca impar.

Respuesta 5.7 (b) y (c)

• (b) notamos que 𝑋2 𝑒𝑗𝜔 es puramente imaginaria e impar. Por lo tanto, 𝑥2 𝑛 tiene que ser real e impar.

• (c) considere una señal 𝑦3[𝑛] cuya magnitud de la transformada de Fourier es 𝑌3 𝑒𝑗𝜔 = 𝐴(𝜔), y cuya fase de la transformada de Fourier es ∢ 𝑌3 𝑒𝑗𝜔 = −(3/2)𝜔. Puesto que 𝑌3 𝑒𝑗𝜔 = 𝑌3 𝑒−𝑗𝜔 y ∢ 𝑌3 𝑒𝑗𝜔 =− ∢ 𝑌3 𝑒𝑗𝜔 , podemos concluir que la señal 𝑦3 𝑛 es real (ver tabla 5.1, propiedad 5.3.4).

Ahora, considere la señal 𝑥3[𝑛] con la transformada de Fourier 𝑋3 𝑒𝑗𝜔 = 𝑌3 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔 = −𝑌3 𝑗𝜔 . Usando el resultado del párrafo previo y la propiedad de linealidad de la transformada de Fourier, podemos concluir que 𝑥3[𝑛] tiene que ser real. Ya que la transformada de Fourier 𝑋3 𝑒𝑗𝜔 no es nunca puramente imaginaria ni real, la señal 𝑥3[𝑛] no es nunca impar.

Ejercicio 5.8

Use las tablas 5.1 y 5.2 para determinar 𝑥[𝑛] cuando su transformada de Fourier es.

• 𝑋 𝑒𝑗𝜔 =1

1−𝑒𝑗𝜔

𝑠𝑒𝑛3

2𝜔

𝑠𝑒𝑛𝜔

2

+ 5𝜋𝛿 𝜔 , −𝜋 < 𝜔 ≤ 𝜋

Respuesta 5.8

considere la señal

• 𝑥1 𝑛 = 1, 𝑛 ≤ 1

0, 𝑛 > 1

De la tabla 5.2, sabemos que

• 𝑥1 𝑛𝐹𝑇𝑋1 𝑒𝑗𝜔 =

sin(3𝜔/2)

sin(𝜔/2)

Usando la propiedad de acumulación (Tabla 5.1, propiedad 5.3.5), tenemos

• 𝑘=−∞𝑛 𝑥1 𝑘

𝐹𝑇 1

1−𝑒−𝑗𝜔𝑋1 𝑒𝑗𝜔 + 𝜋𝑋1 𝑒𝑗0 𝑘−∞

∞ 𝛿(𝜔 −

Respuesta 5.8 (cont.)

También, en el rango −𝜋 < 𝜔 ≤ 𝜋

• 1𝐹𝑇2𝜋𝛿(𝜔)

Por lo tanto en el rango −𝜋 < 𝜔 ≤ 𝜋

• 𝑥 𝑛 = 1 + 𝑘=−∞𝑛 𝑥1 𝑘

𝐹𝑇 1

1−𝑒−𝑗𝜔𝑋1 𝑒𝑗𝜔 + 5𝜋𝛿(𝜔)

La señal 𝑥 𝑛 tiene la transformada de Fourier deseada. Podemos expresar 𝑥 𝑛 matemáticamente como

• 𝑥 𝑛 = 1 + 𝑘=−∞𝑛 𝑥1 𝑘 =

1, 𝑛 ≤ −2𝑛 + 3, −1 ≤ 𝑛 ≤ 14, 𝑛 ≥ 2

Ejercicio 5.9

Se dan las siguientes características acerca de una señal particular 𝑥[𝑛] con transformada de Fourier 𝑋(𝑒𝑗𝜔)

• 1. 𝑥 𝑛 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 > 0

• 2. 𝑥 0 > 0

• 3. 𝑔𝑚 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑠𝑒𝑛 𝜔 − 𝑠𝑒𝑛2𝜔

• 4. 1

2𝜋 −𝜋𝜋𝑋(𝑒𝑗𝜔)

2𝑑𝜔 = 3

Determine 𝑥[𝑛].

Respuesta 5.9

De la propiedad 5.3.4 en la tabla 5.1, sabemos que para una señal real 𝑥 𝑛 ,

• 𝒪𝒹 𝑥 𝑛𝐹𝑇𝒿ℐ𝓂{𝑋 𝑒𝑗𝜔 }

De la información dada,

• 𝒿ℐ𝓂 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑗 sin𝜔 − 𝑗 sin 2𝜔

• = (1/2) 𝑒𝑗𝜔 − 𝑒−𝑗𝜔 − 𝑒2𝑗𝜔 + 𝑒2𝑗𝜔

Por lo tanto

• 𝒪𝒹 𝑥 𝑛 = ℐℱ𝒯 𝒿ℐ𝓂 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = (1/2)(𝛿 𝑛 + 1 −

𝛿 𝑛 − 1 − 𝛿 𝑛 + 2 + 𝛿[𝑛 + 2])

Sabemos también que

• 𝒪𝒹 𝑥 𝑛 =𝑥 𝑛 − 𝑥 −𝑛

2

Respuesta 5.9 (cont.)

Y que 𝑥 𝑛 = 0 para 𝑛 > 0. Por lo tanto,

• 𝑥 𝑛 = 2 𝒪𝒹 𝑥 𝑛 = 𝛿 𝑛 + 1 − 𝛿 𝑛 + 2 , para 𝑛 < 0

Ahora tenemos que encontrar 𝑥 𝑛 . Usando la relación de Parseval, obtenemos

•1

2𝜋 −∞∞

𝑋 𝑒𝑗𝜔2𝑑𝜔 = 𝑛=−∞

∞ 𝑥[𝑛] 2 .

De la información dada podemos escribir

• 3 = (𝑥[0])2+ 𝑛=−∞−1 𝑥[𝑛] 2 = (𝑥[0])2+2

Esto da 𝑥 𝑛 = ±1. Pero ya que se nos da que 𝑥 𝑛 > 0, concluimos que 𝑥 𝑛 = 1, por lo tanto.

• 𝑥 𝑛 = 𝛿 𝑛 + 𝛿 𝑛 + 1 − 𝛿[𝑛 + 2]

Ejercicio 5.10

Use las tablas 5.1 y 5.2 junto con el hecho de que

• 𝑋 𝑒𝑖0 = 𝑛=−∞∞ 𝑥[𝑛]

•

Para determinar el valor numérico de

• 𝐴 = 𝑛=0∞ 𝑛

1

2

𝑛

Respuesta 5.10

De la tabla 5.2, sabemos que

• (1/2)𝑛𝑢[𝑛]𝐹𝑇 1

1−1

2𝑒−𝑗𝜔

Usando la propiedad 5.3.8, en la tabla 5.1,

• 𝑥 𝑛 = 𝑛(1/2)𝑛𝑢 𝑛𝐹𝑇𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑗

𝑑

𝑑𝜔

1

1−1

2𝑒−𝑗𝜔

=1

2𝑒−𝑗𝜔

(1−1

2𝑒−𝑗𝜔)2

Por consiguiente,

• 𝑛=0∞ 𝑛(1/2)𝑛= 𝑛=−∞

∞ 𝑥[𝑛] = 𝑋 𝑒𝑗0 = 2

Ejercicio 5.11

Considere una señal g[n] con transformada de Fourier 𝐺(𝑒𝑗𝜔)Suponga que

• 𝑔 𝑛 = 𝑥(2)[𝑛]

Donde la señal x[n] tiene transformada de Fourier 𝑋(𝑒𝑗𝜔).

Determine un número real a tal que 0 < a < 2π y 𝐺 𝑒𝑗𝜔 =

𝐺(𝑒𝑗(𝜔−𝑎)

Respuesta 5.11

Sabemos de la propiedad de expansión de tiempo (tabla 5.1 propiedad 5.3.7) que

• 𝑔 𝑛 = 𝑥2𝐹𝑇𝐺 𝑒𝑗𝜔 = 𝑋 𝑒𝑗2𝜔

Por lo tanto ,𝐺 𝑒𝑗𝜔 es obtenida por compresión 𝑋 𝑒𝑗𝜔 por un

factor de 2. Ya que sabemos que 𝑋 𝑒𝑗𝜔 es periódica con un

periodo de 2π, podemos concluir que 𝐺 𝑒𝑗𝜔 tiene un periodo

que es 1

22𝜋 = 𝜋. Por consiguiente,

• 𝐺 𝑒𝑗𝜔 = 𝐺 𝑒𝑗(𝜔−𝜋) y ∝= 𝜋

Ejercicio 5.12

Sea

• 𝑦 𝑛 =𝑠𝑒𝑛

𝜋

4𝑛

𝜋𝑛

2

∗𝑠𝑒𝑛𝜔𝑐𝑛

𝜋𝑛

Donde * denota la circunvolución y |ωc|≤π. Determine una restricción rigurosa en ωc la cual asegure que

• 𝑦 𝑛 =𝑠𝑒𝑛

𝜋

4𝑛

𝜋𝑛

2

Respuesta 5.12

Considere la señal

• 𝑥1 𝑛 =sin

𝜋

4𝑛

𝜋𝑛.

De la tabla 5.2, obtenemos la transformada de Fourier de 𝑥1 𝑛

• 𝑋1 𝑒𝑗𝜔 = 1, 0 < 𝜔 ≤

𝜋

4

0,𝜋

4< 𝜔 < 𝜋

La grafica de 𝑋1 𝑒𝑗𝜔 es como se muestra en la figura S5.12. ahora considere la señal 𝑥2 𝑛 = 𝑥1 𝑛

2. Usando la propiedad e multiplicación (Tabla 5.1, propiedad 5.5), obtenemos que la transformada de Fourier de 𝑥2 𝑛 es

• 𝑋1 𝑒𝑗𝜔 =1

2𝜋[𝑋1 𝑒𝑗𝜔 ∗ 𝑋1 𝑒𝑗𝜔 ]

Respuesta 5.12 (Cont.)

• Esta es graficada en la figura S5.13

Respuesta 5.12 (Cont.)

• Esta es graficada en la figura S5.13

Respuesta 5.12 (Cont.)

• Figura S5.12

Respuesta 5.12 (cont.)

De la figura S5.12 está claro que 𝑋2 𝑒𝑗𝜔 es cero para |𝜔| >

𝜋/2. Por el uso de la propiedad de circunvolución (Taba 5.1, propiedad 5.4), notamos que

• 𝑌 𝑒𝑗𝜔 = 𝑋2 𝑒𝑗𝜔 ℱ𝒯sin(𝜔𝑐𝑛)

𝜋𝑛

La grafica de ℱ𝒯sin(𝜔𝑐𝑛)

𝜋𝑛se muestra en la figura S5.12. esta

claro que si 𝑌 𝑒𝑗𝜔 = 𝑋2 𝑒𝑗𝜔 , entonces −𝜋/2 < 𝜔𝑐 ≤ 𝜋

Ejercicio 5.13

Un sistema LTI con respuesta al impulso ℎ1 𝑛 =1

3

𝑛𝑢[𝑛] se

conecta en paralelo con otro sistema LTI causal con respuesta al impulso ℎ2[𝑛]. La interconexión en paralelo que resulta que tiene la respuesta en frecuencia.

• 𝐻 𝑒𝑗𝜔 =−12+5𝑒−𝑗𝜔

12−7𝑒−𝑗𝜔+𝑒−𝑗2𝜔

Determine h2[n].

Respuesta 5.13

cuando dos sistemas LTI son conectados en paralelos los impulsos responsables del sistema total es la suma de los impulsos responsables de los sistemas individuales. Por lo tanto

• ℎ 𝑛 = ℎ1 𝑛 + ℎ2 𝑛

usando la propiedad 5.3.2 de l atabla 5.1

• 𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝐻1 𝑒𝑗𝜔 + 𝐻2 𝑒𝑗𝜔

Dado que ℎ1 𝑛 = 1/2 2𝑢[𝑛], obtenemos

• 𝐻1 𝑒𝑗𝜔 =1

1−1

2𝑒−𝑗𝜔

Por lo tanto

• 𝐻2 𝑒𝑗𝜔 =−12+5−𝑗𝜔

12−7𝑒−𝑗𝜔+𝑒−2𝑗𝜔−

1

1−1

2𝑒−𝑗𝜔

=−2

1−1

4𝑒−𝑗𝜔

Haciendo la transformada inversa de Fourier

• ℎ2 𝑛 − 2 1

4

𝑛𝑢[𝑛]

Ejercicio 5.14

Suponga que damos los siguientes hechos acerca de un sistema LTI S con respuesta al impulso h[n] y respuesta en frecuencia

𝐻 𝑒𝑗𝜔 :

• 1. 1

4

𝑛𝑢 𝑛 → 𝑔 𝑛 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑔 𝑛 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 2 𝑦 𝑛 < 0.

• 2. 𝐻 𝑒𝑗 𝜋 2 = 1

• 3.𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝐻 𝑒𝑗(𝜔−𝜋)

Determine h[n].

Respuesta 5.14

De la información dada, obtenemos la transformada de Fourier de 𝐺 𝑒𝑗𝜔

de 𝑔 𝑛

• 𝐺 𝑒𝑗𝜔 = 𝑔 0 + 𝑔[1]𝑒𝑗𝜔

También, cuando la entrada al sistema es 𝑥 𝑛 = 1

4

𝑛𝑢[𝑛], la salida es 𝑔 𝑛 .

Por consiguiente

• 𝐻 𝑒𝑗𝜔 =𝐺 𝑒𝑗𝜔

X 𝑒𝑗𝜔

De la tabla5.2, obtenemos

• 𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝑔 0 + 𝑔[1]𝑒𝑗𝜔 1 − (1/4)𝑒−𝑗𝜔 = 𝑔 0 + 𝑔 1 −

Respuesta 5.14 (cont.)Vemos que 𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝐻 𝑒𝑗(𝜔−𝜋) solo si ℎ[1] = 0, también tenemos

• 𝐻 𝑒𝑗𝜋/2) = ℎ 0 + ℎ 1 𝑒−𝑗𝜋

2 + ℎ 2 𝑒−2𝑗𝜋/2)

• = ℎ 0 − ℎ[2]

Ya que también estamos dando que 𝐻 𝑒𝑗𝜋/2) = 1, tenemos• ℎ 0 − ℎ 2 = 1 (S5.14-1)ahora notamos que

• 𝑔 𝑛 = ℎ 𝑛 ∗ {(14)𝑛𝑢[𝑛]}

• = 𝑘=02 ℎ 𝑘 {(1

4)𝑛−𝑘𝑢[𝑛 − 𝑘]}

Evaluando esta ecuación a 𝑛 = 2 , obtenemos

• 𝑔 2 = 0 =1

16ℎ 0 +

1

4ℎ 1 + ℎ[2]

Ya que ℎ[1] = 0,

•1

16ℎ 0 + ℎ 2 = 0 (S5.14-2)

Al resolver (S5.14-1) y (S5.14-2), obtenemos

• ℎ 0 =16

17, y 𝐻 2 = −

1

17.

Por lo tanto

• ℎ 𝑛 =16

17𝛿 𝑛 −

1

17𝛿 𝑛 − 2 .

Ejercicio 5.15

Sea la transformada de Fourier inversa de 𝑌(𝑒𝑗𝜔)

• 𝑦 𝑛 =𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑐𝑛

𝜋𝑛

2

Donde 0 < 𝜔𝑐 < 𝜋. Determine el valor de 𝜔𝑐 el cual asegure que

• 𝑌 𝑒𝑗𝜋 =1

2

Respuesta 5.15

Considere 𝑥[𝑛] = sin 𝜔𝑐𝑛 /(𝜋𝑛). La transformada de Fourier 𝑋(𝑒𝑗𝜔) de 𝑥[𝑛] es mostrada en la figura S5.15. Notamos que la señal dada 𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛]𝑥[𝑛]. por consiguiente, la transformada de Fourier 𝑌(𝑒𝑗𝜔) de 𝑦[𝑛] es

• 𝑌 𝑒𝑗𝜔 =1

2𝜋 <2𝜋>𝑋(𝑒

𝑗𝜃)𝑋(𝑒𝑗(𝜔−𝜃)) 𝑑𝜃

Empleando el enfoque usado en el ejemplo 5.15, podemos convertir la circunvolución periódica de arriba en una señal aperiódica por definición

• 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑋 𝑒𝑗𝜔 , −𝜋 < 𝜔 ≤ 𝜋

0, otra

Entonces podemos escribir

• 𝑌 𝑒𝑗𝜔 =1

2𝜋 −∞∞ 𝑋 𝑒𝑗𝜃 𝑋(𝑒𝑗(𝜔−𝜃)) 𝑑𝜃

Respuesta 5.15 (Cont.)• Esta circunvolución aperiódica del pulso rectangular 𝑋 𝑒𝑗𝜔

se muestra en la figura S5.15 con el periodo de onda cuadrada

𝑋 𝑒𝑗𝜔 . El resultado de esta circunvolución es como se

muestra en la figura S5.15

Respuesta 5.15 (Cont.)

• De la figura es claro que requerimos −1 + (2𝜔𝑐/𝜋) sea 1/2 , por lo tanto 𝜔𝑐 = 3𝜋/4.

Ejercicio 5.16

La transformada de Fourier de una señal particular es

• 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑘=03 1 2

𝑘

1−1

4𝑒−𝑗(𝜔− 𝜋 2𝑘

Puede demostrarse que

• 𝑥 𝑛 = 𝑔 𝑛 𝑞[𝑛]

Donde 𝑔[𝑛] tenga la forma 𝑎𝑛𝑢 𝑛 𝑦 𝑞[𝑛] sea una señal periódica con periodo N.

• (a) Determine el valor de 𝑎.

• (b) Determine el valor de 𝑁.

• (c) ¿Es 𝑥[𝑛] real?

Respuesta 5.16

Podemos escribir

• 𝑋 𝑒𝑗𝜔 =1

2𝜋

1

1−1

4𝑒−𝑗𝜔

∗ 2𝜋 𝑘=03 𝛿 𝜔 −

𝜋𝑘

2

Donde * denota la circunvolución aperiódica. Podemos escribir también esto como un circunvolución periódica

• 𝑋 𝑒𝑗𝜔 =1

2𝜋 02𝜋𝐺(𝑒𝑗𝜃)𝑄(𝑒𝑗(𝜔−𝜃))𝑑𝜃

Donde

• 𝐺 𝑒𝑗𝜔 =1

1−1

4𝑒−𝑗𝜔

Y

• 𝑄 𝑒𝑗𝜔 = 2𝜋 𝑘=03 𝛿 𝜔 −

𝜋𝑘

2para 0 ≤ 𝜔 < 2𝜋

Ejercicio 5.16 (a),(b) y (c)

(a) Haciendo la transformada inversa de Fourier de 𝐺 𝑒𝑗𝜔

(tabla 5.2), obtenemos 𝑔 𝑛 =1

4

𝑛𝑢 𝑛 . Por lo tanto 𝑎 = 1/4.

(b) Haciendo la transformada inversa de Fourier de 𝑄 𝑒𝑗𝜔

(tabla 5.2), obtenemos

• 𝑞 𝑛 = 1 +1

2𝑒𝑗

𝜋

2𝑛 +

1

4𝑒𝑗𝜋𝑛 +

1

8𝑒𝑗

3𝜋

2𝑛

La señal es periódica con periodo fundamental de 𝑁 = 4

(c) podemos fácilmente mostrar que 𝑋 𝑒𝑗𝜔 no está conjugada

simétricamente, por lo que x[n] es no real.

Ejercicio 5.17

La señal 𝑥 𝑛 = (−1)𝑛 tiene un periodo fundamental de 2 y los coeficientes correspondientes de la serie de Fourier 𝑎𝑘 . Use 1a dualidad para determinar los coeficientes de la serie de Fourier 𝑏𝑘de la señal 𝑔 𝑛 = 𝑎𝑘 con periodo fundamental de 2.

Respuesta 5.17

Usando la propiedad de dualidad, obtenemos

{−1}𝑛 𝐹𝑆𝑎𝑘

𝐹𝑆 1

𝑁(−1)−𝑘=

1

2(−1)𝑘

Ejercicio 5.18

Dado el hecho de que

• 𝑎|𝑛| ℱ 1−𝑎2

1−2 acos 𝜔+𝑎2, 𝑎 < 1,

Use la dualidad para determinar los coeficientes de la serie de Fourier de la siguiente señal continua con periodo 𝑇 = 1:

• 𝑥 𝑡 =1

5−4cos(2𝜋𝑡)

Respuesta 5.18

Se sabe que

1

2

|𝑛|𝐹𝑇 1 −

14

1 − cos𝜔 +14

=3

5 − 4cos𝜔

Podemos usar la ecuación de análisis de la transformada de Fourier para escribir

3

5 − 4 cos𝜔=

𝑛=−∞

∞1

2

|𝑛|

𝑒−𝑗𝜔𝑛

Puesto 𝜔 = −2𝜋𝑡 en la ecuación, y reemplazando la variable 𝑛 por la variable 𝑘

1

5 − 4 cos(2𝜋𝑡)=

𝑛=−∞

∞1

3

1

2

|𝑛|

𝑒𝑗2𝜋𝑘𝑡

Por comparación de ésta con la ecuación de síntesis de la serie de Fourier de

tiempo continuo, resulta inmediatamente evidente que 𝑎𝑘 =1

3

1

2

|𝑘|son los

coeficiente de la serie de Fourier de la señal 1/(5 − 4 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑡 )

Ejercicio 5.19

Considere un sistema LTI S causal y estable cuya entrada 𝑥[𝑛] y salida 𝑦[𝑛] estén relacionadas mediante una ecuación de diferencias de segundo orden

• 𝑦 𝑛 −1

6𝑦 𝑛 − 1 −

1

6𝑦 𝑛 − 2 = 𝑥[𝑛]

(a) Determine la respuesta en frecuencia 𝐻 𝑒𝑗𝜔 del sistema S.

(b) Determine la respuesta al impulso ℎ[𝑛] del sistema S.

Respuesta 5.19 (a)

haciendo la transformada de Fourier de ambos sitios de la ecuación de diferencias, tenemos

𝑌 𝑒𝑗𝜔 1 −1

6𝑒−𝑗𝜔 −

1

6𝑒−2𝑗𝜔 = 𝑋 𝑒𝑗𝜔

Por lo tanto,

• 𝐻 𝑒𝑗𝜔 =𝑌 𝑒𝑗𝜔

𝑋 𝑒𝑗𝜔=

1

1−1

6𝑒−𝑗𝜔−

1

6𝑒−2𝑗𝜔

=1

1−1

2𝑒−𝑗𝜔 1−

1

3𝑒−𝑗𝜔

Respuesta 5.19 (b)

usando la expansión de fracciones parciales

𝐻 𝑒𝑗𝜔 =3/5

1 −12𝑒−𝑗𝜔

+3/5

1 −13𝑒−𝑗𝜔

Usando la tabla 5.2, y haciendo la transformada inversa de Fourier, obtenemos

ℎ 𝑛 =3

5

1

2

𝑛

𝑢 𝑛 +2

5−1

3

𝑛

𝑢[𝑛]

Ejercicio 5.20

• Un sistema LTI S causal y estable tiene la propiedad de que

• 𝑋 𝑛 =4

5

𝑛𝑢 𝑛 → 𝑛

4

5

𝑛𝑢 𝑛 = 𝑦[𝑛]

(a) Determine la respuesta en frecuencia 𝐻 𝑒𝑗𝜔 del sistema S.

(b) Determine una ecuación de diferencias que relacione cualquier entrada 𝑥[𝑛]

Con la correspondiente salida 𝑦[𝑛].

Respuesta 5.20 (a)ya que los sistemas LTI son causales y estables, una singular entrada-salida par es suficiente para determinar la frecuencia responsable del sistema. En este caso, la entrada es 𝑥[𝑛] =4/5 𝑛𝑢[𝑛] y la salida es 𝑦 𝑛 = 𝑛 4/5 𝑛𝑢[𝑛], la frecuencia responsable es dada por

𝐻 𝑒𝑗𝜔 =𝑌 𝑒𝑗𝜔

𝑋 𝑒𝑗𝜔

Donde 𝑋 𝑒𝑗𝜔 𝑦 𝑌 𝑒𝑗𝜔 son transformadas de Fourier de 𝑥[𝑛] y 𝑦[𝑛] respectivamente. Usando la tabla 5.2, tenemos

𝑥 𝑛 =4

5

𝑛

𝑢 𝑛𝐹𝑇𝑋 𝑒𝑗𝜔 =

1

1 −45𝑒−𝑗𝜔

Usando la propiedad de frecuencia en la diferenciación (tabla 5.1, propiedad 5.3.8), tenemos

𝑦 𝑛 =4

5

𝑛

𝑢 𝑛𝐹𝑇𝑌 𝑒𝑗𝜔 = 𝑗

𝑑 𝑋 𝑒𝑗𝜔

𝑑𝜔=

(4/5)𝑒−𝑗𝜔

(1 −45𝑒−𝑗𝜔)2

Entonces no queda

𝐻 𝑒𝑗𝜔 =(4/5)𝑒−𝑗𝜔

1 −45𝑒−𝑗𝜔

Respuesta 5.20 (b)

ya que 𝐻 𝑒𝑗𝜔 =𝑌 𝑒𝑗𝜔

𝑋 𝑒𝑗𝜔, podemos escribir

𝑌 𝑒𝑗𝜔 1 −4

5𝑒−𝑗𝜔 = 𝑋 𝑒𝑗𝜔

4

5𝑒−𝑗𝜔

Haciendo la transformada de Fourier inversa en ambos lados

𝑦 𝑛 −4

5𝑦 𝑛 − 1 =

4

5𝑥[𝑛]