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Soluciones enteras en un problema de programación lineal.- Supongamos que tenemos el siguiente problema.3X1 + 7X2 <= 189X1 + 8X2 <= 25Z = 3X1 + 4X2 Maximizar

La solución es X1=0,7949 X2=2,2308 Z=11,3077

X1=0,7949

X2=2,2308

Z=11,3077

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Trabajaremos primero con X1<=0 y para ello agregaremos una ecuación que así lo diga quedando el problema3X1 + 7X2 <= 189X1 + 8X2 <= 25X1 <= 0Z = 3X1 + 4X2 MaximizarEsto da como resultado lo siguiente: X1=0 X1=0,7949 X2=2,5714 X2=2,2308 Z=10,2857 Z=11,3077 X1=1 X2=2 Z=11

X1<=0

X1>=1

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Vemos que luego sacamos el X1<=0 y lo cambiamos por X1>=1 y de ahí ya surgió el resultado entero que maximiza el funcional

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Hay otra manera de hacer lo mismo pero a partir de la última tabla del primer simplex, despejando el valor de X1 , haciéndolo <= a 0 y agregando esa ecuación al problema inicial del simplex. Se actúa de la misma manera pero haciendo X1 >= a 1.X1-0,2051 X3+0,1795 X4 = 0,7949X1=0,7949+0,2051 X3-0,1795 X4<=0-0,2051 X3+0,1795 X4 >= 0,7949-2051 X3+1795 X4 >= 7949

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Resolver de la misma manera el siguiente ejercicio:12X1+4X2+5X3<=369X1+7X2+12X3<=1516X1+12X2+9X3<=17Z=7X1+8X2+9X3 MaximizarX1=0 X2=.8519 X3=.7531 Z=13.5926

X1=0 X2=.8519

X3=.7531

Z=13.5926

X1=1 X2=0

X3=.1111

Z=8

NO POSIBLE

X1=1,0625 X2=0

X3=0

Z=7,4375

X1=0.333 X2=0

X3=1

Z=11.333

X1=0 X2=0

X3=1 Z=9

X2<=0

X2>=1

X3>=1

X3<=0

X1<=0

X1>=0

X1=0.333 X2=0

X3=1

Z=11.333

X1=0.333 X2=0

X3=1

Z=11.333

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Algoritmo de corte.-2X1+5X2<=173X1+2X2<=10Z=2X1+X2 Maximizar

Al resolver nos da X1=3,333 X2=0 Z=6,6667

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Para tratar de que X1 que vale 10/3 pase a tomar un valor entero, se toma su fila y se opera así:X1+2/3X2+1/3X4=10/3

Escribimos cada coeficiente como la suma de un entero y una fracción positiva entre 0 y 1.x1+(0+2/3)X2+(0+1/3)X4=3+1/3Separamos los enteros de los fraccionariosX1-3=1/3-2/3X2-1/3X4

Para que la parte izquierda sea entera la derecha debe ser menor que 0. Luego1/3-2/3X2-1/3X4<=0 por tanto 2x2+X4>=1

Con las ecuaciones del cuadro anterior más esta última tenemos:11/3X2+X3-2/3X4=31/3X1+2/3X2+1/3X4=10/32X2+4>=1Z=2X1+X2+0X3+0X4 MaximizarQue da como resultadoX1=3, X2=1/2, X3=17/2, X4=X5=0

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PROGRAMACIÓN LINEAL BINARIA.- Propongamos el siguiente problema: Se puede hacer una fábrica en A y otra en B. También se podrá construir un almacén pero debe estar en la misma ciudad en que esté la fábrica. A deja un valor actual neto de 9 millones y se debe gastar 6 millones. B deja 5 millones y se gasta 3 millones. C(almacén en A) deja 6 millones y cuesta 5 millones. D(almacén en B) deja 4 millones y cuesta 2 millones.El gasto total debe ser menor a 10 millones.

Si se construye A, X1=1, si no se construye x1=0 Si se construye B, X2=1, si no se construye x2=0 Si se construye C, X3=1, si no se construye x3=0 Si se construye D, X4=1, si no se construye x4=0

La compañía quiere construir solamente un almacén nuevo o ninguno. Para ello se usa la restricción X3+X4<=1

La compañía consideraría la construcción de un almacén en una ciudad sólo si la nueva fábrica va a estar ahí.Eso queda expresado por las ecuacionesX3-X1<=0 ; X4-X2<=0

Entonces el modelo completo de programación binaria queda expresado así:

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Maximizar Z= 9X1 + 5X2 + 6X3 + 4X4 Sujeto a: 6X1 + 3X2 + 5X3 + 2X4 <= 10

X3 + X4 <= 1 -X1 + X3 <= 0 -X2 +X4 <= 0 Xj <=1 Xj >=0 Xj es entero para j= 1, 2, 3, 4

A continuación va la solución como si el problema no fuera entero binario.

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Esta es la resolución del problema sin tener en cuenta su calidad de binario

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Esta es la solución haciendo X1 = 0

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Esta es la solución haciendo X1=1

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Esta es la solución haciendo X1=1 y X2=0

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Esta es la solución haciendo X1=1 y X2=1

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La solución X1=1, X2=1, X3=1 da sin solución, la solución X1=1, X2=1, X3=0, X4=1 da sin solución. Probaremos con X1=1,X2=1,X3=0, X4=0

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Como se ve esta es la solución con Z=14