Soluciones a los ejercicios, problemas y cuestiones Unidad ... · Unidad 3. Ecuaciones,...

Soluciones a los ejercicios, problemas y cuestiones

Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

EJERCICIOS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

6

1

5

2

3

14

5

1)5

2

12

3

14)

35

1

4

15

2

12)

3

2

6

1

2)

xxxd

xxxc

xxx

bx

xx

a

SOLUCIÓN:

.82

9;5121040306

;30

5

30

12

30

1040

30

30

30

6;

6

1

5

2

3

14

5

1)

8

31;3036286

;6

30

6

36

6

28

6

6;5

2

12

3

14)

.65

19;1965 ;604155

;20

60

20

4

20

525

20

1020;3

5

1

4

15

2

12)

13

1;113;419;

6

4

6

1

6

6

6

3;

3

2

6

1

2)

xxxx

xxxxxxd

xxxx

xxxxxxc

xxxx

xxxx

xxb

xxxxxxxx

xx

a

2. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

006,05,0)0152)

02154)0253)

0145)02)

22

22

22

xxfxxe

xxdxxc

xxbxxa

SOLUCIÓN:

a) x1 2, x2 1

b) x1 7, x2 2

c) x1 1

3, x2 2

d) x1 7

4, x2 3

e) x1 3, x2 5

f ) x1 0,3, x2 0,2 3. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

04

1

5

3)0

9

4)

273)0204)

22

22

xxdxc

xbxxa

SOLUCIÓN:

a) 4x2 20x 0; 4x(x 5) 0; x1 0, x2 5

b) 3x2 27; x 27

3 9; x1 3, x2 3

c) x2 4

9 0; x

4

9

2

3; x1

2

3, x2

2

3

d)3

5x2

1

4x 0; x

3

5x

1

4

0; x1 0, x2

5

12

4. Escribe, en cada caso, la ecuación de segundo grado que tenga por soluciones:

11)30)

3

12)31)

ydyc

ybya

SOLUCIÓN:

a) (x 1)(x 3) x2 4x 3 0

b) (x 2)(x 1/ 3) x2 5/ 3x 2/ 3 0

c) (x 0)(x 3) x2 3x 0

d) (x 1)(x 1) x2 1 0 5. Determina sin resolver el número de soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado.

05,12,0)012)

062)01253)

22

22

xxdxxc

xxbxxa

SOLUCIÓN:

a) 52 4 3 (12) 0. Tiene dos soluciones reales.

b) (2)2 4 1 6 0. No tiene soluciones reales.

c) (2)2 4 1 1 0. Tiene una única solución (raíz doble)

d) 0,2 2 4 1 (1,5) 0. Tiene dos soluciones reales 6. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado:

2

)13)(3(

3

2

2

)1(

3

1)

132,0125,01)

413)

23

2

3

)2()

2

22

2

2

xxxxd

xxxxc

xx

xxb

xxx

a

SOLUCIÓN:

.3,3

1

24

4032

24

576102432;0123212

9249436322;38334)12(3)1(2

;133341312;2

)13)(3(

3

2

2

)1(

3

1)

.3172,4,0772,05,1

8624,1018,3

5,1

75,01124,1018,3

025,018,375,0;132,025,05,025,012

;132,01225,012;132,0125,01)

.2,5

6

10

164

10

240164;01245;01245

41284;4

32;4

33;4

13)

.1;62

57

2

24497

067;62344;623)2(;23

2

3

)2()

21

2

2222

22

21

222

2222

21

22

222

22

22

21

2222

xxxxx

xxxxxxxxxx

xxxxxxxx

d

xxx

xxxxxxxx

xxxxxxxxxxc

xxxxxxx

xxxxxx

xxxx

xxxxx

xxb

xxx

xxxxxxxxxxxx

a

7. Resuelve las ecuaciones:

2

2

22

22

2)

123

)12(

2

)1()

2

)3(

24

32

3

1)

)3(3)1()2()

xbxaxbxad

xx

xxxc

xxxxb

xxxxxa

SOLUCIÓN:

.2

)1(4

;0)1(;2;2)

.11

2,2

22

2420

22

57620;042011;6928833

;636144233;123

)12(

2

)1()

.10

23;

10

23

10

23;2310

;18669644;1866)32(3)1(4

;12

)3(6

12

6

12

)32(3

12

)1(4;

2

)3(

24

32

3

1)

.33;331244

331244);3(3)1()2()

2

2222

21

222

222

21

2

2222

2222

2222

2222

baaax

baaxxxbxaxbxaxabxbxaxbxad

xx

xxxxxxxx

xxxxxxx

xxxx

c

xxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxxb

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxa

ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS 8. Resuelve las ecuaciones bicuadradas:

0483)016

735)

0592)034)

2424

2424

xxdxxc

xxbxxa

SOLUCIÓN:

reales. soluciones tieneNo

.2,3

2

6

48

6

48648;0483

:queda dosustituyen;;0483)

.2

1

4

1

4

1

20

5;

20

7

20

7

.20

5,

20

7

10

2

13

10

4

13

10

16

14093

016

735

:queda dosustituyen;;016

735)

real.un valor es no que2

1

2

1;55

.2

1,5

4

119

4

1219

4

40819t;0592


.11;33

.1,32

24

2

12164;034t


212

24224

22

212

24224

22

212

24224

22

212

24224

ttttt

txtxxxd

xxxx

ttt;tt

txtxxxc

xxxx

tttt

txtxxxb

xxxx

tttt

txtxxxa

9. Resuelve las ecuaciones polinómicas:

061133)

03232)

01074)

234

23

23

xxxxc

xxxb

xxxa

0103)

1464)

13)1()

23

234

23

xxxf

xxxxe

xxd

SOLUCIÓN:

.doble) (raíz 1,3,2 :sonecuación la de soluciones las Por tanto

.0)1)(3)(2(61133

tienese polinomio el doFactorizan)

.2

3,1,1 :sonecuación la de soluciones las Por tanto

.0)32)(1)(1(03232

tienese polinomio el doFactorizan)

.5,2,1 x:sonecuación la de soluciones las Por tanto

.0)5)(2)(1(01074

tienese polinomio el doFactorizan )

321

2234

321

23

321

23

xxx

xxxxxxx

c

xxx

xxxxxx

b

xx

xxxxxx

a

.5,2;2

73

2

4093;0103

0 :son soluciones Las.0)103(;0103)

.cuádruple) (raíz 1Solución .0)1(01464

: tienese polinomio el doFactorizan .01464)

.63;63;2

246

2

12366;036

,0 :son soluciones las Luego

.036;036;013)1(;13)1()

322

1223

4234

234

322

1

2232323

xxxxx

xxxxxxxf

xxxxxx

xxxxe

xxxxx

x

xxxxxxxxxxd

10. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:

a) 60

5615

10

13

43

32

xxxx b) 13)7()4(4)3(5 2 xxxxx

c) 013)2()3(7)1(5 22 xxxx d) 4

816

15 2

2 x

x

SOLUCIÓN:

a) m.c.m (3,4,10,60)=60. Por tanto, podemos eliminar los denominadores multiplicando cada término por el mínimo común múltiplo y obtenemos la ecuación:

56156181560405615)13(615)32(20 xxxxxxxx

22x 110 x 5

b) 13716415513)7()4(4)3(5 2322 xxxxxxxxxx

02113 23 xxx Si aplicamos Ruffini para x = -2 obtenemos la descomposición:

0)15)(2( 2 xxx y resolviendo la ecuación de segundo grado del segundo factor obtenemos

que las soluciones son 2

29

2

5,

2

29

2

5,2 xxx

c) 013221755013)2()3(7)1(5 32222 xxxxxxxx 01377 23 xxx

Aplicando Ruffini para x =1, obtenemos:

0)136)(1( 2 xxx ,

resolviendo ahora la ecuación de segundo grado, obtenemos que las soluciones son:

223,223,1 xxx .

d) ,06081248124604

812415

4

816

15 24242

2

2

2

xxxx

x

xx

x

Efectuando el cambio 2xt , obtenemos la ecuación: .0202780608124 22 tttt

Resolviendo obtenemos como soluciones .8/5,4 21 tt

Si 244 xt .

Si 55 2 xt y no hay ningún valor real de x que cumpla esa ecuación.

Luego las soluciones son: 21 x , 22 x .

11. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 1031256 23 xxx b) 063343 345 xxx

c) 012026316124 234 xxxx d) 03696974711 2345 xxxxx

SOLUCIÓN:

a) Aplicando Ruffini, para x = 2, obtenemos resto nulo y la descomposición del polinomio

en: 0)5136)(2( 2 xxx . Resolviendo la ecuación de segundo grado: 05136 2 xx , obtenemos como soluciones

.2

1,

3

5 xx Por tanto las soluciones de la ecuación son: .2,

2

1,

3

5321 xxx

b) Sacando factor común tenemos: 0)63343( 23 xxx . Una de las soluciones es, por tanto,

0x . Resolviendo ahora la ecuación de segundo grado 063343 2 xx obtenemos

.9,3

7 xx Por tanto las soluciones de la ecuación son: .0,9,

3

7321 xxx

c) Sacando factor común tenemos: 0)12026316124( 23 xxxx , luego una solución es .0x

Aplicando la regla de Ruffini para x=8 (que es uno de los divisores del término independiente)

obtenemos la descomposición: 0)153124)(8( 2 xxxx . Si resolvemos ahora la ecuación

0153124 2 xx , obtenemos como soluciones: 3

5,

8

3 xx . Por tanto las soluciones de la

ecuación son: 8,3

5,

8

3,0 4321 xxxx .

d) Aplicando la regla de Ruffini para x = 1, x = 2 y luego para x = 3, obtenemos que son raíces y por tanto el polinomio se descompone en: 0)65)(3)(2)(1( 2 xxxxx . Resolviendo la

ecuación de segundo grado 0652 xx , tenemos como soluciones: 2,3 xx . Por tanto las

soluciones son: 1,2,3 321 xxx .


a) 014425 24 xx b) 0601075913 234 xxxx

c) 24

83

6

7 2 xx

xx

d)

10

77)4(

2

)3(

5

)2( 22

xxx

SOLUCIÓN:

a) Se trata de una ecuación bicuadrada, efectuando el cambio tx 2

, la ecuación se transforma

en: 0144252 tt , cuyas soluciones son: .9,16 21 tt Si 399 2 xxt , y si 41616 2 xxt . Luego las soluciones son: .3,3,4,4 4321 xxxx

b) Aplicando la regla de Ruffini, obtenemos dos raíces x = 1 y x = 3, y la descomposición

factorial del polinomio en: 0)209)(3)(1( 2 xxxx . Resolviendo la ecuación 02092 xx

obtenemos como soluciones: 4,5 xx . Por tanto las soluciones de la ecuación son: .5,4,3,1 4321 xxxx

c) Como 12)2,4,6.(.. mcm , multiplicando cada término por el m.c.m. obtenemos la ecuación

equivalente: 038512612249142612)83(3)7(2 222 xxxxxxxxxx y resolviendo

obtenemos como soluciones: .2,

12

1921 xx

d) Como 10)10,1,2,5.(.. mcm entonces multiplicando cada miembro por el m.c.m. la ecuación se transforma en

048307740104530588277)4(10)3(5)2(2 22222 xxxxxxxxxx

0)16(3 xx , luego las soluciones son: .0,16 21 xx

ECUACIONES RACIONALES 13. Resuelve las ecuaciones:

a) 06)2(5

33

)3(5

48 2

xxx

b) 2

32

6

28 2

x

xx

x

x

c) 24

4

2

24 24

1 xx

x

x

xx

d) 3

2

3

3

1

27279 223

x

x

x

x

x

xxx

SOLUCIÓN:

a) Como )2)(3(5)2(5),3(5... xxxxmcm , multiplicando a todos los términos por el m.c.m.

obtenemos: 0)3015105)(6(993396480)2)(3(5)6()3(33)2(48 222 xxxxxxxxxxx

0180906030301510519515 22334 xxxxxxxx

0330151555 3434 xxxxxx . Si aplicamos la regla de Ruffini para x = 1, obtenemos la descomposición:

321

3 3,10)3)(1(5 xxxx .

b)

.1,14

10)1(

140140)1)(14(0142916

;181584148

);32)(6()2)(28(

2

32

6

28

21

2

223

232

2

2

xx

Soluciones

xx

xxxxxxx

xxxxx

xxxxx

x

xx

x

x

c)

02524024242424)1(24))(( 46846484648242424 xxxxxxxxxxxxxxxxx

0)2524( 244 xxx

Una primera solución es .01 x

Resolvamos ahora la ecuación bicuadrada: 02524 24 xx efectuando el cambio tx 2 ,

tenemos 025242 tt , luego resolviendo 1,25 21 tt .

Para 5,525 21 xxt .

Para 11 2 xt , no hay soluciones reales para x. Soluciones:

x1 0, x2 5, x3 5

d) )3)(1()3,1.(.. xxxxmcm . Por tanto, multiplicando los términos de la ecuación por el

mínimo común múltiplo conseguimos eliminar los denominadores, y resulta la ecuación: )1(2)1)(3()3)(27279( 223 xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx 2233812781272793 22322334

078495 234 xxxx . Aplicamos la regla de Ruffini para x = 2 y x = -3 y resulta la descomposición:

0)136)(3)(2( 2 xxxx .

Resolviendo la ecuación de segundo grado 01362 xx obtenemos que no existe solución real.

Por tanto las únicas soluciones son: .3,2 21 xx

Pero como para 3x se anula uno de los denominadores, entonces tenemos que la única

solucion es 2x . 14. Resuelve las ecuaciones racionales:

a) 262

5

5

5

3

3

x

x

x

x b) 17

18

1

3

3

5

x

x

x

x

x

x

c) 15

7

5

4

1

532

x

x

x

x d) 2

41

5

11

5

3 2

x

x

x

x

SOLUCIÓN:

a)

)153(5)262)(8(

262

5

153

8

262

5

)5(3

15)5)(3(

262

5

5

5

3

3 22

xxxxxx

x

x

xx

x

x

x

xx

x

x

x

x

0)13352(0133527515208102 223223 xxxxxxxxxxx .

Una solución es x = 0, las otras dos se obtienen al resolver la ecuación de segundo grado

013352 2 xx por lo que las soluciones son: .2

19,7,0 321 xxx

b)

.0122371454691468106282

17

18

34

462

17

18

)1)(3(

9)1)(5(

17

18

1

3

3

5

232323

2

22

xxxxxxxxx

x

x

xx

xx

x

x

xx

xxx

x

x

x

x

x

x

Aplicando la regla de Ruffini para x = -2, obtenemos una solución y el polinomio se descompone en:

0)6112)(2( 2 xxx . Resolviendo la ecuación de segundo grado 061122 xx , obtenemos las

otras dos soluciones. Por tanto las soluciones son: 976,976,2 321 xxx .

c)

15

7

55

219

15

7

)5)(1(

)1)(4()5)(53(

15

7

5

4

1

5323

23

2

2

2 xxx

xxx

xx

xxxx

x

x

x

x

02801425083573573151351515 232323 xxxxxxxxx . Aplicando la regla de Ruffini para x = 4, obtenemos una de las raíces y por tanto una de las soluciones, así como la descomposición del polinomio en:

0)70188)(4( 2 xxx . Resolviendo la ecuación 070188 2 xx no obtenemos ninguna solución

real. Por tanto la única solución es: 4x .

d)

)41(25)2)(6015(

2

41

25

55515

2

41

5

11

5

3 222

xxxxx

x

x

xx

x

x

x

x,

031361003013060100100253010560 232332 xxxxxxxxxx .

Aplicando la regla de Ruffini para x=-1, obtenemos una de las soluciones y la descomposición:

0)31610)(1( 2 xxx . Resolviendo ahora la ecuación 031610 2 xx obtenemos las dos

soluciones restantes. Las soluciones son: 10

34

5

4,

10

34

5

4,1 321 xxx .

ECUACIONES CON RADICALES 15. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 18123 xx b) xx 216917 c) 21234 xx d) 3672

1

x

x

SOLUCIÓN:

a) .03201129)1(43241089)12()183(18123 2222 xxxxxxxxx

Resolviendo la ecuación tenemos que 9

40;8 21 xx .

Comprobación de soluciones:

186249224:81 x , es solución;

183

26

3

14

3

40

3

72

3

40

9

492

3

401

9

402

9

403:

9

402 x , luego no es solución.

Única solución 8x .

b) 060171203420289341691716916917 222222

22

xxxxxxxxxxx

Resolviendo la ecuación obtenemos: 5;12 21 xx .


12225172517144169171216917:12 21 x no es solución;

529121714417516917:5 22 x no es solución. Luego ninguna solución es válida,

lo cual quiere decir que la ecuación no tiene soluciones.

c) .0133416)12(941616123)24(21234 222

2 xxxxxxxxx

Resolviendo la ecuación: 2

1;

8

1321 xx .


22

4

2

9

2

13

2

33

2

13

4

93

2

131

4

133

2

131

8

1323

8

134:

8

131 x , es solución;

203212

123

2

14:

2

12 x , es solución.

Luego los dos valores son soluciones de la ecuación inicial.

d)

51842016196114721147217362

1367

2

1 222

xxxxxxxxx

xx

051852017196 2 xx

392

572017

392

32492017

x ,

196

1037

392

5720171

x , 5

392

5720172

x .

Comprobación:

Si 196

1037x : 36

14

553

28

1037

2

14

29

196

10377

2

1196

1037

luego no es solución.

Si 36352

15:5

x sí es solución.

Luego la única solución es x = 5. 16. Resuelve las ecuaciones con radicales:

a) 2344 xxx b) 515 xx c) 4

5

4

2

8

1

xx d) 916272 xx

SOLUCIÓN:

a) 03444)2(4242344 2222

xxxxxxxxxxxx ,

y sus soluciones son: 3,0 21 xx .

Comprobemos si dichos valores son solución de la ecuación inicial:

Para 203220440:0 x , luego no es solución.

Para 2)3(311121)3(443:3 x , sí es solución.

La única solución es x = -3.

b) 01011251015)5(15515 2222

xxxxxxxxx .

Resolviendo obtenemos .1,10 21 xx

Comprobemos si dichos valores son solución de la ecuación inicial:

Para 51051510:10 x , sí es solución.

Para 5144151:1 x , no es solución.

La única solución es x = 10.

c)

4858844

4

5

48

824

4

5

4

2

8

1xxxx

xx

xx

xx

)324(25884432458844 22

2 xxxxxxxx

8001002532464)8(64)4(16 22 xxxxxx

8001002532464512646416 22 xxxxxx

5126464168001002532464 22 xxxxxx

1248202532464 22 xxxx

22

22 1248202532464 xxxx

155750449920620001000625131072163844096 2342 xxxxxx 0168857666304660961000625 234 xxxx

Si probamos con la regla de Ruffini obtenemos que x = 8 es una raíz. El resto de raíces resulta muy complejo de calcular sin ayuda de un sistema de cálculo algebraico. Si resolvemos con DERIVE por ejemplo obtendremos dos soluciones complejas y dos soluciones reales: x = 5,731620065 y x = 8.

d) 16216218817216297216297291627222

xxxxxxxxx

2

916225162

18

901621890 xxxx .

Comprobemos que este valor es solución de la ecuación inicial:

9542516162

927

2

92 , por tanto sí es solución.

Solución x = 9/2. 17. Determina el valor que debe tener c para que las siguientes ecuaciones tengan como solución el

valor indicado en cada caso:

a) 5,54103 xcxx b) 3,1261643 xxcx

c) .3

14,

2

3

5324

2

x

x

c

x d) 9,

5

3

72

7

3

x

x

xx

c

SOLUCIÓN:

a) Sustituyendo x por 5 en la ecuación tenemos:

025255541053 , luego solución: c = 0.

b) Sustituyendo x por -3 en la ecuación tenemos:

,121869643312616)3(43 cccc solución : c = 12.

c) Sustituyendo x por 3

14 en la ecuación obtenemos:

2

3

362

32

2

3

3

3

62

2

2

3

514

3

656

2

2

3

53

1432

3

144

2 cccc

.31

1863

2

9

124

18612558

622

312629

622

346233

62

32

2

3

3

cc

c

solución .31

1863

2

9c

d) Sustituimos x por 9 en la ecuación y resulta:

,6165

12

5

7

65

39

718

7

93

c

ccc , solución c = 6.

ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 18. Resuelve las ecuaciones:

4802222)

433)

04254)

321

1

xxxx

xx

xx

c

b

a

SOLUCIÓN:

a) 0425)2(0425)2(04254 22 xxxxxx

Efectuando el cambio yx 2

0452 yy cuyas soluciones son 1;4 21 yy

Para ,2424 1 xy x y para .0121 2 xy x

b) 43

33433 1

x

xxx , efectuando el cambio yx 3

0344343 22 yyyyy

y resolviendo obtenemos 1,3 21 yy

Para ,1333 1 xy x para .03131 20 xy x

c) 48022222224802222 32321 xxxxxxxx realizando el cambio yx 2 tenemos la

ecuación:

.3215

48048015480842 yyyyyy

Si .5232232 5 xy x


59049

93)

010552955)

77766)

749

7)

2

)13(5

123

5

5

1

xxx

xxx

x

x

x

d

c

b

a

SOLUCIÓN:

a) Intentamos expresar la ecuación con potencias de base 7:

.10101977777

7

77

7

77

49

7 9)102()1(

102

1

52

1

5

1

xxxxxx

x

x

x

x

x

x

b) Expresando los dos miembros de la ecuación como potencias de base 6: .105566 55 xxx

c) Expresamos cada término con potencias tipo x5 :

0105)5(29)5(5)5( 23 xxx

Efectuando el cambio de variable xt 5 :

0105295 23 ttt , Si factorizamos el polinomio usando la regla de Ruffini y la fórmula de ecuaciones de segundo grado tenemos:

3,5,70)3)(5)(7( 321 tttttt

Si 7log7log5log757 555 xt xx

Si 555 xt , y no existe ninguna potencia que dé un número negativo.

Finalmente, si 3log353 5 xt x .

d) Expresamos la ecuación con potencias de base 3:

015161025153102)13)(5(333

93 2222102)13)(5(

10

)13(5 22

xxxxxxxxxxxxx

xx

Resolviendo: .1;15 21 xx


.3)23(log)12/5log)

0)3ln()5log)

4

25

xdxc

xbxa

SOLUCIÓN:

a) .312555log 55 xxx

b) .2,204130)3ln( 212202 xxxxex

Comprobación:

Para :2x 01ln)34ln( luego es solución.

Para :2x 01ln)34ln( también es solución.

c) 4

1

20

520510

2

510log

2

5log1

2

5log

xx

xxx.

Comprobamos: 10log25log2log5log2log1log5log2/1

5log

, por tanto es solución.

d) 2266364234233)23(log 34 xxxxx .

Comprobamos: 34log64log)266(log 3444 , luego es solución.


xxd

xxc

xxb

xxa

log26log3log)

)10/11log(1log2)

log2)16log(2)

log24log)8log()

SOLUCIÓN:

a) 0324432log4)8log(log24log)8log( 222 xxxxxxxx resolviendo obtenemos .8,4 21 xx

Comprobemos si dichos valores son soluciones de la ecuación inicial:

4log24log4log4log)48log(:4 x , luego sí es solución.

;4log16log4log)88log(:8 x pero no se puede calcular )8log(2 , luego no es solución.

Única solución: .4x

b) 016001001600100log)16(100loglog)16log(100loglog2)16log(2 2222 xxxxxxxxxx

Resolviendo la ecuación obtenemos .20,80 21 xx

Se puede comprobar que ambas son soluciones válidas.

c) .011101110)10/11(10loglog)10/11log(10loglog)10/11log(1log2 2222 xxxxxxxxxx

Sus soluciones son .1,11 21 xx Solución válida .11x

d) .2

1,00)12(3036636log3loglog26log3log 21

222 xxxxxxxxxxxx

Única solución válida: .2

1x


0)1(4log)9(log)1(log2log) 222

22 xxxxa 1)53(log3

1) 2 xb

xxc log3log2log)110log() 2 1)17(log

5log)1(log2)

2

22

x

xd

SOLUCIÓN:

a)

44

9log

1

2log)1(4log)9(log

1

2log0)1(4log)9(log)1(log2log 222222222

222

x

x

x

xxx

x

xxxxx

.099)9)(1()44(244

9

1

2 232

2

xxxxxxx

x

x

x

x Factorizando el polinomio tenemos:

.3,3,10)9)(1( 3212 xxxxx

Comprobemos si son soluciones: 0log8log0log2log:1 2222 x , no se puede calcular 0log2 , luego no es solución.

08log6log8log6log:3 2222 x , luego es solución;

6log:3 2x no se puede calcular, luego no es solución.

La única solución es .3x

b) 33

33

2

3/1

2222 25325`32log)53(log2log)53(log3

11)53(log

3

1xxxxx

.133853 xxx

Comprobación: 133

12log

3

1)53(log

3

1 322 . Luego la única solución es .1x

c) 0232032203log2)110log(log3log2log)110log( 2222 xxxxxxxx Resol

viendo la ecuación obtenemos las posibles soluciones: .4

1,

5

221 xx

Comprobación:

5

2log3log

5

6log

25

30log2log

25

15log2log1

25

40log2log)1

25

410log(:

5

2

x , sí es solución;

2log16

6log2log

16

1610log2log1

16

110log:

4

1

x , no existe el logaritmo de un número

negativo, luego no es solución.

La solución es .5

2x

d)

17)1(5)17(log5)1(log)17(log5log)1(log21

)17(log

5log)1(log2 2

2

2

2222

2

22 xxxxxxx

x

06175175105 22 xxxxx , resolviendo obtenemos 5

2,3 21 xx .

Comprobación:

120log

54log

20log

5log4log

20log

5log2log2

)121(log

5log)13(log2:3

2

2

2

22

2

22

2

22

x , luego es solución;

13

14log

5log13

2log2

:3

2

2

22

x , pero no existe 3

1log1

3

2log 32

, luego no es solución.

Única solución: .3x SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS 23. Resuelve y clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

0

452

22

zyx

zyx

zyx

b)

62

2463

62

zyx

zyx

zyx

c)

4762

3

2742

zyx

zyx

zyx

d)

142

22

223

yx

zyx

zyx

e)

84

162

873

zyx

zyx

zyx

f)

0223

1427

72

zyx

zx

yx

g)

06

733

1322

zyx

zyx

zyx

h)

723

2129

725

zyx

zyx

zyx

i)

104

1123

62

zyx

zyx

zyx

j)

2

4436

1327

zyx

zyx

zyx

k)

1083

24

114

zyx

zyx

zyx

l)

1292

56

633

zy

yx

zyx

SOLUCIÓN:

a)

1410

264

22

2334223

264

22

13

12

0

452

22

z

zy

zyx

EEzy

zy

zyx

EE

EE

zyx

zyx

zyx

Con el sistema triangular obtenido, despejando la última ecuación obtenemos 5

7

10

14z .

Sustituyendo este valor en la segunda ecuación tenemos: 5

8

5

32

5

42242

5

424

yyy .

Finalmente sustituyendo en la primera ecuación y, z por los valores anteriores y despejando tenemos:

.5

1

5

922

5

7

5

16 xx

Solución: x = 1/5, y = 8/5, z = -7/5. SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO.

b)

122

6695

62

13

1322

62

2463

62

z

zy

zyx

EE

EE

zyx

zyx

zyx.

Con el sistema triangular obtenido despejamos en la última ecuación y resulta 6z .

Sustituyendo en la segunda .245

12066545

yy

Sustituyendo ahora y y z en la primera ecuación: .1224266242 xxx Se trata de un SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO. Solución: x = 12, y = -24, z = 6.

c)

7711

3363

2742

234453

3363

2742

23

122

4762

3

2742

z

zy

zyx

EEzy

zy

zyx

EE

EE

zyx

zyx

zyx

A partir de este sistema triangular, es fácil deducir que 7z de la última ecuación.

Sustituyendo en la segunda ecuación el valor obtenido de z tenemos 333423 yy .

Finalmente sustituyendo en la primera ecuación y y z resulta: .122272832 xxx Es un SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO, cuya única solución es: x = 1, y = -3, z = -7.

d)

30

828

223

23528

828

223

223

123

142

22

223

zy

zyx

EEzy

zy

zyx

EE

EE

yx

zyx

zyx

Por la última igualdad deducimos que se trata de un SISTEMA INCOMPATIBLE.

e)

48861

4054

873

25347295

4054

873

243

123

84

162

873

z

zy

zyx

EEzy

zy

zyx

EE

EE

zyx

zyx

zyx

A partir del sistema triangular obtenido, de la última ecuación deducimos que 861

488

z .

Sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos que 0y .

Finalmente sustituyendo en la primera ecuación el valor de z e y se obtiene 0x . Luego el sistema es SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO.

f)

2147

2147

72

1332

1722

0223

1427

72

zy

zy

yx

EE

EE

zyx

zx

yx

Como la segunda y tercera ecuaciones son idénticas, si consideramos x = t, despejando en la primera y = 7-2t y sustituyendo en la segunda, al despejar z tenemos z = 7/2t -7. Se trata de un SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO.

g)

60

1394

1322

23794

1394

1322

23

122

06

733

1322

zy

zyx

EEzy

zy

zyx

EE

EE

zyx

zyx

zyx

.

Como la última igualdad es imposible concluimos que el sistema es INCOMPATIBLE.

h)

02

28414

725

2328416

28414

725

133

12

723

2129

725

x

zx

zyx

EEzx

zx

zyx

EE

EE

zyx

zyx

zyx.

De la última ecuación deducimos que x=0. Sustituyendo en la segunda obtenemos que z=-7 y finalmente sustituyendo estos valores en la primera ecuación deducimos que y=7. Solución: x=0, y=7, z=-7. SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

i)

42

53

62

13

12

104

1123

62

x

yx

zyx

EE

EE

zyx

zyx

zyx

.

De la última ecuación deducimos que x=2. Sustituyendo este valor en la segunda ecuación deducimos que 3y=3, es decir y=1. Y finalmente sustituyendo estos valores en la primera obtenemos que z=-3. Solución: x=2, y=1, z=-3. SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO.

j)

2

829

7221

2

829

1549

362

371

2

4436

1327

zyx

zy

zEE

zyx

zy

zy

EE

EE

zyx

zyx

zyx

.

De la primera ecuación deducimos que 2

7z . Sustituyendo en la segunda tenemos

.9

119879 yyy

Finalmente, sustituyendo los valores obtenidos para y, z en la tercera ecuación:

.18

292

2

7

9

1 xx

Solución: .2

7,

9

1,

18

29 zyx SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO.

k)

00

933

114

27332177

933

114

13

12

1083

24

114

yx

zyx

EEyx

yx

zyx

EE

EE

zyx

zyx

zyx

. Tomando como parámetro x=t, de la segunda ecuación deducimos que y=3-t, y sustituyendo estos valores en la primera ecuación obtenemos z=5t-14. Se trata de un SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO. Solución: x=t, y=3-t, z=5t-14.

l)

23

76

633

2231292

76

633

122

1292

56

633

z

zy

zyx

EEzy

zy

zyx

EE

zy

yx

zyx

.

De la última ecuación deducimos que 3

2z . Sustituyendo este valor en la segunda ecuación:

.374 yy Finalmente, sustituyendo estos valores en la primera ecuación:

.3

1136233 xxx

Solución: x=1/3, y=3, z=-2/3. SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

24. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:

a)

0144

122

yx

yxx b)

42

2 2

xy

xxy c)

123

832

xy

yxx d)

0157

52

22

yx

yx

e)

6182

1522

22

xyx

yx f)

63

233

xy

yx g)

)1(91

71

7

2

345

xy

xyx h)

xy

xyx

10252

52

SOLUCIÓN: a) Utilizamos el método de igualación despejando la incógnita y en ambas ecuaciones:

144

122

xy

xxy02314412 22 xxxxx .

Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos: 1,2 21 xx .

Si 61482 yx , y si 101441 yyx .

Soluciones 6,2 11 yx , .10,1 22 yx

b) Despejando la incógnita y en las dos ecuaciones, usando el método de igualación:

xy

xxy

24

2 2

06242 22 xxxxx .

Resolviendo, tenemos .3,2 21 xx

Si 0442 yx , y si .10643 yx .

Luego las soluciones son: 0,2 11 yx y .10,3 22 yx

c) Aprovechando que en la primera ecuación la incógnita y está despejada en función de x, sustituyendo en la segunda tenemos:

2,24128123)183( 21222 xxxxxxx .

Si 68642 yx , y si 188642 yx .

Las soluciones son: 6,2 11 yx y .18,2 22 yx

d) Método de reducción:

0157

52

22

yx

yx01075157 22 yyyy

Resolviendo obtenemos 5,2 21 yy , por tanto

Si 11452 2 xxy , 202555 2 xy no existe valor para x.

Luego las soluciones son: 2,1 11 yx y 2,1 22 yx .

e) Método de reducción:

6182

1522

22

xyx

yx02118421184 22 xxxx ,

resolviendo la ecuación 1,7 21 xx .

Por tanto, si 34154915497 22 yyyx

y si 141511 22 yyx .no existe ningún valor para y.

Las soluciones son: 34,7 11 yx y 34,7 22 yx

f) Método de sustitución,

Como 63 xy , sustituyendo en la primera ecuación:

0340182461263189)63(23)63(3263

33 2222

xxxxxxxxxxxxxx

Resolv

iendo la ecuación: 3,1 21 xx .

Por tanto, si 31 yx y si 3693 yx

Soluciones: 3,1 11 yx y 3,3 22 yx

g)

3

4

91

7145

5

91

7145

7

2)1(

91

71)1(

91

71

7

2

345

xxx

xyxyxy

xyx

01802406013560180375)4520(31808045534

4520

455 22 xxxxxxxxxxx

0342 xx , resolviendo la ecuación obtenemos .3,1 21 xx

Si 7

2

91

26

91

71451

yx , y si

13

24

91

168

91

213453

yx .

Solución: 13

24,3 11 yx , .

7

2,1 22 yx

h) ;251025925102

2592

25102

25102

10252

)5(2

10252

52 22222

xxx

xy

xxy

xy

xxyx

xy

xyx

xy

xyx

.1,00)1(02 xxxxxx

Para 505250;252;0 yx luego sí es solución, y para

516362510;3525102;1 yx , sí es solución

Por tanto las soluciones del sistema son:

, 2

25,0 yx . y

2

35,1 yx

25. Resuelve e interpreta gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

3

322

xy

yxx b)

104

743 2

xy

yxx

c)

13

763 2

xy

yxx d)

20

89

275 2

y

xxy

SOLUCIÓN: a) Usando el método de sustitución, como y está despejada en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda:

06332 22 xxxxx

Resolviendo: 3,2 21 xx .

Si 53442 yx y si 03693 yx .

Soluciones: 5,2 11 yx y 0,32 yx .

Si representamos la parábola y la recta observamos que sus dos puntos de corte son las soluciones del sistema.

b) Utilizamos el método de sustitución. Como y está despejada en la primera sustituyendo en la segunda ecuación: 11331073104743 2222 xxxxxxx .

Si 67431 yx y si 147431 yx .

Luego las soluciones son: 6,1 11 yx y 14,1 22 yx .

c) Apliquemos nuevamente el método de sustitución. Despejamos y en la segunda ecuación:

xy 31

Sustituyendo en la primera: 023069331763 222 xxxxxxx

Resolviendo la ecuación 2,1 21 xx

Si 4311 yx y si 7612 yx .

Las soluciones son 4,1 11 yx y .7,2 22 yx

Si representamos la parábola y la recta observamos que los dos puntos de corte entre ambas son las soluciones del sistema:

d) Utilizamos el método de igualación:

020

49750

20

89275

20

89275 222 xxxxxx

Resolviendo la ecuación de segundo grado:

10

7x , tiene una única solución.

Si 20

89

10

7 yx . Al representar la parábola y la recta observamos que el único punto de corte

es justamente el vértice de la parábola:

INECUACIONES. SISTEMAS DE INECUACIONES. 26. Resuelve las siguientes inecuaciones lineales:

a) 5

)2(7)1(23x

xxx

b) 84

38

3

5

x

xx

SOLUCIÓN:

a) .3

2060396040

5128

5147223

5)2(7)1(23 xxxx

xx

xxxx

xxxx

b) .32

85853296129242049612)38(3)5(48

4

38

3

5

xxxxxxxxx

xx

27. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas:

a) 082 23 xxx b) 024222 23 xxx c) 02450274 2345 xxxx

d) 011258572 234 xxxx e) 054158 23 xxx SOLUCIÓN:

a) 0)4)(2(082 23 xxxxxx . Las raíces son 0,-2,4. Por tanto dividimos la recta real en

cuatro intervalos, sobre los cuales analizamos el signo de cada uno de los factores en la siguiente tabla:

)2,(

)0,2(

)4,0(

),4(

x - - + +

2x - + + +

4x - - - +

)4)(2( xxx - + - +

Luego la solución es ).4,0()2,(

b) 0)4)(2)(32(024222 23 xxxxxx .

Las raíces del polinomio son 3/2, 2 y -4. Dividimos la recta real en cuatro intervalos, y analizamos el signo de cada factor en la siguiente tabla:

)4,( )2/3,4( )2,2/3( ),2(

)32( x - - + +

)2( x - - - +

)4( x - + + +

)4)(2)(32( xxx - + - +

Luego la solución es )2,2/3()4,( .

c) 0)34)(2)(4(02450274 22345 xxxxxxxx .

Analizamos el signo de cada factor en la siguiente tabla, teniendo en cuenta que las raíces del polinomio determinan los intervalos en los que dividimos la recta real:

)0,( )4/3,0( )2,4/3( )4,2( ),4( 2x + + + + +

4x - - - - +

2x - - - + +

34 x - - + + +

)34)(2)(4(2 xxxx - - + - +

Luego la solución es ,42,4/3}0{ . (Atención a la inclusión del 0, que es solución de la

inecuación).

d) 0)2)(8)(1)(7(011258572 234 xxxxxxxx .

Como las raíces son 7,1,-8,-2, dividiremos la recta real en cinco intervalos, sobre los cuales analizamos el signo de cada uno de los factores en la siguiente tabla:

)8,( )2,8( )1,2( )7,1( ),7(

7x - - - - +

1x - - - + +

8x - + + + +

2x - - + + +

)2)(8)(1)(7( xxxx + - + - +

Luego la solución es: 7,12,8 .

e) 0)9)(2)(3(054158 23 xxxxxx . Las raíces del polinomio del primer miembro son

3,-2,-9. Con estos valores dividimos la recta real en cuatro intervalos, sobre los cuales debemos analizar el signo de cada factor y obtenemos:

)9,( )2,9( )3,2( ),3(

3x - - - +

2x - - + +

9x - + + +

)9)(2)(3( xxx - + - +

La solución es ),3()2,9( .

28. Resuelve las inecuaciones racionales siguientes:

a) 01

1822

2

x

x b) 0

4013

2762

2

xx

xx

c) 0189

481423

2

xxx

xx d) 078

127234

2

xxx

xx

e) 07

21112 2

x

xx f) 0992

52

xx

x

SOLUCIÓN:

a) 0)1)(1(

)3)(3(20

)1)(1(

)9(20

1

182 2

2

2

xx

xx

xx

x

x

x . Los valores que anulan numerador y

denominador son: 3,-3, 1,-1. Con estos valores dividimos la recta real en 5 intervalos y analizamos el signo del numerador y denominador en la siguiente tabla:

)3,( )1,3( )1,1( )3,1( ),3(

3x - - - - +

3x - + + + +

Numerador + - - - +

1x - - - + +

1x - - + + +

Denominador + + - + +

Fracción + - + - +

La solución es: ),3()1,1()3,(

b) 0)8)(5(

)3)(9(0

4013

2762

2

xx

xx

xx

xx . A partir de los valores que anulan numerador y

denominador: 9,-3, 5, 8 estudiamos en la siguiente tabla el signo de los diferentes factores sobre los cinco intervalos en que dividimos la recta real:

)3,( )5,3( )8,5( )9,8( ),9(

9x - - - - +

3x - + + + +

Numerador + - - - +

5x - - + + +

8x - - - + +

Denominador + + - + +

Cociente + - + - +

Solución: ).9,8()5,3(

c) 0)6)(3(

)8)(6(0

189

481423

2

xxx

xx

xxx

xx . Los valores que anulan numerador y denominador son

0, 6, 8 y 3. A partir de ellos dividimos la recta real en cinco intervalos, sobre los cuales estudiamos el signo de los diferentes factores y el cociente final:

)0,( )3,0( )6,3( )8,6( ),8(

x-6 - - - + +

8-x + + + + -

Numerador - - - + -

3-x + + - - -

x-6 - - - + +

x - + + + +

Denominador + - + - -

Cociente - + - - +

Tenemos que incluir aquellos valores que anulan el numerador, en este caso solamente 8, luego la solución es: ,8)3,0( .

d) 0)1)(7(

)3)(4(0

78

1272234

2

xxx

xx

xxx

xx.Los valores que anulan numerador y denominador son

4, 3, 0, 7 y 1. Con estos valores dividimos la recta real en 6 intervalos sobre los cuales analizamos el signo de cada uno de los factores:

)0,( )1,0( )3,1( )4,3( )7,4( ),7(

4-x + + + + - -

x-3 - - - + + +

Numerador - - - + - -

x2 + + + + + +

x-7 - - - - - +

x-1 - - + + + +

Denominador + + - - - +

Cociente - - + - + -

Incluimos los valores que anulan el numerador, en este caso 4 y 3, y excluimos el 0 porque anula el denominador. Así, la solución es: ).,7(4,3)1,0()0,(

e) 07

)14)(23(0

7

21112 2

x

xx

x

xx. Los valores que anulan numerador y denominador son

2/3, ¼ y -7. Con estos valores dividimos la recta real en 5 intervalos y analizamos en la siguiente tabla el signo de cada uno de los factores que componen numerador y denominador:

)7,( )4/1,7( )3/2,4/1( ),3/2(

3x-2 - - - +

4x-1 - - + +

Numerador + + - +

x+7 - + + +

Denominador - + + +

Cociente - + - +

Solución: ),3/2()4/1,7( .

f) 0)11)(9(

50

992

52

xx

x

xx

x . Los valores que anulan numerador y denominador son 5, -9

y 11. Con estos tres valores dividimos la recta real en cuatro intervalos y analizamos el signo de cada factor en la siguiente tabla:

)9,( )5,9( )11,5( ),11(

x-5 - - + +

Numerador - - + +

x+9 - + + +

x-11 - - - +

Denominador + - - +

Cociente - + - +

Incluimos el 5, que es el único valor que anula el numerador, así que la solución es:

),11(5,9 .

29. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita:

a)

03

7056 23

x

xxxx

b)

05

804472

x

xxx

c)

010821

04

56313

23

2

xxx

x

xx

d)

065

05

5

2 xxx

x

e)

0635265

03916

7

23

2

xxx

xx

x

SOLUCIÓN:

a)

03

7

0)1)(5(

03

7056 23

x

x

xxx

x

xxxx

Resolvemos cada inecuación por separado.

1ª Inecuación:

Con los valores que anulan el polinomio 0, 5, 1 dividimos la recta real en cuatro intervalos sobre los que analizamos el signo de los tres factores y su producto en la siguiente tabla:

)0,( )1,0( )5,1( ),5(

x - + + +

x-5 - - - +

x-1 - - + +

x(x-5)(x-1) - + - +

La solución de la primera inecuación es 5,10, .

2ª Inecuación:

Los valores que anulan numerador y denominador son 7 y -3, con los que dividimos la recta real en tres intervalos sobre los que analizamos los signos de numerador y denominador sobre la siguiente tabla:

)3,( )7,3( ),7(

x-7 - - +

x+3 - + +

Cociente + - +

La solución de la segunda inecuación es .,73,

La solución del sistema de inecuaciones es: { 5,10, } { .,73, }= )3,( .

b)

05

8

0)11)(4(

05

804472

x

x

xx

x

xxx

.

Resolvemos cada inecuación por separado:

1ª inecuación:

Los valores que anulan el polinomio son 4 y -11. Con dichos valores dividimos la recta real en tres intervalos. En la siguiente tabla analizamos el signo de cada uno de los factores del polinomio sobre los tres intervalos:

)11,( )4,11( ),4(

x-4 - - +

x+11 - + +

Producto + - +

La solución de la primera inecuación es: ),4()11,( .

2ª Inecuación:

Los valores que anulan numerador y denominador son 8 y 5. Con estos valores dividimos la recta real en tres intervalos sobre los que analizamos el signo de numerador y denominador en la siguiente tabla:

)5,( (5,8) ),8(

x-8 - - +

x-5 - + +

Cociente + - +

Al intervalo abierto que satisface la desigualdad estricta (<) hay que añadir el único valor que

anula la fracción, que es 8. Por tanto la solución de la segunda inecuación es: 8,5 .

La solución del sistema de inecuaciones es: { ),4()11,( } { 8,5 }= 8,5 .

c)

0)9)(12(

04

)73)(8(

010821

04

56313

23

2

xxxx

xx

xxx

x

xx

.


1ª Inecuación:

Los valores que anulan numerador y denominador son 8, 7/3 y 4. Con estos tres valores dividimos la recta real en cuatro intervalos, sobre los cuales analizamos el signo de los factores y del cociente en la siguiente tabla:

)3/7,( )4,3/7( )8,4( ),8(

x-8 - - - +

3x-7 - + + +

Numerador + - - +

4-x + + - -

Denominador + + - -

Cociente + - + -

La solución de la primera inecuación es: )8,4(3/7, .

2ª Inecuación:

Los valores que anulan el polinomio son 0, 12, 9. Con estos tres valores dividimos la recta real en cuatro intervalos, sobre los cuales analizamos el signo de cada factor en la siguiente tabla:

)0,( )9,0( )12,9( ),12(

x - + + +

x-12 - - - +

x-9 - - + +

Polinomio - + - +

La solución de la segunda inecuación es: 12,90, .

La solución del sistema de inecuaciones es: { )8,4(3/7, } { 12,90, }= 0, .

d)

065

05

5

2 xxx

x


1ª Inecuación:

Los valores que anulan numerador y denominador son -5 y 5. Con estos valores dividimos la recta real en tres intervalos, sobre los cuales analizamos el signo de los factores y del cociente en la siguiente tabla:

)5,( )5,5( ),5(

x+5 - + +

Numerador - + +

x-5 - - +

Denominador - - +

Cociente + - +

La solución de la primera inecuación es: 5,5 .

2ª Inecuación:

Los valores que anulan el polinomio son 2 y 3. Con estos valores dividimos la recta real en tres intervalos, sobre los cuales analizamos el signo de cada factor en la siguiente tabla:

)2,( )3,2( ),3(

2x - + + 3x - - +

652 xx + - +

La solución de la segunda inecuación es: 3,2 .

La solución del sistema de inecuaciones es 3,23,2)5,2(

e)

0)2)(3)(15(

0)13)(3(

7

0635265

03916

7

23

2

xxx

xx

x

xxx

xx

x

.


1ª Inecuación:

Los valores que anulan numerador y denominador son 7, 3 y 13. Con estos tres valores dividimos la recta real en cuatro intervalos sobre los cuales analizamos el signo de numerador y denominador en la siguiente tabla:

)3,( )7,3( )13,7( ),13(

x-7 - - + +

Numerador - - + +

x-3 - + + +

x-13 - - - +

Denominador + - - +

Cociente - + - +

La solución de la primera inecuación es: )13,7()3,( .

2ª Inecuación:

Los valores que anulan el polinomio son 1/5, 3 y 2. Con estos tres valores dividimos la recta real en cuatro intervalos sobre los cuales analizamos los signos de los factores del polinomio y el signo del polinomio final en la siguiente tabla:

)5/1,( )2,5/1( )3,2( ),3(

5x-1 - + + +

x-3 - - - +

x-2 - - + +

Polinomio - + - +

La solución de la segunda ecuación es: ,32,5/1 .

La solución del sistema de inecuaciones es: { )13,7()3,( } { ,32,5/1 }= )13,7(2,5

1

.

30. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas:

a)

56

053

yx

yx b)

56

053

yx

yx c)

52

183

536

yx

yx

yx

d)

52

183

536

yx

yx

yx

e)

8

2129

3

076

y

xy

x

yx

f)

8

2129

3

076

y

xy

x

yx

g)

8

2129

3

076

y

xy

x

yx

h)

5

04

093

xy

yx

yx

SOLUCIÓN:

a)

56

053

yx

yx

b)

56

053

yx

yx

c)

52

183

536

yx

yx

yx

d)

52

183

536

yx

yx

yx

e)

8

2129

3

076

y

xy

x

yx

f)

8

2129

3

076

y

xy

x

yx

g)

8

2129

3

076

y

xy

x

yx

h)

5

04

093

xy

yx

yx

No tiene solución, no existe ningún recinto que cumpla las tres inecuaciones.

31. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas:

a)

yx

yx

54

522

3

b)

14

7

5

85

12

4

1

3

54

xy

xyx

SOLUCIÓN:

a)

yx

yx

54

522

3

b)

14

7

5

85

12

4

1

3

54

xy

xyx

PROBLEMAS 1. De un capital de 25 000 euros se ha depositado una parte al 4 % y la restante al 5 %. La primera

produce cada tres años 570 euros más que la segunda. Halla las dos partes del capital. SOLUCIÓN: El sistema que resuelve el problema es:

57015,012,0

25000

570100

35

100

34

25000

yx

yxyx

yx

Aplicando el método de Gauss:

243027,0

25000

112,02 y

yx

EE

Luego resolviendo la última ecuación 900027,0

2430

y , sustituyendo y en la primera ecuación y

despejando la incógnita x tenemos: .16000x Las dos partes del capital son 16 000 euros (al 4 %) y 9 000 euros (al 5 %). 2. Un depósito de agua tiene forma de ortoedro. Su volumen es de 937,5 m3. Calcula sus dimensiones sabiendo que son proporcionales a los números 3, 4 y 5. SOLUCIÓN: El volumen del depósito es:

625,1560

5,9375,937605,937543 33 xxxxxV

por tanto,

5,2625,153 x .

Por tanto, las dimensiones del depósito son: 7,5; 10 y 12,5 metros. 3. El perímetro de un solar en forma rectangular mide 46 m y la diagonal 17 m. Calcula las

dimensiones del solar. SOLUCIÓN: Sean x e y el largo y ancho del solar. Se verifican las siguientes ecuaciones:

289

23

17

462222222 yx

yx

yx

yx

Resolvemos utilizando sustitución, para ello despejamos y en la primera ecuación: xy 23

Sustituyendo en la segunda:

024046228952946228923223289)23( 2222222 xxxxxxxxx .

Resolviendo esta ecuación obtenemos: 8,15 21 xx .

Luego si 8152315 11 yx , si .158238 22 yx

Luego las dimensiones del solar son 15 × 8 metros. 4. Un terreno tiene forma rectangular. Halla sus dimensiones si se conoce su diagonal, 5 m, y su

superficie, 12 m2. SOLUCIÓN: Sean x e y las dimensiones del rectángulo. Entonces se verificarán:

12

5522

yx

yx

Apliquemos el método de sustitución: Despejamos la variable y en la segunda ecuación y tenemos:

xy

12

Sustituyendo en la primera:

0144252514425144

2512 2424

2

2

2

2

xxxx

xx

xx .

Para resolver la ecuación bicuadrada anterior se hace el cambio zx 2 :

0144252 zz

Resolviendo la ecuación obtenemos: 9,16 21 zz .

Para 41616 2 xxz .

399 2 xxz . Las soluciones negativas no tienen sentido en este problema, al tratarse de dimensiones. Por tanto considerando los valores positivos de x:

Si ;34/124 yx y si 43/123 yx

Luego las dimensiones son 4 × 3 metros. 5. Un grupo de alumnos realiza una excursión. El autocar les cuesta 360 euros. Finalmente 6

alumnos no pueden ir y los que van han de pagar 3 euros más cada uno. ¿Cuántos alumnos van a la excursión y cuánto tiene que pagar cada uno?

SOLUCIÓN: Llamemos: x = número de alumnos que inicialmente va a la excursión y = importe que inicialmente paga cada alumno. Se verificará:

360)3()6(

360

yx

yx

Despejando la incógnita y en la primera ecuación:

xy

360

Sustituyendo en la segunda ecuación:

36018

21603360360

3360)6(3603

360)6(

xx

x

xx

xx

07206021601833601821603360 222 xxxxxxxx

Resolviendo esta ecuación: 24,30 21 xx (solución no válida por ser negativa)

Si .1230/36030 yx

Finalmente, van 24 alumnos a la excursión y pagan 15 euros cada uno. 6. Dos ordenadores, tres televisores y un equipo de música cuestan 7 000 euros según su precio

de catálogo. En una tienda, por ese mismo número de ordenadores y televisores, sobre los que hacen un descuento del 10 % y del 15 % respectivamente, se pagaría 5 820 euros. En otra tienda, por un televisor y un equipo de música, sobre los que hacen un descuento del 20 % y 25% respectivamente, pagaríamos 940 euros. Calcula el precio de catálogo de cada aparato.

SOLUCIÓN: Llamemos x, y, z los precios de catálogo de un ordenador, un televisor y un equipo de música respectivamente.

Entonces estas cantidades verifican el siguiente sistema:

94075,080,0

582085,0390,02

700032

zy

yx

zyx

Aplicamos el método de Gauss:

5,2551215,1

582055,28,1

700032

245,1355,2431045,15,1

582055,28,1

700032

175,0394075,08,0

582055,28,1

700032

x

yx

zyx

EEyx

yx

zyx

EEzy

yx

zyx

Despejando x en la última ecuación:

2100215,1

5,2551

x

Sustituyendo en la segunda ecuación y despejando y: 800582055,221008,1 yy

Sustituyendo en la primera ecuación x e y, y despejando z: .4007000800321002 zz

Los precios de catálogo de un ordenador, un televisor y un equipo de música son 2 100, 800 y 400 euros respectivamente. 7. Estrella y Juan invierten 4 000 euros cada uno. Estrella coloca una cantidad A al 3 %, una

cantidad B al 5 % y el resto al 4 %. Juan invierte la misma cantidad A al 5 %, la B al 4 % y el resto al 3 %. Calcula las cantidades invertidas sabiendo que Estrella obtiene unos intereses anuales de 175 euros y Juan de 165 euros.

SOLUCIÓN: Sean x: cantidad A, y: cantidad B, z: cantidad C. Entonces se verifica el siguiente sistema de ecuaciones:

165100

3

100

4

100

5

175100

4

100

5

100

3

4000

zyx

zyx

zyx

Anulando los denominadores tenemos el sistema equivalente:

16500345

17500453

4000

zyx

zyx

zyx

Resolviendo por el método de Gauss:

15003

55002

4000

23235002

55002

4000

153

132

16500345

17500453

4000

z

zy

zyx

EEzy

zy

zyx

EE

EE

zyx

zyx

zyx

Del sistema triangular obtenido, despejamos en la última ecuación z: 5003/1500 z .

Sustituyendo en la segunda y despejando y: 250055005002 yy

Finalmente, sustituyendo en la primera ecuación los valores obtenidos para y, z y despejando x: 100040005002500 xx .

Luego las cantidades invertidas son: A: 1 000 euros; B: 2 500 euros y C: 500 euros.

8. En un triángulo rectángulo un cateto mide 5 cm más que el otro. Sabiendo que el área del triángulo es de 3 cm2, ¿cuál es la medida de los catetos?

SOLUCIÓN:

06532

)5( 2

xxxx

Resolviendo la ecuación: 6,1 21 xx (solo es válida la

positiva). Por tanto los catetos miden 1 y 6 cm.

9. Las medidas de los lados de un triángulo rectángulo son múltiplos consecutivos de dos.

Calcúlalos. SOLUCIÓN:

Aplicando el teorema de Pitágoras: 222 )22()2()22( xxx

Desarrollando:

0)4(4

0164

4844484

2

222

xx

xx

xxxxx

Luego las soluciones son 4,0 xx (la única solución válida es

4x ). Por tanto, los lados miden 6, 8 y 10 unidades. NOTA: También podemos tomar 2x, 2x + 2 y 2x + 4 para los lados, pero la ecuación que se obtiene resulta más compleja que la que planteada. 10. Halla un número sabiendo que restándole su inverso se obtiene 4,8. SOLUCIÓN: Sea x el número en cuestión. Este número verifica la ecuación:

8,41

xx

Entonces:

018,48,41 22 xxxx .

Resolviendo esta ecuación, 2,0,5 21 xx (son válidas las dos soluciones).

11. Julia tiene 40 monedas de 20 y 50 céntimos de euro. Si en total tiene 16,40 euros, ¿cuántas

monedas tiene de cada tipo? SOLUCIÓN: Sean x el número de monedas de 20 céntimos e y el número de monedas de 50 céntimos.

Se verifican las siguientes ecuaciones:

40,1650,020,0

40

yx

yx

Resolviendo el sistema por sustitución: yx 40 284,83,04,165,02,084,165,0)40(2,0 yyyyyy luego .12x

Por tanto tiene 12 monedas de 20 céntimos y 28 de 50 céntimos. NOTA: Aplicando el método de Gauss:

4'83'0

40

12'0240'1650'020'0

40

y

yx

EEyx

yx

Despejando y en la última ecuación: 283'0:4'8 y

Sustituyendo y en la primera: .122840 x

12. Una empresa recoge papel usado para reciclar, que en un principio clasifica en tres tipos: bajo,

medio y bueno. Ha realizado tres pruebas con diferentes mezclas: en la primera ha obtenido 4 kg. de papel utilizando 2, 3 y 1 kg. de cada tipo, respectivamente; en la segunda, con 1, 2 y 3 kg. ha producido un total de 5 kg.; y en la tercera ha obtenido 3 kg. con 3, 1 y 2 kg. ¿Cuál es el rendimiento de cada tipo de papel?

SOLUCIÓN: Sean: x: rendimiento del papel bajo. y: rendimiento del papel medio. z: rendimiento del papel bueno. Entonces se verifican las siguientes ecuaciones:

323

532

432

zyx

zyx

zyx

Método de Gauss:

1818

65

532

2531275

65

532

133

122

323

432

532

12

21

323

532

432

z

zy

zyx

EEzy

zy

zyx

EE

EE

zyx

zyx

zyx

EE

EE

zyx

zyx

zyx

A partir del sistema triangular resultante, de la última ecuación se deduce que .1z Sustituyendo en la segunda ecuación este valor y despejando y:

1165 yyy .

Sustituyendo en la primera ecuación los valores obtenidos para y, z y despejando x: .0532 xx

Luego los rendimientos son: Para el papel bajo 0, para el papel medio 1 y para el papel bueno 1. 13. Las edades de dos hermanos difieren en 12 años. Si entre los dos suman más de 40 años, ¿qué

edades puede tener el hermano mayor? SOLUCIÓN:

Sean x: la edad del pequeño y: la edad del mayor entonces se verifica:

5224012

12

40

12

yyy

yx

yx

xy

Luego 26y , es decir, el hermano mayor tiene más de 26 años.

14. En una empresa se han asignado claves a todos sus empleados para poder acceder a los

ordenadores. Las claves contienen dos dígitos y tienen dos restricciones: a) sus dígitos son menores o iguales que 6 y b) la suma de los dígitos es mayor o igual que 6. ¿Cuántas claves diferentes puede asignar como máximo la empresa?

SOLUCIÓN: Consideremos las siguientes incógnitas: x: primer dígito de la clave y: segundo dígito de la clave Las restricciones que cumplen estos valores son:

6

60

60

yx

y

x

Los dígitos claramente son números naturales. Si dibujamos el recinto del plano que satisface las tres inecuaciones y consideramos únicamente los números naturales obtenemos los puntos señalados en la región sombreada:

que son: {(0,6),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6); (1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5); (2,4),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4);(3,3),(4,3),(5,3),(6,3); (4,2),(5,2),(6,2); (5,1),(6,1); (6,6)} Un total de 28 claves.

CUESTIONES

1. Averigua para qué valores del parámetro b la ecuación 042 bxx tiene una única solución. SOLUCIÓN: Se verificará si el discriminante es nulo, es decir 16 – 4b = 0, es decir, si b = 4.

2. La ecuación 02 cbxx tiene como soluciones 91 x y 72 x . Averigua los valores de b y

c. SOLUCIÓN: Como a = 1, entonces:

63

2

21

21

c

b

cxx

bxx. Luego el polinomio es: 6322 xx .

3. La ecuación 023 dcxbxax tiene como soluciones 7,5 21 xx y 13 x . ¿Podemos

asegurar que 35d ? Razona la respuesta. SOLUCIÓN:

)1)(7)(5(23 xxxkdcxbxax , para algún k real. De esto se deduce que el término

independiente es kk 35)1()7(5 .

Luego no podemos asegurar que d = 35. Dando valores a k podemos construir infinitas ecuaciones con las soluciones propuestas y con diferentes valores de d. Uno de dichos valores sería 35 para k=1.

4. Determina para qué valores de x es posible obtener el valor de xx 32 . SOLUCIÓN:

El valor de la raíz se puede obtener si se verifica 0)3(032 xxxx , para resolver esta inecuación

planteamos la siguiente tabla:

)3,( )0,3( ),0(

x - - +

x + 3 - + +

x(x + 3) + - +

Luego la solución es 03,x .

5. Averigua los valores que han de tener a, b y c para que el siguiente sistema tenga como solución

2,4,3 zyx :

196

3632

192

czyx

zbyx

zyax

SOLUCIÓN: Sustituyendo en el sistema de ecuaciones, x, y, z por los valores indicados tenemos:

1

6

3

22

244

93

192243

36646

19283

c

b

a

c

b

a

c

b

a

.

Soluciones a los ejercicios, problemas y cuestiones Unidad ... · Unidad 3. Ecuaciones,...

Documents

Transcript of Soluciones a los ejercicios, problemas y cuestiones Unidad ... · Unidad 3. Ecuaciones,...