Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”6

Unidad 6. Ecuaciones e inecuaciones

PÁGINA 106

■ Practica

Ecuaciones: soluciones por tanteo

1 Busca por tanteo una solución exacta de cada una de las siguientes ecuaciones:

a) 2x + 3 = 32 b) √2x + 1 = 9 c) xx + 1 = 8 d) (x – 1)3 = 27

a) 2x + 3 = 32 8 2x + 3 = 25 8 x + 3 = 5 8 x = 2

b) √2x + 1 = 9 8 2x + 1 = 81 8 2x = 80 8 x = 40

c) x x + 1 = 8 8 x = 2 porque 22 + 1 = 23 = 8

d) (x – 1)3 = 27 8 (x – 1)3 = 33 8 x – 1 = 3 8 x = 4

2 Las siguientes ecuaciones tienen más de una solución entera. Búscalas tan-teando.a) (x + 1)2 = 4 b) (x + 1)(x – 3) = 0 c) x2 = 2x d) 3(x – 2)2 = 3

a) (x + 1)2 = 4 8 x + 1 puede ser 2 o –2, esto es x1 = 1 o x2 = –3

b) (x + 1)(x – 3) = 0 8 x1 = –1, x2 = 3

c) x2 = 2x 8 x1 = 0 o x2 = 2

d) 3(x – 2)2 = 3 8 (x – 2)2 = 1 8 x – 2 es 1 o –1, esto es, x1 = 3 o x2 = 1

3 Busca por tanteo, con la calculadora, una solución aproximada hasta las déci-mas.a) x3 + x2 = 20 b) xx = 35 c) 3x = 1 000 d) x3 = 30

a)

23 + 22 = 8 + 4 = 1233 + 32 = 27 + 9 = 36

°¢£

Por tanto, la solución está entre 2 y 3.Probemos con 2,4; 2,5; 2,6; …

2,43 + 2,42 = 19,5842,53 + 2,52 = 21,875

°¢£ Por tanto, la solución es 2,4.

b)

33 = 2744 = 256

°¢£ La solución está entre 3 y 4. Probemos con 3,1; 3,2; …

3,13,1 = 33,363,23,2 = 41,35

°¢£ La solución más próxima es x = 3,1.

c)

36 = 72937 = 2 187

°¢£ La solución está entre 6 y 7. Probemos con 6,2; 6,3; …

36,2 = 908,1436,3 = 1 013,59

°¢£ La solución más próxima es x = 6,3.

d)

33 = 2743 = 64

°¢£ La solución está entre 3 y 4. Probemos con 3,1; 3,2; …

3,13 = 29,7913,23 = 32,768

°¢£ La solución es x = 3,1.

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Unidad 6. Ecuaciones e inecuaciones

Ecuaciones de primer grado

4 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 1 – 2x9

= 1 – x + 46

b) 3x + 25

– 4x – 110

+ 5x – 28

= x + 14

c) x – 32

– 5x + 13

= 1 – 9x6

a) Multiplicamos ambos miembros por 18 y simplificamos:

2(1 – 2x) = 18 – 3(x + 4) 8 2 – 4x = 6 – 3x 8 2 – 6 = 4x – 3x 8 x = – 4

b) Multiplicamos la expresión por 40 y simplificamos:

8(3x + 2) – 4(4x – 1) + 5(5x – 2) = 10(x – 1) 8

8 24x + 16 – 16x + 4 + 25x – 10 = 10x + 10 8 23x = 0 8 x = 0

c) Multiplicamos ambos miembros por 6 y simplificamos:

3(x – 3) – 2(5x + 1) = 1 – 9x 8 3x – 9 – 10x – 2 = 1 – 9x 8 2x = 12 8 x = 6

5 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 1 + 12x4

+ x – 42

= 3(x + 1) – (1 – x)8

b) 3x – 26

– 4x + 110

= – 215

– 2(x – 3)4

c) 2x – 36

– 3(x – 1)4

– 2(3 – x)6

+ 58

= 0

a) Multiplicamos toda la ecuación por 8:

2(1 + 12x) + 4(x – 4) = 3(x + 1) – (1 – x) 8 24x – 16 = 0 8 x = 1624

= 23

b) Multiplicamos la ecuación por 60:

10(3x – 2) – 6(4x + 1) = –2 · 4 – 15 · 2(x – 3) 8

8 30x – 20 – 24x – 6 = –8 – 30x + 90 8 36x = 108 8 x = 10836

= 3

c) Multiplicamos toda la ecuación por 24:

4(2x – 3) – 6 · 3(x – 1) – 4 · 2(3 – x) + 3 · 5 = 0 8

8 8x – 12 – 18x + 18 – 24 + 8x + 15 = 0 8 –2x = 3 8 x = – 32

6 Las siguientes ecuaciones son de primer grado. Compruébalo y resuélvelas:a) (x + 1)2 + (x – 2)2 = (x + 2)2 + (x – 1)2 b) 4(x – 3)(x + 3) – (2x + 1)2 = 3

c) x + 35

+ (x – 1)2

4 = x 2 + 1

4 d) (x – 3)2

4 – (2x – 1)2

16 = 35

16Para comprobar que son ecuaciones de primer grado, simplificamos las ecuaciones al máximo antes de resolverlas:

a) x2 + 2x + 1 + x2 – 4x + 4 = x2 + 4x + 4 + x2 – 2x + 1 8 –2x + 5 = 2x + 5 8

8 – 4x = 0 8 x = 0

b) 4(x2 – 9) – 4x2 – 4x – 1 = 3 8 4x2 – 36 – 4x2 – 4x – 1 = 3 8

8 –4x = 40 8 x = 40– 4

= –10

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Unidad 6. Ecuaciones e inecuaciones

c) Multiplicamos la ecuación por 20:

4(x + 3) + 5(x – 1)2 = 5(x2 + 1) 8 4x + 12 + 5(x2 – 2x + 1) = 5x2 + 1 8

8 4x + 12 + 5x2 – 10x + 5 = 5x2 + 1 8 –6x = –16 8 x = 166

8 x = 83

d) 4(x2 + 9 – 6x) – (4x2 + 1 – 4x) = 35 8 4x2 + 36 – 24x – 4x2 – 1 + 4x = 35 8

8 20x = 0 8 x = 0

Ecuaciones de segundo grado

7 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x2 – 2x – 3 = 0 b) 2x2 – 7x – 4 = 0 c) 2x2 – 5x – 3 = 0 d) x2 + x + 2 = 0

a) x = 2 ± √4 + 122

= 2 ± √162

= 2 ± 42

x1 = 3x2 = –1

b) x = 7 ± √49 + 324

= 7 ± √814

= 7 ± 94

x1 = 4

x2 = –24

= – 12

c) x = 5 ± √25 + 244

= 5 ± 74

x1 = 3

x2 = –24

= – 12

d) x = –1 ± √1 – 82

= –1 ± √–72

No tiene solución.

8 Resuelve:

a) 4x2 – 64 = 0 b) 3x2 – 9x = 0 c) 2x2 + 5x = 0 d) 2x2 – 8 = 0

a) 4x2 = 64 8 x2 = 644

8 x2 = 16 8 x1 = 4, x2 = –4

b) 3x (x – 3) = 0 x1 = 0x – 3 = 0 8 x2 = 3

c) x(2x + 5) = 0

x1 = 0

2x + 5 = 0 8 x2 = –52

d) 2x2 = 8 8 x4 = 4 8 x1 = –2, x2 = 2

9 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) –2x2 – x + 3 = 0 b) 25 – 100x2 = 0

c) 52

x2 + 3x = 0 d) –x2 + 3x + 10 = 0

a) x = 1 ± √1 + 24– 4

= 1 ± √25– 4

= 1 ± 5– 4

x1 = – 6

4 = – 3

2x2 = 1

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Unidad 6. Ecuaciones e inecuaciones

b) Despejamos x2 8 x2 = 25100

8 x = ± √ 25100

= ± 510

8 x1 = – 12

, x2 = 12

c) Sacamos x factor común 8 x (52 x + 3) = 0

x1 = 052

+ 3 = 0 8 x2 = – 65

d) x = –3 ± √9 + 402

= –3 ± 72

x1 = 5x2 = –2

10 Resuelve:a) (x – 3)(x + 3) + (x – 4)(x + 4) = 25b) (x + 1)(x – 3) + (x – 2)(x – 3) = x2 – 3x – 1c) x (x – 3) + (x + 4)(x – 4) = 2 – 3xd) 3x (x + 4) – x (x – 1) = 13x + 8

a) x2 – 9 + x2 – 16 = 25 8 2x2 = 50 8 x2 = 25 x1 = 5x2 = –5

b) x2 + x – 3x – 3 + x2 – 5x + 6 = x2 – 3x – 1 8

8 x2 – 4x + 4 = 0 8 (x – 2)2 = 0 8 x = 2

c) x2 – 3x + x2 – 16 = 2 – 3x 8 2x2 = 18 8 x2 = 9 x1 = 3x2 = –3

d) 3x2 + 12x – x2 + x = 13x + 8 8 2x2 = 8 8 x2 = 4 8 x1 = –2, x2 = 2

11 Las siguientes ecuaciones son de segundo grado e incompletas. Resuélvelas sin aplicar la fórmula general:

a) (3x + 1)(3x – 1) + (x – 2)2

2 = 1 – 2x b) x 2 + 2

3 – x 2 + 1

4 = x + 5

12

c) (2x – 1)(2x + 1)3

= 3x – 26

+ x 2

3

a) 9x2 – 1 + x 2 – 4x + 42

= 1 – 2x 8 18x2 – 2 + x2 – 4x + 4 = 2 – 4x 8 19x2 = 0 8 x = 0

b) Multiplicamos toda la ecuación por 12:

4(x2 + 2) – 3(x2 + 1) = x + 5 8 4x2 + 8 – 3x2 – 3 = x + 5 8

8 x2 – x = 0 8 x(x – 1) = 0 x1 = 0x2 = 1

c) Multiplicamos la ecuación por 6:

2(2x – 1)(2x + 1) = 3x – 2 + 2x2 8 2(4x2 – 1) = 3x – 2 + 2x2 8 6x2 – 3x = 0 8

8 3x(2x – 1) = 0

x1 = 0

2x – 1 = 0 8 x2 = 12

12 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) (2x + 1)2 = 1 + (x – 1)(x + 1) b) (x + 1)(x – 3)2

+ x = x4

c) x + 3x + 12

– x – 23

= x2 – 2 d) x(x – 1)3

– x(x + 1)4

+ 3x + 412

= 0

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Unidad 6. Ecuaciones e inecuaciones

a) 4x2 + 1 + 4x = 1 + x2 – 1 8 3x2 + 4x + 1 = 0

x = – 4 ± √16 – 126

= – 4 ± 26

x1 = –1/3x2 = –1

b) x 2 – 2x – 32

+ x = x4

8 2x2 – 4x – 6 + 4x = x 8 2x2 – x – 6 = 0

x = 1 ± √1 + 484

= 1 ± 74

x1 = 2x2 = –3/2

c) 6x + 9x + 3 – 2x + 4 = 6x2 – 12 8 6x2 – 13x – 19 = 0

x = 13 ± √169 + 45612

= 13 ± 2512

x1 = 19/6x2 = –1

d) 4x (x – 1) – 3x (x + 1) + 3x + 4 = 0 8 4x2 – 4x – 3x2 – 3x + 3x + 4 = 0 8

8 x2 – 4x + 4 = 0 8 x = 4 ± √16 – 162

= 2

Otros tipos de ecuaciones

13 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) (2x – 5)(x + 7) = 0 b) (x – 2)(4x + 6) = 0

c) (x + 2)(x2 + 4) = 0 d) (3x + 1)(x2 + x – 2) = 0

a) Igualamos a 0 cada uno de los dos factores:

2x – 5 = 0 8 x = 5

2x + 7 = 0 8 x = –7

°§¢§£

Soluciones: x1 = –7, x2 = 52

b) Igualamos a 0 cada uno de los dos factores:

x – 2 = 0 8 x = 2

4x + 6 = 0 8 x = – 64

= – 32

°§¢§£

Soluciones: x1 = – 32

, x2 = 2

c) Igualamos a 0 cada uno de los dos factores:

x + 2 = 0 8 x = –2x2 + 4 = 0 8 x2 = – 4 No tiene solución.

°¢£ Solución: x = –2

d) Igualamos a 0 cada uno de los dos factores:

3x + 1 = 0 8 x = – 1

3

x 2 + x – 2 = 0 8 x = –1 ± √1 + 82

= –1 ± 32

1–2

°§¢§£

Soluciones: x1 = –2, x2 = –1

3, x3 = 1

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