Ecuaciones Diferenciales Ejercicios Resueltos Durante El Curso
Ejercicios Ecuaciones Diferenciales
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Transcript of Ejercicios Ecuaciones Diferenciales
!Republica!Bolivariana!de!Venezuela!
Universidad!Fermín!Toro!Cabudare!Edo.!Lara!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ejercicios! !Ecuaciones!Diferenciales!
!!!!!!
!!!!!
Alemairy!Dávila!20.469.468!SAIA!
Matemática!IV!!!!!!!
!
!!
ASIGNACIÒN!DE!EJERCICIOS!DE!LA!UNIDAD!II: !ECUACIONES!DIFERENCIALES!!!
!!!
1.) Determine!si!la!función!es!solución!de!la!ecuación!diferencial.!
! ( ) ctgxyyctgxxsenxya −=++= ,,;cscln) !
!!
2.) Resolver!las!siguientes!ecuaciones!diferenciales!de!primer!orden!de!acuerdo!al!método!correspondiente.!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!! ( ) ( ) 02cos2cos)
cos.)22
2,
=+−+−
=+
dyyxyxxedxxyyeb
xtgyxysenxayy !
!!;!!!!!!!!!!!3.) Resolver!las!ecuaciones!diferenciales!de!orden!N!por!coeficientes!indeterminados.!
!
xxyyb
senxeyya x
cos3939.)
2.),,
2,,,
+=+
=+!
4.) Resuelva!por!variación!de!parámetros:!
a) Y”!+!9y!=!¼(!Cosec!3x)!
!!!!!!!!!!!!!!!!!
Asignacion de ejercicios de la unidad II: Ecuaciones Diferenciales.
1. Determine si la funcion es solucion de la ecuacion diferencial.
y = senx ln(cscx+ ctgx); y′′ + y = −ctgx
Solucion:
y′ = cosx ln(cscx+ ctgx) + senx
!−cscxctgx− csc2x
cscx+ ctgx
"
= cosx ln(cscx+ ctgx)− senxcscx
!ctgx+ cscx
cscx+ ctgx
"⇒ y′ = cosx ln(cscx+ ctgx)− 1
y′′ = −senx ln(cscx+ ctgx)− cosxcscx = −senx ln(cscx+ ctgx)− ctgx
Luego:
y′′ + y = −senx ln(cscx+ ctgx)− ctgx+ senx ln(cscx+ ctgx) = −ctgx
En consecuencia: y = senx ln(cscx+ ctgx), es solucion de la ecuacion y′′ + y = −ctgx
2. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al metodo
correspondiente.
a) senx+ cosxy′ + y = tan2x
b) (e2y − ycosxy)dx+ (2xe2y − xcosxy + 2y)dy = 0
Solucion:
a) La ecuacion diferencial planteada en este literal puede reescribirse en la forma
y′ = − y
senxcosx+
tan2x
senxcosx= − y
senxcosx+ tanxsec2x
evidentemente que la ecuacion planteada es lineal debido a que presenta la forma general
y′ = p(x)y + q(x)
1
en donde: p(x) = − 1
senxcosxy q(x) = tanxsec2x.
La solucion general de este tipo de ecuacion diferencial es
y = e−!pdx
#$qe
!pdxdx+ c
%
&pdx =
& dx
senxcosx= 2
& dx
sen2x= 2
&csc2xdx = ln |csc2x− ctg2x|
e−!pdx = eln |csc2x−ctg2x| =
1
csc2x− ctg2x
Por otro lado:
$qe
!pdxdx =
$(tanxsec2x)(csc2x− ctg2x)dx
tanxsec2x(csc2x− ctg2x) = tanxsec2x
#1
sen2x− cos2x
sen2x)
%=
tanxsec2x
sen2x(1− cos2x)
1
2cos4x(1− cos2x+ sen2x) =
1
2cos4x(2sen2x) =
sen2x
cos4x
tanxsec2x(csc2x− ctg2x) = tan2xsec2x = tan2x(1 + tan2x) = tan2x+ tan4x
&qe
!pdxdx =
&tan2xdx+
&tan4xdx =
&tan2xdx+
1
3tan3x−
&tan2xdx =
1
3tan3x
Finalmente la solucion de la ecuacion diferencial planteada es:
y =
#1
csc2x− ctg2x
%#1
3tan3x+ c
%
b) Esta ecuacion presenta la forma: M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0, en donde:
M(x, y) = e2y − ycosxy; N(x, y) = 2xe2y − xcosxy + 2y
2
esta es una ecuacion diferencial exacta si se cumple que∂M
∂y=
∂N
∂x.
∂M
∂y= 2e2y − cosxy + xysenxy;
∂N
∂x= 2e2y − cosxy + xysenxy ⇒ ∂M
∂y=
∂N
∂x
como se comprobo que la ecuacion diferencial es exacta, entonces su solucion general es
una funcion f(x, y) = c tal que
∂f
∂x= M y
∂f
∂y= N ⇒
∂f
∂x= e2y − ycosxy ⇒ f =
$(e2y − ycosxy)dx ⇒ xe2y − senxy + g(y)
por otro lado:
∂f
∂y= N = 2xe2y − xcosxy + g′(y) ⇒ 2xe2y − xcosxy + g′(y) = 2xe2y − xcosxy + 2y
dg
dy= 2y ⇒ g(y) =
$2ydy ⇒ g(y) = y2
Finalmente:
xe2y − senxy + y2 = c
3. Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N segun el orden correspondiente.
a) y′′ + y′ = 2e2xsenx
b) y′′ + 9y = 9sec23x
Solucion: a) La solucion de una ecuacion diferencial lineal no homogenea de segundo
orden tiene la forma
y = yh + yp
en donde yh es la solucion de la ecuacion homogenea y′′ + y′ = 0.
3
La ecuacion caracterıstica de esta ecuacion es m2 + m = 0, la cual tiene como solu-
cion
yh = c1em1x + c2e
m2x
m2 +m = m(m+ 1) = 0 ⇒ m = 0; m = −1; de donde se desprende que
yh = c2e−x + c1
Asimismo yp es una solucion particular de la ecuacion diferencial y la vamos a calcular
de acuerdo a
1
D − rf(x) = erx
&e−rxf(x)dx.
Aquı:
y′′ + y′ = (D2 +D)y = 2e2xsenx ⇒ D(D + 1)y = 2e2xsenx ⇒ y =1
D(D + 1)2e2xsenx
yp =1
D
1
D + 12e2xsenx
1
D + 12e2xsenx = ex
&e−x(2e2xsenx)dx = 2ex
&exsenxdx
Esta ultima integral se resuelve por medio del metodo de integracion por partes. La
aplicacion del mencionado metodo produce co mo solucion
$exsenxdx =
ex
2(senx− cosx)
Asi:
yp =1
De2x(senx− cosx) = e0
$e0e2x(senx− cosx)dx =
$e2xsenxdx−
$e2xcosxdx
la solucion de la ultima integral produce
4
$e2xcosxdx =
e2x
5(senx+ 2cosx)
Entonces
yp =e2x
5(senx− 3cosx)
Finalmente
y = c2e−x +
e2x
5(senx− 3cosx) + c1
b)Al igual que en el caso anterior, aqui:
y = yh + yp
en donde yh es la solucion de la ecuacion homogenea y′′ + 9y = 0.
La ecuacion caracterıstica de esta ecuacion es m2 + 9 = 0, la cual tiene como solucion
yh = eax(c1cosbx+ c2senbx)
m = ±√−9 = ±3i ⇒ yh = c1cos3x+ c2sen3x
5
4")"Variación"de"parámetros"!!! + 9! = 1
4 !"#!3!""Como"observamos"la"ecuación"tiene"la"forma:""!!!! + !!!! + !" = 0""!! + 9 = 0""! = 1!; ! = 0!!; !! = 9""!! = −9"
"! = ± −9""""""""""""""""""""""""""""""""""""""!!!!!!! = 3!"! = ±3!"
"""""""""""""""""""""""""!!!!! = −3!!""!! = !!!!!! + !!!!!!!""!! = !!!!"# + !!!!!!"#"
"""!!!!!" + !!!!!!!""como"!!!"#3! + !!!!"#3!.""Así,"!
!!! = !!!"#3! + !!!!"#3!"
"Ahora""debe"buscar"la"solución"particular"(!!).""
"!! = !! ! !"#$%+ !! ! !"#$%""
Así"tendríamos,"!!! = !!!! + !!!!!""""!!! = −3!"#3!""!!! = 3!"#3!"!! !!,!! = !! !!
!!! !!! = !!.!!! − !!!.!! ≠ 0""
! !"#3!, !"#3! = !"#3! !"#3!−3!"#3! 3!"#3! = 3!"#!3! − (−3!"#!3!)"
"w= 3!"#!3! + 3!"#!3!""! = 3(!"#!3! + !"#!3!)""! !"#3!, !"#3! = 3"""!! =
0 !!! ! !!! "
"
!! =0 !"#3!
14 !"#!3! 3!"#3! "
"!! = 0− 14 !"#3!. !"#$!3!""!! = − 14 !"#3!
1!"#3! "
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4 !"#!3!= 14 !"#3!. !"#$!3! − 0"
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1!"#3! = 1
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"Cambio"de"variable:""ℎ = !"#3!!!! ⇛ !!!ℎ = 3!"#3!.!"!!!!! ⇛ !!!13!ℎ = !"#3!.!""
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112
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"Luego"""!! = !! ! !! + !! ! !!""!! = − !
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"Así"sustituyendo"en"y=c1yc+c2yp""
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