Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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Soluciones a “Ejercicios y problemas” 4 Unidad 4. El lenguaje algebraico PÁGINA 88 26 Reduce las siguientes expresiones: a) 6 ( 5x – 4 6 + 2x – 3 2 – x – 1 3 ) b) 12 ( x + 6 3 – x + 1 2 + 3x – 1 4 ) c) 30 [ x (x – 2) 15 – (x + 1) 2 6 + 1 2 ] a) 6 ( 5x – 4 6 + 2x – 3 2 – x – 1 3 ) = 5x – 4 + 3(2x – 3) – 2(x – 1) = = 5x – 4 + 6x – 9 – 2x + 1 = 9x – 12 b) 12 ( x + 6 3 – x + 1 2 + 3x – 1 4 ) = 4(x + 6) – 6(x + 1) + 3(3x – 1) = = 4x + 24 – 6x – 6 + 9x – 3 = 7x + 15 c) 30 [ x (x – 2) 15 – (x + 1) 2 6 + 1 2 ] = 2x(x – 2) – 5(x 2 + 1 + 2x) + 15 = = 2x 2 – 4x – 5x 2 – 5 – 10x + 15 = –3x 2 – 14x + 10 27 Multiplica cada expresión por el mín.c.m. de los denominadores y simplifica el resultado. a) 3 + x 8 – 5 – x 6 – x + 1 12 b) 3 4 (x – 1) – 1 3 (x + 1) + 1 6 c) (2x – 5) 2 9 – (x + 1) 2 6 d) x (x – 3) 2 + x (x + 2) 4 – (3x + 2) 2 8 a) 3 + x 8 – 5 – x 6 – x + 1 12 = 24 ( 3 + x 8 – 5 – x 6 – x + 1 12 ) = 3(3 + x) – 4(5 – x) – 2(x + 1) = = 9 + 3x – 20 + 4x – 2x – 2 = 5x – 13 b) 3 4 (x – 1) – 1 3 (x + 1) + 1 6 = 12 ( 3 4 (x – 1) – 1 3 (x + 1) + 1 6 ) = = 3 · 3(x – 1) – 4(x + 1) + 2 = 9x – 9 – 4x – 4 + 2 = 5x – 11 c) (2x – 5) 2 9 – (x + 1) 2 6 = 18 ( (2x – 5) 2 9 – (x + 1) 2 6 ) = 2(4x 2 + 25 – 20x) = = –3(x 2 + 1 + 2x) = 8x 2 + 50 – 40x – 3x 2 – 3 – 6x = = 5x 2 – 46x + 47 Pág. 1
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Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”4
Unidad 4. El lenguaje algebraico
PÁGINA 88
26 Reduce las siguientes expresiones:
a) 6 ( 5x – 46
+ 2x – 32
– x – 13 )
b) 12 (x + 63
– x + 12
+ 3x – 14 )
c) 30 [x (x – 2)15
– (x + 1)2
6 + 1
2 ]a) 6 ( 5x – 4
6 + 2x – 3
2 – x – 1
3 ) = 5x – 4 + 3(2x – 3) – 2(x – 1) =
= 5x – 4 + 6x – 9 – 2x + 1 = 9x – 12
b) 12 (x + 63
– x + 12
+ 3x – 14 ) = 4(x + 6) – 6(x + 1) + 3(3x – 1) =
= 4x + 24 – 6x – 6 + 9x – 3 = 7x + 15
c) 30 [x (x – 2)15
– (x + 1)2
6 + 1
2 ] = 2x(x – 2) – 5(x2 + 1 + 2x) + 15 =
= 2x2 – 4x – 5x2 – 5 – 10x + 15 = –3x2 – 14x + 10
27 Multiplica cada expresión por el mín.c.m. de los denominadores y simplifica el resultado.
a) 3 + x8
– 5 – x6
– x + 112
b) 34
(x – 1) – 13
(x + 1) + 16
c) (2x – 5)2
9 – (x + 1)2
6
d) x (x – 3)2
+ x (x + 2)4
– (3x + 2)2
8
a) 3 + x8
– 5 – x6
– x + 112
= 24 (3 + x8
– 5 – x6
– x + 112 ) = 3(3 + x) – 4(5 – x) – 2(x + 1) =
= 9 + 3x – 20 + 4x – 2x – 2 = 5x – 13
b) 34
(x – 1) – 13
(x + 1) + 16
= 12 (34 (x – 1) – 13
(x + 1) + 16 ) =
= 3 · 3(x – 1) – 4(x + 1) + 2 = 9x – 9 – 4x – 4 + 2 = 5x – 11
c) (2x – 5)2
9 – (x + 1)2
6 = 18 ( (2x – 5)2
9 – (x + 1)2
6 ) = 2(4x2 + 25 – 20x) =
= –3(x2 + 1 + 2x) = 8x2 + 50 – 40x – 3x2 – 3 – 6x =
= 5x2 – 46x + 47
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Unidad 4. El lenguaje algebraico
d) x (x – 3)2
+ x (x + 2)4
– (3x + 2)2
8 = 8 ( x2 – 3x
2 + x2 + 2x
4 – 9x2 + 4 + 12x
8 ) = = 4(x2 – 3x) + 2(x2 + 2x) – (9x2 + 4 + 12x) =
= 4x2 – 12x + 2x2 + 4x – 9x2 – 4 – 12x =
= –3x2 – 20x – 4
28 Expresa como el cuadrado de una suma o una diferencia o como diferencia de cuadrados.
a) x 2 + 9 – 6x b) 4x 2 + 1 + 4x c) 4x 2 – 9
d) 9x 2 – 12x + 4 e) 16x 2 – 1 f ) 16x 2 + 40x + 25
a) x2 + 9 – 6x = (x – 3)2 b) 4x2 + 1 + 4x = (2x + 1)2
c) 4x2 – 9 = (2x + 3)(2x – 3) d) 9x2 – 12x + 4 = (3x – 2)2
e) 16x2 – 1 = (4x + 1)(4x – 1) f) 16x2 + 40x + 25 = (4x + 5)2
29 Transforma en producto como en el ejemplo.
• x 3 + 2x 2 + x = x (x 2 + 2x + 1) = x (x + 1)2
a) x 3 – 4x b) 4x 3 – 4x 2 + x c) x 4 – x 2 d) 3x 4 – 24x 3 + 48x 2
a) x3 – 4x = x (x2 – 4) = x (x + 2)(x – 2)
b) 4x3 – 4x2 + x = x (4x2 – 4x + 1) = x (2x – 1)2
c) x4 – x2 = x2(x2 – 1) = x2(x + 1)(x – 1)
d) 3x4 – 24x3 + 48x2 = 3x2(x2 – 8x + 16) = 3x2(x – 4)2
30 Simplifica. Para ello, transforma en producto el numerador y el denominador.
a) 2x + 43x 2 + 6x
b) x + 1x 2 – 1
c) x – 2x 2 + 4 – 4x
d) x 2 – 3xx 2 – 9
e) x 2 – 4x 2 + 4x + 4
f ) x 3 + 2x 2 + x3x + 3
a) 2x + 43x 2 + 6x
= 2(x + 2)3x(x + 2)
= 23x
b) x + 1x 2 – 1
= x + 1(x + 1)(x – 1)
= 1x – 1
c) x – 2x 2 + 4 – 4x
= x – 2(x – 2)2
= 1x – 2
d) x 2 – 3xx 2 – 9
= x(x – 3)(x + 3)(x – 3)
= x x + 3
e) x 2 – 4x 2 + 4x + 4
= (x + 2)(x – 2)(x + 2)2
= x – 2x + 2
f) x 3 + 2x 2 + x3x + 3
= x(x2 + 2x + 1)3(x + 1)
= x(x + 1)2
3(x + 1) = x(x + 1)
3
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Unidad 4. El lenguaje algebraico
31 Opera, y simplifica si es posible.
a) xx + 1
· 3x 2
b) 3x + 2x – 1
: x + 1x
c) 3(x – 1)2
: 2x – 1
d) (x + 1) : x 2 – 12
a) xx + 1
· 3x 2
= 3x(x + 1)x2 = 3
(x + 1)x
b) 3x + 2x – 1
: x + 1x
= x(3x + 2)(x + 1)(x – 1)
= 3x2 + 2xx2 – 1
c) 3(x – 1)2
: 2x – 1
= 3(x – 1)2(x – 1)2 = 3
2(x – 1)
d) (x + 1) : x 2 – 12
= 2(x + 1)x2 – 1
= 2(x + 1)(x + 1)(x – 1)
= 2x – 1
■ Resuelve problemas
32 Expresa algebraicamente:
a) El área del triángulo azul.
b) El área del trapecio rojo.
c) La longitud l.x
x
x /3
l
☞ Quizá te sea útil recordar el teorema de Pitágoras.
a) (2x/3) · x2
= 13
x2 b) (x + x/3) · x2
= 23
x2 c) l = √x2 + ( 2x3 )
2 = √13
9x2
33 Expresa algebraicamente el área de la parte coloreada.
x
2
2
y
A = xy – (x – 4)(y – 4) = xy – (xy – 4x – 4y + 16) = 4x + 4y – 16
34 Expresa algebraicamente el área y la diagonal mayor de este trapecio:
3x
x
y
Área = (3x + x)y2
= 2xy Diagonal: √y2 + (3x)2
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Unidad 4. El lenguaje algebraico
35 Expresa algebraicamente el área total y el volumen de un ortoedro cuyas di-mensiones son tres números consecutivos.
x + 1
x + 2
x
Área: 2[(x + 1)(x + 2) + x (x + 1) + x (x + 2)] = 2(x2 + 3x + 2 + x2 + x + x2 + 2x) =
= 2(3x2 + 6x + 2) = 6x2 + 12x + 4
Volumen: x (x + 1)(x + 2) = x (x2 + 3x + 2) = x3 + 3x2 + 2x
36 Expresa algebraicamente el área total y el volumen de un cilindro cuya altura mide el doble del radio de la base.
2R
R
Área: 2πR2 + 2πR · 2R = 2πR2 + 4πR2 = 6πR2
Volumen: πR2 · 2R = 2πR3
37 Expresa algebraicamente el área de este trapecio isósceles:
3 cm
3x
3 cm
x
Altura: h = √9 – x2
Área: (3x + x) √9 – x2
2 = 2x √9 – x2
3 cmh
xx x3x
x
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