solucionario sexta

7/23/2019 solucionario sexta

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Ctedra: Probabilidad y Estadstica Trabajo FinalUADER 6 de Agosto de 2008

Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 1 de 100

Problema 1 (Ref: Pg. 223 - Ej. 5)

Una mquina de refrescos se ajusta para que la cantidad de bebida que sirve promedie 240 mililitros

con una desviacin estndar de 15mililitros. La mquina se verifica peridicamente tomando una

muestra de 40 bebidas y se calcula el contenido promedio. Si la media de las 40 bebidas es un valor

dentro del intervaloxx

2 , se piensa que la mquina opera satisfactoriamente, de otra forma, se

ajusta. En la seccin 8.4, el funcionario de la compaa encuentra que la media de 40 bebidas esx

=236 mililitros y concluye que la mquina no necesita un ajuste Esta fue una decisin razonable?

Datos:

Variable aleatoria X: cantidad de bebida que sirve una mquina (en mililitros).Tamao de la muestra n = 40 bebidas.Desviacin estndar poblacional x= 15 mililitros.Media poblacional x= 240 mililitros.Media muestral x =

x = 240 mililitros.

Desviacin estndar muestraln

x

x 2.3717 mililitros.

Incgnita:

xxxx 22 x

Solucin:

Reemplazando con nuestros datos

240 ml.(2)(2.372 ml.) x 240 ml. + (2)(2.372 ml.)

240 ml.4.744 ml. x

240 ml. + 4.744 ml.235.257 ml. x 244.743 ml.

Respuesta:

Esta fue una decisin razonable puesto que 236 ml., que es la media encontrada se encuentra dentro delintervalo definido.


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La vida media de una mquina para hacer pasta es de siete aos, con una desviacin estndar de un

ao. Suponga que las vidas de estas mquinas siguen aproximadamente una distribucin normal,

encuentre:

a) La probabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de nueve de estas mquinas caiga

entre 6.4 y 7.2 aos;

b) El valor de x a la derecha del cual caera el 15% de las medias calculadas de muestras aleatorias de

tamao nueve.

Datos:

Variable aleatoria X: vida til de una mquina de hacer pasta (en aos).Media poblacional x = 7 aos.Desviacin estndar poblacional x = 1 ao.Tamao de la muestra n = 9 mquinas.

a)Incgnita:P(6.4 x 7.2)

Solucin:

1.8zP0.6zP0.6z1.8P

31

77.2

n

X

31

76.4P

x

x

Aplicando Tabla A.3. = 0.72570.0359 = 0.6898 = 68.98%.

Respuesta:

La probabilidad de que la vida media de una muestra de 9 de esas mquinas caiga entre 6.4 aos y 7.2 aos esdel 68.98%.

b)Incgnita:Un valor de x que deje a su derecha un rea del 15% y por lo tanto un rea del 85% a su izquierda.

Solucin:

Con 7_ x

aos y 85.015.01

346667.773

1*04.1

3

1

704.1

__

85.085.0

x

xZZZ

Aos

x = 7.35 aos

Respuesta:El valor de x que deja a su derecha un rea del 15% es 7.35 aos.

)(3

1

9

1

(aos)7,N~X

xx

xxxx

aos

n


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Problema 3 (Ref: Pg. 223/224 - Ej. 10)

El tiempo que el cajero de un banco con servicio en el automvil atiende a un cliente es una variable

aleatoria con media = 3.2 minutos y una desviacin estndar = 1.6 minutos. Si se observa una

muestra aleatoria de 64 clientes, encuentre la probabilidad de que su tiempo medio con el cajero sea:

a) a lo ms 2.7 minutos;

b) ms de 3.5 minutos;

c) al menos 3.2 minutos pero menos de 3.4 minutos.

Datos:

Variable aleatoria X: tiempo que un cajero atiende a un cliente (en minutos).Media poblacional x= 3.2 minutos.Desviacin estndar poblacional x= 1.6 minutos.Tamao de la muestra n = 64 clientes.

a) Incgnita:P( x 2.7)

Solucin:

2.5zP8

1.6

3.22.7

n

XP

x

x

= Aplicando Tabla A.3. = 0.0062 = 0.62%

Respuesta:

La probabilidad de que el tiempo promedio de los cliente con el cajero sea a lo ms 2.7 minutos es de 0.62%.

b) Incgnita:P( x > 3.5)

Solucin:

0.93321.5zP11.5zP

64

1.6

3.23.5

n

XP

x

x

= Aplicando Tabla A.3. = 0.0668 = 6.68%.

Respuesta:

La probabilidad de que el tiempo promedio de los cliente con el cajero sea ms 3.5 minutos es de 6.68%.

c) Incgnita:P(3.2 x 3.4)

Solucin:

0zP1zP1z0P

641.6

3.23.4

n

X

641.6

3.23.2P

x

x

Aplicando Tabla A.3 = 0.84130.5000 = 0.3413 = 34.13%.Respuesta:La probabilidad de que el tiempo promedio de los cliente con el cajero este entre 3.2 y 3.4 minutos es de34.13%.

)(8

6.1

64

1.6

(aos)3.2,N~X

xx

xxxx

aosn


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Se toma una muestra aleatoria de tamao 25 de una poblacin normal que tiene una media de 80 y una

desviacin estndar de 5. Una segunda muestra aleatoria de tamao 36 se toma de una poblacin

normal diferente que tiene una media de 75 y una desviacin estndar de 3. Encuentre la probabilidad

de que la media muestral calculada de las 25 mediciones exceda de media muestral calculada de las 36

mediciones por al menos 3.4 pero en menos de 5.9. Suponga que las medias se miden al dcimo ms

cercano.

Datos:

Tamao de la primer muestra n1= 25.

Media de la primer poblacin 1= 80.

Desviacin estndar de la primer poblacin 1= 5.

Tamao de la segunda muestra n2= 36.

Media de la segunda poblacin 2= 75.

Desviacin estndar de la segunda poblacin 2= 3.

Incgnita:

5.9XX3.4P21

Solucin:

Utilizando el Teorema 8.3; el que dice:

con nuestros datos:

21 x-x

8075 = 5 y 118.1

36

9

25

25

21 x-x

Si se extraen al azar muestras independientes de tamao1

n y2

n de dos poblaciones, discreta o continuas,

con medias1

y2

y varianzas2

1 y2

2 , respectivamente, entonces la distribucin muestral de las

diferencias de las medias,21

XX ,est distribuida aproximadamente de forma normal con media y varianza

dadas por

21x-x

11

y2

2

2

1

2

12

x-x

n

n

21

.

De aqu

2

2

21

2

1

2121

nn

XX

Z

es aproximadamente una variable normal estndar.

125

5

80,N~X

1

x

x

xxxx1

1

1

1111

n

2

1

36

3

75,N~X

2

x

x

xxxx2

2

2

2222

n


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0.8050z1.4311P

1.118034

55.9

2

n

2

2

1

n

2

1

2

1

2X

1X

1.118034

53.4P5.9

2X

1X3.4P

1.4311zP0.8050)P(z Aplicando Tabla A.3. = 0.78960.0762 = 0.7134 = 71.34%.

Respuesta:

La probabilidad de que la media muestral calculada de las 25 mediciones exceda de media muestral calculadade las 36 mediciones por al menos 3.4 pero en menos de 5.9 es de 71.34%.


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Para una distribucin ji cuadrada encuentre.

a) 20.025

cuando = 15;

b) 20.01

cuando = 7;

c) 20.05

cuando = 24.

a)Segn Tabla A.5 20.025

cuando = 15 => 27.488

Respuesta:

El valor 2con 15 grados de libertad, que deja un rea de 0.025 a su derecha es 27.488.

Grfica:


7/100



b)Segn Tabla A.5 20.01

cuando = 7 => 18.475

Respuesta:

El valor 2

con 7 grados de libertad, que deja un rea de 0.01 a su derecha es 18.475.

Grfica:


8/100



c)Segn Tabla A.5 20.05

cuando = 24 => 36.415

Respuesta:

El valor 2con 24 grados de libertad, que deja un rea de 0.05 a su derecha es 36.415.

Grfica:


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Para una distribucin ji cuadrada encuentre 2

tal que:

a) P(2> 2

) = 0.99 cuando = 4;

b) P(2> 2

) = 0.025 cuando = 19;

c) P(37.652 < 2

< 2

) = 0.045 cuando = 25.

a)P(2> 2

) = 0.99 cuando = 4

Segn Tabla A.5 => 2

= 0.297

Respuesta:

El valor de 2que deja a su derecha una probabilidad igual a 0.99 es decir 99 %, con 4 grados de libertad es0.297.


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b)P(2> 2

) = 0.025 cuando = 19

Segn Tabla A.5 => 2

= 32.852

Respuesta:

El valor de 2que deja a su derecha una probabilidad igual a 0.025 es decir 2.5 %, con 19 grados de libertades 32.852.

Grfica:


11/100



c)P(37.652 < 2< 2

) = 0.045 cuando = 25

=> 2

= 37.652 =>= 0.05

=>= 0.05 - 0.045 = 0.005 => 2

=

2

0.005 cuando = 25

Segn Tabla A. 5 => 2

0.005 = 46.928

Respuesta:

El valor de 2debe ser igual a 46.928 para que la probabilidad entre 37.652 y dicho valor calculado sea igual a0.045, es decir 4.5%, con 25 grados de libertad.

Grfica:


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Problema 7 (Ref: Pg. 236Ej. 5)

Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una poblacin normal

con varianza 2 = 6, tenga una varianza s2

a) mayor que 9.1;

b) entre 3.462 y 10.745.

Suponga que las varianzas muestrales son mediciones continuas.

Datos:

Tamao de la muestra n = 25 observaciones.Varianza de la muestra 2= 6.

a)Incgnita:P (s2> 9.1)

Solucin:

con nuestros datos:

36.4

6

218.4

6

9.124

6

9.11252

Segn Tabla A.5 4.362 cuando = 24 =>0.05

Respuesta:

La probabilidad de que la varianza de esa muestra sea mayor que 9.1 es del 5%.

b) Incgnita:P (3.462 s2 10.745)

Solucin:

con nuestros datos:

13.8486

83.088

6

3.46224

6

3.4621252

Segn Tabla A.5 848.132 cuando = 24=>0.95

42.98

6

257.88

6

10.74524

6

10.7451252

Segn Tabla A.5 98.422 cuando = 24 =>0.01

P (3.462 s2 10.745) = 0.950.01 = 0.94

Respuesta:La probabilidad de que la varianza de esa muestra se encuentre entre 3.462 y 10.745 es del 94%.

2

2

2

s1n

con (n1) grados de libertad

2

22

s1n



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Las clasificaciones de un examen de colocacin que se aplic a estudiantes de primer ao de

licenciatura durante los ltimos cinco aos estn aproximadamente distribuidas de forma normal con

una media = 74 y una varianza 2= 8. Considerara an que 2=8 es un valor vlido de la varianza

si una muestra aleatoria de 20 estudiantes que realizan este examen de colocacin este ao obtienen un

valor de s2= 20?

Datos:P: estudiantes de primer ao de licenciatura.X: calificacin de un examen de colocacin.

Media poblacional x= 74.Varianza poblacional 2x = 8.

Tamao de la muestra n = 20 estudiantes.Varianza muestral s2= 20.

Incgnita:

Considerar si es vlida 2x

= 8

Solucin:

con nuestros datos

47.5

8

380

8

2019

8

201202

8.9072

0..975 32.8522

0.025

Respuesta:

Es un valor de una distribucin ji cuadrada con 19 grados de libertad.Como 95% de los valores 2con 19 grados de libertad caen entre 8.907 y 32.852, el valor calculado con 2 = 8no es razonable y por lo tanto se tiene razn suficiente para sospechar que la varianza es diferente a ocho.Es muy probable que el valor supuesto de 2sea un error.

8,74N~X xx

2

2

2

s1n



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a) Encuentre t0.025 cuando =14;

b) Encuentret0.10 cuando = 10;

c) Encuentre t0.995 cuando =7.

a)Segn Tabla A.4 t0.025 cuando =14 => 2.145

Respuesta:El valor t con 14 grados de libertad, que deja un rea de 0.025 a su derecha es 2.145.

Grfica:


15/100



b)Segn Tabla A.4t0.10 cuando = 10 => -1.372

Respuesta:El valor t con 10 grados de libertad, que deja un rea de 0.10 a su izquierda es -1.372.

Grfica:


16/100



c)Segn Tabla A.4 t0.995 cuando =7 => -3.499

Respuesta:

El valor t con 7 grados de libertad, que deja un rea de 0.995 a su derecha y por lo tanto un rea de 0.005 a suizquierda es -3.499.

Grfica:


17/100




a) Encuentre P(T < 2.365)cuando =7;

b) Encuentre P(T > 1.318)cuando = 24;

c) Encuentre P(-1.356 < T -2.567) cuando =17.

a) P(T < 2.365)cuando =71 P(T 2.365)cuando =7Segn Tabla A.4 =>

= 10.025 = 0.975

Respuesta:La probabilidad de que un valor t sea menor que 2.365 con 7 grados de libertad es del 97.5%.

Grfica:


18/100



b) P(T > 1.318)cuando = 24Segn Tabla A.4 =>0.10

Respuesta:

La probabilidad de que un valor t sea mayor que 1.318 con 24 grados de libertad es del 10%.

Grfica:


19/100



c) P(-1.356 < T < 2.179) cuando=12P(T -1.356)P(T 2.179) cuando =12Segn Tabla A.4 =>= (10.10)0.025 == 0.900.025 = 0.875

Respuesta:La probabilidad de que un valor t se encuentre entre -1.356 y 2.179 con 12 grados de libertad es del 87.5%.

Grfica:


20/100



d) P(T > -2.567) cuando =171P( T > 2.567) cuando =17Segn Tabla A.4 =>

= 10.01 = 0.99

Respuesta:

La probabilidad de que un valor t sea mayor que -2.567 con 17 grados de libertad es del 99%.

Grfica:


21/100




Una empresa manufacturera afirma que las bateras que utiliza en sus juegos electrnicos duran un

promedio de 30 horas. Para mantener este promedio se prueban 16 bateras cada mes. Si el valor t que

se calcula cae entret0.025 y t0.025, la empresa queda satisfecha con su afirmacin.Qu conclusiones

extraera la empresa de una muestra que tiene una media de x = 27.5 horas y una desviacin estndar

de s = 5 horas? Suponga que la distribucin de las duraciones de las bateras es aproximadamente

normal.

Datos:

P: bateras de juegos electrnicos.X: rendimiento en horas de una bajara de juegos electrnicos.Media poblacional x= 30 horas.Tamao de la muestra n = 16 bateras.Media muestral x = 27.5 horas.Desviacin estndar muestral s = 5 horas.

Solucin:

De la tabla A.4 encontramos que t0.025 = 2.131 para 15 grados de libertad. Por tanto, la empresa quedasatisfecha con esta afirmacin si una muestra de 16 bateras rinde un valor t entre2.131 y 2.131. si = 30,entonces

Con nuestros datos:

2165

3027.5T

,

Respuesta:La empresa estara satisfecha con su afirmacin ya que el valor hallado de t pertenece al intervalo establecidocomo parmetro para poder afirmar que sus bateras promedian las 30 horas de duracin.

n

s

XT



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Una poblacin normal con varianza desconocida tiene una media de 20. Se tiene posibilidad de

obtener una muestra aleatoria de tamao 9 de esta poblacin con una media de 24 y una desviacin

estndar de 4.1? Si no, qu conclusin sacara?

Datos:

Media poblacional x= 20.Tamao de la muestra n = 9.Media muestral x = 24.Desviacin estndar muestral s = 4.1.

Solucin:

con nuestros datos:

P ( X - = X - 20 > 4) =

= 1P (X - 20 4) =

= 1P (-4 X - 20 4) =

= 1P

34.1

420X

34.1

4=

= 1P (-2.92 t8 2.92) =

= P (t8 2.92) P (t8 2.92) = 0.00959 + 0.00959 =0.01918 = 1.918%.

Respuesta:Si se tiene la posibilidad de obtener una muestra de tamao 9 con esas condiciones, con una probabilidad del

1.918%

n

s

XT



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Un fabricante de cierta marca de barras de cereal bajo de grasa afirma que su contenido promedio de

grasa saturada es 0.5 gramos. En una muestra aleatoria de 8 barras de cereal de esta marca el

contenido de grasa saturada fue 0.6, 0.7, 0.7, 0.3, 0.4, 0.5, 0.4 y 0.2. Estara de acuerdo con la

afirmacin?

Datos:

P: barras de cereal bajo de grasa.X: contenido de grasa en gramos de una barra de cereal.Media poblacional x= 0.5 gramos.Tamao de la muestra n = 8.

Media muestraln

X

x

n

1i

i gramos0.475

8

3.8

8

0.20.40.50.40.30.70.70.6

Desviacin estndar muestral

1n

XX

s

n

1i

2i

gramos0.18320.037

7

0.26

7

20.27520.07520.02520.07520.17520.22520.22520.125

7

20.475)(0.2

20.475)(0.4

20.475)(0.5

20.475)(0.4

20.475)(0.3

20.475)(0.7

20.475)(0.720.4750.6

s

Incgnita:

x= 0.5

Solucin:

con nuestros datos

0.3860

80.1832

5.00.475T

ns

X

ns

XP 0

con nuestros datos

P(-0.3860 t7 0.3860) = 0.3754 + 0.3754 =0.7508 = 75.08%.

Respuesta:Hay razones suficiente (75,08%) para considerar que la afirmacin es cierta.

n

s

XT



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Para una distribucin F encuentre:

a) 0.05con 1 = 7 y 2= 15;

b) 0.05con 1 = 15 y 2= 7;

c) 0.01con 1 = 24 y 2= 19;

d) 0.95con 1 = 19 y 2= 24;

e) 0.99con 1 = 28 y 2= 12.

a)Segn Tabla A.6 0.05con 1 = 7 y 2= 15 => 2.71

Respuesta:

El valor f con 7 y 15 grados de libertad, que deja un rea de 0.05 a su derecha es 2.71.

Grfica:


25/100



b)Segn Tabla A.6 0.05con 1 = 15 y 2= 7 => 3.51

Respuesta:El valor f con 15 y 7 grados de libertad, que deja un rea de 0.05 a su derecha es 3.51.

Grfica:


26/100



c)Segn Tabla A.6 0.01con 1 = 24 y 2= 19 => 2.92

Respuesta:

El valor f con 24 y 19 grados de libertad, que deja un rea de 0.01 a su derecha es 2.92.

Grfica:


27/100



d)0.95con 1 = 19 y 2= 24

con nuestros datos

2.11

1

24,19

119,24

0.05

0.95

ff = 0.4739


Grfica:

12

211

,

1,

ff


28/100



e)0.99con 1 = 28 y 2= 12

con nuestros datos

2.90

1

12,28

128,12

0.01

0.99

ff = 0.3448


Grfica:

12

211

,

1,

ff


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Una muestra aleatoria de cinco presidentes de bancos indican salarios anuales de $163000, $148000,

$152000, $135000 y $141000. Encuentre la varianza de este conjunto.

Datos:

Variable aleatoria X: salarios anuales de presidentes de bancos (en pesos)Tamao de la muestra n = 5 presidentes.

Media muestral

n

X

x

n

1i

i 147800

5

739000

5

141000135000152000148000163000

$

Incgnita:

Varianza muestral s2

Solucin:

con nuestros datos

$114700000

4

458800000

4

680012800420020015200

4

147800141000147800135000147800152000147800148000147800163000s

22222

22222

2

Respuesta:

La varianza de este conjunto es 114700000 $.

1n

XX

s

n

1i

2

i

2


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Si S21 y S22 representan las varianzas de muestras aleatorias independientes de tamao n1= 25 y n2=

31, tomadas de poblaciones normales con varianzas 21= 10 y 22= 15, respectivamente, encuentre

1.26SSP 22

2

1 .

Datos:

Tamao de la primer muestra n1= 25.Tamao de la segunda muestra n2= 31.

Varianza de la primera muestra 1021 .

Varianza de la segunda muestra 1522 .

Incgnita:

1.26SSP 22

2

1

Solucin:

Utilizando el Teorema 8.8; el que dice:

con nuestros datos

%.505.01.89F

10

26.1*15

s

s

26.1s

sP

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

PP

F0.05(24, 30) = 1.89

Respuesta:La probabilidad de que F con 24 y 30 grados de libertad sea mayor que 1.26 es de 0.05, es decir, 5%.

Si2

1s y

2

2s son las varianzas de muestras aleatorias independientes de tamao

1n y

2n tomadas de

poblaciones normales con varianzas2

1 y

2

2 , respectivamente, entonces

2

1

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

s

s

s

sF

Tiene una distribucin F con 1= n11 y 2= n21 grados de libertad.


31/100




Una empresa elctrica fabrica focos que tienen una duracin aproximadamente distribuida de forma

normal con una desviacin estndar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una duracin

promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianza de 96 % para la media de la poblacin de

todos los focos que produce esta empresa.

Datos:

P: focos fabricados por la empresa.X: duracin de esa muestra de focos.Desviacin estndar poblacional x = 40 horas.Tamao de la muestra n = 30 focos.Media muestral x = 780 horas.Intervalo de confianza IC = 96%.

Incgnita:Intervalo de confianza para la media poblacional, x, con 96% de confianza.

Solucin:

100% =100(1-)% = 96% => = 0.04 => 21

z => z0.98 = 2.054

con nuestros datos

30

402.054780

30

402.054780 x

hs.795hs.765x

Respuesta:Podemos afirmar con un nivel de confianza del 96% que la media poblacional se encuentra entre 765 y 795horas.

40,780N~Xxx

n

zX

n

zX

2121


32/100




De que tamao se necesita una muestra en el ejercicio 4 si deseamos tener 96% de confianza que

nuestra media muestral est dentro de 10 horas de la media real?

Datos:

Desviacin estndar poblacional x = 40 horas.Media muestral x = 780 horas.Intervalo de confianza IC = 96%.Intervalo de error e = 10 horas.

con nuestros datos

n

68n67.510

2.054.40n

2

Respuesta:

Por lo tanto, podemos tener una confianza 96% de que una muestra aleatoria de tamao 68 proporcionara unaestimacin x que difiere de por una cantidad menor que 0.04.

2

21

e

zn

n


33/100




Las estaturas de una muestra aleatoria de 50 estudiantes universitarios muestra una media de 174.5

centmetros y una desviacin estndar de 6.9 centmetros.

a) Construya un intervalo de confianza de 98% para la estatura media de todos los estudiantes de la

universidad;

b) Qu podemos afirmar con 98% de confianza sobre el tamao posible de nuestro error si estimamos

que la estatura media de todos los estudiantes de la universidad de 174.5 centmetros?.

Datos:

P: estudiantes universitarios.Variable aleatoria X: medidas de esos estudiantes universitarios (en centmetros)Tamao de la muestra n = 50 estudiantes.

Media muestral x = 174.5 centmetros.Desviacin estndar muestral s = 6.9 centmetros.

Intervalo de confianza IC = 98%.100% =100(1-)% = 98% => = 0.02 =>

2 = 0.01

t49, 0.01 = 2.4048

a)Incgnita:Intervalo de confianza para la media poblacional, x, con 98% de confianza.

Solucin:

con nuestros datos

50

9.64048.25.174

50

9.64048.25.174

cm.85.176cm.172.15

Respuesta:Podemos afirmar con 98% de confianza que la media poblacional se encuentra entre 172.15 y 176.85centmetros.

b)Incgnita:Posible error de estimacin.

Solucin:

35.215.1725.174-X cm.

Respuesta:

Podemos afirmar con 98% de confianza que el error de estimacin es igual a 2.35 cm.

n

stX

n

stX 22


34/100



Problema 20(Ref: Pg. 252Ej. 13)

Una mquina produce piezas metlicas de forma cilndrica. Se toma una muestra de las piezas y los

dimetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 centmetros. Encuentre un intervalo de

confianza de 99% para el dimetro medio de las piezas de esta mquina, suponga una distribucin

aproximadamente normal.

Datos:

P: piezas metlicas de forma cilndricas.X: dimetro de las piezas cilndricas(en centmetros).Tamao de la muestra n = 9 piezas.Intervalo de confianza IC = 99%.

Media muestraln

X

x

n

1i

i 1.0055

9

1.031.010.990.980.991.041.030.971.01

cm.


1n

XX

s

n

1i

2i

cm0.024510.00060278

8

0.00482225

8

20.024520.004520.015520.025520.015520.034520.024520.035520.0045

s8

21.0055)(1.03

21.0055)(1.01

21.0055)(0.99

21.0055)(0.98

21.0055)(0.99

21.0055)(1.04

21.0055)(1.03

21.0055)(0.97

21.00551.01

100% =100(1-)% = 99% => = 0.01 =>2

= 0.005

t8, 0.005 = 3.355

Incgnita:Intervalo de confianza para la media poblacional,x, con 99% de confianza.

Solucin:

con nuestros datos

9

0.02453.3551.0055

9

0.02453.3551.0055

cm.0329.1cm.0.9781

Respuesta:Podemos afirmar con 99% de confianza que la media poblacional se encuentra entre 0.9781 y 1.0329centmetros.

n

stX

n

stX 22


35/100



Problema 21 (Ref: Pg. 252/253Ej. 17)

Una muestra aleatoria de 25 botellas de aspirinas contiene, en promedio, 325.05 mg. de aspirina con

una desviacin estndar de 0.5. Encuentre los lmites de tolerancia del 95% que contendrn 90% del

contenido de aspirina para esta marca. Suponga que el contenido de aspirina se distribuye

normalmente.

Datos:

P: botellas de aspirinas.X: cantidad de aspirina que contienen las botellas de aspirina (en miligramos).Tamao de la muestra n = 25 botellas de aspirina.

Media muestral x = 325.05 mg. de aspirina.

Desviacin estndar muestral s = 0.5 mg. de aspirina.1 = 95% => = 0.05 y 1 = 90% => 0.9Segn Tabla A.7 => k = 2.208

Incgnita:

Limites de tolerancia del 95% que contendrn 90% de aspirina.

Solucin:

x ks

con nuestros datos

325.05 2.208.0.5 = [323.946 ; 326.154]mg.

Respuesta:Los lmites de tolerancia del 95% que contendrn 90% de aspirina para esta marca son 323.946 mg y 326.154mg,


36/100




Una muestra aleatoria de tamao n1= 25 que se toma de una poblacin normal con una desviacin

estndar 1= 5 tiene una media 1x = 80. Una segunda muestra aleatoria de tamao n2= 36, que se

toma de una poblacin normal diferente con una desviacin estndar 2= 3, tiene una media 2x = 75.

Encuentre un intervalo de confianza de 95% para 1- 2.

Datos:

Tamao de la primer muestra n1= 25.Desviacin estndar de la primer poblacin 1= 5.Media de la primer muestra

1x = 80.

Tamao de la segunda muestra n2= 36.Desviacin estndar de la segunda poblacin 2= 3.Media de la segunda muestra

2x = 75.

Intervalo de confianza IC = 95% para21

100(1-)% = 95% => = 0.05 => 21

z => z0.025 = 1.96 Aplicando Tabla A.3

Incgnita:

Intervalo de confianza para la diferencia de las medias poblacionales, 12, con 95% de confianza.

Solucin:

con nuestro datos

5758021 xx

y 118.11.254

5

36

9

25

25

21 xx

con nuestros datos

51.96 1.118 < 12 < 5 + 1.96 1.11852.19 < 12 < 5 + 2.19

2.80 < 12 < 7.19

Respuesta:Podemos afirmar con 95% de confianza que la diferencia entre las medias poblacionales se encuentra entre2.80 y 7.19.

375,N~XP22 xx22

580,N~XP11 xx11

21xx

21

y2

2

2

1

2

1

xx

n

n

21

2

2

2

1

2

1

22121

2

2

2

1

2

1

221

n

n

.zxx

n

n

.zxx


37/100




Una compaa de taxis trata de decidir si comprar neumticos de la marca A o de la B para su flotilla

de taxis. Para estimar la diferencia de las dos marcas, se lleva cabo un experimento, utilizando 12 de

cada marca. Los neumticos se utilizan hasta que se gastan. Los resultados son:

Marca A:1

x = 36300 kilmetros.

s1= 5000 kilmetros.

Marca B:2


s2= 6100 kilmetros.

Calcule un intervalo de confianza de 95% para 12,suponga que las poblaciones se distribuyen de

forma aproximadamente normal. Puede no suponer que las varianzas son iguales.

Datos:P1: neumticos de la marca A.P2: neumticos de la marca B.X1: duracin en kilmetros de un neumtico de la marca A.

X2: duracin en kilmetros de un neumticos de la marca B.Tamao de la primer muestra n1= 12 neumticos.Tamao de la segunda muestra n2= 12 neumticos.

Media de la primer muestra1

x = 36300 Km.

Media de la segunda muestra2

x = 38100 Km.

Desviacin estndar de la primer muestra1s = 5000 Km.

Desviacin estndar de la segunda muestra2

s = 6100 Km.

Intervalo de confianza IC = 95%.

100(1-) % = 95% => = 0.05 => 2

t Aplicando Tabla A.4 t0.025 = 2.07892 con = 21.18 grados de libertad.

Incgnita:Intervalo de confianza para la diferencia de las medias poblacionales, 12, con 95% de confianza.

Solucin:

donde2

t es el valor t con

21.18

11

2

3100833.311

2

2083333.3

23100833.32083333.3

112

2

1237210000112

2

1225000000

212372100001225000000

12

n

2

2n22s

11n

2

1n21s

2

2n

2

2s

1n

2

1s

con nuestros datos

12

37210000

12

25000000080.23810036300

12

37210000

12

25000000078.23810036300 21

87.2276080.2180087.2276080.2180021

4.29334.6533 21

Respuesta:

Podemos afirmar con 95% de confianza que la diferencia entre las medias poblacionales se encuentra entre6533.4 y 2933.4.

2

2

2

1

2

1

22121

2

2

2

1

2

1

221

n

s

n

stxx

n

s

n

stxx


38/100



Problema 24 (Ref: Pg. 263 Ej. 7)

Los siguientes datos, registrados en das, representan el tiempo de recuperacin para pacientes que se

tratan al azar con uno de dos medicamentos para curar infecciones graves en la vejiga:

Medicamento 1 Medicamento 2

n1 = 14 n2 = 16

1x = 17

2x = 19

2

1s = 1.5

2

2s = 1.8

Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la diferencia 21en el tiempo promedio de

recuperacin para los dos medicamentos, suponga poblaciones normales con varianzas iguales.

Datos:

1P :pacientes que se tratan con el medicamento 1.

1X : tiempo de recuperacin en das para un paciente tratado con el medicamento 1.

Tamao de la primer muestra n1= 14 das.

Primer media muestral 1x = 17 das.

Primer varianza muestral 21s = 1.5 das.

2P : pacientes que se tratan con el medicamento 2.

2X : tiempo de recuperacin en das para un paciente tratado con el medicamento 2.

Tamao de la segunda muestra n2= 16 das.

Segunda media muestral2

x = 19 das.

Segunda varianza muestral 22

s = 1.8 das.

Intervalo de confianza IC = 99% para12

.

100(1-)% = 99% => = 0.01 => 2

t Aplicando Tabla A.4 t0.005 = 2.763 con (n1+ n22) = 28 grados de

libertad.

Incgnita:

Intervalo de confianza para la diferencia de las medias poblacionales, 12 , con 99% de confianza.

Solucin:

con nuestros datos

2171912 xx

y 3659.00,133916

1

14

1

12 xx

12xx

12

y12

xx

n

1

n

1

12

2nn

s*1ns*1ns

21

2

22

2

112

p


39/100



con nuestros datos

2886.1s1.6607

21614

1.8*1161.5*114s p2

p

luego,

con nuestros datos

2(2.763)*(1.2886)*(0.3659) 21

z => z0.98 2.054

a)Incgnita:Intervalo de confianza de 96% para la fraccin de la poblacin que favorece el convenio.

Solucin:

035.00,0012255

200

0.2451

200

0.43*0.57

n

q*p

con nuestros datos

0.57(2.054)*(0.035) < p < 0.57 + (2.054)*(0.035)0.570.07189 < p < 0.57 + 0.07189

0.49811 < p < 0.64189

Respuesta:Podemos afirmar con 96% de confianza que la fraccin que favorece el convenio se encuentra entre 0.49811

y 0.64189, es decir, 49.81% y 64.19% respectivamente.

b)Incgnita:Posible error de estimacin.

Solucin:

%2.772.049811.057.0p-p

Respuesta:Podemos afirmar con 96% de confianza que le error de estimacin no superar el 7.2 %.

n

q*p*zp

pn

q*p*zp

2

2


41/100




Que tan grande se requiere que sea la muestra si deseamos tener una confianza de 96% de que

nuestra proporcin de la muestra estar dentro del 0.02 de la fraccin real de la poblacin votante?.

Datos:Sabemos que:

0.57p

Y que 0.43q

Incgnita:

0.9602.0p-ppquetal?n

Solucin:

ConIntervalo de error e = 0.02.

con nuestros datos

25750.0004

1.030

0.02

0.430.572.054n

2

2

votantes

Respuesta:

Si basamos nuestra estimacin de p sobre una muestra aleatoria de tamao 2575, podemos tener unaconfianza de 96% de que nuestra proporcin muestral no diferir de la proporcin real por ms de 0.02.

2

22

e

qpzn


42/100




Cierto genetista se interesa en la proporcin de hombres y mujeres en la poblacin que tienen cierto

trastorno sanguneo menor. En una muestra aleatoria de 1000 hombres se encuentra que 250 lo

padecen, mientras que 275 de 1000 mujeres examinadas parecen tener el trastorno. Calcule un

intervalo de confianza de 95% para la diferencia entre la proporcin de hombres y mujeres que

padecen el trastorno sanguneo.

Datos:

P1: hombresP2: mujeresp1: proporcin de hombres que tienen cierto trastorno sanguneo menor.p2: proporcin de mujeres que tienen cierto trastorno sanguneo menor.Tamao de la primer muestra n1= 1000 hombres.Tamao de la segunda muestra n2= 1000 mujeres.Nmero de xitos de la primer muestra x1= 250.Nmero de xitos de la segunda muestra x2= 275.

Proporcin de xitos de la primer muestra 0.25

1000

250

n

xp1

Proporcin de xito de la segunda muestra 0.2751000

275

n

xp2

Proporcin de fracasos de la primer muestra 0.750.251p1q 11

Proporcin de fracasos de la segunda muestra 0.7250.2751p1q 22

Diferencia entre proporciones de xitos 0.0250.2750.25pp 21

Intervalo de confianza IC = 95%

100 = 100(1 - )% = 95% => =0.05 => 21

z => z0.025 1.96

Incgnita:Intervalo de confianza de 96% para la diferencia de las fracciones de poblacin que favorece el convenio.

Solucin:

con nuestros datos

01967.01000

725.0*275.0

1000

75.0*25.0

con nuestros datos

0.025(1.96)*(0.01967) < p2p1< 0.025 + (1.96)*(0.01967)0.0250.0385532 < p2p1< 0.025 + 0.0385532

0.01355 < p2p1< 0.06355

Respuesta:

Podemos afirmar con 95% de confianza que la diferencia entre la proporcin de hombres y mujeres quepadecen el trastorno sanguneo se encuentra entre0.01355 y 0.06355.

2

22

1

11

n

q*p

n

q*p

2

22

1

11

2

1212

2

22

1

11

2

12

n

q*p

n

q*p*zpppp

n

q*p

n

q*p*zpp


43/100




De acuerdo con USA Today (17 de marzo de 1997), las mujeres constituan 33.7% del personal editorial

en las estaciones locales de televisin en 1990 y el 36.2% en 1994. Suponga que se contrataron 20 nuevos

empleados para el personal editorial.

a) Estime el nmero que habran sido mujeres en cada ao respectivamente.

b) Calcule un intervalo de confianza de 95% para ver si hay evidencia de que la proporcin de mujeres

contratadas como personal editorial en 1994 fue mayor que la proporcin contratada en 1990.

Datos:Tamao de la muestra n = 20 empleados.

Proporcin de xitos en 1990 las mujeres constituan 33,7 % de 20 empleados 337.020

74.61

P

Proporcin de xitos en 1994 las mujeres constituan 36,2 % de 20 empleados 362.020

24.72

P

Proporcin de fracasos de la muestra en 1990 0.6630.3371p1q 11

Proporcin de fracasos de la muestra en 1994 0.6380.3621p1q 22

Intervalo de confianza IC = 95%100 = 100(1 - )% = 95% => =0.05 =>

21 z => z0.025 1.96 .

a) Incgnita:Estimar el nmero que habran sido mujeres en cada ao.

Solucin:

En 1990 el 33.7% de 20

74.6337.0*20*1

Pn 7 mujeres

En 1994 el 36.2% de 20

24.7362.0*20*2

Pn 7 mujeres

Respuesta:

Estimamos que en 1990 habra sido de 74.6 7 mujeres, y en 1994 la estimacin habra sido de 24.7 7

mujeres.

b) Incgnita:Intervalo de confianza de 95% para ver si hay evidencia de que la proporcin de mujeres contratadas

como personal editorial en 1994 fue mayor que la proporcin contratada en 1990.Solucin:

20

)638.0(*)362.0(

20

)663.0(*)337.0(*)96.1(0.362-0.337

20

)638.0(*)362.0(

20

)663.0(*)337.0(*)96.1(0.362-0.337 12 pp

20

)638.0(*)362.0(

20

)663.0(*)337.0(*)96.1(025.0

20

)638.0(*)362.0(

20

)663.0(*)337.0(*)96.1(025.0 12 pp

295430.0025.0295430.0025.012

pp

27043.032043.0 12 pp

Respuesta:

Podemos afirmar con 95% de confianza que no hay ninguna evidencia para asegurar que la proporcin demujeres contratadas como personal en 1994 fue mayor que la proporcin contratada en 1990.

2

22

1

112/1212

2

22

1

112/12

***

***

n

qp

n

qpZPPpp

n

qp

n

qpZPP


44/100




Un fabricante de bateras para automvil afirma que sus bateras duraran, en promedio, tres aos con

una varianza de un ao. Si cinco de estas bateras tienen duraciones de 1.9, 2.4, 3.0, 3.5 y 4.2 aos,

construya un intervalo de confianza de 95% para 2y decida si la afirmacin del fabricante de que 2=

1 es vlida. Suponga que la poblacin de duraciones de las bateras se distribuye de forma

aproximadamente normal.

Datos:

P:bateras de automvil.X: tiempo de duracin en aos de una batera.Media poblacional x= 3 aos.Desviacin estndar poblacional x= 1 ao.Intervalo de varianza IC = 95%.Tamao de la muestra n = 5 bateras.

Incgnita:

2= 1 2ao

Solucin:

Se desea estimar el valor de la varianza utilizando2

S como estimador.

2

2

2ao0.815

20

225241.3

45

1548.26*5s

902774.0S aos

Para el intervalo de confianza del 95% = 0.0511.113

2

0.025

2

2

0.484 20.975

2

21

con (n-1) grados de libertad Segn Tabla A.5

con nuestros datos

0.484

0.81515

11.113

0.81515 2

0.484

0.8154

11.113

0.8154 2

0.484

3.26

11.113

3.26 2

735537.6292639.0 2 ( 2

ao )

Respuesta:

Podemos afirmar con 95% de confianza que, ya que este intervalo 735537.6292639.0 2

contiene a 1,

que la afirmacin del fabricante, de que2= 1, es vlida.

13,N~Xxx

1nn

xxn

s

2n

1i

i

n

1i

2

i

2

2

21

22

2

2

2

s1n

s1n


45/100



Problema 30 (Ref: Pg. 275Ej. 8 ligado al Ej. 9Pg. 263)

Ref. Pg. 263Ej. 9

Una compaa de taxis trata de decidir si comprar neumticos de la marca A o de la B para su flotilla

de taxis. Para estimar la diferencia de las dos marcas, se lleva cabo un experimento, utilizando 12 de

cada marca. Los neumticos se utilizan hasta que se gastan. Los resultados son:

Marca A:1


s1= 5000 kilmetros.

Marca B:2


s2= 6100 kilmetros.

a) Calcule un intervalo de confianza de 95% para 12, suponga que las poblaciones se distribuyen de

forma aproximadamente normal. Puede no suponer que las varianzas son iguales.

Ref. Pg. 275Ej. 8

b) Construya un intervalo de confianza de 90% para 22

2

1 . Estamos justificados al suponer que 21

=

2

2 cuando construyamos nuestro intervalo de confianza para 12?

Datos:P1: neumticos de la marca A.P2: neumticos de la marca B.X1: duracin en kilmetros de un neumtico de la marca A.X2: duracin en kilmetros de un neumticos de la marca B.Tamao de la primer muestra n1= 12 neumticos.Tamao de la segunda muestra n2= 12 neumticos.


x = 36300 Km.


x = 38100 Km.

Desviacin estndar de la primer muestra 1s

= 5000 Km.Desviacin estndar de la segunda muestra

2s = 6100 Km.


100(1-)% = 95% => = 0.05 => 2

t Aplicando Tabla A.4 t0.025 = 2.07892 con = 21.18 grados de

libertad.

a) Incgnita:

Intervalo de confianza para la diferencia de las medias poblacionales, 12, con 95% de confianza.

Solucin:

donde2

t es el valor t con

2

2

2

1

2

1

22121

2

2

2

1

2

1

221

n

s

n

stxx

n

s

n

stxx

12

n

2

2n

2

2s

11

n

2

1n

2

1s

2

2n

2

2s

1n

2

1s


46/100



con nuestros datos

21.18

11

23100833.3

11

22083333.3

23100833.32083333.3

112

21237210000

112

21225000000

212372100001225000000

con nuestros datos

12

37210000

12

25000000080.23810036300

12

37210000

12

25000000078.23810036300

21

87.2276*080.2180087.2276*080.21800 21 4.29334.6533

21

Respuesta:Podemos afirmar con un 95% de confianza que la diferencia entre las medias poblacionales se encuentra entre

6533.4 y 2933.4.

b)Incgnita:Intervalo de confianza de 90% para 21/ 22.

Solucin:


100(1-)% = 90% => = 0.10 =>2

f Aplicando Tabla A.6

f0.05 = 2.80 con (n11, n2- 1), es decir, con (11, 11) grados de libertad.

con nuestros datos

80.237210000

25000000

80.2

1

37210000

25000000

2

2

2

1

894652.1238249.02

2

2

1

Respuesta:

Podemos afirmar con 90% de confianza que 22

2

1 se encuentra entre 0.238249 y 1.894652, ya que el

intervalo contiene a 1 es razonable asumir que21 = 22.

21,

22

2

21

22

21

21,2

22

21

fs

s

f

1

s

s


47/100




Suponga que un alerglogo desea probar la hiptesis de que al menos 30% del pblico es alrgico a

algunos productos de queso. Explique como el alerglogo puede cometer:

a) Un error tipo I.

b) Un error tipo II.

Solucin:

0H ) Al menos el 30% del pblico es alrgico a algunos productos de queso.

1H ) Menos del 30% del pblico es alrgico a algunos productos de queso.

p proporcin de pblico que es alrgico a algunos productos de queso.

En smbolos:

30.0)0 pH 30.0)1 pH

El rechazo de la hiptesis nula cuando es verdadera se llama error de tipo I.

a)Cuando concluye que al menos de 30% del pblico es alrgico a algunos productos de queso cuando, dehecho, el 30% o ms son alrgicos.

El no rechazo de la hiptesis nula cuando es falsa se llama error tipo II.

b)Cuando concluye que al menos el 30% del pblico es alrgico a algunos productos de queso cuando, dehecho, menos del 30% son alrgicos.


48/100




Se estima que la proporcin de adultos que viven en una pequea ciudad que son graduados

universitarios es p = 0.6. Para probar esta hiptesis se selecciona una muestra aleatoria de 15 adultos.

Si el nmero de graduados en nuestra muestra es cualquier nmero de 6 a 12, aceptaremos la hiptesis

nula de que p = 0.6 en caso contrario, concluiremos que p 0.6

a) Evale con la suposicin de que p = 0.6. Utilice la distribucin binomial.

b) Evale para las alternativas p = 0.5 y p = 0.7.

c) Es este un buen procedimiento de prueba?.

Datos:

P : adultos graduados universitarios.p : proporcin de adultos graduados universitarios.X : un adulto graduado universitario de esa poblacin.Tamao de la muestra n = 15 adultos.Regin de aceptacin 6 x 12 graduados universitarios.

Hiptesis nula H0 : p = 0.6.Hiptesis alternativa H1 : p 0.6.

a)Incgnita:Probabilidad de error tipo I,

Solucin:Proporcin de adultos graduados universitarios p = 0.6 graduados universitarios.

= P(error tipo I) = P(6


49/100




Repita el ejercicio 4 cuando se seleccionan 200 adultos y la regin de aceptacin se define como 110 x

130 donde x es el nmero de graduados universitarios en nuestra muestra. Utilice la aproximacin

normal.

Datos:

Tamao de la muestra n = 200 adultos.Regin de aceptacin 110 x 130 graduados universitarios.

Hiptesis nula H0: p = 0.6.Hiptesis alternativa H1: p 0.6.


Solucin:Proporcin de adultos graduados universitarios p = 0.6 graduados universitarios.

Media 1206.0*200* pn .

Desviacin estndar 9282.64.0*6.0*200** qpn

Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre

110 x 130 110 - 0.5 y 130 + 0.5 109.5 y 130.5

52.1928.6

1205.109

z y 52.1

928.6

1205.130

z

= P(error tipo I) = P(110 > x > 130 | p = 0.6) = P( x < 110 | p = 0.6) + P( x > 130 | p = 0.6) == P(z < -1.52) + P(z < 1.52) = (2)*(0.0643) = 0.1286 = 12.86%.

Respuesta:

La probabilidad de cometer un error tipo I con p = 0.6 es del 12.86%.

b)Incgnita:Probabilidad de error tipo II,

Solucin:

Proporcin de adultos graduados universitarios p = 0.5 graduados universitarios.

Media 1005.0*200* pn .

Desviacin estndar 0712.75.0*5.0*200** qpn

Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre110 x 130 110 - 0.5 y 130 + 0.5 109.5 y 130.5

yZ


50/100



34.107.7

1005.109

z y 31.4

07.7

1005.130

z

= P(error tipo II) =P(110


51/100




Se pregunta a una muestra aleatoria de 400 votantes en cierta ciudad si estn a favor de un impuesto

adicional de 4% sobre la venta de gasolina para proporcionar ingresos que se necesitan con urgencia

para la reparacin de calles. Si ms de 220 pero menos de 260 favorecen el impuesto sobre ventas,

concluiremos que 60% de los votantes lo apoyan.

a) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo I si 60% de los votantes estn a favor del

aumento de impuestos.

b) Cul es la probabilidad de cometer un error de tipo II al utilizar este procedimiento de prueba si en

realidad slo 48% de los votantes est a favor del impuesto adicional a la gasolina?

Datos:

P : votantes de una cierta ciudad.p : proporcin de votantes a favor del impuesto.X : un votante de esa ciudad.Tamao de la muestra n = 400 votantes.Regin de aceptacin 220 < x < 260 221 x 259 votantes que favorecen el impuesto.



Solucin:

Proporcin de votantes a favor del impuesto p = 0.6 votantes a favor del impuesto.

Media = n*p = (400)*(0.6) = 240.

Desviacin estndar = 4.0*6.0*400** qpn 9.79

Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre221 x 259 221 - 0.5 y 259 + 0.5 220.5 y 259.5

99.179.9

2405.220

z

y99.1

79.9

2405.259

z

= P(error tipo I) = P(221 > x > 259 | p = 0.6) = P( x < 221 | p = 0.6) + P( x > 259 | p = 0.6) ==P(z < -1.99) + P(z < 1.99) = (2)*(0.0233) = 0.0466 = 4.66%.

Respuesta:

La probabilidad de cometer un error tipo I con p = 0.6 es del 4.66%.

yZ


52/100




Solucin:

Proporcin de adultos graduados universitarios p = 0.48 graduados universitarios.

Media = n*p = (400)*(0.48) = 192.

Desviacin estndar = 52.0*48.0*400** qpn 9.99

Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre 220.5 y 259.5

85.299.9

1925.220

z y 75.6

99.9

1925.259

z

= P(error tipo II) =P(221 < x < 259 |p = 0.48) = P(2.85< z < 6.75) = P(z 6.75) P(z 2.85) ==10.9978 = 0.0022 = 0.22%.

Respuesta:La probabilidad de cometer un error tipo II con p = 0.48 es del 0.22%.

yZ


53/100




Suponga que, en el ejercicio 12, concluimos que 60% de los votantes est a favor del impuesto a la venta

de gasolina si ms de 214 pero menos de 266 votantes de nuestra muestra lo favorece. Muestre que esta

nueva regin de aceptacin tiene como resultado un valor ms pequeo para a costa de aumentar .

Datos:

Tamao de la muestra n = 400 votantes.Regin de aceptacin 214 < x < 266 215 x 265 votantes que favorecen el impuesto.



Solucin:Proporcin de votantes a favor del impuesto p = 0.6 votantes a favor del impuesto.

Media = n*p = (400)*(0.6) = 240.Desviacin estndar = 79.94.0*6.0*400** qpn Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre

215 x 265 215 - 0.5 y 265 + 0.5 214.5 y 265.5

60.279.9

2405.214

z y 60.2

79.9

2405.265

z

= P(error tipo I) = P(214 > x > 266, cuando p = 0.6) = (2)*P(z < -2.60) = (2)*(0.0047) = 0.0094 = 0.94%.

Respuesta:La probabilidad de cometer un error tipo I con p = 0.6 es del 0.94%.


Solucin:Proporcin de adultos graduados universitarios p = 0.48 graduados universitarios.Media = n*p = (400)*(0.48) = 192.Desviacin estndar = 99.952.0*48.0*400** qpn

Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre 214.5 y 265.5215 x 265 215 - 0.5 y 265 + 0.5 214.5 y 265.5

25.299.9

1925.214

z y 35.7

99.9

1925.265

z

= P(error tipo II) =P(214 < x < 266, cuando p = 0.48) =P(2.25 z 7.35) = P(z 7.35) P(z 2.25) == 10.9878 = 0.0122 = 1.22%.

Respuesta:La probabilidad de cometer un error tipo II con p = 0.48 es del 1.22%.

yZ

yZ


54/100




Una mquina de refrescos en un restaurante de carnes asadas se ajusta de modo que la cantidad de

bebida que sirva est distribuida de forma aproximadamente normal con una media de 200 mililitros y

una desviacin estndar de 15 mililitros. La mquina se verifica peridicamente con una muestra de

nueve bebidas y con el clculo del contenido promedio. Si x cae en el intervalo 191 < x < 209, se

considera que la mquina opera de manera satisfactoria: de otro modo, concluimos que 200

mililitros.

a) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo I cuando = 200 mililitros.

b) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo II cuando = 215 mililitros.

Datos:

P : bebida que sirve cierta maquina de refresco.X : medida en mililitros de esa maquina de refresco.Tamao de la muestra n = 9 bebidas.Desviacin estndar poblacional = 15 mililitros.

Desviacin estndar muestral3

15

9

15

n

x

x = 5mililitros.

Regin de aceptacin 191 < x < 209.

Hiptesis nula H0: = 200 mililitros.Hiptesis alternativa H1: 200 mililitros.


Solucin:Media = 200 mililitros.Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre 191 y 209

5

200191z

= -1.80 y5

200209z

= 1.80

= P(error tipo I) = P(191 > x > 209) = (2)*P(z < -1.80) = (2)*(0.0359) = 0.0718 = 7.18%.

Respuesta:La probabilidad de cometer un error tipo I con es del 7.18%.


Solucin:Media = 215 mililitros.Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre 191 y 209

5

215191z

= -4.80 y5

215209z

= -1.20

= P(error tipo II) =P(191 < x < 209) =P(-4.80 z -1.20) = P(z -1.20)P(z -4.80) == 0.11510 = 0.1151 = 11.51%.

Respuesta:La probabilidad de cometer un error tipo II es del 11.51%.

15,200N~X xx

15,200N~X xx


55/100




Una empresa elctrica fabrica focos que tienen una duracin que se distribuye de forma

aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviacin estndar de 40 horas. Prueba

la hiptesis de que = 800 horas contra la alternativa de que 800 horas si una muestra aleatoria de

30 focos tiene una duracin promedio de 788 horas. Utilice un nivel de significancia de 0.04.

Datos:P : focos fabricados en cierta empresa elctrica.X : duracin en horas de un foco fabricado en esa empresa elctrica.Tamao de la muestra n = 30 focos.Desviacin estndar poblacional = 40 horas.Media muestral x = 788 horas.

Desviacin estndar muestral 30.730

40

x

x

n

mililitros.

Nivel de significancia = 0.04

Hiptesis nula H0: = 800 horas.Hiptesis alternativa H1: 800 horas.

Incgnita:Rechazo o aceptacin de la hiptesis nula.

Solucin:

Es conveniente estandarizar X e incluir de manera formal la variable aleatoria normal estndar Z, donde

30.7

800788 z =-1.64

Si2

2

zzz , no se rechaza H0.

204.0

204.0

zzz

02.002.0 zzz Aplicando Tabla A.3.

2.055 < z < 2.055

Respuesta:

No rechazamos la hiptesis nula ya que el valor de z hallado se encuentra dentro de la regin de no rechazo.

40,788N~X xx

n

Xz


56/100




Se afirma que un automvil se maneja en promedio ms de 20000 kilmetros por ao. Para probar esta

afirmacin, se pide a una muestra de 100 propietarios de automviles que lleven un registro de los

kilmetros que viajen. Est de acuerdo con esta afirmacin si la muestra aleatoria muestra un

promedio de 23500 kilmetros y una desviacin estndar de 3900 kilmetros?. Utilice un valor P en su

conclusin.

Datos:

Tamao de la muestra n = 100 automviles.Media muestral x = 23500 kilmetros.Desviacin estndar muestral x= 3900 kilmetros.

Hiptesis nula H0: 20000 kilmetros.Hiptesis alternativa H1: > 20000 kilmetros.

Incgnita:Rechazo o aceptacin de la hiptesis nula.

Solucin:

Es conveniente estandarizar X e incluir de manera formal la variable aleatoria normal estndar Z, donde

100/3900

2000023500 z = 8.97.

P= P(Z > 8.97) 1-1 = 0

Respuesta:

Rechazamos la hiptesis nula y concluimos que 20000 Kilmetros.

n

Xz


57/100




a) Ref. Pg. 326Ej. 7

Pruebe la hiptesis de que el contenido promedio de los envases de un lubricante particular es de 10

litros si los contenidos de una muestra aleatoria de 10 envases son 10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9,

10.4, 10.3 y 9.8 litros. Utilice un nivel de significancia de 0.01 y suponga que la distribucin del

contenido es normal.

b) Ref. Pg. 339Ej.1

Se sabe que el volumen de los envases de un lubricante particular se distribuye normalmente con una

varianza de 0.03 litros. Pruebe la hiptesis de que 2= 0.03 contra la alternativa de que 2 0.03 para la

muestra aleatoria de 10 envases del ejercicio 7 de la pgina 326. Use un nivel de significanca de 0.01.

a) Ref. Pg. 326Ej. 7

Datos:P : envases de un lubricante.

X : contenido en litros de un envase de ese lubricante.Tamao de la muestra n = 10 envases.

Media muestraln

X

x

n

1i

i 10.06

10

9.810.310.49.99.80.1110.310.19.710.2

litros.


1n

XX

s

n

1i

2

i

litros0.24580.0604

9

0.544

9

20.2620.2420.3420.1620.2620.0420.2420.0420.3620.14

s9

210.06)(9.8

210.06)(10.3

210.06)(10.4

210.06)(9.9

210.06)(9.8

210.06)(10.1

210.06)(10.3

210.06)(10.1

210.06)(9.7

210.0610.2


Hiptesis nula H0: = 10 litros.Hiptesis alternativa H1: 10 litros.

Incgnita:Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula.

Solucin:

7722.00777.0

1006.10t

.

Si1n,

21n,

2

ttt

, no se rechaza H0.

9,2

01.09,2

01.0 ttt

9,005.09,005.0 ttt Aplicando Tabla A.4.

- 3.250 < t < 3.250

Respuesta:No rechazamos la hiptesis nula ya que el valor de t hallado se encuentra dentro de la regin de No Rechazo.

n

s

Xt


58/100



b) Ref. Pg. 339Ej.1

Datos:

Tamao de la muestra n = 10 envases.

Media muestraln

X

x

n

1i

i 10.06

10

9.810.310.49.99.80.1110.310.19.710.2

litros.


1n

XX

s

n

1i

2

i

litros.0.24580.0604

9

0.544

9

20.2620.2420.3420.1620.2620.0420.2420.0420.3620.14

s9

210.06)(9.8

210.06)(10.3

210.06)(10.4

210.06)(9.9

210.06)(9.8

210.06)(10.1

210.06)(10.3

210.06)(10.1

210.06)(9.7

210.0610.2


Hiptesis nula H0: 2= 0.03 litros.Hiptesis alternativa H1: 2 0.03 litros.


Solucin:

13.18

0.03

5436.0

0.03

0.0604*9

0.03

0.2458*110x

2

2

Si 2

= 18.13 cuando v = 101 = 9 grados de libertad

Segn Tabla A.5 => 0.025 < P(2>18.13) < 0.05

Respuesta:

No rechazamos la hiptesis nula ya que la muestra de 10 envases no es suficiente para mostrar que 2 no esigual a 0.03.

2

2

2

s*1x

n


59/100




Una muestra aleatoria de tamao n1= 25, que se toma de una poblacin normal con una desviacin

estndar 1= 5.2, tiene una media 1x = 81. Una segunda muestra aleatoria de tamao n2= 36, que se

toma de una poblacin normal diferente con una desviacin estndar 2= 3.4, tiene una media 2x = 76.

Pruebe la hiptesis de que 1= 2contra la alternativa 1 2. Cite un valorP en su conclusin.

Datos:

Tamao de la primer muestra n1= 25.Desviacin estndar de la primer poblacin 1= 5.2.Media de la primer muestra

1x = 81.

Tamao de la segunda muestra n2= 36.Desviacin estndar de la segunda poblacin 2= 3.4.Media de la segunda muestra

2x = 76.

Hiptesis nula H0: 1= 2.Hiptesis alternativa H1: 1 2.

Incgnita:

Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula.

Solucin:

222.4

184.1

5

36

56.11

25

04.27

07681

z

p = P(z > 4.222) 1-1 = 0

Respuesta:

Rechazamos la hiptesis nula ya que la probabilidad de que ocurra es aproximadamente del 0%.


2.5,81N~X11 xx1

4.376,N~X22 xx2

2

2

2

1

2

1

2121

n

n

XX

z


60/100



a)Ref. Pg. 327Ej.18

Una compaa armadora de automviles trata de decidir si compra llantas de la marca A o de la B para

sus modelos nuevos. Se lleva a cabo un experimento, para ayudar a llegar a una decisin, en el que se

usan 12 llantas de cada marca. Las llantas se utilizan hasta que se acaban. Los resultados son:

Marca A:1


s1= 5100 kilmetros.

Marca B:2


s2= 5900 kilmetros.

Prueba la hiptesis de que no hay diferencias en las dos marcas de llantas con un nivel de significancia

de 0.05. Suponga que las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal con varianzas

iguales.

b) Ref. Pg. 340Ej.9

Con referencia al ejercicio 18 de la pgina 327, pruebe la hiptesis de que 1= 2contra la alternativa

de que

1< 2, donde

1y 2son las desviaciones estndar de las distancias que se obtienen por lasllantas marca A y marca B, respectivamente. Utilice un nivel de significancia de 0.05.

a)Ref. Pg. 327Ej.18

Datos:Tamao de la primer muestra n1= 12 llantas.Tamao de la segunda muestra n2= 12 llantas.Desviacin estndar de la primer muestra s1= 5100 Km.Desviacin estndar de la segunda muestra s2= 5900 Km.


x = 37900 Km.

Media de la segunda muestra 2x

= 39800 Km.




Solucin:

Con nuestros datos:

.52.5514

22

669020000

22

382910000286110000

21212

11*3481000011*26010000Kmsp

2

1*1*

21

2

2

21

2

1

nn

nsnss

p

21

2121

n

1

n

1

XX

ps

t


61/100



Con nuestros datos:

84.092.2249

1900

0.4085514.52

1900

12

1

12

15514.52

03980037900

t

Si2nn,

22nn,

2 2121ttt

, no se rechaza H0.

21212,2

05.021212,2

05.0 ttt


074.2074.2 t

Respuesta:No rechazamos la hiptesis nula ya que el valor de t hallado se encuentra dentro de la regin crtica.

b) Ref. Pg. 340Ej.9

Datos:

Tamao de la primer muestra n1= 12 llantas.Tamao de la segunda muestra n2= 12 llantas.Desviacin estndar de la primer muestra s1= 5100 Km.

Desviacin estndar de la segunda muestra s2= 5900 Km.Media de la primer muestra

1x = 37900 Km.


x = 39800 Km.

Hiptesis nula H0: 21 Hiptesis alternativa H1: 21



Solucin:

Sabemos que:

con nuestros datos:

111121

v y 111122 v grados de libertad

82.211,1105.0 f Segn Tabla A.6

21

v,v

con 111

nv y 122 nv grados de libertad

12

211

,

1,

ff

con 1

11 nv y 122 nv grados de libertad


62/100



Con nuestros datos:

35.02.82

1

11,11

111,11

0.05

0.95

ff

Grficamente:

La hiptesis nula se rechaza cuando 82.2f 35.0f , donde2

2

2

1

s

sf , con 111 v y 111 v

grados de libertad.

con nuestros datos:

.260100005100 221 kmS

.348100005900 222

kmS

y por ello 7472.034810000

23010000f

Respuesta:Rechazamos la hiptesis nula, para 12= 22, ya que el valor de f hallado es f < 0.35, 0.7472 < 0.35.



63/100



a)Ref. Pg. 328Ej. 21

Los siguientes datos representan los tiempos de duracin de pelculas producidas por dos compaas

cinematogrficas:

Compaa Tiempo (minutos)

1 102 86 98 109 92

2

81 165 97 134 92 87 114

Pruebe la hiptesis de que el tiempo de duracin promedio de las pelculas producidas por la compaa

2 excede el tiempo promedio de duracin de la que produce la compaa 1 en 10 minutos, contra la

alternativa unilateral de que la diferencia es de ms de 10 minutos. Utilice un nivel de significancia de

0.1 y suponga que las distribuciones de los tiempos son aproximadamente normales con varianzas

iguales.

b) Ref. Pg. 340Ej. 10

Con referencia al ejercicio 21 de la pgina 328, pruebe la hiptesis de que 21= 22contra la alternativa

de que 21 22, donde 21y 22son las varianzas para los tiempos de duracin de pelculas producidas

por la compaa 1 y la compaa 2, respectivamente. Utilice un nivel de significancia de 0.10.

a)Ref. Pg. 328Ej. 21

Datos:X1: tiempo de duracin en minutos de una pelcula producida por la compaa 1.X2: tiempo de duracin en minutos de una pelcula producida por la compaa 2.Tamao de la primer muestra n1= 5 pelculas.Tamao de la segunda muestra n2= 7 pelculas.


n

1i

i

1n

X

x

97.45

921099886102

minutos.


n

1i

i

2n

X

x

110.

7

11487921349716581

minutos.

Desviacin estndar de la primer muestra

1n

XX

s

1

n

1i

2

i

1

s8.87minuto78.8

4

315.2

4

25.4-211.620.62.41124.6

4

2)4.97(92

297.4)(109

297.4)(98

297.4)(86297.4102

1s

86.19,4.97N~X11 xx1

95.79,110N~X22 xx2


64/100



Desviacin estndar de la segunda muestra

1n

XX

s

2

n

1i

2

i

2

utosmin22.30913.3

6

5480

6

242)23218-224213-255229-

6

2110)(114

2110)(87

2110)(92

2110)(134

2110)(97

2110)(165211081

2s

Hiptesis nula H0: 2 - 1 10 minutos.Hiptesis alternativa H1: 2 - 1 > 10 minutos.


Incgnita:

Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula.

Solucin:

con nuestros datos:

22.0

09.12

6.2

19.146

6.2

15.7346.130

106.12

5

78.67

7

913.24

104.97110

t

Si,

2

,2

ttt , no se rechaza H0.

Con

738.7

65.2898

44.21374

75.283690.61

44.21374

6

81.17019

4

75.247

22.146

6

246.130

4

274.15

246.13074.15

17

2725.913

15

2568.78

2725.913568.78

12

2

2

2

2

11

2

1

2

1

2

2

2

21

2

1

n

ns

n

ns

nsns

entonces:7,

21.07,

21.0 ttt


998.2998.2 t

Respuesta:No rechazamos la hiptesis nula ya que el valor de t hallado se encuentra dentro de la regin crtica.b) Ref. Pg. 340Ej. 10

1

2

1

2

2

2

1212

n

s

n

s

XX

t


65/100



Datos:

Tamao de la primer muestra n1= 5 pelculas.Tamao de la segunda muestra n2= 7 pelculas.


n

1i

i

1

n

X

x

97.4

5

921099886102

minutos.


n

1i

i

2n

X

x

110.

7

11487921349716581

minutos

Desviacin estndar de la primer muestra

1n

XX

s

1

n

1i

2

i

1

s8.87minuto78.8

4

315.2

4

25.4-211.620.62.41124.6

4

2)4.97(92

297.4)(109

297.4)(98

297.4)(86297.4102

1s

Desviacin estndar de la segunda muestra

1n

XX

s

2

n

1i

2

i

2

utosmin22.30913.36

5480

6

242)23218-224213-255229-

6

2110)(114

2110)(87

2110)(92

2110)(134

2110)(97

2110)(165211081

2s




Solucin:Sabemos que:

Con nuestros datos:

4151

v y 6172

v grados de libertad entonces:

53.46,4 05.0 Segn Tabla A.6

21

v,v

con 111

nv y 122 nv grados de libertad

12

211

,

1,

ff

con 1

11 nv y 122 nv grados de libertad


66/100



Con nuestros datos:

16.06.161

6,4

14,6

0.05

0.95 ff

Grficamente:

La hiptesis nula se rechaza cuando 53.4f 16.0f , donde2

2

2

1

s

sf , con 41 v y 61 v

grados de libertad.

con nuestros datos:

.min7.788.87 221

utosS y

.min25.91330.22 222

utosS

y por ello 09.0913.25

78.7f

Respuesta:Rechazamos la hiptesis nula, para 12= 22, ya que el valor de f hallado es f < 0.16, 0.09 < 0.16.



67/100



En cierta universidad se estima que a lo ms 25% de los estudiantes van en bicicleta a la escuela. Esta

parece ser una estimacin valida si, en una muestra aleatoria de 90 estudiantes universitarios, se

encuentra que 28 van en bicicleta a la escuela?. Utilice un nivel de significancia de 0.05.

Datos:

P : estudiantes de cierta universidad.X : un estudiante de esa universidad.Tamao de la muestra n = 90 estudiantes.Cantidad de estudiantes que van en bicicleta x = 28 estudiantes.Proporcin de estudiantes que en bicicleta p = 0.25

Proporcin de estudiantes que no andan en bicicleta 75.0q

Media = n*p = (90)*(0.25) = 22.5 estudiantes.Desviacin estndar = 10.475.0*25.0*90** qpn estudiantes.

Hiptesis nula H0: p 0.25.

Hiptesis alternativa H1: p > 0.25.



Solucin:

Rechazamos H0 si Z < -1.64 siendo

Con nuestros datos:

34.1338877.1107919.4

5.2228

Z

%1.9091.0909.0134.1134.1 ZZPP

Respuesta:No rechazamos la hiptesis nula ya que no hay suficiente evidencia para concluir que P> 0.25.


10.4,5.22N~X xx

xZ


68/100



En un estudio para estimar la proporcin de residentes de cierta ciudad y sus suburbios que estn a

favor de la construccin de una planta de energa nuclear, se encuentra que 63 de 100 residentes

urbanos estn a favor de la construccin mientras que solo 59 de 125 residentes suburbanos la

favorecen. Hay una diferencia significativa entre la proporcin de residentes urbanos y suburbanos

que favorecen la construccin de la planta nuclear?. Use un valor P.

Datos:P1: residentes urbanos de cierta ciudad.P2: residentes suburbanos de cierta ciudad.p1: proporcin de residentes urbanos a favor de la construccin de una planta de energa nuclear.p2: proporcin de residentes suburbanos a favor de la construccin de una planta de energa nuclear.Tamao de la primer muestra n1= 100 residentes urbanos.Tamao de la segunda muestra n2= 125 residentes suburbanos.Cantidad de urbanos a favor x1= 63 residentes urbanos.Cantidad de suburbanos a favor x2= 59 residentes suburbanos.

Proporcin de urbanos a favor 63.0100

63

n

xp

1

11

Proporcin de suburbanos a favor 472.0125

59

n

xp

2

22

Combinacin de las proporciones 542.0225

122

125100

5963

nn

xxp

21

21

Hiptesis nula H0: p1= p2.Hiptesis alternativa H1: p1 p2.


Solucin:

Utilizamos la aproximacin normal

36.2066.0

158.0

0044.0

158.0

018.0458.0542.0

158.0

125

1

100

1458.0542.0

472.063.0

z

P(z > 2.36 ) = 2* P(z > 2.36) = 2*(10.9909) = 0.0182 = 1.82%

Respuesta:Rechazamos la hiptesis nula ya que hay una probabilidad de que ocurra del 1.82%. La proporcin de losresidentes urbanos a favor de la construccin de una planta de energa nuclear es mayor que la proporcin delos residentes suburbanos a favor de la construccin de dicha planta.

Problema 45 (Ref: Pg. 335/336Ej. 10)

21

21

11

nnqp

ppz


69/100



En un estudio sobre la fertilidad de mujeres casadas por Martn O`Connell y Carolyn C. Rogers para

la Oficina de Censos en 1979, se seleccionaron al azar dos grupos de esposas con edades de 25 a 29 sin

hijos y a cada mujer se le pregunt si planeaba tener un hijo. Se seleccion un grupo entre las mujeres

con menos de dos aos de casadas y otro entre las que tenan cinco aos de casadas. Suponga que 240

de 300 con menos de dos aos de casadas planean tener algn da un hijo comparadas con 288 de las

400 con cinco aos de casadas. Podemos concluir que la proporcin de mujeres con menos de dos

aos de casadas que planean tener hijos es significativamente ms alta que la proporcin con cinco aos

de casadas?. Use un valor P.

Datos:P1: mujeres con menos de dos aos de casada.P2: mujeres con cinco aos de casadas.p1: proporcin de mujeres con menos de dos aos de casadas.p2: proporcin de mujeres con cinco aos de casadas.Tamao de la primer muestra n1= 300 mujeres con menos de dos aos de casadas.Tamao de la segunda muestra n2= 400 mujeres con cinco aos de casadas.Cantidad con menos de dos aos de casadas x1= 240 mujeres.

Cantidad con cinco aos de casadas x2= 288 mujeres.Proporcin con menos de dos aos 80.0

300

240

n

xp

1

11

Proporcin con cinco aos 72.0400

288

n

xp

2

22

Combinacin de las proporciones 754.0700

528

400300

288240

21

21

nn

xxp

Hiptesis nula H0: p1 p2.Hiptesis alternativa H1: p1 p2.


Solucin:Utilizamos la aproximacin normal

44.2032893616.0

08.0

00108199.0

08.0

0055.0246.0754.0

08.0

400

1

300

1246.0754.0

72.080.0

z

P(z > 2.44 ) = 1P(z 2.44) = 10.9927 = 0.0073 = 0.73%.

R

solucionario sexta

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