SOLUCIONARIO MATEMÁTICAS APLICADAS 4º ESO · Matemáticas 4º ESO Aplicadas UNIDAD 2:...

3º ESO

UNIDAD 2: Proporcionalidad y porcentajes

SOLUCIONARIO MATEMÁTICAS APLICADAS

4º ESO

Matemáticas 4º ESO Aplicadas

UNIDAD 2: Proporcionalidad y porcentajes SOLUCIONARIO

2

UNIDAD 2: Proporcionalidad y porcentajes

EJERCICIOS Y ACTIVIDADES‐PÁG. 35

1. Calcula el cuarto proporcional en los siguientes casos:

a) b) c) d) e)

a) 1 3 93

xx

b)

2 2·6 4 34 6

x x x

c)

2

4,5 33 2·4,5 3x x x

d) 0,8 2

55·0,8 2 2

xx x

e)

3,6 5·3,6 6 36 5

x x x

2. Calcula el medio proporcional en los siguientes casos:

a) b) c) d) e)

a) 22 16 48x x x

x

b) 212 36 63x x x

x

c)

20,5 4 28x x x

x

d)

20,72 1, 44 1,22x x x

x

e)

20,8 0,16 0, 40,2x x x

x

3. Completa la siguiente tabla de proporcionalidad directa indicando su razón de proporcionalidad.

Constante de proporcionalidad:

23

k

4. Completa la siguiente tabla de proporcionalidad inversa indicando su razón de proporcionalidad.

Constante de proporcionalidad:

6k

Magnitud A 2 6 0,8 0,8 10 24

Magnitud B 3 9 1,2 1,2 15 36

Magnitud A 2 6 5 0,8 0,4 24

Magnitud B 3 1 1,2 7,5 15 0,25



3


5. Si 3 kilos de patatas cuestan 1,80 €. ¿Cuánto cuestan 7 kilos? La relación de proporcionalidad es directa.

3 1,80 7·1,80 4,27 3

xx

Los 7 kilos de patatas cuestan 4,20 €.

6. Con 3,5 kilos de pintura de hemos pintado una superficie de 14 m2 de pared. ¿Qué superficie se pintará con 25 kilos de pintura? La relación de proporcionalidad es directa; a más pintura, más superficie pintada.

3,5 14 14·25 10025 3,5

xx

Con 25 kg de pintura se puede pintar una superficie de 100 m2. 7. Si un coche circula a una velocidad media de 120 km/h tarda 3 horas en recorrer la distancia entre las ciudades A y B. ¿Cuánto tardaría en recorrer esa distancia si circulase a 90 km/h? La velocidad y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales. A más velocidad menos tiempo, y en la misma razón.

Al ser la relación inversa, invertimos una de las razones:

120 120·3 490 3 90

x x

Se tardarán 4 horas en recorre la distancia de A a B. 8. Tres obreros tardan cuatro días y medio en realizar un determinado trabajo. ¿Cuánto tiempo tardarán cinco obreros? Las magnitudes son inversamente proporcionales. Invertimos una de las dos magnitudes

3 4,5·3 2,75 4,5 5

x x

Los 5 obreros tardarán 2,7 días en hacer el trabajo.


9. Tres amigos realizan un trabajo por el que perciben 1500 €. Luis ha trabajado 2 días, Cristina 3 días y Blanca 5 días. ¿Cuánto dinero tiene que recibir cada uno en proporción al tiempo que han dedicado al trabajo? El reparto ha de ser directamente proporcional.

Calculamos la cantidad unitaria: 1500 1500 150

2 3 5 10N

a b c

Patatas (kg) (D) Precio (€) 3 --------------------------- 1,80 7 ----------------------------- x

Pintura (kg) (D) Superficie (m2) 3,5 ---------------------------- 14 25 ----------------------------- x

Velocidad (km/h) (I) Tiempo (h) 120 ------------------ --------------------3 90 ------------------- --------------------x

Obreros (I) Tiempo (días) 3 ---------------------------- 4,5 5 ----------------------------- x



4

Ahora calculamos lo que recibirá cada uno de ellos:

Luis 2 ∙ 150 = 300 €

Carlos 3 ∙ 150 = 450 €

María 5 ∙ 150 = 750 € Comprobamos: 300+450+750 = 1500 10. En una carrera popular deciden repartir tres premios valorados en total en 660 € entre los tres primeros clasificados de manera inversamente proporcional al puesto ocupado. ¿Cuánto dinero recibirá cada deportista según el puesto que ha ocupado? Como indica el enunciado, el reparto es inversamente proporcional:

La cantidad unitaria es: 660 660 3601 1 1 1 1 1 11

1 2 3 6

N

a b c


Primero 1 ∙ 360 = 360 €

Segundo 1·360 1802

€

Tercero 1·360 1203

€

Comprobamos: 360+180+120 = 660 € 11. Tres socios invierten 1 200€, 2 000€ y 1 500€ en bolsa. Después de un año recogen 6000€ de beneficio. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno? El reparto ha de ser directamente proporcional.

Calculamos la cantidad unitaria: 6000 6000 1, 2766

1200 2000 1500 4700N

a b c


Primer socio: 1200∙1,2766 = 1 531,92 €

Segundo socio 2 000 ∙ 1,2766 = 2 553,20 €

Tercer socio 1 500 ∙ 1,2766 =1914,90 € Comprobamos: 1 531,92+2 553,20+1 914,90 = 6 000,02 Los dos céntimos de más salen por cuestiones de redondeo.


12. Un granjero tiene 48 vacas y con 1000 € puede comprar comida para 10 días. Si aumentan en 12 el número de cabezas de ganado, ¿para cuántos días tendrá comida si tiene 125 € más de presupuesto? Establecemos las relaciones de proporcionalidad Entre el número de vacas y los días que dura la comida: Inversa Entre el dinero y los días que dura la comida: Directa

Número de vacas Dinero (€) Tiempo que dura (días) 48 1000 10 60 1125 x

(D)



5

Establecemos la igualdad entre las fracciones, invirtiendo la de las vacas:

10 60 1000 10 60000· 948 1125 54000

xx x

Con ese presupuesto y ese número de vacas, tendremos comida para 9 días. 13. En una fábrica de tomate, 7 máquinas llenan 4375 envases en 5 horas. ¿Cuántos envases llenarán 6 máquinas en 8 horas? Establecemos las relaciones de proporcionalidad con la incógnita: Nº de máquinas y nº de envases: Directa Nº de envases y tiempo: Directa

Las tres fracciones ahora se escriben tal como aparecen:

4375 7 5 4375 35· 60006 8 48

xx x

En la fábrica, con 6 máquinas trabajando 8 horas, se envasarán 6000 envases de tomate.

14. Para construir una carretera necesitan realizar movimientos de tierra. Si 16 máquinas mueven 2400 m3 de tierra en 12 días, ¿cuántos días necesitarán 12 máquinas para mover 1800 m3 de tierra? Nº de máquinas y tiempo: Inversa; si hay el doble de máquinas, se tarda la mitad de tiempo en mover una cantidad fija de tierra. Tierra movida y tiempo: Directa

12 12 2400 12 28800· 1216 1800 28800

xx x

12 días se tardan también para mover 1800 m3 de tierra con 12 máquinas.

(I)

Nº de máquinas Nº envases Tiempo (horas) 7 4375 5 6 x 8 D D

Nº de máquinas tierra movida (m3) Tiempo (días) 16 2400 12 12 1800 x

( I )

( D )



6

15. Juan se está entrenando para realizar el Camino de Santiago. Ha comprobado que recorre 120 Km. andando 8 horas diarias durante 5 días. ¿Cuántas horas diarias necesitará para recorrer los 180 Km que quiere hacer en 12 días? Distancia y tiempo diario: Directa. A más distancia, más horas tendrá que andar al día para completar en un número de días fijado. Tiempo total y tiempo diario: Inversa. Fijada una distancia, a más tiempo que ande al día, menos días tardaré en hacer el camino.

8 120 12 8 1440· 5,14180 5 900

xx x

Tendrá que caminar al día 5,14 horas, o lo que es lo mismo, 5 horas, 8 minutos y 24 segundos. 16. El depósito de agua de un camping puede suministrar 12 litros diarios para 25 familias durante 150 días. ¿Cuántos litros podrán suministrar a 40 familias durante 200 días? Nº de familias y cantidad de agua diaria: Inversa Tiempo y cantidad de agua diaria: Inversa

12 40 200 12 8000· 5,62525 150 3750

xx x

Para que con ese depósito haya agua para 40 familias durante 200 días, a cada familia solo le pueden dar

5,625 litros de agua al día.

Distancia (km) Tiempo diario (h) Tiempo total (días) 120 8 5 180 x 12 ( D ) ( I )

Agua diaria ( l) Nº de familias Tiempo (días) 12 25 150 x 40 200

( I )

( I )



7

17. En el campo de mi tío Luis diez trabajadores sembraron un terreno de 10.000 m2 en 9 días. ¿Cuántos días tardarán 12 trabajadores en sembrar 15.000 m2?

Nº de trabajadores y tiempo: Inversa Terreno sembrado y tiempo: Directa

9 12 10000 9 120000· 11,2510 15000 150000

xx x

Se tardarán 11,25 días en hacer ese trabajo con los 12 trabajadores.


18. Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y complétala.

% 18 3% 22,5 35% 85 4,5% 0,25 0,2% Tanto por 1 0,18 0,03 0,225 0,35 0,85 0,045 25% 0,002

19. Calcula la cantidad desconocida en cada apartado: a) 35% de 145 es a b) 4% de 1640 es b c) 3,5% de c es 122,5 d) 7% de d es 98 e) e% de 1600 es 600 f) f% de 5400 es 40,5 a) a= 0,35∙145 = 50,75 b) b = 0,04∙164065,6 c) 0,035 ∙ c = 122,5 → c = 3500 d) 0,07 ∙ d = 98 → d = 1400

e) ·1600 600 37,5%

100e e

f) ·5400 40,5 0,75%

100f f

20. Una camisa que costaba 45 € se ha rebajado 10€. ¿Qué porcentaje se ha rebajado? Calculamos que porcentaje supone 10 de 45: x∙ 45 = 10 → x = 0,2222 → 22,22% El porcentaje de la rebaja ha sido del 22,22% 21.De entre los 132 pasajeros del vuelo Bilbao – Málaga, 77 han embarcado con billete electrónico. ¿Qué porcentaje ha usado el billete electrónico? Calculamos qué porcentaje es 77 respecto a 122

x∙122 = 77 → x = 0,6311 →63,11%

El 63,11% de los viajeros, usaron el billete electrónico.

Nº trabajadores Terreno sembrado (m2) Tiempo (días) 10 10000 9 12 15000 x ( I )

( D )



8


22. Una vivienda tiene un precio 125 000 €. ¿A cuánto ascenderá su precio si el impuesto del IVA es del 10 %? Aumento del 10%: Iv = 1 + 0,10 = 1,10 CF = Iv ∙ Ci = 1,10 ∙ 125000 = 137500 El precio de la vivienda con IVA es de 137 500 €. 23. Un trabajador tiene un sueldo mensual de 1750 €. Si contribuye con el 16% de su sueldo a hacienda, ¿cuánto percibe todos los meses? Descuento del 16%: Iv = 1 ‐ 0,16 = 0,84 CF = Iv ∙ Ci = 0,84 ∙ 1750 = 1470 El trabajador recibirá al mes 1470 € 24. Tras realizarnos una reparación en casa, el operario hace un cálculo del coste del arreglo por un valor de 250 €. Si nos hace una rebaja del 25% y nos aplica un IVA del 21%. ¿Cuál es el precio final de la factura que le tenemos que abonar? Problema de porcentajes acumulados. Rebaja del 25%: Iv = 1 ‐ 0,25 = 0,75 Aumento del 21%: Iv = 1 + 0,21 = 1,21 Índice de variación total: 0,75 ∙ 1,21 = 0,9075 Precio final: CF = Iv ∙ Ci = 0,9075 ∙ 250 = 226,875 = 226,88 € Por la reparación pagaremos 226,88€ 25. En unos grandes almacenes se puede leer la siguiente oferta: ¡Aprovéchese! Hoy día sin IVA. Lo que hace el comercio es rebajar el 21% de IVA sobre un artículo al que antes le han aplicado ese 21%. ¿Cuál es el precio final de un artículo que cuesta 100 €? ¿Cuál es la rebaja real del artículo? Aumento del 21%: Iv = 1 + 0,21 = 1,21 Rebaja del 21%: Iv = 1 ‐ 0,21 = 0,79 Índice de variación total: 0,79 ∙ 1,21 = 0,9559 Precio final del artículo: 0,9559 ∙ 100 = 95,59 € La rebaja ha sido de 4, 41€. 26. El IPC (Índice de Precios de Consumo) ha variado el último año un 2,2%. Esto quiere decir que los precios han subido una media del 2,2%. Según este dato, ¿qué precio tiene actualmente un litro de gasolina si en Julio de 2017 era de 1,359 €/litro?(Dato: INE Julio 2018) Aumento del 2,2 %: Iv = 1 + 0,022 = 1,022 CF = Iv ∙ Ci = 1,022 ∙ 1,359 = 1,389 El precio actual del litro de gasolina es 1,389 €.



9


27. Calcula la cantidad final que se obtiene invirtiendo 7 500 € en un banco con las siguientes opciones.

a) A un interés simple del 4,5% durante 10 años.

7500·4,5·10 3375100 100IC r tI

La cantidad final es: CF = 7500 + 3375 = 10875 €

b) A un interés simple del 5% durante 18 meses.

Ahora el tiempo es en meses:

7500·5·18 562,5100·12 100·12

IC r tI

La cantidad final es: CF = 7500 + 562,5 = 8062,5 €

c) A un interés compuesto del 2,5% durante 15 años.

Usamos la fórmula del interés compuesto:

152,51 7500· 1 10862, 24100 100

t

F IrC C

La cantidad final será de 10862,24 €

d) A un interés compuesto de 3% durante 6 trimestres.

Usamos la fórmula del interés compuesto teniendo en cuenta que el tiempo es en trimestres y que un año tienen 4 trimestres:

631 7500· 1 7843,89100·4 100·4

t

F IrC C

El capital final será de 7843,89€

28. Juan tiene 3 000 € y quiere depositarlos en un banco durante tres años en una entidad financiera, donde le ofrecen estas dos opciones.

1ª Opción: Durante tres años con un interés simple anual del 3,35%.

2ª Opción: Durante 36 meses con un interés compuesto anual del 3,25%.

¿Qué opción debería tomar Juan?

Primera opción: Interés simple, 3 años, 3,35%

3000·3,35·3 301,5100 100IC r tI

Acumula por tanto 3301,50 €

Segunda opción: Interés compuesto en meses al 3,25% el mismo tiempo.

363, 251 3000· 1 3306,80100·12 100·12

t

F IrC C

Le conviene más la segunda opción.



10

29. Ana invierte 25 000€ en una entidad financiera durante 5 años. Primero un periodo de 3 años a un interés simple del 3,5%. Los dos años siguientes lo hace a un interés compuesto anual del 3%, pagándole los intereses mensualmente. ¿Qué cantidad final obtiene al finalizar los cinco años? Primer periodo: Interés simple anual.

25000·3,5·3 2625100 100IC r tI

Luego al final de los tres años tiene: 25000 + 2625 = 27625 €, y con esta cantidad empezamos el segundo periodo.

Segundo periodo: Interés compuesto con pagos mensuales.

2431 27625· 1 29331,04100·12 100·12

t

F IrC C

Al finalizar los 5 años, Ana tiene 29331,04 €.

EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN. EVALÚO MIS COMPETENCIAS ‐PÁGS. 50 a 54

Relación de proporcionalidad 1. Indica si los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales, inversamente

proporcionales o no existe relación de proporcionalidad. Razona tus respuestas. a. La superficie de las paredes de una habitación y el tiempo que se tarda en pintarla. b. La velocidad media que lleva un tren y el tiempo que tarda en recorrer la distancia entre dos

ciudades. c. El radio de una circunferencia y su longitud. d. El número de amigos que van al cine y el precio de todas las entradas. e. La edad de una persona y su altura. f. El número de personas que habita una vivienda y los m3 de agua consumidos en un año. g. El número de máquinas y el tiempo que tardan en realizar un trabajo. h. La base y la altura de un rectángulo de 60 m2 de superficie. a. Directamente proporcional. b. Inversamente proporcional. c. La fórmula de la longitud es L = 2πr. Si doblamos el radio, también se doblará la longitud de la circunferencia, con lo que son directamente proporcionales.

d. Directamente proporcional. e. No hay relación de proporcionalidad. f. Si se supone que todas las personas hacen el mismo gasto de agua, directamente proporcional. g. Inversamente proporcional. h. Inversamente proporcional.

2. Calcula el valor de x en las siguientes proporciones:

a. b. c. d.

a)

3 4·3 112 4 12

x x



11

b)

15 12 18·15 22,518 12

xx

c)

1,8 0, 624

24·0,6 81,8x

x

d)

3, 62 1, 5

2·3,6 4,81,5

x x

3. El dueño de la frutería “Los Niños” ha comprado 255 kilos de patatas por 216 €. Si encarga 170 kilos para el día siguiente al mismo precio. ¿Cuánto tendrá que abonar?

225 216 170·216 163,2170 225

xx

Tendrá que pagar 163,20 € por los 170 kg de patatas.

4. Juan ha ido desde Córdoba a ver a su primo que vive en Sevilla y ha tardado 2 horas en un tren que iba a 70 km/h de velocidad media. Si el tren de vuelta lleva una velocidad media de 80 km/h, ¿Cuánto tardará en llegar?

2 80 2·70 1,7570 80

xx

Tardará 1,75 h, o lo que es lo mismo, 1

hora y 45 minutos.

5. Guillermo ha encontrado en un cuaderno de recetas de su abuela como hacer su postre favorito. Los ingredientes para seis personas son:

- 200 gr de almendras tostadas - 150 gr de mantequilla - 450 gr de harina - 4 huevos Calcula los ingredientes necesarios para 3, 9 y 15 personas. La relación de proporcionalidad es directa pues los ingredientes con los números de personas son directamente proporcional. 3 personas La receta es para 6. Si reducimos las personas a la mitad, todos los ingredientes habrá que reducirlos a la mitas: Almendras: 200:2 = 100 gr Mantequilla: 150:2 = 75 gr Harina: 450 : 2 = 225 gr. Huevos: 4:2 = 2 huevos. 9 personas

Patatas (kg) (D) Precio (€) 225 -------------------------- 216 170 --------------------------- x

Tiempo (h) (I) Velocidad (km/h) 2 -------------------------- -----70 x -------------------------- -----80



12

Podemos hacer la relación con el dato de las 6 personas, pero es más fácil relacionarlo con el que acabamos de calcular, pues para 3 personas, lo que hacemos es multiplicar por 3 el número de personas para que sean las 9, con loq eu todas las cantidades habrá que multiplicarlas por 3: Almendra 300gr, Mantequilla 75∙ 3= 225 gr, Harina 225∙3 = 675 gr y huevos 6. 15 personas Multiplicamos los datos obtenidos para 3 personas, por 5: Almendra 500 gr, Mantequilla 375 gr, Harina 1125 gr y huevos 10.

6. Esta mañana han limpiado la plaza donde vivo cuatro operarios del ayuntamiento y han tardado

1hora y 20 minutos. a. Si hubiesen venido seis, ¿cuánto hubiesen tardado? b. ¿Cuánto tardarán 3 operarios?

a) La relación de proporcionalidad es inversa Pasamos el tiempo a una única unidad, por ejemplo minutos, 60 + 20 = 80 minutos

4 80·4 53,336 80 6

x x

Seis trabajadores hubieran tardado solo

53,33 minutos, o lo que es lo mismo, 53 minutos y 20 segundos.

b) El apartado podemos resolverlo exactamente igual, o teniendo en cuenta, que con respecto a los

operarios, hemos reducido a la mitad lo que acabamos de calcular, con lo que el tiempo total invertido

será el doble, esto es, 106 minutos y 40 segundos; 1 hora 46 minutos y 40 segundos. 7. En una carrera popular tienen previsto repartir 660 € en premios. Se le dará un premio a los tres

primeros clasificados proporcional al lugar que han ocupado en la carrera. ¿Cuál es el premio que deberá recibir cada uno? Un reparto proporcional, será evidentemente inversamente proporcional, pues el que quede en el puesto 1, es el que gana y debe recibir más que el que queda en el puesto 2.

8.

La cantidad unitaria es:

660 660 3601 1 1 1 1 1 111 2 3 6

N

a b c


Primero 1 ∙ 360 = 360 €

Segundo

1·360 1802

€

Tercero

1·360 1203

€

Comprobamos: 360+180+120 = 660 € 8. Tres amigos Alba, Bernardo y Carla han ganado en la lotería primitiva12 500 €. Si han invertido 20, 30 y 40 €, respectivamente en el juego. ¿Qué parte del premio le tocará a cada uno en el reparto?

El reparto ha de ser directamente proporcional.

Calculamos la cantidad unitaria: 12500 12500 138,8889

20 30 40 90N

a b c

Operarios (I) Tiempo (min) 4 -------------------------- -----80 6 -------------------------- -----x



13


Alba: 20 ∙ 138,8889 = 2777,78 €

Bernardo 30 ∙ 138,8889 = 4166,67 €

Carla 40 ∙ 138,8889 =5555,56 € Comprobamos: 2777,78 + 4166,67 + 5555,56 = 12500,01 El céntimo de más salen por cuestiones de redondeo.

Proporcionalidad compuesta 9. Veinticinco caballos consumen 200 kilos de pienso en quince días. ¿Cuántos kilos de pienso

consumirán treinta caballos en un mes y medio? Establecemos las relaciones de proporcionalidad con la incógnita: Nº de caballos y pienso: Directa. tiempo y pienso: Directa. Ojo, el mes y medio hay que pasarlo a días.

200 25 15 200 375· 72030 45 1350

xx x

Se precisan 720 kg para alimentar a los caballos durante un mes y medio.

10. En una empresa de bicicletas trabajan 12 operarios y fabrican 200 unidades en 5 días. Reciben un pedido de 500 unidades. ¿Cuántos días tardarán si contratan 3 operarios más? Establecemos las relaciones de proporcionalidad con la incógnita: Nº de trabajadores y tiempo: Inversa. Unidades fabricadas y tiempo: Directa.

Nº Caballos Pienso (kg) Tiempo (días) 25 200 15 30 x 45 D D

Trabajadores Unidades fabricadas Tiempo (días) 12 200 5 15 500 x ( I )

( D )



14

5 15 200 5 3000· 1012 500 6000

xx x

10 días tardarían 15 trabajadores en fabricar el pedido.

11. Juan y María quieren ir con sus tres hijos de vacaciones y leen el siguiente anuncio:

“Viaje a Canarias con todos los gastos pagados para dos personas durante 6 días por 1350 €” Si disponen de diez días, ¿cuánto les costará el viaje? Establecemos las relaciones de proporcionalidad con la incógnita: Nº personas y precio a pagar: Directa. Tiempo y precio a pagar: Directa.

1350 2 6 1350 12· 67505 10 60

xx x

El viaje le cuesta a la familia 6750 €.

12. Un depósito con capacidad para 200 litros de agua se llena en 6 horas con tres grifos. Si se dispone de un nuevo depósito de 350 litros y ahora hay 4 grifos más con el mismo caudal que los anteriores, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse el nuevo depósito? Establecemos las relaciones de proporcionalidad con la incógnita:

Capacidad y tiempo: Directa. Nº de grifos y tiempo: Inversa.

6 200 7 6 1400· 4,5350 3 1050

xx x

Con todos los grifos disponibles, el nuevo depósito se llenará en 4 horas y media.

Nº personas Tiempo (días) Precio total (€) 2 6 1350 5 10 x ( D

)

( D )

Capacidad ( l ) Nº de grifos Tiempo (horas) 200 3 6 350 7 x ( D

)

( I )



15

13. Para realizar una obra en 150 días una empresa necesita 30 obreros trabajando 6 horas diarias. ¿Cuántos obreros harían falta para terminar la obra en 120 días trabajando 8 horas diarias? Establecemos las relaciones de proporcionalidad con la incógnita: Nº de trabajadores y tiempo: Inversa. Nº trabajadores y tiempo de trabajo diario: Inversa.

30 8 120 30 960· 28,1256 150 900

xx x

Por tanto, para que dé tiempo a hacer el trabajo en esos días y con esas horas de trabajo, harán falta 29 trabajadores.

Porcentajes 14. Calcula los siguientes porcentajes: a. 15% de 290 b. 5% de 30 c. 2,5% de 700 d. 0,25% de 1500 a) 0,15∙290 = 43,5 b) 0,05∙ 30 = 1,5 c) 0,025 ∙ 700 = 17,5 d) 0,0025 ∙ 1500 = 3,75

15. Copia en tu cuaderno y completa:

a. El 5% de 12 es b. 75 es el % de 375 c. El 30% de es 1500 d. El 1% de es 30 a) 0,05 ∙ 12 = 0,6 b) x ∙ 375 = 75 → x = 0,2 → El 20% c) 0,30 ∙ x = 1500 → x = 5000 d) 0,01 ∙ x = 30 → x = 3000 16. El 70% de los alumnos y alumnas de 3º de ESO aprobaron matemáticas. Si había 140 alumnos,

¿cuántos aprobaron? Sabemos la cantidad total y hay que calcular el 70% de ese total. Aprueban: 0,7 ∙ 140 = 98 98 alumnos y alumnas de 3º de ESO aprueban Matemáticas.

17. La leche entera contiene un 1,8% de grasa. ¿Cuántos gramos de grasa contiene una botella de leche de un litro y medio? Sabemos la cantidad total y hay que calcular el 1,8% de ese total, aunque esa cantidad total está expresada en litros y nos piden gramos. Si suponemos que la densidad de la leche 1gr/ml, la botella pesa 1,5 kg Cantidad de grasa: 0,018∙1,5 = 0,027 kg = 27 gr. Luego en esa botella de litro y medio hay 27 gramos de grasa.

Trabajadores Horas de trabajo al día(h) Tiempo (días) 30 6 150 x 8 120

( I )

( I )



16

18. En el Instituto de Javier hay 225 chicas y 200 chicos. ¿Qué porcentaje de los estudiantes son chicas? ¿Y chicos? En total hay 225 + 200 = 425 personas Porcentaje de chicas: Hay que calcular que % es 225 respecto a 400 que es el total. x ∙ 400 = 225 → x = 0,5625. Luego el porcentaje de chicas es 56,25% El porcentaje de chicos lo calculamos restando a 100 el porcentaje anterior: 43,75%

19. Un vendedor recibe una comisión del 8% de las ventas efectuadas. Si un mes obtuvo 848 € de comisiones, ¿cuál fue el importe de las ventas? Sabemos la cantidad que corresponde a un porcentaje. Entonces: 0,08 ∙ x = 848 → x = 10600 En ese mes, el importe de las ventas fue de 10 600 €.

20. Un jugador de baloncesto tiene un 60% de aciertos en tiros de 2 puntos. Si hoy ha conseguido 24 puntos en canastas de 2, ¿cuántas veces ha lanzado a canasta? Al haber anotado 24 puntos en lanzamientos de 2 puntos, quiere decir que encestó 12 canastas, luego el 60% del total es 12. 0,6 ∙ x = 12 → x = 20 El jugador lanzó a canasta de 2 en 20 ocasiones.

21. Lucía está realizando una redacción en inglés de 180 palabras. Si ya ha escrito el 45%, ¿cuántas palabras le faltan por escribir? Si ha escrito el 45%, le falta el 55% Calculamos el 55% de 180: 0,55 ∙ 180 = 99 Le faltan por escribir todavía 99 palabras.

22. Hoy he ido a comprar un CD de mi grupo favorito que cuesta 21 €. Cuando voy a pagar me dicen que tiene un descuento del 15%. ¿Cuánto dinero me he ahorrado? El dinero que me ahorro es lo que me descuentan, o sea, el 15% de los 21 € que cuesta el CD. 15% de 21: 0,15 ∙ 21 = 3,15. En la compra me ahorré 3,15 €.

23. Las estadísticas de saque de los jugadores en la final del torneo US OPEN de tenis del año 2013 son los que se reflejan en la siguiente tabla.

Novak Djokovic Rafael Nadal

Total 1er

Serv. 2ºServ.

Total 1erServ.2º

Serv.

102 69 33 TotalPuntos

121 78 43

56 40 16 Puntos Ganados

75 51 24

a) Calcula el porcentaje de puntos ganados por cada jugador con su primer servicio, con el

segundo servicio y en total. Djokovic 1er servicio: x ∙ 69 = 40 → x=0,58 →58% puntos ganados 2º Servicio: x ∙ 33 = 16 → x = 0,4848 → 48,48% puntos ganados Total: x ∙ 102 = 56 → x = 0,549 → 54,9% puntos ganados



17

Nadal 1er servicio: x ∙ 78 = 51 → x=0,6538 →65,38/% puntos ganados 2º Servicio: x ∙ 43 = 24 → x = 0,5581 → 55,81% puntos ganados Total: x ∙ 121 = 75 → x = 0,6198 → 61,98% puntos ganados

b) ¿Qué porcentaje de segundos servicios de Djokovic ha ganado Nadal? Si sacó 33 veces con el segundo servicio y ganó 16, Nadal ganó los otros 17, luego el porcentaje es 17 de 33. Esto equivale a restarle a 100 el porcentaje de puntos ganados por Djokovic, o sea, 100 ‐ 48,48 = 51,52%

c) ¿Qué porcentaje de servicios de Nadal ha ganado Djokovic? Si en total Nadal ha ganado 61,98% de sus saques, perdió 100 ‐ 61,98 = 38,02% Por tanto, Djokovic le ganó el 38,02% de los saques a Nadal.

Aumento y disminuciones porcentuales

24. Al comprar un coche de de 9600 € nos hacen una rebaja del 3,6%. a) ¿Cuál es el índice de variación?

Como es una rebaja, lo que se produce es un descuento, por tanto, Iv = 1 ‐ 0,036 = 0,964

b) ¿Cuál es el precio final del coche? Aplicamos la fórmula:

CF = Iv ∙ Ci = 0,964 ∙ 9600 = 9254,4 El precio del coche ha sido 9254,40 €.

25. Se ha rebajado un artículo que costaba 25 € un 15%, ¿cuál es ahora su precio?

Problema de descuento. Índice de variación: Iv = 1 ‐ 0,15 = 0,85 CF = Iv ∙ Ci = 0,85 ∙ 25 = 21,25 El precio ahora del artículo es 21,25 €.

26. Compramos un televisor por el que hemos pagado 699 €. ¿Qué parte de esa cantidad corresponde al 21% de IVA? El IVA es un aumento que se produce en el precio a pagar. Ahora sabemos el resultado tras producirse el aumento, y hay que calcular el precio inicial antes del aumento. Índice de variación: Iv = 1 + 0,21 = 1,21 CF = Iv ∙ Ci → 699 =1,21 ∙ Ci → Ci = 577,69 Del precio total, la cantidad que corresponde al IVA es la diferencia entre el precio inicial y final: 699 ‐ 577,69 = 121,31 € El IVA que se paga es de 121,31€

27. Por una camisa y un pantalón que costaban 50 € he pagado 36 €. ¿Qué descuento me han hecho? Sabemos las cantidades inicial y final. Aplicamos la fórmula y calculamos el índice de variación: CF = Iv ∙ Ci → 36 = Iv ∙ 50→ Iv = 0,72 El problema es de descuento, con lo que 1 ‐ k = 0,72, de donde k = 0,28. Por tanto, el porcentaje de descuento ha sido del 28%.



18

28. Este año el precio del cine ha subido un 5%. Si una entrada cuesta ahora 7,35 €. ¿Cuál es el precio que tenía antes de la subida? Problema de aumento del que sabemos la cantidad final. Índice de variación: Iv = 1 + 0,05 = 1,05 CF = Iv ∙ Ci → 7,35 =1,05 ∙ Ci → Ci = 7; 7 euros costaba antes de la subida.

29. A un trabajador que gana 1800 € mensuales le aplican una retención del 15% para pagar sus impuestos. ¿Cuánto paga de impuestos anualmente? Los impuestos que pagan se corresponden a ese 15% cada mes. 15% de 1800 = 270. Por tanto al año paga de impuestos 270 ∙ 12 = 3240 €

30. Al comprar un coche nos han hecho un descuento del 6%. Si nos hemos ahorrado 900 €, ¿cuál era el precio del vehículo? En este problema sabemos el porcentaje de descuento y lo que equivale ese descuento. Basta despejar de la fórmula general del porcentaje la cantidad inicial.

6% de x = 900 → 0,06 ∙ x = 900 →x = 15000 € El precio del vehículo era 15 000 €.

31. Durante el último mes el agua almacenada en un pantano ha descendido un 2%. Si la capacidad del pantano es de 130 hm3 y tenía 78 hm3, ¿qué porcentaje de agua tiene acumulada actualmente? En primer lugar, calculamos la cantidad de agua actual, partiendo de la que tenía el mes pasado: Índice de variación: Iv = 1 ‐ 0,02 = 0,98 CF = Iv ∙ Ci = 0,98 ∙ 78 = 76,44 hm

3. Calculamos ahora qué porcentaje es 76,44 respecto al total 130 x ∙ 130 = 76,44 → x = 0,588 → 58,8% El pantano está actualmente al 58,8% de su capacidad.

32. Un litro de gasolina que hace un mes costaba 1,249 € hoy cuesta 1,289. a) Calcula el índice de variación.

Sabemos las cantidades iniciales y finales. CF = Iv ∙ Ci → 1,289 = Iv ∙ 1,249→ Iv = 1,032

b) ¿Qué porcentaje ha subido la gasolina? Como es un problema en el que se ha producido un aumento, Iv = 1+k, de donde 1,032 = 1+ k → k = 0,032 → 3,2%

La gasolina subió un 3,2%

33. Juan va a comprar un billete de avión por Internet que le cuesta 180 €. Al ir a pagar la página web le informa que el precio es sin el 21% de IVA. Además, por pagar con tarjeta de débito tiene un incremento del 2%. ¿Qué porcentaje se incrementa el billete? Hay que aplicar dos aumentos; el del IVA y el del pago con tarjeta: IVA: Iv = 1,21 Tarjeta: Iv = 1,02 Índice de variación total: 1,21∙1,02 = 1,2342 Por tanto, el porcentaje total de aumento será: 1,2342 = 1 + k → k = 0,2342 →23,42% ¿Cuál es el precio final del billete? CF = Iv ∙ Ci = 1,2342 ∙ 180 = 222,16; El precio final del billete es 222,16 €.



19

34. En los anuncios de un centro comercial se puede leer:

«2as Rebajas ¡Rebajamos un 15%

la rebaja inicial del 10%! ¡¡¡Ahora un 25%‼!»

Si primero aplicaron un 10% y, a continuación, rebajan un 15%, ¿esto supone una rebaja del 25%? ¿Quién pierde el cliente o el centro comercial?

Rebaja del 15% → Iv = 0,85

Rebaja del 10% → Iv = 0,9

Índice de variación total: 0,85 ∙ 0,9 = 0,765 → 1 ‐ k = 0,765 → k = 0,235 → 23,5%

Por tanto, no es cierto lo que dice el centro comercial. La rebaja para el cliente es menor; es solo del 23,5%, luego el que sale perdiendo es el cliente.

Interés simple y compuesto 35. Calcula el interés simple que producen 7000 € en 4 años al 5% de rédito anual.

7000·5·4 1400100 100IC r tI

Se produce un beneficio de 1400 €.

36. Calcula el rédito al que hay que depositar 25 000 € durante 2 años para obtener 1000 € de interés simple.

De la fórmula del interés simple, despejamos r. 25000· ·21000 1000 500 2

100 100IC r t rI r r

El rédito al que se ha hecho el depósito es del 2%.

37. Cuántos meses hay que depositar 35 000 € para obtener un interés de 4900 € al 3% de rédito anual. De la fórmula del interés simple con meses, despejamos el tiempo:

35000·3·4900 4900 87,5 56100 100·12IC r t tI t t

En 56 meses tenemos el beneficio de 4900 €.

38. En el Banco “Mi Dinero” me ofrecen el 5% de rédito anual si invierto un capital durante 5 años. ¿Qué cantidad tendré que invertir para obtener 3400 € de beneficio? De la fórmula del interés simple hay que despejar Ci.

·5·53400 3400 0,25 13600100 100

iIi i

CC r tI C C

Hay que invertir 13600 € para obtener ese beneficio.

39. Calcula la cantidad final que se obtiene al ingresar una cierta cantidad en una entidad financiera en las siguientes condiciones:



20

a) 35000€ a un interés simple del 5% anual durante 3 años.

35000·5·3 5250100 100IC r tI

La cantidad final es La cantidad final es : 35000 + 5250 = 40250

b) 4350 € a un interés simple del 6,75 % anual durante 7 trimestres.

Usamos la fórmula del interés simple con trimestres:

La cantidad final es : 4350 + 513,84 = 4863,84 €

c)15000€ a un interés simple del 3,6% anual durante 18 meses.

Usamos la fórmula del interés simple con meses:

La cantidad final es : 15000 + 810 = 15810 €

d) 72000€ a un interés simple del 4% durante 150 días.

Usamos la fórmula del interés simple con días:

La cantidad final es : 72000 + 1200 = 73 200 €

40. Un banco presta dinero por un tres años a un interés simple del 5%. Si conseguimos un préstamo de 3000€. ¿Cuánto dinero deberemos devolver al final del tercer año? El dinero a devolver será el dinero prestado más el interés que saca el banco:

En total, al banco hay que devolverle 3450 €.

41. Blanca ha decidido invertir el 25% de sus ahorros, que ascienden a 14 000 €, en un depósito financiero que ofrece un interés del 3,75% durante 4 años.

a. ¿Cuánto cobrará de interés los tres primeros meses? En primer lugar, calculamos qué cantidad va a invertir: 25% de 14000 = 0,25 ∙ 14000 = 3500 Hemos de utilizar la fórmula del interés simple en meses con esos 3500 €:

· · 4350·6,75·7 513,84100·4 100·4

iC r tI

· · 15000·3,6·18 810100·12 100·12

iC r tI

· · 3000·5·3 450100 100

iC r tI

· · 72000·4·150 1200100·360 100·360

iC r tI



21

En 3 meses, el interés es de 32,81 € b. ¿Y por cuatro meses y 15 días?

Pasamos todo el tiempo a días y usamos la fórmula del interés simple en días: 4 meses = 4∙30 = 120 días → t = 135 días

En 4 meses y 15 días cobra 49,22 € de intereses.

c. Si al final del periodo tiene que abonar el 8% de impuestos por el beneficio obtenido, ¿de cuánto dinero dispondrá al finalizar el periodo del depósito? En los 4 años que dura la inversión, el interés obtenido es:

A estos 525 €, hay que calcularle el 8% de impuestos: 8% de 525 = 0,08 ∙ 525 = 42 € paga de impuestos Por tanto, el dinero final tras el depósito será: Por un lado, lo que no invirtió: 14000 ‐ 3500 = 10500 El resultado de la inversión: 3500 + 525 ‐ 42 = 3983 En total, Blanca tiene 10500 + 3983 =14 483 €.

42. Por 3000 € ingresados en una entidad bancaria durante 4 años a un interés simple, obtuvimos 3540 € al finalizar el periodo. ¿Qué rédito anual le dio el banco?

Despejamos r de la fórmula del interés simple, aunque en primer lugar, como sabemos las cantidades inicales y finales, restando calculamos el Interés obtenido:

I = 3540 ‐ 3000 = 540.

El rédito aplicado ha sido del 4,5%.

43. Repite el ejercicio 39 cambiando el interés simple por el compuesto en todos los casos.

a) 35000€ a un interés compuesto del 5% anual durante 3 años.

b) 4350 € a un interés compuesto del 6,75 % anual durante 7 trimestres.

76,751 4350· 1 4890,60€

100·4 100·4

t

F IrC C

· · 3500·3,75·3 32,81100·12 100·12

iC r tI

· · 3500·3,75·135 49,22100·360 100·360

iC r tI

· · 3500·3,75·4 525100 100

iC r tI

· · ·100 540·100 4,5100 · 3000·4

i

i

C r t II r rC t

351 3500· 1 4051,69€100 100

t

F IrC C



22

c)15000€ a un interés compuesto del 3,6% anual durante 18 meses. 183,61 15000· 1 15830,99€

100·12 100·12

t

F IrC C

d) 72000€ a un interés compuesto del 4% durante 150 días. 15041 72000· 1 73209,99€

100·360 100·360

t

F IrC C

44. Cuando nació Paula, sus abuelos le hicieron un ingreso en el banco de 5000€ a un interés compuesto del 3,75% anual. ¿Qué cantidad tendrá al cumplir 20 años?

Aplicamos la fórmula del interés compuesto anual durante 20 años.

Cuando cumpla 20 años, Paula tendrá 10440, 76 €.

45. Al ingresar una cierta cantidad en un banco a un interés compuesto del 4,4% durante dos años, obtenemos un capital final de 9809,42€. ¿Qué cantidad se ingresó?

De la fórmula del interés compuesto anual, hay que despejar la cantidad inicial:

La cantidad depositada fue de 9000 €.

Problemas 46. Si una magnitud A es inversamente proporcional a otra magnitud B, y esta es inversamente

proporcional a otra magnitud C, ¿cómo son A y C? A y C son directamente proporcionales: Cantidad de A x2 → Can dad de B :2 → Can dad de C x2 Luego comparando A y C ambas se han multiplicado, luego directamente proporcionales. 47. Y si B y C son directamente proporcionales, ¿cuál es la proporcionalidad entre A y C?

A y C quedarían inversamente proporcionales, pues C se dividiría también con lo que comparando A y C, una se multiplica y la otra se divide.

48. Antonio vive en un bloque de 4 plantas. En cada planta hay dos viviendas distintas: Tipo A 120 m2

Tipo B 85 m2

Si los gastos mensuales de la comunidad ascienden a 615 € y estos gastos se reparten proporcionalmente a la superficie de cada vivienda, ¿cuánto deben pagar cada uno según el tipo de vivienda?

En total hay que pagar 615 €. Como hay 4 plantas iguales, cada planta ha de pagar 615:4 = 153,75. Esta cantidad hay que repartirla entre las dos viviendas de la planta pero proporcional a la superficie, o sea, directamente proporcional a la superficie:

.

203,751 5000· 1 10440,76€100 100

t

F IrC C

22

2

4, 4 9809, 421 9809, 42 · 1 9809, 42 ·1,044 9000100 100 1,044

t

F I i i irC C C C C



23

Calculamos la cantidad unitaria: 153,75 153,75 0,75

120 85 205N

a b

Ahora calculamos lo que pagará cada vivienda:

Tipo A: 120 ∙ 0,75 = 90 €

Tipo B 85 ∙ 0,75= 63,75 € Por tanto, las viviendas tipo A deben pagar 90 € de comunidad al mes y las de tipo B, 63,75€ 49. Desde su compra, un coche se devalúa un 5% de su valor cada año. ¿Qué porcentaje se habrá

devaluado después de 10 años? Si me compré un coche hace 10 años que me costó 15000 €, ¿cuál será su precio actual de venta? Cada año pierde un 5% del valor, con lo que el índice de variación de cada año es Iv =0,95. Como ese descuento lo encadenamos 10 años, multiplicaríamos 10 veces esa cantidad, luego el índice de variación total es:

100,95 0,5987Iv Es decir, la rebaja que se ha producido en los 10 años ha sido de: 1‐ 0,5987 = 0,4013. En los 10 años, el coche se ha devaluado un 40,13% El precio de venta a los 10 años será: 15000 ∙ 0,5987 = 8980,50 €.

50. Juan necesita 12 000 € para comprarse un coche. Tiene ahorrados 9 000 €. El banco le ofrece ingresarlos y le da un interés simple del 6% anual. ¿Cuántos meses tiene que tener los ahorros para en el banco para pode comprarse el coche? Juan necesita que el interés, I = 3000, e ingresará los 9000 € que tiene ahorrado. Aplicamos la fórmula del interés simple con meses y despejamos el tiempo:

· · 1200· 1200·3000 66,67100·12 · 9000·6

i

i

C r t II t tC r

Luego tendrán que pasar 67 meses para que tenga los 3000 € que le falta y se pueda comprar el coche.

51. Al ingresar 9 000 € en un banco durante dos años, obtenemos un capital final de 9 809,42 €. ¿Qué rédito nos da el banco si el interés es compuesto? Usamos la fórmula del interés compuesto

El rédito que aplicó el banco fue del 4,4%.

52. A mi abuelo le han tocado 200 € en un sorteo de lotería. Decide repartirlo entre sus cuatro nietos de forma directamente proporcional. Si Rocío tiene 18 años, Gonzalo 14 años y Blanca y Javier tienen 12 años cada uno. ¿Qué cantidad recibe cada uno? Como dice el enunciado, el reparto es directamente proporcional:

Calculamos la cantidad unitaria: 200 200 3,7514

18 14 12 12 56N

a b c d

2 29809, 421 9809, 42 9000· 1 1100 100 9000 100

9809, 42 19000 100

9809, 42 1 1,044 1 0,044 4, 49000 100 100 100

t

F Ir r rC C

r

r r r r



24

Ahora calculamos lo que recibirá cada uno: Rocío → 18∙3,5714 = 64,29 Gonzalo → 14 ∙ 3,5714 = 50 Blanca y Javier → 12 ∙ 3,5714 = 42,86 Comprobamos: 64,29 + 50 + 42,86 + 42,86 = 200,01 El céntimo de más sale por cuestiones de redondeo.

53. ¿Qué cantidad es mayor el 7% de 300 o el 70% de 30? Puedes generalizar el resultado. 7% de 300 = 0,07∙ 300 = 0,7 ∙ 30 = 7∙3 70% de 30 = 0,7 ∙ 30 = 7 ∙ 3 Ambas cantidades son iguales, pues se reduce a multiplicar 7∙3.

54. Pedro gasta el 25% de su sueldo en pagar la hipoteca de su vivienda y María el 30%. ¿Quién paga más por su vivienda? Parece evidente que María, pero en verdad no tiene porqué ser así. Porcentualmente paga más María, pero habría que ver cuál es el sueldo de cada uno para saber quién paga más de dinero de hipoteca. Por tanto, no podemos responder a esa pregunta con los datos que tenemos.

55. En la gasolinera que hay junto a mi casa subieron el precio del combustible un 5%. Si un litro de

gasolina costaba 1,459 €, ¿cuál es el nuevo precio? Es un problema de aumento del que sabemos la cantidad inicial y el aumento porcentual. Calculamos el índice de variación. Iv = 1 + 0,05 = 1,05 Cf = Ci ∙ Iv = 1,459 ∙ 1,05 = 1,532 El precio actual del litro de gasolina es 1,532 €.

56. La semana siguiente, el dueño quiere volver a poner el mismo precio que tenía y le dice al empleado que rebaje el precio un 5%. ¿El precio final es el mismo que había al principio? Comenta el resultado indicando cuál es el porcentaje de la subida o bajada del precio final. Nota: Las gasolineras ponen un precio con tres cifras decimales, redondeando el precio final Si al precio obtenido al final de ejercicio anterior le hacemos una rebaja del 5%, obtenemos: Iv = 1 ‐ 0,05 = 0,95 Cf = Ci ∙ Iv = 1,532 ∙ 0,95 = 1,455 El precio final del litro de gasolina es 1,455 €. Este precio es ligeramente inferior al que había en un principio. El porcentaje total de las operaciones ha sido: 1,05 ∙0,95 = 0,9975. Como el índice de variación es menor que 1, en total se ha producido una disminución de precio como hemos comprobado numéricamente. 1‐0,9975 = 0,0025 →0,25% de bajada total.

57. Durante esta semana en la librería han colocado el eslogan “La semana del 2%: cada día descontamos un 2% el precio del día anterior”. Un libro cuesta el lunes 40 €.

a. ¿Cuál será su precio el miércoles? ¿Qué descuento se ha producido? Hay que aplicarle el descuento del martes y del miércoles. Como cada día, el descuento es del 2%, todos los índices de variación son iguales: 1 – 0,02 = 0,98 Por tanto, precio el miércoles: 40∙0,98∙0,98 = 38,42 €. Se ha hecho un descuento de 1,58 €, lo que supone un 3,95%



25

b. Y el viernes, ¿cuál es su precio y el descuento? El viernes llevaremos cuatro días de descuento aplicados, luego habría que multiplicar 4 veces por 0,98. Precio viernes: 40 ∙ 0,984 = 36,89 €. El descuento sería 3,11€, lo que supone un 7,775%

c. ¿Qué descuento tiene un libro que se compre el sábado? Habría que descontar un 2% el precio del viernes; 36,89 ∙ 0,98 = 36,15 El descuento sería de 3,85 €, lo que supone un 9,625%

58. Se mezclan dos tipos de harina, A y B. El precio de un kilo del tipo A es 0,30 € y el del tipo B es 0,65 €. Se mezclan en la proporción de 2 kilos del tipo A con 3 kilos del tipo B.

a. ¿Qué precio final tiene la mezcla? Como la proporción es 2 A y 3B, por cada 2 unidades de A hay que coger 3 de B. Suponemos que cogemos 2 kg de harina A y 3 kg de harina B. Total de la mezcla 5kg Precio de esos 5 kg: 0,30∙2 + 0,65∙3 = 2,55 El precio del kilo de mezcla es: 0,51 €

b. Si queremos obtener un 15% de beneficios, ¿a qué precio tendremos que vender el kilo de harina mezclada? Hay que aumentar el precio obtenido un 15%. Iv = 1 + 0,15 = 1,15 Precio final: 0,51 ∙ 1,15 = 0,5865, o sea a 0,59 € hay que vender la mezcla de harina.

59. En un envase de un producto de limpieza aparece con grandes letras rojas sobre fondo amarillo

“Un 20% más gratis” Si el envase contenía 600 cc del producto y ahora contiene 750 cc. ¿Es correcta la publicidad del envase? En caso de no serla, ¿qué debería poner? Si 600 lo aumentamos un 20%, obtenemos 600 ∙ 1,20 = 720. Por tanto de ser correcta la publicidad, debería tener el nuevo envase 720 cc; el porcentaje gratis es mayor. El porcentaje real que se ha aumentado es: 750 = Iv ∙ 600 → Iv = 1,25 →25% de aumento.

60. Si una cierta cantidad C es disminuida en un 10%. ¿Qué porcentaje debemos aumentar para obtener la cantidad original? El índice de variación del descuento es 0,9 Si queremos volver a la cantidad original, debemos acumular un índice de variación igual a 1, es decir, sin aumento ni descuento.

Entonces Iv 1 ∙ Iv 2 = 1 → 0,9 ∙ Iv 2 = 1 → 2

1 10 1,111...0,9 9vI

Hay que aplicar un aumento del 11,11%

61. Dos bancos nos ofrecen dos tipos distintos de publicidad: Banco A: “Depósito fijo al 0,5% mensual, durante 6 meses” Banco B: “Depósito fijo al 1,25% trimestral, durante dos trimestres” ¿Cuál de los dos es más beneficioso para nosotros? Banco A:

Banco B:

60,51 · 1 ·1, 0025100 100·12

t

F I I IrC C C C



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El depósito del Banco B es más beneficioso.

62. Un tren de pasajeros sale de Granada con dirección a Sevilla con una velocidad media de 90 km/h. A la misma hora un tren de mercancías sale de Sevilla con dirección a Granada por una vía paralela a la anterior con una velocidad media de 60 km/h. Si la distancia entre las dos ciudades es de 250 km. ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse?

Suponemos que el tren que parte de Sevilla recorre una distancia x, con lo que en el momento de

cruzarse, el tren que salió de Granada, recorrió una distancia de 250 – x.

Para ambos, el tiempo que tardan en cruzarse es el mismo. Para el tren que sale de Sevilla, el tiempo es

90e xtv

y para el que sale de Granada, 250

60e xtv

Igualando ambas expresiones tenemos: 250 60 22500 90 150

90 60x x x x x

Por tanto se cruzan a las 150 1,6667

90 90xt horas de salir

21, 251 · 1 ·1, 00626100 100·4

t

F I I IrC C C C



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DESAFÍO PISA ‐PÁG. 54

Pregunta 1:El mayor de los apartamentos, el Apartamento Triana, tiene una superficie total de 95 m2.El segundo, el Apartamento Macarena, tiene una superficie de 85 m2 y el más pequeño, el que se va a comprar Cristina, el Apartamento Porvenir, tiene una superficie 60 m2. ¿Cuál debe ser el precio de venta de cada apartamento? ¿Cuánto le cuesta a Cristina su apartamento? Muestra tus cálculos. (En total la inmobiliaria ganará 150 000 zeds) Hay que hacer un reparto directamente proporcional a la superficie de cada uno de ellos del precio venta de los tres apartamentos para obtener el beneficio deseado:

Cantidad unitaria:150000 150000 625

95 85 60 240

Precio de venta de cada apartamento: Apartamento Triana: 95 ∙ 625 = 59375 Apartamento Macarena: 85 ∙ 625 = 53125 Apartamento Porvenir: 60 ∙ 625 = 37500 El apartamento de Cristina cuesta 37500 zeds Pregunta 2: Cristina tenía un dinero ahorrado pero para la compra del apartamento y posterior reacondicionamiento tiene que pedir un préstamo de 100 000 zeds. El banco central de Zedlandia le ofrece una hipoteca al 1,79% de interés anual, a pagar en cuotas mensuales de 510,15 zeds. Completa la tabla de amortización del préstamo de los 4 primeros meses:

Préstamo Cuota Intereses pagados Capital amortizado

Capital pendiente

Mes 1 100 000 510,15 0,0179100000· 149,1712

510,15‐149,17= 360,98

100 000 ‐ 360,98= 99639,02

Mes 2 99 639,02 510,15 0,017999639,02· 148,6312

361,52 99 277,50

Mes 3 99 277,50

510,15 0,017999277,50· 148,0912

362,06 98 915,44

Mes 4 98 915,44 510,15 0,017998915,44· 147,5512

362,60

98 552,84

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