Solucionario Manuel Cordova Zamora. Ejercicios de Probabilidad.
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PROBABILIDADES.
1) Si P(A) = 5/8, P(B) = 3/4 y P(A|B) = 2/3,
calcular P(A|B’)
P(A|B) = 2/3 = P(A∩B) / P(B) P(A∩B) = ½
Por definición:
P(AB’) = P(A) - P(A∩B) = 5/8 – ½ = 1/8
Calculamos P(A|B’)
P(A|B’) = P(A∩B’) / P(B’) = (1/8) / (1 – P(B)) = (1/8) / (1/4)
P(A|B’) = 1/2
PROBABILIDADES.
2) Si P(B) = 3/15, P(B|A) = 1/5 y P(A ∩ B) =
1/15, calcular P(A ∩ B’)
P(B|A) = 1/5 = P(A∩B) / P(A) P(A) = 1/3
Por definición:
P(AB’) = P(A) - P(A∩B) = 1/3 – 1/15 = 4/15
P(AB’) = 4/15
PROBABILIDADES.
3) En una muestra de 120 loretanos se
encontró que el 60% sufre alguna
enfermedad, el 30% tienen al menos 30
años, y el 20% son menores de 30 años y
sanos. Si uno de tales loretanos es
escogido al azar, ¿cuál es la probabilidad
a) De que sufra enfermedad y tenga al
menos 30 años?
b) De que sufra alguna enfermedad si tiene
al menos 30 años?
SOLUCIÓN
A: >= 30 años B: < 30 años TOTAL
E: Enfermos 12 60 120*0.6 = 72
S: Sanos 24 120*0.2 = 24 48
TOTAL 120*0.3 = 36 84 120
a) 12/120 = 0.1
b) P(E|A) = P(E ∩ A) / P(A) = 12 /36
P(E|A) = 12/36
PROBABILIDADES.
4) De 200 clientes de crédito de una tienda comercial, 100 tienen créditos menores que $200, 15 tienen créditos de al menos $500, y 110 tienen créditos menores de 4 años. Además 30 clientes tienen créditos de al menos 4 años y de 200 a menos de $500, y 10 clientes tienen créditos de al menos $500 y menos de 4 años.
a) Si se elige un cliente al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga crédito menos de 4 años si tiene saldo de crédito de menos de $200?
b) Si se eligen dos clientes al azar y resultan de al menos de 4 años de crédito, ¿cuál es la probabilidad de que uno tenga saldo de crédito de $500 o más?
SOLUCIÓN
Cdto <
$200
$200 Cdto <
$500
A: Cdto >=
$500 TOTAL
B: >= 4 años 55 30 5 90
< 4 años 45 55 10 110
TOTAL 100 85 15 200
a) P( < 4 años| cdto < $200) = P(< 4 años ∩ cdto < $200) / P(cdto < $200)
P( < 4 años| cdto < $200) = 45 / 100
b) posibilidades: {EF; FE}
E: tiene saldo ≥ $500 dado que
tiene al menos 4 años de crédito
F: no tiene saldo ≥ $500 dado que
tiene al menos 4 años de crédito
EF y FE son iguales en probabilidad
E: P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = 5 / 90
F: P(A’|B) = P(A’∩B) / P(B) = (55+30) / 89(n)
5/90 * 85/89 = 0.053 2*0.053 = 0.106
(n) : Se coloca 89 porque se considera que ya se eligió una persona antes en
E y el total disminuye en uno (90 – 1 = 89)
PROBABILIDADES.
5) En una encuesta de opinión se encontró
que el 25% de los electores votarían por el
candidato E. De los que no votarían por E
el 20% son mujeres y el resto son
hombres. Además la probabilidad de que
un elector elegido al azar sea hombre es
0.7. Si se elige un elector al azar y resulta
mujer, ¿cuál es la probabilidad de que no
vote por E?
SOLUCIÓN
Sean lo eventos:
E: que voten por E
M: que sea mujer
H: que sea hombre
Datos
P(E) = 0.25
P(M|E’) = 0.2
P(H|E’) = 0.8
P(H) = 0.7
P(E’|M) = ?
P(E’|M) = P(E’).P(M|E’) / P(M)
P(E’) = 1 – P(E) = 1 – 0.25 = 0.75
P(M) = 1 – P(H) = 1 – 0.7 = 0.3
Reemplazamos en la fórmula
P(E’|M) = 0.75 x 0.2 / 0.3
P(E’|M) = 0.15 / 0.3
P(E’|M) = 0.5
PROBABILIDADES.
6) Un comerciante recibe para su venta 80 objetos, 2/5 del proveedor A y el resto del proveedor B. El 12.5% de objetos de cada proveedor son defectuosos. Si se hace una inspección de cuatro objetos escogidos al azar a la vez y si resultan
a) Ser de B, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno sea defectuoso?
b) Tres defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que dos de los defectuosos provengan de A?.
SOLUCIÓN
Para desarrollar este ejercicio podemos hacerlo de
dos formas para cada caso, pero primero calculemos
el número de objetos de cada proveedor y sus
respectivos objetos defectuosos.
# obj. Prov A = 80 * 2/5 = 32
# obj. Prov B = 80 – 32 = 48
#obj. Defectuosos de A = 32*12.5/100 = 4
#obj. Defectuosos de B = 48*12.5/100 = 6
SOLUCIÓN
De esta manera construimos la siguiente tabla:
Prov. Defectuosos Buenos Total A 4 28 32
B 6 42 48 Total 10 70 80
a) Calculamos su complemento, o sea hallar la
probabilidad de que todos los objetos sean
buenos.
Y partimos de la fórmula de probabilidad:
SOLUCIÓN
Prov. Defectuosos Buenos Total
A 4 28 32
B 6 42 48
Total 10 70 80
1era forma de desarrollarlo – combinatorias
#eventos totales, son todas las formas de elegir 4
objetos de los 48 que son de B.
# eventos favorables, como estamos con el
complemento serían todas las formas de elegir 4
objetos de los 42 buenos que tiene B.
SOLUCIÓN
Prov. Defectuosos Buenos Total
A 4 28 32
B 6 42 48
Total 10 70 80
2da forma de desarrollarlo – multiplicaciones
#eventos totales = 48x47x46x45 = 4 669 920.
(Quiere decir que para elegir el primer objeto hay 48 objetos, para el
segundo ya quedan 47 porque uno ya se eligió, para el tercero sería
46 y para el cuarto 45 objetos disponibles).
# eventos favorables = 42x41x40x39 = 2 686 320.
(Quiere decir que para elegir el primer objeto hay 42 objetos
elegibles, para el segundo ya quedan 41 porque uno ya se eligió, para
el tercero sería 40 y para el cuarto 39 objetos elegibles).
p = 1 - 2 686 320 /4 669 920 = 0.4248
SOLUCIÓN
Prov. Defectuosos Buenos Total
A 4 28 32
B 6 42 48
Total 10 70 80
b) 1era forma de desarrollarlo – combinatorias
Eventos Totales
De los 4 objetos, 3 son defectuosos ya sean de A y/o de B. Tenemos
en total 10 objetos defectuosos de los cuales elegiremos 3 y el otro
será objeto no defectuoso de los cuales hay en total 70.
Eventos Favorables
De los 4 objetos, 2 son defectuosos de A q tiene en total 4, el otro
tiene que ser defectuoso de B que tiene en total 6 y el otro es no
defectuoso del total de 70.
SOLUCIÓN
Prov. Defectuosos Buenos Total
A 4 28 32
B 6 42 48
Total 10 70 80
2da forma de desarrollarlo – multiplicaciones
#eventos totales = 10x9x8x70 = 504 00.
(Quiere decir que para elegir el primer objeto hay 10 objetos
defectuosos, para el segundo ya quedan 9 porque uno ya se eligió,
para el tercero sería 8 y para el cuarto 70 objetos no defectuosos).
# eventos favorables = x4x3x6x70 = 151 20
(Quiere decir que para elegir el primer objeto hay 4 objetos
defectuosos elegibles de A, para el segundo ya quedan 3 porque uno
ya se eligió, para el tercero serían los 6 defectuosos de B y para el
cuarto 70 objetos no defectuosos elegibles. Adicionalmente se le
agrega la combinatoria de 3 en 2 que hace referencia de cuantas
formas se puede elegir los 3 defectuoso de los dos de A).
p = 151 20/ 504 00 = 0.3
PROBABILIDADES.
7) En horas de trabajo, una cervecería
utiliza dos máquinas embotelladoras M1
y M2, pero no operan simultáneamente.
La probabilidad de que la primera
máquina se descomponga es 0.2. Si la
primera máquina se descompone se
enciende la segunda, la cual tiene
probabilidad de descomponerse de 0.3.
¿Qué probabilidad hay de que el sistema
embotellador no esté funcionando en las
horas de trabajo?
SOLUCIÓN
Sea el evento Mi “la máquina
i falle”; i=1,2
Datos
P(M1)= 0.2
P(M2/M1)= 0.3 “Dado que la
máquina 1 falló, la
probabilidad de que falle la
máquina 2 es de 0.3”
P(M1∩M2) = ?
Definición de probabilidad
condicional:
P(A/B) = P(A∩B) / P(B)
Reemplazando con nuestros
eventos
P(M2/M1)=P(M2∩M1)/P(M1)
Despejamos
P(M2∩M1) = P(M2/M1)P(M1)
P(M2∩M1) = 0.3 x 0.2
P(M2∩M1) = P(M1∩M2) = 0.06
PROBABILIDADES.
8) En un lote de 50 artículos, hay 10 de tipo
A y 40 de tipo B, se extraen del lote 5
artículos al azar uno por uno sin
reposición, ¿cuál es la probabilidad de que
al menos uno de estos sea de tipo A?
SOLUCIÓN
Podemos desarrollarlo por el
complemento, hallando la
probabilidad de que todos
sean B; y esto se le es restado
la unidad.
Entonces la probabilidad de
que todos los artículos sean B,
o sea la combinatoria de 40 en
5 entre todos los casos
posibles.
Tenemos que restar de la unidad
la probabilidad calculada, que da
todos los casos donde al menos
esté uno de tipo A.
p = 0.69
PROBABILIDADES.
9) Solo una de las 10 llaves que lleva una
persona abre la cerradura de su puerta.
Él prueba las llaves una por una
escogiendo al azar cada vez una de las
llaves no probadas. Calcular la
probabilidad de que la llave que abre la
cerradura sea escogida en el quinto
intento.
SOLUCIÓN
Este es un problema
desarrollado con variaciones
sin repetición, es sin
repetición porque el texto dice
que siempre prueba llaves de
las que no ha elegido antes.
Se define a la variación de k
objetos tomados de n objetos
distintos.
Tenemos que tomar la variación
de un total de 9 llaves incorrectas
para elegir 4 incorrectas, para
que la quinta sea la correcta; de
un total de 10 en 5 casos posibles.
p = 0.1
PROBABILIDADES.
10) En una urna hay tres balotas numeradas
de 1 a 3. Las balotas se sacan al azar una
a una y sin reemplazo. Si la balota
numerada con r se saca en la r-ésima
extracción se considera un éxito. Hallar la
probabilidad de obtener un éxito.
SOLUCIÓN
El problema quiere decir que
hallemos la probabilidad de
que obtengamos la balota1 en
el primer intento, la balota2
en el segundo intento y la
balota3 en el tercer intento.
Entiéndase intento como un
evento independiente uno del
otro
Bij = Balota i extraída en el
intento j
Sea:
B11B32B23 , B31B22B13 , B21B12B33
P = 1/6 + 1/6 + 1/6 = ½
P=1/2
No se considera a la posibilidad de B11B22B33, ya que aquí se tendrían tres éxitos en un solo intento.
PROBABILIDADES.
11) Se prueba un lote de 48 focos uno por uno
(sin reposición). Si el lote contiene dos
defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de
que el último defectuoso se detecte en la
tercera prueba?
SOLUCIÓN
Sean:
Di : Foco defectuoso extraído en
la prueba i, i=1,2,3
Bi : Foco no defectuoso extraído
en la prueba i, i=1,2,3
Tenemos 46 focos buenos y 2
defectuosos. De esta manera
tenemos la siguiente
probabilidad:
p= P(D1B2D3) + P(B1D2D3)
Entonces teniendo en cuenta que
el evento se da sin reposición, se
cumple las siguientes
probabilidades:
p = 0.0018
La probabilidad de que el último
defectuoso se detecte en la tercera
prueba es de 0.0018 ó 0.18%
PROBABILIDADES.
12) La urna 1 contiene dos bolas rojas y dos
bolas azules, mientras que la urna 2
contiene una bola roja y tres azules. Una
bola es seleccionada aleatoriamente de la
urna 1 y colocada en la urna 2. Luego una
bola es seleccionada al azar de la urna 2 y
colocada en la urna 1. Si ahora una bola
es seleccionada al azar de la urna 1, ¿cuál
es la probabilidad de que esta sea roja?.
SOLUCIÓN
Veamos todas las posibilidades.
1) Que la primera bola
extraída de la urna 1 sea
roja.
P = 2/4 = 1/2
Y se coloca en la urna 2.
Entonces quedaría así:
2) Ahora que la segunda bola
extraída de la urna 2 sea roja.
P = 2/5
Y se coloca en la urna 1
Urna 1 Urna 2
Urna 1 Urna 2
SOLUCIÓN
La figura sería de esta forma
3) Por último la probabilidad
de extraer una bola roja de
la urna 1.
P = 2/4 = 1/2
La probabilidad para esa primera
posibilidad es:
P= 1/2 x 2/5 x 1/2 = 1/10
Entonces sean:
Ri : Bola roja extraída de la urna
i, i = 1,2
Ai : Bola azul extraída de la urna
i, i = 1,2
La probabilidad total del evento
es:
p = P(R1R2R1) + P(R1A2R1) +
P(A1A2R1) + P(A1R2R1)
Urna 1 Urna 2
SOLUCIÓN
Hallamos las probabilidades:
p = P(R1R2R1) + P(R1A2R1) + P(A1A2R1) + P(A1R2R1) = 9/20
p = 9/20
PROBABILIDADES.
13) Una urna contiene 5 fichas rojas y
algunas fichas blancas. Se extrae al azar
una ficha de la urna y se reemplaza por
una del otro tipo. Luego se saca de la urna
una segunda ficha. Determinar el numero
de fichas blancas en la urna si se sabe que
la probabilidad de que la segunda ficha
sea roja es 0.5.
SOLUCIÓN
Sean:
Ri : Ficha Roja extraída en la
extracción i, i = 1, 2
Bi : Ficha Blanca extraída en la
extracción i, i = 1, 2
Tenemos
P(R1R1) + P(B1R1) = 1/2
Además sea T la cantidad de
bolas en total que contiene la
urna.
Si la primera Bola extraída es
roja = 5/T
Se cambió una roja por una
blanca, quedando solo 4 rojas.
Si la segunda Bola extraída
también es roja = 4/T
ó
Si la primera Bola extraída es
blanca = T-5/T
Se cambió una blanca por una
roja, teniendo ahora 6 rojas.
Si la segunda Bola extraída es
roja = 6/T
SOLUCIÓN
Reemplazando en la ecuación
Multiplicando por 2T2
Despejando
Como sabemos que T > 5, por lo
tanto T =10
La cantidad total de fichas son 10
y como 5 son rojas, entonces la
cantidad de fichas blancas son 5.
Rpta.- 5 fichas blancas
PROBABILIDADES.
14) Para decidir si se acepta o no un lote de 12 objetos en donde existen 3 defectuosos, se toman dos objetos la azar y a la vez. Si los dos son defectuosos, se rechaza el lote; si los dos son buenos se acepta el lote; y si solo uno es bueno se toman otros dos objetos al azar y a la vez de los 10 que quedan. Esta vez, si alguno es bueno se acepta el lote, de otro modo se rechaza. Calcular la probabilidad de aceptar el lote.
SOLUCIÓN
Sean:
D : Objeto defectuoso
B : Objeto bueno
Probabilidad de aceptar un lote
p = P(BB) + P(MB)
Primera posibilidad
Segunda Posibilidad. Si el primero
sale malo y el segundo bueno es
Ahora nos quedan 10 objetos (8
buenos y 2 defectuosos), puede ser
que salga uno malo y otro bueno ó
que salgan dos buenos de los ocho
que aún quedan.
En total tenemos:
p = 0.545 + 0.4 = 0.945
p = 0.945
PROBABILIDADES.
15) Si P(A) = 1/3 y P(A U B) = 11/21, calcular
P(B) si los eventos
a) A y B son excluyentes.
b) A y B son independientes.
a) Excluyentes
P(A U B) = P(A) + P(B)
11/21 = 1/3 + P(B)
P(B) = 4/21
b) Independientes
P(AUB)=P(A)+P(B)–P(A∩B)
P(AUB)=P(A)+P(B)–P(A).P(B)
11/21 = 1/3 + P(B) – 1/3P(B)
P(B) = 4/21
PROBABILIDADES.
16) Sea el espacio muestral
Ω = {w1, w2, w3, w4}, donde,
P({w1}) = ¼, P({w2}) = ¼, P({w3}) = ¼,
P({w4}) = ¼.
Sean los eventos A = {w1, w2}, B = {w1, w3},
C = {w1, w4}, ¿Son los eventos A, B y C
independientes?.
SOLUCIÓN
P(A) = P(B) = P(C) = ¼+¼= ½
Si son independientes los eventos se tiene que cumplir que:
1. P(A∩B) = P(A).P(B) P(A∩B) = w1 = ¼ = P(A).P(B) = ½x½ = ¼
2. P(A∩C) = P(A).P(C) P(A∩C) = w1 = ¼ = P(A).P(C) = ½x½ = ¼
3. P(B∩C) = P(B).P(C) P(B∩C) = w1 = ¼ = P(B).P(C) = ½x½ = ¼
4. P(A∩B ∩C) = P(A).P(B).P(C)
P(A∩B ∩C) = w1 = ¼ P(A).P(B).P(C) = ½x½x½ = 1/8.
No cumple con la última condición, así que los eventos A, B y C
no son independientes
w1 w2 w3 w4
PROBABILIDADES.
18) Un negocio es tal que su probabilidad de éxito
es p. El negocio se realiza dos veces de manera
independiente, ¿Qué valor de p hace máxima la
probabilidad de obtener éxito una sola vez?
Sea el espacio muestral, Ω = {EE,EF,FE,FF}, donde E: éxito y F: fracaso
Probabilidad = P = EF + FE = p(1-p) + (1-p)p máximo
2p(1-p) = máximo , ¿qué valor de “p” maximiza la ecuación?
Sea P = 2p – 2p2 , para hallar el máximo valor derivamos con respecto a “p”
e igualamos a cero (0) 2 – 4p = 0
p=1/2
PROBABILIDADES.
19) Pruebe que todo evento de probabilidad
cero o uno es independiente de cualquier
otro evento.
Si P(A) = 0, de
A∩BA,
P(A∩B) = 0 = P(A).P(B)
Si P (A) = 1, de
P(B) = P(A∩B) + P(ACB),
P(A∩B)=P(B)= P(A).P(B),
ya que P(ACB) P(AC) = 0
PROBABILIDADES.
20) Suponga que una compañía utiliza un
procedimiento de prueba que es confiable en
98%. Es decir identifica correctamente a un
objeto como defectuoso o no defectuoso con una
probabilidad de 0.98. En un esfuerzo por
reducir la probabilidad de error a cada objeto
se somete a dos pruebas independientes.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un objeto no
defectuoso no pase ambas pruebas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se detecte a un
objeto defectuoso, es decir de que no pase por
lo menos una de las dos pruebas?
SOLUCIÓN
a)Tenemos que hallar la
probabilidad de que un objeto
no defectuoso no sea
detectado.
Para que no sea detectado; el
procedimiento tiene que
fracasar en las dos pruebas. La
probabilidad de fracaso(F) es de
0.02 (1-0.98). Entonces:
Fprueba1 = 0.02
Fprueba2 = 0.02
F1F2 = 0.02 x 0.02 = 0.0004
b)Tenemos que hallar la
probabilidad de que un objeto
defectuoso sea detectado en al
menos en una prueba.
Sea: E (éxito) – F (fracaso)
E1E2 + F1E2 + E1F2
Eprueba1 = 0.98
Eprueba2 = 0.98
0.98x0.98+0.02x0.98+0.98x0.02
0.9996
PROBABILIDADES.
21) Una urna contiene 10 objetos numerados
de 1 a 10. Un juego consiste en sacar
tales objetos y termina cuando sale el
numerado con uno. ¿Cuál es la
probabilidad de que el juego termine si
se sacan al azar 5 objetos
a) a la vez?
b) uno a uno sin reposición?
c) uno a uno con reposición?
SOLUCIÓN
a)A la vez:
b) Uno a uno sin reposición
c) Uno a uno con reposición
Respuestas
a) 0.5
b) 0.1
c) 94/105
PROBABILIDADES.
22) Se ha determinado que el porcentaje de
televidentes que ven los programas A, B
y C son respectivamente 0.4, 0.5 y 0.3.
Cada televidente ve los programas
independientemente uno del otro. Si se
elige al azar a uno de tales televidentes,
¿qué probabilidad hay de que vea
a) dos de los tres programas?
b) al menos uno de los tres programas?
SOLUCIÓN
Sean
i : Ve el programa i.
i’: No ve el programa i.
Donde i = A, B , C
a) Dos de los tres programas
p = P(ABC’)+P(AB’C) + P(A’BC)
p = 0.4x0.5x0.7 + 0.4x0.5x0.3 +
0.6x0.5x0.3
p = 0.29
b) Al menos uno de los tres
programas
Se puede desarrollar a través
de la probabilidad
complementaria, o sea de que
no vea ningún programa.
p = 1 - P(A’B’C’)
p = 1 - 0.6x0.5x0.7 = 0.79
p= 0.79
PROBABILIDADES.
23) En una oficina hay dos computadoras A
y B que trabajan de manera
independiente. Si en un momento
cualquiera la probabilidad de que la
máquina B esté en mal estado es ¼ y la
probabilidad de que solo la máquina A
esté en mal estado es 3/10 , ¿Cuál es la
probabilidad de que solo la máquina B
esté en malas condiciones?
SOLUCIÓN
Sean los eventos:
A: La máquina A está en
mal estado
B: La máquina B está en
mal estado
Datos
P(AB) + P(A’B) = ¼
P(AB’) = 3/10
Piden hallar:
P(A’B) = ?
P(A)xP(B) + P(A’)xP(B) = ¼
P(B) x (P(A)+P(A’)) = ¼
P(B) x (1) = ¼
P(B) = ¼
P(A) x P(B’) = 3/10
P(A) x (1-P(B)) = 3/10
P(A) x (3/4) = 3/10
P(A) = 4/10
P(A’)xP(B)=6/10x1/4 = 3/20
* Nota: P(A’B) quiere decir , probabilidad de que A no esté malograda y que
B si lo esté.
Para eventos independientes P(AB) = P(A) x P(B)
PROBABILIDADES.
24) En los circuitos de las figuras que
siguen, la probabilidad de que cada llave
se cierre (pase corriente) es p, 0 < p < 1.
Si todas las llaves se cierran o abren en
forma independiente, calcular la
probabilidad de que la corriente pase de
E a S en a), y b).
1
2 3
S E a) 1
2 3
4 5
S E b)
SOLUCIÓN
Sea:
Ci: La llave i esté cerrada.
Ai : La llave i esté abierta.
Donde i = 1,2,3
a) Todas las combinaciones posibles para que circule corriente de E a S. P(C1C2C3)
P(C1A2A3)
P(C1A2C3)
P(C1C2A3)
P(A1C2C3)
Además P(Ci) = p , P(Ai) = 1- p
Calculando
P(C1C2C3) = p x p x p
P(C1A2A3) = p x (1-p) x (1-p)
P(C1A2C3) = p x (1-p) x p
P(C1C2A3) = p x p x (1-p)
P(A1C2C3) = (1-p) x p x p
Resolviendo y simplificando
p + p2 - p3 = p(1 + p - p2)
SOLUCIÓN
Sea:
Ci: La llave i esté cerrada.
Ai : La llave i esté abierta.
Donde i = 1,2,3,4,5
a) Todas las combinaciones posibles para que circule corriente de E a S. P(C1C2C3C4C5)
P(C1C2C3C4A5)
P(C1C2C3A4C5)
P(C1C2C3A4A5)
P(C1C2A3C4C5)
P(C1A2C3C4C5)
P(C1A2A3C4C5)
Calculando
P(C1C2C3C4C5) = p5
P(C1C2C3C4A5) = p4(1-p)
P(C1C2C3A4C5) = p4(1-p)
P(C1C2C3A4A5) = p3(1-p)2
P(C1C2A3C4C5) = p4(1-p)
P(C1A2C3C4C5) = p4(1-p)
P(C1A2A3C4C5) = p3(1-p)2
Sumando
y simplificando
2p3 – p5
PROBABILIDADES.
25) Un experimento se realiza tantas veces en forma
independiente hasta obtener el primer éxito.
Suponga que en cada intento la probabilidad de
que se tenga el éxito, es de 0.95 si se siguen
correctamente las instrucciones; y es de 0.20 si
no se siguen correctamente las instrucciones.
Calcular la probabilidad de alcanzar el éxito en
tres intentos a lo más
a) si se siguen correctamente las instrucciones
cada vez.
b) si no se siguen correctamente las instrucciones
cada vez.
SOLUCIÓN
Entonces tenemos que hallar la
probabilidad de tener éxito en
el primer, segundo y hasta el
tercer intento.
Sea, donde i = 1,2,3
Ei : Éxito en el intento i
Pi : Fracaso en el intento i
p =P(E1) + P(F1E2) + P(F1F2E3)
a) P(Ei) = 0.95 , P(Fi) = 0.05
p = 0.95 + 0.05x0.95 +
0.052x0.95
p = 0.999875
b) P(Ei) = 0.2 , P(Fi) = 0.8
p = 0.2 + 0.8x0.2 + 0.82x0.2
p = 0.488
PROBABILIDADES.
26) Calcular la probabilidad de que un
mensaje de n (n ≥ 1) dígitos binarios, (0,1)
sea incorrecto, si la probabilidad de recibir
un dígitos incorrecto es p y si los dígitos se
reciben en forma independiente.
Se puede resolver utilizando la probabilidad complementaria, es decir primero hallamos la probabilidad de que el mensaje sea correcto.
Sea p0, la probabilidad de que el mensaje sea correcto:
p0 = (1-p)x(1-p)x(1-p)x….x(1-p) ( “n” veces) = (1-p)n
Entonces la probabilidad de tener el mensaje incorrecto es restar de la unidad lo calculado anteriormente:
1 - (1-p)n
PROBABILIDADES.
27) Suponga que un sistema funciona si al
menos una de sus componente funciona.
Si las componentes trabajan
independientemente y si la probabilidad
que falle cada una es de 0.01, ¿cuántas
componente debería tener el sistema
para que no falle con probabilidad de
0.9999?.
SOLUCIÓN
Como el problema anterior, podemos hallarlo mediante el complemento de su probabilidad.
Entonces primero hallemos la probabilidad de que todas las piezas del sistema fallen.
p0 = 0.01x0.01x…x0.01 = 0.01n
donde :
n : cantidad de componentes que tiene el sistema.
p0 : probabilidad de que el sistema falle.
Sea P la probabilidad de que el sistema no falle.
P = 1 – p0 = 1 - 0.01n
P = 0.9999 = 1 - 0.01n
0.9999 = 1 - 0.01n
0.0001 = 0.01n
0.012 = 0.01n
Bases iguales exponentes iguales, por los tanto n = 2.
Rpta._ El sistema debe tener 2 componentes para que no falle con dicha probabilidad.
PROBABILIDADES.
28) Una persona está expuesta a 1 riesgo en
100 ocasiones independientes. Si la
probabilidad de que ocurra un accidente
es 1/100 cada vez, hallar la probabilidad
de que un accidente ocurra en una o más
ocasiones.
SOLUCIÓN
Sean el evento:
A: ocurre accidente
A’ : no ocurre accidente
P(A’) = 1 – P(A)
P(A’) = 1 – 1/100
P(A’) = 99/100
Como vemos en la figura
estamos hallando la
probabilidad de que no ocurra
accidentes en las 100
ocasiones, con lo que la
probabilidad total sería:
(99/100)^100
Entonces la probabilidad de que
ocurra uno o más accidentes
es:
1 – (99/100)^100 = 0.634
2
1
3
99
1
00
99 x 99 x 99 x …. x 99 x 99
100 100 100 100 100
PROBABILIDADES.
29) Un experimento aleatorio se repite
sucesivamente 10 veces en forma
independiente. En cada prueba la
probabilidad de éxito es ¼. Calcular la
probabilidad de que ocurran 3 éxitos si el
último intento debe ser un éxito.
SOLUCIÓN
Probabilidad de éxito E = 0.25
Probabilidad de fracaso F = 0.75
Posibilidades de tener 3 éxitos:
E1E2F3F4F5F6F7F8F9E10
E1F2E3F4F5F6F7F8F9E10
E1F2F3E4F5F6F7F8F9E10
…… etc.
Todas las posibilidades están
contenidas en el número
combinatorio siguiente:
Se toman 9 en 2, porque el
último siempre tiene que ser
éxito; entonces no se toma en
cuenta por siempre tener esa
posición fija.
Calculamos lo que pide el
problema.
p = (0.25)3(0.75) 7
p = 0.07508
PROBABILIDADES.
30) Respecto al partido de fútbol que
protagonizarán los equipos A y B el próximo
domingo se piensa lo siguiente: De todas
maneras se abrirá el marcador y cualquiera
de los dos equipos tiene igual probabilidad de
hacerlo. Si A anota el primer gol, la
probabilidad de que el próximo también sea
de A es 2/3 contra 1/3 de B; en cambio si B es
el que anota, primero el gol, habrá un
segundo gol que puede ser con igual
probabilidad para cualquier bando.
PROBABILIDADES.
Si el marcador llega a ponerse dos a cero a favor
de cualquiera equipo la desmoralización de uno y
la apatía del otro impedirán que haya más goles;
en cambio si llega a ponerse 1-1, puede ocurrir
tres cosas con iguales probabilidades: que A
anote y gane 2-1, que B anote y gane 2-1 o que no
haya más goles. Calcular:
a) La probabilidad de que B gane.
b) La probabilidad de que B haya abierto el
marcador dado que ganó el partido.
SOLUCIÓN
Sean los eventos:
Aij : A abrió el marcador y ha
metido i goles contra j goles de
B.
Bij : B abrió el marcador y ha
metido i goles contra j goles de
A.
E : B vencedor del partido
Dibujamos el diagrama de árbol
SOLUCIÓN
a) Regla de Probabilidad total
P(E) = P(A10) P(A11|A10) P(E|A11) + P(B10) P(B20|B10) P(E|B20) +
P(B10) P(B11|B10) P(E|B11)
P(E) = ½ x 1/3 x 1/3 + ½ x ½ x 1 + ½ x ½ x 1/3
P(E) = 14 / 36 = 0.3889
b) Teorema de Bayes
Rpta._ 0.8571
PROBABILIDADES.
31) Suponga que en cierta región del país la
probabilidad de que un adulto mayor de
40 años tenga cáncer es 0.05. La
probabilidad de que el diagnóstico sea
correcto es 0.8, y de que sea errado es
0.20. Si se elige al azar a una de esas
personas, calcular la probabilidad de
que.
a) Se le diagnostique cáncer.
b) Si se le diagnostica cáncer, tenga
realmente tal enfermedad.
SOLUCIÓN
a) Sea C “se le diagnostique
cáncer”
P(C) = P(A)P(B) + P(A’)P(B’)
P(C) = 0.05x0.80 + 0.95x0.20
P(C) = 0.23
B: Diag. Correcto B’: Diag. Incorrecto TOTAL
A: > 40 años con cáncer 0.80 x 0.05 = 0.04 0.20 x 0.05 = 0.01 0.05
A’: > 40 años sin cáncer 0.8 x 0.95 = 0.76 0.20 x 0.95 = 0.19 0.95
TOTAL 0.80 0.20 1.00
b) Se sabe que se le diagnóstico
cáncer (0.23), y esta
probabilidad está compuesta
por: que realmente tenga
cáncer (0.04) ó que no lo tenga
(0.19).
p = 0.04/0.23
p = 0.1739
PROBABILIDADES.
32) Al contestar una pregunta de opción múltiple de 5 alternativas, donde sólo una es la respuesta correcta, un estudiante o bien conoce la respuesta o él responde al azar. La probabilidad de que conozca la respuesta 0.6 y de que responda al azar es de 0.4.
a) Calcular la probabilidad de que conteste incorrectamente.
b) Si contesta correctamente, calcular la probabilidad de que no conozca la respuesta.
SOLUCIÓN
a) Sea p la probabilidad de
contestar incorrectamente.
Entonces tiene que marcar al
azar y que se equivoque.
Marcar al azar = 0.4
Respuesta correcta = 0.2,
entonces la incorrecta es 1 – 0.2 =
0.8
p = 0.4 x 0.8 = 0.32
p = 0.32
b) P(A2|B) = ?
A1: conoce la respuesta
A2: no conoce la respuesta (marca al
azar)
B : marcar correctamente
P(A2|B) = 0.1176
PROBABILIDADES.
33) Sólo el 60% de la mercadería que recibe un
comerciante del fabricante A es de calidad
excepcional, mientras que el 90% de la
mercadería que recibe del fabricante B es de
calidad excepcional. Sin embargo la capacidad
de fabricación del fabricante B es limitada, y,
por esta razón sólo el 30% de la mercadería le
es permitido adquirir del fabricante B, el 70%
la adquiere de A. Se inspecciona un embarque
que acaba de llegar y se encuentra que es de
calidad excepcional, ¿cuál es la probabilidad
de que provenga del fabricante A?
SOLUCIÓN
Sean:
B : mercadería excepcional.
A1: mercadería de A
A2: mercadería de B
P(A1|B) = ?
P(B) = 0.7 x 0.6 + 0.3 x 0.9
P(B) = 0.69
P(A1)P(B|A1) = 0.7 x 0.6 = 0.42
P(A1|B) = 0.6087
PROBABILIDADES.
34) En un proceso de producción el porcentaje
de objetos no defectuosos fabricados es
70% con probabilidad de 0.35, 90% con
probabilidad 0.25, y 60% con probabilidad
0.4. Si se selecciona al azar uno de tales
objetos y si resulta no defectuoso, calcular
la probabilidad de que sea de calidad del
90% no defectuoso.
SOLUCIÓN
Sean los eventos:
A : Calidad del 70% , B : Calidad del 60% , C : Calidad del 90%
E : Objeto no defectuoso, P(B|E) = ?
Regla de Probabilidad Total
P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) + P(C)P(E|C)
P(E) = 0.35x0.7 + 0.25x0.9 + 0.4x0.76 = 0.71
P(E) = 0.71
Teorema de Bayes
P(B|E) = 0.3169
PROBABILIDADES.
35) El 100% de una población de electores se divide en tres estratos sociales excluyentes: baja, media y alta; de manera que la clase baja o media son el 90% del total, y la clase media o alta el 40% del total. De los primeros sondeos realizados para las próximas elecciones, se afirma que el porcentaje de electores que votarían por el candidato D puede ser: 30% de clase baja, 50% de clase media y 70% de clase alta.
a) Si se elige un elector al azar y se encuentra que vota por D, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a la clase alta?
b) Si se escogen dos electores al azar, ¿qué probabilidad hay de que uno de ellos vote por D?
SOLUCIÓN
Sea:
P(A): probabilidad que sea de
clase alta.
P(M): probabilidad que sea de
clase media.
P(B): probabilidad que sea de
clase baja.
P(D): probabilidad de se vote
por el candidato D
Datos
P(B U M) = 90% P(A)=10%
P(M U A) = 40% P(B)=60%
P(M)=30%
P(D|B)=0.3 , P(D|M)= 0.5
P(D|A)= 0.7
a) P(A|D)=?
P(A|D) = ( P(A) x P(D|A) ) / P(D)
Hallamos P(D) por la regla de bayes.
P(D) = P(A)x P(D|A) + P(B)x P(D|B) +
P(M)x P(D|M)
P(D) = 0.1x0.7 + 0.6x0.3 + 0.3x0.5
P(D) = 0.4
P(A|D) = ( 0.1 x 0.7 ) / 0.4 = 0.175
P(A|D) = 0.175
SOLUCIÓN
b)
2 x 0.4 x 0.6
0.48
El espacio muestral para esta
parte b) es:
Ω={D’D’; D’D;DD’;DD},
Siendo D’ la probabilidad de
que no se vote por el
candidato D.
PROBABILIDADES.
36) Una máquina produce un tipo de objeto en
distintos periodos. Si la máquina está bien
ajustada en un periodo, el 80% de los objetos
producidos pasan el control de calidad de otro
modo sólo pasan el 60%. Se ha determinado
que el 90% de los periodos la máquina está
bien ajustada. De los 25 objetos producidos
en un solo periodo se escogen 3 al azar y a la
vez para el control de calidad. a) ¿Qué probabilidad hay que sólo 2 pasen el control de calidad?
b) Si solo dos pasan el control de calidad ¿qué probabilidad se
tiene que haya sido producido cuando la máquina trabaja en
un periodo de buen ajuste?
SOLUCIÓN
Objetos Buen Ajuste
(0.9)
Mal Ajuste
(0.1)
Pasan 25 x 0.8 = 20 25 x 0.6 = 15
No pasan 25 x 0.2 = 5 25 x 0.4 = 10
b) Es probabilidad Condicional
Sea
B: Pasan 2 objetos el control
A: máquina trabaja en buen ajuste
p = 855/960
p = 0.8906
a) De que solo dos pasen el control de
calidad
Obteniendo p = 960/2300
p = 0.4174
PROBABILIDADES.
37) El departamento de créditos de una tienda
comercial afirma que según sus experiencias
pasadas la probabilidad de que el 20% de los
clientes que compran por más de $50 es igual
a 0.3 y que la probabilidad de que el 60% de
los clientes compren por más de $50 es igual a
0.7. Sin embargo al entrevistar a dos clientes
al azar se encuentra que los dos compraron
por más de $50. En base a este resultado,
¿qué modificación acerca de las
probabilidades 0.3 y 0.7 deberá hacer la
tienda comercial?
SOLUCIÓN
Sean los eventos:
A: 20% clientes
B: 60% clientes
D: 2 al azar compran por más
de $50
P(A) = 0.3
P(B) = 0.7
Probabilidades Modificadas
P(A|D) = ?
P(B|D) = ?
Veamos
Si se escogen dos clientes de
A, la probabilidad de D sería
D = 0.2x0.2 = 0.04
Si se escogen dos clientes de
B, la probabilidad de D sería
D = 0.6x0.6 = 0.36
Pero como es al azar pueden
ser de cualquiera inclusive de
ambos, así que tenemos:
P(D) = 0.3x0.04 + 0.7x0.36
P(D) = 0.012 + 0.252 = 0.264
SOLUCIÓN
P(A|D) = 0.045
P(B|D) = 0.955
PROBABILIDADES.
38) A un candidato le han indicado que
obtendría el 60% de los votos con
probabilidad 0.2, el 45% de los votos con
probabilidad de 0.3 y el 70% de los votos
con probabilidad 0.5. Después de
preguntarle a 4 personas se obtiene que 2
de ellas votarían por el candidato. A la
luz de este resultado, ¿cuál es la
probabilidad de que el candidato obtenga
el 60% de los votos?
SOLUCIÓN
Sean los eventos:
A: que tenga el 60% de los votos
B: que tenga el 45% de los votos
C: que tenga el 70% de los votos
E: 2 de 4 personas votarían por
este candidato.
P(A) = 0.2 , P(B) = 0.3,
P(C) = 0.5
Hallar P(A|E) = ?
De cuantas manera podemos
elegir 2 de 4 personas, eso está
contenido en el siguiente
número combinatorio.
Estas personas pueden
pertenecer a A, B o C.
Suponemos de que si las 4
personas son de A
P(E) = x 0.62 x 0.42
SOLUCIÓN
De igual forma sería si perteneciesen a B o C, pero como las
personas son escogidas al azar tenemos que agregarle la
probabilidad de que estas pertenezcan a A,B o C; entonces esto
quedaría (Regla de la probabilidad total):
P(E) = 0.3117
Teorema de Bayes
P(A|E) = 0.2218
PROBABILIDADES.
39) Una agencia de publicidad observa que el 2%
de los compradores potenciales de un
producto ve su propaganda por periódico, el
20% ve dicha propaganda por televisión y el
1%ve los dos tipos de propaganda. Además
de cada tres que ven la propaganda uno
compra dicho producto y el 7.9% compran y
no ven la propaganda. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador potencial
compre dicho producto?
b) Si un comprador potencial compra el producto, ¿cuál es la
probabilidad de que no haya visto la propaganda?
SOLUCIÓN
Sean los eventos:
V: Vio la propaganda
NV: No Vio la propaganda
E : Compra el producto
A: Ve la propaganda por
periódico
B: Ve la propaganda por TV
a) P(E) = ?
Regla de la Probabilidad Total
Para hallar P(V), usamos la
Regla de Adición de Eventos
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(AUB) = 0.02 + 0.20 – 0.01
P(AUB) = 0.21
P(V) = P(AUB) = 0.21
P(V) = 0.21
Con esto hallamos P(NV)
P(NV) = 1 – P(V) = 1- 0.21
P(NV) = 0.79
SOLUCIÓN
P(E|V) = 1/3, dato del problema
Ahora solo nos faltaría calcular
P(E|NV).
Probabilidad Condicional
Reemplazamos todos los datos
P(E) = 0.21(1/3) + 0.79(1/10)
P(E) = 0.149
b) P(NV|E) = ?
Teorema de Bayes
P(NV|E) = 0.5302
PROBABILIDADES.
40) Un gerente está a la espera de la llamada
telefónica de 3 de sus clientes para realizar un
negocio. La probabilidad de que lo llamen
cualquiera de sus 3 clientes en forma
independiente es 0.3. Además la probabilidad de
realizar el negocio es de 0.20 si llama un cliente,
es de 0.4 si llaman dos clientes, y es de 0.8 si
llaman los 3 clientes. Si ninguno de los 3 le
llama, no realiza el negocio. a) Calcular la probabilidad de que realice el negocio.
b) ¿cuántas llamadas de clientes es más probables que haya recibido
el gerente sabiendo que realizó el negocio?
SOLUCIÓN
Sean los eventos:
Ai: Llaman i clientes, i= 0,1,2,3 ; B: Realiza el negocio.
C: Llame cualquiera de los tres clientes
Datos del problema
P(B|A0) = 0, P(B|A1) = 0.2, P(B|A2) = 0.4, P(B|A3) = 0.8
P(C) = 0.3
a) P(B) = ? - Regla de Probabilidad Total
P(B) = P(A0) P(B|A0) + P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2) + P(A3) P(B|A3)
SOLUCIÓN
En este tipo de probabilidades siempre tenemos que colocarle ese
número combinatorio según corresponda el caso, porque con eso
cubrimos todas las posibilidades de ocurrencia que puedan existir.
Reemplazamos los valores en la ecuación:
P(B) = 0.1854
SOLUCIÓN
b) Tenemos que ver cual es la probabilidad más alta con respecto a
P(B), y esta es P(A1) P(B|A1) /P(B) = 0.0882/0.1854, con un 47%.
Rpta._ Sabiendo que realizó el negocio, es más probable que
el gerente reciba una llamada
47%
41%
12%
0.0882/0.1854
0.0756/0.1854
0.0216/01854
![Estadistica, Descriptiva e Inferencial - Manuel Cordova Zamora[smallpdf.com] (1)_3.pdf](https://static.fdocuments.ec/doc/165x107/55cf8663550346484b971f70/estadistica-descriptiva-e-inferencial-manuel-cordova-zamorasmallpdfcom.jpg)
