Solucionario del Examen Parcial de Circuitos Digitales

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA ELECTRNICA

SOLUCIONARIO DEL EXAMEN PARCIAL DE CIRCUITOS DIGITALES 2015-A

Manza Chvez Herber Remigio 1223220544

PROBLEMA 1: Resolver a) Con las cifras 1, 2 y 3, cuntos nmeros de cinco cifras pueden formarse?

Cuntos son pares? S entran todos los elementos: 3 < 5 S importa el orden. S se repiten los elementos.

1

3

2

3

3

3

4

3

5

3

35 = 243

Para que el nmero sea par, el ltimo dgito debe terminar en 2. Sin importar el orden de los dgitos anteriores o si estos se repiten.

1

3

2

3

3

3

4

3

5

1

34 = 81

Respuesta: La cantidad de nmeros de 5 cifras formados con los dgitos 1, 2 y 3 es 243, de los cuales 81 son pares.

b) Cuntas apuestas de Lotera de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49? No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

496 =

49!

(49 6)! 6!=

49!

43! 6!=1 2 43 44 45 48 49

1 2 3 4 5 6

496 =

44 45 46 47 48 49

1 2 3 4 5 6=10068347520

720= 13 983 816

Respuesta: Las apuestas que deben rellenarse son 13 983 816

c) Ante un examen, un alumno slo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. ste se realiza en trayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados. SOLUCIN

La frmula a utilizar es: ( ) = 1 ( ) Donde ( ) es la probabilidad de que no obtenga ningn tema estudiado y est representado por el producto de las probabilidades del primer y segundo saque. Se tiene entonces que:

( ) = 1 ( ) = 1 10

259

24= 0.85

Respuesta: La probabilidad de que saque al menos un tema estudiado es de

.



d) Cul ser el dgito final de un entero elevado a la cuarta potencia en base 10? SOLUCIN:

Para cualquier nmero en base 10 que est elevado a la 4ta potencia su ltima cifra solo podr tomar los valores de 0, 1, 5 y 6, tal como se muestra en la tabla. Por lo tanto la ltima cifra solo puede tomar esos 4 valores.

PROBLEMA 2: Utilizando las leyes del lgebra de Boole expresar en forma cannica SOP y POS. El signo * representa la funcin AND, sin embargo y para simplificar se utilizar la notacin AB como equivalente a A*B.

a) Cuestin N 1. La funcin (,) = + () equivale a: SOLUCIN: Simplificando por el lgebra de Boole y haciendo su diagrama previo:

= + () = (, )

= (1 + )

= + (1 + )

= + 1

=

Tabla de valores:

() ()

0 0 0 1

1 0 1 1

2 1 0 0

3 1 1 0

1 forma cannica (SOP)

= (0,1)

= +

= ( + )

= (1)

=

2 forma cannica (POS)

= (2,3)

= ( + )( + )

= + + +

= (1 + + ) + 0

=

b) Cuestin N 2. La funcin (,) = ( + ) equivale a: SOLUCIN: Simplificando por el lgebra de Boole y haciendo su diagrama previo:

= ( + ) = (, )

= + ( + )

= + (( ))

= +

= (1 + )

=

N ltima cifra

N ltima cifra

0 0 0 5 625 5

1 1 1 6 1296 6

2 16 6 7 2401 1

3 81 1 8 4096 6

4 256 6 9 6561 1



Tabla de valores:

() ()

0 0 0 0

1 0 1 0

2 1 0 1

3 1 1 1

1 forma cannica (SOP)

= (2,3)

= +

= ( + )

= (1)

=

2 forma cannica (POS)

= (0,1)

= ( + )( + )

= + + +

= (1 + + )

=

c) Cuestin N 3. Sean dos funciones lgicas y tales que (, ) = (, ): y = (,) = (, ). Represente en segunda forma cannica la funcin lgica (,, ,) = (, ) (,) SOLUCIN:

1(, ) = (0,3)

()

0 0 0 1

1 0 1 0

2 1 0 0

3 1 1 1

(0,3) = +

2(, ) = (1,2)

()

0 0 0 1

1 0 1 0

2 1 0 0

3 1 1 1

(1,2) = ( + )( + )

Nos piden:

(,, ,) = (, ) (,) = ( + ) [( + )( + )]

Pero: = +

( + ) [( + )( + )] = ( + )[( + )( + )] + ( + ) [( + )( + )]

(, ) (,) = ( + )( + ) + ( + )[( + )( + )]

(, ) (,) = ( + )( + ) + ( + )( + ) (,) (,) = ( + + + ) + ( + + + ) (,) (,) =

1

+ 2

+ 13

+ 14

+ 7

+ 4

+ 11

+ 8

Haciendo la tabla de valores para cambiar de la primera forma cannica (SOP) obtenida a la segunda forma cannica (POS) que nos piden.

() ()

0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

2 0 0 1 0

3 0 0 1 1



4 0 1 0 0

5 0 1 0 1

6 0 1 1 0

7 0 1 1 1

8 1 0 0 0

9 1 0 0 1

10 1 0 1 0

11 1 0 1 1

12 1 1 0 0

13 1 1 0 1

14 1 1 1 0

15 1 1 1 1

De la tabla anterior obtenemos el producto de minterms (producto de sumas) o segunda forma cannica:

= (0,3,5,6,9,10,12,15)

= ( + + + )( + + + )( + + + )( + + + )( + + + )(+ + + )( + + + )( + + + )

PROBLEMA 3: Un cdigo binario usa 10 bits para representar cada uno de los diez dgitos decimales. A cada dgito le asigna un cdigo de nueve ceros y un uno. El cdigo binario para el nmero 6, por ejemplo, es 0001000000. Determine el cdigo binario para los nmeros decimales restantes. En circuitos digitales cuando de un grupo de bits se da por vlido solo aquellas salidas que tienen un alta (1) y las dems baja (0) se les llama cdigo 1-caliente (One-hot). En un caso similar pero con una sola baja (0) y las dems alta (1) se llama cdigo 1-frio (One-cold) Para nuestro problema, usaremos el que se aplica para mostrar el estado en una mquina de estado; es decir el primer caso (una alta y las dems bajas).

Dgito Orden

b9 b8 b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

7 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

8 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

9 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

PROBLEMA 4: Florencio va a ir a una fiesta esta noche, pero no solo. Tiene cuatro nombres en su agenda: Ana, Bea, Carmen y Diana. Puede invitar a ms de una chica pero no a las cuatro. Para no romper corazones, ha establecido las siguientes normas: - Si invita a Bea, debe invitar tambin a Carmen.



- Si invita a Ana y a Carmen, deber tambin invitar a Bea o a Diana. - Si invita a Carmen o a Diana, o no invita a Ana, deber invitar tambin a Bea. Antes de llamarlas por telfono, quiere utilizar un circuito que le indique cundo una eleccin no es correcta. Aydele a disear el circuito ptimo en dos niveles con puertas NAND. SOLUCIN:

Dndole una variable de conmutacin a cada persona tenemos: Ana (), Bea (), Carmen () y Diana ()

Cada variable podr tomar el valor de (0) o (1) dependiendo de: - NO va a la fiesta (0) - SI va a la fiesta (1)

El circuito que disearemos tendr una salida F que tomar los siguientes valores:

- Si la eleccin es correcta (cumple todas las normas) = 0 - Si la eleccin es incorrecta = 1

Para la obtencin de la funcin nos guiaremos de los casos propuestos que tenemos:

1: Florencio no va solo 2: Florencio no puede ir con todas 3: Si Florencio lleva a Bea (), debe llevar a Carmen () 4: Si Florencio lleva a Ana () y a Carmen (), debe llevar a Bea () o Diana () 5: Si Florencio lleva a Carmen () o Diana () o no lleva a Ana (), debe ir Bea ()

El valor de ser (1) cuando la eleccin sea incorrecta; es decir, cuando se incumpla alguna de las condiciones. Podemos expresar como una suma de productos donde cada trmino producto representa una condicin: = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 Debemos encontrar los trminos productos asociados a cada condicin, teniendo en cuenta lo siguiente:

x = 1 si no se cumple la condicin x = 0 si se cumple la condicin

La condicin 1 se incumple en el caso de que no vaya ninguna chica; es decir, en el caso de = 0, = 0, = 0 y = 0. En este caso 1 = 1. El trmino producto asociado a esta condicin es el mintrmino 0: 1 =

La condicin 2 se incumple en el caso de que vayan todas las chicas; es decir, en el caso de = 1, = 1, = 1 y = 1. En este caso 2 = 1. El trmino producto asociado a esta condicin es el mintrmino 15: 2 =

La condicin 3 se incumple en el caso de que vaya y no vaya ; es decir, en el caso de = 1, = 0. En este caso 3 = 1. El trmino producto asociado a esta condicin es: 3 =

La condicin 4 se incumple en el caso de que vayan y y no vayan ni ni ; es decir, en el caso de = 1, = 1, = 0, = 0. En este caso 4 = 1. El trmino producto asociado a esta condicin es: 4 =

La condicin 5 se incumple en el caso de que vayan o o no vaya y no vaya ; es decir, en el caso de ( = 1 = 1 = 0) y = 0. En este caso 5 = 1. El trmino producto asociado a esta condicin es: 5 = ( + + ) = + +

De esta forma se obtiene que = + + + + + + En forma de suma de mintrminos queda = (0,1,2,3,4,5,9,10,11,12,13,15) A continuacin, vamos a obtener una expresin ptima de mediante el mtodo de Quine-McCluskey que consta de dos partes.



a) Obtencin de las implicantes primas. En nuestro caso se obtiene: Mintrminos listados

por su ndice

ndice 0 0 <

ndice 1 1 < 2 < 4 <

ndice 2

3 < 5 < 9 < 10 < 12 <

ndice 3 11 < 13 <

ndice 4 15 <

Implicantes de 2 trminos

(0,1) 1 < (0,2) 2 < (0,4) 2 < (1,3) 2 < (1,5) 4 < (1,9) 8 < (2,3) 1 < (2,10) 8 < (4,5) 1 < (4,12) 8 < (3,11) 8 < (5,13) 8 < (9,11) 2 < (9,13) 4 < (10,11) 1 < (12,13) 1 < (11,15) 4 < (13,15) 2 <

Implicantes de 4 trminos

(0,1,2,3) 2,1 (0,1,4,5) 4,1

1 2

(1,3,9,11) 8,2 (1,5,9,13) 8,4 (2,3,10,11) 8,1 (4,5,12,13) 8,1

3 4 5 6

(9,11,13,15) 4,2 7

Expresin de cada implicante

1 00 2 0 0 3 00 4 00 5 00 6 00 7 00

b) Cubrimiento mnimo

Construimos la tabla de implicantes:

0 1 2 3 4 5 9 10 11 12 13 15

A X X X X

B X X X X

C X X X X

D X X X X

E X X X X

F X X X X

G X X X X

10 es una columna distinguida, entonces , es una implicante prima esencial. Se eliminan los mintrminos de : 2, 3, 10, 1. Los mismo ocurre con la columna 12 y la implicante y se eliminaran los mintrminos de : 4, 5, 12,13. 15 tambin es una columna distinguida e es una implicante prima esencial. En este caso se eliminan los mintrminos de : 9, 11, 11, 15. En este punto reescribimos la tabla eliminando las columnas y filas ya tachadas.

0 1

A X X

B X X

C X

D X



Filas dominadas: y son dominadas por y , entonces eliminaremos y . En la tabla resultante tras eliminar y , tanto como cubren todos los mintrminos que faltan y adems tienen el mismo coste por lo que se puede elegir cualquiera de ellas. Por tanto:

= + + +

= + + +

PROBLEMA 5: Expresar las siguientes funciones literales, simplificar utilizando el diagrama de Karnaugh. a) Suma de productos (SOP)

= (1,5,8,10,11,12,14,15)

Por Karnaugh:

+ +

Dndole la forma correcta de simplificacin:

= + + + + + + + = + + ()

b) Producto de Sumas (POS)

= (1,7,9,11,13,15)

Por Karnaugh

+ +

1 1 0 0

0 1 0 1

0 1 0 1

1 1 0 0

1 1 1 1

0 0 0 1

0 0 1 0

1 1 1 1



Dndole la forma correcta de simplificacin: = ( + + + )( + + + )( + + + )( + + + )( + + + )( + + + )

= + + ()

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