15.-Obtenga la matriz de flexibilidad F para la parrilla mostrada en la figura , considerando tanto deformaciones por flexin como por torsin, si las reacciones en el apoyo C se toman como las redundantes. Suponga que Q1 es la fuerza en la direccin positiva de las y, Q2 es el par positivo respecto al eje x, y Q3 es el par positivo respecto al eje z. Las rigideces a la flexin y a la torsin son EI y GJ, respectivamente.SOLUCION: METODO DE LA FLEXIBILIDADEntonces calculamos nuestra matriz de flexibilidad del grafico:

Grado de hiperestaticidad=6Entonces ISOSTATIZAMOS la estructura:

Se observa que aparecen 3 redundantes en el nudo C debido a que solo existen deformaciones por flexin (Q1) y torsin (Q2, Q3).Vamos a considerar las siguientes formulas:

En seguida hallamos la matriz de flexibilidad :

* PLANO yz: (deformacin por flexin) PLANO xy: (deformacin por flexin) PLANO yz: (deformacin por torsin)

* PLANO yz: (deformacin por flexin) PLANO yz: (deformacin por torsin)

* PLANO xy: (deformacin por flexin)

* PLANO yz: (deformacin por flexin) PLANO yz: (deformacin por torsin) * PLANO yz: (deformacin por flexin) PLANO yz: (deformacin por torsin)

* PLANO xy: (porque los momentos tanto unitario como f32 no se encuentran en un mismo plano).

* PLANO xy: (deformacin por flexin) * (porque los momentos tanto unitario como f23 no se encuentran en un mismo plano). * PLANO xy: (deformacin por torsin) PLANO yz: (deformacin por flexin)

Por lo tanto obtenemos la MATRIZ DE FLEXIBILIDAD:

METODO DE LA RIGIDEZ:

GRADO DE LIBERTAD=6Entonces nuestra matriz de rigidez ser :NOTA.- tener en cuenta para los torsores la siguiente frmula:

Ahora hallamos la matriz de rigidez , empotrando a todos los nudos (rigidizamos):

* Analizamos en la Barra AB:

* Analizamos en la Barra BC:

Sumamos los miembros que poseen igual numeracin y obtenemos:

* Analizamos en la Barra AB:

* Analizamos en la Barra BC:

Sumamos los miembros que poseen igual numeracin y obtenemos:

* Analizamos en la Barra AB:

* Analizamos en la Barra BC:

Sumamos los miembros que poseen igual numeracin y obtenemos:

* Analizamos en la Barra AB:

* Analizamos en la Barra BC:

Sumamos los miembros que poseen igual numeracin y obtenemos:

* Analizamos en la Barra AB:

* Analizamos en la Barra BC:

Sumamos los miembros que poseen igual numeracin y obtenemos:

* Analizamos en la Barra AB:

* Analizamos en la Barra BC:

Sumamos los miembros que poseen igual numeracin y obtenemos:

Entonces ordenamos los resultados obtenidos en la matriz de rigidez:RESPUESTA:

63.-Encuentre las acciones de extremo en el nudo C del miembro BC para la parrilla de la figura. La nica carga que acta sobre la parrilla es la fuerza concentrad P mostrada en la figura, y ambos miembros tienen rigidez a la flexin EI y rigidez a la torsin GJ. Numere las acciones de extremo de la manera siguiente: (1) fuerza cortante en la direccin y, (2) momento flexionante respecto al eje x, (3) momento torsionante respecto al eje z. Suponga que todas las acciones y desplazamientos son positivos cuando sus vectores tienen las direcciones positivas de los ejes coordenados.SOLUCION: METODO DE LA RIGIDEZ:Vamos a calcular las acciones en el nudo C, mediante la matriz , considerando las siguientes formulas:

GRADOS DE LIBERTAD = 3 (Se observa que aparecen 3 redundantes en el nudo B debido a que solo existen deformaciones por flexin (D1) y torsin (D2, D3) ). Calculamos , rigidizando la estructura:

Entonces la matriz seria:

Ahora hallamos la matriz de rigidez :

* Analizamos en la Barra AB:

* Analizamos en la Barra BC:

Sumamos los miembros que poseen igual numeracin y obtenemos:

* Analizamos en la Barra AB:

* Analizamos en la Barra BC:

Sumamos los miembros que poseen igual numeracin y obtenemos:

* Analizamos en la Barra AB:

* Analizamos en la Barra BC:

Sumamos los miembros que poseen igual numeracin y obtenemos:

Entonces as obtenemos la matriz de rigidez que se presenta a continuacin (para reducir los trminos de la matriz consideramos la equivalencia: ):

Hallamos ahora la matriz inversa de :

De la Ecuacin (II) se tiene:

En seguida determinamos la Ecuacin (I) :

RESPUESTA:

METODO DE LA FLEXIBILIDAD:

Grado de hiperestaticidad =6Hallamos la matriz en la estructura real:

Ahora ISOSTASTIZAMOS la estructura y definimos nuestras redundantes (Q1, Q2, Q3):

Ahora calculamos la MATRIZ FLEXIBILIDAD ( el orden de la matriz es debido a las redundantes Q1, Q2, Q3):

* PLANO xy: (deformacin por flexin) PLANO yz: (deformacin por flexin) * PLANO yz: (deformacin por flexin) * PLANO xy: (deformacin por flexin)

Entonces tenemos:

* PLANO yz: (deformacin por flexin) * PLANO yz: (deformacin por flexin) EJE z: (deformacin por flexin) * PLANO xy y yz: (porque los momentos tanto unitario como f32 no se encuentran en un mismo plano).Entonces tenemos:

* PLANO xy: (deformacin por flexin) * PLANO xy y yz: (porque los momentos tanto unitario como f32 no se encuentran en un mismo plano). * PLANO xy: (deformacin por flexin)

PLANO z: (deformacin por torsin)

Entonces tenemos:

Tambin consideramos , con la finalidad de reducir trminos de la matriz flexibilidad:

Tambin calculamos la matriz inversa de :

Calculamos ahora la matriz :

Usamos el mtodo de la carga unitaria:

Reemplazamos este dato en la Ecuacin (II):

RESPUESTA: