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RESOLUCIÓN GUÍA DE ESTUDIO Nº 1ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1.1

Del texto guía Manual de preparación pre-universitaria aritmética de la página 79 resuelva sin usar calculadora los ejercicios.

2. Hallar la suma de las cifras del complemento aritmético de un número de 3 cifras. La suma de estas 3 cifras es 10.

a) 15 b) 16 c) 18 d) 19 e) 20

número de 3 cifras abc

a+b+c=10 a≠0

∁ ° A=¿ (9−a ) (9−b )(10−c ) ; a≠0 , b≠0 , c≠0 S≡suma de las cifras del complemento aritmético

S=9−a+9−b+10−c S=28−(a+b+c ) ;a+b+c=10 S=28−10=18

Respuesta: 18

61. Determinar la suma de los siguientes números impares consecutivos:

S = 23(n) + 30(n) + 32(n ) + ... + 311(n)

Respuesta en base diez.a) 3 290 b) 1692 c) 1645 d) 875 e) 1875

Observando los números impares a sumar se concluye:n≥4

Transformando a base 10 ; n=423(4)=2∙4+3=1130(4)=3∙4+0=1232( 4)=3 ∙4+2=14

Observamos que los números no son impares consecutivos, por tanto n≠4

Transformando a base 10 ; n=523(5)=2 ∙5+3=1330(5)=3 ∙5+0=1532(5 )=3 ∙5+2=17

311(5)=3 ∙52+1∙5+1=81

Observamos que los números si son impares consecutivos, por tanto n=5

Ahora los números a sumar son:13, 15 ,17 ,19 ,… ,81

13 15 + 17 19 64=(4 ∙10 )+24

∴ La suma de números impares del 20 al 30 será

21 23+ 25 27 29 125= (5∙20 )+25

La suma de los impares del 30 al 40 será

(5 ∙30 )+25=175


(5 ∙40 )+25=225


(5 ∙50 )+25=275


(5 ∙60 )+25=325


(5 ∙70 )+25=375

Sumando los totales más 81:64+125+175+225+275+325+375+81=1645

Respuesta: 1645

Del texto guía de la página 80 resuelva el ejercicio 80:

80. Si a un número de dos cifras lo multiplicamos por 6, se obtiene el menor número de tres cifras. Si al final de este numero de 3 cifras le colocamos un 2, aumenta en 2 000 unidades. Hallar el número de 2 cifras.

a) 29 b) 17 e) 42 d) 6 e) 5

6ab≡menornúmero de trescifras

cde 2=2000+cde

De scomponiendo cde polinómicamente:

1000c+100d+10e+2=2000+100 c+10d+e900 c−90d+9e=1998100 c−10d+e=222cde=222

ab=2226

=37

Respuesta: 37

Del texto guía de la página 116 resuelva el ejercicio 1 y 4:

1. En un concurso: 12 glotones comen 12 plátanos en 12 segundos; si todos los glotones necesitaron 5 minutos para comer todos los plátanos, ¿Cuántos eran los glotones?

12 glotones12 plátanos 12 segundos

Lo que quiere decir que cada glotón come 1 plátano en 12 segundos

Ahora, si tenemos 5 minutos, transformando a segundos sería: 60 ∙5=300 segundos

300÷12=25grupos de12glotones comiendo1 plátano cadauno

∴25 ∙12=300 glotonesen total

Respuesta: 300 glotones

4. Un caballo puede jalar una carreta que contiene un peso de 1500 kilos, su velocidad es de 6 km/h, y se emplea 12 minutos para cargar la carreta, e igual tiempo para descargarla. El precio de la jornada de 10 horas es de $ 50. Calcular el precio del transporte de 2 500 m3 de tierra a una distancia de 900m, sabiendo que 1 m3 de tierra pesa 1 200 kg.

El peso total a cargar seria: 1200 ∙2500=3000000 kg

El número de viajes que tendría que hacer el caballo sería: 3000000÷1500=2000viajes

Serían 2000 viajes con carga y 2000 viajes sin carga, en total 4000 viajes.

Con la ecuación v=dt , donde v=6 km

h ; d=0,9km

t=0,96

=0,15horas

El tiempo de ida más el tiempo de regreso sería 0,30 horas

Ahora, el tiempo empleado para realizar los 4000 viajes sería:0,30 ∙2000=600horas

El tiempo de carga y descarga sería:0,4 ∙2000=800horas

Tiempo total: 600+800=1400horas

Como cada hora de trabajo cuesta $ 5 ∴ el precio por esta jornada es

1400 ∙5=7000dólares

Respuesta: 7000 dólares

Del texto guía de la página 118 resuelva los ejercicios 19 y 21:

19. Calcular el valor de la siguiente suma:

408 + 418 + 428 + 438 +. . . + 2 008

408 418 428+ 438 . . . 498 4530=(40 ∙100 )+(45 ∙10 )+80=4530

La suma del 500 al 600 sería:(50 ∙100 )+ (45 ∙10 )+80=5530

La suma del 600 al 700 sería:(60 ∙100 )+ (45 ∙10 )+80=6530

La suma del 700 al 800 sería:(70 ∙100 )+ (45 ∙10 )+80=7530...La suma del 1900 al 2000 sería:(190 ∙100 )+ (45 ∙10 )+80=19530

Sumando estos valores sería:0 ∙100=0(3 ∙16 ) ∙10=480(5 ∙16 ) ∙100=800084 ∙1000=8400010 ∙10000=100000

Sumando esto me daría 192480 hasta el 1998

192480+2008=194488 sumatotal

Respuesta: 194488

21. Si en la siguiente suma:

A B C DE F G H + I J K LM N O P

SSe cumple que:AB + EF + IJ + MN = 347CD + GH + KL + OP = 305Hallar el valor de la suma S

A B C D E F G H + ; En el caso de las letras subrayadas de rojo, colocamos I J K L el 5 en las unidades, el 0 en las centenas y el 3 lo M N O P sumamos en la siguiente columna3 4 7 0 5

De esta manera al 7 le sumamos el 3 de la anterior columna que serían 10, escribimos el 0 y llevamos 1, al 4 le sumamos el 1 que llevábamos y nos queda 5.Finalmente la suma quedaría de la siguiente manera:

A B C D E F G H + I J K L M N O P 3 5 0 0 5

Respuesta: 35005

Del texto guía de la página 120 resuelva los ejercicios 43 y 48

43. Al dividir un número de 3 cifras entre otro de 2 cifras se obtiene 12 de cociente y un cierto residuo; al dividir el ∁ ° A del dividendo entre el ∁ ° A del divisor se obtiene 9 de cociente y de residuo el ∁ ° A del anterior residuo. Hallar el divisor.

abc de 12 x

1000−abc 100−de 9 10 - xabc=12de+x (1)

1000−abc=900−9de+10−x (2)

Sumando (1) y (2)

1000=910+3de90=3de

de=30

Respuesta: 30

48. Reconstruir la siguiente división donde cada punto es una cifra:

x x x x x x x x x

x x x x x 8 x x

x x

x x

x x x

x x x

1

Al comparar las cifras en rojo, no se puede realizar la división, por lo que se toma la cifra en azul y al llevar a cabo la división el residuo es cero; se toma la cifra en tomate pero al parecer no alcanza y es necesario bajar la siguiente cifra, razón por la cual se concluye que la segunda x del cociente es cero.

x x x x x x x x x

x x x x 0 8 x x

x x

x x

x x x

x x x

1

Continuando con el análisis se efectúa la división con las cifras en rojo y por el dato que nos dan, se deduce que hay que encontrar un número de dos cifras que multiplicado por 8 me de cómo resultado otro de dos cifras.

8 x 10 = 80

8 x 11 = 88

8 x 12 = 96

8 x 13 = 104

El divisor puede ser 10, 11, 12 y el número en lila puede ser 80, 88, 96

x x x x x x x x x

x x x x 0 8 x x

x x

x x

x x x

x x x

1

Luego de efectuar esta última división, queda un residuo y procedemos a tomar la cifra en rojo pero como no alcanza la división es necesario tomar la cifra en azul, por lo que se deduce que la cifra junto al 8 del cociente es cero.

x x x x x x x x x

x x x x 0 8 0 x

x x

x x

x x x

x x x

1

Observando las cifras en verde podemos decir que la cifra en tomate tiene que ser una que multiplicada por 10, 11 o 12 me dé un número de 3 cifras.

8 x 10 = 80

8 x 11 = 88

8 x 12 = 96

9 x 10 = 90

9 x 11 = 99

9 x 12 = 108

De lo anterior de deduce que el divisor es 12 ya que cumple las anteriores condiciones también, y la cifra en tomate es nueve.

x x x x x x x 12

x x x x 0 8 0 9

x x

x x

x x x

x x x

1

Sabiendo que 9 por 12 es 108, el número en rojo también es 108 y el número en azul es 109 por el residuo de 1.

Por otro lado, las cifras en verde son 0 y nueve respectivamente puesto que se toman directamente del dividendo.

Continuando, 8 por doce es 96, por lo que el número en tomate es 96 y el número en celeste es 97 por el residuo de 1.

También se concluye que las cifras en rosado son 9 y 7 respectivamente puesto que son tomadas directamente del dividendo.

x x x 9 7 0 9 12

x x x x 0 8 0 9

9 7

9 6

1 0 9

1 0 8

1

Por último debemos encontrar un número que multiplicado por 12 nos de cómo resultado uno de tres cifras.

12 x 8 = 96

12 x 9 = 108

Quedando la división de la siguiente manera:

1 0 8 9 7 0 9 12

1 0 8 9 0 8 0 9

9 7

9 6

1 0 9

1 0 8

1

Del texto guía de la página 121 resolver los ejercicios 57, 58, 61:

57. Si C > A; C - D < 0; B - A > 0; A - E > 0, ¿Cuál de estos valores es el menor?

C>AC−D<0 ;C<DB−A>0 ;B>AA−E>0 ; A>E

A<C∧C<D∴ A>C>DB>A∧ A>E∴B>A>E

∴Ees elmenor

Respuesta: E

58. En una división inexacta, se obtiene como resto por defecto (73); y como resto por exceso (65). Se pide calcular el dividendo, sabiendo que el cociente por exceso es el triple del divisor. Dar como solución los 3/4 del dividendo.

X Y X Y Z Z´ W W’

W ≡resto por defecto=73W ' ≡resto por exceso=65

Por definición:

resto por defecto + resto por exceso = divisor

∴Y=73+65=138

Z ´=Z+1=3Y

Z=414−1=413

X=(Y ∙ Z )+W=(138 ∙413 )+73=57067

Solución:

57067 ∙ 34=42800,25

Respuesta: 42800,25

61. Si A3 ⋅B2⋅C tiene entre 35 y 40 cifras. ¿Cuántas tiene A? Si A . B tiene 8 cifras y B . C tiene 10 cifras.

A ⋅Btiene 8cifras∴10m+n−2<A ⋅B<10m+n−1;m+n≡sumade lascifras de A y B

106<A ⋅B<107 (1)

B⋅C tiene10cifras∴10m+n−2<B⋅C<10m+n−1;m+n≡sumade las cifrasde B y C

108<B ⋅C<109 (2)

Multiplicando (1) y (2)1014<A ⋅B2⋅C<1016 (3)

A3 ⋅B2⋅C tiene entre35 y 40cifras

∴1034<A3⋅B2⋅C<1040 (4)

Dividiendo (4) entre (3)

1020<A2<1024

1010<A<1012

∴ A tiene entre9 y12cifras

Respuesta: A tiene entre 9 y 12 cifras

Del texto guía de la página 126 ejercicio 35, 40

35. Suponiendo que b tiene el menor valor posible, determinar las operaciones indicadas y dar como respuesta (a + b + c + d). Cada asterisco representa una cifra.

3 5 x 8 a = x 4 5 x b = x x x 2 x c = x 0 x 5

d = 7 x 9 9

Observando el número de cifras de los números que intervienen en cada una de las operaciones y los de los resultados, se puede deducir que la primera operación es una suma y la segunda una resta.

x x x 2 x - x 0 x 5

7 x 9 9

En la segunda operación el número que restado 5 me de 9 es el 14, por tanto la cifra en rojo es 4; luego el 2 se transforma en 1 y para que restado me de 9, la cifra en azul debe ser 2. Por último, para que al efectuar la resta en la última cifra de la izquierda me de cero y sea el mínimo valor, la cifra en verde debe ser 1.

3 5 x 8 + x 4 5 x 1 x x 2 4

Con lo anteriormente dicho analizamos entonces la primera operación. Un número que sumado 8 me de 14 es el 6, por lo que la cifra en rojo toma este valor. Luego como llevaba 1, busco un número que sumado 6 me de 12, entonces la cifra en azul es 6; sumo 5 más 4 y más 1 que llevaba, lo que me da 10, concluyendo que la cifra en verde es 0. Finalmente, un número que sumado 4 me de cómo resultado el mínimo valor de 2 cifras ósea 10, es el número 6, por tanto la cifra en lila es 6 y la cifra en tomate es 0.

1 0 0 2 4 - x 0 2 5

7 x 9 9

Continuando con la ejecución de la resta, en la tercera columna desde la derecha el cero se convierte en 9 y menos 0 me da 9, entonces la cifra en rojo es 9.Por último el siguiente 0 se transforma en 9, y un número que restado de 9 me de 7 es el 2, lo que hace que la cifra en azul tome este último valor.

a=6456b=10024c=2025

d=7999

La suma de estos valores es 26504

Respuesta: 26504

40. Si A tiene 16 cifras, B tiene 11 cifras y C tiene 8. ¿Cuántas cifras tiene: P=(A2 ⋅B ⋅C)

13

Si A tiene16cifras∴1015<A<1016

1030<A2<1032 (1)

Si B tiene11cifras∴1010<B<1011 (2)

SiC tiene8 cifras∴107<C<108 (3)

Multiplicando (1) , (2) y (3) tenemos:

1047<A2⋅B⋅C<1051 (4)

Elevo (4) a la 13

10473 <(A2⋅B ⋅C)

13<1017

473

=15,6666

∴P tiene16o17cifras

Respuesta: P tiene de 16 a 17 cifras

Del texto guía de la página 127 resuelva el ejercicio 45

45. En una división el divisor es 135 y el residuo por exceso excede al residuo por defecto en 91. Si el dividendo está comprendido entre 800 y 900. Hallar el dividendo.

X Y X Y Z Z´ W W’

W ≡resto por defecto

W ' ≡resto por exceso=W+91Y=135

Por definición:

resto por defecto + resto por exceso = divisor

∴135=W+W+91135=2W+91 44=2W W=22

X=135Z+W ;800<X<900

135 (9 )+22=1237nocumple la condición 135 (8 )+22=1102nocumple lacondición135 (7 )+22=967nocumple la condición 135 (6 )+22=832 si cumple lacondición 135 (5 )+22=697 nocumple lacondición

El único dividendo que cumple la condición es el 832

Respuesta: 832

Del texto guía de la página 146, 147, 148 resuelva el ejercicio 1, 5, 17, 33

1. En un barco donde iban 100 personas ocurre un naufragio. De los sobrevivientes la onceava parte son niños y la quinta parte de los muertos eran adultos. ¿Cuántos murieron?

a) 60 b) 50 c) 45 d) 30 e) N.A.

x≡sobrevivientesy ≡muertos

x=m 11y=m5

x+ y=100

x=aby=cd

Paraque y seam5∴d=0∨d=5

Ahora es cuestión de buscar un número de dos cifras que sea múltiplo de 11 que al restarse de 100 resulte otro que termine en 0 ó 5.

100−11=89100−22=78100−33=67100−44=56100−55=45100−66=34100−77=23100−88=12100−99=1

El único número que cumple la condición es 55

∴ x=55∧ y=45

Respuesta: murieron 45 personas

5. Hallar cuantos números enteros de 4 cifras existen, tales que sean divisibles par 11 y que terminen en 17.

a)4 b) 6 c) 8 d) 14 e) 1

Aplicando la divisibilidad para 11 tenemos:

ab17(7+b )−(a+1 )=11mb−a=11m−6

Sim=0a−b=61≤a≤9∧0≤b≤9

Los posibles valoresde a y b son :

9 y 3 93178 y 2 82177 y 1 71176 y 0 6017

Sim=1b−a=51≤a≤9∧0≤b≤9

Los posibles valoresde a y b son :

4 y 9 49173 y 8 38172 y 7 27171 y 6 1617

Respuesta: Los números existentes que cumplen las condiciones son 8

17. En una división el dividendo es un número de 3 cifras m7 + 1, el divisor y el resto son números de dos cifras, m7 + 5 y m7 + 3, respectivamente. ¿Cuántos valores puede tener el cociente?

a) 6 b) 9 c) 10 d) 12 e) 15

m7+1 m7+5 x

m7+3

Para tener todos los términos como m7, el cociente será m7+a.

Sim=1∴elmínimo valor dem 7+5es12

∴ elcociente m7+aesde 2cifras

De lo anterior se deduce que el valor del cociente depende únicamente de los valores de a.

a puede tomar valores del1al 9

Respuesta: el cociente puede tomar 9 valores 33. Hallar el valor de 5a6b71, sabiendo que al dividirlo entre 7 da residuo 1, pero al dividirlo entre 3 no da residuo. Dar el mayor valor de (a + b).

a) 14 b) 11 c) 8 d) 6 e) 5

Aplicando la divisibilidad para 3:

5+a+6+b+7+1=m 3a+b+19=m3a+b+m3+1=m 3a+b+1=m3(1)

Aplicando la divisibilidad para 7:

1+21+2b−6−3a−10=m7+12b−3a+5=m7(2)

Observando la ecuación (1) se puede deducir que los valores posibles de la suma de a+b son:

17 ,14 ,11 ,8 ,5 ,2

Los sumandos de 17 son:8 y 9 ; 9 y 8

Reemplazando estos valores en (2)2 (9 )−3 (8 )−5=−11;noesm72 (8 )−3 (9 )−5=−16 ;noes m7

Los sumandos de 14 son:5 y 9 ; 9 y 5 ; 6 y 8 ; 8 y 6 ; 7 y 7

Reemplazando estos valores en (2)2 (9 )−3 (5 )−5=−2;no esm72 (5 )−3 (9 )−5=−22;no esm72 (8 )−3 (6 )−5=−7 ; si es m72 (6 )−3 (8 )−5=−17 ;noes m7

Como se pide hallar el mayor valor de a+b

∴a+b=14

Respuesta: 14Del texto guía de las páginas 182, 183, 184, 185 resuelva los ejercicios 8, 13, 12,22

8. Hallar 2 números enteros, sabiendo que su suma es 8 veces su MCD y su producto es 840 veces su MCD.

A+B=8MCD (1 ) A ⋅B=840MCD(2)

AMCD

=q1 (3 ) BMCD

=q2(4)

Reemplazando (3 ) y (4 ) en(1)

A+B=q1MCD+q2MCD

8MCD=MCD(q1+q2)

q1+q2=8

Para que se cumpla esta última igualdad, los valores posibles de los cocientes serían:

1 y 72 y 63 y 54 y 4

De los cuales se escogen las parejas cuyos números sean primos entre sí


A ⋅B=q1q2MCD2

840MCD=q1q2MCD 2

840=q1q2MCD

840MCD

=q1q2

Reemplazandoq1=1 y q2=7

840MCD

=7

MCD=120

A=120B=840

Reemplazandoq1=3 yq2=5

840MCD

=15

MCD=56

A=168B=280

Respuesta: Los número son 120 y 840 ; 168 y 280

13. El cociente que se obtiene al dividir la suma de dos números por su MCD es 8, el cociente de su producto por

dicho MCD es 840, y se sabe además que su diferencia es menor que 200. Uno de ellos es:

A+BMCD

=8 (1 ) A ∙BMCD

=840(2)

AMCD

=q1 (3 ) BMCD

=q2(4)


A+B=q1MCD+q2MCD8MCD=MCD(q1+q2)

q1+q2=8

Para que se cumpla esta última igualdad, los valores posibles de los cocientes serían:

1 y 72 y 63 y 54 y 4

De los cuales se escogen las parejas cuyos números sean primos entre sí


A ⋅B=q1q2MCD2

840MCD=q1q2MCD 2

840=q1q2MCD

840MCD

=q1q2

Reemplazandoq1=1 y q2=7

840MCD

=7

MCD=120

A=120B=840

Reemplazandoq1=3 yq2=5

840MCD

=15

MCD=56

A=168B=280

840−120=720diferenciamayor a200

280−168=112diferenciamenor a200

Respuesta: Uno de los números es 168

12. Hallar la suma de dos números tales que la suma de su MCM y MCD es 92 y el cociente del MCD entre el MCM es 1/45.

a) 28 b) 38 c) 26 d) 36 e) N.A.

MCM+MCD=92 (1 )

MCDMCM

= 145

(2)

Reemplazando (2 ) en(1)

45MCD+MCD=9246MCD=92MCD=2MCM=90

AMCD

=q1B

MCD=q2

A+B2

=q1+q2

MCM= A ∙BMCD

; (90 ) (2 )=A ∙B=180

A ∙B=4 q1q2

180=4q1q2; 45=q1q2

Losúnicos factores de 45que son primos entre sí son 9 y 5

A+B=2 (14 )=28

Respuesta: La suma de los dos números es 28

22. Se desea sembrar todo un terreno rectangular con arboles equidistantes entre si. Si las dimensiones del terreno son 540 y 750m. Hallar cuantos arboles se necesitaran sabiendo que hay uno en cada esquina y que la distancia entre árbol y árbol está comprendido entre 12 y 20m.

a) 1 887 b) 1 800 c) 2401 d) 1600 e) N.A.12≤x ≤20

Para que la distancia entre los árboles sea equidistante, tanto 540 como 750 deben ser múltiplos de la misma:

540=mx750=mx

Si x=1254012

≠m12

Si x=1554015

=m15

75015

=m15

∴ elnúmero deárboles es 36⋅50=1800árbolesACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1.2Del texto guía de la página 206 ejercicios 1, 51. Hallar la menor fracción equivalente a 297/549, tal que el producto de sus términos sea 2013.

297349

= 99183

=3361

33 ∙61=3013

Respuesta: La menor fracción equivalente que cumple la condición es 3361

5. Siendo "N" un número entero, hallar para que valores de "N", la fracción:

N+82N−5

es entero

N+8=2N−5N=13

2N≥6N ≥3

Si N=3111

=11es entero

Si N=4123

=4 es entero

Si N=5135

noes entero

Si N=6147

=2 es entero

Respuesta: Los valores de N que cumplen la condición son 13, 3, 4 y 6

Del texto guía de la página 207 resuelva los ejercicios 11, 19

11. Dos personas pueden terminar juntas el tejido de una red en 25 días. Así trabajaron durante 5 días, al cabo de los cuales la menor abandona el trabajo y la mayor termina lo que faltaba en 60 días. Determinar ¿En cuántos días trabajando sola la mayor habría terminado el tejido?

25días las dos juntas

25−5=20días si trabajaran juntas

60=3 (20 )3 vecesmás que si trabajaran lasdos juntas

El trabajo completo lo hubiera terminado la mayor en:

25 (3 )=75 días

19. En una fracción decimal la parte entera es igual a la parte decimal, cuyas cifras son consecutivas crecientes. Si la generatriz tiene por denominador 11. Hallar el numerador.

ab ,ab

Sabiendo que es un decimal periódico ilimitado, se aplica lo siguiente:

ab ,ab=abab−ab99

=ab0099

ab00=m 9a+b=m9

a y b pueden tomar valores del 0 al 9 que sumados de cómo resultado 9.

∴a=4∧b=5

450099

=50099

Respuesta: el numerador es 500


20. Sea mn = 2,5252525

Donde m y n son números primos entre sí. Entonces la suma de las cifras de m, mas las cifras de n, es:

2,5252525=2525252510000000

=50505052000000

=1010101400000

m=1010101n=400000

1+1+1+1+4=8

Respuesta: La suma de las cifras de m más las de n es 8


24. Simplificar:

3 14−2 1

2

4 15−313

÷7 12+1 13−1 15

3

2−12+14−

18

3 14−2 1

2

4 15−313

÷7 12+1 13−1 15

3

2−12+14−

18

=

134

−52

215 −

103

÷

152

+

43−65

3138

=

341315

÷

152

+ 245

138

=4552

÷

67990138

¿ 4552

÷ 54321170

= 202510864


26. Simplificar la expresi6n (aprox.)

1,130,000102

∙ 0,0040,32

÷17 12∙ 19 ,3

74 ,6

∙ 112 ,3

113100102999000

∙

4100032100

÷

352

∙ 1849

7429

∙ 11119

=11288700010200

∙ 40032000

÷

352

∙ 984

6342 ∙

9111

=37629272

÷

158974

¿ 37629272

÷ 111072

=8,97

Del texto guía de la página 226 resuelva el ejercicio 3, 4, 5

3. Hacer racional la siguiente expresión:

√6+√2√2+√3

√6+√2√3+√2

∙ √3−√2√3−√2

=(√6+√2 ) (√3−√2 )

3−2=√6√3−√6√2+√2√3−2

1

¿−2−√6 (√2−√3−1 )

4. Hacer el producto de las cuatro cantidades irracionales siguientes:

A=√2+√3

B=√2+√2+√3

C=√2+√2+√2+√3

D=√2−√2+√2+√3

B=√2+AC=√2+BD=√2−BA ∙B=A √2+AA ∙B ∙C= (A √2+A ) (√2+B )=A √(2+A )(2+B)A ∙B ∙C ∙D=A √ (2+A ) (2+B ) (2−B )=A √(2+A )(4−B2) ¿ A√ (2+A )(4−2−A)=A√ (2+A )(2−A )=A√4−A2

¿ (√2+√3) (√4−2−√3 )=√(2+√3 )(2−√3)=√4−3=1

5. Simplificar la expresión:

2+√3√2+√2+√3

+ 2−√3√2−√2−√3

¿ 2+√3√2+√2+√3

∙ √2−√2+√3√2−√2+√3

+ 2−√3√2−√2−√3

∙ √2+√2−√3√2+√2−√3

¿ 2√2−2√2+√3+√6−√6+3 √32−(2+√3)

+2√2+2√2−√3−√6−√6−3√32−(2−√3)

¿ −2√2+2√2+√3−√6+√6+3√3√3

+ 2√2+2√2−√3−√6−√6−3√3√3

¿−2√2+2√2+√3−√6+√6+3√3+2√2+2√2−√3−√6−√6−3√3√3

¿−2√6+√2+√3 (2+√3 )+√2−√3(2−√3)

√3=

−2√6+3√6√3

=√2

Del texto guía de la página 228 resuelva los ejercicios 1,3

1. Si: a3 - b3 = 316. Hallar a - b.

a3−b3=316

a3−b3=(a−b )(a2+ab+b2)

Los factores de 136 son 2 y 158 ; 4 y 79

a−b=2a=2+b

a2+ab+b2=158Reemplazandoa(2+b)2+(2+b ) (b )+b2=1583b2+6b−154=0

Esta ecuación no tiene raíces reales, por lo tanto probamos con los otros dos valores:

a−b=4a=4+b

a2+ab+b2=79Reemplazandoa(4+b)2+(4+b ) (b )+b2=793b2+12b−63=0b=3∧b=−7

b=3a=7

Respuesta: a−b=4

3. Hallar la suma del mayor y menor número cuya raíz cuadrada por defecto es 24.

√ x=24x=242=576 (número menor)

√ x=24+1√ x=25x=252=625 (número mayor)

576 + 625 = 1201


13. ¿Cuántos pares de números enteros existen tales que la diferencia de sus cuadrados es 48?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.

a2−b2=48(a+b ) (a−b )=48

Los factores de 48 son: 2 y 24 ; 4 y 12 ; 8 y 6 ; 16 y 3

a+b=24a=24−b

a−b=2Reemplazandoa24−b−b=224−2b=2b=11a=13Sicumplen

a+b=12a=12−b


a+b=8a=8−b


a+b=16a=16−b

a−b=3Reemplazandoa16−b−b=316−2b=3

b=132

a=192

No sonnpumeros enteros , por lo tantonocumplen

Respuesta: Existen 3 parejas de números que cumplen la condición.


15. Calcule cuántos números impares de 5 cifras existen que sean cuadrados perfectos.

a) 107 b) 109 c) 108 d) 110 e) 111

10000≤N 2≤99999100≤N ≤316(aproximadamente)

Como ya tenemos el rango de los números que al elevarse al cuadrado, dará como resultado los cuadrados perfectos buscados, y conociendo que al extraer la raíz cuadrada de números impares se obtendrán números impares, basta con contar cuántos números impares existen en el rango encontrado para solucionar el problema.

De 100 a 200 50 números impares

De 200 a 30050 números impares

De 300 a 3168 números impares

Sumando obtendríamos el resultado.

Respuesta: Existen 108 números de 5 cifras que son cuadrados perfectos.

10. Del texto guía de la página 229, resuelva los ejercicios 17

17. Si 17abc 0 es un cuadrado perfecto.

Calcular: √a+b+c−1

170000≤17 abc0≤179990√170000≤√17abc 0≤√179990412≤≝≤ 424(aproximadamente)

Ahora solo queda ver cuáles de estos números al elevar al cuadrado, dan como resultado un número que empiece en 17 y termine en 0.

Se intuye que debe ser un número que termine también en 0.

4122=1697444132=1705694142=171396...4202=176400 a=6 , b=4 ,c=0

√6+4+0−1=3


18. En qué cifra terminará la suma de los cuadrados de los 87 primeros números.

a) 0 b) 5 c) 7 c) 8 e) 1

Los números a sumar son:

1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , 121 , 144 , 169 , 196 , …………… , 7569

Como deseamos solo el valor de las unidades y observando que se repiten por cada diez números, entonces la suma sería:

45 ∙8=360hastael 80

360+1+4+9+6+5+6+9=400(en las unidades)

Respuesta: La suma de los cuadrados de los 87 primeros números termina en 0.

Del texto guía de la página 229 resuelva los ejercicios 19 19. ¿Cuántos números de la forma abb5 son cuadrados perfectos?

a) 1 b) 3 c) 9 d) 90 e) 99

Por la regla que dice que cuando un número que es cuadrado perfecto termina en 5, necesariamente la cifra de las decenas es dos y la de las centenas es par se puede asumir lo siguiente:

b=2

a225 ;a puede tomar valores de1a9

1225 es cuadrado perfecto2225 no es cuadrado perfecto3225 no es cuadrado perfecto4225 es cuadrado perfecto5225 no es cuadrado perfecto6225 no es cuadrado perfecto7225 es cuadrado perfecto8225 no es cuadrado perfecto9225 no es cuadrado perfecto

Respuesta: Los números de la forma abb5 que son cuadrados perfectos son 3.

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