Solucionario Matemáticas

El Solucionari de Matemtiques per a 1r de Batxillerats una obra collectiva, concebuda, dissenyadai creada al departament dEdicions Educativesde Grup Promotor / Santillana,dirigit per Enric Juan Redali M. ngels Andrs Casamiquela.

En la realitzaci hi han intervingut:

Miguel MarqusM. Jos ReyCsar Santamara

EDICIRosa AngladaAnglica EscoredoJos Miguel EscoredoCarlos Prez

DIRECCI DEL PROJECTEDomingo Snchez Figueroa

Matemtiques 1 BATXILLERATBiblioteca del professoratSOLUCIONARI

Grup PromotorSantillana

Presentaci

2

5

ABANS DE COMEN

AR RECORDA

Classificaaquests n

ombres segons el tip

us al qualpertanyen

.

0,7 16685,0091

0,020167

456,89

0,7 s un nombre dec

imal peridic pur.

16 s unnombre en

ter.

685,0091 s un nom

bre decimal peridic

mixt.

0,0201 i 456,89 sn

nombres decimals ex

actes.

67 s un nombre nat

ural.

sn nombres raciona

ls.

Expresa enforma de f

racci.

0,22 34,03 25,01

2 0,1043 2,302

0,22 =25,012 =

2,302 =

34,03 =0,1043 =

Troba el valor absol

ut daquests nombre

s.

7 0 162 (6

)2

7= 71=

1(6)

2= 36

0= 06

2= 36

Calcula lespotncies

segents:

a) 34

e)

b)

f ) (5)7

c) (2)6

g)

d)

h) 25

a) 34 = 81

e)

b)

f ) (5)7 =78.125

c) (2)6 = 64

g)

d)

h) 25 = 32

5

7

25

49

2

=

= 49

64

729

35

2

3 125

32

5

= .

= 3

5

27

125

35

7

2

4

9

35

2

5

3

5

3

004

003

521

4 995.1 123

33

.

2 300

999

.

22 511

900.

11

50

002

27

44

34

8i

34827

44001

4

1SOLUCION

ARI

Nmerosreales

1SOLUCION

ARIO

L I T E R A TU R A I M

A T E M TI Q U E S

El codi DaVinci

De sobte va recordar

les classesa Harvard

, davant deIs seus al

umnes

de Simbolisme en

lart mentre escrivia

a la pissarra el seu

nmero

preferit.

En Langdon es va

girar percontempl

ar els rostres ansio

sos dels

alumnes.

Qui em pot dir quin

s aquestnmero?

Un estudiant de ma

temtiques camallar

g va aixecar la m.

s el nmero fi.

Ben dit, Stettner va

dir en Langdon. Al

umnes, saludin el se

nyor Fi.

Que not res a

veure amb el nm

ero pi va afegir s

omrient

lStet-tner. Tal

com ens agrada dir a

ls matemtics: Fi s

molt msfi

que pi!

En Langdon va riu

re, pero lacudit no

va fer gracia a ning

ms.

LStettnerva abaixar

el cap.

Aquest nmero fi

va continuar en Lang

don, u coma sis u

vuit, s

un nmero molt im

portant per a lart. Q

ui em sapdir per qu

?

Per qu s molt bon

ic? va dirlStettner p

er provarde redimir

-se.

Tothom esva posar a

riure.

En realitat va dir

en Langdon, el seny

or Stettner lha torn

ada a en-

certar. El nmero fi s

e sol considerar el n

mero ms bell de l

univers.

De sobtees van apa

gar les rialles i lStet

tner va ferun posat d

e satis-

facci []

Tot i queels orgen

s matemtics de fi

semblavenms aviat

mstics,

en Langdon els va

explicar que laspec

te realment sorprene

nt de fi

era el seupaper com

a pea fonamental e

n la construcci de

la natu-

ralesa. Les plantes,

els animals i fins i

tot els ssers huma

ns tenien

propietatsdimension

als que coincidien m

isteriosament amb l

a rela-

ci de fi amb 1.

La ubiqitat de fi a

la naturalesa deia e

n Langdonmentre ap

agava

els llums[per proje

ctar nutils, pinyes,

gira-soIs], sens d

ubte, s

molt msque una s

imple coincidncia:

s per aixque antiga

ment es

va donar per fet que

el nmerofi devia se

r obra delcreador de

luni-

vers. Els primers cie

ntfics vandonar-li el

nom de proporci d

ivina.

DAN BROWN

1,618

En realitat, el valor d

el nmerofi s =

. Els nmeros 1,618 i

sn dos nombres re

als, per un s racion

al i laltre s irraciona

l. Per qu?

Quin errorcometem

si agafem1,618 com

a valor defi?

1,618 s unnombre ra

cional, perqu s un

decimal exacte.

Fi s un nombre irrac

ional, ja que ho

s i, quan sumem o div

idim un nombre irrac

ional

i un denter, el resulta

t s un nombre irracio

nal.

Com que; lerror que

es comet s ms peti

t que unadeumills

ima.

1 5

21 61803+ = ,

5

1 5

2+

1 5

2+

Nombresreals

1

El nom de la srie, La Casa del Saber, respon al plantejament de presen-tar un projecte de Matemtiques centrat en ladquisici dels contingutsnecessaris perqu els alumnes puguin moures en la vida real.

En aquest sentit, i considerant les matemtiques una matria essencial-ment procedimental en aquests nivells, recollim en aquest material laresoluci de tots els exercicis i problemes que hi ha formulats en el llibrede lalumne. Pretenem que aquesta resoluci no sigui noms un instru-ment sin que es pugui entendre com una proposta didctica per enfocarladquisici dels diferents conceptes i procediments que es presenten enel llibre de lalumne.

4544

Demostra aquestes igualtats:

a) loga (b c) = loga b + loga c b) loga = loga b loga c

a) Per la definici de logaritmes:

loga (b c) = x loga b = y loga c = za x = b c a y = b a z = ca y a z = b c a y + z = b c loga (b c) = y + zs a dir: loga (b c) = loga b + loga c

b) Per la definici de logaritmes:

loga = x loga b = y loga c = z

a x = a y = b a z = c

ayz = loga = y z

Es decir: loga = loga b loga c

Demostra la igualtat segent: log (a2 b2) = log (a + b) + log (a b)

log (a + b) + log (a b) = log [(a + b) (a b)] = log (a2 b2)

Si lrea daquesta figura s 10 cm2, quina s la seva altura?

La longitud de la base fa: 1 + cm

Calculem laltura: 10 = h

h = cm

Dues peces mbils duna mquina es desplacen a la mateixa velocitat. La primera pea descriu una circumferncia de 5 cm de radi i la segona es desplaa dun extrem a laltre del dimetredaquesta circumferncia.

Si totes dues peces parteixen del mateix punt, coincidiran en algun moment?

Suposem que les dues peces parteixen de A.Anomenem v la velocitat que tenen els dos mbils. La distncia que recorre el mbil que es desplaa per la circumferncia en els punts A i B s: 5pi(k 1), on k s un nombre natural. La distncia que recorreel mbil que es desplaa pel dimetre en els punts A i B s: 10(k 1), on k sun nombre natural. Les distncies que recorre el mbil que es desplaa per la circumferncia sn nombres irracionals, mentre que les distncies que recorre el mbil que es desplaa pel dimetre sn nombres naturals. Per tant, els dos mbils no coincidiran mai.

150

10

1 2

10 10 2

110 10 2

+=

= +

1 2+( )2

149

148

b

c

b

c

b

c

a

a

b

c

y

z=

b

c

b

c

b

c

147

Nombres reals1SOLUCIONARI

Les unitats de mesura amb qu medim la quantitat dinformaci sn:

Byte = 28 bits Megabyte = 210 KilobytesKilobyte = 210 bytes Gigabyte = 210 Megabytes

Expressa, en forma de potncia i en notaci cientfica, aquestes quantitatsdinformaci en bits i bytes:

a) Disc dur de 120 GB. c) Disquet d1,44 MB.b) Targeta de memria de 512 MB. d) CD-ROM de 550 MB.

a) 120 GB = 120 210 210 210 bytes = 15 233 bytes = 15 241 bits120 GB = 1,2885 1011 bytes = 3,2985 1013 bits

b) 512 MB = 29 210 210 bytes = 229 bytes = 237 bits512 MB = 5,3687 108 bytes = 1,3743 1011 bits

c) 1,44 MB = 1,44 210 210 bytes = 1,44 220 bytes = 1,44 228 bits1,44 MB = 1,5099 106 bytes = 3,8655 108 bits

d) 550 MB = 550 210 210 bytes = 550 220 bytes = 550 228 bits550 MB = 5,7672 108 bytes = 1,4764 1011 bits

PER ACABAR...

Si s una fracci irreductible,

a) Quan s equivalent a ? b) I quan s equivalent a ?

a) b)

ab + b = ab + a ab + b2 = ab + ab b2 = aba = b Com que b s diferent de zero: b = a

Si una fracci s irreductible, les fraccions i sn irreductibles?

Com que els divisors de a + b sn els divisors comuns de a i b:

(a + b) i a b no tenen divisors comuns, i la fraccis irreductible.

Com que els divisors de a b sn els divisors comuns de a i b:

(a b) i a b no tenen divisors comuns, i la fraccis irreductible.

Demostra la igualtat segent: = 1

= + ( ) = ( ) ==

12

11

2100 1 1

1

99

log ( ) log log logk kk

log log log1 1

2

1 1

2

1

1

99

1

99

1

+=

+=

+=

= = = k

k

k

k

k

kk k k

999

log1

1

99 +

= k

kk146

a b

a b

a b

a b

+

a b

a b

a b

a b

+

a

b145

a b

b b

a

b

++

=a

b

a

b

++

=1

1

a

b

a b

b b

++

a

b

a

b

++

1

1

a

b144

143

A

h

1

1B

CD

5 cmBA

3ndexUnitat 1 Nombres reals 4

Unitat 2 Successions. Progressions 46

Unitat 3 Equacions, inequacions i sistemes 78

Unitat 4 Trigonometria 138

Unitat 5 Nombres complexos 190

Unitat 6 Geometria analtica 230

Unitat 7 Llocs geomtrics. Cniques 290

Unitat 8 Funcions 334

Unitat 9 Funcions elementals 378

Unitat 10 Lmit duna funci. Continutat 426

Unitat 11 Derivada duna funci 476

Unitat 12 Estadstica bidimensional 536

Unitat 13 Probabilitat 572

Unitat 14 Distribucions binomial i normal 606

5ABANS DE COMENAR RECORDA

Classifica aquests nombres segons el tipus al qual pertanyen.

0,7 16 685,0091 0,0201 67 456,89

0,7s un nombre decimal peridic pur.

16 s un nombre enter.

685,0091 s un nombre decimal peridic mixt.

0,0201 i 456,89 sn nombres decimals exactes.

67 s un nombre natural.

sn nombres racionals.

Expresa en forma de fracci.

0,22 34,03 25,012 0,1043 2,302

0,22 = 25,012= 2,302=

34,03= 0,1043 =

Troba el valor absolut daquests nombres.

7 0 1 62 (6)2

7 = 7 1 = 1 (6)2 = 360 = 0 62 = 36

Calcula les potncies segents:

a) 34 e)

b) f ) (5)7

c) (2)6 g)

d) h) 25

a) 34 = 81 e)

b) f ) (5)7 = 78.125

c) (2)6 = 64 g)

d) h) 25 = 325

7

25

49

2

=

=

4

9

64

729

3

5

2

3125

32

5

=

.

=

3

5

27

125

3

5

7

2

4

9

3

5

2

5

3

5

3

004

003

521

4995.

112333

.

2300999

.22511

900

.11

50

002

27

44

34

8i

348

27

44

001

4

1SOLUCIONARINmeros reales

1SOLUCIONARIO

L I T E R A T U R A I M A T E M T I Q U E S

El codi Da VinciDe sobte va recordar les classes a Harvard, davant deIs seus alumnesde Simbolisme en lart mentre escrivia a la pissarra el seu nmeropreferit.

En Langdon es va girar per contemplar els rostres ansiosos delsalumnes.Qui em pot dir quin s aquest nmero?Un estudiant de matemtiques camallarg va aixecar la m.s el nmero fi.Ben dit, Stettner va dir en Langdon. Alumnes, saludin el senyor Fi.Que no t res a veure amb el nmero pi va afegir somrient lStet-tner. Tal com ens agrada dir als matemtics: Fi s molt ms fique pi!En Langdon va riure, pero lacudit no va fer gracia a ning ms.LStettner va abaixar el cap.Aquest nmero fi va continuar en Langdon, u coma sis u vuit, sun nmero molt important per a lart. Qui em sap dir per qu?Per qu s molt bonic? va dir lStettner per provar de redimir-se.Tothom es va posar a riure.En realitat va dir en Langdon, el senyor Stettner lha tornada a en-certar. El nmero fi se sol considerar el nmero ms bell de lunivers.De sobte es van apagar les rialles i lStettner va fer un posat de satis-facci []Tot i que els orgens matemtics de fi semblaven ms aviat mstics,en Langdon els va explicar que laspecte realment sorprenent de fiera el seu paper com a pea fonamental en la construcci de la natu-ralesa. Les plantes, els animals i fins i tot els ssers humans tenienpropietats dimensionals que coincidien misteriosament amb la rela-ci de fi amb 1.La ubiqitat de fi a la naturalesa deia en Langdon mentre apagavaels llums [per projectar nutils, pinyes, gira-soIs], sens dubte, smolt ms que una simple coincidncia: s per aix que antigament esva donar per fet que el nmero fi devia ser obra del creador de luni-vers. Els primers cientfics van donar-li el nom de proporci divina.

DAN BROWN

1,618

En realitat, el valor del nmero fi s = . Els nmeros 1,618 i

sn dos nombres reals, per un s racional i laltre s irracional. Per qu? Quin error cometem si agafem 1,618 com a valor de fi?

1,618 s un nombre racional, perqu s un decimal exacte.Fi s un nombre irracional, ja que ho s i, quan sumem o dividim un nombre irracional i un denter, el resultat s un nombre irracional.

Com que ; lerror que es comet s ms petit que una deumillsima.1 5

21 61803

+= ,

5

1 5

2

+1 52

+

Nombres reals1

917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 4

76


Escriu 4 nombres irracionals i especifican la regla de formaci.

Resposta oberta.

Desprs de la coma, se situen tots els mltiples de 3: 0,3691215

Desprs de la coma se situen tots els mltiples de 4: 0,481216

Al nombre irracional shi suma el nombre 1: + 1

Al nombre irracional shi suma el nombre 2: + 2

Digues si els nombres segents sn irracionals.

a) 0,51015202530 c) 2 pi

b) d)

a) s un nombre irracional, ja que t infinites xifres decimals que no es repeteixende manera peridica.

b) s un nombre decimal exacte, i per tant, no s un nombre irracional.

c) s un nombre irracional, perqu si dun nombre irracional sen resta un nombreenter, el resultat s un nombre irracional.

d) No s un nombre irracional perqu s una fracci.

Troba, sense fer operacions amb decimals, un nombre irracional

comprs entre .

Resposta oberta.

Raona si les afirmacions segents sn certes o falses.

a) Larrel dun nombre irracional s irracional.

b) Un nombre irracional al quadrat no s racional.

a) Certa, ja que continua tenint infinites xifres decimals no peridiques.

b) Falsa, per exemple:

Indica el conjunt numric mnim al qual pertany cada nombre.

a) 8,0999 c) e) 2,5

b) 1,223334444 d) 6,126 f ) 11

a) Q d) Qb) I e) Qc) I f ) Z

15

009

2 22( ) =

008

2 1

2 2y007

10

17

3

4

pipi

006

22

22

005Simplifica i expressa el resultat com a potncia.

a) b)

a)

b)

ACTIVITATS

Calcula el representant cannic daquests nombres.

a) b) c)

a) b) c)

Escriu dos representants daquests nombres racionals.

a) b) c)

Resposta oberta.

a)

b)

c)

Troba quants nombres racionals diferents hi ha en aquesta seqncia.

1,6

Hi ha dos nombres racionals diferents, que sn:

1,6

Una fracci que tingui un terme negatiu i una altra que tingui els dos termes positius,poden ser representants del mateix nombre racional?

No poden representar el mateix nombre racional, ja que si una fracci t un termenegatiu, el quocient s negatiu; i si els dos termes sn positius, el quocients positiu.

004

=

=

5

3

5

3

5

3

5

3

10

6= =

5

3

5

3

5

3

5

3

10

6

003

8

25

16

50

24

75=

, , ,

9

2

18

4

27

6=

, , ,

7

12

14

24

21

36=

, , ,

8

25

9

2

7

12

002

=24

60

2

518

39

6

13=

=

16

24

2

3

24

60

18

39

1624

001

23

4

2

3

3

8

2 3

2 3

3

2

3

2

2 3

11 2 10

=

=

5 3 6

6 3 5

6 5 5 3 3

6

57 3 4

2 3 14

2 14 7 3 3

4

21

=

=

=

3

6

5 3

2

6

2

21 4

2

23

4

2

3

3

8

3

2

2

5 3 6

6 3 5

7 3 4

2 3 14

005

917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 6

98


Ordena, de ms petit a ms gran, aquests nombres racionals i irracionals.

pi

Amb lajut de la propietat distributiva, calcula 992 i 9992 sense fer les operacions.

992 = 99 99 = 99(100 1) = 9.900 99 = 9.8019992 = 999 999 = 999(1.000 1) = 999.000 999 = 998.001

Representa els conjunts numrics segents de totes les maneres que coneguis.

a) Nombres ms petits que pi.b) Nombres ms grans que i ms petits o iguals que 7.

c) Nombres ms petits o iguals que 2 i ms grans que 2.d) Nombres compresos entre els dos primers nombres parells, tots dos inclosos.

a) (`, pi) = {x: x < pi}

b) =

c) (2, 2] = {x: 2 < x 2}

d) [2, 4] = {x : 2 x 4}

Escriu, de totes les maneres que coneguis, aquests intervals de la recta real.

a) c)

b) d)

a) (`, 3) = {x: x < 3} c) (3, +`) = {x: x > 3}

b) [3, 2) = {x: 3 x < 2} d) (1, 1) = {x: x < 1}

Representa el conjunt {x: x 3 1} de totes les maneres possibles.[2, 4] = {x: 2 x 4}

42

018

1123

33

017

42

22

73

{ : }x x3 7< ( , ]3 7

pi

3

016

015

2827

900

22

7

.<

1110


La poblaci dun poble, arrodonida a les desenes, s de 310 habitants. Pots indicar-ne els errors? Saps donar les cotes derror coms?

Per calcular els errors relatius i absoluts cal conixer el valor real; per tant, no es poden calcular.

Calcula una cota derror absolut quan trunquem un nombre als dcims. I si fos als centsims?

Escriu en notaci cientfica els nombres segents.

a) 0,0000085 c) 31.940.000.000

b) 5.000.000.000.000 d) 0,000000000479

a) 0,0000085 = 8,5 106 c) 31.940.000.000 = 3,194 1010

b) 5.000.000.000.000 = 5 1012 d) 0,000000000479 = 4,79 1010

Opera i expressa el resultat en notaci cientfica.

a) (5,2 103 + 4,75 102) : 8,05 104

b) 3,79 108 (7,73 104 6,54 102)

a) (5,2 103 + 4,75 102) : 8,05 104 = 6,465968 102

b) 3,79 108 (7,73 104 6,54 102) = 2,92966 1013

Digues si aquestes igualtats sn certes. Raona la resposta.

a) c)

b) d)

a) Falsa: (2)4 = 16 c) Falsa: (1.000)3 = 1.000.000.000b) Falsa: 48 = 65.536 d) Falsa: (2)5 = 32

Calcula el valor numric, si existeix, dels radicals segents:

a) c)

b) d)

a) c) No existeix cap arrel real.

b) d) 243 35 = =8 2316 24 =

24358310 0004 .164

029

32 25 = 256 48 =

1 000000 1 0003 . . .= =16 24028

027

026

Ea =

=1

2 1020,05

Ea =

=1

2 1010,5

025

Er =

=5

310 50,016

Ea =

=

1

2 105

1

024Amb lajut de la calculadora, escriu en forma decimal i les seves aproximacionsper excs i per defecte.

a) Als deumillsims.

b) Als centmillsims.

c) Als milionsims.

a) Aproximaci per excs: 1,7321

Aproximaci per defecte: 1,7320

b) Aproximaci per excs: 1,73205


c) Aproximaci per excs: 1,732051


Calcula els errors absolut i relatiu darrodonir el nombre 1,3456 als dcims.

Vreal = 1,3456

Vaproximat = 1,3

Ea = 1,3456 1,3 = 0,0456

Pensa en una situaci en qu dos mesuraments tinguin els mateixos errors absolutsper errors relatius diferents.

Resposta oberta.

Vreal = 12,5

Valors aproximats, 12 i 13. En tots dos casos, lerror absolut s 0,5; per els errorsabsoluts sn diferents:

Indica dos exemples de mesura i dnan les cotes derror corresponents.

Resposta oberta.

Velocitat en autopista: 120 km/h; edat de jubilaci: 65 anys.

Calcula les cotes derror absolut i relatiu quan arrodonim el nombre :

a) Als centsims. b) Als millsims.

a)

b) Ea = 0,0005 Er = =

0,0005

1,414 0,00050,00035

Er =

=0,005

1,41 0,0050,0035Ea =

=

1

2 1020,005

2023

022

Er = =0,5

0,038513

Er = =0,5

0,041712

021

Er = =0 0456

1 34560 0338

,

,,

020

3 1 73205080= ,

3019

917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 10

1312


Racionalitza les expressions segents.

Racionalitza i opera.

Racionalitza i opera.

Racionalitza aquestes expressions.

b)12 6

2 3 3 2

24 18 36 12

6

72 2 72 3

612 2 12 3

=

+

=+

=

a)3 5

3 6

5 5

3 73 3 15 3 6 30

3

5 15 5 35

41

+

++

+=

= + +

+ +

=

= 22 3 12 6 4 30 19 15 15 35

12

+ + +

b)12 6

2 3 3 2a)

3 5

3 6

5 5

3 7

+

++

+

037

c)5 3

9 5

45 3 5 15

76=

+

b)8 2

3 7

8 6 56 2

46

4 6 28 2

23+=

= +

a)1

1 2

1 2

11 2

+=

= +

c)5 3

9 5b)

8 2

3 7+a)

1

1 2+

036

b)

+ =

+ = +7

3 2

5

4 7

7 2

6

5 7

28

98 2 15 7

84

a)3

5

4

6

3 5

5

4 6

6

18 5 20 6

30+ = + =

+

b) +7

3 2

5

4 7a)

3

5

4

6+

035

c)2 3

6 7

2 3 7

4235

25+= +

( )

b)

=3

5 2

3 2

1034

4

a)2

5

2 5

5=

c)2 3

6 735+b) 3

5 234a)

2

5

034Transforma els radicals en potncies, i a la inversa.

Indica si els radicals segents sn equivalents.

a) Sn equivalents. c) Sn equivalents.

b) No sn equivalents. d) No sn equivalents.

Fes aquestes operacions.

Opera i simplifica.

d)3 3

3

3 3

33

3

4

6 4

312 712

= =

c) 2 3 4 27 1083 6 6 6 = =

b)32

8

32

8

2

2

1

4

63

3

5

9

= = =

a) 4 27 5 6 20 162 180 2 = =

d)3 3

3

3

4

b)

32

8

63

c) 2 33 a) 4 27 5 6

033

b) 7 81 2 33

521 3 2 3

3

5

96 3

53 26

33 3

3 3

+ = + =

a) 20 3 125 2 45 2 5 15 5 6 5 7 5 + = + =

b) 7 81 2 33

53 26

3

+a) 20 3 125 2 45 +

032

d) 5 5104 4ib) i2 2105

c) i36 64a) i3 364 3

031

f ) 5 5747

4=c) 2 21

6 6=

e) 10 102

7 27=b) 5 52

3 23=

d) 7 73

5 35=a) 3 31

4 4=

f ) 574c) 21

6

e) 102

7b) 52

3

d) 73

5a) 31

4

030

917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 12

1514


Troba, sense fer servir la calculadora, log2 5 i log5 2. Comprova que el seu producte s1.

A lexercici anterior sha vist que log 2 = 0,3010.

Si sutilitzen canvis de base, resulta:

log2 10 = log2 (2 5) = log2 2 + log2 5 log2 5 = 2,32

Com que els dos nombres sn inversos, el seu producte s 1.

Tamb es pot comprovar daquesta manera:

Troba el valor de x en aquestes igualtats:

a) logx 256 = 8 c)

b) d) logx 3 = 2

b) 2,0801 d)

Calcula quant val loga b logb a.

Calcula la fracci irreductible de:

a) c) e) g)

b) d) f ) h)

a) c) e) g)

b) d) f ) h)

Indica quines de les fraccions segents sn irreductibles.

Sn fraccions irreductibles: , i 18

7

12

5

10

13

2

8

15

12

18

7

12

5

9

6

10

13

15

18

3

15

046

104

216

13

27=

72

243

8

27=

=

7021053

2

3.

=

1080432

45

18

.

88

176

1

2=

12

400

3

100=

26

130

1

5=

5

200

1

40=

104

216

72

243

7021 053.

1 080432

.

88

176

12

400

26

130

5

200

045

log loglog

loglog

loga bb a

a

b

b

a= = 1

044

3c)2

3a)

1

2

log32

3x =

log56 625 = x

043

log loglog

loglog

log2 55 2

5

2

2

51= =

loglog

log log5

2

2 2

22

5

1

5= = = 0,43

log2 101

= = =log 10

log 2 0,30103,32

042Calcula, a partir de la definici, aquests logaritmes.

a) log2 8 c) log 1.000 e) ln e33 g) log4 16b) log3 81 d) log 0,0001 f ) ln e4 h) log4 0,25

a) log2 8 = 3 e) ln e33 = 33b) log3 81 = 4 f) ln e4 = 4c) log 1.000 = 3 g) log4 16 = 2d) log 0,0001 = 4 h) log4 0,25 = 1

Troba, a partir de la definici, els logaritmes segents:

a) log3 243 c) log 1.000.000 e) ln e2 g) log7 343b) log9 81 d) log 0,00001 f) ln e14 h) log4 0,0625

a) log3 243 = 5 e) ln e2 = 2b) log9 81 = 2 f) ln e14 = 14c) log 1.000.000 = 6 g) log7 343 = 3d) log 0,00001 = 5 h) log4 0,0625 = 2

Calcula els logaritmes i deixa el resultat indicat.

a) log4 32 c) log3 100 e) log32 4b) log2 32 d) log5 32 f ) log2 304

b) log2 32 = 5

Si saps que log 2 = 0,3010; log 3 = 0,4771 i log 7 = 0,8451; determina els logaritmesdecimals dels 10 primers nombres naturals. Amb aquestes dades, sabries calcularlog 3,5? I log 1,5?

log 4 = log (2 2) = log 2 + log 2 = 2 0,3010 = 0,6020

log 5 = log = log 10 log 2 = 1 0,3010 = 0,6990

log 6 = log (3 2) = log 3 + log 2 = 0,4771 + 0,3010 = 0,7781

log 8 = log (4 2) = log 4 + log 2 = 0,6020 + 0,3010 = 0,9030

log 9 = log (3 3) = log 3 + log 3 = 0,4771 + 0,4771 = 0,9542

log 10 = 1

log 3,5 = log = log 7 log 2 = 0,8451 0,3010 = 0,5441

log 1,5 = log = log 3 log 2 = 0,4771 0,3010 = 0,17613

2

7

2

10

2

041

f )log 304

log 28,2479log2 304 = = c)

log 100

log 34,1918log3 100 = =

e) loglog

log32

2

44

32

2

52= =

d)log 32

log 52,1533log5 32 = =a) log

log

log4

2

2

3232

4

5

2= =

040

039

038

917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 14

1716


Indica el tipus de decimal, en cada cas, i calculan, si s possible, la fracci generatriu.

a) 15,3222 c) 15,32 e) 15,333

b) 15,233444 d) 15,323232 f) 15

a) s un nombre decimal peridic mixt:

b) s un nombre decimal peridic mixt:

c) s un nombre decimal exacte:

d) s un nombre decimal peridic pur:

e) s un nombre decimal exacte:

f ) s un nombre natural:

Troba la fracci generatriu dels nombres decimals segents.

a) 0,2 d) 8,0002 g) 0,01

b) 3,5 e) 42,78 h) 5,902

c) 2,37 f ) 10,523 i) 0,0157

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h)

i)157 1

9900

156

9900

13

825

= =

. .

5 902 5

999

5897

999

. .=

1

100

10523 105

990

10418

990

5209

495

. . .= =

4278 42

99

4236

99

1412

33

. . .= =

80002

10000

40001

5000

.

.

.

.=

237 23

90

214

90

=

35 3

9

32

9

=

2

10

1

5=

053

15

1

15333

1000

.

.

1 532 15

99

1517

99

. .=

1532

100

383

25

.=

152334 15233

9000

137101

9000

. .

.

.

.

=

1532 153

90

1379

90

. .=

052Quants nombres racionals hi ha en aquest grup?

Els nombres racionals sn els que es poden escriure com a fracci; per tant, tots els nombres del grup ho sn.

Troba x per tal que les fraccions siguin equivalents.

a) b)

a) b)

Pots escriure una fracci equivalent a amb denominador 10? Per qu?

No, perqu el 10 no s mltiple de 3.

Fes aquestes operacions.

Quins dels nombres segents sn racionals i quins no ho sn? Raona la resposta.

a) 2,555 b) 2,525 c) 2,5255555 d) 2,525522555222

a) s un nombre racional, perqu s peridic i qualsevol nombre peridic es potexpressar com a fracci.

b) s un nombre racional, perqu s un decimal exacte i els decimals exacteses poden expressar com a fracci.

c) s un nombre racional, perqu s peridic.

d) s un nombre irracional, perqu t infinites xifres decimals que no snperidiques.

051

b)5

2

2

5

7

3

4

3

1 1

+

:

=

=

=

=

2

125

10

4

10

3

7

16

9

21

:

110

3

7

16

910

21

3

7

16

970

63

1

=

= =

=

:

:

116

942

63

=

=

a)5

6

4

5

2

3

1

2

2 1

+

=

=

+ =

=

2

225

30

24

30

3

2

1

4

1

3

00

3

2

1

4

9003

2

1

41

4

2

+ =

= + =

= + =

1.350

==5401

4

.

b)5

2

2

5

7

3

4

3

1 1

+

:

2

a)5

6

4

5

2

3

1

2

2 1

+

2

050

2

3049

=

=

=

5

2

20

8

10

4

25

10

3

5

6

10

9

15

21

35= = =

= = =52 8

10 25x

x x

3

5

6 9 21= = =x x x

048

150

200

25

100

6

8

4

24

420

1

6

8

12

15

2

3

1

4

047

917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 16

1918


Ordena els nombres decimals segents, de ms petit a ms gran.

2,999 2,95 2,955 2,59 2,599 2,559

Del ms petit al ms gran:2,559 < 2,59 < 2,599 < 2,95 < 2,955 < 2,999

Ordena aquests nombres decimals, de ms petit a ms gran.

a) 2,995 2,9 2,95 2,959 2,95

b) 4,75 4,75 4,75 4,775 4,757 4,757

Del ms petit al ms gran:

a) 2,95 < 2,959 = 2,95 < 2,995 < 2,9

b) 4,75 < 4,75 < 4,757 < 4,75 = 4,757 < 4,775

Digues un nombre racional i un altre dirracional compresos entre:

a) 3,4 i 3,40023 c) 1 i 2 e) 2,68 i 2,68

b) 2,52 i 2,52 d) 5,6 i 5,68 f ) 0,2 i 0,25

Resposta oberta.

a) Racional: 3,40022 d) Racional: 5,62Irracional: 3,4002201001 Irracional: 5,6201001

b) Racional: 2,523 e) Racional: 2,67Irracional: 2,52301001 Irracional: 2,6701001

c) Racional: 1,1 f ) Racional: 0,21Irracional: 1,101001 Irracional: 0,2101001

s cert que 3,2 = 3,222? Si no ns, escriu dos nombres, un de racional i un dirracional, situats entre ells.

No s cert, ja que un nombre s decimal exacte i laltre s peridic.

Resposta oberta.

Racional: 3,2221Irracional: 3,222101001

Classifica en racionals i irracionals les arrels quadrades dels nombres naturals mspetits que 20.

Sn racionals les arrels dels quadrats perfectes (1, 4, 9 i 16). Les altres arrels sn irracionals.

Digues quins daquests nombres sn racionals i quins sn irracionals.

Noms s irracional , ja que les altres arrels sn exactes.5

2

4

2

5

2

9

3

16

5

36

3

063

062

061

060

059

058Opera fent servir les fraccions generatrius.

a) 1,3 + 3,4 c) 1,36 + 8,25 e) 3,46 + 4,295b) 10,25 5,7 d) 4,5 + 6,7 f ) 3,21 + 4,312

a)

b)

c)

d)

e)

f )

Fes les operacions segents:

a) 1,25 2,5 b) 0,03 : 2,92 c) 3,76 4,8 d) 1,25 : 2,25

a) c)

b) d)

Fent servir les fraccions generatrius, comprova si les igualtats segents snverdaderes o falses:

a) 1,9 = 2 b) 1,3 : 3 = 0,4 c) 1,89 + 0,11 = 2 d) 0,3 + 0,6 = 1

a) Verdadera:

b) Verdadera:

c) Falsa:

d) Verdadera:

Escriu lexpressi decimal de tres nombres racionals i de tres dirracionals. Explica com ho fas.

Resposta oberta.

Lexpressi decimal dun nombre racional ha de ser finita o peridica:

2,3 2,3 5,32

Lexpressi decimal dun nombre irracional ha de ser infinita i no peridica:

2,1010010001000 1,1234567891011 2,23233233323333

057

3

9

6

9

9

91+ = =

189 18

90

11 1

90

171

90

10

90

181

902

+

= + =

13 1

93

12

93

12

27

4

9

= = =: :

19 1

92

=

056

5

4

203

90

450

812

225

406: = =

1

30

263

90

90

7890

9

789:

.= =

113

30

44

9

4972

270

2486

135

. .= =

5

4

23

9

115

36 =

055

318

99

4269

990

3180

990

4269

990

7449

990

2+ = + = =

. . . . ..483

330

343

99

4253

990

3430

990

4253

990

7683

990

2+ = + = =

. . . . ..561

330

41

9

61

9

102

9+ =

135

99

817

99

952

99+ =

923

90

52

9

923

90

520

90

403

90 = =

4

3

17

5

20

15

51

15

71

15+ = + =

054

917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 18

2120


Ordena i representa, de manera exacta o aproximada, els nombres reals segents.

1,65 1,657

Sordenen els nombres, del ms petit al ms gran:

Representa aquests nombres a la recta real.

Ordena i representa els nombres segents:

0,5 2

Sordenen els nombres, del ms petit al ms gran:

0 20,5 13

2

1

43

22 3

< < < < 3 e) x

2524


Un truncament de 8,56792 s 8,56. Calcula lerror absolut i lerror relatiu.

Lerror absolut que es comet s: Ea = 8,56792 8,56 = 0,00792Lerror relatiu que es comet s:

Aproxima el nombre per tal que lerror sigui ms petit que un centsim.

Perqu lerror absolut coms sigui ms petit que un centsim, hem de calcularel quocient amb dues xifres decimals. Laproximaci que es demana s 0,14.

Aproxima el nombre 12,3456 de manera que lerror absolut sigui ms petit que 0,001.

Perqu lerror absolut sigui ms petit que un millsim, sescriu el nombre amb tres xifres decimals. Per tant, laproximaci que es demana s 12,345.

Escriu els 5 primers intervals encaixats dins dels quals hi ha , i indica quin errormxim comets en cada un.

(5, 6) Error < 6 5 = 1

(5,5; 5,6) Error < 5,6 5,5 = 0,1

(5,65; 5,66) Error < 5,66 5,65 = 0,01

(5,656; 5,657) Error < 5,657 5,656 = 0,001

(5,6568; 5,6569) Error < 5,6569 5,6568 = 0,0001

Podem escriure ? Justifica la resposta i digues quin s lordre de lerror

coms.

Com que es tracta dun nombre irracional s impossible escriurel amb una fracci,ja que totes les fraccions sn nombres racionals.

pi = 3,1415926

Lerror que es comet s ms petit que un milionsim.

Per a quin nombre seria 5.432,723 una aproximaci als millsims per defecte?s lnica resposta? Quantes respostes hi ha?

Resposta oberta.

Una aproximaci als millsims s 5.432,7231.

La resposta no s nica, ja que hi ha infinits nombres.

Indica quins daquests nombres estan escrits en notaci cientfica.

a) 54 1012 c) 243.000.000 e) 7,2 102 g) 0,01 1030

b) 0,75 1011 d) 0,00001 f ) 0,5 1014 h) 18,32 104

El nombre 7,2 102 est escrit en notaci cientfica.

089

088

355

113= 3,1415929

pi= 355113

087

32 = 5,65685

32086

085

1

7084

Er = =0 00792

8 567920 00092

,

,,

083Opera i arrodoneix el resultat als dcims.

a) 3,253 + 8,45 e) 13,5 2,7b) 52,32 18,93 f ) 40,92 : 5,3c) 4,72 + 153,879 g) 62,3 24,95d) 7,8 12,9 h) 100,45 : 8,3

a) Arrodoniment: 11,7 e) Arrodoniment: 36,5

b) Arrodoniment: 33,4 f ) Arrodoniment: 7,7

c) Arrodoniment: 158,6 g) Arrodoniment: 37,4

d) Arrodoniment: 100,6 h) Arrodoniment: 12,1

Troba laproximaci per arrodoniment fins als deumillsims per a cada cas.

a) b) c) d)

a) 3,1463 b) 3,5029 c) 0,5040 d) 3,0951

Quin error absolut cometem quan aproximem el resultat de 45,96 + 203,7 + 0,823pel nombre 250,49?

45,96 + 203,7 + 0,823 = 250,483Lerror absolut que es comet s: Ea = 250,483 250,49 = 0,007

Si aproximem 10,469 per 10,5, quin error absolut cometem? I si laproximem a 10,4?Quina s la millor aproximaci? Raona-ho.

Lerror absolut que es comet s: Ea = 10,469 10,5 = 0,031Si saproxima a 10,4, lerror absolut s: Ea = 10,469 10,4 = 0,069La millor aproximaci s 10,5, perqu lerror absolut que es comet s ms petit.

Des de lantiguitat apareix molt sovint el nmero dor, , en proporcions de la naturalesa i en les mesures de construccions o en obres dart com la Gioconda.

a) Escriu laproximaci per arrodoniment fins als centsims del nmero dor.

b) Pots trobar-ne els errors absolut i relatiu?

a) Laproximaci per arrodonimentals centsims s 1,62.

b) No es poden trobar els errors absoluti relatiu, ja que el nombre dor sun nombre irracional i, per tant, tinfinites xifres decimals no peridiques.

= + =1 52

1,61803

082

081

080

4

158+5 3

6

77+2 3+

079

078

917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 24

2726


Fes les operacions segents.

a) 7,3 104 5,25 103 c) 8,3 106 : 5,37 102

b) 8,91 105 5,7 1014 d) 9,5 106 : 3,2 103

a) 7,3 104 5,25 103 = 3,8325 102 c) 8,3 106 : 5,37 102 = 1,545623836 104

b) 8,91 105 5,7 1014 = 5,0787 1010 d) 9,5 106 : 3,2 103 = 2,96875 109

Simplifica el resultat daquestes operacions.

a) b)

Troba el valor numric daquests radicals.

a) b) c) d) e) f )

Indica els radicals equivalents.

Simplifica els radicals segents:

a) b) c) d) e) f ) g) h)

h) 625 5 5 5 58 484

8

1

2= = = =

g) 27 3 3 3 36 363

6

1

2= = = =

f ) 128 2 2 2 2 2 25 757

5

2

5 25= = = =

e) 75 3 5 3 5 5 321

2= = =

d) 27 3 3 3 3 3 333

2

1

2= = = =

c) 32 2 2 2 2 2 24 545

4

1

4 4= = = =

b) 54 3 2 3 2 3 2 3 23 333

3

1

3

1

3 3= = = =

a) 16 2 2 2 2 2 23 434

3

1

3 3= = = =

625827612857527324543163

098

7 7 7 7232

3

8

12 812= = =3 3 3 3252

5

4

10 410= = =

2 2 2 2 2686

8

3

4

15

20 1520= = = =2 2 2 2343

4

9

12 912= = =

21520291234107812268723325234

097

f ) =128 27d) =216 63b) = 27 33e) 625 54 = c) =100000 105 .a) 81 34 =

128762542163100 0005 .273814

096

b)3,92 5,86

9,2

2,29712

10 10

7 10 10

4 6

8 13

=

10

1010

1

6

8

=6,44

3,566956522

a)6,147 4,6

7,9 6,57

2,827

10 10

10 10

2 3

8 5

=

662

5,19035,447893185

10

1010

2

4

3=

3 92 10 5 86 10

7 10 9 2 10

4 6

8 13

, ,

,

6 147 10 4 6 10

7 9 10 6 57 10

2 3

8 5

, ,

, ,

095

094Escriu en notaci cientfica els nombres segents i indican la mantissa i lordrede magnitud.

a) 15.000.000.000 c) 31.940.000 e) 4.598.000.000 g) 329.000.000

b) 0,00000051 d) 0,0000000009 f) 0,0967254 h) 111.000

a) 15.000.000.000 = 15 109 Mantissa: 5 Ordre de magnitud: 9b) 0,00000051 = 5,1 10-7 Mantissa: 5,1 Ordre de magnitud: 7c) 31.940.000 = 3,194 107 Mantissa: 3,194 Ordre de magnitud: 7d) 0,0000000009 = 9 10-10 Mantissa: 9 Ordre de magnitud: 10e) 4.598.000.000 = 4,598 109 Mantissa: 4,598 Ordre de magnitud: 9f ) 0,0967254 = 9,67254 102 Mantissa: 9,67254 Ordre de magnitud: 2g) 329.000.000 = 3,29 108 Mantissa: 3,29 Ordre de magnitud: 8h) 111.000 = 1,11 105 Mantissa: 1,11 Ordre de magnitud: 5

Desenvolupa aquests nombres escrits en notaci cientfica.

a) 4,8 108 b) 8,32 1011 c) 6,23 1018 d) 3,5 1012

a) 4,8 108 = 480.000.000 c) 6,23 1018 = 0,00000000000000000623b) 8,32 1011 = 0,0000000000832 d) 3,5 1012 = 0,0000000000035

Fes les operacions.

a) 1,32 104 + 2,57 104

b) 8,75 102 + 9,46 103

c) 3,62 104 + 5,85 103

d) 2,3 102 + 3,5 101 + 4,75 102

e) 3,46 102 + 5,9 104 + 3,83 102

a) 1,32 104 + 2,57 104 = 3,89 104

b) 8,75 102 + 9,46 103 = 1,0335 104

c) 3,62 104 + 5,85 103 = 3,620000585 104

d) 2,3 102 + 3,5 101 + 4,75 102 = 2,303975 102

e) 3,46 102 + 5,9 104 + 3,83 102 = 5,93830346 104

Troba el resultat daquestes operacions.

a) 9,5 104 3,72 104

b) 8,6 103 5,45 102

c) 7,9 104 1,3 106

d) 4,6 106 + 5,3 104 3,9 102

e) 5 102 3 101 + 7 102

a) 9,5 104 3,72 104 = 5,78 104

b) 8,6 103 5,45 102 = 8,055 103

c) 7,9 104 1,3 106 = 7,887 104

d) 4,6 106 + 5,3 104 3,9 102 = 4,652610 106

e) 5 102 3 101 + 7 102 = 4,997 102

093

092

091

090

917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 26

2928


Extreu de larrel els factors que puguis.

Extreu factors dels radicals.

Simplifica les expressions segents:

f )a

a

a a

1

2

3

2

1

2

11

2

1

= ( ) =

22 = a

e) 36729 37 126 7 126 2 6a b a b ab a = =

d)2 25

=

=

8

32

23 5 23

6 43

3 3 5 23

6 43

a b c

a b

a b c

a b

b22 22a c a

b

c3 23

23

1=

c)81

2

3

3

4

8 2

3 3

4

33

4

33 3

a

b

a

b

a

b

a= =

b) 32 2 2 25 8 124 5 5 8 124 2 3 4a b c a b c ab c a = =

a)a

aa a a

a

12

183 63

6

2

1

31 1= = ( ) = =

f )a

a

1

2

3

2

1

2

d)

8

32

3 5 23

6 43

a b c

a bb) 32 5 8 124 a b c

e) 729 7 126 a bc)8

81

4

33

a

ba)

a

a

12

183

103

f ) 15 625 5 54 33 6 4 33 2 3. x y x y xy x= =c) 2 26 4 8 3 2 4a b a b=

e) a b ab a6 105 2 5=b) 16 2 274 4 74 34a a a a= =

d) a b c abc a bc6 5 94 2 24=a) 8 2 253 3 53 23a a a a= =

f ) 15 625 4 33 . x yd) a b c6 5 94b) 16 74 a

e) a b6 105c) 26 4 8a ba) 8 53 a

102

h) 40 2 5 2 53 33 3= =d) 98 2 7 7 22= =

g) 1000 2 5 2 5 103 3 33. = = = c) 50 2 5 5 22= =

f ) 75 3 5 5 32= =b) 18 2 3 3 22= =

e) 12 3 2 2 32= =a) 8 2 2 23= =

h) 403f ) 75d) 98b) 18

g) 1 0003 .e) 12c) 50a) 8

101Escriu com a potncies dexponent fraccionari aquests radicals.

Expressa amb un sol radical:

f )1

5

1

5

1

5

51

512

1

2

1

4

1

44

=

( )= = =

e) 2 2 2 2431

4

1

3 1

12 12= ( ) = =

d)1

2

1

2

2 21

2

1

2 1

2

1

2 1

=

= ( ) =

444

1

2=

c) 3 3 3 31

2

1

2

1

21

8 8= ( )

= =

b)2

2

2

2

23

1

2

1

3

1

21

6

1

2

=

= ( ) = 22 2

1

12 12=

a) 3 5 3 5 3 5 3 5 3 551

2

1

5 1

5

1

10

2

10

1

10 210= ( ) = = =

f)1

5e) 243d)

1

2c) 3b)

2

23a) 3 55

100

h)1

3

1

3

aa=

e)1 1

1

2

1

2

aa

a= =

g) a a( ) =3

3

2d) a a

=545

4

f )1 1

4 1

4

1

4

aa

a= =

c)a

a

a

a

a a=

= ( ) =

1

2

1

2 1

2

1

2 1

4

b) a a a a a a a a31

2

1

2

1

33

2

1

2

= ( )

= ( )

= ( ) = ( ) =

1

33

4

1

3 7

4

1

3 7

12a a a a

a) a a a a a a= ( ) = ( ) =&1

2

1

2 3

2

1

2 3

4

h)1

3

af )

14 a

d) a54b) a a a3

g) a( )3

e)1

ac)

a

aa) a a

099

917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 28

3130


Calcula.

Efectua i simplifica.

c) 3 5 4 7 3 5 4 73 15 4 21 15 5 4 35 4 21+ ( ) +( )=

= + + + +

44 35 112 109 8 35 = +

b) 3 5 3 5 2 4 5 2 4 5 9 5 4 80 72+( ) ( )+ ( ) +( ) = + =

a) 2 3 2 3 2 3 4 4 3 3 4 3 6 4 32

+( ) +( ) ( ) = + + + = +

c) 3 5 4 7 3 5 4 7+ ( ) +( )b) 3 5 3 5 2 4 5 2 4 5+( ) ( )+ ( ) +( )a) 2 3 2 3 2 3

2+( ) +( ) ( )

108

d) ab a b ab a b a b a b3 31

2

1

3 1

3

1

2 1

6

1

6

1

2

1

= ( )( ) ( )( ) = 662

3

1

3 23= =a b a b

c) :2 4 2 4 23 45 23 3 41

5 21

3 3 43

1a b ab a b ab a b= ( ) ( ) = ( ): 55 25

15

9 12

5 1015

9 12

5

4: ab

a b

a b

a b

a

( ) =

= =2

4

2

2

3

5

3

10 bb

a b10

154 2

715

2=

b) 3 2 3 2 3 223 3 21

3 31

2 22

6a b ab a b ab a b ab = ( ) ( ) = ( ) 333

6

2 4 2 3 3 96 3 2 7 1163 2 2 3

( ) == =a b a b a b

a) a a a a a a a a a a34 53 463

4

5

3

4

6

9

12

20

12

8

12 = = =227

12 3712 312= =a a a

d) ab a b3 3b) 3 223 3a b ab

c) 2 43 45 23a b ab:a) a a a34 53 46

107

h) 2 5 10 2 5 10 4 5 2 50 2 50 1020 1

2 2( ) +( ) = ( ) + ( ) =

=

00 10=

g) 6 7 5 6 7 5 36 7 6 35 6 35 5252 5

2 2+( ) ( ) = ( ) + ( ) =

= =

2247

f ) 7 2 3 5 3 2 35 6 14 2 15 3 6( ) +( ) = +

e) 7 5 4 5 5 3 6 35 5 21 30 20 5 12 6175 2

2+( ) ( ) = ( ) + =

=

11 30 20 5 12 6+

d) 5 2 3 5 2 3 25 2 15 2 15 2 9 50 9 412

( ) +( ) = ( ) + = =

c) 3 2 3 2 3 6 6 2 3 2 12 2

+( ) ( ) = ( ) + ( ) = =

b) 2 7 3 2 5 2 2 10 7 4 14 15 2 6 210 7 4 14

2+( ) ( ) = + ( ) =

=

++ 15 2 12

a) 3 2 5 4 2 3 12 2 9 2 20 2 15 29 2 392

( ) ( ) = ( ) + = +Introdueix els factors dins del radical.

Introdueix els factors dins del radical, si es pot.

e) No s possible introduir factors, perqu el 5 no s factor.

Opera i simplifica.

h) 2 5 10 2 5 10( ) +( )d) 5 2 3 5 2 3( ) +( )g) 6 7 5 6 7 5+( ) ( )c) 3 2 3 2+( ) ( )f ) 7 2 3 5 3 2( ) +( )b) 2 7 3 2 5 2 2+( ) ( )e) 7 5 4 5 5 3 6+( ) ( )a ) 3 2 5 4 2 3( ) ( )

106

f ) = = a a a a a2 3 63 73

d) 2 23 3 = = 2 2 3 3 63 4 73ab ab a b ab a b

c)2

2

2

3

2 3

8

3 3

22a

a a

a a = =

b)4 2

2

4

4

8

3

4

8 8

24

4 4 24

4 5 2

44

ab

c

c b

a

a b c b

c a

a b c

ac = = ==

25a b

c

3 5

24

a) aa

a

a a

a

a a

=

=

4 12

4 1

2

4

2

2 2( )

f ) a a2 3d) 2 2 3ab abb)4

8

2

4ab

c

c b

a

e) 5 2+c) 2 38a

aa) a aa

4 12

105

j)1

7

3

4

3

7 4

3

21952

3

3 33 3 = =

.e)

1

26

1 6

2

6

16

3

84

44 4 4= = =

i)23

5

2

3

3

5 3

18

1253

3

33 3= =

d)

323

52

2

5

18

252= =

h) 51

5

5

55 253

3

3 23 3= = =c) 3 15 3 15 36455 55 5= = .

g) 2 7 2 7 563 33 3= =b) 4 20 4 20 51204 44 4= = .

f )1

2

1

2

1

2 2

1

324

44 4= =

a) 2 5 2 5 403 33 3= =

j)1

7

3

4

3

h) 51

53f )

1

2

1

24d)

3

52b) 4 204

i)3

5

2

33g) 2 73e)

1

264c) 3 155a) 2 53

104

917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 30

3332


Racionalitza i simplifica.

j)7 2

3

7 2 3

3 3 3

7 2 3

9

3

54

3 34

4 34

4 912

= =

i)5 3 4

3

5 3 4 3

3 3

5 3 4 3

323

3

23 3

56 3=

( )=

h)9

5 5

9 5

5 5 5

9 5

2557

27

57 27

27

= =

g)6 6 6

6

6 6 6 6

6 6

6 6 6 6

66 6 6

3

23

3 23

6 236 2 =

( )=

( )=

33

f )7 5

3

7 5 3

3 3

7 3 675

34

34

4 34

34 4+=

+( )=

+

e)

=

=

=6

2 7

3

7

3 7

7 7

3 7

74 4

34

4 34

34

d)5 3 4

3

5 3 4 3

3 3

15 3 4 325

35

25 35

10 35

=

( )

= +

=

3

15 3 4 3

3

10 35

c)1 2

2

1 2 2

2

2 2

22

=( )

( )=

b)

=

( )=

=

5

2 5

5 5

2 5

5 5

10

5

22

a)6 6 6

6

6 6 6 6

6

6 6 6 6

6

6 6 6

66 6

2

=

( )

( )=

=

( )=

j)7 2

3

3

54e)

6

2 74

i)5 3 4

323

d)5 3 4

325

h)9

5 557c)

1 2

2

g)6 6 6

63

b)5

2 5

f )7 5

34+

a)6 6 6

6

112Troba el resultat:

Efectua i simplifica.

Expressa el resultat com a potncia.

d) 8 81 2 3 2 353 3 41

5

1

3 4

15= ( )( ) =

c) 2 2 2 2 2 2232

3

1

2 1

2

1

2

1

21

3

1

= ( ) ( )

= 88

11

242=

b) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 35 251

5 21

2

1

5 1

5

2

5

1

10

7

10 = ( ) = =

a) 5 5 5 5 5 536 1

3

1

2

6 5

6

6

5( ) = ( ) = ( ) =d) 8 8153b) 3 3 35 25

c) 2 223 a) 5 536

( )

111

d)a a a a

9 16

16 9

144

2

+

=+

=

=

2 225

144

5

12

aa =

2144

25a

c) 14 7 81 14 7 3 14 2 441

21

21

21

2+ ( ) = + ( ) = +( ) = = 11

4

1

2=

b) 811

3

1

33 3 3 3

1

4 48

1

4

1

8

=

:

= = =: :3 3 3 3 3

1

2

5

8

1

2

1

8 8

a)2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

34 4 3

25

2

3

4 41

3

21

2

5

=

22

13

12

4

13

12

48

12

35122

2

2

2

2= = =

d)a a

9 16

2

+

b) 811

3

1

33

1

4 48

:

c) 14 7 8141

2+ ( )

a)2 2 2

2 2 2

34 4 3

252

110

c) 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 14 4 4 4+ = +( ) ( ) = =

b) 5 3 1 5 3 1 5 3 1 5 3 1 75 1 743 3 3 3 3 + = +( ) +( ) = =

a) 7 2 6 7 2 6 7 2 6 7 2 6 49 24 25 5 + = ( ) +( ) = = =

c) 3 2 3 24 4+

b) 5 3 1 5 3 13 3 +

a) 7 2 6 7 2 6 +

109

917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 32

3534


Racionalitza les expressions segents:

d)

=

=

=

=4

3 2

4

3 2

4

3 2

4

3 24 3 141

3

3

12

4

123 412

44 3 2

3 2 3 2

4 3 2

6

2 3 2

9 812

3 412 9 812

9 812 9 8

=

=

= 112

3

c)

+( )=

( )

+( ) ( )=

2

2 125 2

2 125 2

2 125 2 125 23 3

2250 2 2

121 2

250 2 2 2

121 2 2

5 2

3

23

3 23

9 76

+=

= +( )

=

++=

+=

=

2 2

121 2 2

5 2 5 2 2 2

242

2 5 5 2

76

3 23

36 2 6

36

++( )=

+2 2242

5 5 2 2 2

121

6 36 6

b)

( )=

+( )( ) +( )

= +2

4 5 3 1

2 5 3 1

4 5 3 1 5 3 1

2 5 33 3

11

74 4

5 3 1

37 4

5 3 1 4

37 4 4

5 3

3

3

23

3 23

3

( )=

=

= ( )

=

4 4148

46 23

a)3

3 2 5 4 2 3

3

24 9 2 20 2 15

3

39 29 2

3 39

( ) ( )=

+=

=

=

++( )( ) +( )

=+

=29 2

39 29 2 39 29 2

117 87 2

1521 1682. .

1117 87 2

161

+

d)

4

3 24 3b)

( )2

4 5 3 13

c)

+( )2

2 125 23a)

3

3 2 5 4 2 3( ) ( )

116

d)4 3 7

12

4 3 7 12

12

24 84

12

2 12 21

6 22+

=+( )

( )=

+=

+( )

=112 21

6

+

c)5 6 2

18

5 6 2 18

18

5 3 2 6

18

5 3 2 3 6

2

3 2=

( )

( )=

=

=

118

6 5 3 1

6 3

5 3 1

3=

=( )

b)1

1 5 7

1 5 7

1 5 7 1 5 7

1 5 7

1 5 7 5

+=

+

+( ) + ( )=

=+

+ 55 35 7 35 7

1 5 7

11 2 35

1 5 7 11 2 35

+ + + =

+

+=

=+ ( ) ( ) +( ) ( )

= + +

11 2 35 11 2 35

11 11 5 11 7 2 35 2 175 2 2445

121 140

11 11 5 11 7 2 35 2 175 2 245

19

=

= + +

Elimina les arrels del denominador.

Racionalitza les expressions segents:

Racionalitza i simplifica el resultat:

a)1

3 6

3 6

3 6 3 6

3 6

3 6

3 6 3 6

3 6 3 6+=

+

+ +=

+

+=

+ ( )

+( ) ( )==

=+ +

=

+ +3 3 6 18 6 69 6

3 3 6 18 6 6

3

d)4 3 7

12

+c)

5 6 2

18

b)

1

1 5 7 +a)

1

3 6+

115

d)

+( )=

( )

+( ) ( )=

( )79 6 3

7 6 3

9 6 3 6 3

7 6 3

27

c)8

5 10 6

8 10 6

5 10 6 10 6

8 10 6

20 ( )=

+

( ) +( )=

( )=

( ) 22 10 6

5

( )

b)5

3 7 2

5 7 2

3 7 2 7 2

5 7 2

15

7 2

3 +( )=

+( ) ( )=

( )=

( )

a)

( )=

( ) +( )=

1

2 5 3

5 3

2 5 3 5 3

5 3

4

d)

+( )7

9 6 3c)

8

5 10 6 ( )b)

5

3 7 2 +( )a)

( )1

2 5 3

114

f )

+=

( )

+( ) ( )=

+

= 5

6 7

5 6 7

6 7 6 7

5 6 5 7

6 75 6 5 7

e)7

11 3

7 11 3

11 3 11 3

7 11 21

11 9

7 11

=

+( )( ) +( )

=+

=

+ 2212

d)4 2

3 2 5

4 2 3 2 5

3 2 5 3 2 5

24 4 10

18 5

24

=

+( )( ) +( )

=+

=++ 4 1013

c)

=

+( )( ) +( )

=

= +

5

3 2

5 3 2

3 2 3 2

5 3 10

3 45 3 10

b)3

2 3

3 2 3

2 3 2 3

3 2 3

2 33 2 3

+=

( )

+( ) ( )=

( )

= ( )

a)1

2 1

2 1

2 1 2 1

2 1

2 12 1

+=

+( ) ( )=

=

f )

+

5

6 7d)

4 2

3 2 5b)

3

2 3+

e)7

11 3c)

5

3 2a)

1

2 1+

113

917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 34

3736


Desenvolupa les expressions segents:

Fent servir la calculadora, determina:

a) log5 362 b) c) log6 100 d) log4 315

d) log log 31log 31

log 412,38554 431 5 55 = = =

c) log log 10log 10

log 62,57016 6 2100 2= = =

b) log log 31log 31

log 22,47712 231

1

2

1

2= = =

a) log 36 log 36 2log 36

log 54,45315 2 5= = =2

log2 31

124

d) ln.

ln ln .

ln ln

e ae a

e

3 643

6

4

3

1 0001000

= ( ) =

= + aa

e a

3

2 310

33

23 10

=

= +

ln

ln ln ln

c) log log log

lo

102 35

10 102 35x x

y zx x y z

= ( ) =

= gg log

log log

10

1

210

2

5

3

5

10 10

1

2

x x y z

x x

( ) ( ) == + =

= +

log log

log log log

10

2

510

3

5

10 10 11

2

2

5

y z

x x 00 103

5y z log

b) log log log

log

2

3 65

732

3 652

73

2

a b

ca b c

a

= ( ) =

= 33 26

52

7

3

2 2 236

5

7

3

+ =

= + +

log log

log log log

b c

a b c

a) log log ( ) log

log

3

2 5

2 32 5

32

3

a b c

da b c d

a

= =

= 22 3 5 3 3 2

3 3 32 5

+ + == + +

log log log

log log log

b c d

a b c 2 3log d

d) ln.

e a3 64

1 000

b) log2

3 65

73

a b

c

c) log102 35

x x

y z

a) log3

2 5

2

a b c

d

123Fes aquestes operacions.

Efectua les operacions.

Calcula, a partir de la definici, els logaritmes:

a) log3 243 e) ln e2

b) log9 81 f ) ln e14

c) log 1.000.000 g) log7 343

d) log 0,00001 h) log4 0,0625

a) log3 243 = 5 e) ln e2 = 2b) log9 81 = 2 f ) ln e14 = 14c) log 1.000.000 = 6 g) log7 343 = 3d) log 0,00001 = 5 h) log4 0,0625 = 2

Si saps que log3 2 = 0,63; troba log3 24 a partir de les propietats dels logaritmes.

log3 24 = log3 (23 3) = log3 23 + log3 3 = 3 log3 2 + log3 3 = 3 0,63 + 1 == 1,89 + 1 = 2,89

Calcula log4 128, fent servir les propietats dels logaritmes i prova de donar-neun resultat exacte.

log4 128 4x = 128 22x = 128 22x = 27 x =

Troba el resultat daquestes expressions a partir de les propietats dels logaritmes.

a) 2 log4 16 + log2 32 3 log7 49b) log2 8 + log3 27 + log5 125c) log5 625 log9 81 + log8 64

a) 2 log4 16 + log2 32 3 log7 49 = 2 2 + 5 3 2 = 3b) log2 8 + log3 27 + log5 125 = 3 + 3 + 3 = 9c) log5 625 log9 81 + log8 64 = 4 2 + 2 = 4

122

7

2

121

120

119

b)1

3

1

9

9 3

39 3

3 9

79 =

a)1

5 5

1

5

5 5 5

5 5 5

5 5 5

5 5 53

3

3

3

56 3+ =

+( )=

+

b)1

3

1

99 3a) 1

5 5

1

53+

118

b)1

6

6

2

2 6

6 29 3

3 1118

39+ =

+

a)

1

2

1

2

2 2

23

3

56+ =

+

b)1

6

6

29 3+a) 1

2

1

23+

117

917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 36

3938


Calcula el valor de x.

a) log3 9 x = 2 e) log3 9 x+3 = 3

b) f ) log 2x/2

c) ln 3x = 1 g) ln 3x+6 = 3d) log2 4x+4 = 2 h) log3 273x+4 = 2

Determina el valor de x.

a) 8x = 1.024 e) 8x2 = 1.024 f ) (3x)2 = 27

d) 10 x1 = 103

h) 2 1 2 2 2 1 0 12 22 1 2 1 0 2x x x x x x x + += = + = =

g) 3 18 27 3 9 3 3 2 22 2 2 2 2x x x x x+ = = = = =

f ) ( )3 27 3 3 2 33

22 2 3x x x x= = =

e) 8 1024 2 2 3 6 1016

32 3 2 10x x x x = = = =. ( )

d) 10 10 1 3 41 3x x x = = =

c) 3 27 3 3 6 3 9 32 26 6 3 2x x x x = = = = =

b) 3 27 3 33

2

2 2 3x x x= = =

a) 8 1024 2 210

33 10x x x= = =.

h) 2 12 2 1x x + =

g) 3 18 272x + =c) 3 27

2 6x =b) 3 27

2x =

130

h) log ( ) log3 3 4 327 2 3 4 27 2 3 42

3

3

x x x

x

+ = + = + =

==

=2 12

3

14

9 x

g) 3,2693ln ( ) lnln

3 3 6 3 33

366x x x x+ = + = = =

f ) 9,9658log loglog

23

2 22

3

2

3

22

x xx x= = = =

e) log3 3 3 3 3 3 99 3 3 9 3 3 3 3 9 2x x x x x+ + += = = = + =

d) log2 4 2 4 2 2 84 2 2 4 2 2 2 2 8x x x x x+ + += = = = + = 5

c) 0,9102ln lnln

3 1 3 11

3x x x x= = =

=

b) 4,9829log loglog

23

22

3

2

3

2 2x x x x= = = =

a) log log3 39 2 9 2 2 2 1x x x x= = = =

= 32

log 23

2x =

129Si log e = 0,4343; quant val ln 10? I ln 0,1?

Tenint en compte que log 2 = 0,3010, troba el valor dels logaritmes decimals:

a) log 1.250 c) log 5 e) log 1,6

b) log 0,125 d) log 0,04 f ) log 0,2

Calcula el valor de x.

a) log3 x = 5 c) log2 x = 1 e) log3 (x 2) = 5 g) log2 (2 x) = 1

b) log5 x = 3 f) log5 (x + 2) = 3 h) log23 (3 + x) = 4

Troba quant val x.

a) logx 3 = 1 b) logx 5 = 2 c) logx 3 = 2 d) logx 2 = 5

d) logx x x2 5 2 255= = =

c) logx x x x3 2 31

3

1

32 2= = = =

b) logx x x5 2 5 52= = =

a) logx x x3 1 31

31= = =

128

h) log ( ) . .23 43 4 23 3 279841 3 279838+ = = + = =x x x

g) log ( ) , ,2 12 1 2 2 0 5 2 1 5 = = = + =x x x f ) log ( )5 32 3 5 2 125 2 123x x x+ = = + = = e) log ( )3 52 5 3 2 243 2 245x x x = = = + =

d) log /2 3

4

42

3

16

81x x x=

= =

c) 0,5log2 11 2x x x= = = b) log5 33 5 125x x x= = = a) log3 55 3 243x x x= = =

d) log /2 3 4x =

127

f ) 0,2 0,3010 0,699log log log log= = = =2

102 10 1

e) 0,3010 0,2log , log log log1 62

104 2 10 4 1

4

= = = = 004

d) 0,04 0,3010log log log log= = = =2

1002 2 2 10 2 2

2

1,398

c) 0,3010 0,6990log log log log510

210 2 1= = = =

b) 0,125 0,3010 0,90log log log log= = = =1

81 2 0 33 33

a) 1.250 0log log.

log . log= = = 10000

810000 2 4 33 ,,3010 3,097=

126

lnlog

log0,1

0,1

0,43432,3025= =

=

e

1ln

log

log10

10

0,43432,3025= = =

e

1

125

917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 38

4140


Amb lajut de les propietats dels nombres reals, prova que el producte de zeroper qualsevol nombre real dna com a resultat zero. En cada cas, indica la propietatque fas servir.

Per la unicitat dels elements neutres per a la suma i la multiplicaci tenim que:

Propietat distributiva

0 a + a = a (0 + 1) = a 1 = a

Com que 0 a + a = a 0 a = 0

Quin tipus de decimal sobt de la fracci , en qu a s un nombre enter?

Com que el nostre sistema de numeraci s decimal, quan dividim un nombreenter entre un nombre que sigui potncia de 2 o de 5, o de tots dos, sobt un decimal exacte. Si el numerador s mltiple del denominador, sobt unnombre enter.

Hi ha algun cas en qu laproximaci per excs i per defecte coincideixin?

I si considerem larrodoniment, pot coincidir amb laproximaci per excs o per defecte?

No poden coincidir, ja que quan saproxima per defecte seliminen les xifres a partir de lordre considerat, i quan saproxima per excs tamb seliminenles xifres a partir de lordre considerat, per saugmenta en una unitat lltima xifraque queda.

Laproximaci per arrodoniment coincideix amb laproximaci per defecte si la xifra anterior a lordre considerat s ms petita que cinc, i coincideix amb laproximaci per excs en la resta de casos.

Raona com es racionalitzen les fraccions del tipus:

Multipliquem el denominador pel conjugat:

Per tant, si multipliquem pel conjugat n vegades:

a b a b a b

a b

n n n n2 2 2 21 1+( ) +( ) +( )

L

a b

a b a b

a b

a b

n n

n n n n

n n

n n

2 2

2 2 2 2

2 2

2 21

+

( ) +( )=

+

11

1 1

1 1 1

2 2 2 2

2 2 2

a b a b

a b a

n n n n

n n n

+( ) +( )( ) +

bb

a b a b

a bn

n n n n

n n2

2 2 2 2

2 21

1 1

2 2

( )=

+( ) +( )

12 2a bn n

137

136

a

2 52 3135

8

134Indica si les afirmacions segents sn verdaderes o falses. Raona la resposta.

a) Tots els nombres decimals es poden escriure en forma de fracci.b) Tots els nombres reals sn racionals.c) Qualsevol nombre irracional s real.d) Hi ha nombres enters que sn irracionals.e) Hi ha nombres reals que sn racionals.f ) Tot nombre decimal s racional.g) Cada nombre irracional t infinites xifres decimals.h) Tots els nombres racionals tenen infinites xifres decimals que es repeteixen.i) Tots els nombres racionals es poden escriure mitjanant fraccions.

a) Falsa, perqu els nombres irracionals tenen infinites xifres decimalsno peridiques i no es poden escriure com a fracci.

b) Falsa, perqu hi ha nombres reals que sn irracionals.

c) Verdadera, ja que els nombres racionals i els irracionals formen el conjuntdels nombres reals.

d) Falsa, perqu si sn enters no poden tenir infinites xifres decimalsno peridiques.

e) Verdadera, perqu tots els nombres que es poden expressar com a fraccisn nombres reals, que a ms sn racionals.

f) Falsa, perqu els nombres decimals amb infinites xifres decimalsno peridiques sn irracionals.

g) Verdadera, ja que tenen infinites xifres decimals no peridiques.

h) Falsa, perqu els decimals exactes tamb sn racionals.

i) Verdadera, per definici.

Per qu larrel quadrada de qualsevol nombre acabat en 2 s un nombre irracional?Hi ha algun altre conjunt de nombres amb aquesta caracterstica?

Perqu no hi ha cap nombre que, quan el multipliquem per si mateix, doni un nombre acabat en 2.

Totes les famlies de nombres acabades en 3, 7 i 8 tenen aquesta caracterstica.

Escriu en notaci cientfica les quantitats segents:

a) Distncia Terra-Lluna: 384.000 kmb) Distncia Terra-Sol: 150.000.000 kmc) Dimetre dun tom: 0,0000000001 md) Superfcie de la Terra: 500 milions de km2

e) Longitud dun virus (grip): 0,0000000022 mf) Pes dun estafilococ: 0,0000001 gg) Un any llum: 9.500.000.000.000 kmh) Distncia a la galxia ms llunyana: 13.000 milions danys llum

a) 384.000 = 3,84 105 e) 0,0000000022 = 2,2 109

b) 150.000.000 = 1,5 108 f ) 0,0000001 = 1 107

c) 0,0000000001 = 1 1010 g) 9.500.000.000.000 = 9,5 1012

d) 500.000.000 = 5 108 h) 13.000.000.000 = 1,3 1010

133

132

131

917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 40

4342


Comprova les igualtats segents:

a) e)

b) f )

c) g)

d) h)

a) Fals: e) Cert:

b) Fals: f ) Fals:

c) Fals: g) Fals:

d) Fals: h) Fals:

Escriu 2500 en notaci cientfica.

a) Sabent que log 2 = 0,3010 i que .

b) Pots fer-ho amb una calculadora cientfica?

c) Tenint en compte el primer apartat, expressa 5500 en notaci cientfica.

a) Anomenem x el nombre: 2500 = x

Hem de trobar y de manera que 10y = x.

2500 = x 500 = log2 x =

Daltra banda, com que log x = y:

y = 500 ? log 2 = 150,5

10150,5 = 100,5 ? 10150 = 3,1622 ? 10150

b) No es pot trobar amb calculadora perqu s un nombre massa gran.

c) Anomenem x el nombre: 5500 = x

Hem de trobar y de manera que 10y = x:

5500 = x 500 = log5 x =

Daltra banda, com que log x = y:

y = 500 ? log 5 = 349,5

10349,5 = 100,5 ? 10349 = 3,1622 ? 10349

log

log

x

5

log

log

x

2

10 3 1622= ,

142

3 4 53 4 5

2 2+ =+ ?

2 3 18

2 3 18

63

63

=

( ) ?

a b a b a b a b

a b a b

8 24 8 21

4

8

4

2

4 21

2

2

= ( ) = = == ?

5 3 2

5 3 2

3

3 3

+ =

+ ?

2 15 1 8

2 15 2 1 8

+ =

+ ?

4 8 4

4 8 4

3

5

=

?

a a a b a b

a a b

= =

=

34 8 4

4 8 4

3

12

=

?

a b a b2 2+ = +a b a bmnmn= ( )

a b a b8 24 =a b a bn n n+ = +

a b c ab ac+ = +a b a bn m n m = +

a a a b a a b = a b abn m n m =

141Racionalitza les expressions segents:

a) b) c)

Indica un procediment general per racionalitzar expressions del tipus:

tenint en compte que b1, b2, , bn sn nombres reals.

Es multiplica el denominador per una expressi que resulta de canviar de signetots els elements del denominador excepte un.

Quan es fa loperaci el nombre darrels disminueix; es repeteix aquest procstantes vegades com calgui fins que lexpressi quedi racionalitzada.

Considera que A, B, C i D sn quatre pobles. La distncia mesurada entre A i Bha estat de 48 km, amb un error de 200 m, i la distncia entre C i D ha estat de 300 m,amb un error de 2,5 m. Quina mesura s ms bona? Per qu?

Es calcula lerror relatiu:

La mesura ms bona s la feta entre els pobles A i B, ja que lerror relatiu comss ms petit.

Er = =2 5

3000 00833

,,Er = =

0 2

48

,0,00416

140

1

1 2b b bn+ + +

139

c)2

6 5 5 6 3

2 6 5 5 6 3

6 5 5 6 3 6 5 5 6 3

3 3

=

+ +( ) ( ) + +( )

=

=22 6 5 5 6 3

227 60 15

2 6 5 5 6 3 137 60 153 3+ +( )

=+ +( ) ( ))

=

=+ +( ) +( )

2471

2 6 5 5 6 3 137 60 15

2471

3

.

.

b)2

2 2 3 3 4

2 2 2 3 3 2

2 2 3 3 2 2 2 3 3 2

2 2

+=

+ ( ) +( ) + ( )

=

=++ ( )

+=

+ ( ) +(

3 3 2

23 12 3

2 2 2 3 3 2 23 12 3

23 12 3

( )

)) ( )=

= + +

=

=

23 12 392 2 48 6 138 3 216 92 48 3

97922 2 48 6 90 3 124

97

a)2

2 3 4

2 2 3 2

2 3 2 2 3 22 2 3 2

5

+ +=

( )

+ + =

= ( )

( )( )

=

( ) + +

=

=

2 12

2 2 3 2 5 2 12

5 2 12 5 2 1210

( )

( )( )22 4 24 10 3 24 20 8 12

25 4810 2 8 6 10 3 4 16 3

+ +

=

= + +

223

10 2 8 6 4 6 3

23=

+ +

2

6 5 5 6 3

3

2

2 2 3 3 4 +

2

2 3 4+ +

138

917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 42

4544

Demostra aquestes igualtats:

a) loga (b c) = loga b + loga c b) loga = loga b loga c

a) Per la definici de logaritmes:

loga (b ? c) = x loga b = y loga c = za x = b ? c a y = b a z = ca y ? a z = b ? c a y + z = b ? c loga (b ? c) = y + zs a dir: loga (b ? c) = loga b + loga c

b) Per la definici de logaritmes:

loga = x loga b = y loga c = z

a x = a y = b a z = c

ayz = loga = y z

Es decir: loga = loga b loga c

Demostra la igualtat segent: log (a2 b2) = log (a + b) + log (a b)

log (a + b) + log (a b) = log [(a + b) (a b)] = log (a2 b2)

Si lrea daquesta figura s 10 cm2, quina s la seva altura?

La longitud de la base fa: 1 + cm

Calculem laltura: 10 = ? h

h = cm

Dues peces mbils duna mquina es desplacen a la mateixa velocitat. La primera pea descriu una circumferncia de 5 cm de radi i la segona es desplaa dun extrem a laltre del dimetredaquesta circumferncia.

Si totes dues peces parteixen del mateix punt, coincidiran en algun moment?

Suposem que les dues peces parteixen de A.Anomenem v la velocitat que tenen els dos mbils. La distncia que recorre el mbil que es desplaa per la circumferncia en els punts A i B s: 5pi(k 1), on k s un nombre natural. La distncia que recorreel mbil que es desplaa pel dimetre en els punts A i B s: 10(k 1), on k sun nombre natural. Les distncies que recorre el mbil que es desplaa per la circumferncia sn nombres irracionals, mentre que les distncies que recorre el mbil que es desplaa pel dimetre sn nombres naturals. Per tant, els dos mbils no coincidiran mai.

150

10

1 2

10 10 2

110 10 2

+=

= +

1 2+( )2

149

148

b

c

b

c

b

c

a

a

b

c

y

z=

b

c

b

c

b

c

147


Les unitats de mesura amb qu medim la quantitat dinformaci sn:

Byte = 28 bits Megabyte = 210 KilobytesKilobyte = 210 bytes Gigabyte = 210 Megabytes

Expressa, en forma de potncia i en notaci cientfica, aquestes quantitatsdinformaci en bits i bytes:

a) Disc dur de 120 GB. c) Disquet d1,44 MB.b) Targeta de memria de 512 MB. d) CD-ROM de 550 MB.

a) 120 GB = 120 ? 210 ? 210 ? 210 bytes = 15 ? 233 bytes = 15 ? 241 bits120 GB = 1,2885 ? 1011 bytes = 3,2985 ? 1013 bits

b) 512 MB = 29 ? 210 210 bytes = 229 bytes = 237 bits512 MB = 5,3687 108 bytes = 1,3743 ? 1011 bits

c) 1,44 MB = 1,44 210 210 bytes = 1,44 ? 220 bytes = 1,44 ? 228 bits1,44 MB = 1,5099 ? 106 bytes = 3,8655 108 bits

d) 550 MB = 550 210 210 bytes = 550 220 bytes = 550 228 bits550 MB = 5,7672 108 bytes = 1,4764 ? 1011 bits

PER ACABAR...

Si s una fracci irreductible,

a) Quan s equivalent a ? b) I quan s equivalent a ?

a) b)

ab + b = ab + a ab + b2 = ab + ab b2 = aba = b Com que b s diferent de zero: b = a

Si una fracci s irreductible, les fraccions i sn irreductibles?

Com que els divisors de a + b sn els divisors comuns de a i b:

(a + b) i a b no tenen divisors comuns, i la fraccis irreductible.

Com que els divisors de a b sn els divisors comuns de a i b:

(a b) i a b no tenen divisors comuns, i la fraccis irreductible.

Demostra la igualtat segent: = 1

= + ( ) = ( ) ==1

21

1

2100 1 1

1

99

log ( ) log log logk kk

log log log1 1

2

1 1

2

1

1

99

1

99

1

+=

+=

+=

= = = k

k

k

k

k

kk k k

999

log1

1

99 +

= k

kk146

a b

a b

a b

a b

+

a b

a b

a b

a b

+

a

b145

a b

b b

a

b

++

=a

b

a

b

++

=1

1

a

b

a b

b b

++

a

b

a

b

++

1

1

a

b144

143

A

h

1

1B

CD

5 cmBA

917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 44

ABANS DE COMENAR RECORDA

Calcula els nombres que falten perqu es formi una proporci.

a) b) c)

a)

b)

c)

Un dipsit de plstic buit pesa 2 kg i cada litre de benzina pesa 0,68 kg. Escriu el pesdel dipsit en funci dels litres de benzina que shi posen. Sn magnituds ambvariaci constant?

y = 2 + 0,68xNo sn magnituds amb variaci constant.

El sou duna persona t dos components: el sou base i els complements. En el primert un augment del 3 %, mentre que els complements augmenten el 5 %. Podem dirque la puja global daquest sou s del 8 %?

No, ser una mitjana ponderada entre els dos components i, per tant, estar entre el 3 i EL 5 %; aix, per exemple, si els components fossin iguals, la puja seria del 4 %.

Un comerciant rebaixa un producte un 15 %. Desprs duns mesos, decideix reduir elpreu un altre 10 %. Quan li arriben ms mercaderies del mateix producte decideixaplicar una rebaixa del 25 % sobre el preu que tenia inicialment i sadona que elspreus finals no coincideixen. Quina rebaixa havia aplicat inicialment?

Inicialment, el preu total era del (100 10) % sobre un preu del (100 15) %; pertant, el resultat final hauria de ser un 90 % 85 % = 76,5 %, que correspon a unarebaixa del 100 76,5 = 23,5 %.

Un ordinador que lany passat valia 950 , primer el van pujar de preu un 10 % i, desprs, el van rebaixar un 15 %. Qu val ara?

Un ordinador que, primer, van rebaixar un 15 % i, desprs, van augmentar un 10 %,ara val 888,25 . Quin era el seu preu inicial?

Si anomenem x el preu inicial:

x x x x + = =15 100 85 1 1 0 85% %, , , 0,935 888,25 x = =

888,25

0,935950

006

950 950 95 1045 104510 15+ + = =% %. . 156,75 8888,25

005

004

002

003

x

xx x

16

8128 8 22= = =

7

8 9

63

8= =

xx

2

5

615= =

xx

x

x16

8=78 9= x2

5

6=x

001

46

2SOLUCIONARI

L I T E R A T U R A Y M A T E M T I Q U E S

El dimoni dels nombres

Sn trencats! va exclamar indignat Robert. Al diable amb ells! Perdona, per la veritat s que sn molt senzills. No t'ho sembla? Un mig va llegir Robert ms un quart ms un vuit ms un setz,etctera. A dalt hi ha sempre un u, i abaix hi ha els nombres ballarinsde la srie del dos, els de la samarreta negra: 2, 4, 8, 16 Ja sabemcom segueix. S, per qu surt si sumem totes aquestes fraccions? No ho s va dir Robert. Com que la srie no acaba mai, probable-ment surti una quantitat infinita. Per d'altra banda 1/4 s menys que1/2, 1/8 s menys que 1/4, etctera aix que el que afegeixo s cadavegada ms petit. Les xifres van desaparixer del sostre. Robert es va quedar mirant fixa-ment cap amunt i no va veure ms que una llarga ratlla:

Justa la fusta! Va dir al cap d'una estona. Crec que ho entenc. Co-mena amb 1/2. Desprs sumo la meitat d'1/2, s a dir 1/4.I el que deia apareixia al sostre de l'habitaci, negre sobre blanc

Aix, senzillament, segueixo endavant, afegint sempre una meitat. Lameitat d'1/4 s 1/8, la meitat d'1/8 s 1/16, etc. Els trencats que s'afe-geixen sn cada vegada ms petits, fins que sn tan diminuts que jano puc veure'ls []

I puc seguir fins que em surtin cabells verds. Aix arribar gairebfins l'1, per mai del tot.S que pots arribarhi. Noms has de continuar fins l'infinit.

HANS MAGNUS ENZENSBERGER

0 1/2

1/2

3/4

1/4 1/8

1/16

1/32

11444244431442443123123123

F

0 1/2

1/2

3/4

1/41444244431442443

0 1/2

1

2+ 1

4+ 1

8+ 1 + 1 + 1 + ... =

16 32 64

Creus que el diable dels nombres t ra i que la suma s 1? O sinfinit?

La suma s 1 perqu es tracta de la suma dels termes dunaprogressi geomtrica amb la ra ms petita que la unitat, i que tsuma finita.

Successions. Progressions2

47

917221Unidad02.qxd 19/1/09 10:45 Pgina 46

49

Troba el terme general de les successions segents:

a) {1, +1, 1, +1, 1, } b) {1, 8, 27, 64, } c) {8, 27, 64, 125, }

a) b) c)

Donada la progressi amb a1 = 3 i d= 5, calculan el terme 25.

Calcula el terme 1.000 duna progressi aritmtica el primer terme de la qual s 20 ila diferncia s 4.

Sabent que el primer terme duna progressi aritmtica s 5 i que el cinqu s 13,calculan el terme 36.

Si el quart terme duna progressi aritmtica s 7 i un terme s 25, calcula quin llococupa aquest terme.

Per tant, no podem saber quin lloc ocupa aquest terme. Hi ha moltes solucionspossibles, per exemple:

Si d = 1 n = 22Si d = 2 n = 13Si d = 3 n = 10Cal tenir en compte que no val qualsevol valor de d; aix, per exemple, si

, que no seria un resultat vlid.

Calcula la suma dels 25 primers termes de la progressi aritmtica an= 2n5.

Troba la suma de tots els nombres parells ms petits que 151.

i a n Sn = = =+

=150 752 150

275 570075 .

a n an = =2 21

011

S253 45

225 525=

+ =

010

d n= =538

5

a a n d n d n dn = + = + = 4 4 25 7 4 18 4( ) ( ) ( )

009

aa

d a15

36513

13 5

42 5 35 2 75=

=

=

= = + =

008

a1000 20 1000 1 4 20 3996 4016. ( . ) . .= + = + =

007

a25 3 25 1 5 3 120 123= + = + =( )

006

a nn = +( )1 3a nn = 3an n= ( )1

005

2SOLUCIONARI

48

Resol aquestes equacions.

a) 32x= 45,3 b) 2x/4 = 32 c) (3,05)2x= 4.586,02

a)

b)

c)

Resol les equacions segents.

a) 2008x3 = 1 b) 3x25x+7 = 3 c) 8x 42x= 32

a)

b)

c)

ACTIVITATS

Calcula els cinc primers termes de les successions segents.

a) an= (1)n n b)

a) a1 = 1 a2 = +2 a3 = 3 a4 = +4 a5 = 5

b)

Calcula els termes 20 i 40 de les dues successions anteriors.

a) b)

Escriu una successi la llei de recurrncia de la qual sigui: a1 = 5, an= an1 + 5

{5, 10, 15, 20, 25, }

Escriu una successi la llei de formaci de la qual sigui:

22

90

2

65

4

126, , , , ,

an

nn =

+

2 6

13004

003

a a20 4017

802

37

3202= =

.a a20 4020= + = +40

002

a a a a a1 2 3 4 52

4

1

100

1

34

2

52=

=

= = =

an

nn =

+3

2 22

001

8 4 32 2 2 2 2 2 22 3 22 5 3 4x x x x x x =

= =

77 52 7 55

7x x x= = =

3 3 3 3 5 7 1 32

2 25 7 5 7 1 2x x x x x xxx

+ += = + = ==

2008 1 2008 2008 3 0 33 3 0. . .x x x x = = = =

008

3 05 4586 02 24586 02

3 0512 3

2, ,

log . ,

log ,,( ) = = =x x 993 x = 6,1965

2 32 2 24

5 204 4 5x xx

x/ /= = = =

32 45 345 3

321 1x x= = =,

log ,

log,

007

Successions. Progressions

917221Unidad02.qxd 19/1/09 10:45 Pgina 48

51

Troba el producte dels cinc primers termes duna progressi geomtrica si saps que a1 = 3 i a4 = 9.

El producte dels cinc primers termes duna progressi geomtrica s

i el primer terme s a1 = 2. Calcula r i el terme segent.

Per tant:

Calcula la suma dels 10 primers termes duna progressi geomtrica el primer terme

de la qual s a1 = 2 i la ra s r= .

Calcula el valor de n de manera que es verifiqui que: 4 + 42 + + 4n= 5.460

Es tracta de la suma duna progressi geomtrica el primer terme de la qual s a1 = 4, i r = 4; per tant:

I daqu obtenim: n = 6

La ra duna progressi geomtrica s r = i el tercer terme s . Calcula la suma dels sis primers termes de la progressi.

I, per tant:

S6

63

2 2

2 1

2 1

3

2 2

7

2 1

7 3

4 2 2

7 3

84 2 2=

=

=

= + ( )

r a aa

r= = = =2

3

2

3

22

3 13

2i

3122023

Snn

n n=

= = = =4

4 1

4 1

4

34 1 5460 4 1

3

45460 ( ) . . 44095 4 4096 46. . n= =

022

S1010 5

23 1

3 12

3 1

3 1

482

3 1241 3 1=

=

=

+ ( )

3

021

ra

aa= = = =5

1

4

5

442

2

52

2

5

4

5

P a a5 55

15

10 55

232768

9765625

2

52

2= ( ) = = ( ) = .

. .

330

20 5

25

205

5

45

2

5

2

5 a = =

32 768

9 765625

.

. .020

ra

a

a

aP= = = =

=

= ( ) =4

2

1

55

59

33 3

9 33 9 3 3 ( )33

5 73 3( ) =

019

2SOLUCIONARI

50

La suma de set nombres parells consecutius s 140. Esbrina aquests nombres.

Els nombres sn: 14, 16, 18, 20, 22, 24 i 26.

Troba el terme general i la suma dels n primers termes de la progressi aritmtica {0, 5, 10, 15, 20, }.

El primer terme duna progressi geomtrica s 0,3 i el tercer terme s 0,012.Calculan la ra i escriu-ne els cinc primers termes.

Duna progressi geomtrica sabem que i . Calculan el terme

general.

En una progressi geomtrica sabem que r= 2 i a7 = 96. Calculan el terme general.

Troba el terme 15 duna progressi geomtrica si saps que a2 = 5 i .

Troba el producte dels sis termes duna progressi geomtrica si saps que a1 = 5 i r= 0,1.

P6

5

5 51

10=

=

65

5 51

10

=

=

32

5

3 65

10

5

10015

018

a a r a15 2 13 15

13 13

125

2

5

2

5

81= =

= =

. 992

244.140.625

r = 25

017

a a r an n n n n n= = = = 7 7 7 5 7 296 2 3 2 2 3 2

016

ra

aa

a

ran= = = = = =

5

2

3 3 128

125

2

53 3

2

5

n 1

a548

625=a2

6

5=015

a a

Solucionario Matemáticas

Documents

Transcript of Solucionario Matemáticas