solución de un problema utilizando el metodo de polya
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7/23/2019 solucin de un problema utilizando el metodo de polya
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Problema:
Considere los siguientes pares ordenados: P (-1,1), Q (1,1), R (1,-1) y S (-1,-1)
a) Grafquelos en un plano cartesiano!) "ncuentre las ecuaciones de dos rectas que pasan por el origen y los
puntos dadosc) Gra#que las rectas correspondientes a las ecuaciones encontradas, en el$is$o plano
d) "%plore las grcas tra'adas y presente algunos resultados geo$tricos
Curso: *P (ac+illerato *cnico Profesional)
Antecedentes:Se conoce que los estudiantes cuentan con las +a!ilidades, destre'as ycapacidades para poder gra#car diferentes tipos de funciones y colocar puntosen el plano cartesiano for$ando cualquier #gura geo$trica de acuerdo conlos puntos que gra#que s ta$!in sa!r& que es una ecuacin, unapendiente, co$o u!icar puntos en una recta nu$rica, la representacingrca de un punto en una recta, tendr& conoci$ientos so!re .nter/alos,ecuaciones de pri$er grado, punto $edio, distancia, $ediana, asi$etra yotras de#niciones Por ende son capaces de resol/er lo que se les plantea en elaula
Simbologa: P(Profesor) y A(lu$no)
Primera Etapa: Comprender el Problema
Se presenta el pro!le$a y se plantean las siguientes interrogantes:
P:0Qu es lo que pide 0"ntienden lo que se plantea 0Sa!en a qu se re#ere0Cu&les son los datos 02os datos son su#cientes
A: Si, nos pide gra#car los puntos P(-1,1), Q(1,1), R(1,-1) y S(-1,-1) en el planocartesiano y encontrar las ecuaciones de dos rectas que pasan por el origeny los puntos dados de$&s, que se encuentre alg3n tipo de relacingeo$trica entre las rectas tra'adas y los puntos
P:0Pueden gra#car estos puntos
A:Si, solo tene$os que despla'arnos en el plano cartesiano con respecto a lose4es % y y, seg3n las coordenadas de cada punto
P:0Qu $&s pueden decir del pro!le$a que se les plantea
http://clasehn.net/marcos/docugeneral.htmhttp://clasehn.net/marcos/docugeneral.htm -
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S (-1,-1) R (1,-1)
Q (1,1)P (-1,1) 1
1-1
Y
-1
X
RECTANG!"S
S(-1,-1) R(1,-1)
Q(1,1)P(-1,1) 1
1-1
Y
-1
X
CA#RA#"
S(-1,-1) R(1,-1)
Q(1,1)P(-1,1) 1
1-1
Y
-1
X
TR$ANG!"S
S(-1,-1) R(1,-1)
Q(1,1)P(-1,1) 1
1-1
Y
-1
X
A:Que cada uno de los pares ordenados al ser gra#cado, queda representadoen cada uno de los cuadrantes del plano cartesiano
55 P: "l alu$no tra'a la grca de los puntos en el plano cartesiano
P:ien, entonces 0qu #guras geo$tricas se pueden for$ar a partir de estoscuatro puntos 0Qu podran +acer con estas #guras geo$tricas
A:Se pueden for$ar cuadrados, rect&ngulos y tri&ngulos Con estas #guras sepueden encontrar sus &reas, per$etros y otras cosas $&s co$o la+ipotenusa de los tri&ngulos
P:0"n la /ida diaria, ustedes pueden relacionar estepro!le$a con alguno en particular
A:Si profesor, por e4e$plo pode$os utili'ar el planocartesiano para u!icar alguna direccin dentro deuna ciudad, co$o ser la interseccin de una calle
con una a/enida "l par ordenado
(1,1)
deter$ina la
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interseccin de la /enida "uclides y la callePit&goras
P: 06e qu otra for$a pode$os relacionar estospuntos en la /ida diaria
A:Pode$os u!icar alg3n tipo de pe' o un !anco de
peces en el fondo del $ar "l pe' rosado est&u!icado en las coordenadas (-1,-1) *a$!in dentrode un saln colocando el plano cartesiano en el pisopode$os deter$inar la u!icacin del $o!iliariodentro del $is$o, y una /entana utili'ando el planocartesiano pode$os locali'ar las di/isiones de la/entana, $ediante la u!icacin de puntos
P:Excelente jvenes! Eso me gusta que estn participando. Por lo tanto, ya estamos listos paraproseguir en la siguiente etapa.
Seg%nda Etapa:Concebir %n Plan
P:02es +an planteado un pro!le$a si$ilar antes 0Conocen alg3n pro!le$arelacionado con este 07an /isto un pro!le$a $&s sencillo al planteado
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Q (11
1-1
Y
-1
P (-1,1)
R (1,-1)S (-1,-1)
A: Si, +e$os tra'ado puntos, rectas, circunferencias y +e$os gra#cadofunciones, pero no se nos +a pedido locali'ar #guras geo$tricas en grcasya tra'adas en el plano cartesiano y ta$poco deter$inar la ecuacin dealguna #gura
P:9/enes, 0Qu $&s se pueden i$aginar 0Podran decir algo $&s so!re estospuntos
A: Profesor, se puede o!ser/ar que los puntos P(-1,1) R(1,-1) for$an unarecta inclinada a la i'quierda y los puntos Q(1,1) S(-1,-1) for$an otra rectainclinada a la derec+a
P:;"%celente< ya que pode$os o!tener dos rectas con los puntos dados que
pasan por el origen, entonces podran decir$e 0qu es una pendiente
A: La Pendiente de una recta, se de#ne co$o una relacin dedespla'a$iento +ori'ontal a despla'a$iento /ertical, es decir
2a pendiente de una recta en un plano cartesiano, suele estarrepresentada por la letra $, y est& de#nida co$o la diferencia en el e4eydi/idido por la diferencia en el e4e xpara dos
puntos distintos1 1 1( , )P x y
y ( , )P x y
en unarecta, en s$!olos
1
1
y ym
x x
=
P:=uy !ien, recuerden que si la recta es /ertical, se dice que no est& de#nidasu pendiente y si es +ori'ontal su pendiente es cero a que conocen lo quees una pendiente 0podran decir$e que orientacin puede tener una recta
>
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A:Si, seg3n el signo de la pendiente, as es la orientacin de una recta Si esnegati/a, es +acia la i'quierda y si es positi/a +acia la derec+a Si la recta es/ertical se dice que no tiene pendiente y si es +ori'ontal es cero
A: Profesor, pero cuando una pendiente es positi/a y cuando es negati/aP:"so depende de los signos de las coordenadas % y y o de los
cuadrantes en que estn u!icados los pares ordenados =uy!uena o!ser/acin
P:=uy !ien, /eo que est&n $uy fa$iliari'ados con estos tr$inos "ntonces0Podran decir$e que tiene en co$3n las rectas que tra'a$os con los puntosanteriores
A: Que a$!as rectas pasan por cero o $e4or dic+o por el origen
P:0Podran decir$e cuando una recta pasa por el origen
A:Si Profesor, cuando el intercepto con el e&exes cero y ta$!in cuando elintercepto con el e&e yes cero
P:=uy !ien, teniendo en cuenta lo anterior 0Qu +an encontrado que lespuede ayudar a solucionar el pro!le$a planteado 0C$o podran asociar lodescu!ierto en lo que se pretende encontrar
A:Conoce$os que la #gura +a gra#car es una recta inclinada y sa!e$os quea$!as rectas pasan por el origen de$&s, conoce$os la fr$ula paradeter$inar la pendiente de una recta
P:ntes de continuar, ade$&s de la fr$ula de la pendiente, 0qu se requiere
ta$!in para encontrar la ecuacin de las rectas
A: 2a for$a de la ecuacin de una recta que pasa por un punto1 1 1( , )P x y
ytiene una pendiente mdada es:
P: =uy !ien, esta es la ecuacin que se conoce co$o punto-pendiente, la cualnos ser/ir& 4unto con la fr$ula de la pendiente para o!tener la ecuacin
P:0Qu relacin +ay entre la fr$ula de la pendiente y la ecuacin punto-
pendiente
A: Se puede deter$inar pri$ero la pendiente y luego utili'ar la ecuacinpunto-pendiente 4unto con uno de los pares ordenados que se nosproporcion para o!tener la ecuacin de la recta
P:0Qu esta!lece la ecuacin punto- pendiente
?
yy1=m(xx1)
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A:Que se utili'a para o!tener la ecuacin de una recta cuando se conoce supendiente y al $enos uno de sus puntos
P:=uy !ien lo que +an dic+o, entonces 0tienen claro c$o /an a resol/er elpro!le$a
A: Si Profesor, /a$os a resol/er el pro!le$a utili'ando la fr$ula de lapendiente y la ecuacin punto- pendiente
P: 0Qu otros tr$inos pueden $encionar que +agan referencia a estas#guras8
A: Simetra: correspondencia de posicin, for$a y ta$a@o
A: Punto medio: es el punto que se encuentra a la $is$a distancia decualquiera de los e%tre$os 6i/ide en dos partes iguales, y su fr$ula es
A: Mediana: es el seg$ento que une cualquier /rtice de un tri&ngulo con elpunto $edio del lado opuesto
P:"%celente
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() *
S (-1,-1) R (1,-1)
Q (1,1)P (-1,1) 1
1-1
Y
-1
X
()-*
S (-1,-1) R (1,-1)
Q (1,1)P (-1,1) 1
1-1
Y
-1
X
"n el cual 1 11, 1, 1 y 1y y x x= = = =
A: +ora encontrare$os la pendiente de la rectaque pasa por los puntos Q1 (1,1), Q8 (-1,-1)
"n el cual 1 11, 1, 1 y 1y y x x= = = =
P:;"%celente< a tienen las dos pendientes de lasrectas
A:Si, a+ora solo nos queda sustituir la pendiente yuno de los puntos en la ecuacin punto-pendiente "ntonces para la pri$era recta, con
1(1, 1)P
se tiene quey
1=1
,
x1=1
, ade$&s mD -1 , luego:
A:Para la segunda recta, con1(1, 1)Q
se tiene quey
1=1
,x
1=1
, ade$&s mD 1 , luego:
P:=uy !ien, encontraron las ecuaciones de dos rectas que pasan por el origen,las cuales son:
y=x y y=-x
P:+ora solo falta gra#car cada ecuacin que pasa por el origen
A: Si, entonces la grca de cada ecuacin quedara de la siguiente $anera:
E
1
1
1 1
1 1
1
y ym
x x
=
=
=
=
1 1( )( 1) 1( 1)
1 1
1 1
y y m x xy x
y x
y x
x
=
=
+ = +
= +
=
1 1( )
1 1( 1)1 1
1 1
y y m x x
y xy x
y x
x
=
=
=
= +
=
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TR$ANG!"S
S (-1,-1) R (1,-1)
1 Q (1,1)P (-1,1)
1-1
Y
-1
X
P: ;"%celente< a tienen las dos ecuaciones que pasan por el origen y susrespecti/as grcas Si notaron, cada ecuacin pasa por los puntosordenados que gra#ca$os anterior$ente
C%arta Etapa: E*aminar la Sol%ci'n "btenida
qu re/isa$os y ree%a$ina$os la respuesta o!tenida
P:0Pueden /eri#carque la ecuacin es correctaA:S
P:0C$o /eri#caran que la ecuacin es correctaA: For$ulando una ta!la para cada ecuacin y d&ndole /alores a para
encontrar el /alor de Heri#cando as que los /alores de % e y pasan por el origen y los puntosdadas en el pro!le$a"ntonces,
x y= x y x y= -x y
-1 y=-1 -1 -1 y=-(-1) 10 y=0 0 0 y=0 01 y=1 1 1 y=(-1) -1
P:"sta !ien, co$paren los puntos o!tenidos en las ta!las, con los puntos
gra#cados en el plano cartesiano
A: Si Profesor, los puntos son iguales, por tanto la ecuacin encontrada escorrecta0Herdad
P:=uc+ac+os,+an resuelto$uy !ienestepro!le$a
Ir msall
I
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R (1,-1)T
() -*
S (-1,-1)
Q (1,1)P (-1,1) 11
11-1-1
Y
-1-1
XT
() *
S (-1,-1) R (1,-1)
1
Q (1,1)P (-1,1) 1
-1
Y
-1
X
P:ien, a+ora 0podemos o!tener el $is$o resultado con otro $todo
(Con la ayuda del profesor)
A:l o!ser/ar los cuatro puntos y unirlos se for$a un cuadrado y si pasa$oslas rectas que pasa por el origen entonces tene$os tri&ngulos
P:Si, se for$an tri&ngulos 0Pero c$o llegaran a encontrar la ecuacin de larecta perpendicular a la +ipotenusa
A: "ncontrando la ecuacin de la altura de un tri&ngulo en el plano cartesiano2a siguientes for$aJ 1) encontrar el /alor de la pendiente de la +ipotenusa 8)aplicar el criterio de rectas perpendiculares para encontrar el /alor de lapendiente que tiene la altura del tri&ngulo >) usar los puntos del /rtice y/alor de la pendiente que for$an la altura para sustituir /alores en la ecuacinpunto pendiente y de esta $anera encontrar la ecuacin que pasa por elorigen y los puntos dados
Pendiente de la +ipotenusa Pendiente de la+ipotenusa
$QS D1 $PRD-1$P* D -1 por el criterio de rectas perpendiculares $S* D 1 por el criterio derectas perpendicularesP1(-1, 1) S1(-1, -1)y - y1 D $ (% K %1) y-y1 D $ (% K %1)y K 1 D -1 (% K (-1)) y K (-1)D 1 (% K (-1))y D -% y D %
P:=uy !ien, llegaron al $is$o resultado, 0/erdad
A:Si Profesor los $is$os resultados
P:0C$o podran aplicar este an&lisis en un pro!le$a de la /ida diaria
A:Si, por e4e$plo: Bna ciudad tiene calles que /an de norte a sur y a/enidas
que /an de este a oeste, todas tienen igual separacin "n las calles y a/enidas
se encuentran iglesias, super$ercado, estacin de !uses, restaurantes, etc y
en el centro de la ciudad se u!ica el parque 2os puntos P, S y R en los que se
L
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u!ica la estacin de !uses, la
iglesia y el super$ercado
respecti/a$ente, for$an un
tri&ngulo 6eter$ine el punto
$edio de la estacin de !uses a la
iglesia, 0Si una persona se despla'adel super$ercado al parque en
lnea, recta co$o le lla$ara$os a
ese despla'a$iento
P+ Perfecto, entonces podran
resol/er este pro!le$a
Problema:"n un pasillo entre dos
edi#cios, dos escaleras se apoyan
de la !ase de cada edi#cio +asta la
pared del otro de $odo que se cru'an, co$o se ilustra en la #gura Si las
escaleras tienen longitudes aD > $ y !D 8 $ y el punto de cruce est& a una
altura cD 1 $, encontrar las ecuaciones que pasan por las dos rectas que se
cru'an en el $is$o plano NOTA usar la tcnica de centrarse en el plano
cartesiano con los puntos (>,>) y (->,>)
A Claro profesor usando el $is$o procedi$iento anterior ya que se for$an
ta$!in tri&ngulosP+ "%celente, en +ora !uena, +e$os utili'ado el an&lisis de Pol(a para
resol/er e4ercicios de la /ida real
M