7/23/2019 solucin de un problema utilizando el metodo de polya

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Problema:

Considere los siguientes pares ordenados: P (-1,1), Q (1,1), R (1,-1) y S (-1,-1)

a) Grafquelos en un plano cartesiano!) "ncuentre las ecuaciones de dos rectas que pasan por el origen y los

puntos dadosc) Gra#que las rectas correspondientes a las ecuaciones encontradas, en el$is$o plano

d) "%plore las grcas tra'adas y presente algunos resultados geo$tricos

Curso: *P (ac+illerato *cnico Profesional)

Antecedentes:Se conoce que los estudiantes cuentan con las +a!ilidades, destre'as ycapacidades para poder gra#car diferentes tipos de funciones y colocar puntosen el plano cartesiano for$ando cualquier #gura geo$trica de acuerdo conlos puntos que gra#que s ta$!in sa!r& que es una ecuacin, unapendiente, co$o u!icar puntos en una recta nu$rica, la representacingrca de un punto en una recta, tendr& conoci$ientos so!re .nter/alos,ecuaciones de pri$er grado, punto $edio, distancia, $ediana, asi$etra yotras de#niciones Por ende son capaces de resol/er lo que se les plantea en elaula

Simbologa: P(Profesor) y A(lu$no)

Primera Etapa: Comprender el Problema

Se presenta el pro!le$a y se plantean las siguientes interrogantes:

P:0Qu es lo que pide 0"ntienden lo que se plantea 0Sa!en a qu se re#ere0Cu&les son los datos 02os datos son su#cientes

A: Si, nos pide gra#car los puntos P(-1,1), Q(1,1), R(1,-1) y S(-1,-1) en el planocartesiano y encontrar las ecuaciones de dos rectas que pasan por el origeny los puntos dados de$&s, que se encuentre alg3n tipo de relacingeo$trica entre las rectas tra'adas y los puntos

P:0Pueden gra#car estos puntos

A:Si, solo tene$os que despla'arnos en el plano cartesiano con respecto a lose4es % y y, seg3n las coordenadas de cada punto

P:0Qu $&s pueden decir del pro!le$a que se les plantea

http://clasehn.net/marcos/docugeneral.htmhttp://clasehn.net/marcos/docugeneral.htm

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S (-1,-1) R (1,-1)

Q (1,1)P (-1,1) 1

1-1

Y

-1

X

RECTANG!"S

S(-1,-1) R(1,-1)

Q(1,1)P(-1,1) 1

1-1

Y

-1

X

CA#RA#"

S(-1,-1) R(1,-1)

Q(1,1)P(-1,1) 1

1-1

Y

-1

X

TR$ANG!"S

S(-1,-1) R(1,-1)

Q(1,1)P(-1,1) 1

1-1

Y

-1

X

A:Que cada uno de los pares ordenados al ser gra#cado, queda representadoen cada uno de los cuadrantes del plano cartesiano

55 P: "l alu$no tra'a la grca de los puntos en el plano cartesiano

P:ien, entonces 0qu #guras geo$tricas se pueden for$ar a partir de estoscuatro puntos 0Qu podran +acer con estas #guras geo$tricas

A:Se pueden for$ar cuadrados, rect&ngulos y tri&ngulos Con estas #guras sepueden encontrar sus &reas, per$etros y otras cosas $&s co$o la+ipotenusa de los tri&ngulos

P:0"n la /ida diaria, ustedes pueden relacionar estepro!le$a con alguno en particular

A:Si profesor, por e4e$plo pode$os utili'ar el planocartesiano para u!icar alguna direccin dentro deuna ciudad, co$o ser la interseccin de una calle

con una a/enida "l par ordenado

(1,1)

deter$ina la

1

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interseccin de la /enida "uclides y la callePit&goras

P: 06e qu otra for$a pode$os relacionar estospuntos en la /ida diaria

A:Pode$os u!icar alg3n tipo de pe' o un !anco de

peces en el fondo del $ar "l pe' rosado est&u!icado en las coordenadas (-1,-1) *a$!in dentrode un saln colocando el plano cartesiano en el pisopode$os deter$inar la u!icacin del $o!iliariodentro del $is$o, y una /entana utili'ando el planocartesiano pode$os locali'ar las di/isiones de la/entana, $ediante la u!icacin de puntos

P:Excelente jvenes! Eso me gusta que estn participando. Por lo tanto, ya estamos listos paraproseguir en la siguiente etapa.

Seg%nda Etapa:Concebir %n Plan

P:02es +an planteado un pro!le$a si$ilar antes 0Conocen alg3n pro!le$arelacionado con este 07an /isto un pro!le$a $&s sencillo al planteado

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Q (11

1-1

Y

-1

P (-1,1)

R (1,-1)S (-1,-1)

A: Si, +e$os tra'ado puntos, rectas, circunferencias y +e$os gra#cadofunciones, pero no se nos +a pedido locali'ar #guras geo$tricas en grcasya tra'adas en el plano cartesiano y ta$poco deter$inar la ecuacin dealguna #gura

P:9/enes, 0Qu $&s se pueden i$aginar 0Podran decir algo $&s so!re estospuntos

A: Profesor, se puede o!ser/ar que los puntos P(-1,1) R(1,-1) for$an unarecta inclinada a la i'quierda y los puntos Q(1,1) S(-1,-1) for$an otra rectainclinada a la derec+a

P:;"%celente< ya que pode$os o!tener dos rectas con los puntos dados que

pasan por el origen, entonces podran decir$e 0qu es una pendiente

A: La Pendiente de una recta, se de#ne co$o una relacin dedespla'a$iento +ori'ontal a despla'a$iento /ertical, es decir

2a pendiente de una recta en un plano cartesiano, suele estarrepresentada por la letra $, y est& de#nida co$o la diferencia en el e4eydi/idido por la diferencia en el e4e xpara dos

puntos distintos1 1 1( , )P x y

y ( , )P x y

en unarecta, en s$!olos

1

1

y ym

x x

=

P:=uy !ien, recuerden que si la recta es /ertical, se dice que no est& de#nidasu pendiente y si es +ori'ontal su pendiente es cero a que conocen lo quees una pendiente 0podran decir$e que orientacin puede tener una recta

>

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A:Si, seg3n el signo de la pendiente, as es la orientacin de una recta Si esnegati/a, es +acia la i'quierda y si es positi/a +acia la derec+a Si la recta es/ertical se dice que no tiene pendiente y si es +ori'ontal es cero

A: Profesor, pero cuando una pendiente es positi/a y cuando es negati/aP:"so depende de los signos de las coordenadas % y y o de los

cuadrantes en que estn u!icados los pares ordenados =uy!uena o!ser/acin

P:=uy !ien, /eo que est&n $uy fa$iliari'ados con estos tr$inos "ntonces0Podran decir$e que tiene en co$3n las rectas que tra'a$os con los puntosanteriores

A: Que a$!as rectas pasan por cero o $e4or dic+o por el origen

P:0Podran decir$e cuando una recta pasa por el origen

A:Si Profesor, cuando el intercepto con el e&exes cero y ta$!in cuando elintercepto con el e&e yes cero

P:=uy !ien, teniendo en cuenta lo anterior 0Qu +an encontrado que lespuede ayudar a solucionar el pro!le$a planteado 0C$o podran asociar lodescu!ierto en lo que se pretende encontrar

A:Conoce$os que la #gura +a gra#car es una recta inclinada y sa!e$os quea$!as rectas pasan por el origen de$&s, conoce$os la fr$ula paradeter$inar la pendiente de una recta

P:ntes de continuar, ade$&s de la fr$ula de la pendiente, 0qu se requiere

ta$!in para encontrar la ecuacin de las rectas

A: 2a for$a de la ecuacin de una recta que pasa por un punto1 1 1( , )P x y

ytiene una pendiente mdada es:

P: =uy !ien, esta es la ecuacin que se conoce co$o punto-pendiente, la cualnos ser/ir& 4unto con la fr$ula de la pendiente para o!tener la ecuacin

P:0Qu relacin +ay entre la fr$ula de la pendiente y la ecuacin punto-

pendiente

A: Se puede deter$inar pri$ero la pendiente y luego utili'ar la ecuacinpunto-pendiente 4unto con uno de los pares ordenados que se nosproporcion para o!tener la ecuacin de la recta

P:0Qu esta!lece la ecuacin punto- pendiente

?

yy1=m(xx1)

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A:Que se utili'a para o!tener la ecuacin de una recta cuando se conoce supendiente y al $enos uno de sus puntos

P:=uy !ien lo que +an dic+o, entonces 0tienen claro c$o /an a resol/er elpro!le$a

A: Si Profesor, /a$os a resol/er el pro!le$a utili'ando la fr$ula de lapendiente y la ecuacin punto- pendiente

P: 0Qu otros tr$inos pueden $encionar que +agan referencia a estas#guras8

A: Simetra: correspondencia de posicin, for$a y ta$a@o

A: Punto medio: es el punto que se encuentra a la $is$a distancia decualquiera de los e%tre$os 6i/ide en dos partes iguales, y su fr$ula es

A: Mediana: es el seg$ento que une cualquier /rtice de un tri&ngulo con elpunto $edio del lado opuesto

P:"%celente

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() *

S (-1,-1) R (1,-1)

Q (1,1)P (-1,1) 1

1-1

Y

-1

X

()-*

S (-1,-1) R (1,-1)

Q (1,1)P (-1,1) 1

1-1

Y

-1

X

"n el cual 1 11, 1, 1 y 1y y x x= = = =

A: +ora encontrare$os la pendiente de la rectaque pasa por los puntos Q1 (1,1), Q8 (-1,-1)

"n el cual 1 11, 1, 1 y 1y y x x= = = =

P:;"%celente< a tienen las dos pendientes de lasrectas

A:Si, a+ora solo nos queda sustituir la pendiente yuno de los puntos en la ecuacin punto-pendiente "ntonces para la pri$era recta, con

1(1, 1)P

se tiene quey

1=1

,

x1=1

, ade$&s mD -1 , luego:

A:Para la segunda recta, con1(1, 1)Q

se tiene quey

1=1

,x

1=1

, ade$&s mD 1 , luego:

P:=uy !ien, encontraron las ecuaciones de dos rectas que pasan por el origen,las cuales son:

y=x y y=-x

P:+ora solo falta gra#car cada ecuacin que pasa por el origen

A: Si, entonces la grca de cada ecuacin quedara de la siguiente $anera:

E

1

1

1 1

1 1

1

y ym

x x

=

=

=

=

1 1( )( 1) 1( 1)

1 1

1 1

y y m x xy x

y x

y x

x

=

=

+ = +

= +

=

1 1( )

1 1( 1)1 1

1 1

y y m x x

y xy x

y x

x

=

=

=

= +

=

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TR$ANG!"S

S (-1,-1) R (1,-1)

1 Q (1,1)P (-1,1)

1-1

Y

-1

X

P: ;"%celente< a tienen las dos ecuaciones que pasan por el origen y susrespecti/as grcas Si notaron, cada ecuacin pasa por los puntosordenados que gra#ca$os anterior$ente

C%arta Etapa: E*aminar la Sol%ci'n "btenida

qu re/isa$os y ree%a$ina$os la respuesta o!tenida

P:0Pueden /eri#carque la ecuacin es correctaA:S

P:0C$o /eri#caran que la ecuacin es correctaA: For$ulando una ta!la para cada ecuacin y d&ndole /alores a para

encontrar el /alor de Heri#cando as que los /alores de % e y pasan por el origen y los puntosdadas en el pro!le$a"ntonces,

x y= x y x y= -x y

-1 y=-1 -1 -1 y=-(-1) 10 y=0 0 0 y=0 01 y=1 1 1 y=(-1) -1

P:"sta !ien, co$paren los puntos o!tenidos en las ta!las, con los puntos

gra#cados en el plano cartesiano

A: Si Profesor, los puntos son iguales, por tanto la ecuacin encontrada escorrecta0Herdad

P:=uc+ac+os,+an resuelto$uy !ienestepro!le$a

Ir msall

I

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R (1,-1)T

() -*

S (-1,-1)

Q (1,1)P (-1,1) 11

11-1-1

Y

-1-1

XT

() *

S (-1,-1) R (1,-1)

1

Q (1,1)P (-1,1) 1

-1

Y

-1

X

P:ien, a+ora 0podemos o!tener el $is$o resultado con otro $todo

(Con la ayuda del profesor)

A:l o!ser/ar los cuatro puntos y unirlos se for$a un cuadrado y si pasa$oslas rectas que pasa por el origen entonces tene$os tri&ngulos

P:Si, se for$an tri&ngulos 0Pero c$o llegaran a encontrar la ecuacin de larecta perpendicular a la +ipotenusa

A: "ncontrando la ecuacin de la altura de un tri&ngulo en el plano cartesiano2a siguientes for$aJ 1) encontrar el /alor de la pendiente de la +ipotenusa 8)aplicar el criterio de rectas perpendiculares para encontrar el /alor de lapendiente que tiene la altura del tri&ngulo >) usar los puntos del /rtice y/alor de la pendiente que for$an la altura para sustituir /alores en la ecuacinpunto pendiente y de esta $anera encontrar la ecuacin que pasa por elorigen y los puntos dados

Pendiente de la +ipotenusa Pendiente de la+ipotenusa

$QS D1 $PRD-1$P* D -1 por el criterio de rectas perpendiculares $S* D 1 por el criterio derectas perpendicularesP1(-1, 1) S1(-1, -1)y - y1 D $ (% K %1) y-y1 D $ (% K %1)y K 1 D -1 (% K (-1)) y K (-1)D 1 (% K (-1))y D -% y D %

P:=uy !ien, llegaron al $is$o resultado, 0/erdad

A:Si Profesor los $is$os resultados

P:0C$o podran aplicar este an&lisis en un pro!le$a de la /ida diaria

A:Si, por e4e$plo: Bna ciudad tiene calles que /an de norte a sur y a/enidas

que /an de este a oeste, todas tienen igual separacin "n las calles y a/enidas

se encuentran iglesias, super$ercado, estacin de !uses, restaurantes, etc y

en el centro de la ciudad se u!ica el parque 2os puntos P, S y R en los que se

L

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u!ica la estacin de !uses, la

iglesia y el super$ercado

respecti/a$ente, for$an un

tri&ngulo 6eter$ine el punto

$edio de la estacin de !uses a la

iglesia, 0Si una persona se despla'adel super$ercado al parque en

lnea, recta co$o le lla$ara$os a

ese despla'a$iento

P+ Perfecto, entonces podran

resol/er este pro!le$a

Problema:"n un pasillo entre dos

edi#cios, dos escaleras se apoyan

de la !ase de cada edi#cio +asta la

pared del otro de $odo que se cru'an, co$o se ilustra en la #gura Si las

escaleras tienen longitudes aD > $ y !D 8 $ y el punto de cruce est& a una

altura cD 1 $, encontrar las ecuaciones que pasan por las dos rectas que se

cru'an en el $is$o plano NOTA usar la tcnica de centrarse en el plano

cartesiano con los puntos (>,>) y (->,>)

A Claro profesor usando el $is$o procedi$iento anterior ya que se for$an

ta$!in tri&ngulosP+ "%celente, en +ora !uena, +e$os utili'ado el an&lisis de Pol(a para

resol/er e4ercicios de la /ida real

M