George PólyaNació: 13 Dec 1887 in Budapest, HungaryMurió: 7 Sept 1985 in Palo Alto, California, USA

Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en los

siguientes cuatro pasos:

1.- Entender el problema.

2.- Configurar un plan

3.- Ejecutar el plan

4.- Probar el resultado.

Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nosparece importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema". Pararesolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a larespuesta. Para resolver un problema, uno hace una pausa, reflexiona y hastapuede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes para dar larespuesta

Paso 1: Entender el Problema.

Paso 2: Configurar un Plan.

Paso 3: Ejecutar el Plan.

Paso 4: Mirar hacia atrás.

{¿Entiendes todo lo que dice?

1.-Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).2.Usar una variable.

Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.

{¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?

{ ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?

3.Resolver un problema similar más simple

{No tengas miedo de

volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.

{¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?

{¿Distingues cuáles son los datos?

4.Hacer una figura. {¿Adviertes una solución más sencilla?

{¿Sabes a qué quieres llegar? 5.Hacer un diagrama

{¿Hay suficiente información?{¿Hay información extraña?

6.Usar razonamiento indirecto

{¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?

7.Usar razonamiento directo

1. La suma de dos números es 18 y la de sus cuadrados es 180, ¿Cuáles son los números?

Entender el problemaIdentificación de variables

Configurar un plan

Relación de variables

Ejecutar el plan

Resolver las funciones o ecuaciones

Entender el problemaIdentificación de variables

Configurar un planRelación de variables

Ejecutar el planResolver las funciones o ecuaciones

h= altura en (m)t= tiempo en (s)

3. Determina las dimensiones de un rectángulo, si superímetro es de 280m y su área es de 4000m2

Entender el problemaIdentificación de variables

Configurar un planRelación de variables

Ejecutar el planResolver las funciones o ecuaciones

Base = xAltura = yPerímetro= 280mÁrea = 4000m2

P = x+x+y+y = 2x+2yA = x.y

2x + 2y = 280(x) ( y) = 4000

x

y

4. La base de un triángulo es 3 veces su altura. Su área es de 150 m2,¿Cuáles son sus dimensiones de la base y la altura

Entender el problemaIdentificación de variables

Configurar un planRelación de variables

Ejecutar el planResolver las funciones o ecuaciones

b = ?h= ?Datosb=3hÁrea= 150m2

Fórmulas

A = (b x h)/2 1

b=3h 2Sustituyendo 2 en 1150 = (3h x h)/2

3h2 = 300

3h2 = 300

h2 = 300/3

h =

h = 10mb= 3h = 3(10) = 30m

1. La suma de un número y su reciproco es . Hallar los números

Entender el problemaIdentificación de variables

Configurar un planRelación de variables

Ejecutar el planResolver las funciones o ecuaciones

X1/X X + 1/X = 26/5 X2 + 1 = 26/5 X

X2 - 26/5 X + 1 = 0

5X2 – 26X +5 = 0

Por fórmula generala= 5 b= -26 C = 5

Entender el problemaIdentificación de variables

Configurar un planRelación de variables

Ejecutar el planResolver las funciones o ecuaciones

b = Xh = X + 2

X2 + 2X – 80 = 0(X + 10 ) (X – 8 ) = 0(X + 10 ) = 0 X1 = - 10(X – 8 ) = 0 X2 = 8

b = 8h = X + 2 = 8 + 2 = 10

1.- La altura de un rectángulo es 2 metros mayor que su base. Hallar sus dimensiones sabiendo que su área es:a) 80 metros cuadrados

80m2

Entender el problemaIdentificación de variables

Configurar un planRelación de variables

Ejecutar el planResolver las funciones o ecuaciones

b = Xh = X + 2Cada dimensión aumenta en 2m.b = X +2h = X + 2 + 2 = X + 4

X2 + 6X – 40 = 0( x +10)(x – 4 ) = 0

( x +10) = 0 X1 = - 10 (x – 4 ) = 0 X2 = 4

b= X + 2h = X + 4 Los valores negativos se descartanb= X + 2 = 4 + 2 = 6h = X + 4 = 4 + 4 = 8b= 6h= 8

b) 48 metros cuadrados cuando cada dimensión se aumenta en 2 metros

48m 2

Entender el problemaIdentificación de variables

Configurar un planRelación de variables

Ejecutar el planResolver las funciones o ecuaciones

b = 2Xh = X + 2

c) 30 metros cuadrados si se duplica su base

30 m 2

Entender el problemaIdentificación de variables

Configurar un planRelación de variables

Ejecutar el planResolver las funciones o ecuaciones

b = 2Xh = X + 2 - 5

d) Aumenta en 70 metros cuadrados cuando se disminuye su altura en 5 metros y se duplica su base

70 m 2

La sala de la casa de Ronaldo es 2 ft más larga que ancha y tiene un área de 168 ft2

.¿Cuáles son las dimensiones de esa habitación?

Entender el problemaIdentificación de variables

Configurar un planRelación de variables

Ejecutar el planResolver las funciones o ecuaciones

a = XL = X + 2 A = 168 ft 2

168 ft2

Problema: A partir de una pieza cuadrada de hoja de lata o cartón, se desea

construir una caja con base cuadrada y sin tapa, quitando cuadrados en las

esquinas de 2cm por lado y doblando hacia arriba los lados, si la caja debe tener

98 cm 3 ¿ Cuáles son las dimensiones de la pieza de hoja de lata o cartón qué

deberá usarse?

Largo(cm)

Ancho(cm)

Área (cm2)

Altura(cm)

Volumen(cm3)

Dimensiones de la placa (cm2)

1 49 49 2 98 5 X 53 = 265

2 24 48 2 96 6 x 28 = 168

3 16 48 2 96 7 x 20 = 140

4 12 48 2 96 8 x 16 = 128

5 9 45 2 90 9 x 13 = 117

6 8 48 2 96 10 x 12 = 120

7 7 49 2 98 11 x 11 = 121

1.- ¿Qué puedes concluir con los datos de la tabla?

2.-¿Con qué dimensiones de la placa se obtiene un mejor rendimiento?R= 11cm x 11cm3.-¿Con qué dimensiones se obtiene mayor volumen?R= 1cm x 49cm y 7 cm x 7 cm4.-¿Qué caja recomendarías fabricar?R= 7 cm x 7 cm5.- El volumen ¿De qué depende?R= Del Área6.- El área ¿De qué depende?R= Del largo y ancho7.- Se cumple lo siguiente:• A mayor área, mayor volumenR= Si se cumple• A mayor dimensión de la placa, mayor volumenR= No se cumple• A mayor dimensión de la placa, mayor áreaR= No se cumple

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjuntodado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) deforma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) delcodominio

Dominio

X

Codominio

f(x)

En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto,llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, demanera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos delRecorrido o Rango.

Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que acada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.

Clasifica las siguientes situaciones en relaciones (R) o funciones ( f )

________ Asientos en un camión------- Personas en una parada de autobús.

________ Número de alumnos --------- Bancas en un salón de clases.

________ El balón de futbol ------------ Partido de futbol.

________ La televisión en una casa-------Integrantes de la familia.

________ El número de tortas en una tienda ------- Ganancias por venderlas

________ El n de padres de familia o tutores_____ n de alumnos de una

escuela

________ Kilos de corte de café______ Salario pagado por el corte

________ Desayunos del comedor _____Alumnos de la escuela

________ Vendedoras del bachillerato_______ Alumnos de la escuela

________ Maestros del bachillerato ________ Plan de estudios (56 Materias

correspondientes al bachillerato)

________ Asignación de áreas verdes_______ Grupos de la escuela

________ Baños de la escuela _______ Alumnos de la escuela

Clasifica las siguientes situaciones en relaciones (R) o funciones ( f )

___R_____ Asientos en un camión------- Personas en una parada de

autobús.

___f_____ Número de alumnos --------- Bancas en un salón de clases.

___f_____ El balón de futbol ------------ Partido de futbol.

___R_____ La televisión en una casa-------Integrantes de la familia.

___f_____ El número de tortas en una tienda ------- Ganancias por

venderlas

___f_____ El n de padres de familia o tutores_____ n de alumnos de

una escuela

___f_____ Kilos de corte de café______ Salario pagado por el corte

___R_____ Desayunos del comedor _____Alumnos de la escuela

___R_____ Vendedoras del bachillerato_______ Alumnos de la escuela

___R_____ Maestros del bachillerato ________ Plan de estudios (56

Materias correspondientes al bachillerato)

___f_____ Asignación de áreas verdes_______ Grupos de la escuela

___R_____ Baños de la escuela _______ Alumnos de la escuela

VALOR 20%

EJEMPLO:

1.- Asientos en un camión------- Personas en una parada de autobús.

El n de personas depende del n de asientos

Variable independiente: Asientos en un camión

Variable dependiente: N de personas

Actividad: De las anteriores situaciones, menciona quien depende de quien.

Identifica la variable dependiente e independienteNúmero de alumnos: Variable independiente

Bancas en un salón de clases: Variable dependiente

El balón de futbol: Variable independiente

Partido de futbol: Variable dependiente

La televisión en una casa: Variable dependiente

Integrantes de la familia: Variable Independiente

El número de tortas en una tienda: Variable independiente

Ganancias por venderlas: Variable dependiente

El n de padres de familia o tutores: Variable dependiente

N de alumnos de una escuela: Variable independiente

Kilos de corte de café: Variable independiente

Salario pagado por el corte: Variable dependiente

Desayunos del comedor: Variable dependiente

Alumnos de la escuela: Variable independiente

Vendedoras del bachillerato: Variable dependiente

Alumnos de la escuela: Variable independiente

Maestros del bachillerato: Variable dependiente

Plan de estudios : Variable independiente

(56 Materias correspondientes al bachillerato)

Asignación de áreas verdes: Variable dependiente

Grupos de la escuela: Variable independiente

Baños de la escuela: Variable dependiente

Alumnos de la escuela: Variable independiente

Número de alumnos: Variable independiente

Bancas en un salón de clases: Variable dependiente

f(x) = X

X = Variable independiente

f(x) = variable independiente

F(x) = x

Si x = 4, entonces f(x) = 4

Si x= 10, entonces f(x) = 10

Si f(x) = 5x2

El balón de futbol: Variable independiente

Partido de futbol: Variable dependiente

La televisión en una casa: Variable dependiente

Integrantes de la familia: Variable Independiente

Actividad: Construir 10 ejemplos, donde se reflejen claramente la variable independiente y dependiente

Ejemplo:

1.- Kilowatts consumidos contra el pago de luz

2.- Calificaciones obtenidas contra promedio

3.- # de faltas a una clase contra aprendizaje obtenido

Vi

Vi

Vi Vd

Vd

Vd