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UNIDAD 4

SOLUCIÓN GRÁFICA

DE PROBLEMAS DE P. L.

de dos dimensiones

especiales.

Investigación de operaciones

125

Introducción

Después de construir modelos matemáticos de programación l ineal, necesitamos desarrollar métodos que nos permitan encontrar la solución de estos modelos. En esta unidad se

resolverán modelos de P. L. de dos variables (2 dimensiones) por el método gráfico.

Los pasos a seguir en este método son:

Aunque dif íci lmente se encuentran ejemplos reales de dos dimensiones, nos sirven como antecedente para comprender mejor el método símplex analítico o tabular, el cual se estudiará en la siguiente unidad. Este método se uti l iza para resolver problemas de P. L. de n dimensiones.

Además realizaremos un análisis de sensibil idad, el cual consiste en estudiar el comportamiento de la solución óptima cuando se cambian los coeficientes de la función objetivo o las cantidades l imitantes de las restricciones. Habrá modelos cuya solución no exista o bien no sea única, también analizaremos algunos ejemplos de este tipo, los cuales se presentan continuamente en la realidad.

4.1. Gráfica de rectas y regiones en el plano

Una línea recta es un objeto geométrico. Euclides definió la recta como la distancia más corta entre dos puntos en el plano. Más tarde Descartes asocia a toda línea recta una representación algebraica a través de una ecuación lineal de dos variables. La definición en geometría analítica de la línea recta es:

Decimos que una línea recta que pasa por el punto (x0, y0) está formada por todos los puntos del plano cartesiano (x, y) tales que la relación

Unidad 4

126

my yx x

0

0

permanece constante. A este número se le da el nombre de pendiente de una línea recta y se denota con la letra m.

Geométricamente la pendiente de una línea recta es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje positivo de las abscisas (ángulo de inclinación) medido en el sentido contrario al movimiento de las manecil las del reloj (véase la f igura 4.1.).

Figura 4.1. Gráf ica de una línea recta.

La ecuación general de una línea recta es de la forma Ax + By + C = 0, donde A, B y C son números reales. Ésta es una ecuación de primer orden con dos incógnitas que tiene un grado de l ibertad, esto quiere decir que podemos dar un valor arbitrario a cualquiera de las incógnitas y después despejar el valor de la otra variable. El conjunto solución de esta ecuación es inf inito y representa todos los puntos que forman la línea recta.

Ejemplo 1

Obtener la gráf ica de la ecuación 3x – 2y = 8.

Sabemos que dados dos puntos, sólo existe una recta que pasa por ellos, por lo tanto, basta conocer estos dos puntos que pertenecen a la línea recta para poderla trazar.


127

1. Damos un valor arbitrario a la variable y que puede ser el valor cero (y = 0), sustituimos en la ecuación: 3x – 2(0) = 8. Se resuelve la ecuación

resultante 3x = 8. Despejamos x y obtenemos x83

, por lo que el primer

punto de la recta es 83

0, .

2. En la ecuación 3x – 2y = 8, damos el valor arbitrario 2 a la variable x (x = 2), sustituyendo en la ecuación se tiene 3(2) – 2y = 8. La ecuación

resultante es 6 – 2y = 8. Despejamos y para obtener y8 6

2 donde y = – 1.

Se obtiene así el segundo punto de la recta: (2, – 1).

3. Localizamos estos puntos en un plano cartesiano y trazamos la recta cuya ecuación es 3 2 8x y .

Ejercicio 1

1. La pendiente de una línea recta es ______________________ del ángulo de inclinación.

2. Euclides def inió la línea recta como _____________________ más corta entre dos puntos en el plano.

yy

x

Unidad 4

128

3. La intersección de la ecuación x – 3y = 10 con el eje de las ordenadas es:

a) (0, 10)

b) 0103

,

c) 0103

,

d) 03

10,

4. La gráf ica de la ecuación x + y = 0 es:

5. La gráf ica de la ecuación 2x1 + 4x2 = 4 es:

a) b)

c) d)

6. Obtener la gráf ica de la ecuación 6x – 5y = 30

y

x

y

x

y

x

y

x


129

4.1.1. Gráfica de desigualdades lineales de dos variables

Una desigualdad lineal de una variable, así como una desigualdad lineal de dos variables, tienen por solución una región del plano cartesiano.

Por ejemplo, si tenemos la desigualdad x + y > 0, el punto (2, 3) pertenece al conjunto solución de esta desigualdad ya que 2 + 3 = 5 > 0 y, en general, el conjunto solución de esta desigualdad está dada por el plano que se encuentra sobre la recta x + y = 0. Gráf icamente se representa como la región sombreada (véase la f igura 4.2.):

Figura 4.2.

En este caso los puntos de la recta no pertenecen al conjunto solución, ya que estos puntos hacen que se cumpla la igualdad y no la desigualdad. En los modelos de I. O. generalmente se permiten ambos, es decir, la igualdad y la desigualdad. Esto lo denotamos uti l izando los símbolos < (menor o igual que) o > (mayor o igual que). En estos casos la línea recta pertenece al conjunto solución y se marca como una línea continua.

Si queremos graf icar una desigualdad l ineal, se procede como sigue:

1. Graf icar la igualdad asociada a la restricción. Con esto obtenemos una línea recta, la cual divide al plano cartesiano en dos regiones.

2. Para saber cuál de las dos regiones satisface la desigualdad, tomamos un punto cualquiera del plano cartesiano. Este punto se sustituye en la desigualdad.

y

x

Unidad 4

130

3. Si la desigualdad se cumple, entonces la región donde tomamos el punto es la región solución. Si no satisface la desigualdad entonces la región solución es la opuesta a donde tomamos el punto.

Ejemplo 2

Obtener la gráf ica de la desigualdad 5x1 + 3x2 < 10

1. Se traza la gráf ica de la igualdad asociada: 5x1 + 3x2 = 10

2. Se toma un punto, por ejemplo, (5, 10) que está por encima de la recta.

3. Lo sustituimos en la desigualdad 5(5) + 3(10) < 10 y verif icamos que ésta se cumpla:

5(5) + 3(10) < 1025 + 30 < 10

55 < 10

Observamos que esta expresión es falsa, por lo tanto se toma la región que no incluye al punto seleccionado. Esto quiere decir que la región solución es la sombreada en la siguiente f igura:


131

Figura 4.3.

Ejemplo 3

Obtener la gráf ica de la desigualdad 2x1 + 3x2 < 6

1. Se traza la gráf ica de la igualdad asociada 2x1 + 3x2 = 6

2. Se elige el punto (0, 0) que está por debajo de la recta.

3. Sustituimos en la desigualdad y verif icamos si se satisface:

2 0 3 0 6

0 0 6

0 6

( ) ( )

Unidad 4

132

El origen cumple con la desigualdad, por lo tanto se toma la región que incluye al origen, la gráf ica es la región sombreada en la siguiente f igura:

Figura 4.4.

Ejemplo 4

Obtener la gráf ica de la desigualdad 2x1 + 6x2 > 12

1. Se traza la gráf ica de la igualdad asociada.


133

2. Se elige el punto (2, 0) que está por debajo de la línea recta.

3. Sustituimos este punto en la desigualdad y verif icamos si la satisface:

2(2) + 6(0) > 124 + 0 > 12

4 > 12 Esta última expresión es falsa, por lo tanto, se toma la región que no contiene al punto (2, 0). La región es la parte sombreada en la siguiente f igura:

Figura 4.5.

Ejercicio 2

1. La gráf ica de la desigualdad 3x1 – 5x2 > 15 es:

–3

3

Unidad 4

134

2. Para graf icar una desigualdad lineal primero se traza la _______________ asociada.

3. La gráf ica de la desigualdad x1 > 0 es:

a)

b)

4. La gráf ica de la desigualdad x2 es:

5. Obtener la gráf ica de la desigualdad 3x1 + 6x2 < 30

6. Obtener la gráf ica de la desigualdad 2x1 + 10x2 > 20

x2

x2

x1

y1


135

4.2. Región de soluciones factibles en maximización

En la sección anterior aprendimos a graf icar desigualdades l ineales con dos incógnitas, esto nos va a ayudar a obtener la solución de problemas de P. L., los cuales se resuelven primero por método gráf ico; para posteriormente uti l izar un método analítico.

Un modelo de maximización de P. L. de dos dimensiones tiene la forma general:

Zmáx = f(x1, x2) Sujeto a las restricciones (s. a.):a11x1 + a12x2 < b1

a21x1 + a22x2 < b2

.

.

.an1x1 + an2x2 < bn

con las condiciones de no negatividad:x1 > 0x2 > 0

Donde:Zmáx = f(x1, x2) es una función lineal de dos variables, la cual queremos maximizar; un conjunto de desigualdades lineales de dos variables, las cuales pueden ser de la forma menor o igual que y la condición de no negatividad para las variables.

Lo primero que debemos hacer es buscar la región del plano que contiene los puntos solución de todas las desigualdades, para hacerlo primero debemos graf icar cada una de las desigualdades y posteriormente empalmar todas las gráf icas, la intersección de todas las regiones solución, es llamada . O bien en un solo sistema coordenado se grafica al conjunto de restricciones (rectas y regiones) y la intersección será la región de soluciones factibles.

Unidad 4

136

Ejemplo 5

Obtener la región de soluciones factibles del siguiente conjunto de desigualdades.

3x1 + 2x2 < 6x1 + x2 > 0

Graficamos por separado cada una de las desigualdades y obtenemos:

3x1 + 2x2 < 6

x1 + x2 > 0

Si empalmamos estas dos gráf icas, podremos observar que se intersectan en una franja, que se forma entre las dos líneas rectas.


137

Esta zona contiene los puntos solución de ambas desigualdades, por ejemplo, el punto (1, 1) está dentro de esta zona y al sustituirlo en las desigualdades las satisface:

3(1) + 2(1) < 6 1 + 1 > 0 3 + 2 < 6 2 > 0 5 < 6

Sin embargo, el punto (4, 5) sólo está en la zona de la desigualdad x1 + x

2 > 0,

esto quiere decir que solo satisface esta desigualdad. Para verif icarlo se sustituye en ambas desigualdades el punto mencionado.

3(4) + 2(5) < 6 4 + 5 > 0 12 + 10 < 6 9 > 0 22 < 6 Falso Verdadero

Por lo tanto este punto no pertenece a la región de soluciones factibles.

Nota. La región de soluciones factibles de un conjunto de desigualdades también se llama región factible.

Cuando tenemos varias desigualdades, la zona factible puede ser de dos formas:

Unidad 4

138

Si la región factible es no acotada, quiere decir que se puede extender indefinidamente hacia algún extremo del plano cartesiano. Si es acotada, lo que tenemos es un polígono i rregular que contiene todos los puntos solución del sistema. Es importante añadir que las líneas del polígono también pertenecen a la zona factible; recordemos que estamos trabajando con desigualdades donde la igualdad se incluye.

Ejemplo 6

Obtener la región factible del siguiente conjunto de desigualdades.

3x1 + 2x2 < 18x2 < 6x1 < 4x1 > 0x2 > 0

a) Graf icamos la primera desigualdad que es 3x1 + 2x2 < 18


139

b) Graf icamos la segunda desigualdad que es x2 < 6

c) Graf icamos la tercera desigualdad que es x1 < 4

d) Las desigualdades cuarta y quinta nos indican que nos l imitamos a valores positivos de x1 y x2 dentro del primer cuadrante.

–6

–3

3

6

Unidad 4

140

e) Finalmente, si colocamos todas las gráf icas en un mismo plano cartesiano y sombreamos sólo la parte donde se traslapan, obtenemos la zona factible.

En este caso obtuvimos un polígono irregular de 5 lados.

Otro método

Podemos graf icar todas las desigualdades sobre un mismo sistema coordenado marcando con una f lecha la región que corresponde a cada una. La intersección es la región factible como se muestra en la f igura 4.6.

Figura 4.6.


141

Ejemplo 7

Obtener la región factible del siguiente problema de P. L.

s.a.: Zmáx = 3x1 + x2

3x1 + 2x2 < 12 x1 + x2 > 1 x2 < 3 x1 > 0 x2 > 0

Graficamos cada una de las desigualdades:

3x1 + 2x2 < 12

a) Graf icamos primero la igualdad 3x1 + 2x2=12

x

x

x

1

2

2

0

3 0 2 12

122

6

0 6

( )

( , )

x

x

x

2

1

1

0

3 2 0 12

123

4

4 0

( )

( , )

Unidad 4

142

b) Ahora sustituimos el punto (6, 6) en la desigualdad.

3 2 12

3 6 2 6 12

18 12 12

30 12

1 2x x

( ) ( )

Como la desigualdad es falsa, se considera la región que no contiene el punto.

x1 + x

2 > 1

a) Graf icamos primero la igualdad asociada x1 + x

2 = 1

x

x

x

1

2

2

0

0 1

1

0 1( , )

x

x

x

2

1

1

0

0 1

1

1 0( , )


143

b) Ahora sustituimos el punto (2, 2) en la desigualdad.

x x1 2 1

2 2 1

4 1

Como la última expresión es verdadera, entonces el punto es un punto solución de la desigualdad y, por lo tanto, se considera la región que lo contiene.

x2 < 3, x1 > 0, x2 > 0

a) Graf icamos las igualdades asociadas a cada desigualdad. La primera es una línea paralela al eje x1 al igual que la tercera. La segunda es una línea paralela al eje x2 que pasa por el origen.

Nota. En este tipo de rectas no es necesario obtener dos puntos para graficarlas.

Unidad 4

144

b) Las desigualdades x1> 0, x2 >0 nos l imitan al primer cuadrante del plano cartesiano, mientras que la desigualdad x2 < 3 se satisface con los puntos que están por debajo de la recta asociada, por lo tanto, la zona solución de estas desigualdades es:

Ahora colocamos todas las gráf icas en un plano cartesiano y obtenemos la región factible del problema de P. L.

Obtenemos un polígono irregular de 5 lados. Cada uno de los segmentos de línea que l imitan la región factible, recibe el nombre de fronteras. La intersección de dos fronteras forma un vértice. Decimos que dos vértices son adyacentes si comparten una frontera.

Se asegura (como resultado de un teorema) que la solución óptima de nuestro problema (al maximizar o minimizar la función objetivo) se encuentra en uno de los vértices de la región factible.

x2

x1

2

1

4

3

–1

–2

–3

–4

–2–4 2 4


145

Para saber cuál de los cinco vértices es el punto solución óptima, tenemos que graf icar la función objetivo. Para hacerlo, tomamos un punto arbitrario de la región factible y lo sustituimos en la función objetivo para obtener un valor inicial. Por ejemplo, tomemos el punto (2, 2).

Zmáx=3x1 + x2

Z(2, 2)=3(2) + 2 Z(2, 2)=8

Ahora buscamos todos los puntos del plano para los cuales la función objetivo tiene el valor 8. Estos puntos los encontramos graf icando la ecuación 3x1 + x2=8

Sólo un segmento de esta recta cae dentro de la región factible, es justamente este segmento el que contiene todos los puntos que son las combinaciones que pueden tomar nuestras variables de decisión, sin embargo, todas ellas dan a nuestra función objetivo el valor constante de ocho. Sabemos que el lado derecho de una ecuación lineal determina la posición de la recta dentro del sistema cartesiano, sin afectar la pendiente de la misma. Se trata de que la función objetivo asuma el máximo valor posible, entonces tomamos un valor mayor a ocho, digamos 10 y graf icamos dentro del sistema cartesiano, es decir, se graf ica la ecuación 3x1 + x2=10

Unidad 4

146

Al darle un valor más grande a nuestra función objetivo, ésta se desplazó hacia la derecha, entonces debemos desplazarla en esta dirección sin salirnos de la región factible. Esto lo podemos hacer con ayuda de unas escuadras y unas hojas mil imétricas, para poder identif icar el último punto que toca la función objetivo.

Así encontramos que la solución óptima del modelo de P. L. dado es x1 = 4 y x2 = 0 con el cual obtenemos un valor máximo de la función objetivo en Z = 12, ya que no existe ningún punto dentro de la región factible que haga que la función objetivo tome un valor mayor a 12.


147

Ejemplo 8

Recordemos que en la primera unidad se planteó el siguiente problema:

La empresa Patito produce dos tipos de detergentes, uno para ropa blanca y otro para ropa de color. El detergente de ropa blanca deja una ganancia de $ 2 por l itro vendido, mientras que el de ropa de color deja una ganancia de $ 3. La empresa sólo puede producir 10 l itros del de color y 15 del de ropa blanca al día. Los vendedores pueden vender como máximo 15 l itros de detergente al día sin importar de cual se trate. ¿Cuál es la combinación que maximiza las ganancias de la empresa?

El modelo de programación l ineal asociado es:

Zmáx = 2x + 3y

s.a.: x + y < 15 (1)

x < 15 (2)

y < 10 (3)

x > 0 (4)

y > 0 (5)

Si resolvemos este modelo util izando el método gráf ico, obtenemos:

Unidad 4

148

a) Graf icamos cada una de las desigualdades sobre un mismo sistema cartesiano para hallar la zona factible.

b) Tomamos un punto arbitrario dentro de la zona factible y lo sustituimos en la f unción objetivo, para hal lar un valor y poder graf icarla. Por ejemplo el punto (5, 5); por lo tanto, Z(5, 5)= 2(5) + 3(5) = 25, con lo que tenemos que graf icar la ecuación

2x + 3y=25

c) Damos un valor mayor (Z = 28) y graf icamos, para ver hacia dónde se mueve la función objetivo.

4 2y

15

10

20

–5 5 10 15 20 2

1

3

5

x


149

En general siempre que demos un valor mayor al lado derecho de una ecuación lineal de dos variables, esta se va a desplazar a la derecha sobre el eje horizontal. Si la línea es paralela a este eje, entonces se desplaza hacia arriba.

d) Desplazamos la función objetivo en la dirección de maximización, sin salirnos de la región factible. El último punto que toque es la solución óptima.

Esto quiere decir que debemos producir 5 l itros del detergente para ropa blanca y 10 litros de detergente para ropa de color, con esta combinación la empresa va a tener una ganancia de $ 40.

Unidad 4

150

Ejercicio 3

1. Un modelo de P. L. está formado por una función _________________ que se tiene que maximizar o minimizar.

2. El método gráf ico se uti liza para resolver problemas en __________ dimensiones.

3. El área donde coinciden todas las gráf icas de las desigualdades se l lama:

a) Solución.b) Región factible.c) Región no factible.

4. Si la región factible es acotada, lo que obtenemos es un:

a) Cuadrado.b) Triángulo.c) Polígono irregular.

5. Los candidatos a solución del problema son:

a) Los puntos interiores.b) Los puntos exteriores.c) Los vértices.

6. Obtener la región factible del siguiente modelo de programación l ineal, además de la solución óptima con el valor de Zmáx:

Zmáx = 4x1 + x2

s.a.: 6x1 + 2x2 < 12 x1 + 2x2 > 1 x2 < 3 x1 > 0 x2 > 0


151

4.3. Región de soluciones factibles en minimización

En esta sección resolveremos problemas de P. L. por método gráf ico, donde la función objetivo se va a minimizar. Como los pasos a seguir son esencialmente los mismos, vamos a desarrollar el método resolviendo el siguiente problema.

Ejemplo 9

Resolver el siguiente problema de P. L.

Zmín = 3x1 + x2 s.a.:

3 2 12

1

3

0

0

1 2

1 2

2

1

2

x x

x x

x

x

x

Su región factible ya la calculamos, por lo tanto sólo la dibujamos:

Ahora debemos graf icar la función objetivo. La gráf ica queda entonces de la siguiente forma:

Unidad 4

152

La diferencia es que ahora le damos un valor menor a la función objetivo y observamos hacia donde se desplaza. Por ejemplo, con el valor Z = 4 graf icamos la línea recta 3x1 + x2=4

La recta se desplaza hacia la izquierda, por lo tanto debemos desplazar esta recta paralelamente hasta alcanzar el último punto de la región factible.


153

De esta manera, la solución óptima se encuentra en el vértice (0, 1), donde la función objetivo toma el valor Zmín=1.

La única diferencia para resolver un problema de maximizar o de minimizar es la dirección en la que se debe desplazar la línea que representa la función objetivo.

Ejercicio 4

Obtener la región factible de los siguientes modelos de programación l ineal, además de la solución óptima

1. Zmín=4x1 + x2 s.a.:

6 2 12

2 1

3

1 2

1 2

2

x x

x x

x

x

x1

2

0

0

2. Zmín

=x1 + 4x

2

s.a.:

6 2 12

2 2

3

1 2

1 2

1

x x

x x

x

x

x1

2

0

0

4.4. Solución gráfica con propiedades especiales

Al igual que en los sistemas de ecuaciones lineales, existen tres casos posibles:

Unidad 4

154

En las secciones anteriores estudiamos ejemplos que tenían solución única, sin embargo, existen aplicaciones en las cuales sucede alguno de los otros dos casos posibles. Para poder resolver estos problemas se tienen que hacer algunas modif icaciones al método, las cuales presentamos a continuación.

Cuando la región factible del modelo es no acotada, en ocasiones al desplazar la función objetivo, de tal manera que ésta se optimice, la recta no alcanza un último punto, en este caso decimos que el problema tienen una solución i limitada.

Ejemplo 10

Resolver por método gráf ico el siguiente problema de P. L.

Z x x

x x

x

x

m xá

s.a.:

2

2 10

3

0

1 2

1 2

2

1

x2 0

a) Graf icamos cada una de las desigualdades para hallar la región factible.

máx

3


155

En este caso la región factible es no acotada, por lo tanto puede suceder que la solución del problema sea il imitada.

b) Tomamos un punto arbitrario dentro de la región factible y lo sustituimos en la función objetivo, para hallar un valor y graf icar. Por ejemplo el punto (20, 2). Z(20, 2) = 2(20) – 2 = 38. Graf icamos entonces la ecuación 2x1 – x2 = 38

c) Si desplazamos esta recta hacia la derecha para que tome valores cada vez mayores, tenemos el inconveniente de que la región factible es no acotada. Esto quiere decir que el problema tiene soluciones il imitadas y que la función puede crecer tanto como queramos.

Cuando las gráf icas solución de las desigualdades no tienen regiones en común, no se obtiene región factible, esto es, no existe ningún punto del plano que pueda satisfacer al mismo tiempo a cada una de las desigualdades lineales del modelo de programación lineal. En este caso el modelo de P. L. no tiene solución.

Unidad 4

156

Ejemplo 11

Hallar la solución del siguiente problema de P. L.

Z x x

x x

x

x

x

m xá 2

2 10

15

0

0

1 2

1 2

1

1

2

Graficamos cada una de las desigualdades para hallar la región factible.

En color gris claro mostramos la región donde se traslapan la solución de la desigualdad x1 + 2x2 < 10 y las desigualdades de no negatividad. En color gris oscuro mostramos la región donde se traslapan las soluciones de la desigualdad x1 > 15 con las desigualdades de no negatividad. En este caso la región solución de las desigualdades no coinciden, por lo tanto no existe región factible, lo que implica que el sistema no tiene solución.

Otra posibilidad es que la pendiente de la recta que representa la función objetivo sea igual a la pendiente de alguna de las fronteras del vértice solución, en este caso todo el segmento de dicha frontera es solución del modelo por lo que se tiene una inf inidad de soluciones, las cuales nos dan el mismo valor de Z.

Zmáx

–4


157

Ejemplo 12

Resolver el siguiente modelo de programación l ineal.

Z x x

x x

x

x

m xá

8 2

4 10

3

0

1 2

1 2

1

1

x2 0

Aplicando el método gráf ico obtenemos:

Al desplazar la función objetivo a la derecha, esta se traslapa con la recta 4x1 + x2=15, por lo tanto todos los puntos entre los vértices (0, 15) y (3, 3) son soluciones óptimas del modelo, lo que implica que se tiene una infinidad de soluciones.

Zmáx

Unidad 4

158

Ejercicio 5

1. Obtener la solución del siguiente modelo de programación lineal.

Z x x

x x

x x

m xá

s.a.:

5 2

3 6 12

4 2 8

1 2

1 2

1 2

x

x

x x

1

2

1 2

1

3

0,

2. Obtener la solución del siguiente modelo de programación l ineal.

Z x x

x x

x x

m ní

s.a.:

10 8

3 6 12

2 2 14

1 2

1 2

1 2

x

x x

x x

2

1 2

1 2

5

2 2 8

0,


Z x x

x x

x x

m xá

s.a.:

5 10

3 9 9

2 3 12

1 2

1 2

1 2

4 3 8

01 2

1 2

x x

x x,


Z x x

x x

x x

x

m xá

s.a.:

5 10

4 2 8

2 4

5

1 2

1 2

1 2

2

x x1 2 0,

Zmáx

Zmáx

Zmáx

Zmín


159


Z x x

x x

x x

x x

m xá

s.a.:

10 5

2 10

4 6 24

8

1 2

1 2

1 2

1 2

x x1 2 0,

4.5. Análisis gráfico de sensibilidadUna vez que obtuvimos la solución del modelo de programación l ineal, debemos realizar un análisis de sensibil idad, debido a que los sistemas con los que se trabaja en la realidad son dinámicos y no estáticos. Por ejemplo, ¿cómo se afecta la solución si cambiamos los coef icientes de la función objetivo? o ¿qué pasa si se varían las cantidades limitantes en las desigualdades? Esto es importante, ya que si la empresa tiene capital para comprar una mayor cantidad de alguna de las materias primas, debemos decidir en cual nos conviene este aumento. El análisis de sensibil idad presentado en esta sección se basa en ideas gráf icas, un análisis analítico lo vamos a llevar a cabo en la unidad 5.

Los coef icientes de la función objetivo representan la util idad unitaria de cada uno de los productos, o bien el costo unitario. En ambos casos una variación en estos datos hacen que la función objetivo cambie. Para llevar a cabo el análisis de sensibil idad en este caso, revisemos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 13

Una empresa fabrica bocinas de 3” y 8” de diámetro. Las bocinas de 3” dejan una util idad de $ 20, mientras que las de 8” de $ 30. La empresa puede fabricar como máximo 300 bocinas al día, por políticas del departamento de ventas se deben producir al menos 100 bocinas de 3” y como máximo 150 bocinas de 8”. ¿Cuántas bocinas de cada tamaño se deben producir para maximizar la util idad?

Unidad 4

160

Las variables de decisión son:

x1= número de bocinas de tres pulgadas que se deben fabricar. x2= número de bocinas de ocho pulgadas que se deben fabricar.

El modelo de P. L. asociado a este problema es:

Z x x

x x

x

m xá

s.a.:

20 30

300

100

1 2

1 2

1

x

x

x

2

1

2

150

0

0

Los coeficientes de la función objetivo se obtienen de las ganancias que deja cada tipo de bocinas. Aplicando el método gráfico, obtenemos la siguiente región factible.

En el punto (150, 150) Zmáx

tiene un valor de $ 7 500. La pregunta ahora es ¿qué pasa con la solución si la ganancia de la bocina de 3” aumenta a $ 25? Este cambio hace que la función objetivo cambie de coeficientes, sin embargo, no afecta ninguna de las desigualdades, por lo tanto la zona factible se mantiene igual y lo único que cambia es la inclinación de la recta que representa la función objetivo. Lo que nos interesa saber es si debemos seguir produciendo 150 bocinas de cada tipo, o si este cambio realizado afecta nuestra solución. Esto depende de qué tanto cambie la inclinación de la recta. Realicemos un análisis gráf ico para determinar el rango en que se puede variar la inclinación de dicha recta sin cambiar el vértice solución.

Zmáx


161

La ecuación de la recta asociada a Zmáx en el punto solución es:

20x1 + 30x2=7 500, con una pendiente de m1

2030

23

.

Zmáx con la modif icación del coef iciente asociado a la bocina de 3” es:

25x1 + 30x2=7 500, con una pendiente m2

2530

56

. Si graf icamos

ambas rectas obtenemos lo siguiente:

La pendiente disminuyó, lo que hizo que la recta se desplazara hacia abajo, por lo que al desplazarla nuevamente hacia arriba l legamos al mismo punto óptimo, pero el valor de Zmáx ahora es $ 8 250.

El vértice no varió, porque el cambio de la pendiente se mantuvo entre las pendientes de las fronteras del vértice solución óptima, esto es, de las rectas x1 + x2=300 con pendiente ma= – 1 y la recta x2=150 con pendiente mb= 0. Por ejemplo, si la ganancia de las bocinas de 3” se incrementa a $ 35 entonces Zmáx toma la forma 35x1 + 30x2=9 750 (9 750 porque la evaluamos

en el punto (150, 150)), cuya pendiente es m3

3530

76

que se sale del

intervalo [–1, 0]. Si graf icamos esta recta obtenemos:

Unidad 4

162

En la gráf ica se ve claramente que esta recta giro más allá de la frontera x1 + x2=300, y que, además, podemos seguir moviéndola hacia la derecha sin salirnos de la región factible, y así llegar al vértice (300, 0) que es nuestra nueva solución, con un valor de Z = $ 10 500.

El punto que escogimos hizo que la pendiente fuera negativa, si cambiamos los coeficientes para que la pendiente sea mayor a cero, esto implicaría que una de las bocinas causará pérdidas en lugar de util idades. Realicemos el análisis, porque en ocasiones esto sucede en la realidad, ya que el introducir un nuevo producto puede reportar pérdidas en lugar de ganancias. Por ejemplo, digamos que nuestras bocinas de 3” dejan una pérdida de $ 20. Con esto la función objetivo toma la forma – 20x1 + 30x2=4 200 con una

pendiente m4

2030

23

. Si graf icamos obtenemos:


163

La recta giró más allá de la frontera x2=150. En este caso para maximizar la función Zmáx debemos desplazar la recta hacia arriba, por lo que la solución pasa a ser el punto (100, 150) con una ganancia de $ 2 500.

Podemos decir entonces que la solución no va a cambiar de vértice, a menos que la pendiente se salga del intervalo [ma, mb] que son las pendientes de las fronteras que se intersectan en dicho vértice.

Ahora supongamos que la empresa quiere producir 400 bocinas en lugar de las 300 que originalmente consideramos. ¿Cómo afecta esto la solución?

Unidad 4

164

Ésta es la otra posibilidad, cambiar las cantidades limitantes de las desigualdades y mantener constantes los coef icientes de la función objetivo. Vamos a analizar el caso donde sólo varió una de las restricciones, posteriormente se pude generalizar este análisis.

El cambiar la cantidad límite de alguna de las desigualdades implica que la región factible también se modif ique, sin embargo, la función objetivo se mantiene sin cambios, lo importante ahora es determinar nuevamente cómo se afecta el punto óptimo. El cambiar el valor numérico de una ecuación de la forma x1 + x2=400 no afecta su pendiente, lo que hace es desplazarla sobre los ejes, moviendo su ordenada al origen. Esto ocasiona que la región factible se haga más grande o más pequeña. En el ejemplo la región factible toma la forma:

En este caso la región factible aumenta de tamaño, el vértice solución óptima se desplaza hacia la derecha, lo que hace que la función objetivo pueda tomar un valor mayor.

Lo que debemos cuidar al variar el lado derecho de las desigualdades es no variarlo de tal manera que resulte una región no factible.

Otra pregunta importante es: ¿En cual de las desigualdades me conviene aumentar o disminuir su cantidad limitante?

Esta pregunta la vamos a contestar cuando realicemos el estudio del problema dual, por el momento sólo debemos tener presente que pequeños incrementos en las cantidades limitantes de las desigualdades implican pequeños aumentos en la región factible, lo que se traduce en pequeños aumentos de la función objetivo Z

máx.

Para ejemplificación del análisis de sensibilidad ver anexo al f inal del libro.


165

Ejercicio 6

1. Para tener una solución il imitada, nuestra zona factible debe ser:

a) Acotada.b) No acotada.c) Cerrada.d) Un polígono regular.

2. La pendiente de la función objetivo depende de:

a) Las restricciones.b) El valor de Zmáx.c) Las desigualdades.d) Los coeficientes de Zmáx.

3. Considera la siguiente gráf ica:

Si la pendiente de la función objetivo varía de – 0.5 a – 1.5, ¿qué pasa con la solución?

4. Si queremos aumentar el tamaño de la región factible, debemos variar:

a) Los coef icientes de la función objetivo.b) Cantidades limitantes de las restricciones.c) Los coeficientes de las restricciones.d) El valor de Zmáx.

5. El análisis de ____________________ se realiza para determinar cómo varía la solución ante cambios de los datos del problema.

Unidad 4

166

Ejercicios propuestos

1. Obtener la gráf ica de la ecuación 4x1 – 7x

2 = 28

2. Obtener la gráf ica de la ecuación 2x1 + 3x

2 = 5

3. Obtener la región factible de las siguientes desigualdades.

x x

x x

x

x

1 2

1 2

1

2

10

2 6

0

0

4. Hallar la solución óptima del modelo de P. L. siguiente:

Z x x

x x

x x

x

m xá

s.a.:

2

2 8

2 3 6

1 2

1 2

1 2

1 00

02 x

5. Indicar el intervalo en que puede variar la pendiente de la función objetivo del problema 4, sin que se cambie de punto vértice. Si el coeficiente de x

1 se mantiene f ijo, dar el intervalo en el que puede variar

el coeficiente de x2.

6. Dar la solución del ejercicio 4 si la cantidad limitante de la primera restricción se incrementa hasta 16.

7. Una empresa fabrica dos tipos de radios, el económico que deja una ganancia de $ 24 por unidad y el de lujo, que deja una ganancia de $ 45. La empresa sólo puede fabricar 500 unidades en total. Por disposiciones of iciales debe fabricar por lo menos 40 radios del tipo económico, además, sólo puede vender 250 radios de lujo. ¿Cuál es la combinación óptima?

Zmáx


167

8. Obtener el punto óptimo del siguiente modelo de P. L.

Z x x

x x

x

x

m xá

s.a.:

2 6

6 4 24

3

1 2

1 2

1

2 33

01 2 x x,

Zmáx

Unidad 4

168

Autoevaluación

1. El método gráf ico se uti liza para resolver modelos de P. L. en:

a) Tres dimensiones.b) Dos dimensiones.c) Cuatro dimensiones.d) n dimensiones.

2. La región del plano que contiene todos los puntos que satisfacen las restricciones del modelo de P. L. se l lama:

a) Región factible.b) Semiplano.c) Región infactible.d) Región cerrada.

3. Si la región factible es acotada, entonces la solución del modelo es:

a) Única.b) Il imitada.c) Finita.d) No acotada.

4. Si la solución óptima de un modelo de P. L. es f inita, entonces la encontramos en:

a) Una frontera.b) La zona interior del polígono de soluciones.c) En uno de los vértices del polígono de soluciones factibles.d) En el origen.

5. El primer paso del método gráf ico es:

a) Graf icar la función objetivo.b) Dar un valor a la función objetivo.c) Evaluar la función objetivo en un punto de la región factible.d) Localizar la región factible.


169

6. Si las desigualdades no coinciden en ningún punto:

a) El modelo tiene una inf inidad de soluciones.b) El modelo no tiene solución.c) El modelo tiene solución i limitada.d) El modelo tiene un número f inito de soluciones.

7. Si variamos las cantidades limitantes de las restricciones, entonces variamos:

a) La pendiente de las fronteras.b) La pendiente de la función objetivo.c) La ordenada al origen de la función objetivo.d) La ordenada al origen de las restricciones.

8. Si la pendiente de la función objetivo es igual al de una de las fronteras del vértice solución óptima, entonces:

a) El modelo tiene una inf inidad de soluciones.b) El modelo no tiene solución.c) El modelo tiene solución i limitada.d) El modelo tiene un número f inito de soluciones.

9. Al variar los coef icientes de la función objetivo, el vértice solución óptima:

a) Sigue siendo el mismo.b) Cambia a alguno de los adyacentes.c) No se sabe.d) Sigue siendo el mismo o bien cambia a alguno de los adyacentes.

10. Para graf icar la función objetivo debemos tomar un punto:

a) Arbitrario.b) De la región factible.c) Negativo.d) Positivo.

Unidad 4

170

Respuestas a los ejercicios

Ejercicio 1

1. La tangente.2. La distancia.3. c)4. b)5. a)6.

Ejercicio 2

1. b)2. Igualdad.3. b)4. b)5.


171

6.

Ejercicio 31. Objetivo.2. Dos.3. b)4. c)5. c)6.

Zmáx=8 (2, 0)

Ejercicio 4

1.

Zmáx=0.5 (0, 0.5)

Unidad 4

172

2.

Zmáx=2 (2, 0)

Ejercicio 5

1. Solución (4, 0).2. Solución (0, 5).3. Infactible.4. I limitado.5. Soluciones alternativas (2, 6).

Ejercicio 6

1. b)2. d)3. Sigue siendo el mismo vértice.4. b)5. Sensibil idad.


173

Respuestas a los ejercicios propuestos

1.

2.

3.

Unidad 4

174

4.

Solución en el punto 367

107

, con un valor para Z de 827

5. , , 12

23

La ecuación de la función objetivo es 2x1 + x2=827

. La pendiente está

dada por mr2

. Lo que queremos es que 2 1

2r. Para esta

desigualdad r puede variar en el intervalo [0, 4) y del otro lado lo que

queremos es 23

2r

. Para esta desigualdad r puede variar en el

intervalo ( – 3, 0]. Por lo tanto el coeficiente de x2 puede variar en el intervalo ( – 3, 4).

6. La solución se obtiene en el punto 607

267

, con un valor de la función

objetivo Zmáx= 1467

7. El modelo es:

Z x x

x x

x

m xá

s.a.:

24 45

500

40

1 2

1 2

1

x

x

x

2

1

2

250

0

0

Zmáx


175

8. Su solución es (250, 250) con un valor de la función objetivo Z = 11 250

Respuestas a la autoevaluación

1. b)2. a)3. c)4. c)5. d)6. b)7. d)8. a)9. d)10. b)

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