Sociedad Mexicana de

Ingeniería Geotécnica, A.C.

XVII Reunión Nacional de Profesores de

Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica Noviembre 14, 2012 – Cancún, Quintana Roo

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.

Solución analítica tridimensional de la ecuación de transporte de contaminante, aplicada a un sistema de ensayos de columna en escala de

campo Three-dimensional analytical solution to the transport contaminant equation applied to a column

system test in a field scale

André CAVALCANTE1, Orly ROJAS1, Hernán CARVAJAL1

1Universidad de Brasilia, DF, Brasilia, Brasil

RESUMEN: A pesar que los procedimientos numéricos han mejorado enormemente en los últimos años, soluciones analíticas de forma cerrada son de especial interés para los científicos de los recursos hídricos. En general, estas soluciones se utilizan para verificar la consistencia y validación de rutinas numéricas. Investigación bibliográfica revela que hasta al día las soluciones analíticas sólo tienen en cuenta la advección en 1D, incluso cuando la dispersión en 3D se considera. Esta suposición crea una dependencia eje puesto ya que el flujo se supone que es paralelo a una de las tres direcciones ortogonales posibles, lo que no se aplica a todas las situaciones prácticas, en el que la advección diagonal está presente. En este trabajo una solución analítica se deriva para el sistema 3D advectivo-dispersivo (ADE), donde se presentan las soluciones por medio de Fourier e integrales de la transformadas de Laplace. La solución permite que la pluma de contaminante se pueda mover angularmente con respecto a los ejes coordenados. El proceso de transporte de una amplia gama de sustancias contaminantes principalmente constituida por iones de metales pesados se aplicó sobre probetas moldeadas por un suelo del Relleno de Moravia, Colombia, bajo condiciones in situ. Las muestras del ensayo se obtuvieron en un sistema de columna bajo condiciones de contorno fijas, a escala de campo. Los parámetros de transporte se determinaron a través del método de mínimos cuadrados entre la concentración medida experimentalmente relativa y la concentración relativa calculada a través de la solución analítica en tres dimensiones como se presenta en este documento. Finalmente, los parámetros de transporte obtenidos son los coeficientes de dispersividad longitudinal y transversal y el coeficiente de distribución, proporcionando este último el factor de retardo.

ABSTRACT: Even though numerical procedures have been enormously enhanced over the last years, analytical closed-form solutions are of special interest to water resources scientists. In general these solutions are used to check the consistency and validate numerical routines. Bibliographical research reveals that up-to-date analytical solutions only take into account 1D advection, even when 3D dispersion is considered. This assumption creates an axis dependency since the flux is assumed to be parallel to one of the three possible orthogonal directions, what does not apply to all practical situations, in which diagonal advection is present. In this work an analytical solution is derived for the 3D advective-Dispersive equation (ADE) by means of Fourier and Laplace integral transforms. The solution allows the contaminant plume to move angularly with respect to the coordinate axes. The transport process of a wide range of contaminant substances mainly constituted by heavy metal ions was applied over test specimens shaped by a soil of a Landfill in Moravia, Colombia, under in-situ conditions. The test specimens were obtained in a column system under fixed boundary conditions, in a field scale. Transport parameters were determined through the Least Squares Method between the experimentally measured relative concentration and the relative concentration calculated through the three-dimensional analytical solution presented in this paper. Finally, the transport parameters accessed are the longitudinal and transversal dispersivity coefficients, and the distribution coefficient, the latter providing the retardation factor.

1 INTRODUCCIÓN 1.1 Motivación La contaminación de las aguas subterráneas debido a la infiltración de contaminantes en el suelo, es uno de los problemas de salud pública que más afecta a la población mundial, convirtiéndose en una de las principales preocupaciones ambientales en la actualidad. La acción confiable, rápida y rentable en la detección y solución puede contribuir para la minimización de los impactos adversos que este

fenómeno genera, desde el punto de vista ambiental hasta el económico (Woldt, 1990). El uso de modelos matemáticos en problemas de transporte de contaminantes se torna cada vez más necesario en respuesta a la necesidad de medir, monitorear y predecir el comportamiento de las plumas de contaminantes con tamaños y formas diferentes (Diaz, 2011).

En Colombia en la ciudad de Medellín sobre el Valle de Aburrá, entre 1972 y 1984, se dio inicio a un proceso inadecuado de deposición de residuos

2 Solución analítica tridimensional de la ecuación de transporte de contaminante, aplicada a un sistema de ensayos de columna en escala de campo

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sólidos en la zona urbana. Este proceso se realizó sin ningún control, generando así un basurero que después fue conocido con el nombre de Moravia como se muestra en la Figura 1. Moravia está localizada en la margen nordeste de la ciudad, a dos kilómetros del centro de Medellín próxima a la margen derecha del Rio Medellín. En Moravia, fueron acumulados varios tipos de residuos, entre hospitalarios, industriales y domésticos, sin ningún control y con la autorización del gobierno local. Inicialmente, eran depositadas cerca de cien toneladas de basura diariamente. Esta cantidad con el tiempo aumentó significativamente.

Figura 1. Morro de Moravia. Panorámica en los años 80 cuando aún funcionaba el basurero.

2 METODOLOGIA 2.1 Materiales y métodos Este trabajo presenta un análisis detallado del comportamiento del flujo de contaminantes en el morro de Moravia. Esta investigación fue realizada mediante dos metodologías. La primera por medio de ensayos de laboratorio del suelo del Morro y la segunda por medio de ensayos de campo.

La primera metodología consistió en tomar cinco muestras de suelo inalteradas a 1 m de profundidad, sobre la margen derecha del Rio Medellín. A estas muestras se les realizó ensayos de clasificación y de contaminación como columna y sorción, para conocer la concentración de metales pesados presentes en el lixiviado como cadmio, plomo y cromo.

Inicialmente se realizó el ensayo en columna. El procedimiento es semejante al ensayo de permeabilidad y consiste en poner un determinado gradiente a muestras ensayadas en cilindros de acrílico con diámetro interno de 8 cm y altura de 11 cm, como se presenta en la Figura 2a. Las muestras de suelo son moldeadas y ocupan totalmente el volumen del cilindro. Estas muestras se saturan hasta que el régimen de flujo sea permanente, evitando flujos preferenciales en la interface entre el cilindro y el suelo. En seguida, se

adiciona la solución contaminante, cuya concentración inicial debe ser conocida. Debe ser permanentemente aplicada sobre la columna durante el tiempo de duración del ensayo. Esa solución pasa a través de la muestra impulsada por el gradiente hidráulico. Las muestras efluentes drenadas de las columnas son colectadas y las concentraciones de solutos determinadas por procedimientos químicos estandarizado.

(a) (b) Figura 2. (a) Ensayo en columna (b) Ensayo de sorción.

El ensayo de sorción atómica (Figura 2b) consiste

en tomar una razón de suelo-solución 1:4 para todas las muestras y a cada muestra se le agrega una solución variando las concentraciones lixiviado-agua en 1:1, 1:2, 1:4, 1:8 y 1:16. Estas muestras se vibran durante 24 horas, luego se llevan a la máquina centrífuga y después se filtran donde finalmente se les realiza el análisis químico. Posteriormente, con los resultdos obtenidos serán construídas isotermas según los modelos lineales de Freundlich y de Langmuir, conforme realizado por Conciani (2011) para los suelos tropicales de la región central del Brasil, Brasília-DF.

En la segunda metodología se instalaron en la cima del Morro de Moravia dos tanques de diámetro 0.9 m a una profundidad de 1 m, con el objetivo principal de crear un reservatorio. Alrededor de los pozos 1 y 2 se realizaron 12 perforaciones distribuidas diametralmente y con profundidades variables.

Inicialmente se tomaron muestras de los pozos de inspección para conocer las concentraciones iniciales. Después los reservatorios fueron llenados de agua y se tomaron las medidas en los pozos a los 30 min, 1 hora y 2 horas. En la Figura 3 se observa la distribución de los pozos de inspección y la ubicación de los reservatorios.

CAVALCANTE A.L.B. et al. 3

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Figura 3. Ensayo de columna en escala de campo.

2.2 Caracterización del dominio de estudio Con los resultados obtenidos en los ensayos, tanto de campo como de laboratorio, se inicia el desarrollo de esta investigación ya que los parámetros encontrados son los datos de entrada de la simulación. Para esto se hace necesario emplear una herramienta computacional que consiga programar las soluciones del modelo requerido como Microsoft Visual Basic ® y programas auxiliares como MatLab ®, Mathematica ®, Maple ®. Estas herramientas ofrecerán una solución de acuerdo a las condiciones encontradas en el laboratorio y a las restricciones matemáticas que el modelo establezca.

En la simulación se incluyen todos los parámetros empleados en el desarrollo y calibración del modelo, donde se presentan las condiciones iniciales, condiciones de contorno, condiciones de flujo y transporte y finalmente propiedades, parámetros y coeficientes de los materiales que componen el dominio. Para calibrar el sistema se hace un cambio en los valores de entrada del modelo, intentando adaptar las condiciones de éste a las condiciones encontradas en los ensayos de laboratorio manteniendo los criterios aceptables. Para el análisis de sensibilidad se varían los parámetros de entrada del modelo dentro de un rango tolerable, estos corresponden a las incertezas asociadas a los valores de los parámetros y a cambios que estas generan en el modelo. La verificación del modelo puede ser realizada para diferentes tipos de fuentes de contaminación y para condiciones de contorno que coincidan con las condiciones simuladas en el laboratorio. Este procedimiento ayuda en el refinamiento de la herramienta.

3 MODELO MATEMÁTICO

Teóricamente la tasa de variación de la concentración del soluto en el suelo puede ser correctamente descrita por medio de la advección-dispersión-sorción, ecuación que se puede describir como, Wexler (1992):

.ww w w s

c vc D c Qtθ

θ θ θ∂ ⎡ ⎤= −∇ − ∇ −

⎣ ⎦∂

r rr (1)

donde θw es el contenido de humedad del suelo (L3/L3), c es la concentración volumétrica del soluto (M/L3), t es el tiempo (T), ∇

res el operador gradiente

estándar, D es el tensor de dispersión hidrodinámica (L2/T), Qs se utiliza para representar una fuente general o un sumidero para la producción o la perdida de solutos en el sistema, como las reacciones químicas, físicas y transformaciones de procesos de n-orden (M/L3T) y vr es la velocidad media del fluido intersticial (L/T) que puede definirse como:

( ).w

w

kv h

θ

θ= − ∇

rrr (2)

en el que kr

es el tensor de conductividad hidráulica para el medio (L/T) y h∇

res el gradiente hidráulico

(adimensional). Con el fin de resolver analíticamente la ecuación

(1), se aplica la transformada de Laplace con respeto al tiempo y la transformada de Fourier con respecto a cada uno de los ejes coordenados, lo que implica una configuración de acuíferos infinita. Ahora, tanto los límites y condiciones iniciales se definen como sigue en las ecuaciones (3) a (6):

( ) 0, , ,02 2

2 2

2 2

b bc x y z c u x u x

l lu y u y

m mu z u z

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(3)

( ), , , 0c y z tx∂

±∞ =∂

(4)

( ), , , 0c x z ty∂

±∞ =∂

(5)

( ), , , 0c x y tx∂

±∞ =∂

(6)

donde u(x) representa la unidad de la función de paso de Heaviside, con la unidad se define el valor de la discontinuidad. Matemáticamente se obtiene:

( )0, 01, 0

xu x

x<⎧

= ⎨≥⎩

(7)

La configuración de la ecuación (3) corresponde a un prisma con concentración constante c0 centrado

4 Solución analítica tridimensional de la ecuación de transporte de contaminante, aplicada a un sistema de ensayos de columna en escala de campo

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en el origen, cuyas longitudes de los lados son b, l y m, como se presenta en la Figura 4.

Figura 4. Distribución de la concentración inicial. La solución de la ecuación (1) considera las ecuaciones (3) a (6) y está dada por:

( )*

0

* *

* *

* *

* *

* *

*

, , , .8

2 2erf erf .4 4

2 2erf erf .4 4

2 2erf erf4 4

t

x x

x x

y y

y y

z z

z z

c ec x y z t

b bx v t x v t

D t D t

l ly v t y v t

D t D t

m mz v t z v t

D t D

λ−

=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞− + − − +⎜ ⎟−⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

*t

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(8)

donde erf(x) denota la función error, definida por la ecuación:

( )2

0

2erfx

jx e djπ

−= ∫ (9)

4 RESULTADOS 4.1 Ensayos de laboratorio Los resultados obtenidos de los ensayos de caracterización del suelo colectado en el Morro de Moravia se presentan en la Tabla 1, donde se muestran los datos de cada ensayo realizado en el laboratorio.

Tabla 1. El número de casos oficialmente informados en el mundo. Resultados de ensayos de clasificación

Ensayos M1 M2 M3 M4 M5

Humedad (%) 38 36 35 18 20

Granulometría

(%) de gravas 0 1 18 27 38

(%) de arena 60 40 59 58 59

(%) de finos 40 59 23 15 3

Limites de consistencia

LL (%) 52 57 34 40 37

LP (%) 38 31 31 29 26

IP (%) 18 26 3 11 30

Gravedad especifica 2,82 2,49 2,62 2,82 2,27

Clasificación ASHTO OH ó MH

OH ó MH

ML ú OL

ML ú OL CL

Las muestras M1 y M2 se clasifican como MH.

Estos suelos son limos inorgánicos, finos o arenosos. No pueden ser OH porque no presentan un comportamiento de arcillas. Las muestras M3 y M4 se clasifican como ML, estas son limos de baja compresibilidad. Y la muestra M5 se clasifica como CL, ésta es una arcilla inorgánica de plasticidad baja a media, arcilla arenosa o arcillas limosas.

Se realizaron dos tipos de ensayos con contaminantes. El primero fue en columna, éste se realizó simultáneamente en las cinco muestras. Primero se saturó con agua y se pasó lixiviado por las muestras. Luego se tomaron 4 muestras de cada cilindro, después se pasó agua por la muestras y de nuevo se tomaron otras 4 muestras.

El resultado de la Figura 5 entre C/C0 vs V/Vv es expresado en curvas características de transporte de contaminantes para los cinco ensayos realizados, donde C/C0 es la relación entre la concentración final y la concentración inicial durante el ensayo, tomando como concentración final el soluto que sale del cuerpo de prueba y la inicial la concentración que fue impuesta sobre la muestra. V/Vv es el tiempo que toma el fluido para saturar todos los poros de la muestra.

Como se ve en la Figura 5, las muestras tenían una gran cantidad de cadmio sorbido antes de la ejecución de los ensayos (ver primer volumen de poros). Con la continuidad del ensayo, el cadmio sufre desorción y es transportado por el soluto. Después del volumen de poros 6, la concentración del cadmio ya es un poco menor que la concentración inicial.

Ahora, se observa respecto al cromo, que éste es transportado por advección, que no hay variación de la concentración y continúa así hasta después del volumen de poros 6. En otras palabras, el cromo no sufre gran influencia de los fenómenos de dispersión y sorción.

CAVALCANTE A.L.B. et al. 5

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Con respecto al plomo, después del volumen de poros 1, la concentración medida ya es menor que la concentración inicial, sufriendo una pequeña disminución durante todo el ensayo y manteniéndose prácticamente constante. De otra forma, se puede concluir que el plomo es transportado por los mecanismos advectivo y dispersivo y sufre sorción.

En la segunda parte de la investigación fueron realizados ensayos en columna en escala de campo con el objetivo de obtener los parámetros de transporte de contaminantes, a través del método de los mínimos cuadrados, comparando los datos medidos experimentalmente con los datos obtenidos por el modelo matemático presentado en el ítem 3. Los ensayos ya fueron realizados, pero desafortunadamente, los análisis químicos todavía están siendo procesados en el laboratorio de la Universidad Nacional de Colombia.

Con el fin de evaluar la variación de la concentración en la matriz porosa, la ecuación (8) fue aplicada. El modelo matemático ya fue ensayado para diferentes condiciones y como puede ser observado de las Figuras (6) a (8), el modelo es capaz de evaluar el avance de la pluma de contaminación, a lo largo del eje central de la columna, para diferentes condiciones físicas.

Los datos utilizados en este modelo corresponden a un prisma de contaminación cuyas longitudes eran b = 2 m, l = 3 m y m = 4 m. Además, los siguientes parámetros presentados en la Tabla 2 se han obtenido para el problema (Ozelim, 2012). Tabla 2. Parámetros de entrada del modelo.

l 10-10 R 1 vx (m/s) 10-6 vy (m/s) 10-7 vz (m/s) 10-8 Dx (m2/s) 10-8 Dy (m2/s) 10-7 Dz (m2/s) 10-6

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

C/C 0

V/Vv

Cádmio

Plomo

Cromo

(a)

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

C/C 0

V/Vv

CádmioPlomoCromo

(b)

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

C/C 0

V/Vv

Cádmio

Plomo

Cromo

(c)

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

C/C 0

V/Vv

Cádmio

Plomo

Cromo

(d)

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

C/C 0

V/Vv

Cádmio

Plomo

Cromo

(e)

Figura 5. Curvas de llegada concentración vs vol de poros con lixiviado de la muestra (a) M1, (b) M2, (c) M3, (d) M4 y (e) M5.

6 Solución analítica tridimensional de la ecuación de transporte de contaminante, aplicada a un sistema de ensayos de columna en escala de campo

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Figura 6. Variación de la concentración con z = 0 y: (a) t = 0 s; (b) t = 5.105 s.

Figura 7. Variación de la concentración con x = 0 y: (a) t = 0 s; (b) t = 5.105 s.

Figura 8. Variación de la concentración con y = 0 y: (a) t = 0 s; (b) t = 5.105 s.

La inspección de las figuras, revela el flujo

transversal en que la pluma de contaminante fluye en esa dirección, con respecto a cada uno de los ejes coordenados. Esto resuelve la dependencia de los ejes, inherente a la solución advección 1-D, presente en la literatura.

5 CONCLUSIONES

Los resultados mostraron la influencia de los contaminantes de diversas especies en un análisis conjunto. Se observa que diferentes contaminantes sufren diferentes procesos físicos, en los mismos plazos. Fue presentada la solución de la ecuación que gobierna el transporte de un soluto sometido a un retraso lineal y de los procesos de primer orden en un medio homogéneo e isotrópico durante el flujo

tridimensional en estado estacionario, originando dispersión tridimensional. La solución obtenida resuelve el problema ejes-dependencia que es relacionado con la elección de un sistema particular coordinado en el que se alinea la velocidad media del fluido con una de las direcciones ortogonales. La metodología desarrollada por este medio puede ser aplicada con éxito para resolver el sistema completo en 3D por convección-dispersión de la ecuación, con condiciones de frontera diferentes a las consideradas. De esta manera, algunas de las soluciones conocidas se pueden generalizar para incluir los componentes de advección 3D. Además de eso, se espera que con los resultados del ensayo en columna en escala de campo, sea posible obtener los parámetros de transporte, tales como, coeficientes de dispersividad transversal y longitudinal, coeficiente de retardo, coeficientes de dispersión en las tres direcciones, usando el modelo matemático tridimensional.

6 AGRADECIMENTOS Los autores quieren expresar su agradecimiento a la Universidade de Brasília (UnB), a la Universidad Nacional de Colombia - Medellín, al Área Metropolitana del Valle de Aburrá y a los organismos brasileños de financiación CNPq y CAPES por el apoyo e incentivo dado a esta investigación.

REFERENCIAS Y CITAS

Conciani R. (2011).”Estudos de barreiras de solo compactado para retenção de contaminantes”, Tesis de Maestria, Universidad de Brasilia, Brasil.

Diaz J. F. (2011). “Modelagem multidimensional de transporte de contaminantes inorgânicos em solos tropicais lateríticos” Tesis de Maestria. Universidad de Brasilia, Brasil.

Ozelim L.C.S.M. & Cavalcante A.L.B. (2012). “Some Integral and Closed Form Analytical Solutions to the Transport Contaminant Equation considering 3-D Advection & Dispersion”. International Journal of Geomechanics. ISSN 1532-3641, p. 1-9, in press.

Wexler E.J. (1992). “Analytical Solutions for One-, Two-, and Three-Dimensional Solute Transport in Ground Water Systems With Uniform Flow”. Techniques of Water Resources Investigations of the United States Geological Survey. Chapter B-7 in Book 3, Applications of Hydraulics.

Woldt W. (1990). “Ground Water Contamination Control: Detection and Remedial Planning”. Teses (Doutorado), Universidade de Nebraska, Lincoln, Nebraska, USA.