Geometría Analítica Enero 2016 - FCFM€¦ · Geometría Analítica Enero 2016 Página 8 de 15...

Geometría Analítica Enero 2016

Página 1 de 15

Laboratorio #1 Distancia entre dos puntos

I.- Halle el perímetro del triángulo cuyos vértices son los puntos dados 1) ( 3, 3), ( -1, -3), ( 4, 0) 2) (-2, 5), (4, 3), (7, -2) II.- Demuestre que los puntos dados forman un triángulo isósceles. 1) ( 3, 4) , ( 5, 2) , ( 7, 6) 2) ( -3, -2) , ( -6, 1) , ( -8, -3) III.- Demuestre que los puntos dados forman un triángulo rectángulo y calcule su área. 1) ( 4, 4) , ( 1, 3) , ( 2, 0) 2) ( -3, -5) ,( -7, 3) , (-7, -6) IV.- Determine si los puntos dados son colineales. 1) ( 0, 6) , ( 2, 7) , (-2, 3) 3) (1,2), (-3, 10), (4, -4)

2) ( 3, 7) , (-3, -5) , ( 0, 1) V.- Halle las coordenadas del punto que equidista de los tres puntos dados. 1) ( 5, 0) , ( -3, 0) , ( 0, -1) 2) (4, 3), (2, 7), (-3, -8) VI.- Resuelva. 1) Sea A( 0, 4), B( 0, -2), encuentre el punto C de ordenada 2, tal que su distancia al punto A

es la mitad de la distancia del punto B al C. 2) Halle el valor de “k” tal que el punto (-5, 3k) sea colineal a los puntos ( 0, 1), ( 5, 5) 3) Encuentre el punto A(x, -x/8) tal que la distancia que hay del punto B al C es el doble de

la distancia que hay del punto A al punto B, siendo B( -5, -3) y C( 3, 3). 4) Encuentre el punto A(x,y) tal que junto con los puntos B(6,1) y C(4,5) formen un triangulo

isósceles.


Página 2 de 15

Laboratorio #2 Pendiente y razón

I.- Halle la pendiente e inclinación de la recta que pasa por los puntos dados. 1) ( 2 , 4 ) , ( −2 , 4 ) 2) ( 4 , 2 ) , ( 0 , 1 ) 3) ( 6 , 3 ) , ( −1 , 0 ) 4) ( 1 , 1 ) , ( −4 , 3 )

5) 6)

II.- Halle los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos dados. 1) ( 4 , 2 ) , ( 0 , 1 ) , ( 6 , −1 )

2) ( 1 , 5 ) , ( 5 , −1 ) , ( 9 , 6 )

III.- Determine si las rectas dadas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos:

𝑙1: 2𝑦 − 3𝑥 = 5 𝑙2 ∶ 6𝑥 − 4𝑦 = 2

𝑙1 ∶ 𝑦 = 4𝑥 + 5 𝑙2 ∶ −4𝑥 − 𝑦 + 2 = 0

𝑙1 ∶ 2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0

𝑙2 ∶ 𝑦 = 2 −1

2𝑥

IV.- Resuelva los siguientes problemas

1)Las coordenadas de los puntos medios de los lados de un triángulo son (3, 2), (-1, -2) y (5, -4). Halle las coordenadas de sus vértices.

2)Halle la pendiente de la recta que forma un ángulo de 45° con la recta que pasa por los puntos (2, -1) y (5, 3).

3)La recta l´ forma un ángulo de 60° con la recta l. Si la pendiente de la recta l es 1, halle la

pendiente de l´.

4) Demuestre que las rectas que unen los puntos medios de los lados adyacentes del cuadrilátero

A(-3, 2), B(5, 4), C(7, -6), D(-5, -4) forman otro cuadrilátero cuyo perímetro es igual a la suma de las longitudes de las diagonales del primero.

5)Los puntos A, B, C, D forman un cuadrado. Si A( 1, 5) y C( 7, 3) mientras que los puntos medios entre B y C es ( 5, 2), y el punto medio entre A y D es ( 3, 6). Pruebe que la figura formada es, posiblemente, un cuadrado cuya área es la mitad del cuadrado formado por ABCD.

V.- Halle las coordenadas del punto P(x, y) que divide al segmento determinado por y

en la razón 𝑟 =𝑃1𝑃⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑

𝑃𝑃2⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ .

1) 𝑃1(−2,3), 𝑃2(3, −2) ; 𝑟 =2

5 2) 𝑃1(−5, 2)𝑃2(1, 4) ; 𝑟 = −

3

5


Página 3 de 15

Laboratorio #3 Gráficas de funciones

I.- Determinando intersecciones con los ejes coordenados, simetrías, extensiones y asíntotas, trace la gráfica de la ecuación dada.

1) 𝑥2 + 2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 2) 4𝑥2 − 9𝑦2 + 36 = 0

3) 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 9𝑦 + 17 = 0 4) 𝑦(𝑥 + 2)(𝑥 − 4) − 8 = 0 5) 𝑥𝑦 − 3𝑦 − 𝑥 = 0

II.- En el mismo eje de coordenadas trace la gráfica de las ecuaciones dadas. Resuelva el sistema algebraicamente.

1) 4𝑦 − 𝑥2 = 0, 𝑥2𝑦 + 4𝑦 − 8 = 0 2) 𝑥2 + 𝑦2 − 20 = 0, 𝑦2 − 2𝑥 − 12 = 0 3) 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 6𝑦 + 8 = 0, 3𝑥 − 𝑦 − 8 = 0


Página 4 de 15

Laboratorio #4 Lugar Geométrico

I.- Halle la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) tales que:

1) Su distancia al punto fijo (-2, 3) es siempre igual a 4. 2) La diferencia de sus distancias a los puntos fijos (3, 2) y (-5, 2) es igual a 6. 3) La suma de los cuadrados de sus distancias a los ejes coordenados es igual al

cuadrado de su distancia al origen. 4) Equidistan de (-7, 1) y (0, 2). 5) La distancia del punto P(x, y) al punto P(1, 1) es el doble de la distancia del

punto Q(2x, 2y) al punto P( 3, 3).

6) El producto de la distancia del punto P(x,y) a los ejes coordenados es siempre igual a 10.

7) El producto de las pendientes de PA y PB sea igual a la pendiente de PC, dado que los puntos son A (0, -2) , B( 0,4) y C (0,0).

8) La pendiente de PA sea el reciproco y de signo contrario de la pendiente de PB, si A(-2,3) y B(3,2) .

9) La suma de los cuadrados de la suma de las distancias entre el punto P(x, y) al punto (3, 5) y de P a (-4, 2) es igual a 30.

10) Que el producto de las distancia del punto P(x, y) al punto (1, 1) y del punto P(x, y) al punto (-1, -1), es siempre igual a 1.


Página 5 de 15

Laboratorio #5 Línea Recta 1) Determine la ecuación de la recta que satisface las siguientes condiciones y exprésela en la forma general.

a) Pasa por (5, 1 2⁄ ) y (1, 3 4⁄ )

b) m = −12⁄ y pasa por (– 2, 5)

c) m = 6, b = −32⁄ (ordenada en el origen)

d) Intercepciones con el eje X y el eje Y, respectivamente −12⁄ y 3 4⁄

2) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (1, 4) y es paralela a la recta 2𝑥 −3𝑦 = 5

3) Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,3) y cuya abscisa al origen es

igual al doble de su ordenada al origen.

4) Halle el punto de la recta 3 x + y + 4 =0 que equidista de los puntos (- 5, 6) y (3, 2). 5) Halle el valor de “k” tal que 𝑘𝑥 + (2𝑘 − 3)𝑦 = −𝑘2 sea perpendicular a 4x-3y=8. 6) Halle el valor de k en la ecuación 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑘 = 0 de forma que dicha recta

determine con los ejes coordenados un triangulo rectángulo de área 27 unidades cuadradas.

7) Dada la recta 𝑙1: 𝑎𝑥 + (2 − 𝑏)𝑦 = 23 y 𝑙2: (𝑎 − 1)𝑥 + 𝑏𝑦 + 15 = 0. Halle “a“ y “b“

tal que las dos rectas pasen por ( 2, -3). 8) Halle el ángulo formado por las rectas 4𝑥 − 9𝑦 + 11 = 0 y 3𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0. 9) Para el triángulo cuyos vértices son los puntos (-6, 6) (1, 5) (-1, -3) Halle:

a) Las ecuaciones de sus alturas. b) Las ecuaciones de sus medianas. c) Las ecuaciones de sus mediatrices. d) Demuestre que los puntos de intersección de las alturas, medianas y

mediatrices son colineales.


Página 6 de 15

10) Determine si los siguientes pares de rectas son: paralelas, perpendiculares, coincidentes o se cortan en un punto.

a) 𝑙1: 5𝑥 − 𝑦 − 11 = 0 c) 𝑙1: 3𝑥 − 6𝑦 − 9 = 0

𝑙2: 𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0 𝑙2: 2𝑥 − 4𝑦 = 6

b) 𝑙1: 3𝑥 − 𝑦 = 5 d) 𝑙1: 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0

𝑙2: 6𝑥 − 2𝑦 + 7 = 0 𝑙2: 2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0

11) Halle la pendiente, la ordenada en el origen y la gráfica de cada una de las siguientes rectas.

a) 𝑙1 ∶ 8𝑥 + 4𝑦 = −16

b) 𝑙2 ∶ −2𝑥 + 5𝑦 = 3

c) 𝑙3 ∶ 4𝑥 − 𝑦 = 11

d) 𝑙4 ∶ 4𝑥 − 7𝑦 + 28 = 0


Página 7 de 15

Laboratorio #6 Forma normal y Familias de rectas

1) Halle la forma normal de las siguientes rectas.

a) 0164 yx

b) 01043 yx

c) 04125 yx

d) 032 yx

2) Halle el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (- 6, 6), (1, 5) y (-1, -3).

3) Determine el valor de “k” para que la distancia del origen a sea 2.

4) Escriba la ecuación de la familia de rectas que cumplen con la condición dada.

a) Tienen pendiente igual a

b) Pasan por el punto (-3, 2) c) La ordenada al origen es -4

d) La suma de las coordenadas al origen sea 6

e) De abscisa al origen igual a

5) Sin obtener el punto de intersección de las rectas.

a) Halle la ecuación de la perpendicular a la recta 4𝑥 + 𝑦 = 1 que pase por el punto de intersección de las rectas 2𝑥 − 5𝑦 + 3 = 0 𝑦 𝑥 − 3𝑦 = 7. b) Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0 y 2𝑥 + 5𝑦 − 9 = 0 cuya distancia al origen es 2.

6) a) Halle la ecuación de la familia que pasa por el punto de intersección de las rectas

022 yx y 01 yx .

b) Halle el elemento de la familia que es paralelo a la recta 0534 yx .

c) Halle el elemento de la familia que es perpendicular a la recta 523 yx .

d) Halle el elemento de la familia que pase por el punto (– 1 , 3).

e) Halla el elemento de la familia cuya distancia al origen sea 1.


Página 8 de 15

Laboratorio #7 Circunferencia

I.- Determine si la ecuación dada representa o no una circunferencia. Si lo es, halle el centro, el radio y su gráfica.

1) 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑦 = 0 2) 13𝑥2 + 13𝑦2 + 24𝑥 − 68𝑦 − 30 = 0 3) 4𝑥2 + 4𝑦2 − 16𝑥 + 48𝑦 + 160 = 0 4) 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 + 6𝑦 + 23 = 0

II.- Halle la ecuación de la circunferencia descrita por las condiciones dadas.

1) Es tangente a las rectas 5x-12y+5=0, 4x+3y-3=0 y tiene su centro sobre la recta 7x-2y-1=0.

2) Pasa por los puntos (5, 3), (6, 2), (3, -1). 3) Tiene radio 10, pasa por el origen y la abscisa del centro es – 6.

4) Pasa por el punto (-2,1) y es tangente a la recta 3x-2y-6=0 en el punto (4, 3)

5) Un diámetro es el segmento determinado por los puntos (5, -1) y (-3, 7).

6) Pasa por el punto (7, 4) y el centro está en (4, 2).

III.- Resuelva los siguientes problemas.

1) Halle la ecuación de la familia de circunferencias que pasan por las intersecciones de las circunferencias 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 6𝑦 + 17 = 0 y 𝑥2 + 𝑦2 − 18𝑥 − 4𝑦 + 67 = 0

a) Halle el elemento de la familia que pasa por el punto (-8, 5). b) Halle el elemento de la familia cuyo centro está sobre el eje Y. c) Halle el elemento de la familia cuyo centro está sobre el eje X. d) Halle el elemento de la familia cuyo centro está en la recta y = x. e) Halle el eje radical.

2) Dada la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 = 5, halle los valores de k para los cuales las

rectas de la familia 𝑥 − 2𝑦 + 𝑘 = 0,

a) Cortan a la circunferencia en dos puntos distintos.


Página 9 de 15

b) Son tangentes. c) No se intersectan con la circunferencia.

3) Halle la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en y pasa por

las intersecciones de las circunferencias 𝑥2 + 𝑦2 + 3𝑥 − 4 = 0 y 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 𝑦 − 6 = 0.

4) Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por las intersecciones de las circunferencias 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0 y 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 6 = 0 y tiene su centro sobre la recta y= x.


Página 10 de 15

Laboratorio #8 Traslación de coordenadas

I.- Determine las coordenadas del punto P cuando los ejes coordenados son trasladados al nuevo origen O.

1) 𝑃(−3, 2); 𝑂′(4, 1)

2) 𝑃(4, −3);𝑂′(−3,−6)

3) 𝑃(3√2, √2); 𝑂′(1 + 3√2,−1 + √2) II.- Halle la transformada de la ecuación dada cuando los ejes coordenados son trasladados al nuevo origen O´ indicado.

1) 𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0; 𝑂′(3, −2)

2) 2𝑦2 + 3𝑥2 + 8𝑦 + 8 = 0;𝑂′(−2,1)

3) 2𝑥 + 2𝑦 + 7 = 8;𝑂′(1,1

2)

III.- Transforme la ecuación dada en otra que no contenga términos de primer grado utilizando una traslación de ejes.

1) 𝑥2 + 4𝑦2 − 8𝑥 − 8𝑦 + 5 = 0

2) 2𝑥2 − 3𝑥𝑦 − 𝑦2 + 𝑥 − 5𝑦 − 3 = 0

3) 𝑥𝑦 + 𝑥 − 2𝑦 = 0

4) 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0

5) 9𝑥2 + 4𝑦2 − 8𝑦 − 32 = 0


Página 11 de 15

Laboratorio #9 Parábola

I.- Reduzca la ecuación dada a la forma ordinaria de la ecuación de la parábola. Halle sus elementos y trace el lugar geométrico correspondiente.

1) 𝑦2 − 8𝑥 − 8𝑦 + 64 = 0 2) 4𝑦2 − 𝑥 − 48𝑦 + 147 = 0

3) 42 − 48𝑦 − 29𝑥 = 71 4) 𝑦2 − 5𝑦 + 4 − 𝑥 = 0 5) 𝑥2 − 6𝑥 − 4𝑦 = −17

II.- Halle la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas.

1) F(-3, -2), V(-3, -5) 2) F(1, 4), V(0, 4)

3) 𝑉 (3,3

5) y directriz la recta y-2=0.

4) V(3, 2), F(3, 4) 5) V(3, 1) La directriz es la recta 6) F(2, 2), la directriz es la recta 7) V(3, -4), eje paralelo al eje x, y pasa por (2, -5).

III.-

1) Halle la ecuación de la recta tangente a la parábola 03222 yxy que es

perpendicular a la recta 072 yx .

2) Con referencia a la parábola 𝑥2 + 4𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 encuentre los valores de “ k “ para los cuales las rectas de la familia 3𝑥 + 𝑦 = 2𝑘 cumplen con las condiciones requeridas: a) Cortan a la parábola en dos puntos diferentes. b) Son tangentes a la parábola. 3) Resuelva la siguiente desigualdad utilizando la gráfica de una parábola.

a) 6 + 𝑥 − 𝑥2 < 0 b) 𝑥2 − 7𝑥 − 60 > 0


Página 12 de 15

Laboratorio #10 Elipse

I.- Reduzca la ecuación dada a la forma ordinaria de la ecuación de la elipse, halle sus elementos y trace la gráfica correspondiente. 1) 9𝑥2 + 4𝑦2 − 90𝑥 − 24𝑦 + 255 = 0 2) 27𝑥2 + 𝑦2 + 108𝑥 − 10𝑦 + 52 = 0 3) 16𝑥2 + 25𝑦2 + 32𝑥 − 100𝑦 = 284 4) 9𝑥2 + 𝑦2 − 18𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 II.- Halle la ecuación de la elipse que satisfaga las condiciones dadas. 1) Sus vértices son los puntos (-4, 0), (4, 0) y pasa por el punto (1, 3).

2) 𝑒 =1

6, 𝑉 (3,−

5

2) , 𝐶(3, −1)

3) 𝐹1(0, √7) y 𝐹2(0, −√7), longitud del eje menor √3.

5) , , y pasa por .

6) Pasa por los puntos (2, 1) (-1, 3) (2, 5) (5, 3) y sus ejes son paralelos a

los ejes coordenados. 7) C(-2, -1) un vértice (3, -1) y LR=4

III.-

1) Halle la ecuación de la recta que pasa por el centro de la elipse 4𝑥2 +𝑦2 + 8𝑥 + 2𝑦 − 31 = 0 y pasa por el punto (1, 3).

2) Halle la ecuación de la parábola con vértice en el centro de la elipse

3𝑥2 + 2𝑦2 + 24𝑥 − 32𝑦 + 17 = 0, se abre hacia abajo y pasa por el punto (-2, 0).

3) Halle la ecuación de la recta tangente a la elipse 4𝑥2 + 5𝑦2 = 8 que es

paralela a la recta 2𝑥 − 𝑦 = 2.


Página 13 de 15

4) Con referencia a la elipse 3𝑥2 + 16𝑦2 = 91 halle los valores de “k” para

los cuales las rectas de la familia 𝑥 + 𝑘𝑦 = 13 cumpla con lo siguiente: 1) Cortan a la elipse en dos puntos diferentes. 2) Son tangentes a la elipse en dos puntos diferentes. 3) No cortan a la elipse.


Página 14 de 15

Laboratorio #11 Hipérbola

I.- Reduzca la ecuación a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola, halle sus elementos y trace su gráfica. 1) 𝑥2 − 4𝑦2 − 6𝑥 − 8𝑦 + 69 = 0 2) 4𝑦2 − 9𝑥2 + 8𝑦 − 54𝑦 − 81 = 0 3) 𝑥(𝑥 − 4) = 𝑦(𝑦 − 2) 4) 9𝑥2 − 𝑦2 − 36𝑥 − 2𝑦 + 4 II.- Halle la ecuación de la hipérbola que satisface:

1) vértices en (4, -2), (0, -2) y pasa por el punto (6, 3√3 − 2). 2) vértices (1, 7), (1, -3) y focos (1, 9), (1, -5).

3) 𝑉(−4, 3), 𝐶(−4, 5), 𝑒 =5

4

4) Vértices en (0, -3), (0, 3), distancia focal igual a 7. 5) Vértices (-2, -3), (-2, 7), una de sus asíntotas es la recta 𝑥 + 5𝑦 = 8 6) Tiene C(2, 2), 𝐹1(10, 2) y 𝑉1(5, 2). III.-

1) Halle la ecuación de la recta tangente a la hipérbola 7𝑥2 − 12𝑦2 = −80 que es perpendicular a la recta 6𝑥 − 𝑦 = 4

2) Determine los valores de m para los que la recta 𝑦 =5

2𝑥 + 𝑚,

1) corta a la hipérbola 𝑥2

9−

𝑦2

36= 1

2) es tangente a ella.


Página 15 de 15

Laboratorio #12 Rotación de ejes y Ecuación General de Segundo Grado

I.- Halle la transformada de la ecuación dada cuando los ejes coordenados se giran el ángulo indicado.

1) 𝑥√3 − 𝑦 = 4; 𝜃 = 60°

2) 41𝑥2 − 18𝑥𝑦 + 41 = 80; 𝜃 =𝜋

4

3) 2𝑥2 + 𝑦2 + √3𝑥𝑦 + 2𝑥 + 2𝑦 = 2; 𝜃 =𝜋

6

4) 4𝑥2 − 3𝑦2 + 24𝑥𝑦 − 2652 = 0; 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛−1 (3

5)

II.- Mediante una rotación de los ejes coordenados transforme la ecuación dada en otra que no contenga termino en x’ y’. 1) 𝑥2 + 3𝑥𝑦 − 𝑥 + 𝑦 = 0 2) 3𝑥2 − 6𝑥𝑦 − 11𝑦2 + 2𝑥 + 2𝑦 = 11

3) 7𝑥2 + 5𝑦2 + 2√3𝑥𝑦 + 2𝑥 +𝑦

2+ 20 = 0

4) 2𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 5𝑦2 + 2𝑥 + 3𝑦 = 18 III.- Identifique el tipo de cónica representado por la ecuación dada. Reduzca la ecuación a su forma canónica y trace la gráfica correspondiente. 1) 2𝑥𝑦 − 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 2) 𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 4𝑦2 + 4𝑥 + 1 = 2𝑦 3) 𝑥2 − 𝑦2 + 4 = 0 4) 9𝑥2 + 6𝑥𝑦 + 𝑦2 + 3𝑥 − 𝑦 = 0

5) 7

2𝑥2 +

7

2𝑦2 + 𝑥𝑦 + √2𝑥 − √2𝑦 −

143

12= 0

Geometría Analítica Enero 2016 - FCFM€¦ · Geometría Analítica Enero 2016 Página 8 de 15...

Documents

Transcript of Geometría Analítica Enero 2016 - FCFM€¦ · Geometría Analítica Enero 2016 Página 8 de 15...