Geometría analítica (introducción)

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G e o m e t r ía G e o m e t r íaAn a lít ic aAn a lít ic aC O N TEN ID OC O N TEN ID O

1. IN TR O D U C C IÓ N

3. O R ÍG EN E S

5. D EF IN IC IÓ N

7. O B J ETIVO

9. D IS TAN C IA EN TR E D O S P U N TO S

11. D IVIS IÓ N D E U N S EG M EN TO EN U N A R AZÓ N D AD A.i P U N TO M ED IO D E U N S EG M EN TO

• P EN D IEN TE D E U N S EG M EN TO

• LU G AR G EO M ÉTR IC O

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G e o m e t r ía G e o m e t r íaAn a lít ic aAn a lít ic a

, , D e s d e la a n t ig ü e d a d e l Á lg e b r a y la G e o m e t r ía s e . 1 6 3 7 d e s a r r o lla r o n e n f o rm a in d e p e n d ie n t e E n e l

m a t e m á t ic o y f i ló s o f o R e n é D e s c a r t e s p u b lic ó s u o b r a " " LA G EO METR ÍE , e n la c u a l u n if ic a b a a m b a s

r a m a s p o r m e d io d e u n s is t e m a c o o r d e n a d o r e c t a n g u la r c o n e l q u e s e e s t a b le c ía u n a

c o r r e s p o n d e n c ia b iu n ív o c a e n t r e p u n t o s y . n ú m e r o s r e a le s Lo a n t e r io r in t r o d u jo la a p lic a c ió n

, d e lo s m é t o d o s d e l a n á l is is e n la g e o m e t r ía e s p o r , e l lo q u e s u r g e la G e o m e t r ía An a lít ic a t a m b ié n

, l la m a d a G e o m e t r ía d e C o o r d e n a d a s o C a r t e s ia n a q u e p e rm it e e l e m p le o d e m é t o d o s a lg e b r a ic o s

, p a r a r e s o lv e r p r o b le m a s g e o m é t r ic o s a s í c o m o la r e p r e s e n t a c ió n g e o m é t r ic a d e e c u a c io n e s

.l in e a le s y d e s e g u n d o o r d e n

La a p lic a c ió n d e la G e o m e t r ía An a lít ic a e n p r o b le m a s g e o m é t r ic o s im p lic a la u t i l iz a c ió n d e u n

s is t e m a d e c o o r d e n a d a s r e c t a n g u la r e s o ( c a r t e s ia n a s a lg u n a s v e c e s c o o r d e n a d a s

), p o la r e s a l q u e s e t r a s la d a la c o n d ic ió n o .c o n d ic io n e s g e o m é t r ic a s q u e d e b e n s a t is f a c e r s e

IN TR O D U C C IÓ NIN TR O D U C C IÓ N

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G e o m e t r ía G e o m e t r íaAn a lít ic aAn a lít ic aO R IG EN E SO R IG EN E S

, P a r a lo s g r ie g o s la G e o m e t r ía e r a in s e p a r a b le d e . la s f ig u r a s P la n t e a r s e u n p r o b le m a e n e l q u e

, in t e r v in ie r a n p la n o s r e c t a s o f ig u r a s m á s c o m p le ja s s e h a c ía s ie m p r e c o n la a y u d a d e

. d ib u jo s C o n la G e o m e t r ía An a lít ic a e s t e t ip o d e , p r o b le m a s s e p u e d e r e s o lv e r “ a c ie g a s ”

c o n s t it u y e n d o a s í u n a h e r r a m ie n t a q u e s e m u e s t r a e s p e c ia lm e n t e e f ic a z e n a q u e llo s

p r o b le m a s e n lo s q u e la in t u ic ió n g e o m é t r ic a e s .m á s u n e s t o r b o q u e u n a a y u d a

La s f ig u r a s g e o m é t r ic a s e s t á n f o rm a d a s p o r. p u n t o s La p o s ib il id a d d e a s ig n a r n ú m e r o s a e s t o s , p u n t o s d e m a n e r a ú n ic a h a c e p o s ib le q u e lo s

p r o b le m a s d e G e o m e t r ía s e c o n v ie r t a n e n . p r o b le m a s d e Á lg e b r a E s t o s e c o n s ig u e , d e f in ie n d o u n s is t e m a d e c o o r d e n a d a s c o n u n o

, d o s o t r e s n ú m e r o s s e g ú n q u e e s t e m o s , , t r a b a ja n d o e n la r e c t a e l p la n o o e l e s p a c io

.r e s p e c t iv a m e n t e

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G e o m e t r ía G e o m e t r íaAn a lít ic aAn a lít ic aO R IG EN E SO R IG EN E S

, E n e l s ig lo XVII e l f r a n c é s R e n é D e s c a r t e s(1 5 9 6 -1 6 5 0 ) : d e c ía a l r e s p e c t o “ S o lo s e p u e d e

e je r c e r e l r a c io c in io y r e s o lv e r d e t e r m in a d o s, p r o b le m a s a c o n d ic ió n d e f a t ig a r e n o rm e m e n t e la

.im a g in a c ió n ” , P a r a é l e r a n n e c e s a r io s n u e v o s m é t o d o s

, m é t o d o s m á s p o t e n t e s q u e lo s q u e h a s t a, .e n t o n c e s s e m a n e ja b a n

, , D e e s t a m a n e r a y c a s i a l u n ís o n o R e n é D e s c a r t e s y P ie r r e F e rm a t d e s a r r o lla r o n u n a id e a

: . g e n ia l e l M é t o d o d e C o o r d e n a d a s La id e a f u n d a m e n t a l c o n s is t ía e n t r a n s f o rm a r lo s

p r o b le m a s g e o m é t r ic o s e n p r o b le m a s a lg e b r a ic o s m e d ia n t e la

.in t r o d u c c ió n d e lo s s is t e m a s d e c o o r d e n a d a s

D e s c a r t e s q u e d ó p r o f u n d a m e n t e im p r e s io n a d o . , p o r la p o t e n c ia d e e s t e m é t o d o Ta n t o e s a s í q u e

: é l m is m o d e c ía “ E l á lg e b r a m e c a n iz a e l p e n s a m ie n t o y a s í s e p u e d e n c o n s e g u ir

, r e s u lt a d o s q u e d e , .o t r o m o d o s o n c a s i im p o s ib le s d e e s t a b le c e r ”

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G e o m e t r ía G e o m e t r íaAn a lít ic aAn a lít ic aO R IG EN E SO R IG EN E S

, E n e s e n c ia la id e a d e e s t e m é t o d o c o n s is t e e n e x p r e s a r la s r e c t a s y c u r v a s m e d ia n t e

. e c u a c io n e s S u t r a t a m ie n t o a lg e b r a ic o p e rm it e o b t e n e r p r o p ie d a d e s y r e s u lt a d o s in t e r p r e t a b le s

.g e o m é t r ic a m e n t e , Mu c h o s p r o b le m a s d e o r ig e n f ís ic o c o m o la

, t r a y e c t o r ia d e la lu z a l c a m b ia r d e m e d io s e l , . , m o v im ie n t o d e p r o y e c t i le s e t c p u d ie r o n r e s o lv e r s e c o n e s t a n u e v a h e r r a m ie n t a.m a t e m á t ic a

, A p a r t ir d e l s ig lo XVII e l d e s a r r o l lo d e la . , m a t e m á t ic a s e h a c e e s p e c t a c u la r La a r it m é t ic a la

, g e o m e t r ía y e l á lg e b r a s e u n e n p a r a d a r lu g a r a , , r e s u lt a d o s in e s p e r a d o s q u e d e o t r o m o d o h a b r ía

.s id o im p o s ib le c o n s e g u ir

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G e o m e t r ía G e o m e t r íaAn a lít ic aAn a lít ic aD EF IN IC IÓ ND EF IN IC IÓ N

La g e o m e t r ía a n a lít ic a e s la r a m a d e la g e o m e t r ía , e n la q u e la s l ín e a s r e c t a s la s c u r v a s y la s

f ig u r a s g e o m é t r ic a s s e r e p r e s e n t a n m e d ia n t e e x p r e s io n e s a lg e b r a ic a s y n u m é r ic a s u s a n d o u n

. c o n ju n t o d e e je s y c o o r d e n a d a s C u a lq u ie r p u n t o d e l p la n o s e p u e d e lo c a l iz a r c o n r e s p e c t o a u n p a r d e e je s p e r p e n d ic u la r e s d a n d o la s d is t a n c ia s .d e l p u n t o a c a d a u n o d e lo s e je s

, La g e o m e t r ía a n a lít ic a s e e n c a r g a d e l e s t u d io d e la s f ig u r a s a p a r t ir d e u n s is t e m a d e

, c o o r d e n a d a s u t i l iz a n d o lo s m é t o d o s p r o p io s d e l .a n á l is is m a t e m á t ic o y d e l á lg e b r a

La g e o m e t r ía a n a lít ic a p r e t e n d e o b t e n e r la e c u a c ió n d e lo s s is t e m a s d e c o o r d e n a d a s a p a r t ir

. , d e s u lu g a r g e o m é t r ic o P o r o t r a p a r t e e s t a d is c ip l in a p e rm it e d e t e r m in a r e l lu g a r g e o m é t r ic o

d e lo s p u n t o s q u e f o rm a n p a r t e d e la e c u a c ió n d e l .s is t e m a d e c o o r d e n a d a s

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G e o m e t r ía An a lít ic a G e o m e t r ía An a lít ic a

O B J ETIVO SO B J ETIVO S

La G e o m e t r ía An a lít ic a t ie n e p o r o b je t o la r e s o lu c ió n d e p r o b le m a s g e o m é t r ic o s u t i l iz a n d o

.m é t o d o s a lg e b r a ic o s

• Id e n t if ic a r la s c o o r d e n a d a s d e u n p u n t o e n e l . p la n o y c o n o c e r s u in t e r p r e t a c ió n g e o m é t r ic a

• R e c o n o c e r y r e p r e s e n t a r g r á f ic a m e n t e lu g a r e s g e o m é t r ic o s d e p u n t o s a d is t a n c ia c o n s t a n t e d e

. lo s e je s• E x p r e s a r e n u n a t a b la d e v a lo r e s y r e p r e s e n t a r

g r á f ic a m e n t e la s s o lu c io n e s d e u n a e c u a c ió n d e . p r im e r g r a d o c o n d o s in c ó g n it a s

• E s t u d ia r a n a l ít ic a m e n t e la in c id e n c ia e n t r e p u n t o s . y r e c t a s• , D e t e rm in a r la p o s ic ió n r e la t iv a e n t r e d o s r e c t a s y

, c o m o a p lic a c ió n d is c u t ir y r e s o lv e r u n s is t e m a2 2 .x 8

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G e o m e t r ía An a lít ic a G e o m e t r ía An a lít ic a

D IS TAN C IA EN TR E D O S P U N TO S D IS TAN C IA EN TR E D O S P U N TO S

S e a n la s c o o r d e n a d a s d e d o s p u n t o s c u a le s q u ie r a(A x 2 ; y 2 ) y(B x 1; y 1), la d is t a n c ia e n t r e e llo s e s ig u a l a la

. :lo n g it u d d e l s e g m e n t o AB A s í

( ) ( )= − + −2 2

2 1 2 1( ; )d A B x x y y

XX

YY

x 2

y 2B

Ay 1

x 1

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G e o m e t r ía An a lít ic a G e o m e t r ía An a lít ic a

D IVIS IÓ N D E U N S EG MEN TO EN U N A R AZÓ N D AD A D IVIS IÓ N D E U N S EG MEN TO EN U N A R AZÓ N D AD A

(S i A x 2 ; y 2 ) (y B x 1; y 1) s o n lo s e x t r e m o s d e u n , s e g m e n t o d e r e c t a e s p o s ib le e n c o n t r a r la s

( ; ) c o o r d e n a d a s d e u n p u n t o P x y q u e d iv id a a l s e g m e n t o AB e n u n a r a z ó n d a d a p o r la e x p r e s ió n

, :a s í

=APr

PB

+ += + +

1 2 1 2x rx y ry;P1 1r r

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G e o m e t r ía An a lít ic a G e o m e t r ía An a lít ic a

P U N TO MED IO D E U N S EG MEN TO P U N TO MED IO D E U N S EG MEN TO

( ; E l p u n t o m e d io d e l s e g m e n t o AB e s e l p u n t o M x), y q u e d iv id e e n d o s s e g m e n t o s AM y M B d e ig u a l

. :lo n g it u d A s í + +

= 1 2 1 2x x y y;M 2 2

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G e o m e t r ía An a lít ic a G e o m e t r ía An a lít ic a

P EN D IEN TE D E U N S EG MEN TO P EN D IEN TE D E U N S EG MEN TO

( ) E l á n g u lo d e in c lin a c ió n α d e u n s e g m e n t o e s e l á n g u lo q u e f o rm a

( ) , e l s e g m e n t o o s u p r o lo n g a c ió n c o n e l e je X - m e d id o e n s e n t id o a n t i h o r a r io y c o n s id e r a n d o a l

.e je X c o m o la d o in ic ia l ( ) La p e n d ie n t e m e s la t a n g e n t e d e l á n g u lo d e

. in c l in a c ió n

−= =

−2 1

2 1

y y(m tg )αx x

XX

YY

x 2

y 2B

Ay 1

x 1

α

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G e o m e t r ía An a lít ic a G e o m e t r ía An a lít ic a

LU G AR G EO MÉTR IC O LU G AR G EO MÉTR IC O

U n o d e lo s m á s im p o r t a n t e s lo g r o s d e la G e o m e t r ía An a lít ic a e s e l h a b e r c o n s e g u id o la

. in t e g r a c ió n d e l á lg e b r a c o n la g e o m e t r ía E s t o lo p o d e m o s a p r e c ia r a t r a v é s d e d o s p r o b le m a s

:f u n d a m e n t a le s q u e s e p r e s e n t a n e n e l c u r s o

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1. , D a d a u n a e c u a c ió n t r a z a r e n e l p la n o la

g r á f ic a q u e la.r e p r e s e n t a

3. D a d a s c ie r t a s c o n d ic io n e s g e o m é t r ic a s

q u e d e b e n c u m p lir lo s p u n t o s d e u n lu g a r

, g e o m é t r ic o o g r á f ic a .d e t e rm in a r s u e c u a c ió n

Page 14: Geometría analítica (introducción)

G e o m e t r ía An a lít ic a G e o m e t r ía An a lít ic a

LU G AR G EO MÉTR IC O LU G AR G EO MÉTR IC O

E n la s s e c c io n e s a n t e r io r e s h e m o s e s t u d ia d o e l . p r im e r p r o b le m a

.E n e s t a s e c c ió n e s t u d ia r e m o s e l s e g u n d o 

Ac la r e m o s q u e la d e t e r m in a c ió n d e la e c u a c ió n d e u n lu g a r g e o m é t r ic o im p lic a la d e t e rm in a c ió n d e

u n a e c u a c ió n q u e e s s a t is f e c h a p o r t o d o s lo s p u n t o s q u e p e r t e n e c e n a l lu g a r g e o m é t r ic o y q u e

n o e s s a t is f e c h a p o r lo s p u n t o s q u e n o e s t á n e n e l .lu g a r g e o m é t r ic o

  N o h a y n in g ú n m é t o d o g e n e r a l q u e s e p u e d a d a r

. , p a r a r e s o lv e r e s t e p r o b le m a S in e m b a r g o p u e d e s e r ú t i l e n la m a y o r ía d e lo s c a s o s c o m e n z a r c o n

, u n c r o q u is h e c h o e n b a s e a la s c o n d ic io n e s g e o m é t r ic a s q u e d e f in e n a l lu g a r g e o m é t r ic o

, ( ; ) d a d o d o n d e s e s it u a r á u n p u n t o g e n é r ic o P x y . d e l lu g a r Lu e g o s e e x p r e s a r á n a n a lít ic a m e n t e la s

c o n d ic io n e s g e o m é t r ic a s d a d a s y s e t r a t a r á d e d e t e rm in a r u n a e c u a c ió n q u e r e la c io n e s la s

.c o o r d e n a d a s x e y d e l p u n t o g e n é r ic o P

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Page 15: Geometría analítica (introducción)

G e o m e t r ía An a lít ic a G e o m e t r ía An a lít ic a

LU G AR E S G EO MÉTR IC O S FU N D AMEN TALE S LU G AR E S G EO MÉTR IC O S FU N D AMEN TALE S

• E l lu g a r g e o m é t r ic o d e lo s p u n t o s d e l p la n o q u e , e q u id is t a n d e d o s p u n t o s A y B f ijo s e s la

.m e d ia t r iz d e l s e g m e n t o AB • E l lu g a r g e o m é t r ic o d e lo s p u n t o s d e l p la n o q u e

e q u id is t a n d e lo s la d o s d e u n á n g u lo c o n v e x o( ) XO Y e s la .b is e c t r iz d e d ic h o á n g u lo

 • E l lu g a r g e o m é t r ic o d e lo s p u n t o s d e l p la n o q u e

d is t a n u n a lo n g it u d d a d a r d e u n p u n t o f ijo O e s la .c ir c u n f e r e n c ia d e c e n t r o O y r a d io r

 • E l lu g a r g e o m é t r ic o d e lo s p u n t o s q u e e q u id is t a n

( ) d e u n a r e c t a e je o d ir e c t r iz y u n p u n t o f ijo l la m a d o f o c o e s la .p a r á b o la

 • E l lu g a r g e o m é t r ic o d e lo s p u n t o s d e l p la n o t a le s

q u e la s u m a d e la s d is t a n c ia s a d o s p u n t o s f ijo s , l la m a d o s f o c o s e s u n a c o n s t a n t e p o s it iv a e s la

.e lip s e

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Page 16: Geometría analítica (introducción)

G e o m e t r ía An a lít ic a G e o m e t r ía An a lít ic a

• E l lu g a r g e o m é t r ic o d e lo s p u n t o s d e l p la n o t a le s q u e la d if e r e n c ia d e la s d is t a n c ia s a d o s p u n t o s , f ijo s l la m a d o s f o c o s e s u n a c o n s t a n t e p o s it iv a

e s la .h ip é r b o la • E l lu g a r g e o m é t r ic o d e lo s p u n t o s d e l p la n o q u e

m ir a n u n s e g m e n t o AB b a jo u n á n g u lo d a d o d e a m p lit u d α, e s t á f o rm a d o p o r d o s a r c o s d e

c ir c u n f e r e n c ia d e c u e r d a AB y s e lla m a n a r c o s c a p a c e s s o b r e AB d e á n g u lo α.

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LU G AR E S G EO MÉTR IC O S FU N D AMEN TALE S LU G AR E S G EO MÉTR IC O S FU N D AMEN TALE S

Page 17: Geometría analítica (introducción)

G e o m e t r ía An a lít ic a G e o m e t r ía An a lít ic a

• La c ir c u n f e r e n c ia e s e l lu g a r g e o m é t r ic o d e lo s . p u n t o s q u e e q u id is t a n t e d e u n o f ijo l la m a d o c e n t r o

La d is t a n c ia d e u n p u n t o c u a lq u ie r a d e la .c ir c u n f e r e n c ia a l c e n t r o s e d e n o m in a r a d io

:/ / . . /~ / / / .h t t p f i le m o n u p c t e s p e p e m a r c o n ic a s c ir c u n f e r e n c ia c ir c u n f e h t m

• , La p a r á b o la e s e l lu g a r g e o m é t r ic o d e lo s p u n t o s P t a le s q u e e q u id is t a n d e u n p u n t o f ijo l la m a d o f o c o y

.d e u n a r e c t a d e n o m in a d a d ir e c t r iz:/ / . . /~ / / / .h t t p f i le m o n u p c t e s p e p e m a r c o n ic a s p a r a b o la p a r a b o la h t m l

• La e lip s e e s e l lu g a r g e o m é t r ic o d e lo s p u n t o s d e l, p la n o c u y a s u m a d e d is t a n c ia s a d o s p u n t o s f ijo s

( ' ) (2 )lo s f o c o s F y F e s c o n s t a n t e a:/ / . . /~ / / / _ % 9 .h t t p f i le m o n u p c t e s p e p e m a r c o n ic a s e lip s e e l ip s e h ip E r b o la h t m l

 • La h ip é r b o la e s e l lu g a r g e o m é t r ic o d e lo s p u n t o s

, d e l p la n o c u y a d if e r e n c ia d e d is t a n c ia s a d o s ( ) .p u n t o s f ijo s lo s f o c o s e s c o n s t a n t e

:/ / . . /~ / / / % 9 .h t t p f i le m o n u p c t e s p e p e m a r c o n ic a s h ip e r b o la h ip E r b o la h t m

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LU G AR E S G EO MÉTR IC O S C O N J AVA LU G AR E S G EO MÉTR IC O S C O N J AVA

Page 18: Geometría analítica (introducción)

G e o m e t r ía An a lít ic a G e o m e t r ía An a lít ic a

• D e t e rm in a la e c u a c ió n d e l lu g a r g e o m é t r ic o d e ( ; ) lo s p u n t o s P x y q u e e q u id is t a n d e lo s p u n t o s

(1 ; 0 ) (0 ; 1 ). A y B  • ( ; ) D e t e rm in a la e c u a c ió n d e lo s p u n t o s P x y q u e

4 . d is t a n d e l o r ig e n d e c o o r d e n a d a s u n id a d e s

• ( ; ) U n p u n t o P x y s e m u e v e d e t a l m o d o q u e s u d is t a n c ia a l e je X e s ig u a l a s u d is t a n c ia a l p u n t o

(0 ; 4 ).f i jo F

• D e t e rm in a la e c u a c ió n d e l lu g a r g e o m é t r ic o d e ( ; ) lo s p u n t o s P x y t a le s q u e la s u m a d e s u s

d is t a n c ia s a lo s p u n t o s F 1(-2 ; 0 ) y F 2 (2 , 0 ) e s 6 . s ie m p r e ig u a l a

• D e t e rm in a la e c u a c ió n d e l lu g a r g e o m é t r ic o d e ( ; ) lo s p u n t o s P x y t a le s q u e la d if e r e n c ia d e s u s

d is t a n c ia s a lo s p u n t o s F 1(-1 0 ; 0 ) y F 2 (1 0 , 0 ) e s 1 6 . s ie m p r e ig u a l a

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E J ER C IC IO SE J ER C IC IO S

Page 19: Geometría analítica (introducción)

G e o m e t r ía An a lít ic a G e o m e t r ía An a lít ic a

• U n s e g m e n t o AB s e m u e v e d e t a l m o d o q u e s u e x t r e m o A s e e n c u e n t r a s ie m p r e e n e l s e m ie je , p o s it iv o d e la s X m ie n t r a s q u e e l e x t r e m o B s e

e n c u e n t r a s ie m p r e e n e l s e m ie je p o s it iv o d e la s. ( ; Y H a lla e l lu g a r g e o m é t r ic o d e l p u n t o m e d io P x) , y d e l s e g m e n t o AB s a b ie n d o q u e e l t r iá n g u lo

AO B q u e f o rm a e l s e g m e n t o c o n lo s e je s t ie n e 8 . s ie m p r e á r e a ig u a l a u n id a d e s

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E J ER C IC IO SE J ER C IC IO S