Espacio TridimensionalITESM-Campus Sonora Norte

Matemáticas III

Profesora Cecilia Ramírez Figueroa

Objetivos

Describir el espacio tridimensional a

través del sistema de coordenadas

cartesianas

Localizar puntos en el espacio

tridimensional cartesiano

Reconocer las ecuaciones

Sistema de Coordenadas en

Tres dimensiones

Sistema de Coordenadas

Cartesianas en Tres

dimensiones

Sistema de Coordenadas

Cartesianas en Tres

dimensiones Las coordenadas cartesianas (x,y,z)

de un punto P en el espacio son los

números en los cuales los planos

perpendiculares atraviesan P y cortan

los ejes.

Sistema de Coordenadas

Cartesianas en Tres

dimensiones

Sistema de Coordenadas

Cartesianas en Tres

dimensiones

Sistema de Coordenadas

Cartesianas en Tres

dimensiones Muchas de las fórmulas establecidas para

el sistema de coordenadas

bidimensionales, puede extenderse a tres

dimensiones.

La distancia entre dos puntos en el

espacio, se usa dos veces el teorema

pitagórico.

Ejemplo: Distancia entre dos

puntos en el espacio Calcule la distancia entre los puntos

(2,-1,3 ) y (1,0,-2)

2 2 2(1 2) (0 1) ( 2 3)

= 1 1 25

= 27

=3 3

d

Vectores en el espacio

En el espacio los vectores se denotan mediante las ternas ordenadas

v = <v1, v2, v3>

El vector cero se denota 0 = <0, 0, 0 >

Usando los vectores unitarios

i =<1, 0, 0>; j = <0, 1, 0>; k = <0, 0, 1>

en la dirección del eje positivo z, la notación empleando los vectores unitarios canónicos o estándar para v es

v = v1i+ v2j +v3k

Vectores en el espacio

Si v se representa por el segmento de

recta dirigido de P(p1, p2, p3) a

Q(q1, q2, q3)

las componentes de v se obtienen

restando las coordenadas del punto

inicial de las coordenadas del punto

final, como sigue

v = <v1, v2,v3> =< q1- p1,q2- p2, q3- p3)

Vectores en el espacio

Ejemplo: Hallar las componentes

de un vector en el espacio Hallar las componentes y la longitud del vector v que

tiene punto inicial (-2,3,1) y punto final (0,-4,4). Después, hallar un vector unitario en la dirección de v.

Solución:

El vector v dado mediante sus componentes es

v = <q1- p1,q2- p2, q3- p3>=<0-(-2),-4-3, 4-1> = <2, -7, 3>

A

A

A

A

A

Tarea

Representar los puntos en el mismo

sistema de coordenadas

tridimensional