Solucion de Schwarzschild corregida pormedio de Asymptotic Safety

Esta disertacion se presenta para el grado de

Fısico

Diego Alejandro Rodrıguez Torres

Universidad de los Andes

Facultad de Ciencias

Departamento de Fısica

Bogota D.C. Colombia

2019

1

Solucion de Schwarzschild corregida pormedio de Asymptotic Safety

Esta disertacion se presenta para el grado de

Fısico

Diego Alejandro Rodrıguez Torres

Universidad de los Andes

Facultad de Ciencias

Departamento de Fısica

Director

Pedro Bargueno. Ph.D

Bogota D.C. Colombia

2019

Contents

1 Introduccion 6

2 Introduccion a la Relatividad General 8

2.1 Gravedad en Fısica Clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Principio de equivalencia de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Ecuaciones de Campo de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Solucion de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Teorıa de Renormalizacion y Asymptotic Safety 21

3.1 Teorıa de Renormalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 La idea de Kadanoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Ecuacion del grupo de Renormalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Aproximacion de Einstein-Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Solucion de Schwarzschild corregida 33

4.1 Aproximacion semi-clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Interpretacion fısica de la escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 Correcciones a la metrica de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.1 Horizonte de eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3.2 Potencial gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Conclusiones 38

3

Abstract

One of the main problems of modern physics is to find a consistent theory that can

provide a quantum description for gravity; however, this theory has not been formulated

to this day. In this work we will study the Asymptotic Safety model in General Rela-

tivity, which is an alternative to understand the quantum gravity paradigm, but which

is not intended as a theory of everything . Throughout the document the physical and

mathematical requirements necessary to develop the ideas of Asymptotic Safety will be

explained and finally the new results will be applied to the Schwarzschild black hole

solution.

Resumen

Uno de los principales problemas de la fısica moderna consiste en encontrar una teorıa

consistente que pueda brindar una descripcion cuantica para la gravedad; sin embargo,

dicha teorıa no ha sido formulada hasta el dıa de hoy.En este trabajo se estudiara el modelo

de Asymptotic Safety en Relatividad General, el cual es una alternativa para tratar de

entender el paradigma de la gravedad cuantica, pero que no pretende ser una teorıa del

todo. A lo largo del documento se explicaran los requerimientos fısicos y matematicos

necesarios para poder desarrollar las ideas de Asymptotic Safety y por ultimo se aplicaran

los nuevos resultados a la solucion de agujero negro de Schwarzschild.

1 Introduccion

Hasta el dıa de hoy, poco mas de cien anos tras su formulacion, la Relatividad General,

ha sido una de las teorıas mas importantes desarrolladas por el hombre, ya que esta nos

brindo una nueva e innovadora imagen del universo a gran escala. La Mecanica Cuantica,

otro valioso logro de la ciencia en el siglo XX, nos permite estudiar la fısica a un nivel mi-

croscopico, lo que ha sido de gran beneficio para la humanidad en terminos tecnologicos.

En el siglo pasado fue de gran interes para los fısicos dar una explicacion u origen cuantico

a los fenomenos de la naturaleza, de este modo surgio el famoso Modelo estandar de la

fısica de partıculas, el cual es capaz de dar una descripcion cuantica de las interacciones

nucleares (fuerte y debil) y la electrodinamica, pero no incluye la interaccion gravitato-

ria. Es por ello que una de las grandes inquietudes que ha desafiado a la fısica durante

decadas es encontrar una teorıa cuantica para el campo gravitacional, sin embargo, dicha

teorıa aun no existe de forma completa. A pesar de ello, existen algunos resultados par-

ciales que nos permiten ver algunos efectos cuanticos del espacio-tiempo, tales como la

radiacion de Hawking [19], y muchos otros modelos que buscan resolver el paradigma de

la gravedad cuantica. En particular, el modelo propuesto por Weinberg [20], conocido

como Asymptotic Safety, sera el principal interes de este trabajo.

El modelo de Asymptotic Safety es uno de los modelos propuestos con el fin de encon-

trar una descripcion cuantica de la gravedad, en palabras simples, es un metodo por el

cual una Teorıa cuantica de campos queda bien definida para cualquier escala de energıa,

sin necesidad de que la teorıa sea renormalizable por metodos perturbativos. Puesto que

los metodos tradicionales de renormalizacion no funcionan con el campo gravitatorio, ya

que se requiere de un numero infinito de parametros en los terminos perturbativos para

eliminar las divergencias, el escenario de Asymptotic Safety propone que la gravedad debe

renormalizarse por metodos no perturbativos [12]. El requisito principal de Asymptotic

6

Safety es la existencia de un punto crıtico o punto fijo en el cual se puede controlar la

dependencia en la escala de las constantes fundamentales de la teorıa, lo que eliminarıa

divergencias de tipo matematico en las cantidades fısicas [12]. En el caso de la Relativi-

dad General, las constantes corresponden a la constante gravitacional de Newton y la

constante cosmologica.

En este trabajo estudiamos los metodos de Asymptotic Safety con el objetivo de aplicar

sus principales resultados a la Relatividad General, en particular a la famosa solucion

de Schwarzschild, para encontrar como depende esta de la escala y cuales de sus carac-

terısticas se ven mejoradas en relacion a las caracterısticas de la solucion clasica. Con esto

en mente, el trabajo esta organizado de la siguiente manera: En el primer capıtulo se da

una breve introduccion a los postulados basicos de la Relatividad General, las ecuaciones

de campo con su respectiva deduccion, se finaliza deduciendo la solucion de Schwarzschild

y se mencionan algunas de sus caracterısticas. En el segundo capıtulo se introducen los

ingredientes basicos y necesarios del modelo de Asymptotic Safety y teorıa de renormal-

izacion, tales como la accion efectiva promedio y la ecuacion de renormalizacion,la cual

nos ayuda a obtener una funcion que contenga la dependencia en escala de la constante

gravitacional. Finalmente en el tercer capıtulo se aplican las correcciones en la escala

encontradas en el segundo capıtulo a la solucion de Schwarzschild, y se analizan las car-

acterısticas de la nueva solucion, en particular se estudia como cambia la singularidad de

la solucion clasica de Schwarzschild despues de aplicarle la renormalizacion.

7

2 Introduccion a la Relatividad General

El objetivo de este capıtulo es brindar una breve introduccion a la relatividad general,

se mencionaran algunos de sus principios fısicos y matematicos mas basicos que seran

fundamentales a lo largo de este trabajo.

2.1 Gravedad en Fısica Clasica

La Mecanica Newtoniana fue por mucho tiempo la teorıa usada para describir la dinamica

de las partıculas en un campo gravitacional y del campo gravitacional en si, esta teorıa

se puede resumir en las siguientes ecuaciones:

m~x = ~Fg = −m~∇φ (1)

Donde φ corresponde al potencial gravitacional. Para obtener la segunda ecuacion, que

describe la dinamica del potencial gravitacional, es necesario dar algunas definiciones.

Para empezar, existe un campo gravitacional ~g asociado al potencial φ, en fısica clasica,

el campo gravitacional corresponde a un campo vectorial que indica como una masa

puntual afecta el espacio que lo rodea. Para una masa puntual m, el campo gravitacional

esta dado por:

~g =Gm

r2r

La relacion entre ~g y φ esta dada por:

~g = −~∇φ

Es exactamente la misma relacion que hay entre el campo electrico y el potencial electrico.

Notemos que:

~∇ · ~g = −∇2φ

Ademas, por el teorema de Stokes se tiene que:

8

∫V

~∇ · ~gdV =

∫S

~g · ~dS

vamos a desarrollar el termino de la izquierda:∫S

~g · dS =Gm

r2

∫S

r · ~dS =Gm

r2

∫S

r · rdS =Gm

r2

∫S

dS = 4πGm

Podemos escribir la masa en terminos de la densidad, ası:

m =

∫V

ρdV

Por lo tanto:

4πG

∫V

ρdV =

∫V

~∇ · ~gdV = −∫V

∇2φdV

Finalemnte:

∇2φ = −4πGρ (2)

La ecuacion (2) corresponde a la ecuacion de Poisson para el campo gravitacional.

Se puede decir que en las ecuaciones (1) y (2) esta simplificada la teorıa clasica de la

gravedad, sin embargo, justo despues de postular la Relatividad Especial, Albert Einstein

quiso formular una teorıa relativista de la gravedad, por lo cual se dio cuenta que estas

ecuaciones presentaban algunos problemas. Para empezar, la ecuacion de Poisson (2) no es

invariante ante transformaciones de Lorentz debido a que no posee derivadas temporales,

ademas , segun esta ecuacion la interaccion gravitacional se propaga instantaneamente

sin importar la distancia, lo cual claramente no es compatible con los postulados de la

Relatividad Especial. Otro detalle menos obvio tiene que ver con la universalidad de la

gravedad, es decir la gravedad se acopla a todas las formas de materia [16]. Debido a que

la gravedad se acopla a la masa y ademas la masa en sı es una forma de energıa gravita-

cional, esto implica que la gravedad se acopla a sı misma. Por lo dicho anteriormente, las

ecuaciones que describan la gravedad deben ser no lineales.

9

2.2 Principio de equivalencia de Einstein

Muchas de las ideas mas brillantes de Einstein, que mas tarde se convertirıan en principios

fısicos importantes se pueden llegar a entender por medio de los famosos Gedankenexper-

imente o experimentos mentales que el mismo se planteaba. En esta seccion se discutira

de manera informal el Principio de equivalencia de Einstein con la ayuda de experimentos

mentales.

En primer lugar, en la ecuacion (1) tenemos dos tipos de fuerza completamente dis-

tintas, al lado izquierdo de la ecuacion tenemos la Segunda ley de Newton, que dice que

la sumatoria de fuerzas ejercidas sobre un objeto es igual a su masa inercial mi por la

aceleracion . Al lado derecho tenemos la ley de gravitacion universal, la cual afirma que la

fuerza producida por un campo gravitatorio es proporcional al campo ~g, o al gradiente de

su respectivo potencial ~φ por la masa gravitacional mg. No obstante, en la ecuacion (1)

no hemos hecho distincion alguna entre mi y mg, esto es debido a que experimentalmente

se ha mostrado con bastante precision que mi = mg, a pesar de ello, son conceptos fısicos

completamente distintos y su igualdad no es algo obvio.

La masa inercial mi, es una cantidad que esta asociada a la resistencia que ejerce un

cuerpo al cambio de velocidad o a la aceleracion. Por otro lado, la masa gravitacional mg

es la masa a la cual se acopla el campo gravitatorio, para aclarar el concepto de masa

gravitacional haremos uso de la Ley de gravitacion universal:

~Fg = −Gm1m2

r2r

Esta ecuacion describe la atraccion gravitacional entre dos cuerpos con masas m1 y m2,

estas dos masas , corresponden a masas gravitacionales, dicho de otro modo , de estas

cantidades depende que tan fuerte es la atraccion gravitacional entre dos objetos masivos,

se puede decir que la masa gravitacional es una especie de analogo gravitacional de la

carga electrica, ası como la fuerza generada por un campo electrico es de la forma:

~Fe = −q ~E = −q~∇φe

10

La fuerza generada por un campo gravitacional es :

~Fg = −mg~g = −mg~∇φ

La igualdad entre masa inercial y masa gravitacional nos invita a reflexionar sobre

la naturaleza de la gravedad y de la inercia (aceleracion). Suponga que en un ascensor

se encuentra una persona con una pelota en su mano, el cable del ascensor es cortado,

de manera que ahora el ascensor se encuentra en caıda libre, sin embargo, la persona

adentro esta cayendo con la misma aceleracion que el ascensor, por lo que en su marco

de referencia, no notara que este en caıda libre; cuando suelta la pelota, vera que esta se

encuentra flotando, ya que de igual forma la pelota cae con la misma aceleracion que el

ascensor. Lo que paso en esta situacion es que el efecto de la gravedad fue eliminado al

cambiar a un marco de referencia en caıda libre (acelerado), en consecuencia , la persona y

la pelota se encuentran en un estado de ingravidez. La sensacion de ingravidez generada

dentro del ascensor , es exactamente la misma que siente un astronauta estando en el

espacio exterior, ya que allı no hay gravedad.

Ahora, consideremos el caso contrario, pensemos en la misma persona con la pelota

en las manos, pero esta vez se encuentra fuera del planeta Tierra, lejos de cualquier

campo gravitacional. La persona y la pelota se encuentran flotando dentro del ascensor,

de repente , algun astronauta que se encuentra cerca al ascensor, aplica una fuerza al

ascensor hacia arriba, de manera que este gana aceleracion y se empieza a mover hacia

arriba. Como la persona y la pelota se encuentran quietas, estan proximas a chocar

contra el suelo del ascensor, de la misma manera que si estuvieran inmersos en un campo

gravitacional. En otros terminos, hemos recreado los efectos de un campo gravitacional

al aplicar una aceleracion sobre el ascensor.

De estos experimentos mentales podemos concluir lo siguiente:

• Localmente los efectos de la aceleracion y los efectos de la gravedad son indistin-

guibles.

11

• Localmente se puede eliminar el efecto de la gravedad al cambiar a un marco de

referencia en caıda libre.

En un campo gravitacional no uniforme, no es posible eliminar el efecto de la gravedad

al cambiar a un marco de referencia acelerado, puesto que por ejemplo, en el campo

gravitacional terrestre, si dejamos caer dos pelotas desde un punto lo suficientemente

alto, las pelotas tienden a acercarse entre ellas, ya que el campo gravitatorio las atraera

hacia el centro. Es por esto que estas dos conclusiones son validas solo localmente, esto

es. en escalas donde el campo gravitacional es constante.

Todo lo discutido en esta seccion se puede resumir enunciando de manera informal el

Principio de equivalenica de Einstein (PEE):

En una region lo suficientemente pequena del espacio-tiempo, ningun

experimento puede determinar sı estamos en un campo gravitacional

o en un marco de referencia acelerado

2.3 Ecuaciones de Campo de Einstein

Como vimos en la seccion anterior, las ecuaciones de la Mecanica Clasica no son conve-

nientes para describir una teorıa relativista de la gravedad, en la siguiente seccion se hara

una deduccion de las ecuaciones que describen de una manera mas adecuada el campo

gravitacional, estas son las Ecuaciones de Campo de Einstein. Para obtenerlas haremos

uso del famoso Principio de mınima accion, pero para poder usarlo correctamente, primero

vamos a encontrar heurısticamente alguna accion para el campo gravitatorio.

La cantidad principal en Relatividad General es la metrica o tensor metrico gµν , ya

que ella nos brindara informacion geometrica y fısica sobre como la gravedad afectara

nuestro espacio, ası que no es absurdo suponer que nuestra accion dependa de la metrica

de alguna forma. Debemos exigir que en algun punto se recupere la ecuacion de Poisson

(2), es decir que la accion debe depender de terminos que contengan primeras y segundas

12

derivadas de la metrica. Ası que la accion debe tener la siguiente forma:

SEH = κ

∫L (gµν ,∇gµν ,∇2gµν)dV (3)

En (3) κ es alguna constante que sera util para ajustar las respectivas unidades, en la

literatura se encuentra el valor de κ = c3

16πG, con c la velocidad de la luz en el vacıo, que

de aquı en adelante tomara el valor de c = 1 por simplicidad. L es alguna funcion escalar

que depende de la metrica y algunas de sus derivadas, el termino dV es el elemento de

volumen espacio-temporal, que en un sistema de coordenadas arbitrario toma la forma

dV =√−gdx0dx1dx2dx3 , con g = det gµν . El escalar mas simple que se puede formar

a partir de la metrica y algunas de sus derivadas es el escalar de Ricci R, ademas , este

tiene unidades de 1[L2]

, lo cual nos ayudara a que la accion tenga unidades correctas de

[E][t].

Resumiendo lo anterior en una ecuacion, obtenemos lo siguiente:

SEH =1

16πG

∫ √−gRd4x (4)

La ecuacion de arriba es la famosa accion de Einstein-Hilbert, y es la accion principal en

Relatividad General.

Vamos a aplicar variaciones a la accion de Einstein-Hilbert (4), y con ello usar el

Principio de mınima accion (δSEH = 0) para encontrar las ecuaciones de movimiento que

describe nuestro sistema.

δSEH =1

16πGδ

∫d4x√−gR

=

1

16πG

∫d4xδ

(√−ggµνRµν

)=

1

16πG

∫d4x(√−ggµνδRµν +

√−gRµνδgµν +Rδ(

√−g)

)=

1

16πG(δS1 + δS2 + δS3) = 0

Donde:

δS1 =

∫d4x√−ggµνδRµν

δS2 =

∫d4x√−gRµνδg

µν

δS3 =

∫d4xRδ(

√−g)

13

Vamos a desarrollar cada termino individualmente. Para empezar, vamos a estudiar δS3,

usaremos el hecho de que toda matriz cuadrada M , con det(M) 6= 0, vale que:

ln(det(M)) = Tr(lnM)

∂ ln det(M)

∂det(M)=∂ TrlnM∂det(M)

δ(det(M))

det(M)= Tr

M−1δM

En nuestro caso tenemos: det(M) = g,M = gµν M

−1 = gµν y TrM = gµνgµν .

δg

g= gµνδgµν

Por lo tanto:

δg = ggµνδgµν = −ggµνδgµν

Podemos usar la anterior relacion para calcular el termino δ(√−g):

δ(√−g) =

1

2√−g

δ(−g) =1

2√−g

ggµνδgµν

⇒ δ(√−g) = −1

2

√−ggµνδgµν

Y por lo tanto:

δS3 =

∫d4xRδ(

√−g) = −1

2

∫d4x√−gRgµν (5)

Para encontrar el termino δS1 es necesario encontrar la variacion del tensor de Ricci.

Para ello vamos a escribir el tensor de Ricci como la contraccion del primer y tercer ındice

del tensor de Riemann, ası obtendremos una expresion en terminos de los Sımbolos de

Christoffel y sus derivadas, posterior a ello calcularemos las variaciones del tensor de Ricci

en terminos de las variaciones de los Sımbolos de Christoffel:

Rµν = Rαµαν = ∂αΓαµν − ∂νΓαµα + ΓααγΓ

γµν − ΓγανΓ

µαγ

⇒ δRµν = ∂αδΓαµν − ∂νδΓαµα + ΓαµνδΓ

ααγ + ΓααγδΓ

αµν − ΓγµαδΓ

ανγ − ΓανγδΓ

γµα

14

Recordemos que los sımbolos de Christoffel no transforman como un tensor, sin embargo,

el termino δΓαµν es una diferencia entre dos Christoffel, lo cual sı es un tensor, por lo que

podemos proceder a calcular su derivada covariante:

∇α(δΓαµν) = ∂αδΓαµν + ΓααγδΓ

γµν − ΓγµαδΓ

αγν − ΓγναδΓ

αγµ

∇ν(δΓαµα) = ∂αδΓ

αµν + ΓγνµδΓ

ααγ

Sı restamos las dos expresiones de arriba recuperamos exactamente los mismos terminos

que contiene δRµν , por lo tanto:

δRµν = ∇α(δΓαµν)−∇ν(δΓαµα) (6)

La ecuacion (6) se conoce como La identidad de Palatini, y nos sera de utilidad para

realizar el calculo de δS1.

δS1 =

∫d4x√−ggµνδRµν =

∫d4x√−g∇α(gµνδΓαµν)−∇ν(g

µνδΓαµα)

=∫d4x√−g∇α(gµνδΓαµν)−∇α(gµαδΓνµν)

=

∫d4x√−g∇α(gµνδΓαµν − gµαδΓνµν) =∫

∇αCα√−gd4x

En el termino gµνδΓαµν − gµαδΓνµν los ındices µ y ν se repiten, por lo tanto podemos

definir el siguiente tensor Cα = gµνδΓαµν−gµαδΓνµν . La ultima integral corresponde a una

integral de volumen, que e puede transformar en una integral de superficie por medio del

teorema de la divergencia. Este termino se cancela ya que en una integral de superficie

las variaciones se anulan [17].Por lo tanto δS1 = 0.

Reuniendo todos los resultados previos obtenemos que:

δSEH = δS2 + δS3 = 0

⇒∫d4x√−gδgµν

Rµν −

1

2Rgµν

= 0

⇒ 1√−g

δSEHδgµν

= Rµν −1

2Rgµν = 0

15

Finalmente obtenemos el siguiente resultado, que corresponde a las famosas ecuaciones

de Campo de Einstein en el vacıo:

Rµν −1

2Rgµν = 0 (7)

Sı queremos encontrar una ecuacion mas general incluyendo la presencia de cualquier

fuente material, simplemente debemos modificar la accion incluyendo un lagrangiano LM

que corresponda a la parte material, y realizamos el mismo proceso de antes:

S = SEH + SM

δS = 0⇒ 1√−g

δSEHδgµν

+1√−g

δSMδgµν

=1

16πG

Rµν −

1

2Rgµν

+

1√−g

δSMδgµν

= 0

Definimos el Tensor de energıa momento como sigue:

Tµν = − 2√−g

δSMδgµν

(8)

Y finalmente, llegamos al siguiente resultado que corresponde a las ecuaciones de campo

de Einstein en presencia de materia:

Rµν −1

2Rgµν = 8πGTµν (9)

2.4 Solucion de Schwarzschild

La solucion de Schwarszchild es la primera solucion exacta no trivial (espacio-tiempo

plano) de las ecuaciones de campo en el vacıo, esta describe el campo gravitacional gen-

erado por un objeto masivo, estatico, con simetrıa esferica y asintoticamente plano. En

esta seccion trataremos de llegar paso a paso a la solucion de Schwarszchild.

Para empezar, sı multiplicamos la ecuacion (7) por la metrica gµν , obtendremos el

escalar de Ricci y la traza de la metrica:

R− 2R = 0⇒ R = 0

16

Por lo tanto, las ecuaciones que debemos resolver son:

Rµν = 0 (10)

Nuestro solucion debe ser estatica y debe tener simetrıa esferica, por ello podemos pro-

poner que la solucion sea un elemento de lınea de la siguiente forma:

ds2 = −A(r)dt2 +B(r)dr2 + r2dΩ2 (11)

Al ser estatica, las funciones que curvan la metrica A(r) y B(r) no pueden tener depen-

dencia temporal, solo pueden tener dependencia radial. El termino dΩ2 = dθ2+sin2 (θ)dφ2

es el elemento de lınea de la esfera. Teniendo en cuenta que las funciones A(r) y B(r)

solo tienen dependencia radial, vamos a calcular las diferentes componentes del tensor de

Ricci para la metrica (11).

Rtt = −A′B′

4B2+A′

rB− A′2

4AB+A′′

2B

Rtt =A′′

2B+A′

rB− A′

4B

(A′

A+B′

B

)(12)

Similarmente, se simplifican las otras componentes y se obtiene:

Rrr = −A′′

2A+

B′

rB′+A′

4A

(A′

A+B′

B

)(13)

Rθθ = 1− 1

B− r

2B

(A′

A− B′

B

)(14)

Rφφ = sin2 θRθθ (15)

Todas las componentes restantes son nulas. Se puede llegar a la siguiete relacion entre

(12) y (13):

Rtt

A+Rrr

B=

A′′

2BA+

A′

rBA− A′′

2AB+

B′

rBB′−

A′

4BA

(A′

A+B′

B

)− A′

4BA

(A′

A+B′

B

)=

A′

rBA+

B′

rBB

17

Las diferentes componentes del tensor de Ricci deben satisfacer (10), por lo tanto:

Rtt

A+Rrr

B= 0

A′

A+B′

B= 0 (16)

Ahora, solucionamos la ecuacion diferencial separable (45):∫A′

A+

∫B′

B=

∫0

lnA+ lnB = cte

ln(AB) = cte

Luego, usando el hecho de que la solucion debe ser asintoticamente plana, tenemos la

siguiente condicion de frontera, si r ⇒ ∞, A y B tienden a 1 para aproximar. Luego, el

valor de la constante tiene que ser 0. Ası obtenemos:

ln(AB) = 0

Y por lo tanto:

AB = 1 (17)

Usando la relacion (14) junto con (17) podemos obtener el siguiente resultado:

Rθθ = 1− 1

B− r

2B

(−B

′

B− B′

B

)= 1− 1

B+rB′

B2

= Rθθ = 1− 1

B− r

(1

B

)′

Rθθ = 1− A− rA′ (18)

18

Vamos a resolver esta ecuacion diferencial para A(r).

Rθθ = 0

1− A− rA′ = 0

1 = A+ rA′

1 = (rA)′∫dr =

∫d(rA)

r + cte = Ar

A(r) = 1 +C

r

Donde C es una constante de integracion, que podemos encontrar usando el hecho de que

la solucion debe ser asintoticamente plana, es decir, si nos alejamos mucho de la fuente,

la metrica debe comportarse como la de un espacio-tiempo plano, para ello usamos la

aproximacion de campo debil [17, 18] gtt ≈ 1 + 2φ, por ende , C = −2Gm.

A(r) = 1− 2Gm

r(19)

Insertando esto en (11) y conociendo la relacion (17), finalmente llegamos a la famosa

solucion de Schwarzschild:

ds2 = −(

1− 2Gm

r

)dt2 +

(1− 2Gm

r

)−1dr2 + r2dΩ2 (20)

El elemento de lınea (20), tiene a simple vista dos irregularidades en los puntos r = 2Gm

y r = 0. Para analizar sı estas singularidades son de origen fısico o simplemente dependen

de una mala eleccion de coordenadas, necesitamos verificar los invariantes que se puedan

obtener a partir de la metrica, ya que ellos no dependen de las coordenadas. Anteriormente

vimos que para esta solucion, el escalar de Ricci R = 0, lo cual no nos dice nada, de modo

que necesitamos construir otro escalar. El escalar que es de utilidad en este caso, se

conoce como el escalar de Kretschmann, que no es mas que el cuadrado de el tensor de

Ricci:

K = RabcdRabcd (21)

19

Para la metrica de Schwarzschild el escalar de Kretschmann tiene un valor de [18]:

K =48G2m2

r6(22)

Podemos observar que para r = 2Gm el escalar no presenta ninguna divergencia, por

lo tanto este punto no representa una verdadera singularidad en el espacio - tiempo, y

que la singularidad aparente se debe a un problema de coordenadas. De hecho, el radio rs

es conocido como el radio de Schwarzschild y tiene propiedades fısicas de mucha impor-

tancia. En contraste, el escalar (22) presenta una divergencia en r = 0. En la literatura

[18], encontramos que una de las condiciones para que algun punto sea considerado una

singularidad es que en dicho punto la curvatura tienda a infinito, es decir, que alguno

de los escalares construidos a partir del tensor de Riemann presenta divergencias. En

conclusion el punto r = 0 es una singularidad fısica del espacio-tiempo de Schwarzschild.

20

3 Teorıa de Renormalizacion y Asymptotic Safety

La Relatividad General (RG), ha sido una de las teorıas mas importantes desarrolladas

por el hombre, ya que esta nos brindo una nueva e innovadora forma de entender la

gravedad lo que nos condujo a tener una imagen mas amplia del universo a gran escala.

Lamentablemente, la RG no presenta la descripcion final de la gravedad, debido a que,

como vimos en el anterior capıtulo, la existencia de singularidades en las soluciones de las

ECE indican que la teorıa no esta completa, ademas , la RG proporciona una descripcion

clasica (no cuantica) de la gravedad. Para poder incorporar la gravedad en el Modelo

Estandar es necesario desarrollar una teorıa cuantica para el campo gravitacional, sin

embargo , al aplicar los metodos perturbativos de renormalizacion, de igual forma que con

las otras interacciones fundamentales, aparecen divergencias que no pueden ser eliminadas.

Esto quiere decir que no se puede llegar a describir la gravedad como una Teorıa Cuantica

de Campos (TCC) por medio de metodos perturbativos, esto no implica que la gravedad no

sea cuantizable, significa que posiblemente una teorıa cuantica de la gravedad provenga de

metodos NO perturbativos. Una de los modelos propuestos para brindar una descripcion

cuantica de la gravedad y que recupere en algun punto a la RG es Asymptotic Safety (AS),

este modelo propone que una teorıa es renormalizable por metodos no perturbativos, y

se pueden eliminar las divergencias fısicas al asumir que las constantes fundamentales de

la teorıa corren con la escala . El objetivo de este capıtulo es brindar las herramientas

basicas para entender el modelo de AS.

3.1 Teorıa de Renormalizacion

Intuitivamente podemos afirmar que la escala de longitud a la cual observamos los fenomenos

naturales determina la manera en la que los entendemos, es decir, construimos las teorıas

fısicas en base a observables convenientes respecto a dicha escala, e ignoramos lo que

21

ocurre a escalas mas pequenas. Por ejemplo, sabemos que el agua esta constituida por

una enorme cantidad de moleculas interactuando entre ellas, sin embargo, esta infor-

macion es irrelevante si queremos estudiar las propiedades de la corriente que fluye por

un rıo, ya que simplemente basta con modelar la corriente como un fluido continuo y usar

las herramientas matematicas de la mecanica de fluidos. En terminos generales, la fısica

de fenomenos a una escala muy pequena no interfiere con la fısica de fenomenos a escala

muy grande, por lo tanto cada fenomeno puede ser tratados independientemente, como el

caso de la fısica que describe las interacciones de dos moleculas de agua es la misma para

un vaso de agua y para el agua del mar [2].

No obstante, debido a que la forma en la que observamos el mundo es mas cercana a

lo macroscopico, en general las teorıas fısicas tienen complicaciones al tratar de describir

el mundo a escalas de longitud muy pequenas (o de manera equivalente a altas energıas ).

Las teorıas fısicas funcionan de manera efectiva hasta cierta escala de longitud especıfica,

la escala para la cual una teorıa fısica deja de ser precisa se denomina escala de corte

(cutoff scale), en el caso de la RG la escala de corte corresponde a la escala de Planck

(10−35m) . El grupo de Renormalizacion [3] es una herramienta matematica que nos

permite manipular la escala a la cual describimos un sistema fısico, cambiando los grados

de libertad del sistema por unos nuevos grados re-escalados , lo que crea un sistema

diferente al original pero que contiene la misma fısica del sistema. Por medio de este

formalismo es posible tener acceso a la fısica de altas energıas (distancias cortas).

3.2 La idea de Kadanoff

En esta seccion se ilustraran las ideas discutidas en la seccion anterior sobre el grupo de

Renormalizacion por medio de la idea desarrollada por Kadanoff [7] para resolver sistemas

magneticos usando transformaciones en la escala. Kadanoff desarrollo su idea en el famoso

Modelo de Ising en dos dimensiones, que consiste en una red bidimensional de atomos

con dos grados de libertad de espın (+1,−1), existe interaccion espın-espın a primeros

22

vecinos, y la escala de corte corresponde a la distancia d entre dos espines de la red.

El Modelo de Ising es de crucial importancia en la Fısica Estadıstica y en la Fısica de

Materia Condensada, por lo cual ha sido ampliamente estudiado por la comunidad fısica,

de manera que ya ha sido encontrada una solucion analıtica exacta por Onsager(1944) [6].

En esta seccion no se pretende brindar detalles sobre la solucion exacta, en lugar a ello

se mencionaran las ideas principales usadas por Kadanoff para resolver el problema por

medio de transformaciones de escala y el grupo de Renormalizacion, y con ello entender

la utilidad del mismo en la fısica.

La idea de Kadanoff consiste en formar bloques de espın, en donde el bloque formado

tendra un nuevo super-espın de acuerdo a una regla de mayorıa, esto es, sı por ejemplo

formamos un bloque 3 × 3 tendremos en total 9 espines, si de ellos al menos 5 tienen

espın +1 (−1), entonces el super-espın del bloque sera +1 (−1). Al hacer esto en toda

la red se obtendra una nueva imagen del sistema, en terminos de nuevas variables re-

escaladas o renormalizadas tales como la distancia d entre espines vecinos, que habra sido

incrementada, y las interacciones entre espines, que ahora se transformara en interacciones

entre primeros super-espines, lo cual nos mostrara informacion nueva del sistema, ya que

las interacciones entre super-espines vecinos tienen en cuenta interacciones nuevas de los

viejos espines tales como interacciones a segundos y terceros vecinos, lo cual nos dara una

mejor perspectiva del sistema original, ya que este solo incluıa interacciones a primeros

vecinos.

Al inicio de la seccion se menciono que los fenomenos fısicos que ocurren a escalas

de longitud significativamente diferentes pueden ser estudiados independientemente, sin

embargo, parte del trabajo de Kadanoff demostro que cerca a un punto crıtico existen

fluctuaciones en el sistema que afectan todas las escalas de longitud, por ejemplo un punto

crıtico puede ser la temperatura a la cual el agua cambia de fase lıquida a fase solida, o

en el Modelo de Ising, cuando el sistema tiene una transicion de fase ferromagnetica o

23

paramagnetica. Es por ello que la utilidad del metodo de Renormalizacion se hace mas

fuerte cerca a los puntos crıticos, en el caso de este trabajo, vamos a aplicar estas ideas a

la RG, por lo que un ejemplo de punto crıtico podrıa corresponder a una singularidad en

un agujero negro.

3.3 Ecuacion del grupo de Renormalizacion

Kadanoff aplico las ideas de la Renormalizacion a modelos en donde se realizaban cambios

discretos en la escala de corte, mas adelante se logro implementar esta idea para cambios

continuos en la escala, por medio de la Teorıa Cuantica de Campos.En el caso de trans-

formaciones discretas, la informacion fısica de un sistema macroscopico constituido por

muchos cuerpos la podemos encontrar en la funcion de particion canonica, definida de la

siguiente forma:

Z =N∑i=1

e−βEi (23)

Donde β = 1kBT

, i son los microestados del sistema y Ei es la energıa total del sistema.

La fısica del sistema esta determinado por la funcion de particion, ya que a partir de las

derivadas de (23) se pueden obtener cantidades importantes relacionadas con fluctuaciones

termodinamicas, tales como la energıa libre, entropıa, entre otras. Ahora bien, en lo que

concierne a transformaciones continuas en la escala en sistemas conformados por muchas

partıculas, las magnitudes fısicas estan representadas mediante el concepto de campo, y

la Teorıa Cuantica de Campos ha desarrollado un analogo a la funcion de particion (23)

que nos permita calcular las observables fısicas, denominado funcional generador [4]:

Z[J ] = eW [J ] =

∫Dφe−S[φ]+J ·φ (24)

En este caso, por simplicidad φ(x) representa un campo escalar que depende de la posicion

x (se puede generalizar para otro tipo de campo), S[φ] corresponde a la accion desnuda,

J(x) es la fuente del campo, W [J ] es un funcional que representa la energıa del sistema.

24

En (24) se uso la siguiente notacion:∫Dφ =

∏i

∫dφi

La productoria se realiza sobre los diferentes campos que haya presentes en nuestro sis-

tema. Y el producto interno:

J · φ =

∫J(x)φ(x)d4x

Ası como la funcion de particion contiene informacion sobre fluctuaciones termodinamicas,

en la funcion generatriz (24) tenemos fluctuaciones cuanticas del sistema, y podemos

calcular cantidades de interes a partir de sus derivadas, tales como:

δW [J(x)]

δJ(x)=δ lnZ[J(x)]

δJ(x)=

∫Dφe−S[φ]+J ·φφ(x)∫Dφe−S[φ]+J ·φ

= φprom

Donde φprom es el promedio de los campos sobre todas las fluctuaciones cuanticas. Es

el analogo a la magnetizacion en un sistema de espınes. En terminos de φprom, podemos

tomar la transformada de Legendre de W [J ] para definir la siguiente cantidad:

Γ[φprom] = −W [J ] + J · φprom (25)

La funcion (25) es conocida como Accion Efectiva Cuantica (AEC) , es una version de la

accion clasica S que contiene correcciones cuanticas, y sera utilizada en este trabajo .

Para poder aplicar la teorıa presentada hasta ahora a la gravedad en el marco de AS ,

debemos incluir dependencia en la escala, de manera que se puedan encontrar fluctuaciones

a una longitudes de escala bajas (altas energıas) y en longitudes de escala grandes (bajas

energıas). Por este motivo, debemos usar la Accion Efectiva Promedio (AEP) Γk[φprom],

que se define como una version dependiente de la escala k de la AEC (25) . En una teorıa

especıfica, la AEP se debe escribir de la siguiente forma:

Γk[φprom] =∞∑α=1

uα(k)Pα(φprom)

25

Donde Pα(φprom) son los invariantes de la teorıa y uα(k) son los acoples o constantes

fundamentales que asumimos dependen de la escala. Podemos determinar como varıan las

constantes fundamentales de la teorıa respecto a la escala por medio de la Ecuacion exacta

del grupo de Renormalizacion (EEGR).En esta seccion mostraremos brevemente uno de

los caminos para obtener dicha ecuacion y nombraremos algunas de sus caracterısticas.

Para empezar, vamos a definir la AEP de manera analoga a (25), por lo que primero

definimos el funcional generador Zk[J ] y el funcional de energıa Wk[J ] dependientes de

escala:

Zk[J ] = eWk[J ] =

∫Dφe−S[φ]+J ·φ−Rk (26)

Notese que la unica diferencia entre (26) y (24) es el termino Rk. Este termino se conoce

como el regulador IR(infra rojo), se encarga de tomar en cuenta las contribuciones de una

escala mayor a k, mientras que suprime las contribuciones de escala menores a k, ademas

la dependencia en escala de la AEP esta determinada por este factor.

Rk =1

2φ ·Rk · φ

La funcion Rk debe satisfacer las siguientes condiciones:

• limp2/k2→0

Rk > 0, para que en el lımite IR no hayan divergencias.

• limk2/p2→0

Rk = 0. De este modo, se elimina la dependencia en la escala k de la ecuacion

(26) y recuperamos la accion efectiva cuantica.

• limk→∞

Rk =∞.

Si no tuvieramos en cuenta el regulador Rk en la ecuacion (26), no tendrıamos depen-

dencia en la escala y tendrıamos simplemente la funcion generadora (24). Analogo a (25)

vamos a definir la AEP como la trasformada de Legendre de Wk[J ].

Γk[φ] = −Wk[J ] + J · φ− 1

2φ ·Rk · φ (27)

26

Notemos que la AEP Γk[φ] esta definida casi igual que la AE Γ[φ], la unica novedad es el

termino Rk. Al tomar derivadas respecto a k de la ecuacion (27) obtenemos:

∂kΓk[φ] = −∂kWk[J ]− ∂WK

∂J∂kJ + ∂k(J · φ)− 1

2φ · ∂kRk · φ

Tomando ∂Wk

∂J= φ obtenemos:

∂kΓk[φ] = −∂kWk[J ]− 1

2φ · ∂kRk · φ (28)

Desarrollemos el primer termino:

∂Wk[J ]

∂k=∂ lnZk∂k

=1

Zk

∂ZK∂k

=1

Zk

∫Dφ(−1

2φ · ∂kRk · φ

)e−S[φ]+J ·φ−

12φ·Rk·φ

Por lo tanto:

∂Wk[J ]

∂k= −1

2〈φ · ∂kRk · φ〉 (29)

Ademas notemos que al tomar segundas derivadas respecto a φ en (27):

∂2Γk∂φ∂φ

= Γ(2)k =

∂J

∂φ−Rk

A partir de la relacion ∂Wk

∂J= φ podemos encontrar que:

∂J

∂φ=

(∂Wk

∂Ja∂Jb

)−1Ademas, en la literatura [4] podemos encontrar la siguiente relacion:

(∂Wk

∂Ja∂Jb

)= 〈φaφb〉 − 〈φa〉 〈φb〉

Por lo tanto:

∂J

∂φ=

(∂Wk

∂Ja∂Jb

)−1= Γ

(2)k +Rk (30)

Sı reemplazamos en (28) las relaciones (29), (30) :

∂kΓk[φ] =1

2〈φ · ∂kRk · φ〉 −

1

2φ · ∂kRk · φ =

1

2∂kRk[〈φ · φ〉 − φ · φ] =

1

2∂kRk

(∂Wk

∂Ja∂Jb

)27

=⇒ ∂kΓk[φ] =1

2

[Γ(2)k +Rk

]−1· ∂kRk

Nuestro producto interno denota una integral sobre todo el espacio de posiciones

(momentos), por lo tanto, podemos escribirlo en terminos de la traza sobre el espacio de

momentos [5], que ademas incluye sumatorias sobre todos los campos:

Tr =

∫d4p

(2π)4

Finalmente llegamos a:

∂kΓk[φ] =1

2Tr

[(Γ(2)k +Rk

)−1∂kRk

](31)

La ecuacion (31) es la previamente mencionada EEGR. Γ(2)k es la matriz de segundas

derivadas parciales o matriz Hessiana de la accion efectiva promedio respecto a los distintos

campos φi que esten presentes en la teorıa:(Γ(2)k

)ij

=δ2Γkδφiδφj

(32)

Una solucion de la EEGR (31) debe recuperar la fısica de bajas energıas y de altas

energıas, es decir , si tomamos una escala k −→∞ (lımite UV) , Γk[φ] = S[φ], donde S[φ]

es la accion desnuda o microscopica, pero sı por el contrario sı tomamos k −→ 0 (lımite

IR) ,Γk = Γ[φ], donde Γ[φ] es la AEC (25), que como ya se habıa mencionado, contiene

fluctuaciones cuanticas a bajas energıas.

3.4 Aproximacion de Einstein-Hilbert

El proposito de este trabajo es poder encontrar correcciones de tipo cuantico a la teorıa de

la RG por medio de un analisis no perturbativo, ya que los estudios realizados por medio

de la expansion perturbativa presentan divergencias y otros problemas. Las herramientas

principales para realizar la renormalizacion no perturbativa son la EEGR (31) y la AEP

(27), que han sido desarrollados a lo largo del capıtulo. Por lo tanto, si queremos aplicar

estos metodos a la RG, para empezar debemos definir la AEP para la RG e introducirla

28

a la EEGR. No obstante, esta ecuacion es una ecuacion integro-diferencial no lineal, por

lo cual encontrar soluciones exactas es una tarea casi imposible. Sin embargo, es posible

usar cierto tipo de aproximacion en la AEP de la cual podamos obtener informacion fısica

relevante. La aproximacion mas simple y la mas usada a lo largo de la literatura consiste en

truncar la accion gravitacional a la Aproximacion de Einstein-Hilbert, agregando algunos

terminos que nos ayuden a mantener la invarianza Gauge. La Aproximacion de Eintein-

Hilbert es la siguiente:

Γk[gµν , hµν , C, C

]=

1

16πGk

∫√gd4x[2Λk −R] + Sgf [gµν , hµν ] + Sgh

[C, C

](33)

Se puede ver facilmente que el primer termino de (33) es similar la accion clasica de

Einstein- Hilbert con constante cosmologica estudiada en el primer capıtulo, la diferencia

esta en que las constantes fundamentales no estan escritas de la forma usual, ya que vamos

a considerar que la constante gravitacional G y la constante cosmologica Λ son funciones

Gk y Λk respectivamente, dependientes de la escala k.

En la seccion anterior definıamos la AEP respecto a un campo escalar, en el caso de la

RG la variable dinamica que jugara el papel de este campo es el espacio-tiempo dado por

la metrica gµν , que es un campo tensorial. Esta metrica se descompone de la siguiente

manera:

gµν = gµν + hµν (34)

Donde el termino gµν denota una metrica clasica de background y hµν es una metrica que

incluye fluctuaciones cuanticas. Esta expansion es conocida en Teorıa Cuantica de Cam-

pos como Background Field Method [4, 8], un metodo que nos asegura que al renormalizar

una teorıa se mantenga la invarianza ante transformaciones gauge. El campo clasico gµν

se debe mantener fijo, mientras que el campo cuantico hµν sera la variable de integracion

en el funcional generatriz (26). Es importante notar que la descomposicion de la metrica

(34) no implica un tratamiento perturbativo, ya que no estamos asumiendo que hµν sea

un parametro pequeno.

Ademas de descomponer la metrica en dos campos, el procedimiento de Background

29

Field Method tambien requiere que se sumen dos terminos nuevos a la accion: Sgf y Sgh.

El primer termino Sgf (gauge fixing) depende unicamente de la metrica y es cuadratico

en el campo de fluctuaciones hµν y contiene algunas de sus derivadas. El termino Sgh

es la accion correspondiente a los campos ghost de Faddeev–Popov [4, 9]: Cµ y Cµ,

estos campos no representan cantidades fısicas reales, se introducen en la accion para

eliminar del funcional integral posibles terminos que no tengan sentido fısico. Las dos

contribuciones Sgf y Sgh se escogen independientes de la escala.

Ahora que ya tenemos una aproximacion adecuada para la AEP gravitacional, el

siguiente paso es introducirla en la ecuacion (31). Ya que Sgf y Sgh no dependen de la

escala, debemos extraer la dependencia en la escala de la parte puramente gravitacional,

es decir, el enfoque debe estar en resolver la ecuacion (31) para encontrar las funciones que

determinan como varıan los acoples fundamentalesG y Λ respecto a la escala. Este proceso

fue desarrollado por primera vez en [1], tambien podemos encontrar en ?? un algoritmo

detallado para resolver la EEGR, a continuacion se resumiran los puntos fundamentales

de este procedimiento.

Al tomar la derivada respecto a k en (33) obtenemos lo siguiente:

∂kΓk[gµν ] =1

16π

∫√gd4x

[2∂k

(Λk

Gk

)−R∂k

(1

Gk

)](35)

En la expresion anterior encontramos las ecuaciones diferenciales que definen la evolucion

de los acoples Gk y Λk, por lo tanto, al calcular el lado derecho de la ecuacion (31) solo

debemos tener en cuenta aquellos coeficientes que acompanen a∫d4x√g y

∫d4x√gR.

Para obtener el lado derecho de la ecuacion (31) el primer paso es expandir Γ(2)k a segundo

orden en el campo de fluctuacion hµν , y se espera obtener una expresion de la siguiente

forma: (Γ(2)k

)ij= Ki(∇)δij1 + Mij(R,D) (36)

En donde ∇ = gµνDµDν es el operador laplaciano y 1 es la matriz identidad. El primer

termino K(∇2) es una matriz diagonal que representa los terminos que contienen segundas

30

derivadas de los campos, mientras que Mij(R,D) contiene factores proporcionales al tensor

de curvatura. Despues de esto se calculan los terminos Γ(2)k + Rgrav

k y Γ(2)k + Rgh

k . Dado

que tenemos dos campos, la metrica hµν y el ghost Cµ tendremos dos reguladores IR, que

como ya se habıa mencionado, su funcion es distinguir entre modos k de momento alto y

modos de momento bajo. Tanto Γ(2)k +Rgrav

k como Γ(2)k +Rgh

k tendran la siguiente forma :

Rk ≈ k2f

(p2

k2

)(37)

La funcion f(p2

k2

)debe cumplir que f(0) = 1 y f(∞) = 0. Dicha funcion puede ser la

siguiente:

f(x) =x

ex − 1

Despues de tener estos terminos, se calculan las trazas usando la tecnica Heat Kernel

Expansion, desarrollada en [11]. De igual manera el resultado de las trazas sera propor-

cional a∫d4x√g y

∫d4x√gR, ası que el paso final es igualar los terminos proporcionales

a cada uno de estos terminos en ambos lados de la ecuacion.

Realizando todos estos pasos, el resultado final que se obtiene en terminos de los

acoples adimensionales gk = Gkkd−2, λ = Λkk

−2 (en nuestro caso d=4) es:

k∂kgk = (d− 2 + ηn(gk, λk))gk (38)

Con:

ηn(gk, λk) =gkB1(λ)

1− gkB2(λ)

ηn es conocida como la dimension anomala de la constante de Newton, y se define como:

ηn = k∂ ln (Gk)

∂k(39)

B1 y B2 son funciones de la constante adimensional λ dadas por [1]:

B1(λ) =1

3(4π)1−d/2

d(d+ 1)Φ1

d/2−1(−2λ)− 6d(d− 1)Φ2d/2(−2λ)− 4dΦ1

d/2−1(0)− 24Φ0d/2

B2(λ) = −1

6(4π)1−d/2

d(d+ 1)Θ1

d/2−1(−2λ)− 6d(d− 1)Θ2d/2(−2λ)

31

Y las funciones Φ y Θ tienen la siguiente forma:

Φpn(z) =

1

Γ(n+ 1)

1

(1 + z)p(40)

Θpn(z) =

1

Γ(n+ 2)

1

(1 + z)p(41)

En donde Γ(n) es la conocida funcion Gamma. Es claro que la ecuacion (38) con todas

las especificaciones de arriba difıcilmente se puede solucionar de manera analıtica, es

por ello que, en el siguiente capıtulo usaremos aproximaciones fısicas que nos permitan

solucionarla y encontrar expresiones exactas para Gk.

32

4 Solucion de Schwarzschild corregida

4.1 Aproximacion semi-clasica

En el capıtulo anterior encontramos la ecuacion diferencial que gobierna la dependencia en

la escala de la constante gravitacional Gk, sin embargo, la ecuacion resulta problematica si

queremos encontrar expresiones analıticas. En esta seccion vamos a solucionar la ecuacion

diferencial nombrada anteriormente haciendo uso de la aproximacion semi-clasica, todos

los resultados que se muestren en este capıtulo fueron previamente discutidos por Koch

[12]. En primer lugar la aproximacion consiste en hacer una expansion de la dimension

anomala (39) en gk:

ηn(gk, λk) =gkB1(λ)

1− gkB2(λ)= gkB1(λk)

(1 + gkB2(λk) + g2kB

22(λk) + g3kB

32(λk) + . . .

)Y tomar en cuenta unicamente la primera contribucion de gkB1, e ignorar los terminos

de orden mayor. En la segunda parte de la expansion evaluamos la funcion B1 en un valor

para la constante cosmologica λ = 0. De manera que la dimension anomala aproximada

se puede escribir de la siguiente forma:

ηn(gk) = −(d− 2)ωdgk (42)

Donde ωd es una constante que depende unicamente de la dimension d y que resulta de

evaluar la funcion B1(λ = 0).

ωd =(4π)1−d/2

3(d− 2)

(6d(d− 1) + 24)Φ2

d/2(0)− d(d− 3)Φ1d/2−1(0)

(43)

Ahora, a partir de la definicion de dimension anomala (39) podemos deducir la sigu-

iente expresion:

η = k∂ ln (Gk)

∂k=

k

Gk

∂Gk

∂k

⇒ k∂kGk = η(gk)Gk (44)

33

De modo que, usando la aproximacion (42), gk = Gkkd−2 y la relacion (44), la ecuacion

diferencial que debemos resolver es la siguiente:

dGk

dk= −(d− 2)ωdG

2kk

d−3 (45)

Sujeta a la condicion inicial G(k = 0) = G0, con G0 la constante gravitacional, la solucion

de (45) es:

GK =G0

1 +G0ωdkd−2(46)

Para d = 4 usando las funciones (40) y (41) calculamos ω4 con la ecuacion (43):

ω4 =11

6π(47)

Finalmente podemos escribir una expresion que determina como corre la constante grav-

itacional respecto a la escala k y en d = 4. Notemos que ω4 es positivo, lo que implica

que a medida que la escala k aumenta, Gk disminuye.

Gk =G0

1 + 116πG0k2

(48)

4.2 Interpretacion fısica de la escala

Para poder implementar los resultados obtenidos en un problema fısico real, debemos

especificar y dar una interpretacion fısica a la escala k en terminos de cantidades rele-

vantes, distancias o invariantes de nuestro problema en especıfico. Para efectos de este

trabajo, queremos aplicar los resultados en el marco de la RG y encontrar correcciones

que provengan gracias a tener en cuenta dependencia en la escala, ası que el contexto

fısico en el que haremos nuestro analisis, es una solucion a las ECE, en particular la

solucion de Schwarzschild estudiada en el primer capıtulo. Los parametros principales

en una solucion de las ECE estan relacionados con la masa m , la constante G0 , la

geometrıa del espacio-tiempo (invariantes de curvatura),las coordenadas sel sistema, es

decir k = k(m,G0, R, x), con R el escalar de Ricci. Una condicion importante que debe

cumplir la escala k tiene que ver con la relacion inversa que existe entre la posicion y el

34

momento, por ejemplo, sabemos que los fenomenos importantes de la fısica de partıculas

ocurren a distancias muy pequenas, pero a la vez estos fenomenos liberan altas cantidades

de energıa, por eso, es de esperarse que sucesos con valores grandes en k ocurran a distan-

cias muy cortas. Ahora bien, en el caso de Schwarzschild podemos descartar que la escala

dependa de el escalar de Ricci R, ya que en el espacio tiempo de Schwarzschild R = 0 y

por lo tanto no generarıa ninguna correccion. Buscando satisfacer todas las condiciones

mencionadas anteriormente, en varios trabajos [12, 13, 14] se ha ajustado la escala de la

siguiente forma:

k(r) =ξ

d(P (r))(49)

Con ξ un valor constante muy cerca a la unidad, d(P (r)) es la de distancia radial propia

de una partıcula de prueba al punto P en el espacio-tiempo, y se puede definir de la

siguiente manera:

d(r) =

∫1√|f(r)|

dr (50)

Donde f(r) es la parte radial de la metrica de Schwarzschild (20). Hay que tener en cuenta

que dentro del horizonte de eventos la funcion f(r) cambia de signo. Ası que debemos

calcularla en los casos r > 2G0m y r < 2G0m.

En el caso r > 2G0m, es decir, afuera del horizonte de eventos f(r) =(1− 2G0m

r

), y

al desarrollar la integral (50) obtenemos:

d(r > 2G0m) = πG0m+ 2G0m ln (

√r

2G0m

√r

2G0m− 1) +

√r(r − 2G0m) (51)

Y adentro del horizonte de eventos , r < 2G0m , f(r) = −(1− 2G0mr

)

d(r < 2G0m) = 2G0m arctan

(r

2G0m− r

)−√r(2G0m− r) (52)

Es claro que no podemos tener dos funciones d(r), ası como no podemos tener dos escalas.

Para construir la funcion d(r) que sea valida tanto afuera como adentro de el horizonte de

eventos, para ello calculamos por aparte d(r ∞) y d(r 0), luego usamos el hecho de

que la funcion d(r) que las contenga a ambas debe obedecer tambien su comportamiento

asintotico. Cerca a la singularidad en r 2G0m :

35

d(r 2G0m) ≈ 2

3

1√2G0m

r3/2 (53)

Y a distancias grandes en r 2G0m, el logaritmo en (51) tiende a 0 para r muy

grande :

d(r 2G0m) ≈ r (54)

Una posible funcion que satisface el comportamiento en los dos lımites (53) y (54) es la

siguiente [12]:

d(r) =

√2r3

2r + 9G0m(55)

Es facil comprobar que la funcion (55) obedece los lımites (53) y (54). Finalmente,

obtenemos la definicion deseada para la escala k en terminos de un parametro relevante

en el espacio-tiempo de Schwarzschild, la distancia radial.

k(r) = ξ

√9G0m+ 2r

2r3(56)

Teniendo en cuenta la nueva definicion de la escala k podemos escribir la funcion (48)

como una funcion de la escala r y no de k:

G(r) =2G0r

3

2r3 + ξG0(2r + 9G0m)(57)

Con la nueva constante ξ = 116πξ2

4.3 Correcciones a la metrica de Schwarzschild

En esta seccion finalmente vamos a escribir la metrica de Schwarzschild incluyendo las

correcciones de escala provenientes del grupo de renormalizacion. Para corregir la metrica

de Schwarzschild basta con reescribir la funcion radial f(r) (19), salvo que actualizamos

el valor de la constante gravitacional por su nueva version dependiente de la escala r dada

por (57). Al realizar este procedimiento, obtenemos una nueva funcion f(r):

f(r) = 1− 4G0mr2

2r3 + ξG0(2r + 9G0m)(58)

36

Y la metrica de Schwarzschild corregida estara dada por:

ds2 = −f(r)dt2 + f(r)−1dr2 + r2dΩ2 (59)

La solucion corregida tiene dos caracterısticas importantes descritas a continuacion:

4.3.1 Horizonte de eventos

En el primer capıtulo , al estudiar las propiedades de la solucion clasica de Schwarzschild,

encontramos que existe una singularidad en r = 0 ya que el escalar de Kretschmann

(22) presentaba una divergencia en ese punto. Sı calculamos de nuevo el escalar de

Kretschmann para la metrica corregida obtenemos el siguiente valor:

K = RabcdRabcd = 2(

4

3)3ξ2 (60)

El escalar de Kretschmann para esta metrica no depende de ninguna coordenada y

tiene un valor constante. Este resultado es muy importante, puesto que logramos corregir

la singularidad en r = 0 de la metrica clasica.

4.3.2 Potencial gravitacional

En la literatura se pueden encontrar correcciones cuanticas al potencial gravitacional re-

alizadas por medio de expansiones perturbativas [15].Al escribir el potencial gravitacional

en terminos de la constante gravitacional dependiente de la escala:

V (r) = −G(r)mM

r

Y al comparar el resultado con el obtenido en [15], se encuentra que el resultado es el

mismo tomando el valor de la constante ξ = 11815π

.

37

5 Conclusiones

El objetivo principal de este trabajo consiste en encontrar posibles correcciones cuanticas

a resultados de la Relatividad General sin necesidad de acudir a teorıas de unificacion

o teorıas que requieran la existencia de nuevos grados de libertad fısicos. El modelo

que se uso con este fin es el modelo de Asymptotic Safety, que pretende eliminar las

divergencias matematicas de la Relatividad General al asumir una dependencia en la

escala de los acoples fundamentales de la teorıa, en nuestro caso estos acoples corresponden

a la constante de gravitacion y a la constante cosmologica. A lo largo del trabajo se

desarrollaron las principales herramientas matematicas que nos permitieran descifrar la

dependencia en escala de la constante gravitacional, para finalmente aplicar este resultado

a la conocida solucion de Schwarzschild.

Al aplicar las correcciones de escala en la constante gravitacional se encontro que al

escribir el potencial gravitacional corregido, el resultado es muy similar al que se ha desar-

rollado en otros trabajos [15] por distintos metodos, lo cual confirma que a pesar de haber

usado algunas aproximaciones, el metodo si conduce a resultados con sentido fısico. Por

otro lado al aplicar los procedimientos de escala a la solucion de Schwarzschild, se obtuvo

una solucion renormalizada, que no presenta divergencias fısicas en r = 0, es decir que la

divergencia fue suprimida por medio de el proceso de renormalizacion. Las singularidades,

normalmente son interpretadas en Relatividad General como problemas y carencias de la

teorıa, por lo que, eliminar una divergencia puede comprenderse como arreglar o corregir

fallos en la teorıa. Podemos entonces deducir que el modelo de Asymptotic Safety es

capaz de encontrar correcciones a la Relatividad General.

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References

[1] Reuter, M. (1998). Nonperturbative evolution equation for quantum gravity. Physical

Review D, 57(2), 971.

[2] Wilson, Kenneth G. (1979). ”Problems in physics with many scales of length.” Sci-

entific American 241.2 : 158-179.

[3] Wilson, Kenneth G. ”Renormalization group and critical phenomena. I. Renormal-

ization group and the Kadanoff scaling picture.” Physical review B 4.9 (1971): 3174.

[4] Peskin, M. E. (2018). An introduction to quantum field theory. CRC Press.

[5] Berges, J., Tetradis, N., Wetterich, C. (2002). Non-perturbative renormalization flow

in quantum field theory and statistical physics. Physics Reports, 363(4-6), 223-386.

[6] Onsager, L. (1944). Crystal statistics. I. A two-dimensional model with an order-

disorder transition. Physical Review, 65(3-4), 117.

[7] Kadanoff, L. P. (1966). Scaling laws for Ising models near T c. Physics Physique

Fizika, 2(6), 263.

[8] Abbott, L. F. (1981). Introduction to the background field method. Acta Phys. Pol.

B, 13(CERN-TH-3113), 33-50.

[9] Popov, V. N., Faddeev, L. (1967). Feynman diagrams for the Yang–Mills field. Phys.

Lett. B, 25(1), 29-30.

[10] Benedetti, D., Groh, K., Machado, P. F., Saueressig, F. (2011). The universal RG

machine. Journal of High Energy Physics, 2011(6), 79.

[11] Vassilevich, D. V. (2003). Heat kernel expansion: user’s manual. Physics reports,

388(5-6), 279-360.

39

[12] Koch, B., Saueressig, F. (2014). Black holes within asymptotic safety. International

Journal of Modern Physics A, 29(08), 1430011.

[13] Bonanno, A., Reuter, M. (2000). Renormalization group improved black hole space-

times. Physical Review D, 62(4), 043008.

[14] Gonzalez, C., Koch, B. (2016). Improved Reissner–Nordstrom–(A) dS black hole in

asymptotic safety. International Journal of Modern Physics A, 31(26), 1650141.

[15] Donoghue, J. F. (1994). Leading quantum correction to the Newtonian potential.

Physical Review Letters, 72(19), 2996.

[16] Blau, M. (2011). Lecture notes on general relativity. Bern Germany: Albert Einstein

Center for Fundamental Physics.

[17] d’Inverno, R. A. (1992). Introducing Einstein’s relativity. Clarendon Press.

[18] Carroll, S. M. (2019). Spacetime and geometry. Cambridge University Press.

[19] Hawking, S. W. (1975). Particle creation by black holes. Communications in mathe-

matical physics, 43(3), 199-220.

[20] Hawking, S., Israel, W. (2010). General Relativity: an Einstein Centenary Survey,

by Stephen Hawking, W. Israel, Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2010.

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