SOLUCIONARIO 1er EXAMEN RESISTENCIA MATERIALES UNSCH-FIMGC-ESC. ING.CIVIL, A.ÑAHUI. 10.09. (TIPO A)

1er Ejercicio.-El bastidor de dos miembros está sometido a la carga distribuida que se muestra en la siguiente figura. (a) Determinar los esfuerzos normal y cortante promedio que actúan en las secciones a-a y b-b. El miembro CB tiene una sección transversal cuadrada de 35 mm de lado, considere w = 8 kN/m. (b) Determine la intensidad w de la carga uniforme máxima que se puede aplicar al bastidor sin que los esfuerzos normal y cortante promedio en la sección b-b excedan los valores = 15 MPa y = 16 MPa.

Solución.- (a) y en a-a y b-b; w = 8 kN/m; A = 35 x 35 mm2 = (0.035)2 = 1.225 x 10-3 m2.

(Área transversal a-a) Del D.C.L. La fuerza resultante equivalente de carga distribuida es: WT = 8 kN/m(3m) = 24 kN; Momentos en A:

;

; el esfuerzo normal en a-a:

;

.

(b) y en la sección b – b : Donde A1= Área Inclinada; Ao = Área transversal; cos = 3/5; cos = Ao / A1; donde A1 = Ao/cos .

; También se calculó:

que Tc = 15x103N; de la figura: Tensiòn normal:

; La

tensión cortante:

donde:

b) Cálculo de la intensidad de carga w en la sección

inclinada b-b con los límites en con los

mismos datos de (1): en (a) se tuvo:

donde: ; es la carga total. Luego se tienen:

1ra alternativa.- con = 15 MPa y = 16 MPa; Normal y cortante.

; ;

Luego en (2) ; la intensidad de carga es

: .

2da alternativa: Utilizando = 15 MPa; en:

; este valor en

(2) se tiene: ;

3ra alternativa: utilizando sustituyendo datos:

se

tiene:

De las tres alternativas, se selecciona el de menor valor, y resulta:

. Las respuestas son: (a) a-a= 12.245 MPa y a-

a= 0; b-b = 4.41MPa y b.b = 5.877MPa. (b) w = 21.8 kN/m.

2 Ejercicio.- Las tres barras de la estructura están unidas en el nudo A, de ellas la central es de aluminio y las dos inclinadas son de cobre, si inicialmente están a una temperatura de 40ºF, determinar: a) Los esfuerzos unitarios en cada barra si la temperatura final es de de 110ºF. b) El desplazamiento vertical del nudo A, cuando la temperatura final es de 160ºF. Datos: área sección transversal 2.5 pulg2, Aluminio (E=10.6x103 ksi; oc=12.8x10- 6

/ºF); Cobre (E=14.6 x103 ksi, oc=9.8x10-6 /ºF). Solución.- Del diagrama de deformaciones (a) se tiene:

del

diagrama (b), se tiene: desarrollando (1), se tiene: sustituyendo datos en la Ec. Última, se tiene:

del diagrama de cuerpo rígido Figura C:

;

sustituyendo (2) en (1’):

;

los esfuerzos unitarios en las barras con = F/A son: para el aluminio

(b) Desplazamiento vertical del nudo A: A con Tf = 160ºF; To = 40ºF; luego la variación de la temperatura T = 160 – 40 = 120ºF; sustituyendo 120ºF en la ecuación deducida de (1) que corresponde a los corchetes de arriba, se tiene para el caso lo que

sigue:

También se tuvo:

y se tiene:

en A:

3 Ejercicio.- El bloque prismático de la figura es de aleación de bronce E= 100 GPa y u=0.34, está cargado con fuerzas axiales que actúan en sus 6 caras. Se pide: a) la fuerza que debe aplicarse en la dirección x para que no exista deformación en esa dirección; b)la máxima disminución del área de una de sus caras; c) El volumen final del bloque con las fuerzas que actúan en la figura; d) el volumen final del bloque sometido a la presión uniforme de compresión en todas sus caras con la fuerza de 300 KN; e) el volumen final, si el bloque está

sumergida en el mar a una profundidad de 2400 m si el peso específico del agua de mar es 9802 N/m3. Solución.- Los esfuerzos unitarios en las 6 caras:

;

;

a)Fx para que no haya deformación en x; x = 0;

sustituyendo valores en (1):

b) Máxima disminución en una de sus caras:

Las nuevas longitudes finales son:

Las áreas finales para las caras es el producto de longitudes finales

Las áreas iniciales son:

Las variaciones en áreas A = Af – Ao

En conclusión la cara z disminuyó mayormente.C) Volumen final del bloque: Vf = Lxf.Lyf.Lzf; también el volumen inicial es Vo = Lxo.Lyo.Lzo = 0.080x0.060x0.100 m3 = 4.8x10-4m3 = 480,000 mm3; Vf = 0.079929533x0.060014149x0.100073833 m3 ; Vf = 480,044.46 mm3; aumentó el volumen en 44.46 mm3.

d) Volumen final del bloque sometido a presión uniforme: con Fz = 300 kN en la cara z. Azo = Lxo.Lyo = 0.080x0.060 m2 = 4.8 x 10-3

m2.

Las longitudes finales son:

e) El volumen final, cuando esta sumergido en el mar: h = 2400m;

esp = 9802 N/m3; k(constante de compresibilidad)

La dilatación es: e = -p / k;

El volumen inicial Vo = 4.8x10-4 m3 = 480,000 m3 . El cambio de

volumen: V = e Vo.

; También se tiene para el cambio de

volumen ;

como;

4 Ejercicio.- Gráficamente, hallar el estado tensional del elemento: (a) Esfuerzos principales, cortante máximo y sus planos. (b) Si el elemento gira 40º en sentido antihorario, hallar los esfuerzos normal y cortante.Solución.- De la figura principal los puntos posicionales de la circunferencia de Mohr: en la cara x; A(30, -60) MPa; y en la cara y; B(-75, 60) MPa; a una escala determinada, se trazan las coordenadas n y . Se une los puntos AB y es el diámetro de la circunferencia

donde intercepta la abscisa n en un punto medio y es el centro “C” de la circunferencia, cuyo valor es C = ½(30-75) = -22.5 () a la izquierda del origen “o” de coordenadas. El radio se calcula como la hipotenusa del triángulo de catetos: 22.5 + 30 = 52.50 y 60; (ver

Figura) donde . a)Las tensiones principales vienen representadas por los puntos D y E, donde la tensión cortante (ordenadas) es nula, su valor viene dada por los máximo y mínimo (Utilizar escalìmetro para medir):

El radio CD forma un ángulo 2 con sentido antihorario medido desde CA que representa al eje x, se tiene: ( utilizar transportador

medir el ángulo): Con estos resultados. Se representa en la figura las tensiones

principales actuando sobre los planos principales:

b) Las tensiones en los planos de tensión cortante máximo vienen dadas por las coordenadas de los puntos F y G y sus valores son:

En ambos planos el radio está a 90º antihorario a partir de CD, por lo que la normal al plano de tensión cortante máximo está a 45º

antihorario del plano principal máximo, o sea c = 45º+24.407º = 69.407º (ver Figura c).

c) Para terminar el problema, las tensiones en el plano cuya normal està a 40º del eje x (sentido antihorario), està representado por el punto H, intersección del radio CH con la circunferencia de Mohr (regla 3). Pr la regla (5), el ángulo ACH (Usar transportador):

.

Las coordenadas del punto H son por lo tanto (usar escalìmetro):

1 er. EXAMEN DE RESISTENCIA DE MATERIALES ING. CIVIL/UNSCH- AÑP-10-09 (TIPO B)

1EJERCICIO.- La barra se mantiene en equilibrio por los soportes de pasador en A y B. Observe que el soporte en A tiene una sola hoja y por tanto el pasador está a cortante simple, mientras que el soporte en B tiene 2 hojas y su pasador està sometido a cortante doble; perm = 150 MPa. Si se coloca sobre la barra una carga uniformemente distribuida w = 8 kN/m.

(a) Determine su posición mínima permisible medida desde B; los pasadores A y B tienen cada uno un diámetro de 8 mm. (b) Si el esfuerzo permisible para ambos pasadores adm = 125 MPa; si x = 1 m, determine la carga distribuida w máxima que la barra pueda soportar. (c) Con los datos de b) y w = 12 kN/m, determine el menor diámetro requerido para los pasadores A y B. Solución.- (a)Pasador (A) simple; B (pasador doble); w = 8kN/m;adm = 150x106 N/m2; dA = dB = 8 mm = 8x10-3m; hallar x para w.

-De la Figura (DCL); Fy = 0;VB –VA –Q = 0; Q = VB - VA;

b) Con = 125 MPa; x = 1m hallar w=?

c) Con w = 12 kN/m; = 125 MPa = 125x106 N/m2; x = 1m: Determine el menor diámetro requerido para los pasadores A y B; si Q = wx’’; x = 1m; entonces x’’= 2 - 1 = 1m; luego Q = 12 kN/m (1m) = 12 kN. Se sabe que Q = VB – VA …..(1); MA = 0; 2VB - 3.5 Q = 0; donde VB = (3.5/2)Q ….(2); VB = (3.5/2)(12kN) = 21 kN; de (1)

;

El diámetro menor es dA = 9.575 mm

2 Ejercicio.- La barra rígida soporta la carga distribuida uniforme de 6 kip/pie. Determine: (a) La fuerza en cada cable si cada uno tiene un área transversal de 0.05 pulg2 y E = 31x103 ksi. (b) La ligera rotación de la barra cuando se aplica la carga uniforme.

Solución.- La resultante de carga distribuida es:

aplicado a 4.5 mA; de la Figura 2a, el ángulo del cable con la horizontal es:

También, de la estática:

-Del diagrama de deformaciones (Figura 2b), por semejanza de ∆s:

Sustituyendo (2) en (1):

-Los esfuerzos unitarios en cada cable: = P / A:

b) La rotación de la barra:

3 Ejercicio.- El cubo de la figura es de acero E = 30 x 103 klb/pulg2

y u = 0.3. Es sometido a las cargas que se observa en la figura. Hallar: (a) Cambios de longitudes en las aristas. (b) Cambio del volumen. (c) Hallar el volumen final sometido a presión hidrostática p = -30 klb/pulg2. (c) El área final de la cara (y) en a). (d) El volumen final si estaría sometido a presión hidrostática en el mar a una profundidad de 3000 pies, = 62.4 lb/pies3. Tomar a = 15 pulg.Solución.- b)Las deformaciones unitarias de las aristas debido a

Las nuevas longitudes finales son:

b) Cambio del volumen del cubo:

Volumen final del bloque: Vf = Lxf.Lyf.Lzf; también el volumen inicial es Vo = Lxo.Lyo.Lzo = 15x15x15 pulg3 = 3375 pulg-3 Vf = (14.9737598)(15.0094995)(15.02575) = 3377.010 pulg3 ; Vf = 3377.010 pulg3; La variación unitaria del volumen es:

También el cambio de volumen será V=?:

Otra manera de cálculo para el volumen, también se tiene:

Y el cambio de volumen es:

c) Volumen final del bloque sometido a presión uniforme: Con p = -30 klb/pulg2 ; x = y = z = - 30 klb/pulg2

El volumen final: Vf = (14.994 pulg)3 = 3370.95162 pulg3 ; el volumen inicial: Vo = (15)3 = 3375 pulg3 ; la variación del volumen: V = Vo = -4x10-4(3375) = -1.35 pulg3; también Vf – Vo = V;Vf = - 1.35 + 3375 = 3373.65 pulg3 (disminución).

d) Área final de la cara y: La cara y tiene lados Lxf y Lzf; entonces: Ay = Lxf (Lzf) = 14.97375 (15.02575) = 224.9918 pulg2

(disminución); el área inicial Ao = 15x15 = 225 pulg2; la variación del área: Ay = Ao – Ay = 225 – 224.9918 = 8.2x10-2 pulg2.

e) El volumen final, cuando esta sumergido en el mar: h = 3000

pies; esp = 62.4 lb/pies3; k(constante de compresibilidad)

La dilatación es: e = -p / k;

El volumen inicial Vo = 3375 pulg3 ; y el cambio de volumen es: V

= e Vo = Vf – Vo = - 5.2x10-5(3375) = - 0.1755 pulg3; el volumen

final es: Vf = 3375 – 0.1755 = 3,374.8245

pulg3.

4 Ejercicio.- Gráficamente, hallar el estado tensional del elemento: (a) Esfuerzos principales, cortante máximo y sus planos. (b) Si el elemento gira 25º en sentido horario, hallar los esfuerzos normal y cortante.

Solución.- De la figura principal los puntos posicionales de la circunferencia de Mohr: en la cara x; A(-60, -35) MPa; y en la cara y; B(-40, 35) MPa; a una escala determinada, se trazan las coordenadas n y . Se une los puntos AB y es el diámetro de la circunferencia donde intercepta la abscisa n en un punto medio y es el centro “C” de la circunferencia, cuyo valor es C = ½(-60-40) = -50 () a la izquierda del origen “o” de coordenadas. El radio se calcula como la hipotenusa del triángulo

de catetos: (10 y 35); (ver Figura), esto resulta como coordenada A(-60.-35), OD = 60 – 50 = 10; y AD = 35, luego el radio

sn mìn=-13.5MPa

F

G

o

10

A(-60,-35)MPa H

snsn màx=-86.4MPa

tmàx=36.4MPaB(-40,35)MPa

qp=74.054ºL

k

(-16.7;14.8)MP a

(-83.2;-14.8)MP a

ty

“C”D(

J

50º

24.05º(

x

I

E

tmìn

Figura 4a

; Comprobando en la relación:

a)Las tensiones principales vienen representadas por los puntos E y F, donde la tensión cortante (ordenadas) es nula, su valor viene dada por los máximo y mínimo (Utilizar escalìmetro para medir):

El radio CE forma un ángulo 2 con sentido horario medido desde CA que representa al eje x, se tiene: ( utilizar transportador medir el ángulo):

Con estos resultados. Se representa en la figura las tensiones

principales actuando sobre los planos principales:

; también

En la circunferencia

de Mohr, con el transportador se mide el ángulo ECA y da 74.05ºb) Las tensiones en los planos de tensión cortante máximo vienen

dadas por las coordenadas de los

puntos G y H y sus valores son:

En ambos planos el radio está a 90º horario a partir de AC, por lo que la normal al plano de tensión cortante máximo está a 45º horario del plano principal máximo, o sea c = 45º+37.027º = 82.027º del eje (ver Figura c); en la circunferencia 2 = 2x82.017 ; 2 = 164.054º. También:

c) Para terminar el problema, las tensiones en el plano cuya normal está a 25º del eje x (sentido horario), está representado por el punto I, intersección del radio CI con la circunferencia de Mohr

(regla 3). Por la regla (5), el ángulo ACI (Usar transportador):

.

Las coordenadas del punto I son por lo tanto (usar escalìmetro):

.

1er. EXAMEN DE RESISTENCIA DE MATERIALES ING. CIVIL/UNSCH-AÑP-10-09 (TIPO A)

1.- El bastidor de dos miembros está sometido a la carga distribuida que se muestra en la siguiente figura. (a) Determinar los esfuerzos normal y cortante promedio que actúan en las secciones a-a y b-b. El miembro CB tiene una sección transversal cuadrada de 35 mm de lado, considere w = 8 kN/m. (b) Determine la intensidad w de la carga uniforme máxima que se puede aplicar al bastidor sin que los esfuerzos normal y cortante promedio en la sección b-b excedan los valores = 15 MPa y = 16 MPa.

2.-Las tres barras de la estructura están unidas en el nudo A, de ellas la central es de aluminio y las dos inclinadas son de cobre, si inicialmente están a una temperatura de 40ºF, determinar: a) Los esfuerzos unitarios en cada barra si la temperatura final es de de 110ºF. b) El desplazamiento vertical del nudo A, cuando la temperatura final es de 160ºF. Datos: área sección transversal 2.5 pulg2, Aluminio (E=10.6x103 ksi; oc=12.8x10-6 /ºF); Cobre (E=14.6 x103 ksi, oc=9.8x10-6 /ºF).

1 er. EXAMEN DE RESISTENCIA DE MATERIALES ING. CIVIL/UNSCH- AÑP-10-09 (TIPO B)

1.- La barra se mantiene en equilibrio por los soportes de pasador en A y B. Observe que el soporte en A tiene una sola hoja y por tanto el pasador está a cortante simple, mientras que el soporte en B tiene 2 hojas y su pasador està sometido a cortante doble; perm = 150 MPa. Si se coloca sobre la barra una carga uniformemente distribuida w = 8 kN/m. (a) Determine su posición mínima permisible medida desde B; los pasadores A y B tienen cada uno un diámetro de 8 mm. (b) Si el esfuerzo permisible para ambos pasadores adm = 125 MPa; si x = 1 m, determine la carga distribuida w máxima que la barra pueda

soportar. (c) Con los datos de b) y w = 12 kN/m, determine el menor diámetro requerido para los pasadores A y B.

2.- La barra rígida soporta la carga distribuida uniforme de 6 kip/pie. Determine: (a) La fuerza en cada cable si cada uno tiene un área transversal de 0.05 pulg2 y E = 31x103 ksi. (b) La ligera rotación de la barra cuando se aplica la carga uniforme.

3.- El bloque prismático de la figura es de aleaciòn de bronce E= 100 GPa y u=0.34, esta cargado con fuerzas axiales que actúan en sus 6 caras. Se pide: a) la fuerza que debe aplicarse en la dirección x para que no exista deformación en esa dirección; b)la máxima disminución del área de una de sus caras; c) El volumen final del bloque con las fuerzas que actúan en la figura; d) el volumen final del bloque sometido a la presión uniforme de compresión en todas sus caras con la fuerza de 300 KN; e) el volumen final, si el bloque està sumergida en el mar a una profundidad de 2400 m si el peso especìfico del agua de mar es 9802 N/m3.

4.- Gráficamente, hallar el estado tensional del elemento: (a)Esfuerzos principales, cortante máximo y sus planos. (b) Si el elemento gira 40º en sentido antihorario, hallar los esfuerzos normal y cortante.

3.- El cubo de la figura es de acero E = 30 x 103 klb/pulg2 y u = 0.3. Es sometido a las cargas que se observa en la figura. Hallar: (a) Cambios de longitudes en las aristas. (b) Cambio del volumen. (c) Hallar el volumen final sometido a presión hidrostática p = -30

klb/pulg2. (c) El área final de la cara (y) en a). (d) El volumen final si estaría sometido a presión hidrostática en el mar a una profundidad de 3000 pies, = 62.4 lb/pies3. Tomar a = 15 pulg

4.- Gráficamente, hallar el estado tensional del elemento: (a)Esfuerzos principales, cortante máximo y sus planos. (b) Si el elemento gira 25º en sentido horario, hallar los esfuerzos normal y cortante.

;

;

;

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